planeta.tspu.ruplaneta.tspu.ru/files/file/1456651824.docx · web viewОдно из искомых...

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждениесредняя общеобразовательная школа пгт.СмирныхМО ГО «Смирныховский» Сахалинской области

РЕФЕРАТ

по дисциплине: «Математика, физика»

на тему: «В мире квадратных уравнений»

Работу выполнила:

ученица 10 «А» класса

Скоблик Евгения

Руководители:

Овсянникова Татьяна

Александровна,

учитель математики

Ермолина Ирина

Владимировна,

учитель физики

пгт. Смирных2016 г.

Содержаниестр

Введение…………………………………………………………………………...31. История возникновения квадратных уравнений……………………………..4

1.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне…………………………….41.2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения………………..41.3. Квадратные уравнения в Индии ………………………………………….51.4. Квадратные уравнения в Китае…………………………………………...61.5. Квадратные уравнения у ал-Хорезми ……………………………………61.6. Квадратные уравнения в Европе XIII- XVII вв………………………….7

2. Виды квадратных уравнений………………………………………………….93. Способы решения квадратных уравнений…………………………………..10

3.1. Графическое решение квадратных уравнений…………………………103.2. Метод разложения левой части уравнения на множители…………….123.3. Решение уравнений по теореме Виета………………………………….133.4. Решение квадратных уравнений способом «переброски»…………….143.5. Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов ……….143.6. Решение квадратных уравнений по формуле ………………………….143.7. Решение квадратных уравнений по формуле корней квадратного уравнения со вторым четным коэффициентом……………………………..163.8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки…….163.9. Решение квадратных уравнений геометрическим способом …………183.10. Решение уравнений с помощью теоремы Безу………………………..19

4. Применение квадратных уравнений при решениизадач…………………...20Заключение……………………………………………………………………….22Список использованной литературы …………………………………………..23Приложение 1……………………………………………………………………24

PAGE \* MERGEFORMAT 2

ВВЕДЕНИЕ

Практически все, что окружает современного человека, так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место, но ни один из видов уравнений не нашел столь широкого применения, как квадратные уравнения. Квадратные уравнения люди умели решать еще в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н.э. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах. И в настоящее время многие задачи алгебры, геометрии, физики также решаются с помощью квадратных уравнений. Решая их, люди находят ответы на различные вопросы науки и техники.

Цель работы – изучить способы решения квадратных уравнений.Задачи: 1) Проследить историю возникновения квадратных уравнений.2) Рассмотреть виды квадратных уравнений и способы их решения.3) Показать на примерах решение задач с помощью квадратных

уравнений.4) Разработать расчет корней квадратного уравнения с помощью

электронной таблицы Excel.Объект исследования – квадратные уравнения.Предмет исследования – способы решения квадратных уравнений.Методы исследования: работа с учебной и научно-популярной

литературой, вычисления, сравнение, анализ.


1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КВАДАРТНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

В Древнем Вавилоне необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

x2 + x = 34 , х2 – х = 14 1

2Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах,

совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Пример, взятый из одной из глиняных табличек этого периода.«Площадь, состоящая из суммы двух квадратов, составляет 1000.

Сторона одного из квадратов составляет стороны другого квадрата, уменьшенные на 10. Каковы стороны квадратов?»

Это приводит к уравнениям, решение которых сводится к решению квадратного уравнения, имеющего положительный корень. В действительности решение в клинописном тексте ограничивается, как и во всех восточных задачах, простым перечислением этапов вычисления, необходимого для решения квадратного уравнения:

«Возведи в квадрат 10; это дает 100; вычти 100 из 1000; это дает 900» и т.д.

1.2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Он был одним из самых своеобразных древнегреческих математиков, труды которого имели большое значение для алгебры и теории чисел. Полагают, что он жил в III в. н.э. в Александрии – центре научной мысли эллинистического мира. Из работ Диофанта самой важной является «Арифметика», из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых


объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разной степени.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 – х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение

(10 + х) (10 – х) = 96,или

100 – х2 = 96,х2 – 4 = 0.

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, а другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

1.3. Квадратные уравнения в Индии

Еще в глубокой древности Индия славилась знаниями в области астрономии, грамматики и других наук. Наибольших успехов индийские ученые достигли в области математики. Они явились основоположниками арифметики и алгебры, в разработке которых пошли дальше греки.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах2 + bх = с, а> 0.В данном уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и

отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.В Древней Индии были распространены публичные соревнования в

решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.«Обезьянок резвых стаяВсласть поевши, развлекалась.Их в квадрате часть восьмаяНа полянке забавлялась.

А двенадцать по лианам…Стали прыгать, повисая…Сколько ж было обезьянок, Ты скажи мне в этой стае?»


Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Соответствующее задаче уравнение ( x8 )

2

+12=x Бхаскара пишет под

видом x2 – 64x = -768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:

x2 – 64x + 322 = -768 + 1024,(x – 32)2 = 256,x – 32 = ±16,

x1 = 16, x2 = 48.

1.4. Квадратные уравнения в Китае

Первые дошедшие до нас китайские письменные памятники относятся к эпохе Шан (XVIII-XVII вв. до н.э.). И уже на гадальных костях XIV в до н.э., найденных в Хэнани, сохранились обозначения цифр. Но подлинный расцвет науки начался после того, как в XII в. до н.э. Китай был завоеван кочевниками Чжоу. В эти годы возникают и достигают удивительных высот китайская математика и астрономия. Появились первые точные календари и учебники математики. К сожалению, «истребление книг» императором Цинь Ши Хуаном не позволило ранним книгам дойти до нас, однако они, скорее всего, легли в основу последующих трудов.

«Математика в девяти книгах» - это первое математическое сочинение из ряда классических в древнем Китае. В этом сочинении содержится разнообразный и богатый по содержанию математический материал, в том числе и квадратные уравнения.

Китайская задача: «Имеется водоем со стороной 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?»

Решение.(x + 1)2 = х2 + 52

х2 + 2х + 1 = х2 + 252х = 24

х = 12, 12 + 1 = 13Ответ: 12 чи, 13 чи.

1.5. Квадратные уравнения у ал-Хорезми

«Я составил краткую книгу об исчислении алгебры и алмукабалы, заключающую в себе простые и сложные вопросы арифметики, ибо это необходимо людям…». Муххамед бен-Муса ал-Хорезми.


Багдадский ученый IX в. Ал-Хорезми известен прежде всего своей «Книгой о восстановлении и противопоставлении» («Китаб аль-джебер вальмукабала»), от названия которой произошло слово «алгебра». Этот трактат является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т.е. ах2 = bx.2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bx.5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с.6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел,

члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений.

При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Приведем пример.«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается

корень уравнения х2 + 21 = 10х).Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней,

получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

1.6. Квадратные уравнения в Европе XIII- XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII.


Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2 + bx = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, c было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется и Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в., благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.


2. ВИДЫ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Квадратным уравнением называется уравнение видаах2 + bx + с = 0,

где a, b и c – действительные числа, причем a ≠ 0. Числа a, b и c носят названия: a – первый коэффициент, b- второй коэффициент, c - свободный член.

Если a = 1, то квадратное уравнение называют приведенным. х2 + px + q = 0 – стандартный вид приведенного квадратного уравнения

Если a ≠ 1, то квадратное уравнение называют неприведенным.Если одна из величин b, c или обе вместе равны нулю, то квадратное

уравнение называется неполным; если и b и c не равны нулю, квадратное уравнение называется полным.

Примеры.3х2 + 8x - 5 = 0 – полное неприведенное квадратное уравнение;3х2 - 5 = 0 – неполное неприведенное квадратное уравнение;х2 - 12x + 7 = 0 – полное приведенное квадратное уравнение; х2 - 4x = 0 – неполное приведенное квадратное уравнение;Корнем квадратного уравнения ах2 + bx + с = 0 называют всякое

значение переменной х, при котором квадратный трехчлен обращается в нуль.

Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.


3. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Графическое решение квадратных уравнений

Этим методом можно решать квадратные уравнения не дожидаясь систематического изучения темы «Квадратные уравнения», причем различными способами.

Пример. Решить квадратное уравнение х2 – 2x – 3 = 0 I способ. Строят график функции y = ах2 + bx + с и находят точки его

пересечения с осью x.Построим график функции х2 – 2x – 3 = 0 1) Имеем a = 1, b = -2.Абсцисса x0 вершины параболы вычисляется по формуле x0 = - b

2 a = 1, y0 = f(1) = 12 – 2 – 3 = -4. Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4).

Осью параболы служит прямая x=−b2 a ,

т.е. x = 1.2) Возьмем на оси x две точки, симметричные

относительно оси параболы, например точки x = -1 и x = 3. Имеем: f(-1) = f(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).

3) Через эти точки (-1; 0), (1; 4), (3; 0) проводим параболу (рис.1).

Корнями уравнения х2 –2x –3 = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью x.

рис.1 Ответ: x1 = - 1; x2 = 3

II способ. Преобразуют уравнение к виду ах2 = - bx – с, строят параболу y = ах2 и прямую y = - bx – с, находят точки их пересечения (корнями уравнения служат абсциссы точек пересечения, если таковые имеются).

Преобразуем уравнение х2 – 2x – 3 = 0 к виду х2 = 2x + 3. Построим в одной системе координат графики функций y = х2 и y = 2x + 3 (рис.2). Они пересекаются в двух точках А(-1;1) и В(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В.

Ответ: x1 = - 1; x2 = 3

рис. 2


III способ. Преобразуют уравнение к виду ах2 + с = -bx, строят параболу y = ах2 + с и прямую y = - bx (она проходит через начало координат); находят точки их пересечения.

Преобразуем уравнение х2 – 2x – 3 = 0 к виду х2

- 3 = 2x. Построим в одной системе координат графики функций y = х2 – 3 и y =2x (рис.3). Они пересекаются в двух точках А(-1; 2) и В(3; 6). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В.

Ответ: x1 = - 1; x2 = 3

рис. 3

IV способ. Применяя метод выделения полного квадрата, преобразуют уравнение к виду

a(x + l) + m = 0a(x + l)2 = -m

Строят параболу y = a(x + l)2 и прямую y = -m, параллельную оси x; находят точки пересечения параболы и прямой.

Преобразуем уравнение х2 – 2x – 3 = 0 к виду

х2 – 2x + 1 – 4 = 0и далее

х2 – 2x + 1= 4, т.е. (х - 1)2 = 4Построим в одной системе координат

параболу y =(х – 1)2 и прямую y = 4 (рис.4). Они пересекаются в двух точках А(-1; 4) и В(3; 4). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В.

Ответ: x1 = - 1; x2 = 3рис. 4

V способ. Преобразуют уравнение к видуa x2

x+ bx

x+ c

x=0

x, т.е.

ax+b+ cx=0 и далее

cx=−ax−b

Строят гиперболу y= cx (это гипербола при условии, что с ≠ 0) и прямую

y = -ax + b; находят точки их пересечения. Разделив почленно обе части уравнения х2 – 2x – 3 = 0 на x, получим

x−2−3x=0 ;

x−2=3x .


Построим в одной системе координат гиперболу y = 3

x и прямую y = x - 2 (рис.5). Они пересекаются в двух точках А(-1; -3) и В(3; 1). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В.

Ответ: x1 = - 1; x2 = 3

рис. 5

Графические способы решения квадратного уравнения не дают стопроцентный результат, т.к. не всегда точки пересечения графиков «хорошие», т.е. целочисленные, как в рассмотренных примерах.

Далее рассмотрим алгебраические способы решения квадратных уравнений.

3.2. Метод разложения левой части уравнения на множители

Этот метод широко применяется для решения неполных квадратных уравнений вида ах2 + bx = 0 и ах2 + с = 0

Пример 1. Решить уравнение 3х2 + 4x = 0Разложим левую часть уравнения на множители вынесением общего

множителя за скобки: 3х2 +4x = 0х(3x +4) = 0

x = 0 или 3x +4 = 0 3x =-4

x = −43

x = −1 13

Ответ: x1 = 0; x2 = −1 13

Пример 2. Решить уравнение 4х2 - 1 = 0Разложим левую часть уравнения на множители по формуле

сокращенного умножения a2 – b2 = (a-b)(a+b): 4х2 - 1 = 0

(2x – 1)(2x +1) = 02x – 1 = 0 или 2x + 1 = 0

2x = 1 2x= -1 x = 1

2 x = - 12

Ответ: x1 = 12; x2 = - 1

2


Если уравнение в левой части содержит квадратный трехчлен, то его можно разложить на множители способом группировки или методом выделения полного квадрата.

Пример 3. Решить квадратное уравнение х2 – 2x – 3 = 0 Разложим квадратный трехчлен х2 – 2x – 3 на множители способом

группировки:х2 – 2x – 3= х2 + x – 3x – 3 = x(x + 1) – 3(x + 1) = (x + 1)(x – 3)

Теперь заданное уравнение можно переписать в виде (x + 1)(x – 3) = 0Находим корни уравнения:

(x + 1) = 0 и (x – 3) = 0x1 = - 1 x2 = 3

Ответ: x1 = - 1; x2 = 3

Пример 4. Решить квадратное уравнение х2 – 2x – 3 = 0 Разложим квадратный трехчлен х2 – 2x – 3 на множители методом

выделения полного квадрата. Для этого запишем выражение х2 – 2x – 3= (х2 – 2x + 1) – 4= (x – 1)2 – 4 = (x –1+ 2)(x –1– 2)=(x+1)(x-3) Перепишем заданное уравнение в виде (x + 1)( x - 3) = 0Откуда находим: x1 = - 1, x2 = 3Ответ: x1 = - 1; x2 = 3

3.3. Решение уравнений по теореме Виета

Особого внимания заслуживают квадратные уравнения, в которых первый коэффициент равен единице. Такие уравнения называют приведенными.

Свойства корней приведенного квадратного уравнения х2 + px + q = 0 выражается теоремой, названной теоремой Виета по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е.

x1 + x2 = - px1 · x2 = q

Пример. Решить приведенное квадратное уравнение х2 - 9x + 14 = 0Найдем два числа x1 и x2, такие, что

x1 + x2 = 9 x1 · x2 = 14Такими числами являются 2 и 7: 2 + 7 = 9; 2 · 7 = 14Ответ: x1 = 2; x2 = 7


3.4. Решение квадратных уравнений способом «переброски»

При решении квадратных уравнений данным способом важно учитывать следующее условие: дискриминант является точным квадратом.

Пример. Решить уравнение 3х2 - 5x + 2 = 0Умножим обе части уравнения на первый коэффициент a = 3.Приходим к уравнению 3∙3х2 - 3∙5x + 3∙2 = 0, равносильному данному.Обозначим 3∙ x = y, получаем уравнение y2 – 5y + 6 = 0Корни полученного уравнения найдем по теореме Виета:

y1 + y2 = 5y1 · y2 = 6

Получаем, y1 = 2; y2 = 3. Отсюда, x = y3 x1=

23 , x2 = 1

Ответ: x1=23 , x2 = 1

3.5. Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов

Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.1. Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, т.е.

а + b + с = 0, тоx1 = 1, x2 = c

a2. Если сумма старшего коэффициента и свободного члена равна

среднему коэффициенту, т.е. а + с = b , тоx1 = -1, x2 = −c

aПример 1. Решить квадратное уравнение 35х2 - 59х + 24 = 0Здесь а = 35, b = -59, с = 24Применяем условие а + b + с = 0, т.е. 35 + (-59) + 24 = 0.Тогда, x1 = 1, x2 = 24

35

Ответ: x1 = 1, x2 = 2435

Пример 2. Решить квадратное уравнение 138х2 +135х - 3 = 0Здесь а = 138, b = 135, с = -3Применяем условие а + с = b , т.е. 138 + (-3) = 135.Тогда, x1 = -1, x2 = 3

138

Ответ: x1 = -1, x2 = 3138

3.6. Решение квадратных уравнений по формуле

Успех в решении квадратных уравнений вышеописанными способами зависит от наличия одного из двух благоприятных обстоятельств:


1) квадратный трехчлен удалось разложить на множители; 2) графики, которые используются для графического решения уравнения, пересекались в «хороших» точках.

Поэтому математики искали универсальный способ, пригодный для решения любых квадратных уравнений, и нашли его.

Рассмотрим алгоритм решения уравнений ах2 + bx + с = 0 по формулам корней квадратных уравнений.

1. Вычислить дискриминант D по формуле D = b2 - 4ac2. Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.3. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень:

x = −b2 a

4. Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:x1 = −b+√ D

2 a , x2 = −b−√ D2 a

Этот алгоритм универсален, он применим как к полным, так и неполным квадратным уравнениям.

Пример 1. Решить квадратное уравнение 2х2 + 4x + 7 = 0Здесь a = 2, b = 4, c = 7D = b2 - 4ac = 42 – 4∙2∙7 = 16 – 56 = -40Так как D < 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.Ответ: корней нет.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 4х2 - 20x + 25 = 0Здесь a = 4, b = -20, c = 25D = b2 - 4ac = (-20)2 – 4∙4∙25 =400 – 400 = 0Так как D = 0, то данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот

корень находится по формуле x = −b2a .

Значит, x = −202∙ 4 = 2,5

Ответ: x = 2,5

Пример 3. Решить квадратное уравнение 2х2 - 5x + 2 = 0Здесь a = 2, b = -5, c = 2D = b2 - 4ac = (-5)2 – 4∙2∙2 =25 – 16 = 9Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти

корни находят по формулам:x1 = −b+√ D

2a = 5+32∙2 = 2

x2 = −b−√ D2 a = 5−3

2 ∙2=1

2

Ответ: x1 = 2, x2 = 12


3.7. Решение квадратных уравнений по формуле корней квадратного уравнения со вторым четным коэффициентом

Из основной формулы корней квадратного уравнения x = −b± √ D2a можно

получить дополнительную формулу, по которой проще вычислять корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом.

Разделим числитель и знаменатель дроби −b+√ D2a на 2, получим

x = −b ± √ D2a

=

−b2

± 12

√ D

a=

−b2

±√ 14

D

a

Итак, корни квадратного уравнения, в котором второй коэффициент – четное число, проще вычислять по формуле

x=

−b2

±√ 14

D

a, где 1

4D=¿.

Если в квадратном уравнении второй четный коэффициент обозначить 2k, то уравнение примет вид ах2 + 2kx + с = 0. Тогда для решения этого уравнения удобнее использовать формулу для вычисления дискриминанта: D1 = k2 – ac, где D1=

14

D. В этом случае формула корней квадратного уравнения будет выглядеть так:

x=−k ±√D1

aЭту формулу называют формулой корней квадратного уравнения со

вторым четным коэффициентом.Пример. Решить квадратное уравнение 3х2 - 16x + 5 = 0.Здесь a = 3, второй коэффициент b = -16 – четное число. Применим

дополнительную формулу корней:14

D=¿(-8)2 - 3∙5 = 64 – 15 = 49

x=8 ±√493

, x=8 ±73

,

x1 = 5, x2 = 13

Ответ: x1 = 5, x2 = 13

3.8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Рассмотрим следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки.


Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х1; 0) и D (х2;

0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; ca ) на оси ординат (рис.6). Тогда по теореме о

секущих имеем ОВ∙ОD = ОA∙ОС, откуда

ОС = OB∙ ODOA

=x1 ∙ x2

1= c

a .

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

рис. 6

SK = x1+x2

2=

−ba2

=−b2a

, SF = y1+ y2

2=

1+ ca

2=a+c

2a Итак:1) построим точки S (−b

2 a; a+c

2 a¿ - центр окружности и А (0;1);

2) проведем окружность с радиусом SA;3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются

корнями квадратного уравнения.При этом возможны три случая.1) Радиус окружности больше ординаты центра (рис.7): AS > SK, или R > a+c

2a , окружность пересекает ось Ох в двух точках B (х1; 0) и D (х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (рис.8):AS = SВ, или R = a+c

2 a , окружность касается оси Ох в точке B (х1; 0), гдех1 - корень квадратного уравнения.3) Радиус окружности меньше ординаты центра (рис. 9):AS < SВ, или R < a+c

2a , окружность не имеет общих точек с осью абсцисс , в этом случае уравнение не имеет решения.


рис.7 рис.8 рис.9

Пример. Решить уравнение х2 - 2х - 3 = 0.Определим координаты точки центра

окружности по формулам:х = −b

2 a=−−2

2 ∙ 1=¿ 1

у =a+c2a

=1−32 ∙1

=¿ -1Проведем окружность радиуса S A, где А (0; 1). На рисунке 10 видно, что окружность пересекает ось абсцисс в точках -

1 и 3. Ответ: х1 = - 1, х2 = 3 рис.10.

3.9. Решение квадратных уравнений геометрическим способом

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Рассмотрим пример из "Алгебры" ал-Хорезми. В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Решим уравнение х2 + 10х = 39 геометрическим способом.


Рассмотрим квадрат со стороной х. На его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2 1

2,

следовательно, площадь каждого равна 2 12

x. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2 1

2, а площадь 614 .

рис. 11

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: - первоначального квадрата х2, - четырех прямоугольников (4 ∙ 2 1

2x = 10 х) и

- четырех пристроенных квадратов (4 ∙ 6 14=¿25), т.е.

SABCD = х2 + 10х + 25.Заменяя х2 + 10х числом 39, получим что S = 39 + 25 = 64, откуда

следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

х = 8 - 2 12 - 2 1

2 = 3.Ответ: x = 3 3.10. Решение уравнений с помощью теоремы Безу

Остаток от деления многочлена P (x) на двучлен х - α равен P (α), т.е. значению P (x) при х = α.

Если число α является корнем многочлена P (x), то этот многочлен делится на х - α без остатка.

Пример. Решить квадратное уравнение х2 - 3х - 4 = 0 с помощью теоремы Безу.

Здесь a = 1, b = -3, c = -4.Свободный член -4 имеет делители ±1, ±2, ±4.Подставим каждое из делителей в уравнение и найдем, кокой из них

удовлетворяет равенству х2 - 3х - 4 = 0:При x = 1 : х2 - 3х - 4 = 12 - 3∙1 – 4 = -6 ( ≠ 0)При x = -1 : х2 - 3х - 4 = (-1)2 - 3∙(-1) – 4 = 0. При x = -1 значение многочлена равно 0. Это означает, что x = -1

является корнем уравнения, а х2 - 3х - 4 = 0 должно делиться на двучлен x +1.

Выполним деление: x2−3x−4x+1

=¿ x – 4

х2 - 3х - 4 = (x + 1)(x – 4)Решаем получившееся линейное уравнение (x + 1)(x – 4)= 0Отсюда, x1 = - 1, x2 = 4


Ответ: x1 = - 1, x2 = 4


4. ПРИМЕНЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

Во многих случаях при составлении уравнений по условиям задач получаются квадратные уравнения или уравнения, сводящиеся к квадратным. Такие задачи часто встречаются в математике, физике, технике.

Решение задач с помощью уравнений сводится не только к решению уравнения, но и истолкованию результата в соответствии с условием задачи.

Приведу примеры решение двух задач по физике. Первая задача по теме «Кинематика. Движение тела, брошенного вертикально вверх», вторая – по теме «Законы постоянного тока».

Задача 1. Камень брошен вертикально вверх. Определить через сколько секунд он достигнет высоты 60 м, если начальная скорость камня была 40 м/с. Ускорение свободного падения принять за 10 м/с2. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Движение камня равноускоренное, поэтомуh = υ0t - ¿

2

2

- ¿2

2 + υ0t – h = 0Подставим данные задачи в уравнение.

- 5t2 + 40t – 60 = 0Разделив его обе части на -5, получим равносильное ему приведенное

квадратное уравнение:t2 - 8t + 12 = 0, где p = -8, q = 12

Для нахождения корней квадратного уравнения воспользуемся теоремой Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. t1 + t2 = -p; t1 ∙ t2 = q.

Найдем такие два числа t1 и t2, чтобы выполнялись равенства t1 + t2 = 8t1 ∙ t2 = 12.

Нетрудно заметить, что такими числами будут 2 и 6. Они и являются корнями заданного уравнения. Следовательно, t1 =2с, t2 = 6с.

Ответ: камень будет находиться на высоте 60 метров дважды. Первый раз, когда полетит вверх, через 2с, и второй раз, когда полетит вниз, через 6с.

Задача 2. Две электрические цепи состоят из резисторов с известным сопротивлением R и 2R и неизвестным сопротивлением r. При каком сопротивлении r сопротивления обеих цепей окажутся одинаковыми и каково при этом полное сопротивление цепи?


R R

r2R

2R

Rr2R

А А

В В рис.12 рис.13

РешениеПриведем сокращенное решение физической задачи. Подробное

решение см. в Приложении 1.Найдем полное сопротивление обеих цепей и приравняем их.Полное сопротивление первой цепи:

Rобщ1 = R+2 R (R+ 2 Rr

2 R+r)

2R+R+ 2Rr2 R+r

Полное сопротивление второй цепи:Rобщ2 = R+ 2 Rr

2 R+rПолучаем,

R+ 2 Rr2R+r

=R+2 R(R+ 2 Rr

2 R+r)

2 R+R+ 2Rr2 R+r

Приводим уравнение к общему знаменателю, упрощаем, приводим подобные и получаем квадратное уравнение вида:

r2−Rr−2 R2=0Решим полученное квадратное уравнение по формуле корней. Здесь a = 1, b = -R, c = -2R2. Дискриминант квадратного уравнения:D = b2 – 4ac = (-R)2 – (4·1·(- 2R2) = R2 + 8R2 = 9 R2, √D = 3RТ.к. D > 0, то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле:

r=−b ± √ D2 a

Итак, r1=R+3 R

2=2 R; r2=

R−3 R2

=−R (не имеет смысла)

Общее сопротивление цепи Rобщ = R + 2 Rr2 R+r = R + 2R ∙2R

2R+2 R = R + 4 R2

4 R =

2R

Ответ: При сопротивлении r = 2R сопротивления обеих цепей окажутся одинаковыми, общее сопротивление цепи равно 2R.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Квадратные уравнения – это фундамент алгебры. Потребность в уравнениях была велика. Уравнения применялись в строительстве, в военном деле, в бытовых ситуациях. В настоящее время умение решать квадратные уравнения необходимо для всех. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики.

Способов решения квадратных уравнений много. В своей работе я рассмотрела 10 способов. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ГИА по математике.

На примере решения двух задач по темам: «Кинематика. Равноускоренное движение» и «Законы постоянного тока» я показала, как квадратные уравнения применяют на уроках физики. Большинство практических задач реального мира тоже сводится к решению квадратных уравнений.

Считаю, что работа может быть полезна учащимся, т.к. в учебниках нет информации об истории возникновения квадратных уравнений, а также педагогам для использования на факультативных занятиях.


СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука, 1978.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе VII-VIII кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982.

3. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Алгебра: Геометрия: Прил.: Справ. материалы: Учеб. пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1986.

4. Дубина А.Г., Орлова С.С., Шубина И.Ю., Хромов А.В. Excel для экономистов и менеджеров. – СПб.: Питер, 2004.

5. Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в вузы (Д.И.Аверьянов, П.И.Алтынов и др.). – М.: Дрофа, 2002.

6. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов/ авт.-сост. В.Н. Студенецкая, Л.С. Сагателова. – Волгоград: Учитель, 2006.

7. Макарычев Ю.Н. Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2008.

8. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

9. Пособие по математике для поступающих в вузы. / под. ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука, 1982.


R R

r2R

2R

R

r2R

Приложение 1

Задача 2. Две электрические цепи состоят из резисторов с известным сопротивлением R и 2R и неизвестным сопротивлением r. При каком сопротивлении r сопротивления обеих цепей окажутся одинаковыми и каково при этом полное сопротивление цепи?

А А

В В рис.1 рис. 2

Решение1. Найдем полное сопротивление электрической цепи, изображенной на

рис.1:

Rобщ1 = R+2 R (R+ 2 Rr

2 R+r)

2R+R+ 2Rr2 R+r

2. Полное сопротивление электрической цепи, изображенной на рис.2:Rобщ2 = R+ 2Rr

2 R+r3. Т.к по условию задачи сопротивления обеих цепей одинаковы,

приравняем их.

Получаем, R+ 2 R r2 R+r

=R+2R(R+ 2 Rr

2 R+r)

2 R+R+ 2 Rr2 R+r

2Rr2 R+r

=2 R(R+ 2Rr

2 R+r)

2 R+R+ 2 Rr2 R+r

Приводим уравнение к общему знаменателю, упрощаем, приводим подобные:

2Rr2 R+r

=2 R( 2R2+Rr+2 Rr

2R+r)

4 R2+2 Rr+2R2+Rr+2Rr2R+r

2 Rr2R+r

=2 R (2 R2+3 Rr )(2 R+r )

(2 Rr+r )(6 R2+5 Rr )


r2 R+r

=(2 R2+3 Rr )(6 R2+5 Rr )

(2 R+r ) (2R2+3 Rr )= (6 R2+5 Rr ) r

R (2 R+r ) (2 R+3 r )=Rr (6 R+5 r )

4 R2+6 Rr+2 Rr+3 r2=6 Rr+5 r2

2 r2−2 Rr−4 R2=04. Выполнив все преобразования, получаем квадратное уравнение вида:

r2−Rr−2 R2=0Решим полученное квадратное уравнение по формуле корней и

определим неизвестное сопротивление r. Здесь a = 1, b = -R, c = -2R2. Дискриминант квадратного уравнения:D = b2 – 4ac = (-R)2 – (4·1·(- 2R2) = R2 + 8R2 = 9 R2, √D = 3RТ.к. D > 0, то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле:

r=−b ± √ D2 a

Итак, r1=R+3 R

2=2 R; r2=

R−3 R2

=−R (не имеет смысла)

5. Рассчитаем общее сопротивление цепи. Подставим в формулу полного сопротивления значение r = 2R:

Rобщ = R + 2Rr2 R+r = R + 2R ∙2 R

2R+2 R = R + 4 R2

4 R = 2R

Ответ: При сопротивлении r = 2R сопротивления обеих цепей окажутся одинаковыми, общее сопротивление цепи равно 2R.


planeta.tspu.ruplaneta.tspu.ru/files/file/1456651824.docx · web viewОдно из искомых...

Documents