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ミクロ経済学では最初に以下の基本的な問題を学びます

。生産理論(ProductionTheory)

・消費者理論(ConsumerTheory)

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生産物(product)Cが生産要素(productionelements)A,Bから生産されるとします. A,B,Cの価格はそれぞれp,q,rとします． Aと

Bをそれぞれxとy投入するときcがz=f(x,y)得られるとします．

このときf(x,y)を生産関数(productionfunction)と呼ばれます．またこの状況で利潤関数(profitfunction)を

7r(x,y)=rf(x,y)-px-qy

と定義します．

生産理論の最初のステップは，利潤関数汀(x,y)を最大化して生産要素需要関数

x=x(p,q,r);y=y(p!q,r)

を求めることにあります．

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商品(Goods)A,Bがあるとします. Aをx,Bをy購入するとき，消費者が効用関数(util ityfunction)u(x,y)の効用を得るとします．さらにA,Bの価格がp,qであるとします．消費者が予算／を全額消費してA,Bを購入するとします． ここで

の問題は予算制約と呼ばれる制約条件

/-px-q)/=0

の下でu(x,y)を最大化して需要関数(demandfunction)

x=x(p,9, /),y=y(p,q; /)

と所得の限界効用(mariginal uti lityof income)

入=Mp,9, /)

を得ることです

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以下のR2の部分集合は開集合です．

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⑨上半平面

U, :={(x,y)ER2; y>0}

・第1象限(1stQuadrant)

={(xly)ER2; x,y>0}R孔II

③開円盤

Br(po) :={PER2; d(P,Po)<r}

、、軸．

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以下のR2の部分集合は開集合ではありません．

PoER2のなす集合{Po}

・閉上半平面

F1 :={(xly)ER2; y≧0}

・閉第1象限

R#+:={(x,y)R2; x,y≧0}

③閉円盤

{pER2; d(P)Po)≦r}Br(Po)

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R2の開集合(ﾉ上の関数

f: (J→R

が定義されているとします

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Po(a,b)E{/に対してxの関数

=f(x,b)F(x)V=-e

をX=aの近くで定義できます． さらにyの関数

G(y) :=f(a,y)

をy=bの近くで定義することができます．

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この状況で，定義の中の極限が存在すれ

分係数を

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ば,Xとyに関する偏微

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＝X－a

f(a,y)-f(a,b)x-c,

@(a,b) :=G'(b)

と定義できます．

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R2上の関数

f(x'y)=&+2xy2+y3＝

について考えます. (alb)ER2の周りで考えるとして

x3+2xb2+b3)G(y) =f(a,y)=a3+2ay2+y3F(x) :=f(x,b)

と定義します． このとき

3x2+2b2, and G'(y) 4ay+3y2F'(x)

から

4ab+3b2f<(a,b)=3a2+2b2, 4(a,b)

を得ます

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微分可能な1変数関数の極小点（極大点）に関する次の定理を紹

介します．

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注意これは中身を理解して欲しい定理です．

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R2の開集合(ﾉ上の関数

f: U→R

が(ﾉの各点l=)EL/でx,yについて偏微分できると仮定します．雑索銭緯

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(3r(P、）

rがPoで極小とします． このとき

F(x)=f(x,b)

はX=aで極小となります． このとき

F'(a)=0従って良(a,b)=0

=t,-

となります

j-(x,1)P>j-(cI16)

（ 、ヘ、

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関数

f(x,y)=x2+4x),+2y2_6x-8y｡- -

について考えます．

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@(x,y) 0+4x.1+4y-0-8

4x+4y-8=0

を解くと, (x,y)=(1,1)がfの唯一の停留点であることが分かります．

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