webft02 ec isotermicos
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e T
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Tema 2 — p. 1
TEMA 2
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
Balances envolventes de cantidad de movimientoPelícula descendenteFlujo por el interior de un tubo circularFlujo reptante alrededor de una esfera sólida
NomenclaturaEcuación de continuidad
La ecuación de continuidad en los distintos sistemas coordenadosEcuación de movimiento
La ecuación de movimiento en los distintos sistemas coordenadosSoftware de modelado de procesosCondiciones límite
Ecuación de energía mecánicaForma adimensional de las ecuaciones de variaciónCapa límite y flujo potencial
Capa límite Flujo potencial
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Tema 2 — p. 2
Balances envolventes de cantidad de movimiento: condiciones límite
1. Película descendente
Balance de materia
z zz z LxW v xW v
0
v z(x) L
Δx
z
x
x = 0
x = δ
β
z zz z Lv v
0zv
z
0
• Régimen estacionario• Fluido incompresible
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Tema 2 — p. 3
Balance de c.d.m.
velocidad neta develocidad de velocidad neta de
entrada de c.d.m. fuerza deacumulación = entrada de c.d.m. + +
por transporte gravedadde c.d.m. por convección
viscoso
0
Límite cuando Δx tiende a cero: cosxzdg
dx
Integrando: cosxz xzx gx 0 0
Ley de Newton:z
xz
dv
dx
Integrando:cos
z
g xv
22
12zx v 0
xz xzx x xLW
cosLW x g z z z zz z L
xW v v v v
0
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Tema 2 — p. 4
Magnitudes derivadas
Velocidad máxima:cos
z máx
gv
2
2
Velocidad media:cos
W
zoz zW
o
v dx dyQ gv v dx
A dx dy
20
0
0
1
3
Flujo volumétrico:cosW
z zo
gWQ v dx dy W v
3
0 3
Fuerza sobre la superficie: cosL W
z xzoF dy dz g LW 0
cosz
g xv
22
12
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Tema 2 — p. 5
2. Flujo por el interior de un tubo circular
r
z
vz(r)
z zz z Lr r v r r v
02 2 zv
z
0
Balance de materia
Balance de c.d.m.
presión
de fuerza
gravedad
de fuerza
viscoso
transporte por
c.d.m. de entrada
de neta velocidad
convección por
c.d.m. de entrada
de neta velocidad
c.d.m. de
nacumulació
de velocidad
( )
z z rz rzr r r r rz z L
o L
r r v v L r r
r r L g r r P P
2 2
00 2 2
2 2
,Lrzdrr P gh
dr L
0
Integrando: rzr 0 0L
rz rL
0
2
0
zrz
z
dv
drr R v
( )Lz
R rv
L R
220 1
4
En el límite (Δr→0):
P0
PL
• Régimen estacionario• Fluido incompresible
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Tema 2 — p. 6
Magnitudes derivadas
( )Lz
R rv
L R
220 1
4
Velocidad máxima:
Velocidad media:
Flujo volumétrico:
Fuerza sobre la superficie:
( )Lz máx
Rr v
L
200
4
( )R
zo Lz R
o
v r dr d RQv
A Lr dr d
22
0 02
0
8
( )RL
zo
RQ v r dr d
L
4
20
0 8
( )
( )
z rz Lr R
L
F RL R
R P P R L g
20
2 20
2
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Tema 2 — p. 7
v
3. Flujo reptante alrededor de una esfera sólida
z
x
y
(x,y,z)
( , , )r
Flujo reptante
Re .p
Dv
0 1
Solución analítica
r
v Rsen
R r
43
2
coso
mv Rp p gz
R r
23
2
cosr
R Rv v
r r
33 1
12 2
R Rv v sen
r r
33 1
14 4
Magnitudes derivadas
Fuerza normal: cos sennz r RF p R d d R g Rv
2 2 3
0 0
42
3
Fuerza tangencial: sen sentz r r RF R d d Rv
2 2
0 04
Fuerza total:(Ley de Stokes)
3 34 42 4 6
3 3(flotacion) (resistencia de forma) (fricción)
zF R g Rv Rv R g Rv
Ft
Fn
F
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Tema 2 — p. 8
Nomenclatura:
Magnitudes
Productos
Producto diádico:
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
u w u w u w
uv u w u w u w
u w u w u w
Orden Magnitud Libro Notas de clase 0 1 2
escalar ( ) vector [ ] tensor { }
p
v
p
v
Producto Orden uv
u v
.u v
:u v
ou+ov
ou+ov -1 ou+ov -2 ou+ov -4
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Tema 2 — p. 9
Rotacional de un campo vectorial: [ ]
x y z
x y z
vx y z
v v v
Laplaciana de un campo escalar: 2 2 2
22 2 2
( . )s s s
s sx y z
Laplaciana de un campo vectorial: 2 2 2 2x x y y z zv v v v
Operadores diferenciales
Operador nabla: x y zx y z
Gradiente de un campo escalar: x y zs s s
sx y z
Divergencia de un campo vectorial: ( . )yx z
vv vv
x y z
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Tema 2 — p. 10
Derivadas con respecto al tiempo
Derivada parcial: c
t
Derivada total: dc c c dx c dy c dz
dt t x dt y dt z dt
Derivada substancial: x y z
Dc c c c cv v v
Dt t x y z
Fen
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Tema 2 — p. 11
z
xy
x xv x x x
v
z zv
z z zv
y y
v
y y yv
Ecuación de continuidad
velocidad de velocidad de velocidad de
acumulación = entrada salida
de materia de materia de materia
CARA ENTRADA SALIDA
x x xv y z x x x
v y z
y y yv x z y y y
v x z
z z zv x y z z z
v x y
x xx x x
y yy y y
z zz z z
x y z y z v vt
x z v v
x y v v
yx zvv v
t x y z
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Tema 2 — p. 12
Forma vectorial:
. vt
Transformación:
. .
.
v vt
Dv
Dt t
.
Dv
Dt
Fluidos incompresibles (ρ=constante):
. 0v
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Tema 2 — p. 13
( ) ( ) ( ) 0x y zv v vt x y z
1 1( ) ( ) ( ) 0r zrv v v
t r r r z
22
1 1 1( ) ( ) ( ) 0rr v v sen v
t r r sen r senr
Coordenadas rectangulares (x, y, z):
Coordenadas cilíndricas (r, θ, z):
Coordenadas esféricas (r, θ, Φ):
La ecuación de continuidad en los diferentes sistemas de coordenadas
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Tema 2 — p. 14
z
xy
xx x xx x x
zx z
zx z z
yx y
yx y y
Ecuación de movimiento
Transporte convectivo: CARA ENTRADA SALIDA
x x x xv v y z x x x x
v v y z
y y x yv v x z y x y y
v v x z
z z x zv v x y z x z z
v v x y
velocidad de velocidad de velocidad de suma de
acumulación = entrada + salida + fuerzas sobre
de c.d.m. de c.d.m. de c.d.m. el sistema
Balance:
Transporte viscoso: CARA ENTRADA SALIDA
x xx xy z xx x x
y z
y yx yx z yx y y
x z
z zx zx y zx x z
x y
Balance a la componente x:
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Tema 2 — p. 15
Balance de fuerzas: xx x xy z p p g x y z
Término de acumulación: xvx y z
t
Substituyendo en el balance:
y x yxx x x z x xx zxx
v vv v v v v pg
t x y z x y z x
. .v
vv p gt
.Dv
p gDt
Haciendo uso de la ecuación de continuidad:
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Tema 2 — p. 16
Ley de Newton
22 .
3
22 .
3
22 .
3
yx xxx yx xy
y yzyy yz zy
z z xzz xz zx
vv vv
x y x
v vvv
y y z
v v vv
z x z
22 .
3yx x x z x
x
vDv v v v vpv g
Dt x x x y y x z x z
22 .
3yz z x z z
z
vDv v v v vpv g
Dt z x x z y y z z z
22 .
3y y y yx z
y
Dv v v vv vpv g
Dt y x x y y y z y z
La ecuación de movimiento, para un fluido newtoniano:
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Tema 2 — p. 17
Fluido de densidad y viscosidad constantes. (Ec. Navier-Stokes)
2Dv
v p gDt
Sistemas de flujo sin efectos viscosos. (Ec. Euler)
Dvp g
Dt
Fluido en reposo.
0 p g
Formas simplificadas de la ecuación de movimiento
.Dv
p gDt
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Tema 2 — p. 18
La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares(en función de τ)
yxx x x x xx zxx y z x
v v v v pv v v g
t x y z x x y z
y y y y xy yy zyx y z y
v v v v pv v v g
t x y z y x y z
yzz z z z xz zzx y z z
v v v v pv v v g
t x y z z x y z
componente x:
componente y:
componente z:
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Tema 2 — p. 19
La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares(para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes)
componente x:
componente y:
componente z:
2 2 2
2 2 2x x x x x x x
x y z xv v v v v v vp
v v v gt x y z x x y z
2 2 2
2 2 2y y y y y y y
x y z y
v v v v v v vpv v v g
t x y z y x y z
2 2 2
2 2 2z z z z z z z
x y z zv v v v v v vp
v v v gt x y z z x y z
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Tema 2 — p. 20
La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas(en función de τ)
componente r:
componente θ:
componente z:
2
1 1( )
r r r rr z
r rzrr r
v vv v v v pv v
t r r r z r
r gr r r r z
22
1
1 1( )
rr z
zr
v v v v v v v pv v
t r r r z r
r gr r zr
1 1( )
z z z zr z
z zzrz z
vv v v v pv v
t r r z z
r gr r r z
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Tema 2 — p. 21
La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas(para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes)
componente r:
componente θ:
componente z:
2
2 2
2 2 2 2
1 1 2
r r r rr z
r rr r
v vv v v v pv v
t r r r z r
vv vrv g
r r r r r z
2 2
2 2 2 2
1
1 1 2
rr z
r
v v v v v v v pv v
t r r r z r
v vvrv g
r r r r r z
2 2
2 2 2
1 1
z z z zr z
z z zz
vv v v v pv v
t r r z z
v v vr g
r r r r z
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Tema 2 — p. 22
La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas(en función de τ)
componente r:
componente θ:
componente Φ:
2 2
22
sen
1 1 1( ) sen
sen sen
r r r rr
rrr r r
v v vvv v v v pv
t r r r r r
r gr r r rr
2
22
cot 1
sen
1 1 1 cot( ) sen
sen sen
rr
rr
v vv v v v v v v pv
t r r r r r r
r gr r r r rr
22
1cot
sen sen
1 1 1 2cot( )
sen
rr
rr
v v v v v v v v vv pv
t r r r r r r
r gr r r r rr
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Tema 2 — p. 23
La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas(para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes)
componente r:
componente θ:
componente Φ:
2 2
22 2 2 2
sen
2 2 2 2cot
sen
r r r rr
r r r
v v vvv v v v pv
t r r r r r
vvv v v g
r r r r
2
22 2 2 2 2
cot 1
sen
2 2cos
sen sen
rr
r
v vv v v v v v v pv
t r r r r r r
vvvv g
r r r
22 2 2 2 2
cotsen
1 2 2cos
sen sen sen sen
rr
r
v v v v v v v v vvv
t r r r r r
v vvpv g
r r r r
En estas ecuaciones:2
2 22 2 2 2 2
1 1 1sen
sen senr
r rr r r
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Tema 2 — p. 24
Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas rectangulares
22 ( . )
3
22 ( . )
3
22 ( . )
3
xxx
yyy
zzz
vv
x
vv
y
vv
z
yxxy yx
y zyz zy
z xzx xz
vv
y x
v v
z y
v v
x z
.yx z
vv vv
x y z
Fen
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Tema 2 — p. 25
Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas cilíndricas
22 ( . )
3
1 22 ( . )
3
22 ( . )
3
rrr
r
zzz
vv
r
v vv
r r
vv
z
1
1
rr r
zz z
z rzr rz
v vr
r r r
v v
z r
v v
r z
1 1. z
rv v
v rvr r r z
Fen
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Tema 2 — p. 26
Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas esféricas
22 ( . )
3
1 22 ( . )
3
cot1 22 ( . )
sen 3
rrr
r
r
vv
r
v vv
r r
v vvv
r r r
1
sen 1
sen sen
1
sen
rr r
rr r
v vr
r r r
v v
r r
vvr
r r r
22
1 1 1. sen
sen senr
vv r v v
r r rr
Fen
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Tema 2 — p. 27
Software de modelado de procesos
Profiled contours of axial velocity
Pressure Driven Flow in a Jet Pump
Pump Efficiency
http://www.fluent.com
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Tema 2 — p. 28
The transient behavior of the tracer dispersion through the multistage reactor is captured.
Residence Time Distribution in CSTR’s
Product plume forming as a result of reactant injection through the dip tube.
Liquid-phase Reaction
Fen
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Tema 2 — p. 29
Blending Time Prediction
Concentration of the tracer can be monitored at a number of locations in the vessel and plotted as uniformity of concentration, U, as a function of time.
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Tema 2 — p. 30
Pressure contours on an aneurysm created from a Spiral CT scan
Cerebral Aneurysm Risk Assessment
Pathlines around the Opel Astra, Courtesy of Opel AG
Automotive industry: Aerodynamics
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Tema 2 — p. 31
Condiciones límite (interfase)
VELOCIDAD:
int intI IIv v
TRANSPORTE DE C.D.M.:
FASE II FASE I
SÓLIDO LÍQUIDO GAS int 0 int 0
LIQUIDO int 0 int intI II
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Tema 2 — p. 32
Ecuación de energía mecánica
Ecuación de movimiento:
.Dv
p gDt
212
. . . .D
v v p v v gDt
2 21 12 2
. . . . . : .v v v pv p v v v v gt
, multiplicándola escalarmente por :v
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Tema 2 — p. 33
SISTEMA
Compresión/Expansión
.p v
Disipación viscosa
: v
EnergíaInterna
U
EnergíaMecánica
212
v
ALREDEDORES
TrabajoCalor
(conducción) . .
. .
v g pv
v
.q
Convección
. vU
Convección
212
. v v
2 21 12 2
. . . . . : .v v v pv p v v v v gt
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Tema 2 — p. 34
Forma adimensional de las ecuaciones de variación
Propiedades físicas constantes:
Magnitudes características: L, V, p0
* * * * * *02
** * *
2 2 2*2 2 2
*2 *2 *2
*
, , , , ,
x y z
p pv tV x y zv p t x y z
V L L L LV
Lx y z
Lx y z
D L D
V DtDt
Ecuación de continuidad: * *. 0v
Ecuación de movimiento:*
* * *2 ** 2
Dv gL gp v
LV gDt V
Grupos adimensionales característicos: Número de Reynolds: ReLV
Número de Froude:2V
FrgL
Fen
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Tema 2 — p. 35
Capa límite y flujo potencial
Flujo potencial
Fluido ideal:
constante0 ,
Velocidad originada por un campo potencial ():
x yv vx y
Ecuación de continuidad ( = constante):
0yxvv
x y
Ec. Laplace
2 2
2 20
x y
Carácter irrotacional:
2
20
x
yx
y
vvy x y v
y xv
x x y
0v
Fen
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Tema 2 — p. 36
Función de corriente ():
x
y
vy
vx
2 2
0 02 2
v vp gz p gz
constante2
2
v Pz
g g
Fen
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Tema 2 — p. 37
Capa límite
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Tema 2 — p. 38
“Despegue” de la capa límite