به نام پروردگار ریاضیات تهران5گروه ریاضی عالمه حلی

ی اول راهنماییپایه

های نوروزیتمرین

نمای جاللی )گاه شماری جاللی(سال

- خورش""یدی3- مهی 2- خورشیدی 1شوند: نماها به سه نوع کلی تقسیم میسالمهی.

نماها عبارتند از: میالدی، هجری شمس""ی و هج""ری قم""ری،مشهورترین این سال ارمنی و ...، بربری،ایرانی، چینی، هندو، بودایی

ش"ماری ایرانی""ان از ق""رن پنجم‌گاه شماری جاللی دقیق ترین تق""ویم و مبن""ای گاه دانان ای""رانی از جمل""ه‌ای از ریاضی‌خورشیدی بدین سو اس""ت ک""ه توس""ط ع""ده

ابوالفتح عب""دالرحمان منص""ور خ""ازنی، اب""ومظفر اس""فزاری، ابوعب""اس ل""وکری، محمد بن احمد معموری، میمون بن نجیب واسطی و ابن کوشک بیهقی مب""اهی

ت""اریخ تأس""یس گاه ش""ماری جاللی، و در راس آنان حکیم عمر خیام ت""دوین ش""د. هجری قمری بود. ۴۷۱روز جمعه نهم رمضان سال اند. در برابر تقویم اروپ"ایی ک""هشماری جهان دانسته‌این تقویم را دقیق ترین گاه

ه"زار س"ال ی"ک۱۰شمار جاللی در هر سال یک روز خطا دارد، گاه۲۵۰۰در هر شماری روز اول سال طوری تنظیم شده است که ب""ا‌در این گاه ثانیه خطا دارد.

روز دارند.۳۶۶ یا ۳۶۵برابری بهاری همگام شود و در پایان سال ها

»مبحث: فکری« دهن""د. ه""ر کس در دو نفر بازی »دومینو« انجام می4×4- روی صفحه 1

گذارد و ه""ر کس ک""ه نتوان""د مه""ره اض""افه کن""دنوبت خود یک دومینو می بازنده است. اگر وضعیت بازی به شکل روبرو باشد و نوبت با نفر دوم

1

باشد، حرکتی پیشنهاد دهید که با آن نف""ر دوم ب""ازی را ب""برد. و اینک""ه چ""را نف""ر اول قطع""اً باخت""هاست؟

ه""ا ی""ک راه""برد یکی از بچ""ه5×5ی - در ب""ازی دومین""و روی ص""فحه2 ک"نیم.گ"ذاری میه""ای س""فید را ش""ماره)استراتژی( ارائه کرد: ابتدا خانه

را2ی ی س""فید ش""مارهاگ""ر حری""ف دومین""ویی گذاش""ت ک""ه مثالً خان""ه ی آن نسبت ب""هی قرینهگذاریم که خانهاشغال کرد، ما هم دومینویی می

را اشغال کند. راهبرد اول او را اثبات کنی""د ی""ا ب""رای آن11مرکز یعنی مثال نقض بیابید.

نوش""ته ش""ده اس""ت، اینط""ور در9 تا 1 کارت که روی آنها ارقام 9-"" 3ردیف هم قرار دارند.

7 , 8 , 9,‌ 4 , 5 , 6 , 1 , 2,‌ 3 یک حرکت عبارت است از: برداشتن چند کارت کنار هم و چیدن آنه""ا ب""ه ردی""ف عکس در هم""ان

توان با سه حرکت به ردیف زیر رسید؟جا. چگونه می1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9

2

و2،"" 1ایم. در سه رأس هر مثلث ع""ددهای - با مقوا چند مثلث متساوی االضالع درست کرده4 ایم. آیا ممکن اس""ت وض""عی پیشایم. سپس آنها را به شکل یک ستون روی هم چیده را نوشته3

شود؟55آید که مجموع عددها در هر سه ردیف برابر با

توان تومان داریم. ثابت کنید می400 تومانی، 10 تومانی، 5 تومانی ، 2 تومانی، 1های - با سکه5 تومان شود.300ها را جدا کرد به طوری که ارزش آنها چند تا از سکه

ش""وند ک""ه- در یک لیگ، چند تیم بسکتبال حضور داشتند. ثابت کنید در هر لحظ""ه دو تیم پی""دا می6اند، با هم برابر است.هایی که تا کنون انجام دادهتعداد بازی

- سه نفر به بازی تنیس روی میز مشغول هستند. در هر دور بازی، کسی که بازی را ببازد کن""ار7 ها معلوم ش"دگیرد )سیستم برنده به جا( در پایان بازیرود و کسی که بیرون است جای او را میمی

دور بازی کرده است. نفر سوم چند دور بازی کرده است؟21 دور و یکی دیگر 10یکی از آنها

اند. هر یک از آنها یا مهندس )راستگو(اند ی""ا دزد )دروغگ""و(. ه""ر- هفت نفر دور یک میز نشسته8 شان مهندس و دیگ""ریاند، یکیدو نفری که در کنار من نشستهیک از این هفت نفر مدعی شد: »

ی آنها دزد هستند. « ثابت کنید، همهدزد است

، Aهای - سه نفر به نام9 B و Cاند که نفر در یک ردیف پشت سر هم طوری نشستهAدو نف""ر ، B و Cبیند، نفر را میB فقط نفر Cبیند و نفر را میCتا کاله بافتنی5بیند. به آنها هیچ کس را نمی

ت""ا کاله ب""ر3بندن""د و تا سفید. آنها چشمشان را می2 تا از آنها قرمز هستند و 3دهیم که نشان می هایشانتوانند رنگ کالهپرسیم که آیا میها میکنند و از آنگذاریم. بعد چشمشان را باز میسرشان می

گوی""د : » میC « و آخ""ر س""ر خیرگوید: » میB « ؛ سپس خیرگوید: » میAرا مشخص کنند، ابتدا «.بله

چطور چنین چیزی ممکن است؟

+ الگویابی« »مبحث: ابتکار گاوس + جبر

3

- ش""کل زی""ر1 تع"""داد چ"""وب

ه"""""ایک"""""بریت اس""تفاده ش""ده در ه""ر مرحل""ة

ده""د، در ک""دام مرحل""ة ط""رح،طرح را نمایش می خواه""د245های استفاده شده تعداد چوب کبریت

بود؟

- با توجه به الگوی مقابل، در شکل ششم چند مکعب داریم؟2

ه""ا درها رسم شده است. رابطه مناسب برای تعداد صندلی- در شکل زیر، مدلی از میز و صندلی3اُم چیست؟nمرحله

های شش ضلعی دور یک خانة ش"ش ض"لعی مرک"زی مط"ابق ش""کل- یک زنبور یکسری از خانه4 سازد )اولین جمله، جزء دنباله نیست.( ح""داقلهای متوالی، یک دنبالة عددی میسازد. این حلقهمی

شود؟500ها بیش از چند دور حلقه نیاز است که تعداد خانه

4

(1)

(2)

(3)

5 ش""ود،ه""ای قرم""ز و س""فید ف""رش میحیاط ی""ک س""اختمان بوس""یلة موزائی""ک-

موزائیک8مطابق شکل در مرحلة اول یک موزائیک قرمز و در مرحلة بعد رس""د؟ می104ه""ا ب""ه سفید دور آن و ... . در مرحلة چن""دم تع""داد موزائی""ک

رنگ آن چیست؟

دارای چند مربع است؟y الگوی زیر را داریم، با توجه به این الگو، دهمین y- برای ساختن 6

چند مربع دارد؟9های زیر، شکل شمارة - در الگوی شکل7

5

(1)

(2)

(3)

(1)

(2)

(3)

(4)

رقمی، دست کم یک رقم زوج دارند؟6- چند عدد 8

ایم ک""ه ه""ر پلک""ان- با چند چوب کبریت، چند مربع مطابق الگوی زیر به صورت پلک""انی س""اخته9 ردیف باشد داریم: 3 یا 2، 1شامل چند ردیف است. مثالً اگر پلکان دارای

ردیف باشد، چند مربع به ضلع یک چ""وب ک""بریت در آن دی""ده خواه""د100الف( اگر پلکان دارای شد؟

ردیف دارد، از چند چوب کبریت تشکیل شده است؟100ب( یک پلکان که

پ""ذیر بخش9 رقمی با ارقام غیر تکراری مفروض است. ثابت کنی""د این ع""دد ب""ر 10- یک عدد 10است.

اُمین رقم بعد از ممیز در عدد زیر چند است؟1390- 11999 ... 100101102 ... 001002003/0

اُمین رقم بعد از ممیز در عدد زیر چند است؟1390- 12 ...100101102 ... 1011121314 ... 012345/0

- اگر اعداد را مانند شکل زیر بنویسیم و ترتیب شمارش از باال به پ""ایین و از راس""ت ب""ه چپ13باشد:

112

1231234

12345

اُمین عدد چیست؟420

6

چهار چوبکبریت

هجده چوبده چوب کبریتکبریت

رود، در خان"ه می1پ"رد. او در س""اعت اول برگ زیر ب"ه ط""ور س"اعتگرد می7ای روی - قورباغه14 پرش روی ک""دام ب""رگ100پرد. او بعد از برگه می3پرد و در ساعت سوم خانه می2ساعت دوم قرار دارد؟

ای روب""رو توج""ه کنی""د.شش ضلعی س""تاره - به15 را روی12 تا 1خواهیم اعداد می

آن طوری قرار دهیم که مجموع ردی""ف ب""ا هم6اعداد هر یک از

‌Aبراب""ر باش""ند و این مق""دار را گیریم.در نظر می

ال"""ف( مق"""دار این مجم"""وع را راAمحاس""""به نمایی""""د یع""""نی

محاسبه نمایید. های خالی قرار دهید که شرط باالب( اعداد را طوری در خانه

گردد.Aرا تأمین کند. یعنی مجموع هر ردیف ه"ا ق"رار داد ک""هتوان طوری در این خانهج( آیا این اعداد را می

عدد واق""ع6 گرددمجموع Aعالوه براین که مجموع هر ردیف گردد. با ذک""ر دلی""ل ی""اAضلعی نیز برابر های این ششدر رأس

مثال.

»مبحث: توان«دار بنویسید.- حاصل عبارات زیر را به صورت یک عدد توان1

( )الف1387-1389)×(1385-1387)×(1383-1385 . . . )×(3-5)×(1-3)( )ب1387-1389)×(1383-1385)×(1379-1381 . . . )×(7-9)×(3-5)

های > ، < یا = قرار دهید. عالمت- در هر مورد به جای 2

2125 32252030)2 )ج ) (220 )الف 260 6510 )ب30(

320 230218 )ه 69د(

1714 یا 3111تر است؟ - با ذکر دلیل بگویید، کدام بزرگ3

7

830 یا 12913تر است؟ - با ذکر دلیل بگویید، کدام بزرگ4

شده است، این عدد حداقل چند رقمی است؟272ضرب ارقام عددی - الف( حاصل5 شده است، این عدد حداقل چند رقمی است؟3101ضرب ارقام عددی ب( حاصل شده است، این عدد حداقل چند رقمی است؟755×577ضرب ارقام عددی ج( حاصل

قرار داد به طوری ک""ه تس""اوی برق""رار÷ یا ×ها عالمت توان در عبارت زیر، داخل دایره- آیا می6)مثال یا دلیل فراموش نشود(شود؟

30=350349 . . . 33323130

533 و 277تر است. )با ذکر دلیل( - الف( از بین دو عدد روبرو، کدام بزرگ7

پیدا کنید. )با راه حل(533 و 277دار بین دو عدد ب( با توجه به بخش )الف(، یک عدد طبیعی توان

رو را به صورت یک عدد تواندار بنویسید.- کسر روبه8

85×32×63×487×22 ب=

212×312

ای ع""ددروی خان""ه گوش""ه - در صفحه شطرنج9-این روش ح"""""رکت می ایم و ب"""ه را نوش"""ته1

کنیم. برابر2شویم، داخل آن -ای که میوارد هر خانه

نویس""یم. پس از پیم""ودن-عدد قبلی را میهمة های سیاه چنداعداد خانه ها، حاصلضربخانه

های سفید است!خانه برابر حاصلضرب اعداد

کوچ""ک ب""ه ب"زرگ م""رتب - اعداد زی"""ر را از10کنید.

و33333333 و2222666666662222

8

»مبحث: نظریه اعداد« نویسند. رقم اول رقمی می20 ، یک عدد 5 و 4،" 3،" 2،" 1های - کولیا و واسیا، تنها به کمک رقم1

خواه""د ترتی""بی بده""د ت""ارا کولیا، رقم دوم را واسیا و به همین ترتیب یکی در میان ... . واس""یا میتواند مانع او شود؟پذیر باشد. آیا کولیا می بخش9 رقمی بر 20عدد

رقمی.30- همان سوال قبلی، 2

رقمی و6 )و از هر کدام یک بار( عددی 6 و 5،" 4،" 3،" 2،" 1های توان با استفاده از رقم- آیا می3 درست کرد؟11پذیر بر بخش

بخش""پذیر770 ؛ ثابت کنید حاصلضرب این دو عدد ب"ر 770- حاصل جمع دو عدد برابر است با 4.نیست

تا دو تش""کیل ش""ده اس""ت. آی""ا ممکن100 تا یک و 100 تا صفر، 100 رقمی، از 300- عددی 5است این عدد مربع کامل باشد؟

-ه""ای ع""دد حاص""ل را پی""دا میکنیم. بعد مجموع رقم را حساب می123777های عدد - مجموع رقم6 دهیم، ت""ا وق""تی ک""ه فق""ط ی""ک رقم ب""ه دس""ت آوریم. این رقم ک""دامکنیم و همین کار را ادامه می

است؟

9

123456789123456781234567123456123451234123121

121321432154321654321765432187654321987654321

بخشپذیر است. ث""ابت کنی""د ه""ر دوی این اع""داد ب""ر19- حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد بر 7 بخشپذیر هستند.19

هم بخش""پذیر12 ی""ا 4×3 بخش""پذیر باش""د، بای""د ب""ر 3 و 4- آیا درست است که اگر ع""ددی ب""ر 8باشد؟

هم بخش""پذیر24 ی""ا 4×6 بخش""پذیر باش""د، بای""د ب""ر 6 و 4- آیا درست است که اگر ع""ددی ب""ر 9باشد؟

بخشپذیر است.6- ثابت کنید حاصلضرب هر سه عدد طبیعی متوالی بر 10

- ثابت کنید حاصلضرب هر پنج عدد طبیعی متوالی بر :11 بخشپذیر است.30الف(

بخشپذیر است.120ب(

اس""ت. س""ن بزرگ""ترین بچ""ه، دو براب"ر س""ن1664ه""ای ک""وکب خ""انم - حاصلضرب س""ن بچ""ه12 )مرحل""ه اولها عددی ص""حیح اس""ت( ک""وکب خ""انم چن"د بچ""ه دارد؟ کوچکترین بچه است. )سن بچه

المپیاد ریاضی ایران(6ه( 5د( 4ج( 3ب( 2الف(

aΠb=1اند یا به عبارتی: دانیم که نسبت به هم اول میb و a- درباره دو عدد 13

Πb=1(a+b است یا به عبارتی: )1الف( ثابت کنید ب.م.م یکی از اعداد و مجموع آن دو برابر )Π(a+b است ی""ا ب""ه عب""ارتی: )1ب( ثابت کنید ب.م.م حاصلضرب و حاصل جمع آن دو برابر

b×a=)1

متم""ایز عضو 3توانیم - فرض کنید فهرستی از اعداد طبیعی داده شده است. در هر مرحله می14 ضربشان را به فهرست اض""افه ک""نیم ت""ا فهرس""تی دیگ""ر ب""هاین فهرست را انتخاب کرده و حاصل

ی اع""داد اول باش""د، ک""دام ی""ک از اع""دادی ما مجموعهدست آوریم. در صورتی که فهرست اولیه)مرحله اول المپیاد ریاضی ایران(توان با انجام تعدادی مرحله به فهرست اضافه کرد؟زیر را می

10500ه( 375د( 350000ج( 330ب( 1000الف(

- عدنان دو عدد نه رقمی را در هم ضرب کرده و حاص""ل آن را نوش""ته اس""ت. متأس""فانه ی""ک15ضرب خوانا نیست. )با * مشخص شده است(:رقم از این حاصل83818961546*68734 = 556748514 × 123456789

ت""ر ب""هعدنان برای تعیین این رقم به جای اینکه عمل ضرب را دوباره انجام دهد، یک روش س""ریعتوانید حدس بزنید روش عدنان چه بوده است؟ذهنش رسید، آیا می

تشکیل شده باشد؟1 ضرب شود که حاصل فقط از 9- چه عددی باید در 16 تشکیل شده باشد؟1 ضرب شود که حاصل فقط از 7چه عددی باید در تشکیل شده باشد؟1 ضرب شود که حاصل فقط از 11چه عددی باید در

را به دست آورید.100 تا 1- مجموع ارقام اعداد 17های زیر بزرگتر است؟ چرا؟جمع- کدام یک از حاصل18

10

بخشپذیرند را پیدا کنید.45 است و بر 97- تمامی اعداد چهاررقمی که دو رقم وسط آنها 19

شود.9900- ثابت کنید عددی وجود ندارد که حاصلضرب ارقامش 20

شود.420 رقمی وجو ندارد که حاصلضرب ارقامش 3- ثابت کنید عددی 21

برa1a2…ak عدد k ≤ n≥ 1گوییم اگر به ازای هر بند « می( را عدد » خالی0≠a1 )a1a2…an- عدد 22 ،n برای 9 و 8 ،" 7 ،" 5بند است. به ازای چندتا از مقادیر خالی129 بخشپذیر باشد. مثالً kعدد

رقمی وجود دارد؟nبند عدد خالی

="" 8ارزشترین رقم اس""ت.( اگ""ر کمa1 مفروض است. )arar−1…a2a1 رقمی r- عدد23 a1،باش""د چقدر است؟ar−1مقدار

a1arar−1…a2=4×ar ب ar−1…a2a1

توان مربع کامل باشد؟- آیا عددی که دو رقم سمت راست آن فرد باشند، می24

- صالح یک عم""ل ض""رب هش""ت رقم در دو رقم را انج""ام داد و آن را روی ی""ک کاغ""ذ نوش""ت.25 بدبختانه کاغذ از جیبش افتاد توی جوب و در نتیجه بعضی از ارقام آن محو شد و به ص""ورت زی""ر

با * مشخص شده است(ارقام محو شده )درآمد.*54273750 = 27 ×********

های جا اُفتاده را پیدا کند؟توانید به صالح کمک کنید که رقمچگونه می

نامیم ک"ه اگ""ر ه""ر دو رقم مت""والی آن ع"دد را ب""ه عن""وان ی"ک ع"دد« می تیپخوش - عددی را »26.23 باشد یا مضرب 17دورقمی در نظر بگیریم، این عدد یا مضرب

ش""انآیدکه همهتیپ است زیرا پنج عدد دورقمی به وجود می خوش923469مثالً عدد شش رقمی .23 بخشپذیراند یا 17یا بر

92346823×4=9223×1=2317×2=3423×2=4617×4=68

است.6تیپ داریم که رقم سمت چپ آن رقمی خوش100اکنون یک عدد رقم یکان این عدد چند است؟

11

تشکیل6 و 5 ،" 4 ،" 3 ،" 2 ،" 1های دانیم که از رقمی یک عدد طبیعی شش رقمی می- درباره27شده است و رقم تکراری ندارد. ثابت کنید این عدد مربع کامل نیست.

ایم. ثابت کنی""د در ع"دد حاص"ل ح""داقل ی""ک رقم- یک عدد پنج رقمی را با مغلوبش جمع کرده28 آی""د. مثالً : بدس""ت میA عددی است که از ترتیب معکوس ارقام Aزوج وجود دارد. )مقلوب عدد

9831 → 1389)

بخشپذیر است.6- ثابت کنید حاصلضرب هر سه عدد طبیعی متوالی بر 29

نوشته شده است مربع کام""ل2- آیا ممکن است عددی که با صد تا صفر، صد تا یک ، صد تا 30باشد.

ایم. این سبدها را به ترتیب ردیف از چپ به راس""ت سبد خالی را در یک ردیف چیده1000-"" 31 2 ، دومی ش""ماره 1ایم. یع""نی از چپ ب""ه راس""ت ب""ه ت""رتیب : اولی ش""ماره گذاری ک""ردهشمارهو ... .

اندازد:کار به ترتیب زیر داخل سبدها، سیب میآقایی بیاندازد.، یک سیب می1اول در تمامی سبدهای مضرب

اندازد.، یک سیب می2سپس در تمامی سبدهای مضرب دهد.اندازد و به همین ترتیب ادامه می، یک سیب می3سپس در تمامی سبدهای مضرب

چند سیب وجود دارد؟ چرا؟80کار تمام شد، داخل سبد شماره وقتی کار آقای بی

ایم و ب""ه ج""ای آن ع""ددیایم، یکی از ع""ددها را پ""اک ک""رده- سه عدد روی تخت""ه س""یاه نوش""ته32 ایم وایم که از مجموع دو عدد دیگر یک واحد کمتر باشد. این عمل را چند ب"ار تک"رار ک"ردهنوشته

ایم، آی"ا ممکن اس"ت در ابت"دا روی تخت"ه س"یاه رس"یده1983 و 1967 و 7در نتیجه به ع""ددهای اعداد:2 و 2 و a ) 2حالت 3 و 3 و b ) 3حالت

نوشته شده باشند.

- اگر مقدار عددی حاصلضرب زیر را حساب کنیم33100×99×98 × . . .×3×2×1

الف( چند صفر در سمت راست خود خواهد داشت؟ ب( اگر از عدد حاصل، تمامی صفرهای سمت راست آن را حذف کنیم، عدد حاصل زوج است یا

فرد؟

- از بین دو عدد زیر کدام بزرگتر است؟ چه قدر؟34 444 . . . 44 × 66 . . . 666 و 888 . . . 88 × 33 . . . 334

رقم13 رقم90 رقم13 رقم90

3 و 2- دو عدد داریم )لزوم""اً تع""داد ارقامش""ان ب""اهم براب""ر نیس""ت( ک""ه ارق""ام آنه""ا فق""ط از 35 برابر دیگری باشد؟19اند. آیا ممکن است یکی از آنها تشکیل شده

12

باش"د. ب"ه ص"ورت مقاب"ل میAه""ای ع"دد علی"ه- نم""ودار مقس""وم36?=H∪Bحاصل

، جایگاه ب.م.م وB و A- با توجه به نمودار زیر و جایگاه اعداد 37 را تعیین نمایید.B و Aک.م.م

13

3 429875 6

چند است؟5454545463 و 2727272727- کوچکترین مقسوم علیه مشترک عددهای 38

- در ی""ک دنبال""ه از اع""داد، ع""دد اول دنبال""ه دلخ""واه اس""ت و بع""د از آن ه""ر ع""دد ب""ه ص""ورت39 72های )نه لزوماً متمایز( عدد قبل از آن است. مثالً عدد بعد از حاصلضرب دو تا از مقسوم علیه

180ای ک""ه ب""ا هس""تند.آی""ا ممکن اس""ت در دنبال""ه72علی"ه مقس""وم6 و 9 باشد چون 54تواند می ظاهر شود؟3375شود، عدد شروع می

- در ی""ک دنبال""ه از اع""داد، ع""دد اول دنبال""ه دلخ""واه اس""ت و بع""د از آن ه""ر ع""دد ب""ه ص""ورت40 های همان عدد است. مثالً ع""دد بع""د ازعلیهحاصلضرب مجموع ارقام عدد قبل در یکی از مقسوم

ه""ایعلی""ه یکی از مقس""وم5 اس""ت و 8 براب""ر 35 باشد، چ""ون مجم""وع ارق""ام 40تواند می35 ظاهر شود؟ 8092شود، عدد شروع می144ای که با باشد. آیا ممکن است در دنبالهمی35

تواند مربع کامل باشد. نمیN- نشان دهید که عدد 41 بوجود آمده است.92 تا 19 از کنار هم قراردادن عددهای طبیعی دو رقمی Nعدد

92..........19202122 = N

های زیر پاسخ دهید.- به الگوی روبرو دقت کنید و به سوال42گیرد؟الف( در ردیف دهم چند عدد قرار می

ب( بزرگترین و کوچکترین عدد در ردیف دهم چیست؟ده ردیف اول چند خانه خاکستری و چند خانه سفید است؟ ج( در

گیرد سفید است یا خاکستری؟ در آن قرار می120ای که عدد خانه د(

قس""مت10نم""ا را ب""ه ی قطب- مط""ابق ش""کل زی""ر ی""ک ص""فحه43 نما همیشه روی دو عددی این قطبایم. عقربهمساوی تقسیم کرده

ایستد. در هر مرحله این عقرب""ه ب""ه تع""داد ب.م.م آنمقابل هم میکند.گرد حرکت میدو عدد در جهت ساعت

الف( با توجه به شکل، دو مرحل""ه بع""د عقرب""ه روی ک""دام دو ع""ددگیرد.قرار می

ب( حداکثر چرخش در یک مرحله چقدر است؟کند؟هایی دیگر حرکت نمیج( عقربه در چه حالت

ی شروعی برای عقربه وجود دارد که با گذشت مراحلد( آیا نقطهی اعداد قرار بگیرد؟مختلف روی همه

کنیم. قسمت مساوی تقسیم می100نما را به ی قطبه( این صفحهگردد. )امتیازی( مرحله به حالت اول خود باز می26ثابت کنید این عقربه حداکثر بعد از

- علی در زیرزمین مدرسه نردبانی قدیمی پیدا کرد که44 بینی"د. پله از آن باقی مانده بود که در ش"کل زی"ر می4تنها

ه""ایی ب""ه آن اض""افهخواهد پل""هعلی برای تعمیر نردبان، می ه""ای مت""والی )پش""ت س""ر هم( یکس""انکند که فاص""له پل""ه

های که بای""د ب""ه این منظ""ور اض""افهشود.کمترین تعداد پلهکند چندتاست؟

14

1

صحیح« »مبحث: اعداد را با اعداد صحیح پر های خالی- دایره1

کنید.

زیر را بدست آورید. - حاص"""ل عب"""ارت2(5-100×7(+...+)5-3×7(+)5-2×

7(+)5-1×7)

15

- جدول اعداد مقابل را در نظر بگیرید، حاص""ل جم""ع کلی""ه س""طرها از س""طر اول ت""ا س""طر3( برابر چیست؟1387 )با خود 1387

111

11-1

1-11

-1

11-11

-1های زیر طوری قرار دهید که تساوی برقرار شود؟ را در دایره–های + و توان عالمت- آیا می4

ه""اه""ا و درهخواهن""د از ک""وه ایستاده اس""ت. آنه""ا میB و فرهاد در نقطه A- شیرین در نقطه 5 خواهد باالتر از دیگر ق""رار گ""یرد. ب""هعبور کنند و به هم برسند و ... . ولی هیچکدام از آنها نمی

-ارتفاع باشند. در کدامیک از کوهس""تانکنند که در هر لحظه همهمین منظور طوری حرکت میرسند؟های زیر فرهاد و شیرین به هم می

16

- شایان، دوستانش را برای جشن تولدش به پارک دعوت کرده است. او قصد دارد تع""دادی6 پیتزا برای آنها بخرد. بعضی از دوستان او عادت به خوردن پیتزای کامل ندارند به همین دلی""ل

نف""ر از11خ""ورد. ای از ی""ک پی""تزا را میاو از قبل از دوستانش پرسیده که هر کدام چه اندازه3 نفر هر کدام 9خورند. اند که هر کدام یک پیتزای کامل میآنها گفته

خورند. در ض""من پیتزا می4 اش، در یک قطعه ب""ه هم چس""بیده ب""ه اوهر یک از دوستانش عالقه دارد پیتزای خواسته شده

خواهد حداقل تعداد پیتزا را از پیتزا فروشی بخرد. ب""ه نظ""ر ش""ما ش""ایانداده شود. شایان میچند پیتزای کامل باید بخرد تا بتواند به هر نفر مطابق میلش غذا بدهد. )توضیح کامل(

ام""وزان پای""ه اول برگ""زار ش""ده- در مدرسه عالمه حلّی یک آزمون هماهنگ بین تمامی دانش7 است. این آزمون شامل دو درس فیزیک و ریاضی است و رتبه ک""ل ه""ر داوطلب، باتوج""ه ب""ه

شود. اگ""رآموزان محاسبه می فیزیک وی نسبت به سایر دانشحاصل جمع نمره ریاضی و نمره امین در درس ریاضی رتبه هفتم و در درس فیزیک رتبه ی""ازدهم را کس""ب کن""د، به""ترین رتب""ه

تواند داشته باشد کدام است؟ )با دلیل کامل( کلی که میاند.توجه: در هیچ نمره درسی دو نفر نمره مساوی نگرفته

ه"( هجدهمد( نوزدهمج( یازدهمب( شانزدهمالف( هفدهم

از مجموعه اعداد }-A و D، C، B باشد. اگر هر یک از A+4B+16C+64D=100- فرض کنید 8باشد؟ [ چند میA+B+C+D{ انتخاب شده باشد، کمترین مقدار مجموع ]1,0,1,2-,2

17

خواهد یک نمایشگاه وسایل خانگی را برق کشی کند. متأسفانه در ک""ل این- محمدحسین می9 نمایشگاه تنها یک پریز برق وجود دارد. البته محمدحسین فکر اینجا را ک""رده و ب""ا خ""ود تع""داد

ی برق وص""ل ک""رد و ی""کتا دوشاخهnتوان می(n≥1) راهی n راهی آورده است. به یک nزیادی ه""ای دیگ""ر( ب""ه ب""رق وص""ل راهیnدوشاخه دارد که باید به طریقی )مستقیم به پریز یا توسط

راهی ،دار کند. اگ""ر محم""د حس""ین ده ت""ا دههایی که بدان وصل هستند را برقشود تا دوشاخه راهی و چهارتا دوراهی داشته باشد، حداکثر چن""د وس""یله خ""انگی راتا چهارراهی، پنجتا هفتهفتتواند به برق متصل کند؟ )توضیح دهید.(می

کنند. این بازی به این صورت است« می فوز بازی »5×5- مهدی و مرتضی روی یک جدول 10 که در ابتدا در خانه وسط ج""دول ی""ک لوبی""ا ق""رار دارد. ه""ر کس در ن""وبت خ""ودش در یکی از

دهد. اولین کسی که کاری کند که سه لوبیا در سه خانههای خالی جدول یک لوبیا قرار میخانه شود. از آن جا که این ب""ازیمتوالی روی یک سطر، ستون یا قطر قرار بگیرند، برنده بازی می

توم""ان ج""ایزه تع""یین ک""رده اس""ت، ک""ه در100بسیار پر هیجان است، حسن برای این ب""ازی توم""ان ب""ه بازن""ده وKهای جدول قرار داشته باش""د، لوبیا در خانهKصورتی که در پایان بازی،

100-Kدهد. اگر مهدی اولین لوبیا را )بعد از لوبیای اولیه خانه وس""ط( روی تومان به برنده می جدول قرار بدهد و هر دو بازیکن بهترین بازیشان را انجام بدهد، برن""ده و ح""داکثر ج""ایزه وی

چقدر است؟ )با دلیل کامل(

d و a، b، c نوشت که در آن a+2×b+4×c+8×dتوان به صورت را می8- به چند طریق عدد 11 هستند؟ )با توضیحات کافی( 2دارای مقادیر صفر، یک یا

ایم. را از چپ به راست نوشته1389 تا 1ای از اعداد - دنباله121,2,3, … ,1388,1389

رویم. بن""ابراینکنیم و به تعداد رقم یکان ع""دد فعلی جل""و میاز سمت چپ شروع به حرکت می … ,1,2,4,8خوریم عبارتند از: اعدادی که به آنها برمی

باشند؟ )با دلیل کامل(تعداد این اعداد چندتا می

7ش""ود: « است. این بازی به این ص""ورت انج""ام می دامبلدور - بهداد مشغول انجام بازی »13 اُم بازی، بهداد به صورت i به صورت متقابل قرار دارند. در حرکت 7 تا 1های سنگ با شماره

-پ""رد و میپ""ا روی س""نگ بع""د می سنگ را در جهت ساعتگرد رد کرده و به صورت جفتi-1یک پا پ"ا روی اس""ت. او در ح"رکت اول جفت1ایستد. برای مث""ال به"داد در ش"روع ب"ازی روی س""نگ

پ""رد. در می4پا روی س""نگ پریده و سپس جفت3پا روی سنگ پرد. در حرکت دوم یک می2سنگ پ""رد و ب""االخره، می7پا روی س""نگ پریده و سپس جفت6 و 5های حرکت سوم، یک پا روی سنگ

ب""ه ص""ورت4پ""رد و روی س""نگ و می2 و 1ه""ای در حرکت چهارم، به صورت یک پا روی س""نگ روی ک""دام س""نگ خواه""د390توانید مشخص کنید به""داد پس از ح""رکت ایستد. آیا میپا میجفت

بود؟ )با دلیل کامل(

کیل""وگرم و وزن50 نفر آنها 150 نفر شرکت دارند که وزن 170- در یک گردش دوستانه 14 خواهند با اس""تفاده از ی""ک ق""ایق ک""ه ظ""رفیت آنباشد. آنها می کیلوگرم می100 نفر از آنها 20

18

کیلوگرم است از یک رودخانه عبور کنند. حداقل چندبار باید قایق عرض رودخانه را طی100ی آنها به طرف دیگر رودخانه برسند؟ )توضیح کامل فراموش نشود(کند تا همه

ه""ای آن از چپ ب""ه راس""ت ک""ه رقم1390- تعداد عددهای طبیعی چهار رقمی کوچک""تر از 15باشد؟ )با دالیل کافی( چند تا می1234 یا 1334صعودی هستند مانند عددهای

ی عددهاای پر کرد که مجموع همه را با عددهای صحیح به گونه5×5توان یک جدول - آیا می16 دهند منفی باش""د؟ )اگ"ر می2×2عددی که تشکیل یک زیر جدول 4مثبت باشد ولی مجموع هر

شود با مثال نشان دهید و اگر جواب خیر باشد دلیل بیاورید(جواب بله می

لی""تری7توان فقط به کمک یک ظرف لیتر پر از شیر داریم. آیا می10- ظرفی با گنجایش 17 لیتر شیر برداشت؟5 لیتری، 3و یک ظرف

را ق""رار داد ب""ه5 ی""ا 2،3ی خالی متوالی، یکی از عددهای خانه9توان در هر یک از - آیا می18طوری که هیچگاه حاصلضرب چند عدد متوالی، یک مربع کامل نباشد؟

را عالمت گذاری کرد به طوری که هر خانه8×8ی شطرنجی خانه از صفحه7توان - آیا می19 گذاری شده همس""ایه باش""د؟ )دو خان""ه تنه""اهای عالمتگذاری شده با تعداد فردی از خانهعالمت

آیند که یک ضلع مشترک داشته باشند.(وقتی همسایه به حساب می

اند که- تعداد هزار مکعب واحد )طول هر ضلع یک واحد است( به یکدیگر چنان وصل شده20 ش""ود و پس از آناند. این مکعب رنگ می واحد تشکیل داده10یک مکعب بزرگ با ضلع بطول

ه""ا رن""گهای واحدی که ح""داقل ی""ک وج""ه از آنشوند. تعداد مکعبهای کوچک از هم جدا میمکعبشده است چند تاست؟

که یکان آنها یک است چقدر است؟43- و 120- مجموع عددهای صحیح بین 21

513+311( که p- کوچکترین عدد اول )22

p یک عدد صحیح بشود، چیست؟

-ی سوم به بعد هر جمله برابر است با تفاضل جمل""ه … از جمله,1,3,2ی اعداد - در دنباله23 ی این دنباله چند مجموع اولین صد جمله(an=an-1-an-2)ی قبلی ی پیش از جملهی قبلی و جمله

است؟

ی یک ريالی، دو ري""الی، پنج ري"الی، ده ري"الی و پنج""اه ري""الی ب""ه مبل""غ- شخصی چند سکه24 ه""ای ویی س""کهها ب""ا هم براب""ر باش""د آنگ""اه تع""داد هم""ه ريال دارد. اگر تعداد انواع سکه204

چندتاست؟

باشد، آنگاه مقدار زیر چقدر است؟d=100 , c=100 , b=10 , a=1- اگر 25

19

(a+b+c-d(-)c-a-b-d(+)a-b+c+d(-)a-b-c-a)

باشد کدام است؟100- بزرگترین عدد صحیح که هفت برابر آن کوچکتر از 26

xy=)x+1()y+1(-1کنیم: چنین تعریف میxy- عمل 27کدام یک از جمالت زیر درست است؟

‌y : xy=‌yx و xی مقادیر صحیح الف( به ازای همه

)y : x)y+z(=)xy(+)xz و xب( به ازای همه مقادیر صحیح

x : )x-1()x+1(=)xx(-1ج( به ازای هر مقدار حقیقی x : x0=xد( به ازای هر مقدار حقیقی

z : x)yz(=)yx(z و y و xه"( به ازای همه مقادیر

گذاری کنید. عالمت+ و - ، × ، ÷- با 2816 = -4 4 4 424 = 3 3 3 348 = -6 6 6 635 = -6 6 6 6

- )م""""از اع""""داد ص""""حیح( از29 شروع به س"مت پای"ان ح""رکت کنی""""د، ب""""دون آنک""""ه از هیچ مسیری بیش از یک ب""ار عب""ور

توانید از ی""ککنید. تنها وقتی می عدد بعد از ع""دد دیگ""ر ح""رکت کنی"د ک"ه، ع"دد دوم ب"ه یکی از دو ص""ورت زی""ر بدس""ت آم""ده

باشد:- به عدد قبلی یا5- افزودن - از عدد قبلی.6- کاهش

20

اول هس""تند. )ب.م.مa باشد که نسبت به aتر از - فرض کنید برابر تعداد اعداد کوچک30 است(. مقادیر زیر را حساب کنید: 1 برابر aها با آن

- به الگوی زیر دقت کنید:31

برای اولین بار دیده شد.ALLAMEH‌HELLI 1390همانطور که دیدید، در سطر اول عبارت بعد از چند سطر برای سومین بار این عبارت دیده خواهد شد؟

های زیر را برقرار کنید.تساوی ÷ و× نماد محاسباتی + ، - ، ) ، ( ، 6- با استفاده از 32

21

139039019013

22

23

0 3 2

4 5

4

2

7 3

- هشت تیم فوتبال در یکسری مسابقات با هم بازی کردند. پس از چند بازی، تفاض""ل گ""ل33ها در زیر آمده است: تا از تیم7

19 , 10 ,- 9 ,- 13 , 22 ,- 16 , 4تفاضل گل تیم هشتم چند است؟

ی آنهای خوردهی آن تیم منهای تعداد گلهای زده)تفاضل گل یک تیم عبارت است از تعداد گلتیم(

ت""وانیم ب""ه دو خان""ه زیر با عددهای ص""حیح پ""ر ش""ده اس""ت. در ه"ر مرحل""ه می3×3- جدول 34 مجاور در این جدول یک عدد صحیح اضافه نموده و یا از آنها یک عدد ص""حیح کم ک""نیم. آی""ا ب""ا

های این جدول را صفر نمود.توان تمام خانهاین روش می

24