Зубович С.О., Суркаев А.Л., Сухова Т.А.,

М.М. Кумыш, Г.А. Рахманкулова

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

ПО ФИЗИКЕ

на тему:

«Кинематика и динамика

вращательного движения»

Волгоград

2014

Министерство образования и науки РФ

Волжский политехнический институт (филиал) государственного образовательного учреждения высшего

профессионального образования «Волгоградский государственный технический университет»

С.О. Зубович, А.Л. Суркаев, Т.А. Сухова,

М.М. Кумыш, Г.А. Рахманкулова

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

ПО ФИЗИКЕ

на тему:

«Кинематика и динамика

вращательного движения»

Учебное пособие

Волгоград

2014

УДК. 536.7

Рецензенты:

Доктор физико–математических наук ,профессор, зав. кафедрой «Общая физика» Волжского филиала ГОУ ВПО МЭИ (ТУ) В.Г. Кульков,

Канд. тех. наук, доцент кафедры «Промышленная энергетика» Волжско-го филиала ГОУ ВПО МЭИ (ТУ) Староверов В.В.

Издается по решению редакционно–издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

Зубович, С.О. Лабораторный практикум по физике на тему: «Ки-нематика и динамика вращательного движения» [Электронный ре-сурс]:учебное пособие/С.О. Зубович, А.Л. Суркаев, Т.А. Сухова, М.М. Ку-мыш, Г.А. Рахманкулова //Сборник «Учебные пособия». Выпуск 3.–Электрон. текстовые дан.(1 файл–1,03MB) – Волгоград: ВПИ (филиал) ВолгГТУ, 2012 г. – Систем. требования: Windows 95и выше; ПК с процес-сором 486+; CD–ROM.

Лабораторный практикум составлен в соответствии современной программой курса общей физики для технических вузов и предназначается в качестве учебного по-собия студентам автомеханического и инженерно-экономического факультетов ВПИ (филиал) ВолгГТУ для лабораторного практикума по дисциплинам Физика и Спецгла-вы физики. Вводный материал посвящен теоретическому материалу по динамике по-ступательного и вращательного движений материальных точек и твердых тел и мето-дам обработки экспериментальных данных. Описание каждой экспериментальной работы начинается с описания экспериментальных установок и методики эксперимен-та. В экспериментальной части приводятся описания задания, регламентирующие по-следовательность работы студентов при проведении измерений. Приводятся образцы рабочих таблиц для записи результатов измерений, рекомендации по методам обработ-ки и представления результатов и требования к оформлению отчетов. В конце описа-ний предлагаются контрольные вопросы, ответы на которые учащиеся должны подго-товить к защите работ. В приложении даны необходимые справочные данные.

Пособие может быть полезно для студентов всех специальностей.

Ил. 53, табл.35, библиограф.19 назв.

Волгоградский государственный технический университет, 2014 Волжский политехнический ин-ститут, 2014

- 3 -

Содержание Предисловие авторов....................................................................................................... - 4 - Глава 1 Теоретическое введение..................................................................................... - 5 -

§ 1. Пространство, время, движение........................................................................... - 5 - § 1.1. Предмет физики ............................................................................................. - 5 - § 1.2. Математический аппарат физики.................................................................. - 6 - § 1.3 Общефизические представления.................................................................. - 10 - § 1.4. Системы единиц измерения и размерность физических величин.............. - 12 - § 1.5. Пространство и время в ньютоновской механике ...................................... - 13 - § 1.6. Физические модели...................................................................................... - 16 -

§ 2. Кинематика ......................................................................................................... - 18 - § 2.1. Векторный способ описания движения материальной точки .................... - 18 - § 2.2. Координатный способ описания движения материальной точки .............. - 20 - § 2.3. Траекторный способ описания движения материальной точки................. - 21 - § 2.4. Вращательное движение материальной точки............................................ - 22 - § 2.5. Виды движения абсолютно твердого тела .................................................. - 24 - § 2.6. Преобразования Галилея и закон сложения скоростей .............................. - 27 -

§ 3. Динамика вращательного движения.................................................................. - 29 - § 3.1. Момент импульса и момент силы ............................................................... - 29 - § 3.2. Момент инерции твердого тела................................................................... - 30 - § 3.3. Главные оси и главные моменты инерции.................................................. - 32 - § 3.4. Теорема Штейнера–Гюйгенса ..................................................................... - 35 - § 3.5. Основной закон вращательного движения твердого тела .......................... - 36 - § 3.6. Уравнения движения и равновесия твердого тела...................................... - 37 -

Глава 2 Техника измерения физических величин........................................................ - 40 - § 1.1. Виды физических измерений, погрешности................................................... - 40 - § 1.2. Обработка прямых измерений......................................................................... - 44 -

§ 1.2.1. Оценка инструментальной погрешности ................................................. - 44 - § 1.2.2. Оценка случайной погрешности............................................................... - 46 - § 1.2.3. Обнаружение промахов ............................................................................ - 50 - § 1.2.4. Алгоритм вычисления погрешности при прямых измерениях ............... - 51 -

§ 1.3. Обработка косвенных измерений.................................................................... - 52 - § 1.4. Правила округления приближенных чисел..................................................... - 53 - § 1.5. Правила оформления графиков и таблиц........................................................ - 55 -

Глава 3 Физический практикум .................................................................................... - 58 - Лабораторная работа № 102. Определение скорости полета пули методом вращающихся дисков. ............................................................................................... - 58 - Лабораторная работа № 104. Изучение динамики вращательного движения твердого тела. ............................................................................................................................ - 62 - Лабораторная работа № 118. Изучение законов кинематики и динамики поступательного движения на машине Атвуда. ....................................................... - 69 - Лабораторная работа № 119. Изучение законов кинематики и динамики вращательного движения на машине Атвуда. .......................................................... - 75 - Лабораторная работа № 120. Изучение закона Гука и определение модуля сдвига. ........................................................................................................................ - 80 - Лабораторная работа № 121. Определение модуля упругости изгиба. ................... - 84 - Лабораторная работа № 124. Определение момента инерции твердого тела с помощью трифилярного подвеса. ............................................................................. - 90 -

Приложение ................................................................................................................... - 97 - § Список библиографических источников ............................................................. - 104 -

- 4 -

Предисловие авторов

Курс физики в подготовке студентов технических ВУЗов является основополагающим в становлении современного высококвалифицирован-ного специалиста – инженера. С одной стороны, изучение физики как об-щеобразовательного предмета должно формировать у студентов общее представление об основных законах окружающей нас неживой природы и современную естественнонаучную картину мира. С другой стороны, зна-ния по физике необходимы студентам для усвоения специальных техниче-ских дисциплин (теория машин и механизмов, теплотехника, электро- и радиотехника, информационные технологии, сопромат и др.).

В соответствии с учебными планами этих и других направлений ба-калавриата предусматриваются только лекционные и лабораторные заня-тия (2-х семестровый курс физики), в других они дополняются в одном се-местре семинарами (3-х семестровый курс). Поэтому составителями настоящего пособия была проведена переработка лабораторного практи-кума под соответствующие планы.

Каждая лабораторная работа соответствует тому или иному разделу физики. Сначала проводится вводное занятие, на котором обсуждаются физические законы, изучаемые в данной лаборатории, происходит знаком-ство с лабораторной установкой и правилами работы на ней. На после-дующих занятиях (одном или двух) выполняются лабораторные работы, и на заключительном занятии происходит защита полученных результатов и проверка знания материала по теме. По итогам выполнения лабораторных заданий на последнем занятии семестра принимается зачет (или осуществ-ляется допуск к экзамену).

В каждой лабораторной работе сформулирована цель эксперимен-тального исследования, представлен перечень приборов и оборудования, приведены описание экспериментальной установки и порядок выполнения работы. В конце описания работы даны вопросы, активизирующие само-стоятельную деятельность студентов при подготовке к выполнению и за-щите работ.

- 5 -

Глава 1 Теоретическое введение

§ 1. Пространство, время, движение

§ 1.1. Предмет физики

Физика – одна из основных естественных наук. Это наука о наибо-лее простых и вместе с тем наиболее общих формах движения материи и их взаимных превращениях.

Материя – весь окружающий нас мир, всё существующее вокруг нас и обнаруживаемое нами посредством ощущений. Материя существует только в движении. К физическим формам движения материи относятся механическая, молекулярная, электромагнитная и ядерная. Движущаяся материя существует в пространстве и времени. Следовательно, простран-ство и время – формы существования материи.

Изучаемые физикой формы движения материи (механическая, теп-ловая и др.) присутствуют во всех высших и более сложных формах дви-жения материи (химических, биологических и др.). Поэтому физика тесно связана с естественными науками и эта связь привела к образованию ряд новых смежных дисциплин, таких, как астрофизика, геофизика, физиче-ская химия, биофизика и др.

Физика тесно связана и с техникой, причем эта связь носит двусто-ронний характер. Физика выросла из потребностей техники, и техника, в свою очередь, определяет направление физических исследований. С дру-гой стороны, от развития физики зависит технический уровень производ-ства. Физика – база для создания новых отраслей техники (электронная техника, ядерная техника и др.).

Физика – наука опытная. Все физические законы, физические иссле-дования начинаются с опыта или подтверждаются (иногда опровергаются) опытом. Данные новых опытов уточняют физические законы или опреде-ляют границы их применимости.

Физика – наука точная, широко использующая математический аппа-рат, при этом, математика дает лишь один из инструментов исследования при-роды, но не может подменять собою естественные науки. Отметим еще одно принципиальное свойство естественных наук – принципиальная неточность, приблизительность любого количественного описания. Ни одна формула в ме-ханике, физике, химии и т.д. не может считаться абсолютно точной, она спра-ведлива лишь в пределах границ ее применимости, указанных или подразуме-ваемых. И ни одна экспериментально определенная величина не имеет смысла, если не указано, в каких условиях и с какой точностью она измерена.

- 6 -

§ 1.2. Математический аппарат физики

Элементы векторной алгебры. Физические величины могут быть: 1. скалярными; 2. векторными. Скалярными величинами (скалярами) называются такие, которые ха-

рактеризуются только числовым значением. Примерами скалярных вели-чин являются время t, масса m, температура T, электрический заряд q, по-тенциал φ и др. Скалярные величины могут быть положительными и отрицательными и складываются алгебраически.

Векторными величинами (векторами) называются такие, которые характеризуются числовым значением и направлением. Примерами век-торных величин являются скорость , ускорение a , сила F

, импульс p ,

напряженность E

электрического поля, магнитная индукция B

, напря-женность H

магнитного поля и многие др.

Модуль вектора – скаляр, причем всегда положительный. Сумма двух векторов. Пусть нам даны два вектора A

и B

(рис.1.1,а),

причем, эти составляют с горизонтом углы α и β соответственно Чтобы по-лучить результирующий С

, перенесем B

параллельно самому себе так,

чтобы его начало оказалось совмещенным с концом A

(рис.1.1,б). Тогда: BAС

. Модуль вектора С

находим по теореме косинусов (рис.1.1,в):

cosABBAС 222

.

Векторы, направленные вдоль параллельных прямых (в одну и ту же

или в противоположные стороны), называются коллинеарными. Векторы, направления которых параллельны одной и той же плоскости, называются компланарными.

Разностью двух векторов BA

называется такой вектор С

, кото-рый в сумме с вектором B

дает вектор A

(рис.1.2,а). Поскольку разность

BAС

может быть представлена в виде вектора BAС , это озна-чает, что можно получить вектор С

, сложив вектор A

с вектором, равным

по величине вектору B

, но имеющим противоположное ему направление (рис.1.2,б).

C

B

а)

Рис.1.1

в) б)

A

B

A

B

C

α α

- 7 -

Проведем через начало и конец вектора A

плоскости, перпендику-

лярные к направлению п. Точки 1' и 2', в которых пересекаются эти плос-кости с осью п, называются проекциями начала и конца вектора A

на ось

п. Величина отрезка оси, заключенного между плоскостями, называется проекцией вектора A

на направление (или на ось) п (рис.1.3). Проекция

вектора – скаляр.

Если направление от точки 1' к точке 2' совпадает с направлением п,

проекция считается положительной; в противном случае проекция отрица-тельна. Проекция обозначается той же буквой, что и сам вектор, с добав-лением индекса, обозначающего то направление, на которое спроектиро-ван вектор. По заданным проекциям вектора на три координатные оси может быть построен сам вектор. Следовательно, всякий вектор может быть определен тремя числами – проекциями его на оси координат.

Умножение вектора на скаляр. В результате умножения вектора A

на скаляр а получается новый вектор B

, модуль которого в |a| раз больше

модуля вектора A

, а направление совладает с направлением A

, если ска-ляр а положителен, и противоположно ему, если скаляр а отрицателен. Ес-ли AaB

, то AaB

.

Деление вектора на скаляр b равносильно умножению вектора на скаляр а = 1/b.

Единичный вектор. Каждому вектору A

может быть сопоставлен единичный вектор, имеющий то же направление, что и A

, а по модулю

равный единице. Единичный вектор имеет также другое название – орт. Модули составляющих вектора по координатным осям Ax, Ay, Az, равны модулям проекций вектора на эти оси.

Введем единичные векторы, имеющие направления координатных

а)

A

B

C

б)

A

B

BA

BA

Рис.1.2

Рис.1.3

A

α 1

2

1' 2'

n

- 8 -

осей. Их принято обозначать следующим образом: единичный вектор, на-правленный по оси X, символом i

, по оси Y – символом j

и по оси Z –

символом k

. Векторы i

, j

и k

называют ортами осей X, Y и Z соответст-венно.

Поскольку вектор A

равен сумме своих составляющих, можно раз-ложить вектор по базису:

kAjAiAA zyx

. Векторным произведением векторов A

и B

называется вектор С

,

обладающий следующими свойствами: 1. модуль вектора С

равен: C

=C = AB sin a;

2. вектор С

перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы A

и B

, причем направление его связано с направлениями A

и B

по пра-вилу правого винта: если смотреть вслед вектору С

, то совершаемый по

кратчайшему пути поворот от первого сомножителя ко второму осуществ-ляется по часовой стрелке (рис.1.4).

Символически векторное произведение можно записать двумя спо-собами:

[ A

, B

] или A

X B

. Изменение порядка сомножителей вызывает изменение направления

результирующего вектора на противоположное (рис.1.4). [ B

, A

] = – [ A

, B

] или B

X A

= – ( A

X B

).

Скалярным произведением векторов A

и B

называется скаляр, рав-

ный произведению модулей этих векторов на косинус угла α между ними (рис.1.5). Скалярное произведение по определению равно BA

=AB cos α.

При α остром BA

больше нуля, при а тупом BA

меньше нуля; ска-лярное произведение двух взаимно-перпендикулярных векторов (α = π/2) равно нулю.

Скалярное произведение коммутативно, т.е. не зависит от порядка сомножителей:

BA

= АВ cos а = А (В cos a) = В (A cos а). Скалярное произведение векторов дистрибутивно – скалярное про-

изведение некоторого вектора A

на сумму нескольких векторов равно

BA

A

α

B

AB Рис.1.5

A

B

C

α

B,A A,B

Рис.1.4

- 9 -

сумме скалярных произведении вектора A

на каждый из слагаемых векто-ров, взятый в отдельности:

...CABA...CBA Операции деления вектора на вектор не существует.

Элементы дифференциального и интегрального исчислений. Пусть в некоторой области значений х существует функция f (x)

(рис.1.6). Обозначим ∆x = x1 – х2, ∆f (x) = f (x1) – f (x2). Выражение

dxxdfx'f

xxfim

X

0 называется первой производной функции f (x) по

аргументу x.

Геометрический смысл производной – графически tg

dxxdf ,

где α – угол наклона касательной к кривой в точке 1 к оси абсцисс. Производная от первой производной называется второй производной

или производной второго порядка и обозначается 22

dxxfd . Производные

N-го порядка обозначаются NN

dxxfd .

Свойства производной:

1. Если f (x) = Сφ(x), где С = const , то dx

xdСdx

xdf .

2. Если f (x) = φ1(x) + φ2(x), то .

dxxd

dxxd

dxxdf 21

3. Если f (x) = φ1(x) φ2(x), то .x

dxxdx

dxxd

dxxdf

12

21

4. Если f (x) = ,xx

2

1

то

.x

xdx

xdxdx

xd

dxxdf

22

12

21

X

α

Рис.1.6

1 y

x

Y

2

Δx

Δy α'

- 10 -

5. Если f (x) = f (φ(x)), то dx

xdd

dfdx

df

.

Если dx

xdf > 0, то при возрастании х функция f (x) возрастает.

Если dx

xdf < 0, то при возрастании х функция f (x) убывает.

Если dx

xdf = 0, то функция f (x) имеет экстремальное значение.

Пусть в некоторой области значений х существует функция f (x) (рис.1.7). Разобьем интервал [a, b] изменения х на элементарные отрезки

∆x1, ∆x2, …, ∆xi, …, ∆xN. Составим сумму

n

iii xxf

1.

Выражение dxxfxxfimb

ai

N

ii

1 называется определенным ин-

тегралом. То же выражение без пределов интегрирования dxxf называется

неопределенным интегралом. Физический смысл определенного интеграла – равен площади, огра-

ниченной слева и справа границами интервала [a, b], снизу – осью x, свер-ху функцией f (x) (рис.1.7).

Свойства интеграла:

1. Если f (x) = dxxfN

ii

1, то

.dxxfdxxfN

ii

N

ii

11

2. Если f (x) = Сφ(x), где С = const, то dxxCdxxC .

§ 1.3 Общефизические представления

Одной из фундаментальных общефизических идей является идея о дискретном строении материальных объектов. Так, считается, что Вселен-ная состоит из совокупности крупных материальных объектов, каждый из которых состоит из совокупности более мелких, а каждый из более мелких состоит, в свою очередь, из еще более мелких объектов и т.д. до элемен-

Рис.1.7 x

f (x)

a Δx b

- 11 -

тарных частиц, являющихся наименьшими материальными объектами. Другой общефизической идеей является идея о единстве всего мате-

риального мира. Оно проявляется в том, что все материальные объекты со-стоят из большого числа по-разному сгруппированных и взаимодействую-щих, но одинаковых протонов, нейронов, электронов, фотонов и некоторых других элементарных частиц.

Одним из фундаментальных понятий в физике является понятие взаимодействия. Благодаря взаимодействию возможно существование больших и малых объектов, протекание различных процессов. Всякое взаимодействие – есть совокупность большого числа элементарных актов взаимодействия элементарных частиц. Каждый элементарный акт состоит в том, что две взаимодействующие элементарные частицы обмениваются третьей элементарной частицей. Среди большого разнообразия взаимодей-ствий в природе выделяют четыре вида фундаментального взаимодейст-вия: сильное, электромагнитное, электрослабое, гравитационное, каждое из которых характеризуется своим типом обмениваемых элементарных частиц. В таблице 1.1 приведены относительные интенсивности видов взаимодействия, пространственные области их действия, материальные объекты, подверженные этим взаимодействиям.

Таблица 1.1. Характеристика фундаментальных видов взаимодействий.

Вид взаимо-действия

Взаимодейст-вующие части-

цы Проявление Механизм

Относитель-ная интен-сивность

Область действия,

м

Сильное тяжелые части-цы (кварки, ну-

клоны)

ядерные силы, обеспечивающие существование

ядер

обмен глюонами 1 10

–15

Электро-магнитное

заряженные частицы, фото-

ны

кулоновская си-ла, обеспечи-

вающая сущест-вование атома

обмен фотонами 10

–2 0...

Электро-слабое кварки, лептоны β–распад

обмен бозонами 10

–10 10–18

Гравитаци-онное

все тела вселен-ной

всемирное тяго-тение, обеспечи-вающее сущест-вование звезд, планетных сис-

тем

обмен гра-витонами (пока не

обнаруже-ны)

10–38 0...

Процесс испускания и поглощения элементарных частиц по своей природе является вероятностным, т.е. каждый отдельный акт взаимодейст-вия случаен, и можно говорить лишь об определенной вероятности его на-ступления. Поэтому общефизической является идея о статистичности по-ведения элементарных частиц. Поведение их описывается

- 12 -

статистическими законами. В случае больших тел число обмениваемых элементарных частиц очень велико и время взаимодействия велико, по-этому взаимодействие больших систем может быть описано не только ста-тистическими законами, но и усреднено динамическими законами.

Общефизической является идея о том, что динамические законы – результаты усредненного статистического подхода.

§ 1.4. Системы единиц измерения и размерность физических величин

Измерить какую-либо физическую величину – это значит сравнить ее с другой однородной физической величиной, принятой за единицу измере-ния. Следовательно, для измерения физических величин необходимо вы-брать единицы измерения (эталоны). Эталоны можно выбрать произволь-но, но они должны легко воспроизводиться в любом количестве и быть удобны для использования в практической деятельности.

Выбор единиц, их хранение и воспроизведение определяются мето-дологией, ВНИИ метрологии г. Санкт-Петербурга.

Чаще всего выбирают несколько эталонов для некоторых независи-мых физических величин и принимают их за основные. Эталоны всех ос-тальных величин, называемые производными, получают, пользуясь физи-ческими законами. Эталоны – это меры и измерительные приборы, предназначенные для хранения и воспроизведения единиц измерений с наивысшей достижимой при данном состоянии науки и техники точностью и принятые в общегосударственном или международном масштабе.

Совокупность основных и производных единиц образуют системы единиц. Т.к. выбор основных единиц произволен, то может быть построен целый ряд систем единиц СГС, в мех. СГСЭ, в эл. МКС МКГСС и др. В последнее время в качестве предпочтительной принята Международная система единиц СИ – единая система для всех разделов физики.

В этой системе основными единицами измерения являются: 1. длина (L), 2. масса (M ), 3. время (t), 4. температура (Tº), 5. количество вещества (ν), 6. сила тока (I ), 7. сила света (Jсв) и две дополнительные – радиан и стерадиан. Размерностью физических величин называется соотношение, на ос-

новании которого можно судить об изменении единицы сложной величи-ны вследствие изменения основных единиц.

Так для ускорения [a] = LT–2 – это значит, что при увеличении еди-ницы пути в n раз, в n раз увеличится и ускорение. При увеличении в m раз

- 13 -

единицы времени, единица ускорения уменьшится в m2 раз. Формулы размерностей единиц сложных величин устанавливают за-

кономерности, связывающие физические величины. Обозначим размерности так: [F] = [Н] – единица размерности силы;

[υ] = [м/с] – единица размерности скорости; [а] = [м/с2] – единица размер-ности ускорения и т.д.

Размерность любой физической величины в механике можно запи-сать в виде LαMβTγ, где α, β, γ – любые целые, дробные, положительные и отрицательные числа, в частности они могут быть равны 0.

Т.к. физические законы не зависят от выбора единиц измерения, вхо-дящих в них физических величин, то размерности обеих частей уравнений этих законов должны быть одинаковыми.

Это правило используется для проверки правильности полученного результата, а также для установления размерностей физических величин.

Иногда размерности частей уравнений не совпадают, тогда для уст-ранения этого недостатка в правую часть выражения добавляют коэффи-циент пропорциональности k. Значения k определяют опытным путем, а их размерности получают из основных законов (метод размерностей).

§ 1.5. Пространство и время в ньютоновской механике

Механика – это раздел физики, в котором изучается простейшая форма движения материи – механическая, т.е. движение тел в простран-стве и времени. Дадим развернутое определение «движению».

Движение – это изменение относительного положения тел в про-странстве с течением времени. В таком утверждении как бы заранее под-разумевается, что понятия «пространство» и «время» являются совершен-но естественными и не нуждающимися в каком-либо специальном, формальном определении.

В действительности оказывается, что сами эти понятия могут быть определены лишь через материальные предметы и события, с ними проис-ходящие. Можно сказать, что движение есть перемещение рассматривае-мого тела относительно других тел. Нет других тел – нет и движения. Та-ким образом, пространство задается расположением материальных объектов. Время, в свою очередь, воспринимается через последователь-ность событий.

В отличие от пространства, которое для нас представимо хотя бы ка-кими-то зрительными ассоциациями, время – понятие более абстрактное, основанное более всего на нашем жизненном опыте, который, в частности, свидетельствует о таком его фундаментальном свойстве, как однонаправ-ленность. На нем базируются понятия причинно-следственных связей.

Эта парадоксальная ситуация не приводит, однако, к каким-либо практическим затруднениям. Дело в том, что хотя мы и не можем сформу-лировать логически безупречного определения пространства или времени,

- 14 -

мы, тем не менее, можем сделать самое главное, что необходимо для опи-сания и изучения любого явления, а именно, мы можем указать способ из-мерения его свойств и способ представления результатов измерений на ма-тематическом языке. Введем определение: измерение какой-либо величины – это сравнение с однородной величиной, условно принятой за эталонную единицу измерения.

В течение долгого времени эталоном длины, который получил на-звание метр, служило определенное расстояние между двумя штрихами, нанесенными на стержне особой формы, изготовленном из сплава платины и иридия и находившемся в Международном бюро мер и весов во Фран-ции. И точные копии этого эталона имелись в других странах. Сейчас, од-нако, отказались от такого эталона, так как он слишком чувствителен к из-менению внешних условий и уже не удовлетворяет возросшим требованиям современной науки и техники. В настоящее время в качестве эталона длины принята длина волны электромагнитного излучения, кото-рое испускается атомом химического элемента криптона при определен-ном изменении его внутреннего состояния. На практике при этом по-прежнему пользуются привычной единицей длины в 1 метр, на котором укладывается 1 650 763,73 вышеуказанных эталонных длин волн.

Имея в своем распоряжении способ измерения пространственных интервалов между телами, можно на этой основе перейти к рассмотрению тех свойств пространства, которые могут быть исследованы с помощью указанных измерений. Таких свойств два: трехмерность и эвклидовость.

Трехмерность пространства определяется тем, что для однозначно-го определения положения одной точки пространства А относительно дру-гой В необходимо в общем случае задать три пространственных интервала.

Эвклидовость пространства определяется тем, что в нем выполня-ются все теоремы известной нам эвклидовой геометрии, такие, например, как теорема Пифагора или теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180°. Астрономические исследования свидетельствуют о том, что на доступных исследованию расстояниях (а это миллиарды световых лет) кривизна мирового пространства в среднем отсутствует. Имеются лишь указания на ничтожное локальное искривление пространства в непосред-ственной близости от звезд. Поэтому в рамках классической механики пространство считается эвклидовым.

Характерные пространственные масштабы, с которыми приходится сталкиваться при исследовании природы, приведены в табл.1.2.

Движение, как уже говорилось, происходит не только в пространст-ве, но и во времени. С доисторических времен в качестве меры времени было принято рассматривать какое-либо повторяющееся явление природы, так как число циклов, число повторов этого явления является удобным и естественным способом измерения времени. В течение многих столетий использовались хорошо известные песочные часы. Как любопытный исто-

- 15 -

рический факт, можно отметить, что Галилей при изучении законов дви-жения тел использовал в качестве часов биение собственного пульса. До недавнего времени единым эталоном времени являлся период обращения Земли вокруг своей оси. Точнее, за эталонную единицу времени, называе-мую секундой, принималась 1/86 400 часть средних суток. Однако сейчас за эталон времени принят период колебаний электромагнитного поля, ис-пускаемого атомами химического элемента цезия при определенном изме-нении их внутренней энергии. В течение одной секунды совершается 9 192 631 770 вышеуказанных эталонных колебаний.

Таблица 1.2. Пространственно-временные масштабы мира.

Пространство Время Между звездами

1016 м (световой год) Homo sapiens

1012 с (100000 лет) Солнечная система

1011 м Оборот Земли вокруг Солнца

107 с (один год) Земля 106 м

Оборот Земли вокруг оси 104 с (одни сутки)

Человек 1 м

Один удар сердца 1 с

Живая клетка 10–6 м

Прохождение электромагнитного импульса по нервному волокну

10–1 с Атом

10–10 м Время одной операции ЭВМ

10–9 с Атомное ядро

10–15 м Время жизни некоторых элементарных частиц

10–23 с Механика ставит перед собой две основные задачи: 1. Изучение различных движений и обобщение полученных резуль-

татов в виде законов движения – законов, с помощью которых может быть предсказан характер движения в каждом конкретном случае.

2. Отыскание общих свойств, присущих любой системе, независимо от конкретного рода взаимодействий между телами системы.

Решение первой задачи привело к установлению Ньютоном и Эйн-штейном так называемых динамических законов, решение же второй зада-чи – к обнаружению законов сохранения таких фундаментальных величин, как энергия, импульс и момент импульса. Это основные законы механики.

Механику обычно делят на 3 части: кинематику, статику, динамику. В кинематике рассматривается движение тел вне связи с причинами,

которые вызывают это движение или изменяют его. В статике изучаются законы равновесия одного тела или системы

тел.

- 16 -

В динамике рассматриваются законы движения тел и причины, кото-рые вызывают или изменяют движение.

Движение тел происходит в пространстве и во времени. Пространст-венно–временное описание движения возможно только тогда, когда вы-брана определенная система отсчета. Тело отсчета, связанная с ним систе-ма координат и синхронизированные между собой часы образуют систему отсчета.

Тело отсчета – тело, которое служит для определения положения интересующего нас тела, т.к. положение тела в пространстве может быть определено только по отношению к каким–либо другим телам.

Для описания движения в пространстве с телом отсчета связывают какую-нибудь систему координат. Для описания движения во времени используют часы.

Опыт показывает, что, пока скорости тел малы по сравнению со ско-ростью света, линейные масштабы и промежутки времени остаются неиз-менными при переходе от одной системы отсчета к другой, т.е. не зависят от выбора системы отсчета. Механику, изучающую движения тел именно в этих случаях, называют ньютоновской или классической.

При переходе же к скоростям, сравнимым со скоростью света, обна-руживается, что характер движения тел радикально меняется. При этом линейные масштабы и промежутки времени уже зависят от выбора систе-мы отсчета и в разных системах отсчета будут разными. Механику, осно-ванную на этих представлениях, называют релятивистской. Естественно, что релятивистская механика является более общей и в частном случае ма-лых скоростей переходит в классическую.

§ 1.6. Физические модели

Реальные движения тел настолько сложны, что, изучая их, необхо-димо отвлечься от несущественных для рассматриваемого движения дета-лей (в противном случае задача так усложнилась бы, что решить ее прак-тически было бы невозможно). С этой целью используют понятия (абстракции, идеализации, другими словами физические модели), приме-нимость которых зависит от конкретного характера интересующей нас за-дачи, а также от той степени точности, с которой мы хотим получить ре-зультат.

В механике пользуются следующими абстракциями: 1. материальная точка; 2. система материальных точек; 3. абсолютно твердое тело; 4. абсолютно упругое тело и др. Материальная точка (МТ) – это тело, размерами которого в услови-

ях данной задачи можно пренебречь. Ясно, что одно и то же тело в одних случаях можно рассматривать как материальную точку, в других же – как

- 17 -

протяженное тело. Система материальных точек – совокупность малых взаимодейст-

вующих между собой частиц, составляющих произвольное макроскопиче-ское тело или систему тел, причем каждая из частиц рассматривается как МТ.

Абсолютно твердое тело – это система материальных точек, рас-стояния между которыми не меняются в процессе движения. Реальное тело можно считать абсолютно твердым, если в условиях рассматриваемой за-дачи его деформации пренебрежимо малы.

Абсолютно упругое тело – тело, основными характеристиками кото-рого являются его упругие свойства, для которого силы однозначно опре-деляют деформации и наоборот.

Правильность выбранной абстракции подтверждается совпадением, определенной точностью результатов теории и опыта.

- 18 -

§ 2. Кинематика

§ 2.1. Векторный способ описания движения материальной точки

Поступательное движение – это такое движение, при котором лю-бая прямая, связанная с движущимся телом, остается параллельной самой себе (рис. 2.1). При изучении реальных движений тел часто бывает целесо-образно абстрагироваться от их размеров и рассматривать тела как матери-альные точки.

Существует три способа описания движения точки: векторный, ко-ординатный и траекторный.

В векторном способе положение интере-сующей нас точки А в декартовой системе коор-динат XYZ определяется с помощью радиус–вектора Ar

, проведенного из начала системы ко-ординат (рис. 2.2) до точки А(x, y, z). При движе-нии точки ее радиус–вектор в общем случае из-меняется как по модулю, так и по направлению, т.е. радиус–вектор в общем случае зависит от времени trr , и уравнения движения матери-альной точки имеют вид:

x = x(t); y = y(t); z = z(t). Разложение радиус–вектора по базису:

kzjyixr

, где i

, j

, k

– компоненты или составляющие по осям координатам (орты).

Модуль радиус–вектора: в пространстве: 222 zyxrr ;

на плоскости XY: 22 yxr ;

вдоль оси X: 2xr . Конец радиуса–вектора Ar

при движении материальной точки А опи-сывает в пространстве линию, называемую траекторией. (рис. 2.2).

Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой за время Δt, называется длиной пути (траектории) Δs и является скалярной функцией от времени s = Δs(t).

Вектор AB rrr

, проведенный из начального положения движу-щейся точки в положение ее в данный момент времени (приращение ради-ус–вектора точки за рассматриваемый промежуток времени), называется перемещением. При прямолинейном движении r совпадает с соответст-

А

Рис. А'

В'

А''

В''

Рис. 2.1

А

В

Z

X 0 Y

Ar

r

Br

Δs

Рис. 2.2

- 19 -

вующим участком траектории и модуль перемещения |r| равен пройден-ному пути s.

Разложение вектора перемещения по базису имеет вид: kzjyixr

, а модуль:

222 zyxrr . Величина, характеризующая быстроту изменения радиус–вектора,

называют скоростью . На участке траектории АВ вектор средней скоро-сти равен:

tr

и направлен в ту же сторону, что и вектор перемещения r . Скалярный

вид ts

– средняя путевая скорость. При Δt → 0 хорда АВ в пределе

совпадает с касательной к траектории движения:

dtrd

trlim

t

0

.

Мгновенная скорость (скорость в данный момент времени) есть век-торная величина, равная первой производной перемещения по времени. Разложение вектора скорости по векторам базиса:

kji zyx

, а модуль:

222zyx

. Величина, которая характеризует быстроту изменения скорости, на-

зывается ускорением а . Среднее ускорение – это отношение изменения скорости к промежутку времени Δt, в течение которого произошло это изменение:

ta

.

Направление совпадает с направлением вектора изменения скорости.

Скалярный вид t

a

. Мгновенное ускорение есть величина, равная

первой производной скорости по времени или второй производной ради-ус–вектора по времени:

2

2

0 dtrd

dtd

tlimat

.

Разложение вектора ускорения по базису: kajaiaa zyx

,

- 20 -

где 22

dtxd

dtda xx

, 22

dtyd

dtd

a yy

, 22

dtzd

dtda zz

,

а модуль: 222

zyx aaaaa .

Зная зависимость r(t), можно найти скорость и ускорение точки в каждый момент времени.

Возникает и обратная задача: нахождение υ(t) и r(t), при заданной зависимости a(t). Для получения однозначного решения этой задачи, необходимо еще знать начальные условия, а именно скорость υ0 и радиус–вектор r0 точки в некоторый начальный момент t = 0. Решение обратной задачи проводится путем интегрирования.

В СИ единица размерности: [s] = [м], [υ] = [м/с] и [a] = [м/с2].

§ 2.2. Координатный способ описания движения материальной точки

В координатном способе описания движения с выбранным телом от-счета жестко связывают определенную систему координат. Выбор той или иной системы координат определяется рядом соображений: характером или симметрией задачи, постановкой вопроса, а также стремлением упростить само решение. Ограничимся здесь декартовой системой координат XYZ.

Запишем проекции на оси X, Y, Z радиуса–вектора r(t), характери-зующего положение интересующей нас точки относительно начала коор-динат в момент t:

x = x(t); y = y(t); z=z(t). Проекции векторов скорости и ускорения на ось X:

dtdx

x , 22

dtxd

dtda xx

,

где dx – проекция вектора перемещения dr на ось X; dυx – проекция вектора приращения скорости dυ на ось X. Аналогичные соотношения получаются для у– и z–проекций соответствующих векторов.

Таким образом, зависимости:

tzztyytxx

trr

полностью определяют движение точки. Зная их, можно найти не только положение точки, но и проекции ее скорости и ускорения, а следовательно, модуль и направление векторов и a в любой момент времени.

Типы движения различают в зависимости от величины ускорения: 1. общий случай, движение с переменным ускорением a = f (t), 2. частный случай: равнопеременное движение a = const, 3. частный случай: равномерное движение a = 0.

- 21 -

Рассмотрим частные случаи движения. Путь, пройденный точкой, находится методом дифференцирования и

интегрирования. Разобьем весь участок пути на маленькие элементарные участки длиной ds, и будем считать, что движение в пределах этой длины прямолинейное и равномерное. Путь ds, пройденный точкой за время Δt равен ds = υ dt. Проинтегрируем по времени от t до t + Δt и найдем весь путь, пройденный точкой:

tt

t

s

s

dtds0

.

Равномерное движение характерно тем, что скорость точки остается постоянной во все время движения, т.е. const ; 0a . Тогда путь равен:

tt

t

tt

t

tsdtsdtss 000 .

В случае прямолинейного движения понятия «путь» и «перемеще-ние» совпадают, поэтому s = x – x0. Координата точки за время перемеще-ния Δt определяется в виде:

x = x0 + υ Δt, где x0 – начальная координата.

Равноускоренное движение характерно тем, что ускорение точки ос-тается постоянным, т.е. const ; constaa

; 0na . Тогда путь равен:

2

2

000 0 0 0

00000attstdtadtsdtatsdtss

t t t t

, где υ0 – начальная скорость.

Тогда движение точки описывается системой уравнений: общий случай: равнопеременное движение: равномерное движение:

tfsdtds

dtdtfa

s

a

,

2

2

00

0

attss

atconsta

,

tssconst

a

00

0.

§ 2.3. Траекторный способ описания движения материальной точки

«Естественный» или траекторный способ описания движения при-меняют тогда, когда траектория точки известна заранее.

В общем случае траекторией является кривая, плоская или простран-ственно искривленная. Движение материальной точки по произвольной кривой в течение малого интервала t можно представить как движение по элементу дуги некоторой окружности с центром в точке О, лежащей в соприкасающейся плоскости (рис.2.3). Радиус R такой окружности называ-

- 22 -

ется радиусом кривизны траектории в точке М, а обратная величина R-1 – кривизной траектории в точке М. В процессе движения материальной точки положение центра окружности О, а вместе с ним радиус и кривизна траектории изменяются.

Таким образом, движение тела по произвольной траектории можно представить как последовательный ряд поступательных или вращательных движений по разным радиусам кривизны траектории.

При криволинейном движении полное ускорение складывается из тангенциального и нормального ускорения (рис. 2.3).

Тангенциальное (касательное) ускорение определяется как:

dtda

и характеризует быстроту изменения скорости точки по модулю, – единичный вектор каса-тельной в данной точке траектории.

Нормальное ускорение na (центростреми-

тельное) определяется выражением:

nR

an 2

,

где n – единичный вектор нормали, R – радиус кривизны. Полное ускорение:

naaa

, а его модуль по теореме Пифагора:

22naaa или

222

Rdtda .

Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения – быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

§ 2.4. Вращательное движение материальной точки

Вращательное движение – это движение, при котором все точки те-ла движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Пусть радиус окружности, описываемой неко-торой точкой, равен R, а её линейное перемещение – Δs (рис.2.4). Ее положение через промежуток вре-мени Δt зададим углом Δφ. Модуль вектора d ра-вен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, если его вращать в направлении движения

d

Δs R Δφ

Рис. 2.4

a n

na a

Рис. 2.3

R M

O

- 23 -

точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта. sin Δφ = Δs/R или для малых углов поворота sin Δφ ≈ Δφ и Δs = R Δφ. По-скольку векторы Δs = ds и Δφ = dφ, то ds = R dφ.

Если за промежуток времени Δt тело поворачивается на угол Δφ, то быстрота его вращения характеризуется угловой скоростью. Мгновенная угловая скорость равна первой производной от угла поворота радиус–вектора по времени:

dtd

tlimt

0.

Вектор направлен вдоль оси вращения, его направление можно определить, пользуясь правилом правого винта.

Если const , то вращательное движение является равномерным. Время одного полного поворота тела вокруг оси вращения называют пе-риодом обращения Т, а величину ν, обратную периоду, – частотой: ν = 1/T. За один период Δt = T угол поворота радиус–вектора точки, равен

Δφ = 2π рад, а угловая скорость .Т

22

Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ус-корением. Мгновенное угловое ускорение равно первой производной от уг-ловой скорости по времени или второй производной от угла поворота ра-диус–вектора по времени:

.dtd

dtd

tlimt 2

2

0

Угловое ускорение является векторной величиной. При ускоренном вращении направление вектора совпадает с направлением вектора , при замедленном вращении ε противонаправлен ему.

Векторы, направление которых связывают с направлением вращения, называют аксиальными. Аксиальные вектора всегда лежат на оси враще-ния. Векторы углового перемещения, угловой скорости и углового ускоре-ния аксиальные.

Получим формулы, связывающие линейные и угловые характери-стики. Дифференцируя равенство ds = R dφ по времени, получаем

dtdR

dtds

. С учетом направлений получим взаимосвязь между линейным и

угловым ускорением: ,R .

Дифференцируя равенство ds = R dφ по времени дважды, получаем соотношение между тангенциальным и угловым ускорением:

2

2

2

2

dtdR

dtsd

или: Ra .

- 24 -

Нормальное или центростремительное ускорение:

RRR

Ran

2222

.

Полное ускорение точки: 42242222 RRRааа n .

Равномерное вращение характерно тем, что угловая скорость точки остается постоянной во все время движения, т.е. const . Тогда угол по-ворота равен:

tt

t

tt

t

tdtdt 000 .

Равноускоренное вращение характерно тем, что ускорение точки ос-тается постоянным, т.е. const . Тогда угол поворота равен:

2

2

000 0 0 0

00000ttdttdtdttdt

t t t t , где ω0 – начальная скорость.

Вращательное движение точки описывается системой уравнений: общий случай: равнопеременное движение: равномерное движение:

tfdtd

dtdtf

,

2

2

00

0

tt

tconst

,

tconst

00

0.

В СИ единица размерности: [φ] = [рад], [ω] = [рад/с] и [ε] = [рад/с2].

§ 2.5. Виды движения абсолютно твердого тела

Использование модели материальной точки для описания движения реальных тел не всегда приводит к корректным результатам. В таких слу-чаях пользуются моделью абсолютно твердого тела, что приводит к неко-торому усложнению математического описания движения.

Различают пять видов движения твердого тела: 1. поступательное; 2. вращение вокруг неподвижной оси; 3. плоское движение; 4. движение вокруг неподвижной точки; 5. свободное движение. Первые два вида движения являются основными движениями твер-

дого тела. Остальные виды движения твердого тела можно свести к сово-купности основных движений.

Поступательное движение. Это такое движение твердого тела, при

- 25 -

котором любая прямая, связанная с телом, все время остается параллель-ной своему начальному положению.

При поступательном движении все точки твердого тела совершают за один и тот же промежуток времени равные перемещения. Поэтому ско-рости и ускорения всех точек тела в данный момент времени одинаковы. Это обстоятельство позволяет свести изучение поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной точки тела.

Таким образом, поступательное движение твердого тела может быть полностью описано, если известны r(t) любой точки этого тела и положе-ние последнего в начальный момент.

Вращение вокруг неподвижной оси. Это такое движение твердого тела, при котором траектория любой точки вращающегося тела, представля-ет собой концентрическую окружность, центр каждой траектории лежит на одной оси. Пусть твердое тело, вращаясь вокруг неподвижной в данной сис-теме отсчета оси OO', совершило за время dt бесконечно малый поворот dφ.

Соответствующий угол поворота будем ха-рактеризовать вектором d , модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью OO', причем так, что направление поворота отвечает правилу правого винта по отношению к направле-нию вектора d (рис.2.5).

Теперь найдем элементарное перемещение любой точки А твердого тела при таком повороте. Положение точки А зададим радиусом–вектором r , проведенным из некоторой точки О на оси враще-ния. Тогда dr (рис.2.5) связано с углом поворота dφ соотношением:

dsinrrd , или r,drd . Кроме того, введенный нами вектор d удовлетворяет основному

свойству векторов – векторному сложению: r,dr,dr,drdrdrd 2121 ,

т.е. два поворота (dφ1 и dφ2) эквивалентны одному повороту на угол dφ = dφ1 + dφ2 вокруг оси, совпадающей с вектором dφ и проходящей через точку O.

Плоское движение твердого тела. Это такое движение, при котором каждая точка твердого тела движется в плоскости, парал-лельной некоторой неподвижной (в данной системе отсчета) плоскости.

Плоское движение твердого тела будет описываться двумя уравнениями:

r = r(t) и φ = φ(t).

dφ

O

A rd

α

O' d

r

Рис.2.5

φ О'

A K

r

Рис.2.6

r

0r

K'

О X X'

Y' Y

- 26 -

Если за промежуток времени dt радиус-вектор r' точки А (рис.2.6) повернется на угол dφ, то на такой же угол повернется и любой отрезок, связанный с фигурой. Другими словами, поворот фигуры на угол dφ не за-висит от выбора точки О'. А это значит, что и угловая скорость ω фигуры тоже не зависит от выбора точки О', и мы имеем право называть ω угловой скоростью твердого тела как такового.

Найдем скорость υ произвольной точки А тела при плоском движе-нии. Введем вспомогательную K'–систему отсчета, которая жестко связана с точкой О' тела и пер�