WaarskynlikheidWaarskynlikheid: Dit beteken: Wat is die kans dat iets sal gebeur. Baie gebeurtenisse se uitkomste kan nie met sekerheid voorspel word nie. Die beste wat mens kan doen is om te sê wat die kans is dat dit sal gebeur. So sal die weervoorspeller bv. sê dat die kans op reën 40% is. Dit beteken dat die waarskynlikheid op reën 40% is. Mens kan waarskynlikheid as 'n persentasie of as 'n beuk

(ook desimaal) gee. Dit word gewoonlik as 'n breuk gegee. Die waarskynlikheid op reën is dus 0,4 of 410

=25

. Die afkorting daarvoor is P (vanaf die woord “probability”)Dit behoort duidelik te wees dat die waarskynlikheid dat iets gaan gebeur nooit meer as 100%, dus 1, of laer as 0 kan wees nie. Waarskynlikheid is dus 'n getal tussen 0 en 1. As die waarskynlikheid op 'n gebeurtenis se uitkoms 0 is, noem ons dit 'n onmoontlike gebeurtenis. 'n Voorbeeld: Maandag is die dag na Dinsdag. As die waarskynlikheid op 'n gebeurtenis se uitkoms 1 is, noem ons dit 'n seker gebeurtenis. 'Voorbeeld: Maandag is die dag voor Dinsdag.

Die volgende skets toon die terme aan:

Die volgende woorde word saam met waarskynlikheid gebruik:Eksperiment: 'n Onseker proses, soos gooi 'n dobbelsteen.Uitkoms: 'n Enkele resultaat van die eksperiment, dit wat bo is na die gooi.Steekproefruimte: Alle moontlike uitkomste van 'n eksperiment. Dit word gewoonlik met die letter S aangedui. In hierdie voorbeeld is dit 1;2; 3; 4; 5; 6Gebeurtenis: Die uitkoms(te) van die eksperiment waarin jy belang stel, soos dat daar 'n 6 bo staan.

Waarskynlikheid: Die kans dat 'n gebeurtenis sal plaasvind, in hierdie voorbeeld: P(6 bo) = 16

Waarskynlikheid kan op twee maniere bepaal word, nl. Empiriese waarskynlikheid en Teoretiese waarskynlikheid.Empiriese WaarskynlikheidOm hier die waarskynlikheid te bepaal dat daar 'n 6 bo sal wees wanneer mens 'n dobbelsteen gooi, sal jy die dobbelsteen (bv.)100 keer gooi en tel hoeveel keer daar 'n 6 bo is. Gestel dit gebeur 19 keer, dan is

P( 6 bo) = 19100 = 0,19.

1

Hier is die volgende begrippe ter sprake:FrekwensieDit is die aantal keer wat 'n sekere uitkoms bereik word.Relatiewe FrekwensieHoe veel keer iets gebeur gedeel deur al die uitkomste.Voorbeeld: Julle span wen 9 uit die 12 wedstryde wat julle gespeel het. Die frekwensie van wenner is 9.

Die relatiewe frekwensie is 912

= 34 . Dit beteken dat die waarskynlikheid dat julle span gaan wen is ¾ .

Voorbeelde:1 In 'n klas word die kinders gevra van watter soort musiek hulle hou. dit word as volg opgesom:

Tipe Musiek Frekwensie Relatiewe FrekwensiePop 11 11

30Rock 7 7

30Hip-hop 8 8

30Ander 4 4

30Totaal 30 1

2 92 Mense is gevra hoe hulle verkies om werk toe te gaan: 40 ry met hul motor 35 ry met publiekevervoer 6 ry fiets 11 stap

Bepaal die relatiewe frekwensies.

Kar: 4092 ; Publiekevervoer:

3592 ; Fiets:

692 ; Loop:

1192

en 4092 +3592

+ 692

+ 1192

=1

Relatiewe frekwensie en Empiriese waarskynlikheid is dus basies dieselfde.Teoretiese WaarskynlikheidDit kan bereken word as die aantal maniere waarop 'n gebeurtenis kan plaasvind, gedeel deur totale aantal maniere in die steekproef.Voorbeeld: Die waarskynlikheid dat 'n dobbelsteen op 'n 6 sal land:

Daar is 1 manier waarop dit op 'n 6 kan land, maar daar is 6 moontlike uitkomste. Dus P (6 )=16 .

Die formule om waarskynlikheid uit te werk lyk hier as volg: P (A )=n (A )n (S )

In woorde beteken dit: Die Waarskynlikheid dat gebeurtenis A sal plaasvind is gelyk aan die aantal maniere waarop dit kan plaasvind gedeel deur die totale aantal uitkomste wat daar kan wees.

2

Voorstelling van Gebeurtenisse:As 'n Versameling. 'n Versameling kan bv. die stel klere wat jy dra wees:

In wiskunde skryf ons versamelings in krulhakies: {skoene; sokkies; broeke; hemde; krale; horlosies;.....}Die natuurlike getalle kan ook as 'n versameling geskryf word: {1; 2; 3; .....}Of die uitkomste wanneer mens 'n dobbelsteen gooi: {1; 2; 3; 4; 5; 6}Gebeurtenisse kan ook as 'n versameling geskryf word: A= Jy kry 'n priemgetal bo met die dobbelsteen: {2; 3; 5} en B= jy kry 'n ewe getal bo: {2; 4; 6}.Venn-diagramme'n Venn-diagram is 'n grafiese manier om versamelings voor te stelIndien daar twee gebeurtenisse A en B is, kan die Venn-diagram as volg lyk:

VoorbeeldGestel jy neem jou beste vriende: {Alex; Brett; Carel; Dries; Eduan; Frits; Pieter}Nou kyk jy wie van hulle speel rugby: R= {Alex; Carel; Dries; Frits}En wie speel krieket: K={Alex; Brett; Dries; Eduan}Hierdie is voorgestel deur versamelings. As ons dit met Venn-diagramme voorstel, lyk dit as volg:

3

Alex

Brett

Dries

Eduan

K

Alex

Carel

Dries

Frits

R

Daar is egter van jou vriende wat beide sportsoorte doen. Dit kan as volg voorgestel word:

Vereniging en Snydingvan versamelingsDie Venn-diagram toon heelwat inligting baie maklik:Jy kan dadelik sien wie rugby speel, wie krieket speel en jy kan selfs sien wie rugby en krieket speel. Mens kan ook dadelik sien wie aan geen sportsoort deelneem nie.Die vereniging van versamelings in waarskynlikheid word met die woord "OF" en met die simbool ∪ voorgestel. Dit is die stel elemente wat in al die versamelings voorkom.Dus is R of K = {Alex; Brett; Carel; Dries; Eduan; Frits} – dit is al jou vriende wat rugby en/ of krieket speel.Die snyding van versamelings is die elemente wat in beide versamelings is. Dit word voorgestel met ⋂. Die woord EN kan ook gebruik word.Dus sal R EN K = {Alex; Dries}. Dit is jou vriende wat beide rugby en krieket speel.Waarskynlikheid IdentiteitKom ons kyk weer na ons Venn-diagram. Gestel jy wil bepaal wat R OF K is. As jy alles in beide versamelings neem, kry jy { Carel; Frits; Alex; Dries; Alex; Dries; Brett; Eduan}. Maar Alex en Dries kom twee keer voor omdat hulle beide sportsoorte doen. Ons moet hulle name dus een keer aftrek. Dit gee gevog tot die volgende formule: P(A of B) = P(A) + P(B) – P(A en B).In ons voorbeeld sal dit wees: P(R of K) = P(R) + P(K) – P(R en K).

In hierdie voorbeeld is P(R)= 47 ; P(K) =

47 , P(R of K) =

67 en P(R en K) =

27 . Dit toon aan dat die vergelyking

waar is: 67=47+ 47−27 .

Onderling Uitsluitende GebeurtenisseGebeurtenisse is onderling uitsluitend as hulle nie saam kan voorkom nie. Ons voorbeeld met die rugby en krieket is nie onderling uitsluitend nie, want daar is van jou vriende wat rugby en krieket speel. Op 'n Venn diagram lyk dit as volg. Hier is die een versameling ewe getalle en die ander onewe getalle:

4

Dit is nie nodig dat die twee versamelings al die elemente moet bevat nie. Gestel ons kies al die dae van die week. Verder kies ons S = dae wat met 'n S begin en D = dae wat met 'n D begin. Dan is S en D onderling uitsluitend, maar daar is ook elemente wat nie in een van die twee voorkom nie, soos byvoorbeeld Maandag. Let op dat as twee gebeurtenisse, A en B, onderling uitsluitend is, verander die waarskynlikheid formule wat ons gebruik het na: P(A of B) = P(A + P(B). Dit is natuurlik omdat P(A en B) = 0Komplementêre GebeurtenisseDaar is 'n spesiale manier in waarskynlikheid om te sê: “Alles wat nie is nie”. As R al jou vriende is wat rugby speel, dan sal R' al jou vriende wees wat nie rugby speel nie. Dit word die komplement van A genoem. In ons voorbeeld sal R' = {Brett; Eduan; Pieter}. Let op dat dit ook vir Pieter insluit. Op 'n Venn-diagram kan dit as volg voorgestel word:

Die gedeelte wat ingekleur is, is R', dus al jou vriende wat NIE rugby speel nie. Dit behoort duidelik te wees dat R en R' geen gemeenskaplike elemente het nie, maar dat hulle saam die hele versameling vorm. Dit beteken dat:P(A en A') = 0 en P(A of A') = 1. Dit beteken natuurlik dat P(A') = 1 – P(A).Om dit duidelik te maak, kan ons die volgende voorbeeld gebruik: As die kans op reën 20% is, is die kans op Nie-reën 80%.

As 'n koppie 23 vol is, is dit

13 leeg. As die waarskynlikheid dat jy gr 10 gaan slaag 0,9 is, is die

waarskynlikheid dat jy dit nie gaan slaag 0,1.

Onthou dat alle komplementêre gebeurtenisse is ook onderling uitsluitend, maar onderling uitsluitende gebeurtenisse is nie noodwendig komplementêr nie.Werkkaart 11 40 Studente in 'n klas is gevra van watter TV reeks hulle die meeste hou. Die volgende tabel is

opgestel:TV Reeks FrekwensieTwilight 10Harry Potter 6Binnelanders 12Big Bang 9Suits 3

Bereken die relatiewe frekwensie dat 'n student na Binnelanders kyk.

Antwoord: 1240

= 310

5

2 As A = {1, 3, 5, 7, 9} en B = {2, 3, 5, 7}, bepaal2.1 A of B 2.2 A en B2.3 P(A)Antwoorde:2.1 {1; 2; 3; 5; 7; 9} 2.2 {3; 5; 7}

2.3 P(A) = 56

3 Gestel S = natuurlike getalle kleiner of gelyk aan 10.A = priemgetalle in S, B= ewe getalle in S en C = faktore van 9.

3.1 Stel dit met 'n Venn-diagram voor.3.2 Bepaal P(A of C)3.3 P(A en B)Antwoorde:3.1

3.2 A OF C= {1; 3; 5; 7; 9}

dus P(A of C) = 510

=12

3.3 P(A en B) = 110

4 'n Pakkie het pienk en wit lekkers in. Die waarskynlikheid dat 'n willekeurig gekose lekker pienk wal wees, is 0,47. Wat is die waarskynlikheid dat dit wit sal wees?

Antwoord: 0,53

5 Jy kies 'n willekeurige kaart uit 'n gewone pak van 52. Bereken die waarskynlikheid dat die kaart 'n5.1 hart is 5.2 koning is5.3 rooi kaart isAntwoorde:

5.11352

=14 5.2

452

= 113 5.3

12

6 In 'n parkeerterrein is daar 400 motors waarvan 240 Volkswagen is. Wat is die waarskynlikheid dat die eerste motor wat uitry nie 'n Volkswagen is nie.

Antwoord: 160400

=25

7 Daar is 30 kinders in 'n klas wat van Wiskunde en/of Biologie hou.. Van die 30 hou 10 net van Wiskunde en 15 hou net van Biologie. Gebruik 'n Venn diagram en bepaal hoeveel kinders van Wiskunde hou.

Antwoord:

6

8 In 'n opname by 'n skool met 600 leerlinge is gevind dat tydens pouse: 50 leerlinge niks gekoop het nie 400 het lekkers gekoop 300 het 'n broodjie gekoop

8.1Stel dit in 'n Venn diagram voor.8.2Wat is die waarskynlikheid dat 'n leerling lekkers en 'n broodjie gekoop het?Antwoorde:

8.1 8.2 P(L en B) = 150600

=14

Afhanklike en onafhanklike gebeurtenisseOnafhanklike gebeurtenisse is gebeurtenisse wat nie van mekaar afhanklik is nie. Die uitkoms van die een gebeurtenis beïnvloed nie die uitkoms van die ander gebeurtenis nie.'n Voorbeeld is die kleur van jou oë hang nie af van watter dag van die week dit is nie. Afhanklike gebeurtenisse is waar die een gebeurtenis se uitkoms die ander beïnvloed, bv. jou punt vir wiskunde sal afhang van hoe hard jy geleer het.Reël: A en B is onafhanklik as P(A en B) = P(A).P(B)Hierdie reël gaan beide kante toe, dus as P(A en B) = P(A).P(B) dan is A en B onafhanklik.NB Indien P(A en B) ≠ P(A).P(B) kan daar geen uitspraak gemaak word sonder verdere navorsing nie, want óf P(A) hang af van P(B), óf anders om.Handige formules:

P(A en B) P(A of B)

Onderling uitsluitend 0 P(A) + P(B)

Onafhanklik P(A).P(B) P(A) + P(B) – P(A en B)=P(A) + P(B) – P(A).P(B)

Werkkaart 21 A en B is onafhanklik. P(A) = 0,5 en P(B) = 0,4. Bepaal P(A of B).Antwoord:

As A en B onafhanklik is, is P(A en B) = P(A).P(B), dus P(A en B) = 0,5 x 0,4 = 0,2Nou gebruik ons die formule P(A of B) = P(A) + P(B) – P(A en B):P(A of B) = 0,5 + 0,4 – 0,2 = 0,7

2 A en B is onafhanklik. P(A) = 0,6 en P(A of B) = 0,8. Bepaal P(B).Antwoord:

As A en B onafhanklik is, is P(A en B) = P(A).P(B), dus kan ons die formule P(A of B) = P(A) + P(B) – P(A en B) verander na: P(A of B) = P(A) + P(B) – P(A).P(B). Vervang nou wat jy kan: 0,8 = 0,6+P(B) – 0,6.P(B). Dit gee 0,2 = 0,4.P(B), dus P(B) = 0,5

7

3 In 'n waarskynlikheid eksperiment is bevind dat P(A) = 0,25; P(B) = 0,5 en P(A B) = 0,625. Bereken P(A B). Bepaal nou, met redes, of die eksperiment (a) onderling uitsluitend en/of (b) onafhanklik is.

Antwoord:Ons gebruik weer die formule P(A of B) = P(A) + P(B) – P)A en B). Dit gee 0,625 = 0,25 + 0,5 – P(A en B), dus P(A en B) = 0,125.(a) Omdat hierdie antwoord nie 0 is nie, is die nie onderling uitsluitend nie. (b) P(A).P(B) = 0,25 x 0,5 = 0,125. Omdat P(A en B) = P(A).P(B) is dit onafhanklik.

Moeiliker VenndiagrammeVoorbeeld:'n Opname onder 80 vroue het die volgende leesvoorkeure getoon:

44 lees Sarie 35 lees Rooi Rose 39 lees Huisgenoot 23 lees beide Sarie en Huisgenoot 19 lees beide Rooi Rose en Huisgenoot 9 lees al drie tydskrifte 69 lees ten minste een tydskrif

1 Stel die inligting met 'n venndiagram voor.2 Hoeveel lees geen tydskrif nie?3 Hoeveel lees Sarie en Rooi Rose maar nie Huisgenoot nie?4 Wat is die waarskynlikheid dat 'n vrou wat ewekansig gekies is presies een van die tydskrifte lees?Oplossing:Begin altyd en vul eerste die snyding van al drie sirkels in. Vul daarna die snyding van twee sirkels in en laaste die sirkels self. Indien een van die snydinge onbekend is, maak dit x en werk daarmee. Jy sal dan 'n vergelyking kan opstel om x mee uit te werk.

2 11 lees geen tydskrif3 Nou moet ons 'n som doen:

21 – x + x + 16 – x + 9 + 14 + 10 + 6 = 89, dus x = 7. Dus lees 7 vroue Sarie en Rooi Rose maar nie Huisgenoot nie.

4 Daar is 14 + 6 + 11 = 31 :P(net een tydskrif) = 3180

=0,39

8

Boomdiagramme'n Boomdiagram werk baie goed om waarskynlikheid te bereken as die eksperiment hoogstens drie keer herhaal en daar nie meer as drie moontlike uitkomste is nie. Voorbeeld:Die waarskynlikheid om die eerste antwoord in ʼn toets reg te hê, is 0,6. As die eerste antwoord reg is, is die waarskynlikheid om die tweede antwoord reg te hê weer 0,6. As die eerste antwoord egter verkeerd is, is die waarskynlikheid om die tweede antwoord reg te hê slegs 0,45. Teken ʼn boomdiagram en gebruik dit om die waarskynlikheid te bereken om minstens een antwoord reg te hê.Oplossing:Hier word die eksperiment net twee keer herhaal en daar is telkens twee moontlike uitkomste. Elke tak in die boom is 'n uitkoms en elke vertakking 'n nuwe eksperiment.

Let op dat die totale waarskynlikheid gelyk aan 1 moet wees.Dus 0,6 x 0,6 + 0,6 x 0,4 + 0,4 x 0,45 + 0,4 x 0,55 = 1.Die vraag is minstens een antwoord reg. Dit beteken een antwoord of twee antwoorde. Dit gee drie van die stamme. In hierdie geval is dit makliker om die teenoorgestelde, of komplement, uit te werk en die antwoord van 1 af te trek:P(minstens een reg) = 1 – P(niks reg) = 1 – 0,4 x 0,55 = 0,78

GebeurlikheidstabelleVoorbeeld:Die data in die tabel is verkry vanaf die finansiëlehulp kantoor by 'n universteit:

Ontvang finansiële hulp Ontvang nie finansiële hulp nie TotaalVoorgraads

4222 8120

Nagraads 731Totaal 6101 10730

1 Voltooi die tabel.2 Bepaal die waarskynlikheid, korrek tot vier desimale syfers, dat 'n willekeurig gekose student2.1 finansiële hulp ontvang2.2 'n voorgraadse student is2.3 'n voorgraadse student is wat finansiële hulp ontvang.

9

3 Is die gebeurtenisse om 'n voorgraadse student te wees en om finansiële hulp te ontvang onafhanklik? Staaf jou antwoord met die nodige bewerkings.

Oplossing:1

Ontvang finansiële hulp Ontvang nie finansiële hulp nie TotaalVoorgraads

4222 3898 8120

Nagraads 1879 731 2610Totaal 6101 4629 10730

2.1 P(F) = 610110730 = 0,5686

2.2 P(V) = 812010730

=¿0,7568

2.3 P(F en V) = 422210730 = 0,3935

3 P(F) x P(V) = 610110730

× 81210730

=¿0,4303

Aangesien P(F) x P(V) ≠ P(F en V) is die twee gebeurtenisse nie onafhanklik nie.Werkkaart 31 P(A) = 0,3 en P(B) = 0,5. Bereken P(A of B) indiena) A en B onderling uitsluitend isb) A en B onafhanklik isAntwoord:a) P(A of B) = P(A) + P(B) = 0,8b) P(A en B) = P(A).P(B) = 0,15

P(A of B) = P(A) + P(B) – P(A en B) = 0,3 + 0,5 – 0,15 = 0,65

2 Daar is 14 balle in ʼn sak waarvan 6 blou en 8 pienk is. Een bal word uitgetrek, die kleur neer geksryf en dit word nie terug geplaas nie. Daarna word ʼn tweede bal uitgetrek en die kleur neer geskryf. Gebruik ʼn boomdiagram en bereken die waarskynlikheid dat daar presies een van elke kleur getrek is.

Antwoord:

P(een van elke kleur) = 614× 813

+ 814× 613

=4891

=0,53

10

3 Susan moet met haar fiets skool toe ry, en sy kom soms laat. Die waarskynlikheid dat dit die oggend gaan reën, is 40%. As dit reën is die waarskynlikheid dat Susan laat gaan wees 75%, en as dit nie reën nie, is die waarskynlikheid dat sy laat gaan wees 20%. Bereken die waarskynlikheid dat Susan laat gaan wees.

P(Laat) = 0,4 x 0,2 + 0,6 x 0,75 = 0,53

4 Vyf mans, waarvan drie rooi kepse en twee geel kepse dra, ry in 'n motor. Hulle kom by 'n vurk in die pad waarby daar geen aanwysingsborde is nie. Daar is egter ses werkers, waarvan vier rooi kepse en twee geel kepse dra, by die kruising besig. Een van die reisigers word willekeurig gekies om vir een van die werkers die pad te vra. Die werker sal die waarheid praat as die reisiger dieselfde kleur keps as hy dra, anders nie, maar die reisigers weet dit nie. Bereken die waarskynlikheid dat die korrekte informasie verkry sal word. Gebruik ʼn boomdiagram.

P(Korrek) =

0,6× 46+0,4× 2

6= 815

=0,53

5 Vyf rooi en vyf wit skyfies word willekeurig in twee houers, A en B, geplaas. Drie van die rooi en een van die wit skyfies beland in houer A en al die ander in houer B. 'n Houer moet eerstens gekies word, en daarna word 'n skyfie willekeurig getrek. Teken 'n boomdiagram wat die situasie sal voorstel. Gebruik dit, of andersins, om die waarskynlikheid te bepaal dat dit 'n rooi skyfie is wat getrek word.

Antwoord:

P(Rooi) =

0,5×0,75+0,5× 26=1324

=0,54

11

6 Die graad 12 klas van Beste HS het 270 wat IT neem, 300 wat Wiskunde neem en 650 wat Kuns neem. Al die leerlinge wat IT neem, neem ook Wiskunde. Daar is 20 wat IT en Kuns neem en 35 wat Wiskunde en Kuns neem. Stel die inligting met 'n Venn-diagram voor en gebruik dit om die waarskynlikheid te bepaal dat 'n willekeurig gekose leerling slegs Wiskunde neem.

Antwoord:

7 In 'n opname is 1530 valduikers gevra of hulle al 'n ledemaat gebreek het. Die uitslag van die opname was soos volg:

7.1 Bereken die waardes van a, b, c en d.7.2 Bereken die waarskynlikheid om ewekansig in die opname 'n vroulike valduiker te kies wat nie

'n7ledemaat gebreek het nie.7.3 Is om 'n vroulike valduiker te wees en om al 'n ledemaat te gebreek het, onafhanklik van mekaar?

Gebruik berekeninge, korrek tot TWEE desimale syfers, om jou antwoord te motiveer.Antwoord:7.1 a = 450, b = 319, c = 298, d = 748

7.22981530

0,1948

7.3 P(V) x P(B) = 7481530

× 9131530

=0,2917 en P(V en B) = 4501530

=0,29411

Dit is onafhanklik.

12

8 By 'n dogterskool is daar 240 leerders in Graad 12. Die volgende inligting oor deelname aan skoolsport is ingesamel: 122 dogters speel netbal (N) 58 dogters speel hokkie (H) 96 dogters speel sagtebal (S) 16 dogters neem aan al drie sportsoorte deel 22 dogters neem aan netbal en hokkie deel 26 dogter neem aan hokkie en sagtebal deel 26 dogters neem aan geeneen van die sportsoorte deel nie.

Laat die aantal dogters wat slegs netbal en sagtebal speel x wees. 8.1 Vul die inligting op 'n Venn-diagram in.8.2 bepaal die aantal dogters wat netbal en sagtebal speel.8.3 Bepaal die waarskynlikheid dat 'n willekeurig gekose dogter sagtebal sal speel.Antwoorde:8.1

8.2 100− x+x+70−x+58+26=240x=¿ 14 . Dus 30 speel netbal en sagtebal.

8.3 P(S) = 96240

=25=0,4

9 P(A) = 0,3 en P(B) = 0,5. Bereken P(A of B) indien9.1 A en B onderling uitsluitend is 9.2 A en B onafhanklik isAntwoorde9.1 P(A of B) = 0,3 + 0,5 = 0,89.2 P(A of B) =P(A) + P(B) – P(A).P(B) =0,3 + 0,5 – 0,3 . 0,5 = 0,6510 Die tabel toon 'n toets deur meisies en seuns en of hulle 'n toets geslaag het of nie. Die geslag is onafhanklik van of die toets geslaag is.

Meisies Seuns TotaaalSlaag a b 70Druip c d 30Totaal 60 40 100

Bepaal die waardes van a,b, c en d.

Oplossing:

Omdat onafhanklik: P (M )×P (S )=P (Men S)

Dus 0,6×0,7=a100 , dus a = 42 en b = 18. Verder is c = 28 en d = 12.

13

14

Die Fundamentele TelbeginselDie fundamentele telbeginsel kan gebruik word om te bereken op hoeveel maniere twee of meer gebeure kan plaasvind. Wat dit sê:As een gebeurtenis oop m maniere kan plaasvind en 'n ander op n maniere, dan kan beide op m×n maniere plaasvind.Voorbeelde:1 Gestel jou suster het 3 langbroeke, 6 hemde en 4 paar skoene, dan is daar 3 x 6 x 4 = 72 maniere

waarop sy kan kies wat om aan te trek.2 Op hoeveel maniere kan die letters A, B, C en D gerangskik word indien(a) dit mag herhaal: Dan kan enige plek op 4 maniere gevul word. Dit kan dus op 4 x 4 x 4 x 4 = 256

maniere gevul word.(b) dit nie mag herhaal nie: Nou kan dit op 4 x 3 x 2 x 1 = 24 maniere gebeur. Nadat 'n letter geplaas is,

kan dit nie weer gebruik word nie en is daar dus een minder manier.FakulteitnotasieHierdie is so 'n belangrike metode in waarskynlikheid dat daar 'n spesiale simbool voor gegee is:4 x 3 x 2 x 1 = 4! en mens lees dit as 4 fakulteit. Kyk op jou sakrekenaar of jy die knoppie daarvoor sien en probeer om dit op jou sakrekenaar te bereken. Dit word gebruik om te bereken op hoeveel maniere n verskillende voorwerpe gerangskik kan word, indien almal geplaas word.As al die voorwerpe nie geplaas word nie:In hierdie plek moet mens kyk op hoeveel maniere 'n plek gevul kan word, en dit te vermenigvuldig met mekaar:3 : Kies 4 verskillende letter van die alfabet. Hoeveel maniere?Antwoord: Daar is 26 letters, dus 26 x 25 x 24 x 23 = 358800 maniereRangskik almal: 24! manier4 Daar is 20 leerlinge waarvan 4 gekies moet word. Dan kan dit op 20 x 19 x 18 x 17maniere gedoen

word.Daar is 'n ander reël wat gebruik kan word as daar voorwerpe is wat presies dieselfde is:

As n items gerangskik word waarvan a dieselfde, b dieselfde, c dieselfde is, kan dit op n!

a ! .b ! . c ! maniere

gedoen word.5: Op hoeveel maniere kan die letters van die woord "statistiek" gerangskik word?

Hier is 10 letters, maar daar is 3 t's, 2 i's en 2 s'e. Dus kan dit op 10!

3! .2 .2 ! = 151200 maniere.

Mens moet versigtig wees om nie die fakulteit notasie te gebruik as dit net een plek is waarna jy kyk. 6: As daar twee groepe is, elkeen met verskillende items:Gestel jy het 3 verskillende wiskunde boeke en 4 verskillende biologie boeke Op hoeveel maniere kan dit gerangskik word indien(a) dit nie saak maak waar dit staan nie(b) al die wiskunde boeke bymekaar en al die biologie boeke bymekaar moet wees.(c) jy willekeurig 4 boeke kies en plaas dit lang mekaar.Antwoord:(a) Hier is 7 boeke en almal moet gerangskik word: 7! maniere(b) Die wiskunde boeke kan op 3! maniere en die biologie boeke op 4! maniere gerangskik word. Maar die

twee groepe kan op 2! maniere gerangskik word, dus op 3 !×4×2 ! maniere.(c) 7x 6 x 5 x 4 = 840

Onthou dus dat jy slegs die fakulteit notasie sal gebruik indien die hele groep rangskik word.7:

15

Beskou die volgende spyskaart:Voorgereg Hoofgereg NageregKnoffelbroodPeri hoender lewertjiesKnoffel slakke

Skaapskenkel pasteiSkaap afvalBees filetBees tongVis en skyfiesGroentegereg

RoomysMelktertMalva poedingSouskluitjies

(a) Op hoeveel maniere kan ʼn persoon geregte kies indien daar voorgereg, hoofgereg en nagereg kan wees?

(b) Gestel die persoon eet geen vis of seekos nie. Op hoeveel maniere kan dit nou saamgestel word?Antwoord:(a) 3×6×4=72(b) 3×5×4=60

Teltegnieke en Waarskynlikheid

Teltegnieke word in waarskynlikheid gebeur as gevolg van die formule P (A )= n (A )N (S )

waar n(A) is die

hoeveelheid maniere waarop A kan plaasvind.Voorbeeld. Kom ons gaan terug na die voorbeeld met die handboeke. Wat is die waarskynlikheid dat al die wiskunde boeke bymekaar en al die biologie boeke bymekaar sal wees?Antwoord:Ons weet dat al hierdie boeke op 7! = 5040 maniere gerangskik kan word (Ons noem dit S). As die soorte boeke bymekaar is (kom ons noem dit A), kan dit op 3 !×4×2 !=288 maniere gebeur. So hier is n(A) = 288 en N(S) = 5040.

Dus is P (A )= 2885040

=0,0571

Werkkaart 41. Op hoeveel manier kan die letters A, B, en C gerangskik word as1.1 die letters mag herhaal1.2 die letters nie mag herhaal nie 2 Op hoeveel maniere kan 7 mense in 'n tou staan?3 Op hoeveel maniere kan jy van A na B gaan as die volgende 'n diagrammatiese voorstelling is van

moontlike roetes:

4 Op hoeveel maniere kan 'n 4-syfer getal saamgestel word as4.1 syfers mag herhaal4.2 syfers nie mag herhaal nie4.3 Bereken die waarskynlikheid dat as die syfers willekeurig gekies word, dit nie sal herhaal nie.5 Gauteng nommerplate het bestaan uit 3 letters van die alfabet, uitgesonder die klinkers en Q, gevolg

deur 3 syfers. Met die nuwe nommerplate is dit 2 letters, 2 syfers, 2 letters – die letters nog steeds sonder die klinkers en Q. Hoeveel meer nommerplate kan daar nou wees?

6 'n Komitee van 5 moet uit 20 mense gekies word. Op hoeveel maniere kan dit gedoen word?

16

BA

7 Ek beplan 'n rit vanaf Pretoria na Oos Londen. Ek kyk na twee roetes tussen Pretoria en Johannesburg, drie vanaf Johannesburg na Bloemfontein en vyf daarna tot by Oos Londen. Hoeveel moontlike verskillende roetes vanaf Pretoria tot by Oos Londen?

8 Hoeveel moontlike antwoordstelle kan daar wees in 'n multikeuse toets met 10 vrae waarvan elkeen 5 moontlikhede het as al die antwoorde geraai word?

9 Op hoeveel maniere kan die letters van die volgende woorde gerangskik word:(a) liewelulu (b) annamarie

10 Op hoeveel maniere kan 3 paartjies (man en vrou) om ʼn tafel gerangskik word as (a) dit nie saak maak waar wie sit nie (b) pare bymekaar wil sit11 Daar is 7 hemde en 5 broeke wat in ʼn kas hang. Op hoeveel maniere kan dit gerangskik wees as

(a) al die klere deurmekaar hang (b) al die hemde bymekaar en al die broeke bymekaar

12 ʼn Musiekgroep beplan ʼn konsertreis met optredes in Durban, Oos-Londen, Port Elizabeth, Kaapstad, Bloemfontein, Johannesburg en Polokwane. Op hoeveel maniere kan hulle hul reisplan opstel indiena daar geen beperkings is nieb die eerste optrede in Kaapstad moet wees en die laaste in Polokwanec Die optredes in die vier kusstede bymekaar moet weesAntwoorde:

1.1 3.3.3 = 27

1.2 3.2.1 = 6

2 7!

3 2.4 = 8

4.1 10.10.10.10 = 10000

4.2 10.9.8.7 = 5040

4.3504010000

=0,504

5 20.20.10.10.20.20.10.10 – 20.20.20 . 10.10.10= 8 000 000

6 20.19.18.17.16 = 1860480

7 2.3.5 = 30

8 510

9 (a)9 !

3! .2 ! .2 !=15120 (b)

9 !3! .2 !

=30240

10 3!x 2 x 2 x 2 = 48

11 (a) 12! (b) 7! x 5! x 2

a 7! b 5! 4! x 4!

17