uomustansiriyah.edu.iq · web viewوالمعادلة 2 تأخذ القيم r 3 , r 2 , r 1...

الفصل السادس / السير العشوائي141

الفصل السادسRandom Walkالسير العشوائي

المقدمة:1 – 6 كما اعتدنا ان نمهد ألي موضوع بذكر أولياته وهو أنه تم التطرق

( كونه7لموضوع السيرالعشوائي في الفصل الثاني المثال رقم ) لية التي تعمل بها( العمليةآاحد األمثلة لتوضيح فكرة أو )ال

التصادفية.

Random Walk Processes عمليات السير العشوائي 2 – 6من الممكن وصف عمليات السير العشوائي هو حركة الجزئيء

على خط أالعداد الطبيعية والجزيء هنا خاضع لتصادم أو تعارض.**أو التضارب من أليمين ومن اليسار

بعد ذلك توجد أمكانية السير للجزيء خطوة واحدة إلى أليمين أو امكانية السير للجزيء بأتجاه الشمالpبأحنمال مقداره وهذه التنقالت تكونp+q=1، وعلى فرض ان qبأحتمال مقداره

…t=1,2,3لألوقات . .**. المشكلة المراد تحديدها كما أسلفنا هو قيمة الجزيء( Particle)

)وهي قيمة المتغير العشوائي( بعد عدد من التنقالت وقسم منها بأتجاه أليمين واألخر ممكن باتجاه الشمال وباحتماالتها المحددة.

لنفرض ان الحزيء(R.V). تبدأ من النقطة x=0ما هو أحتمال انه , 1 .** من التنقالتn بعد x=cسوف يظهر في النقطة

- =x في النقطة absorbing barrierإذاً يوجد حد أالشباع )أالمتصاص( a , a>0( إذن ما هو أحتمال ممكن أن يمتص يصل إلى حالة أالشباع ،

absorbed في الوقت )t ؟∞→ )أالمتصاص( في النقطةخرى إذا كان هنا حد أالشباع أوالحالة ال

x=- b , b>0ما هو أحتمال انه يمتص أو يصل إلى حالة أالشباع , أو العكس بالعكس صحيحx=-a( في النقطة absorbed)أالمتصاص( )

؟x=bأي في النقطة

تطبيق عملي مهم لعملية السير العشوائي3 – 6 Important-Application of Random Walk

Gambler's Ruinارة( خسأفالس المقامر) شرح آللية العملية العشوائية )أفالس المقامر( هي ان هناك

, يلعبون سلسلة من اللعب المستقلة بِرهان مقدارهB و Aالعبين دينار واحد )أو أي عملة نقدية واحدة( للعبة الواحدة المستقلة.

** أمثلة برؤوس مواضيع أو هي إجابة على أسئلة لغرض ايصال المادة إلى 1ذهن الطالب بشكل دقيق.

Z1 Z3Z2

X0n=1

X0 + Z1n=2

X0 + Z1+ Z2n=3

X0 + Z1+ Z2+ Z3

العمليات العشوائية 142)فرضياتها وتطبيقاتها(

ويخسر اللعبة p سوف يربح اللعبة الواحدة بأحتمال مقدارهAالالعب .q=1-p( بأحتمال مقداره B)أي ربح

p)حركة الجزيء بنقلة واحدة إلى الشمال(=q أن حيث ,B لالعب b, وA لالعب aونفرض أبتدءاً ان رأسمالهم األبتدائي هو

من اللعب, وما هو احتمال n والسؤل هنا ما هو رأسمالهم بعد من اللعب,n)أي وصول رأسماله إلى الصفر( في A أفالس الالعب

∞=b) غني جداً أي ان Bوإذا كان الالعب وهذه هي الموازاة أو( التوازي أو الشبه بين عملية السير العشوائي ومشاكل أالفالس كما

تظهر بوضوح. )المتغير العشوائي( أبتدءاً كان فيParticleمثال: أفترض أن الجزيء

بالوقت هوx وهذه هي نقطة من نقاط المحور x0نقطة محددة هي n=1 :وستكون العمليات كما يلي

وتكون بعد هذا قيمتهZ1الجزيء سوف ينتقل بقفزة مقدارها .1x0+Z1 عند الوقت n=2.

وسوفZ2 سوف يقفز قفزة مقدارها n=2الجزيء في الوقت .2Xتكون بعد هذا قيمته 0+Z1+Z2وهكذا سوف يستمر بالقفزات وبعد

nمن القفزات يكون موقع الجزي ( ءPosition of the Particle.)

( 1 – 6شكل رقم )X n=¿ X0+¿Z 1+¿Z2+¿Z3+¿… ..+Zn… .(1)¿¿

¿¿¿

X n=¿ Xn−1+¿Z n¿¿

:على فرض أنX n−1=¿ X 0+¿Z 1+Z2+¿Z3+… +Zn−1¿

¿¿

هي متسلسلة لمتغيرات عشوائية مستقلةZiعلى افتراض أن وومتماثلة بالتوزيع

Independent and identically distributed random variables )i.i.d(X على اعتبار أن o=0

(1 االحتمالي لمجموع المتسلسلة رقم )التوزيعونرغب في معرفة من التنقالت ومثل هذه العملية تدعى عمليةnأو قيمة الجزيء بعد

السير العشوائي.

.Un restricted R.w السير العشوائي الغير المقيد )الحر( 4 - 6

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8


أفترض أن عملية السير العشوائي ابتدأت من نقطة االصل وفي التجاهينا هو حر بالحركة ألي من particleهذه الحالة الجزيء

)ليمين أو الشمال( وبعد ذلك يجب أن يكون لدينا المتسلسلة التالية:

X n=∑r=1

n

Z r

يكون أحد القيم اآلتية:nفالقيم الممكنة للجزيء في الوقت K=0 ,±1 , ±2 , ±3 ,…. ,±n

n في الوقتKولتكوين نظام للوصول إلى أي نقطة من نقاط فالجزيء يجب عليه عمل التنقالت اآلتية

r1=¿¿ الموجبةالنقالتعدد r2=¿¿عدد النقالت السالبة r3=¿ عدد النقالت ذات القيمة صفر¿

r1على فرض أن r2 ,r3 من الممكن أن تكون عدد صحيح موجب تحقق,المتساويات اآلتية:

r1−¿r 2=K ,r3=n−r1−¿r 2… .(1)¿ ¿

Xيء( ولذلك فاالحتماالت المرافقة إلى المتغير العشوائي )الجز r=K , التي هي مجموع حدود احتماليةممكن أن يعطى بالمعادلة التالية( Summation of multinomial)تمثل التوزيع ذي الحدين المتعدد

Prob ( Xn=K )=∑ n!r1! r2!r3 !

pr1(1−p−q)r2qr3….(2)

X)) (2والجانب أاليسر للمعادلة رقم ) n=Kتمثل الزمن الذي فيه , . Kالعملية والتي قيمتها

القيم 2والمعادلة r3 تأخذ , r2 ,r1( و1 وتحقق المعادلة رقم )لذي يجبا Pوألستخراج p+q=1مالحظته وتأكيده عندما يكون ( Xn=K يتالشى أو(

زوجية أما الحالةn فردية عندما تكون Kيزول نهائياً في حالة كون فردية.n زوجية وعندما تكون Kالثانية فهي عندما

(Simple Random Walk السير العشوائي البسيط )5 – 6 أي أنZi=−1,0,1عندما تأخذ عملية السير العشوائي القيم التالية

خذ القيم أعاله بأحتمالت هي:أالجزيء يP (Z i=−1 )=qأو، وهذه هي قفزة سالبة أي تأخر خطوةP (Z i=+1 )=pقفزة موجبة أي تقدم خطوة .


P (Z i=0 )=1−q−qوهو ثبات الجزيء في موقعه )أي عدم التحرك( في مثل هذه الحالة تطلق على العملية بعملية السير العشوائي البسيط

Simple Random Walk.

X: أستخراج األحتمال )6-6 n=K)Pr بطريقة الدالة المولدة للعزوم

الطريقة الثانية أفترض أن هناك بعد واحد لحركة الجزيء في عملية السير

العشوائي وأخيراً سوف ينطلق من نقطة األصل والجزيء بالتتابع سوف يتحرك إلى القيم األخرى عبر خط األعداد الصحيحة والتي

هي: …. ,±4 , ±3 ,±2 ,±1

Xنفترض أن i هو حاصل عملية السير العشوائي في الحركة رقم i على التوالي.p ،q=(−p) ،1−p−q بأحتماالت هي 0- ,1+ ,1بقيم هي

Xافترض أن ( ) iهو المتسلسلة المقابلة لمتغيرات عشوائية مستقلة ونريد معرفة احتمال2(i.i.dومتماثلة بالتوزيع والتي تسمى احصائياً )

منn من الحدود أي قيمة الجزيء بعد nمجموع المتسلسلة إلى التنقالت لعملية السير العشوائي

Zn=¿ x1+ x2+ x3+…+ xn¿

Xوواضح أن كل متغير عشوائي من iيتوزع توزيع برنولي بتوقع :رياضي مقداره

E ( X i )= ∑X=−1

1

X i P ¿¿

E ( X i )=1 p+0 (1−p−q )+ (−1 ) q

E ( X i )= p−q…. (1 )

وبتباين مقداره Var (X i )=E xi

2− [ E(X i)]2

¿ p+q−(p−q)2

¿ p+q−(P2−2 pq+q2)

¿ p+q−p2+2 pp−q2

¿ p−p2+q−q2+2 pp

¿ p (1−p )+q (1−q )+2 pp

¿ pq+qp+2 pq

2 ( i.i.d ) تعني العبارة التالية(independent and identically distributed )random variables


¿4 pq ….(2)

الدالة المولدة للعزوم لمشكلة السير العشوائي 6-7Generating Function of Random Walk

لحساب الدالة األحتمالية المولدة للعزوم لمشكلة السير العشوائيا.يوجد هنا أتجاهين وكالهما صحيحين ويمكن اعتمادهم

االتجاه االول:1 – 7 – 6نفرض أن

Zn=¿∑

i=1

n

X i ¿

Xفتكون الدالة المولدة للعزوم للقفزة التي مقدارها i

G x ( t )=E(t x)

¿∑−1

1

t x P (X=x)

G x ( t )=t−1P ( X=−1 )+t0 P ( X=0 )+t1 P(X=1)

G x ( t )=t−1P+(1−p−q )+tp

وقد تم تعريف السلسلة المتتالية:Zn=¿ X1+¿ X2+ ¿X3+¿ … ……… ..+X n¿¿

¿¿

عبارة:Znولهذا سوف تكون الدالة المولدة للعزوم لـ GZn

(t )=E(tZn)

GZn(t )=E ¿

¿ E (t X1 )∗E (tX 2 )∗E ( tX 3 )∗E (t X 4 )∗………∗E (tX n)

¿GX1(t )∗G x2

(t )∗GX3(t )∗GX 4

(t )∗………∗GX n

X والمتغير العشوائي iهو عبارة عن متغير عشوائي مستقل Xومتماثل أي ان i هي i.i.d .

GZn(t )={G x (t )}n

GZn(t )={t−1q+1−p−q+ tp}n

وبما انه القيمة األبتدائية لسلسلة السير العشوائي يساوي صفر X G0 وتكون حسب التعريف 0=0 ( t ولذلك تكون الدالة المولدة1=(

للعزوم:

G (t , s )=∑n−0

∞

Sn{GZn(t)}n… (3 )


( هو متسلسلة ال نهائية فلذلك يكون3وبما أن مفكوك المعادلة )تي:آحدها العام كال

G (t , s )= 11−sG z(t )

, (|SG z ( t )|<1)… (4 )

G (t , s )= t−sp t2+t [1−S (1−p−q ) ]−Sq

…(5)

:وايضاً ممكن كتابتها بالشكل اآلتيG (t , s )= 1

1−S(q t−1+1−p−q+ pt)

تملك كل المعلومات )بأستطاعتنا ان نستخرج أي)G)t,sوهكذا فأن pأحتمال للمتغيرات العشوائية أي أحتمال (Zn=k ويكون مساوي إلى(

tمعامل الحد k Sn في مفكوك G)t,s( وفي هذه الطريقة لو فرضنا أن μ σهو المعدل للسلسلة و هو تباين لها.2ولهذا يكون المتوسط

E [Zn ]=nμ

¿n( p−q)

والتباين يكون كاآلتي:V (Zn )=4 npq

اآلتجاه الثاني:2 - 7 – 6تكون الدالة األحتمالية المولدة للعزوم حسب هذا األتجاه كاآلتي:

GX x( t )=E [t x]

¿∑−1

1

t x p (X=X )

¿ t−1 p ( X=−1 )+t1 p(X=1)

GXi(t )=t−1q+tp

Xوكل متغير عشوائي من السلسلة iيتوزع برنولي بمتوسط وتباين ( 2(, )1قد تم ذكرهم في )

GZn(t )=E [ tZn ]=E ¿

¿ [ tX 1 ]∗E [ t X2 ]∗………….∗E [ tX n]

¿GX1(t )∗GX z

(t )∗……∗GX n( t)

Xوبما أن i هو متغير عشوائي مستقل ومتماثل i.i.d Znولهذا تكون الدالة االحتمالية المولدة للعزوم لمجموع السلسلة

هو:GZn

(t )=[t p+q t−1]n

-b األصل X0= 0 a نقطة


¿ t−n[ p t2+q]n...(6)

يكون لدينا binomial( وفقاً لنظرية ذي الحدين 6افتح المعادلة )

GZn(t )=∑

i=0

n

(ni ) pi qn−i t 2i−n ...(7)

i=n+k( فمن البديهي يكون لدينا K=2i-nوعند التعويض عن ) (7 في )2

ويكون لدينا

Pr (Zn=K )=( nn+k2 )P(n+k )/ 2q (n−k )/2

وطبيعي يكون E ( Zn )=n ( p−q ) , V ( Zn )=4npq

Restricted Random السير العشوائي المقيد)الغير حر( 8 – 6Walk

Two absorbing. حالة وجود حدين لألشباع )األمتصاص(1barriers

أفترض ان الجزيء ينجز عملية السير العشوائي مبتدئاً من نقطة.(a-b>0) ويجب ان يكونا (b,a)-االصل التي هي بين حدين لألشباع هما

(2 – 6شكل ) دين أو أحدحولذلك سوف تتوقف حركة الجزيء عند دخوله أحد ال

وتوجد هناك قواعد أحتمالية عند دخول الجزيءb– أوaالحالتين هما إلى أحد الحدين هي:

. هي أن وصول الجزيء إلى حدين من األشباع )األمتصاص( وهما1a, -bمصحوب بأحتمال موجب و كاآلتي :

(a ) P (Xn=−b )>0(b ) P (Xn=a )>0

( يساويbarriers. أحتمال انتقال الجزيء من والى حدي األشباع )2 ذا دخل الجزيء على أي حد من حدي األشباعإصفر )ومعنى هذا

فال يخرج منها على االطالق(.

fواآلن نبدأ بتعريف (n)ja

-b j-1 j j+1 a

n

n - 1

n

n - 1


f (n)ja: أحتمال ان الجزيء قد دخل حد األشباع a وأ�شبع في الوقت n

, ويمكن صياغة ذلك رياضياً وكاآلتي: jيشترط انه أبتدأ من النقطة f ja

(n )=P (−b<X1<a ,−b<X2<a ,…, Xn=a|X 0= j )…(8)

f حتمال ا يكون الn=0وهنا يجب االشارة إلى ان وعند الوقت aa و1=(0)

0=f jaj وعندما (0) ≠a.

fوبهدف الحصول على معادلة األحتمال العائدة إلى ja(n) سوف kقوم

إلشباع )األمتصاص( باألعتماد على انجاز الخطوةي ابتجزئة حد األولى , وال سيما ان الجزيء سوف يقفز قفزة موجبة وقفزة

سالبة وقفزة صفرية )اي حالة الثبات في موقعه( ويمكن صياغةذلك رياضياً:

f ja(n)=p Pr ( An−1|Start at j+1 )+ (1−p−q ) Pr ( An−1|Start at j )+q Pr ( An−1|Start at j−1 )

:أو يمكن كتابتها كاآلتيf ja(n)=P f j+1 ,a

(n−1)+q f j−1, a(n−1 ) +(1−p−q ) f j , a

(n−1) … (9 )

, ….(j=-b+1 , -b+2 , … , a-1 ; n=0, 1, 2 التالية )jولقيم :مع األحتماالت الخاصة لحدي األشباع والتي هي

( 3 – 6شكل )

f aa(n)=0 ومعنى هذا األحتمال ان الجزيء أنتهى في الحد :aوال يمكن

التحرك منه.f−b , a(n) عندماa وال يستطيع مغادرتها إلى b–: أي أنه ابتدأ في حد 0=

,…………(.n=1,2,3,4)تكون ( نقترح استخدام الدالة األحتمالية المولدة9وتكوين المعادلة رقم )

تؤثر إلى حذف متغير واحد من المتغيرات الموجودة والتيللعزوم في المعادلة والتي تمكننا من حل المعادلة وسوف يتم تعريف الدالة

األحتمالية المولدة للعزوم وهي كاآلتي:

F ja ( s )=∑n=0

∞

f ja(n)Sn=F j(s)


واآلن اضربaوالحد االخير واضح ولتبسيط المعادلة تم حذف سوف تحصلn واجمع حدودها حول Sn( بالمقدار 9المعادلة رقم )

على:

∑n=0

∞

Sn f ja(n )=P∑

n=0

∞

Sn f j+1 , a( n−1) +q∑ Sn f j−1 ,a

( n−1) +(1−p−q )∑n=0

∞

Sn f ja(n−1) … (10 )

تي: آ كال10ويمكن صياغة المعادلة

F j ( s)=PS∑n=0

∞

Sn−1 f j+1 , a(n−1)+qs∑

n=0

∞

Sn f j−1 ,a(n−1) + (1−p−q ) S∑

n=0

∞

Sn−1 f ja(n−1)…(11)

( وتكون بالصيغة اآلتية: 11وتوؤل المعادلة )F j (s )=pS F j+1 (s )+qs F j−1 (s )+(1−p−q ) S F j ( s) …(12)

( من معادالت الفروق من الدرجة الثانية مع12وتعتبر المعادلة ):الدالة المولدة للعزوم الخاصة بحدي االشباع وهي

Fa ( s )=1 ,F−b (s )=0

( سوف تعوض وكمحاولة للحل لكل:12ولحل معادلة الفروق )F j (s )=λ j …(13)λ j=PS λ j+1+qs λ j−1+(1−p−q ) S λ j

j=1وعندما λ=ps λ2+qs+(1−p−q ) sλ

PS λ2− λ+ (1−p−q ) sλ+qs=0

SP λ2−λ {1−s (1−p−q ) }+qs=0….(14)

:وعند حل المعادلة بواسطة الدستور نحصل على

λ i ( s)=−B ±√B2−4 AC2 A

الدستور بقانونه العام

λ i ( s)= {1−s (1−p−q)}±√{1−s (1− p−q)}2−4 pqs2

2PS… (14¿ )

ولذلك(S< 0) هو عدد حقيقي و موجب أي Sن يمكن فرض ان آواليكون المقدار

[ {1−s (1−p−q)}2−4 pqs2 مقدار موجب, هذا يعني:[{1−s (1−p−q)}2−4 pqs2>0

1−s (1−p−q )>2S√ pq

1>S (1−p−q )+2S √ pq

0<S< 1(1−p−q )+2√ pq

وباإلضافة إلى ذلك سوف يتم أخذ الجذور الموجبة أيضاً والحل العام( ممكن ان يعطى بالتعبير اآلتي:12للمعادلة رقم )


F j (s )=A λ1j (s )+B λ2

j (s )… (15)

ممكن تحديد قيمهم من خاللS هما دوال إلى A, Bعندما يكون (.Boundary Condition)طريقة القيم الحدية أي عن طريق

القيم الحدية:Fa ( s )=1F−b (s )=0

f aa(0)=1 f ja

(0 )=0J ≠a

J=aعندما Fa ( s )=A λ1

a ( s )+B λ2a(s)

1=A λ1a (s )+B λ2

a ( s )… (16 )

j=-bعندما F−b (s )=A λ1

−b (s )+B λ2−b(s)

0=A λ1−b ( s)+B λ2

−b ( s) …(17)

وهناA λ1

−b (s )=−B λ2−b(s)

تساوي:Aوهنا

A=−B ( λ1 (s )λ2 (s ) )

b

….(18)

( 16اعاله بالمعادلة رقم )A عوض القيم

1=−B( λ1(s)λ2(s) )

b

λ1a (s )+B λ2

a(s)

1=B( λ2a (s )−

λ1a+b (s )λ2

b (s ) )1=B

λ2a+b ( s )−λ1

a+b (s )λ2

b ( s )

B=λ2

b (s )λ2

a+b (s )−λ1a+b ( s)

( ألستخراج18 في المعادلة )Bوهما من الممكن تعويض عند قيمة أذن Aقيمة

A=−λ2

b ( s)λ2

a+b ( s)−λ1a+b (s ) ( λ1 ( s )

λ2 ( s ) )b

A=−λ1

b ( s )λ2

a+b ( s )−λ1a+b (s )


( 15 في المعادلة )A , Bن يتم التعويض عن قيمتي آوال

F j (s )=−λ1

b (s )λ2

a+b (s )−λ1a+b ( s )

∗λ1j ( s )+

λ2b (s )

λ2a+b (s )−λ1

a+b ( s)λ2

j (s )

F j (s )=−λ1

b ( s )∗λ1j (s )

λ2a+b (s )−λ1

a+b ( s )+

λ2b (s )∗λ2

j ( s )λ2

a+ b ( s)−λ1a+b (s )

¿λ2

b+ j (s )λ2

a+b (s )−λ1a+b (s )

−λ1

b+ j (s )λ2

a+b (s )−λ1a+b (s )

F ja ( s )=λ2

b+ j ( s )−λ1b+ j ( s)

λ2a+ b ( s )−λ1

a+b (s )

j=0واذا ابتدأ الجزيء من نقطة األصل أي عندما تكون

F0a ( s )=λ2

b ( s )−λ1b ( s )

λ2a+b ( s )−λ1

a+b (s )… (19 )

حصلن( هي الدالة االحتمالية المولدة للعزوم ولكي 19 )ةوالمعادلfعلى األحتمال 0a

(n)( للقوة 19 ممكن فتح المعادلة رقم )nً وفقاf, وهنا يكون األحتمال Sلنظرية ذي الحدين مع ضربها بالعامل 0a

(n)هو .Snالمعامل في الحد الذي معامله

وبنفس الطريقة باألمكان ان نحصل على الدالة األحتمالية المولدة أي:bللعزوم اذا كان الجزيء ينتهي بالحد األخر وهو –

F0 ,−b (s )=λ2−a (s )−λ1

−a (s )λ2

−a−b (s )−λ1−a−b (s )

ويكون كاآلتي وبنفس الطريقة السابقةf j ,−b=P (– b<x1<a ,−b<x2<a ,….. xn=−b|x0= j )

n=0وعندما f−b ,−b

(0 ) =1 f j ,−b(0) =0 j ≠−b

j=–b+1,−b+2وعندما يكون ,−b+3 ,…. ,a−1 ;n=0 ,1 ,2 ,….

f j ,−b(n) =p f j+1 , b

(n−1)+q f j−1 ,−b(n−1) + (1−p−q ) f j ,−b

( n−1)… (20)

يكون لدينا:(B. C)ومع طريقة القيم الحدية f−b ,−b

(n ) =0 f a ,−b(n ) =0

المولدة للعزوم عندما ينتهي االحتماليةوبتعريف مماثل للدالة b–الجزيء في الحد

F j ,−b ( s )=∑n=0

∞

f j ,−b Sn=F j ( s)

Sn( مع ضربها مسبقاً بـ 20وبالتعويض بالمعادلة )


F j (s )=pS F j+1 ( s )+qs F j−1 ( s )+(1−p−q ) S F j (s )

ومع القيم الحدية للدالة المولدة للعزوم F−b (s )=1Fa (s )=0

وبنفس الطريقة السابقة:F j (s )=A λ1

j (s )+B λ2j (s )

j=-bوعندما يكون 1=A λ1

−b (s )+B λ2−b (s )

j=aوعندما يكون Fa ( s )=A λ1

a ( s )+B λ2a (s )

0=A λ1a (s )+B λ2

a (s )

A=−B ( λi (s )λ2 (s ) )

−a

1=−B( λ1 ( s )λ2 ( s ) )

−a

λ1−a ( s )+B λ2

−b ( s )

1=B( λ2−b ( s)−

λ1−a−b (s )λ2−a ( s) )

1=Bλ2−a−b ( s)−λ1

−a−b ( s)λ2

−a (s )

كاآلتي:Bاذن تكون قيمة

B=λ2−a ( s)

λ2−a−b (s )−λ1

−a−b (s )

A=

− λ2−a ( s )

λ2−a−b (s )−λ1

−a−b (s )∗λ1

−a ( s )

λ2−a ( s)

A=−λ1

−a (s )λ2−a−b (s )− λ1

−a−b ( s )

F j (s )=λ1

−a (s )λ2

−a−b ( s )−λ1−a−b (s )

λ1j (s )+

λ2−a (s )

λ2−a−b ( s )− λ1

−a−b ( s )∗λ2

j ( s )

F j (s )=λ2

−a+ j ( s )−λ1−a+ j ( s)

λ2−a−b ( s )−λ1

−a−b (s )… (21 )

j=0ًوعندما يبدأ الجزيء من نقطة االصل أي عندما يكون ايضا


F0 ,−b (s )=λ2

−a (s )−λ1−a (s )

λ2−a−b (s )−λ1

−a−b (s )… (22 )

: تطبيق السير العشوائي في موضوع أفالس المقامر9 – 6Application in Gambler’s Ruin

سوف نحصل على المعادلة اآلتية14بالعودة إلى المعادلة رقم . هو ثابت غير معروفλ ونفرض ان S=1وبالتعويض عن

P λ2− λ+q=0… (23 )

( بواسطة التجزئة 23ولحل المعادلة )(λ1−1 ) (P λ2−q )=0

λ1=1P λ2=q∴ λ2=qp

ولهذه النتائج التي تم الحصول عليها نفرض ان λ1 (1 )=1 λ2 (1 )= q

pp>q تكون عندما

λ1 (1 )= qp

λ2 (1 )=1q>p تكون عندماλ1 (1 )=1=λ2 (1 )q= pتكون عندما

تيآ هو كالaوأحتمال أن يتم األشباع )األمتصاص( في حد األشباع وباألفتراضات التالية:

λ1=qp

λ2=1Whenq> p

F0a ( s )=λ2

b ( s )−λ1b ( s)

λ2a+b ( s )−λ1

a+b (s )

( سابقا19ًوهي المعادلة رقم )

F0a (1 )=f 0a=1−( q

p )b

1−( qp )

a+b

f 0a={pa pb−qb

pa+b−qa+b p≠q عندماb

a+bp=q عندما

(24 )

fوبكالم آخر يعني 0a( هو أحتمال ان الالعب 24 في معادلة )Bً اخيرا أفلس} Aعب اربح اللعبة {والل

0 a


واالن نسعى ألستخراج أحتمال ان يتم األشباع )األمتصاص( في حد وكاألتي bاألشباع -

F0 ,−b (1 )= f 0 ,−b=1−f 0 , a=1−Pa pb−qb

pa+b−qa+b

∴ f 0 ,−b={qb pa−qa

pa+b−qa+b p≠q عندماa

a+bp=q عندما

(25)

b( تعني أحتمال ان يكون األشباع في حد األشباع –25والمعادلة ) افلس نهائياً { وهو ربحBوهو ايضاً يعني بكالم آخر ان الالعب

} Aالالعب ( أي وجود14 أي ايجاد الحل إلى المعادلة )(¿14)وألجل حل المعادلة

λقيم S وبأستخدام الحل بالتجربة يكون لدينا:'

λ i (1 )={1− (1−p−q ) }∓√ {1−(1−p−q ) }2−4 pq

2 p

¿p+q∓√ {1−(1−p−q ) }2−4 pq

2 p

وعند أخذ مقدار البسط بصورة منفصلة وتبسيطه يكون كاآلتي:{1− (1−p−q ) }2−4 pq=1−2 (1−p−q )+(1−p−q)2−4 pq

¿1−2−2 p−2q+1+ p2+q2−2 p−2q+2 pq−4 pq

¿ p2−2 pq+q2=( p−q )2

∴ λ i (1 )= p+q∓ ( p−q )2 p

وهكذا يكون أما:λ1=

p+q+ p−q2 p

=2 p2 p

=1

أو:λ2=

p+q−p+q2 p

=2 p2 p

= qp

One absorbing barrier حالة وجود حد واحد لألشباع 10 – 6

( 4 – 6شكل رقم ) x0=0هنا يتم األفتراض بأن الجزيء سوف يبدأ بالسير من الحالة

a>0 وضع في مكان في النقطة (absorbing barrier)وان حد األشباع (( وهنا يكون:4 – 6)كما في الشكل )


f a(n : يعني أحتمال ان األمتصاص أو األشباع سوف يحدث في النقطة(a( في الوقت n( أو الخطوة )nواآلن ال بد من تعريف الدالة )

المولدة للعزوم:

Fa ( s )=∑n=1

∞

f a(n )Sn=E ( Sn ) …. (26 )

في∞→b( ممكن الحصول عليها من افتراض ان 26والمعادلة ) (19معادلة الدالة االحتمالية المولدة للعزوم أي في المعادلة )

وكاآلتي:

Fa ( s )=limb→ ∞

F0a ( s )=λ1

b ( s )− λ2b (s )

λ1a+b ( s )− λ2

a+b (s )… (27 )∗¿∗¿

λ1وعندما ( s) ≥ λ2 ( s )

¿ limb→ ∞

1−( λ2 ( s)λ1 ( s) )

b

λ1a (s )−( λ2 (s )

λ1 (s ) )b

− λ2b (s )

… (28 )

<λ1وبما ان λ2( هو28 فأن مقدار الكسري البسط والمقام المعادلة ) ولذلك فأن ∞( وباألضافة انه قد رفع إلى اس مقداره 1اقل من )

المقدار سوف يوؤل إلى الصفر في البسط والمقام.إاذن

Fa ( s )= 1λ1

a (s )وبما أن ومن خالل ما تقدم

λ1 ( s)∗λ2 (s )= qp

اذنFa ( s )=( q

p )−a

λ2a (s )

fوبأستطاعتنا الحصول على األحتمال a(n Fa عند فتح ( ( s منnإلى (

fالحدود حسب مفكوك نيوتن ويكون a(n في الحدود.Sn هو معامل (

ولهذا فأن Fa (1 )=Fa

( n)=(qp )

−a

λ2−a (1 )=( q

p )−a

λ2عندما تكون (1 )=1 تطبيق عملي عند وجود حد واحد لألشباع 11 – 6

Important application When One absorbing barrier

Non cancerous Mild Moderate Severe Carcinomia Invasive State Dysplasia Dysplasia Dysplasia Cancer Cancer

S0 S1 S2 S3 S4 S5


(5 – 6شكل رقم ) ( وعندما يصيب الخاليا(Cancerفي دراسة مراحل تطور السرطان

فأندثار الخاليا الطبيعية(Carcinogen)الحية الطبيعية فيعرف باسم يأتي من تفاعل جرثوم السرطان مع الخاليا الطبيعية وباألخر انتقال هذه الخاليا إلى خاليا مصابة أي خاليا سرطانية ولتطبيق تطور مرض

السرطان بالسير العشوائي فعند وجود حد واحد لألشباع وبأصابة ( يوضح حالة5 – 6الخاليا الحية بمرض السرطان فالشكل رقم )

( أيS0الخاليا الحية الطبيعية )الخالية من أي اصابة( هي في الحالة ) حالة عدم األصابة وعند األصابة بالمرض )ال سامح الله( سيكون

والتي تعتبر حالة معتدلة ويجبS1 إلى الحالة S0انتقال الخاليا األشارة هنا الوسائل العالجية المشعة ترغب بنقل الخاليا المصابة

إلىS0بالحالة S1وذلك بالعالج المكافىء إلى هذه الحالة ولكن وبشكل طبيعي ان جرثوم المرض يرغب بهدم خاليا اخرى واألنتقال بحالة

ونرى من هذا التوضيح ان هناك صراع، الجرثومS2الخاليا إلى الحالة S4يحاول التقدم نحو الخاليا , S3 , S2 وصوالً إلى S5والعالج يحاول أنهاء

ومما تجدر األشارة اليهS0الجرثوم واألنتقال بحالة الخاليا إلى الحالة سوف يكون من المتعذر على العالجS5وعند دخول الخاليا الحالة

S2ارجاع حالتها إلى , S3, S4)وهنا تدخل الحالة إلى حد األشباع )الموت أي موت الكائن الحي.

ويمكن تمثيل المثال السابق وهي حالة هدم الخاليا الطبيعية )أي S0تصبح خاليا مصابة( وفي حالة بناء خاليا أي جعلها تعود إلى الحالة )أي خالية من كل أصابة )طبيعياً بالعالج المقابل( كعمليات الوفاء

death ) وعمليات الوالدة(birth )في تحديد حجوم المجتمعات وبشكل دقيق اذا كانت عمليات الهدم مقابل عمليات البناء تصل إلى الصفر

في هذه الحالة المريض سوف يتماثل إلى الشفاء وفي الجانب اآلخر اذا كانت عمليات الهدم مقابل عمليات البناء تصل إلى

تعني هذه الحالة سوف تكون حالة فقدان المريض r(, r>0)المستوى .S5وبشكل مؤكد أي وصوله إلى الحالة

ولتسهيل فهم النموذج الذي سيتم بناؤه في هذه الحالة توجد بعضالتعريفات.

i:عدد عمليات الهدم مقابل عمليات البناء )وهو حجم المجتمع( وهو ,..i=0,1,2,3متغير عشوائي

λ iكثافة عمليات البناء بشرط يوجد عدد من عمليات البناء مقابل : عمليات الهدم

μiكثافة عمليات الهدم بشرط يوجد عدد من عمليات البناء مقابل : عمليات الهدم


λ i ، μi ممكن تمثيلها دالة تصاعدية وتنازلية لعدد i.على التوالي X ( t : هو حجم المجتمع )وهو يعني الزيادة في عمليات البناء مقابل(

لعمليات الوالدة والوفاة مع معلماتtعمليات الهدم( في الوقت μiالوالدة والوفاة , λi:على التوالي. ويكون لدينا االحتمال اآلتي

Pk ( t )=P {x ( t ) }=kوهي كاآلتي: Kolmogrovلغرض الحصول على معادلة

Pk ( t+ Δt )=Pk ( t ) (1−λk Δ (t )+μk Δ ( t )+O ( Δ ( t )) )+Pk−1 ( t ) (λk−1Δ ( t )+O ( Δ (t ) ) )+Pk +1 ( t ) ( μk+ 1Δ ( t )+O ( Δ (t ) ) )لعدد من الحاالت هي:

K=0, 1, 2, 3, …Pk−1والمعادلة اعاله خاضعة لشرط ( t .K=0عندما 0=(

ويكون نموذج تعاقب وانحدار من مختلف الحاالت إلى الحاالتS5األخرى , S4 , S3 , S2 , S1 , S0التي عرفت فيما قبل ويمكن اعتبارها ))

لوقت مستمر والجدول اآلتي يوضح(Markov Chain)سلسلة ماركوف مصفوفة األحتماالت االنتقالية التي تمثل ذلك.

العمليات العشوائية )فرضياتها وتطبيقاتها( 158

( مصفوفة االحتماالت االنتقالية لحالة اإلصابة بمرض السرطان لمختلف حاالت اإلصابة خالل1 – 6جدول )Δtفترة قصيرة جداً من الوقت

t+ Δt

tNon cancerous

State S0Mild Dysplasia S1

Moderate Dysplasia S2

Severe Dysplasia S3

Carcinomia

in situ S4

Invasive Cancer S5

Total

Non cancerous State S0

1 0 0 0 0 0 1

Mild Dysplasia S1

μ1 Δt 1−( λ1 Δt+μ1 Δt ) λ1Δt 0 0 0 1

Moderate Dysplasia

S2

0 μ2 Δt 1−( λ2 Δt+μ2 Δt ) λ2Δt 0 0 1

Severe Dysplasia

S3

0 0 μ3 Δt 1−( λ3 Δt+μ3 Δt ) λ3Δt 0 1

Carcinomia in situ S4

0 0 0 μ4 Δt 1−( λ4 Δt+μ4 Δt ) λ4 Δt 1

Invasive Cancer S5

0 0 0 0 0 0 1

i

0 a

(1-p)

p

q

(1-p)

p

qa-1


: حالة وجود حدي لألشباع )ذو االرتداد( العاكس إلى12 – 6الداخل

Two reflecting barriers وعندما يصل الجزيء من(a)في هذه الحالة افترض أن هناك الحد

(a هو إما أن يبقى مع الحد )(aخالل تنقالته الطبيعية إلى الحد )-a أو تكون إلى النقطة المجاورة إلى الداخل )(q-1)بأحتمال مقداره

تي:آ كما في الشكل الq( بأحتمال مقداره 1

(6 – 6شكل رقم )

( وواضح من0( يقال عن الحد األشباع )aوما يقال عن الحد ) ( اذن هناك حدي اشباع عاكسة0أحتمال األنتقال والبقاء في الحد )

( a(, )0إلى الداخل هما )X أي i وهنا تكون الحالة االبتدائية في النقطة 0=iويمكن صياغة ،

آلية العمل بهذه الحالة وكما يلي:

X n={Xn−1+Zn0<Xn−1+Zn<a (1 )a X n−1+Zn>a (2 )0 Xn−1+Zn<a (3 ) }w

وأيصال فهم رموزها إلى ذهنالثالثة ( wولتوضيح معادالت ) الطالب ممكن تطبيقها على مسألة الطوابير فتكون المعادلة األولى

( X n−1+Zn ما موجود في النظام( وحدودها هو )النقلة األخيرة +( المقابلة تعني ما هو موجود في زمن األنتظار. أما المعادلة الثانية

Xوعندما n=aفيمثل حد استيعاب النظام بالحد األعلى ويكون حدها فأن النظام سوفaالمقابل انه في حالة وجود أضافة على حد

X اما في المعادلة الثالثة وهي aيستوعب ما مقداره n=0وهي حالة عدم وجود أي ال يوجد شيء في النظام وتفسير الحد لها هو ال يوجد

أي أضافة والمكان خالي.Pijولتعريف األحتمال

(n ) Pij

(n )=P {¿ state j at time n|¿state iat time0 }

i j-1 j j+1

p

n=0 n-1 n n-1

q q


( على هذه الحالة يكون لدينا المعادالت20(,)9ولتطبيق المعادالت )اآلتية:

Y {(1 ) Pij(n )=p Pi , j−1+(1−p−q ) Pij

( n−1)+q pi , j+1( n−1 ) (0< j<a )

(2 ) Pia(n )=pP i. ,a−1

(n−1) +(1−q ) Pi ,a(n−1 )

(3 ) Pi0( n)=q P1

(n−1)+(1−p ) P0(n−1 ) j=1,2,3 ,…,a−1

والشكل اآلتي أيضاً يوضح المعادالت أعاله:

(7 – 6شكل رقم )(y)والتفسير المقابل إلى المعادالت الثالث

f( أي حالة 1في المعادلة رقم ).1 ij(n ولديناj هدفنا هو الوصول إلى (

ثالث حاالت أي اما نتقدم خطوة أو نبقى أو نرجع. ففيR.Wفي Pحالة j−1 اذا اردنا الوصول إلى j يجب ان نتقدم من الموقع (j-1)

(7 – 6 كما في الشكل )P( ويكون بأحتمال مقداره jإلى الموقع )Pوأحتمال البقاء مع j( 1 فيكون بأحتمال مقدارة-p-qوهذا )

اعتيادي.ومفهوم ( ورغبنا أنn-1( في الزمن )j+1أما اذا كنا نحن في الموقع )

reflecting يلزمنا ان نرجع خطوة n في الزمن (j)تكون في الموقع .q)انعكاس( وبأحتمال مقداره

( وهي تمثل حالة البقاء مع الحد )Yالمعادلة الثانية من معادالت ).2a( أو االنعكاس إلى الحد )a-1( وال يمكن ان تكون في الحد )

a+1( ألن اقل حد في النظام هو حد )aفأحتمال البقاء في حد ) (a( بأحتمال مقداره )1-q واذا كنا في الحد )(a-1)يجب ان نتقدم

.P( بأحتمال مقداره aإلى الحد ) في المعادلة الثالثة من المعادالت اعاله هو الوصول إلى الحد.3

صفر فيكون واحدة من الحالت اآلتية: فإما أن نكون في الموقع (P-1 يجب أن نبقى بأحتمال ) فبهذه الحالة(n-1)صفر في الزمن

( فالوصول إلى الصفر1( عند النقطة )n-1وإذا كنا في الزمن ) (j-1)، أما الحالة األخرى والتي هي qيجب ان نرجع خطوة بأحتمال

( فهذه الحالة ال يمكن حدوثها وال يمكن1-0 فتكون )j=0أي عندما .ان نتجاوز حالة الصفر والشكل اآلتي يمثل الحالة اعاله فقط

0

(1-p)p

q

n=0

(n-1)

1


(8 – 6شكل ) أحتماالت األفالس بعدد محدود من المباريات:13 – 6

في حالة تحديد أحتماالت االفالس بعدد محدود من المباريات هو ليس بالشيء السهل وكما هو الحال عندما يكون عدد المباريات غير

محدود والصيغة النهائية تكون اكثر تعقيداً. عندما يكون هناك غاية إلى التوزبع الذي عن طريقه يمكن تحديد

∞→nأحتماالت الخسارة وعندما تكون لنفرض ان

limn→ ∞

Pij(n )=π j j=0,1,2,3 ,…..a

وبأخذ الغاية لكل واحدة منهن عندما تكونYوبالرجوع إلى معادالت n→∞:تكون لدينا المعادالت اآلتية

π j=P π j−1+(1−p−q ) π j+qπ j+1

πa=P πa−1+ (1−q ) πa

π0=(1−p ) π0+q π1}(Y ' )

وبتبسيط المعادلة األخيرة يكون لدينا اآلتي:π0=π0−π 0 p+q π1π0−π0+π0 p=q π1π1=

pq

π0

(1 والعملية هي في المكان رقم )∞→nوهذه الصيغة تمثل أحتمال j=1عندما

Y)( من 1 وبالتعويض في المعادلة ) علىنحصل ' ) π1= pπ0+(1−p−q ) π1+qπ2pq

π0=pπ 0+ (1−p−q ) pq

π 0+qπ 2π1 p=q π2π2=¿ p

qπ1¿

π2=( pq )

2

π0

وبواسطة أتباع اسلوب األستنتاج الرياضي نحصل على الصيغةالعامة اآلتية:


π j=( pq )

j

π0 j=1,2,3 ,…a−1

:ونحن بحاجة إلى حل التوزيع االحتمالي وهذا يعني مالي هو أن مجموع جميع األحتماالت يساويتتطبيق المبدأ األحب

واحد∑j=0

a

π j=1

1=π0+∑j=1

a

π j

1=π0+∑j=1

a

( pq )

j

π0

1=∑j=1

a

( pq )

j

π0

1=π01−( p

q )1− p

q

a+1

الحد العام للمتسلسلة المتناهية

∴π0=1− p

q

1−( pq )

a+1

π j=( pq )

j

∗1− pq

1−( pq )

a+ 1

ولهذا سوف يكون لدينا التوزيع الهندسي المقطوع لمجموع منالغايات الحتماالت المراهنة.

تمارين الفصل السادس ( دينار عراقي، اتفقا أن يلعبا2 كالهما يمتلكان )B و Aالعبان (1

فيp يربح في لعبة واحدة يساوي Aمباراة. احتمال أن الالعب (. الخاسرq=1−p )q يربح في هذه اللعبة يساوي Bحين أن الالعب

منهما يدفع دينار واحد لآلخر. أوجد احتمال أن كل واحد سوف من اللعبات. أوجد االحتمال نفسه عندماn( إلى ruinedيخسر )

p=12.

من قطع النقود، إذا فقدا كالهماn و n+1 يملكان B وAالعبان (2قطع النقود ما هو احتمال ما يلي:


لديه عدد من النقود أكثر.Aأن الالعب .1كالهما يملكان نفس العدد من النقود..2.A لديه عدد من النقود أكثر من Bالالعب .3

في حالة الرتداد وعندما يكون هناك غاية للتوزيع لحالة االحتمالية(3π يؤول إلى الماالنهاية فإنه nعندما jيتوزع للتوزيع الهندسي

π فإنه غاية االحتمال p=qالمبتور فضالً عن أنه عندما j=1

a+1برهن ذلك.

الحد العام لمعادلةp=qعملية سير عشوائي بسيطة عندما (4الفروق التالية:

F j (S )=A λ1j (S )+B λ2

j (S ) F0يكون: (1 )= b

a+bF−bحيث أن الشروط الحدية: (S )=0 , Fa ( S )=1

اشتق العالقة اآلتية:(5ωa=

1−(q / p )a

1−(q / p )a+b

يربح في سلسلة من اللعبات غير المنتهية.Aاحتمال أن الالعب Xافترض أن (6 n=Z1+Z2+…+Zn حيث أن Zi:يتوزع ثنائي الحدين

i. اشتقE (X n) ،Var ( Xn GX وكذلك ( n(t ).

ii.:أثبت أنP ( Xn=k )=Cn+k

2

n pn+k2 q

n−k2

(aعملية سير عشوائي بسيطة تبدأ من الصفر بحدي امتصاص )(7 متغير عشوائي يمثل الوقت لحين الوصول إلىN(. افترض bو)-

حدي االمتصاص فإن:P (X N=a )=F0 , a ,P ( X N=−b )=F0 ,−b

أثبت أن:E X N

k =ak pa ( pb−qb )+(−b )k qb ( pa−qa )

pa+ b−qa+b

E X Nk =

b ak+a (−b )k

a+bp=q

uomustansiriyah.edu.iq · web viewوالمعادلة 2 تأخذ القيم r 3 , r 2 , r 1...

Documents