1

אחווה – המכללה האקדמית לחינוך

תרומת הלומדות בלימוד גיאומטריה – שימושסלקטיבי

על פי רמת הלומד

אירנה גורביץדבורה גורב

מריטה ברבש

2003

מחקר זה נערך בסיוע מכון מופ"ת

2

Achva Academic College of Education

The contribution of Geometric Tool Software for Geometric

Teaching – Selective Use upon the Student Level.

Irena Gurevich

Dvora Gorev

Marita Barabash

2003

This research is supported by the MOFET Institute

3

תרומת הלומדות בלימוד גיאומטריה – שימוש סלקטיבי על פי רמת הלומד

אירנה גורביץ, דבורה גורב, מריטה ברבש

אחווה – המכללה האקדמית לחינוך

תארנים תרומת לומדות במתמטיקה, רמות ההתפתחות של ואן-הילה, בעיות שגרתיות ולא

שגרתיות, הישגים בגיאומטריה ובגיאומטריה אנליטית.

תקציר הדו"ח עוסק בתרומה של העבודה בסביבה ממוחשבת של פרחי הוראה ושל מורים

בפועל )לאו דווקא להוראת המתמטיקה( המתמחים בהוראת המתמטיקה.המחקר לימודמטרת בעת מתמטיות מלומדות נתרמים הסטודנטים כיצד לבדוק

וגיאומטריה אנליטית. התעניינו בהבדלים בתרומה בהתאם לסוג הבעיה, גיאומטריה ללומדה, לסוג הקורס ולהרכב הקבוצה. בנוסף, התעניינו בשינוי הרמה של הסטודנטיםזה מהשימוש כיצד הושפע שינוי ובמיוחד ואן-הילה בהתאם לרמות ההתפתחות של

במחשב. המחקר משלב מחקר כמותי ומחקר איכותני. בעזרת שאלוני ואן הילהשיטת המחקר:

ושאלוני המשוב, באופן כמותי, בדקנו את האפיונים של תרומת הלומדות לפרחי הוראה בהתאם לסוג הבעיה, להרכב הקבוצה, בהתאם ללומדה ולסוג הקורס. ערכנו מבחני

2 -וt לבדיקת השינוי ברמות ההתפתחות של ואן הילה בהתאם לשימוש במחשבים ולבדיקת התרומה להישגים.

בחלקו הראשון עוסק הדו"ח באיפיון התרומה של הלומדות בהקשר לסוג הבעיה –מראים שמורים בפועל משתמשים2שגרתית או לא שגרתית. התוצאות של מבחני

4

בלומדה לצורך הבנת הבעיה באופן שאינו שונה באופן מובהק בבעיות שגרתיות ולא שגרתיות, אך משתמשים יותר בלומדה לצורך גילוי הפתרון בבעיות לא שגרתיות מאשרלבין בין השימוש בלומדה אין הבדל מובהק בבעיות שגרתיות. בקרב פרחי הוראה אין הבדל – שגרתיות שגרתיות. בבעיות לא בבעיות השימוש של השונים האופנים מובהק בין השימוש לצורך הבנת הבעיה לבין כלי עזר בגילוי הפתרון אבל יש הבדלעקבית. הוכחה הבניית לצורך שימוש לבין גילוי הפתרון לצורך שימוש בין מובהק הסטודנטים הציגו שיקולים נוספים לשימוש במחשב: אימות התשובות, תיקון השגיאות,

כיוון למחשבה, תחושה, מקל על ההסבר. חלקו השני של הדו"ח מתחלק לשני סעיפים. בסעיף הראשון בדקנו את השינוי ברמות

ואן-הילה בין תחילת השנה לסופה. מבחני מראים2החשיבה של הסטודנטים לפי מעל רמה בעלי הסטודנטים אחוז השנה מאחוז2שבסוף מובהק באופן גדול

הסטודנטים שהיו ברמה זו בתחילת

)מבחן התקן וסטיות הממוצעים של ההבדלים בדיקת שהרמהtהשנה. מראה ) על השינוי ברמות ההתפתחות של הממוצעת עלתה. התעמקנו בהשפעת המחשב

ומצאנו שבסוף שנת הלימודים אחוז הסטודנטים בעלי רמה מעל גדול2ואן-הילה באופן מובהק מאחוז הסטודנטים ברמה זו בתחילת השנה לגבי קבוצת "ללא מחשב" ואילו בקבוצה המחשב הייתה עליה, אך עליה זו לא הייתה מובהקת. על מנת לבדוק את ההתנהגות של שיפור הרמה בקבוצות השווינו את המגמה של שינוי הרמה )שינוי שלילי, ללא שינוי, שינוי חיובי( ומצאנו שבקבוצת המחשב יותר סטודנטים שיפרו את רמתם באופן מובהק מאשר סטודנטים בקבוצת "ללא מחשב". תוצאה זו מעידה על שיפור הרמה דווקא ברמות הנמוכות. בסעיף השני של חלק זה של הדו"ח התמקדנו במספר קבוצות לימוד במגוון של רמות ממוצעות אשר עבדו עם מחשב במהלך שנתלהוראת במחשב "שימוש בקורס או מתמטי מקורס כחלק תשס"ג הלימודים ניצלו את הלומדות בהתאם המתמטיקה". מחלק זה למדנו כיצד הקבוצות השונות

לרמתם.

5

תוכן העניינים

עמוד3תקציר

6רשימת לוחות7רשימת איורים

10פרק ראשון – רקע תאורטי ורציונל ההוראה המסורתית של הגיאומטריה1.1 הקשיים בהוראת הגיאומטריה1.2 הוראת הגיאומטריה בסביבה ממוחשבת1.3

מהי הוכחה טובה?1.3.1 השפעות אפשריות של סביבה ממוחשבת על לימוד ועל1.3.2

הוראת הגיאומטריה

6

אופי הפעילויות1.3.3 רמות התפתחות החשיבה של ואן-הילה1.4

19פרק שני - מתודולוגיה שאלות המחקר 2.1 אוכלוסיית המחקר2.2 מערך המחקר2.3 משתני המחקר2.4

משתנים בלתי תלויים2.4.1 משתנים תלויים2.4.2

כלי המחקר2.5 מהלך המחקר2.6

27פרק שלישי - ממצאים אפיונים של תרומת לומדה לפרחי הוראה3.1 הישגים3.2

השינוי ברמות החשיבה לפי ואן-הילה במהלך שנת3.2.1 הלימודים

השינוי בהישגים3.2.2 35פרק רביעי – סיכום ומסקנות

41רשימת מקורות

רשימת לוחות

מספ ר

הלוח

שם הלוח

1 על דף מספר 1תוצאות שאלון המשוב של קבוצה מספר 11 על דף מספר 2תוצאות שאלון המשוב של קבוצה מספר 22 על דף מספר 2תוצאות שאלון המשוב של קבוצה מספר 33 על דף מספר 3תוצאות שאלון המשוב של קבוצה מספר 4

7

4 על דף מספר 3תוצאות שאלון המשוב של קבוצה מספר 5תוצאות השיבוץ של הסטודנטים לפי רמות6תוצאות מרוכזות של שיבוץ הסטודנטים לפי רמות7ממוצעים של הרמות לפי השאלונים8התפלגות הרמות לפי ואן-הילה בשני השאלונים9

תוצאות מרוכזות של שיבוץ הסטודנטים במדגם לפי רמות10 תוצאות השיבוץ של הסטודנטים במדגם לפי רמות בשתי11

קבוצות שונות: "ללא מחשב" ו-"מחשב" תוצאות מרוכזות של שיבוץ הסטודנטים במדגם לפי רמות12

לקבוצה "ללא מחשב" תוצאות מרוכזות של שיבוץ הסטודנטים במדגם לפי רמות13

לקבוצה "מחשב"השוואה בין שינוי הרמה בין הקבוצות141ניתוח תרומת הלומדה לקבוצה 15, ניסוי ראשון2מספר התשובות הנכונות של קבוצה 16, ניסוי שני2מספר התשובות הנכונות של קבוצה 172ניתוח תרומת הלומדה לקבוצה 185ניתוח תרומה הלומדה לקבוצה 19

רשימת איורים

8

מספ ר

האיור

שם האיור

דיאגרמה המתארת את שיבוץ הסטודנטים לפי רמות ולפי1תוצאות השאלונים

דיאגרמה המתארת את התוצאות המרוכזות של שיבוץ2הסטודנטים לפי רמות

השוואת הממוצעים וסטיות התקן של הרמה לפי מספר השאלון3התפלגות הרמות לפי ואן-הילה בשני השאלונים4 דיאגרמה המתארת את התוצאות המרוכזות של שיבוץ5

הסטודנטים במדגם לפי רמותדיאגרמה המתארת את שינוי הרמה בקבוצה הנחקרת6התפלגות הרמה בקבוצה "ללא מחשב"7התפלגות הרמה בקבוצה "מחשב"8 השוואת הממוצעים וסטיות התקן של הרמה לפי מספר השאלון9

בקבוצת "ללא מחשב" השוואת הממוצעים וסטיות התקן של הרמה לפי מספר השאלון10

בקבוצת "מחשב" השוואת הממוצעים וסטיות התקן של הרמה לפי מספר השאלון11

בקבוצת "מחשב ו"ללא מחשב" דיאגרמה המתארת את ההשוואה בשינוי הרמה בין שתי12

הקבוצות

9

The Contribution of Geometric Tool Software for Geometric

Teaching – Selective Use upon the Student Level.

Irena Gurevich, Dvora Gorev, Marita Barabash Achva Academic College of Education

Keywords:The contribution of mathematics software; Van Hiele levels of geometrical thought;

routine and non-routine problems in geometry; students’ achievements in geometry and

in analytic geometry.

Abstract:The report deals with the contribution of computerized tools to the achievements of

pre-service and in-service students participating in math teachers education programs.

The aim of the research is to study the contribution of computerized tools to the

students’ advancement in geometry and in analytic geometry. We concentrated on the

differences in the contribution with respect to the type of the problem (routine vs. non-

routine), to the type of a computerized tool, to the type of a course and to the structure of

the learning group. In addition to these parameters, we were interested in the change of

the students’ level of geometrical thought as characterized by the Van Hiele levels, and in

particular, in the impact of the computerized tools on these changes.

Research tools: The research combined quantitative and qualitative approaches. We

used the Van Hiele tests and specially designed questionnaires to assess the impact of

each tool with respect to the type of the problem, to the type of the tool, to the type of a

course and to the structure of the learning group. We have set up t-tests and 2 tests to

evaluate the change in Van Hiele levels as a result of computer usage.

The first part of the report deals with the impact of the computerized tools regarding

the type of the problem: routine vs. non-routine. The characteristics of routineness of the

problems are presented in the report. The results of 2 tests indicate that the in-service

10

students tend to use computer to understand the problem, with no significant difference

between routine and non-routine problems. Nevertheless, they tend to use the computer to

a bigger extent to arrive at a solution in non-routine problems than in routine ones. As to

the pre-service students, there is no significant difference in computer usage between

routine and non-routine problems. Speaking of the routine problems, there is no

significant difference in computer usage to understand the problem and to arrive at a

solution, but there is a difference between using it as a tool to arrive at a solution and

using it to build up a rigorous proof. The students presented additional possibilities of the

computer usage, i.e. verification of the answer received, checking the errors, search for

the plausible direction of though or feeling, clarifying the explanations.

The second part of the report is subdivided into two parts.

In the first one, we evaluated the change in the students’ levels of geometric thought

according to Van Hiele, between the beginning of the academic year and its end. The 2

tests show that in the end of the academic year the portion of students whose level is

above 2 (in 0-4-level system) is significantly bigger than in the beginning of the year. The

t-test evaluating the differences in the averages and standard deviations indicates the

general growth of the level. We concentrated on the impact of computerized tools on the

change of levels, and found that towards the end of the academic year the portion of

students whose level is bigger that 2, has grown significantly amongst those students who

did not use the computer, while the growth among the students who used the computer

though was registered, was not significant.

In order to assess the impact of the computer usage inside the groups, we compared

the tendencies of changes of level (increase, no change, decrease) inside the groups who

used the computers vs. those who did not use it. We found that in the groups that used the

computer the portion of the students who have increased their level is significantly bigger

than in the group that did not use it. This indicates the improvement in the lower levels.

In the second part we studied a number of learning groups of various average levels

who worked with computerized tools during the 2002-2003 academic year as a part of a

course in mathematic subject matter or in the framework of the course “Computer usage

in math teaching and learning”. In this part, we investigated the mode of computer usage

by different groups in correlation with their levels.

11

פרק ראשון - רקע תיאורטי ורציונלכנראה להוכחה מתמטית מיוחס בקשר מעמד לגיאומטריה נתנה ההיסטוריה

מהסיבה שזו הייתה התאוריה הראשונה שנכתבה בצורה של אקסיומות. בצדק או שלאאידיאלית. היא המתמטית ההנמקה שבו לתחום נחשבת הגיאומטריה בצדק, המתמטיקאים בתרבות המערבית מחשיבים הוכחה כחלק בסיסי ומהותי במתמטיקהתוקף של רואים את ההוכחות כחיוניות למתן מכך, שהם מאז אויקלידס. משתמע טענות ולכן השקיעו מאמץ גדול בהוכחות של משפטים ובהצדקה של השיטות להוכחה. מאז ומתמיד היו מחלוקות על הקשרים שבין הוכחה ואמת במתמטיקה ומה מהווה

הוכחה מספקת. אפילו כיום אין תיאוריה מקובלת באופן רשמי על טיבה של הוכחה

( ,Thurstonמתמטית ומהווה חלק1994 (, אך עדיין הוכחה היא מרכזית במתמטיקה

מתורות הלימודים – הן בתרגול של הוכחות והן בהכרת חשיבותה של ההוכחה.

ההוראה המסורתית של הגיאומטריה1.1למורים במכללות העליונות, בחטיבות הביניים, בחטיבות בארץ, הלימודים תוכניות בהקדמה. שהצגנו ההיסטורית ההתפתחות את משקפות עדיין ובאוניברסיטאות, והסטודנטים בכתות הגיאומטריה עדיין נפגשים בתחילת לימודיהם במושג התלמידים דדוקטיבית, שיטה משפט, אקסיומה, )כגון: זה למושג הקשורים ובמושגים הוכחה ונימוקים(. ללומדים נאמר שמצפים מהם להתנהג והוכחה הכוללת טענות השערות מוגדרים, לא ממושגים להתחיל – וממשיכיו אויקלידס כמו כלומר, כמתמטיקאים, להגדיר מושגים, להכיר אקסיומות ולהשתמש בהם להנמקה לוגית )חשיבה דדוקטיבית( כדי להרחיב את הידע שלהם. הוכחת המשפטים היא הפעילות החשובה ביותר שלאינטואיציה ופיתוח יכולות של חשיבה פיתוח הגיאומטריה. התוצאות אמורות להיות מרחבית על העולם, רכישת ידע נחוץ ללימוד נושאים נוספים במתמטיקה ויכולת לפרש

(. ההוכחה הגיאומטרית נראית כאימון להנמקה לוגית )Fehr, 1973טענות מתמטיות )Suydam, 1985הלומדים אמורים לרכוש לא רק מידה של יכולת בהבנה ובבניה של .)

(.NCTM, 1989הוכחות אלא גם דיוק בחשיבה )

הקשיים בהוראת הגיאומטריה1.2 מחקרים מראים שללומדים בכל הגילאים )כולל סטודנטים להוראת המתמטיקה( יש( מוטעות תפיסות בעלי מהם ורבים בגיאומטריה מושגים ברכישת קשיים

12

misconceptions( הגיאומטריים למושגים בהקשר )Hershkowitz, 1987, Hoffer, 1981,

Usiskin, 1982 ,אפקט מרכזי יש לדימוי המושגים בגיאומטריה שעשויים1991, אור-בך .) להיות חלקיים או לא נכונים )למשל, המושג ריבוע אשר משפיע על המושג מרובע(.

( טוענת שקיימים קשרים אסוציאטיביים במוחם של הלומדים והם1992הרשקוביץ ) המשפיעים על בחירת פריטי המידע שהם מתייחסים אליהם, תוך התעלמות ממידעלקחת צריך הלומד גיאומטריות בטענות מדובר כאשר ברשותם. שיש ושונה נוסף בחשבון בו זמנית כמות גדולה של מידע )קשרי תכונות בין אובייקטים, הגדרות, כללישיכיל ליצור מבנה עליו במידע שברשותו יוכל להשתמש כדי שהלומד וכו'(. היסק קשרים בין האלמנטים ולא רק אלמנטים מבודדים. לטענתה, גם לאחר שנים רבות שלנאותים. וללא קשר עם רמת הלימוד, ללומדים רבים אין מבנים גיאומטריה, לימוד

.( מסבירה את הכישלונות במתמטיקה בתהליך האינדוקטיבי של גילויibidהרשקוביץ ) המשפט שהוזנח בהוראה הקלאסית של הגיאומטריה הדדוקטיבית. התכונות הכלליותולכן עליהם נכפות אלא, הלומדים, ידי על מחדש" "מומצאות אינן )המשפטים( ההתמודדות של הלומד הנה עם תהליכי ההוכחה בלבד. בנוסף לכך, לדעתה, חלק מהקשיים נובעים מחוסר בגרות לוגית הדרושה להוכחה פורמלית, או להרגשת צורך

בהוכחה פורמלית. מחקרים נוספים מראים שרוב הלומדים גיאומטריה לא מגיעים למצב של שליטה

(. יתרFishbein, 1982, Galindo, 1998, Martin & Harel, 1989, Senk, 1985בהצגת הוכחות ) על כל, אין מחקר המאשר שהתוצאה של עיסוק בהוכחות מתמטיות היא יישום כישורים

(.Hiebert & Carpenter, 1992של הנמקה לנושאים אחרים במתמטיקה )לנכון להתייחס להיבטים שונים של לימוד ומסקנות אלה, מצאנו בעקבות ממצאים הגיאומטריה ושל הוראתה. בפרט, התייחסנו למספר קשיים הקשורים גם לצורך בבניית הוכחות גיאומטריות, גם לפתרון בעיות אותן איחדנו תחת הגדרה "בעיות לא שגרתיות".מוכרים שאינם גיאומטריים באובייקטים שדנות הבעיות את כללנו זו בקבוצה לסטודנטים או שאינם ידועים מראש כלל, או בתהליכים מתמטיים בגיאומטריה שאינםקשורים אלה תהליכים אם גם שלהם, הקודמת מהלמידה לסטודנטים מוכרים גיאומטריים מקומות מציאת כגון כאלה, בעיות מוכרים. גיאומטריים לאובייקטים באמצעים גיאומטריים או אנליטיים, מהווים קושי מיוחד לסטודנטים. התייחסנו לבעיותמהו לדעת אמורים שהסטודנטים מבעיות להבדיל שגרתיות, לא בעיות כאל אלה אלגוריתם פתרונן או לפחות מהי הסקיצה ההתחלתית שממנה מתחילים את תהליך

בעיותההתרה. כבלתי שגרתיות ראינו בעיות בלתי שגרתיות, זה של בנוסף לאפיון מהסוגים איתם אין הסטודנטים רגילים להתמודד, גם אם אלה הן בעיות שגרתיות למדי בסוגי הבעיות אליהם הן שייכות: מהוות דוגמה אופיינית לבעיות בלתי שגרתיות מן הסוג

13

הזה. היעדר אלגוריתם ידוע של פתרון לבעיה מהווה מחסום פסיכולוגי בפני התלמידיםשהם טוענים שונות ברמות התלמידים פעם ולא יחסית, פשוטות בעיות בפתירת מעדיפים אלגברה )או חשבון(, ובשיחה נתברר שנדמה להם שהם מכירים אלגוריתמים לפתרון בעיות אלגבריות אתם הם מתבקשים להתמודד, בעוד שבבעיות הגיאומטריות אלגוריתמים כאלה הרבה פחות שקופים. אם כן, כל כלי אחר שעשוי להקל על הלומד את תהליך מציאת פתרון בבעיות גיאומטריות, עשוי להוביל גם להרחבת בסיס הידע

התחום זה, וגם לשינוי העמדות כלפי גיאומטריה בקרב לומדים ברמות שונות.

הוראת הגיאומטריה בסביבה ממוחשבת1.3 בשלב ראשון נציג דעות של חוקרים על מהותה של הוכחה טובה במתמטיקה. לאחר מכן נדון בהשפעות אפשריות של סביבה ממוחשבת על הוראת הגיאומטריה ונעמיק

באופי הפעילויות בסביבה זו.

מהי הוכחה טובה?1.3.1 הוכחה טובה היא הוכחה שלא רק מוכיחה את הנכונות של המשפט, אלא גם עוזרת

,Hannaלהבין את המשפט על ידי הבהרתו והסברתו. הוכחה כזו תתקבל ביתר קלות )

.( טוענת שפעמים רבות למילה הוכחה יש מובנים שונים אצלibid(. הרשקוביץ )1998הלומד לדעת סוגי ההצדקה, אשר לכל להתייחס עלינו ולכן המורה ואצל הלומד

( מבדיל בין "הוכחותBalacheff, 1987מסבירה מדוע כלל גיאומטרי הוא הנכון. בלשף) היחיד" – כל האמצעים שבעזרתם משתכנע )או משכנע( היחיד שכלל מסוים הוא נכון.

הוכחות יחיד יכולות לכלול:הסבר נאיביהסבר אינטואיטיביהבנת כל שלב בהוכחה לוגית ללא הבנת כל ההוכחה בשלמותההבנת השלבים היסודיים של ההוכחה המתמטית ללא יכולת לפרט

ובין "ההוכחה המתמטית הפורמלית" המקובלת על קהיליית מתמטיקאים. היא להתחיל את תהליך ההוראה בהסבריו של הלומדBalacheffמטרתנו כמורים לפי

תוך כדי הכוונה מדורגת לשלב ההצדקה הרצוי.,Dreyfus דרייפוס ) ( טוען שהסטודנטים לא מבחינים בין הסברים, נימוקים או1999

הוכחה. גם מתמטיקאים ופילוסופים מתקשים בכך אז בוודאי הסטודנטים. הוא מביאמציגים אך החומר של הבנה על המצביעות סטודנטים של עבודות של דוגמאות

14

הסברים שאינם הוכחות מדויקות מבחינה הקהיליה המתמטית. מורים נוטים לקבל כלהמתמטית השפה אם אפילו רצון, משביע כהסבר סטודנטים של הבנה על סימן והמניפולציות רחוקות מלהשביע רצון. המורה מחפש בתשובת הלומד כל קשר שהואיכול לעזור מאוד בתהליך ההצדקה. ויזואלי נימוק בין הנתון לבין ה"צריך להוכיח". המתקבלת. הויזואלית התמונה ניתוח של במובן אנאליטית היא ויזואלית הנמקה הנמקה כזו יכולה לכלול בנוסף ביצוע טרנספורמציות על התמונה המתקבלת והסקתיכולות להיות הוכחות מסקנות על היחסים המתמטיים כתוצאה מפעולות אלה ואילו קפדניות. ההוכחות מהסוג הזה יכולות להיות הוכחות קפדניות מאוד מבחינה מתמטית, כיוון שאין הכוונה להתייחס לבדיקת ההשערות בדרך ניסויית, אלא, בהצדקת ההסברים.

.( טוען שקבלת הסברים כמדויקים מבחינה מתמטית היא גמישה והמוריםibidדרייפוס ) צריכים להחליט בעצמם ולידע את הסטודנטים מה מתקבל כהסבר או להגיע להסכמיםמקובל במתמטיקה. הקריטריונים לא או מה שמקובל לגבי לסטודנטים מורים בין ( קליינר וברורים. חדים אינם והוכחות הצדקות נימוקים, הסברים, בין המפרידים

Kleiner, 1991( וונסלאו )Winslow, 1998,אף טוענים שהקריטריונים תלויים בתקופה ) כלומר, משתנים. כיום יותר ויותר חוקרים טוענים שקבלתם או דחייתם של הקריטריוניםלהתעניינות בנוסף ובכלכלה בטכנולוגיה המהירים השינויים חברתי. אקט מהווים הוביל לקראת חשיבה ללימודי המתמטיקה ביחס בגישות השליליות שיש לתלמידים

- וה-NCTM עם פרסום ה1989מחדש על המטרות בחינוך המתמטי. התהליך החל ב-NRCיכולות לפתרון בעיות ופיתוח שמיקדו את הלימוד בפיתוח הנמקה, תקשורת

.Borasi, Siegal & Fonzi, 1998ולהבנת הרעיונות החשובים של המתמטיקה ))

השפעות אפשריות של סביבה ממוחשבת על לימוד ועל הוראת1.3.2הגיאומטריה

15

Vinnerלאור הקשיים שהוצגו בהוראת הגיאומטריה ולאור ההצעה של וינר והרשקוביץ )

& Hershkowitz, 1980ללימוד של מושג כך שגם יביא לזיהויו וגם לבנייתו כדי ליצור ) דימוי מושג, כדי ליצור הגדרה של מושג וכדי להביא ליכולת של פעולות על המושג )מנטליות או פיסיות( אפשר להציע שימוש של מחשב בהוראת הגיאומטריה. שימושהחלו קודם רבות )שנים כעשור לפני בארץ החל הגיאומטריה בהוראת במחשבים בהוראת "לוגו", אך לימוד זה נעשה בחוגים או בכיתות מועטות ולא במקביל לתוכנית הלימודים בגיאומטריה(. לדור הראשון של התוכנות הייתה היכולת של בניות גיאומטריות ועריכת שינויים על ידי שינויים סימבוליים או גרפיים, יכולת של מדידות וחזרה על מדידות

, )1996כך שנוצר מאגר נתונים. יכולות אילו איפשרו שינוי בשיטות ההוראה )רייז, Hanna, דינמיות 1998 תוכנות dynamic. הדור העכשווי של התוכנות הן geometry( )

environments - DGEsהן מאופיינות בכך שקיימת בהן האפשרות לשינוי רציף ודינמי על . (( הצורה של שונים מרכיבים גרירה של Healyידי & Hoyles, 2001, Goldenberg &

Cuoco,1998“ ,"הכלים הממוחשבים )למשל "המשער הגיאומטרי .Cabriאו "הנדסה ” בתנועה"( יכולים לשרטט במדויק כל בניית עזר גיאומטרית שהלומד מעונין ובכך לשפר את ההבנה של הוכחות – גם כתוצאה מהשרטוט המדויק, גם כתוצאה ממעקב אחרתהליך הבניה וגם כתוצאה מהצגה של דוגמאות מתאימות נוספות. גולדנברג וקושו )

ibidמציינים שיש הבדל בהשפעה של הלומדה על הלומד אבל המשותף לעבודה עם ). לומדות הוא שהלומד נמצא באינטראקציה בו זמנית עם אלמנטים ויזואליים ועם תיאור אנליטי שלהם. כמו כן, הם מציינים שיש להכיר בהבדלים שבאינטראקציות בין לומדים שכבר יודעים מתמטיקה לבין אלה הנמצאים בשלב ההכרות של מושגים ושל תהליכים רלוונטיים. קל יותר ללומדים לראות את המשמעות של היחסים המשתתפים בהוכחה או

( טועןMason, 1993((. מסון )Cuoco, Goldenberg & Mark, 1995של היחסים שיש להוכיח המשפט. לנכונות משוב לתלמיד ומספק לבעיה מנטלית תמונה יוצר שהמחשב

( דנה בויזואליזציה שבגיאומטריה. לטענתה, האלמנטים החזותיים1992הרשקוביץ ) הם מרכיב דומיננטי. העצמים הם ויזואליים והטרנספורמציות שמפעילים על העצמים נותנות תוצאות ויזואליות ולכן הייצוגים במחשב עשויים לעזור ללומדים. תוכנות דינמיותייצור בגיאומטריה יכולות לסייע בהעלאת השערות, בדיקתן, אישושן או הפרכתן תוך

(. לבניות בגיאומטריה, אותןChazan & Yerushalmy, 1992דוגמאות לפי צורכי הלומד )השייכת משמעות גם לשרטוט בנוסף יש דף, על מוצגות הן כאשר להעריך ניתן בתיאוריה. למשפט או לאקסיומה מתייחסת בנייה כל הגיאומטריה. של לתיאוריה בין האלמנטים בשרטוט של נכונות הבנייה, כלומר, היחסים התיאוריה מתקפת את

(( עובדים לפיה בגיאומטריה התיאוריה על מושתתים הגיאומטרית ,Mariottiהבנייה

2000.

16

( טוענת שהעבודה בחקר מונחה עם מחשבים מושתתת עלArtigue, 1997 ארטיג )מספר הידע. הבניית של כתהליך ההבנה את הרואה הקונסטרקטיביסטית הגישה חוקרים שעבודתם מבוססת על התאוריה הקונסטרקטיביסטית מציינים שתפקידו של המחשב הוא לספק תמיכה מקומית בעת הצורך. כלומר, ניתן להשתמש בו כמקור

,Hadas, Hershkowitz & Schwarzבהתאם לצורכי הסטודנט. הדס, הרשקוביץ ושוורץ )

( מציינים שש אפשרויות תמיכה שונות ללומדים גיאומטריה בסביבה דינמית:2000לשמש סביבה לימודית המאפשרת העלאת השערותלאשש או להפריך השערותלהוביל סטודנטים מהשערה אחת לאחרת במקרה שההשערה לא אוששה ולא

הופרכהלהוביל תלמידים אל הצורך ביצירת מספר ניסיונות אינדוקטיביים מספיק ומגוון

כדי להשתכנע שמסקנה היא נכונהלאפשר בנייה של דוגמא המתאימה לבעיהלספק מקורות הסבר נוספים

תפקיד נוסף של המחשב הוא לספק תמיכה גלובלית על ידי הקשרים הנעשים בידי ( כאשר שפתdiSessa, 1985, Edwards, 1992, Hoyles & Healy, 1997הלומד )

& Healyהתוכנה מספקת הן משוב והן הזדמנות לתקשורת על האסטרטגיות לפתרון )

Hoyles, 2001תכנון התוכנה מתמקד במתן אפשרות לסטודנט לבנות את הידע סביב .) תוכן מתמטי משמעותי, שבדרך כלל לא מתקבל כאשר משתמשים בשפה המסורתית

,Yerushalmyובכלים מסורתיים ) Hiebert(. היברט ועמיתיו )1999 et al., ( טוענים1997 שהמשמעות המתמטית נבנית עבור הכלי כפי שמתכוונים להשתמש בו ולכן הלומדים בונים משמעות מתמטית עם הכלי. בסביבה הממוחשבת המשמעות מעוצבת מחדש שכן

,Hoyles & Nossתשומת לב הלומד מופנה לאובייקטים חדשים וליחסים אחרים )

1992, Papert, 1992( בטיסטה וקלמנטס .)Battista & Clements, 1995מצאו במחקרם ) רוב עבור גיאומטרית להוכחה משמעות לתת ביותר הטובה הדרך אירוני שבאופן ראשוני. במקום להתרכז בהוכחות מעיסוק בהוכחה בשלב היא להימנע התלמידים ובנימוקים יש לבנות קודם כל את ההבנה הויזואלית בדרך אמפירית ורק מאוחר יותר

להוביל את התלמידים להעריך את הצורך בהוכחה פורמלית.יכולים אותה לבחון את ההבדלים בתועלת לנכון ניסיוננו בהוראה, מצאנו בעקבות להפיק מהשימושים במחשב סטודנטים ברמות שונות או במילים אחרות לבחון תמיכה מתמטית רלוונטית של כלים ממוחשבים בתהליכי למידה עיוניים. בנוסף לכך, השתמשנו

ממוחשבים המצפים ליכולות שונות של השליטה במחשב, וכן למגוון כליםגם בכלים התואמים את אופי הבעיה. כך, השתמשנו הן בתוכנות דינמיות )עם שינויים רציפים ועם

17

גרפיים בסיסיים של התוכנה רציפים(, הן בכלים והן בלומדותWordשינויים שאינם אנליטיות, בהתאם לתוכן הבעיה ולרמת שליטת הלומדים בכלים ממוחשבים.

הצגנו את השאיפה של הקהיליה המתמטית להביא את הלומדים גיאומטריה למצב של יכולת הצגה פורמלית מדויקת מבחינה מתמטית. ציינו את הקשיים של הלומדים ואת הממצאים ממחקרים המראים שרוב הלומדים אינם עומדים במשימה זו. בהמשך הצגנו את האפשרויות של המחשב לתמיכה בהוראת הגיאומטריה המתמקדת ביצירת הבנה תוך התנסות בבניית דוגמאות ובעריכת שינויים דינמיים על הצורות הגיאומטריותבסביבות העוסקים החוקרים כל בתהליך. משתנה ומה נשמר מה לראות כדי דינמיות מסכימים שהלמידה בסביבות אלה שונה מהלמידה המסורתית. גיאומטריות – הצגת הוכחה או הסבר מדויקים מבחינה מתמטית נשאלת השאלה אם המטרה נשארה זהה. השימוש במחשבים בהוראת הגיאומטריה הוביל מספר אנשים להכרזה על

(, שהתייחס להוכחה בעזרתHorgan, 1993מותה של ההוכחה המסורתית, למשל, הורגן ) המחשב על בעיית ארבעת הצבעים. אך יש לציין שגם ההוכחה בעזרת המחשב היא

.( על מות ההוכחהibidמסורתית במובן שההוכחה נותרה אנליטית. קריאתו של הורגן ) עוררה דיון על מהות ההוכחה בין המתמטיקאים שכן יותר ויותר מביניהם פנו למחשבלבחינת השערותיהם ונראה כי הם נוטשים את ההוכחה הדדוקטיבית. אפשטיין ולוי )

Epstein & Levy, 1995מציינים שלמחשב יש תפקיד של גילוי הוכחות פורמליות ולא ) תפקיד של החלפת ההוכחות הפורמליות. המטרה היא לא להפחית את מידת הקפדנות

( מצביעים עלChazan & Yerushalmy, 1992ומידת הדיוק של ההוכחה. חזן וירושלמי )בהוכחה הצורך את לבטל אמורה אינה בגיאומטריה לומדה עם שהעבודה כך גיאומטרית מדויקת, אלא להוביל לצורך שבה. חקירה מתמטית לא מנוגדת לראייהכבעלת ההוכחה בראיית להפחתה או אנאליטי כמדע המתמטיקה של המסורתית

((. בתהליך ההוראה יש ללמד שחקירה, העלאת השערותHanna, 1998תפקיד מרכזי ובחינתן לא מהווים הוכחה מכיוון שעדיין אין דרגה מספקת של וודאות לנכונות המשפט. החקירה וההוכחה הן פעולות שונות המחזקות זו את זו. שתיהן מהוות חלק מתהליך של

problem-solving.והלומדים זקוקים לשתיהן כדי להצליח בלימודי המתמטיקה שלהם דה-ויליירס לאישור. וההוכחה לגילוי מובילה רעיונות2003החקירה שני (( מסכם

חשובים בפילוסופיה של המתמטיקה: ההוכחות הן חלק בלתי נפרד מהידע המתמטישהכלים מסיק הוא תוצאות. של סתמי אימות של ערכו על בהרבה עולה וערכן ויזואלית או מדידות אמפיריות, הממוחשבים מאפשרים להשתכנע באמצעות המחשה אך הוכחות חשובות כתמיד. ערכן של ההוכחות עולה על כל סוג אחר של אימות כי הן

יכולות לספק תובנות, להוביל לגילויים חדשים ולסייע ביצירת שיטתיות.

18

אופי הפעילויות1.3.3

הדיון במהות ההוכחה הטובה ובהשפעות אפשריות של ההוראה בסביבה ממוחשבתהפעילויות לבדיקת המוביל בהוכחה, בצורך הלומדים של בהנעה לדיון מוביל

( דה-ויליירס טוען שאחרי שתלמידים חוקריםibidהמתבצעות בסביבה ממוחשבת. ). לאימות. אם נוסף או זקוקים לשכנוע אין הם דינמית גיאומטרית השערה בסביבה יתכן שיגיעו לאחד מתפקידי הוכחה מציבים בפניהם אתגרים או מצב של אי-וודאות במתמטיקה: כאמצעי לאימות/שכנוע, כאמצעי להסבר, כאמצעי לגילוי, כאמצעי ליצירתהן חקר משימות אינטלקטואלי. לאתגר כאמצעי או לתקשורת כאמצעי שיטתיות,

(Chazan, 2000שאלות ללא תשובה יחידה או שיש דרכים שונות להגיע לפתרון. חזן ) מציין שמשימות חקר נועדו לתת ביטוי לרעיונות המתמטיים של התלמידים ולהגביר את המוטיבציה ללמידה. משימות החקר הנובעות ממצבים מתמטיים בחיי היומיום )כגון, מהירות, בעיות מינימום/מקסימום( הן משמעותיות וטבעיות לסטודנטים. בעזרתן ניתנתעם להתמודד כדי פורמליות, בהכרח לא שהן האסטרטגיות, את לפתח הזדמנות מתמטיות דרכים ומציאת מחדש" "המצאה של הם התהליכים במשימה. האתגר

וביחסים ,Drijversלשימוש במשפטים 2000( ,Meira((. לפי מיירה ( המשמעות1998 שנבנית עבור הכלי והמשמעות המתמטית שנבנית על ידי הלומדים נשזרים זה בזה בעת העיסוק במשימות. העבודה עם טכנולוגיה מתקדמת מחייבת התמודדות עם משימות לא

(. הרעיון של משימות חקר בסביבה ממוחשבת מתבסס עלLagrange, 1999טריביאליות ) הדעה שהמובן שאנחנו נותנים לאינטראקציה עם אובייקטים מתמטיים מעוצב על ידי

(Goldenberg, 1999ומובע דרך המשימות והטכנולוגיה שהסביבה מאפשרת. גולדנברג ) מוסיף שעל הפעילויות להבנות כך, שיגרמו לסטודנטים לבנות דברים חדשים מהנתונים המצטברים בעזרת המחשב, לשחק עם הנתונים באופנים שונים, לנמק ולהסביר את משמעות הנתונים שהצטברו ולתאר עצמים מתמטיים הנובעים מרצף הצעדים שנעשובלימוד תמיכת המחשב משימות חקר, בהתאם לאפשרויות של ביחד עם במחשב. גיאומטריה נראה שיש מקום לעבוד עם המחשב גם בשאלות שגרתיות, שהן שאלות עםוהן הזדמנות לתקשורת על וידועה. שפת התוכנה מספקת הן משוב יחידה תשובה

(. בנוסף, רוב המחקרים הדנים בסביבותHealy & Hoyles, 2001האסטרטגיות לפתרון )נבנית סוציו-מתמטית, אשר תרבות בבניית הצורך את מציינים בגיאומטריה דינמיות במטרה לעזור ללומדים לעשות את הצעד לכוון ההנמקה וההוכחה ) למשל,Laborde, 2000, Mariotti, 2000, Jones, 2000, Healy & Hoyles, 2001, Chazan &

Yerushalmy, 1998.)

19

(, אשר בחן במחקרו האם עבודהStraesser, 2001לסיכום, נציג את מחקרו של סטרסר ) עם תוכנה דינמית משנה את הגיאומטריה ואת ההוראה והלמידה של המקצוע. לדעתו,אמיתות של כאוסף בגיאומטריה נתבונן אם הגיאומטריה: בתפיסת תלויה התשובה נצחיות שאינן תלויות בעוסקים בה ובכלים בהם משתמשים בפעילויות, אזי ניתן להסתכלליצור קלות ביתר המאפשר מוחשי כמודל כתוספת, דינמית גיאומטרית תוכנה על והכלים בהם הם שרטוטים הממחישים את הגיאומטריה. אם העוסקים בגיאומטריה משתמשים הם חלק בלתי נפרד ממה שנקרא גיאומטריה, אז עבודה בסביבה דינמית משנה את הגיאומטריה עצמה. סביבה זו מרחיבה את טווח הבניות האפשריות ואת טווח הפתרונות האפשריים. כלומר, מספקת גישה רחבה לרפלקציה עמוקה יותר, לחקירה מעודנת יותר ולהיוריסטיקות שונות מאשר גיאומטריה הנעשות בעזרת נייר ועפרון. לפי

( יש צורך במשימות מתוכננות היטב, מורה מומחה ורגיש ליתרונותJones, 2000ג'ונס )כיתתית המעודדת העלאת השערות ואוירה ממוחשבת בסביבה בעבודה ולחסרונות

ומתמקדת בהסברים מתמטיים המובילים לכיוון הסברים מתמטיים פורמליים.

רמות התפתחות החשיבה של ואן-הילה1.4 ואן – הילה התעניין במציאת דרכי התפתחות הבנה אצל הלומדים. בעבודתו מאפיין ואן-הילה את ההבנה באופן הבא: הלומד מבין את הנלמד, אם הוא מסוגל ליישם אתנכונה בדרך הסיטואציה מן הנובעות פעילויות לבצע חדשה, בסיטואציה הנלמד

(. Van Hiele, 1999ומתאימה ולהציג את הדרך הזו בצורה מודעת )

ובפרט במתמטיקה, החשיבה התפתחות ניתנת ואן-הילה, של התיאוריה פי על רמות.5בגיאומטריה, לסידור היררכי בן

( הרשקוביץ על מבוסס כאן הניתן הרמות )1989תיאור פטקין ,)1987) (. התיאור מוסר את החלוקה2003( וגלבוב-גוברמן )1996ואן-דורמולן אברהמי )

ואן-הילה ב- ידי פייר , ללא השינויים במספר הרמות1957לרמות כפי שנקבעה על שהוכנסו מאוחר יותר:

)1רמה הכרה – Recognitionצורות של מכלול ללמוד יכול התלמיד זו - ברמה ) גיאומטריות, יודע לזהות צורות גיאומטריות, ולהבחין בין צורות שונות. הצורה נתפסת כשלמות ) אין תשומת לב למרכיביה( כפי שהיא נראית והנימוקים של התלמיד הפועל ברמה זו מסתמכים על סיווג הצורות לפי צורתן הכללית. בשלב זה עדיין אין התלמיד

יודע את התכונות של אותה צורה גיאומטרית.

( – ברמה זו התלמיד יכול לזהות ולנתח תכונות של צורות.Analysis – אנליזה )2רמה התלמיד יודע ומכיר את התכונות של הצורות הגיאומטריות שהוא רואה, אולם הוא אינו

20

יכול ואינו יודע לקשר בין התכונות השונות, ואינו מבין כל תכונה בנפרד, אינו מכיר להסביר כיצד תכונה אחת נובעת מן השנייה, כלומר, הוא עדיין אינו מכיר ואינו מבין את היחסים בין התכונות. הנימוקים של הלומדים הפועלים ברמה זו, מסתמכים על אנליזה

לא פורמלית של תכונות הצורה הגיאומטרית.

( - התלמיד מבין את הסדר הלוגי של הצורות, את היחסים ביןOrdering – סידור )3רמה את תופס אינו עדיין הוא המדויקות. ההגדרות חשיבות ואת ותכונותיהן, הצורות כיצד תכונה אחת דדוקטיבי כשלמות אחת, אך מסוגל להבין המשמעות של מבנה

נובעת מהשנייה ואינו יכול עדיין להוכיח את התכונות של הצורות הגיאומטריות.

)4רמה דדוקציה – Deductionכאמצעי הדדוקציה מבין את משמעות - התלמיד ) ההגדרות, היסוד, מונחי של תפקידם את מבין הוא גיאומטרית, תיאוריה לפיתוח האקסיומות, המשפטים וההוכחות )כחוליות בשרשרת של המבנה הדדוקטיבי(. בשלב זה הוא יכול להשתמש בהנחות כדי להוכיח משפטים, ולהבין את המשמעות של תנאים הכרחיים ומספיקים. תלמיד ברמה זו מסוגל לתת סיבות ונימוקים לשלבים בהוכחה,אולם עדיין אינו מבין את חשיבות הדיוק ואינו מבין את ההיבט הפורמלי של הדדוקציה.

( - התלמיד מבין את חשיבות הדיוק. כשעוסקים במבנים שונים,Rigor – דיוק )5רמה של הפורמלי ההיבט את מבין שהוא תוך מופשטות, דדוקציות לבצע מסוגל הוא דדוקציה. ברמה זו הוא יכול לחקור את התוצאות הנובעות מהחלפת מערכת אקסיומותיכול הוא הוכחה. שונות של בין אסטרטגיות ויכול להשוות מכיר הוא אחת בשניה. "לגלות" משפטים חדשים ושיטות הוכחה ויכול לחשוב על הבעיה של זיהוי הקונטקסט

הרחב ביותר בו משפט מסוים יכול להיות ישים.

ואן-הילה מדגיש שהתקדמות מרמה אחת לרמה הבאה אחריה תלויה בתהליך ההוראה, ועל המורה לבנות את הוראתו על פי השלבים הללו.

בשנות השמונים התחילו בארצות הברית במחקרים שמטרתם הייתה בחינת תוקף (.1996המודל של ואן-הילה - התוקף התיאורי והתוקף הניבוי )ואן-דורמולן אברהמי,

יוזכרו בקצרה ממצאים מיוחדים הרלוונטיים למחקר הנוכחי:

לסווג תלמידים, אבל קשה בגיאומטריה של ניתן לקבוע את רמת החשיבה (.Usiskin, 1982בצורה מהימנה תלמידים שנמצאים במעבר מרמה אחת לשניה )

הלימודים בתכנית שונים נושאים עבור שונות ברמות להיות יכולים תלמידים (Mayberry, 1983.)

21

א. למספר תלמידי תיכון יש רעיונות לא שלמים על צורות גיאומטריות בסיסיות ועל תכונות שלהן. ממצא זה מסביר חלק מהתסכול שיש לתלמידים ולמוריםגיאומטריה להבין כדי מספיק עמוקים שורשים אין לתלמידים בגיאומטריה: אוקלידית. תלמידים ומורים פועלים ברמות ואן-הילה שונות, וזה המקור לחוסר

הבנה בין המורה והתלמיד. נראה שהרמות הן דינמיות ואינן סטטיות. תלמידים יכולים לנוע מספר פעמיםב.

בין רמה לרמה. בזמן בין רמות, בזמן שהם נמצאים במעבר וחזור הלוך הראיון, בביצוע אותה משימה, התלמידים "התנדנדו" בין רמה אחת לשניה. תלמידים הנמצאים ברמה מסוימת מעדיפים את הביטחון היחסי של הנמקה

ברמה נמוכה יותר( Shaughnessy & Burger, 1995.)

ברמה הנמצאים תלמידים )“0ישנם non-level”( Senk, 1989, Clements &

Battista, ) 1992.) תוצאות מחקרה של סנק Senk, 1989מראות שהימצאות ברמה השניה היא ))

יכולת שליטה קריטית כמצב ראשוני של תחילת השנה כדי להגיע למצב של בקרב4 לרמה 3 דרך רמה 2בהוכחות פורמליות. בנוסף, ההתקדמות מרמה

מגיעים לרמה ורק אחדים מהתלמידים ביותר הינה איטית 4תלמידי התיכון Senk, 1989.))

,לסוגים שונים של פעילות קוגנטיבית ישנה התפתחות ייחודית בלתי תלויה זו בזו ואן-הילה בהתאם של שונות ברמות יכולים לפעול אותם סטודנטים כלומר,

(.Duval,) 1998למשימה ( ,Mayberryמייברי לרמות1983 גוטמן סולם של מהימנות מבחן ביצע )

ההתפתחות של ואן-הילה והראה שהחלוקה מהימנה.

22

פרק שני - מתודולוגיה מטרת המחקר לבדוק כיצד פרחי הוראה נעזרים בלומדות בעת לימוד גיאומטריה

וגיאומטריה אנליטית.

שאלות המחקרוגיאומטריה גיאומטריה הלומדים הוראה לפרחי במתמטיקה לומדות תורמות כיצד

אנליטית:גיאומטריהא. הלומדים הוראה לפרחי הלומדות תרומת של האפיונים מהם

ולסוג ללומדה להרכב הקבוצה, הבעיה, לסוג אנליטית בהתאם וגיאומטריה הקורס?

. כיצד השינוי ברמות ההתפתחות של ואן הילה הושפע מהשימוש במחשב?1ב. . מהי התרומה להישגים של הסטודנטים בהתאם לשלב בו הם נמצאים2

בהתפתחות החשיבה לפי ואן-הילה?

אוכלוסיית המחקר קבוצות לימוד שונות:6אוכלוסיית המחקר כללה

מסלול חט"ב שלא סטודנטים, מורים בפועל, שנה א'7 – קבוצה של 1 קבוצה מספר ” בשיעור הנדסהMathematixכולם מלמדים מתמטיקה. הסטודנטים עבדו עם התוכנה “

אנליטית והיו רגילים לכך שחלק מהשיעורים מתקיימים בחדרי המחשבים. סטודנטים, פרחי הוראה, שנה ב', מסלולים חט"ב12 – קבוצה של 2 קבוצה מספר

ויסודי, אשר למדו "שימוש מחשב בהוראת המתמטיקה". השיעורים מתקיימים בחדרי המחשבים. הסטודנטים למדו הנדסה אנליטית, ללא מחשבים, בשנה שקדמה לשנה בה נערך הניסוי )תשס"ג(, כאשר סטודנטית אחת למדה את הקורס במקביל לקורס זה.

” ועבדו איתה על דף עבודה מספרMathematixהסטודנטים הכירו את התוכנה “

23

. הסטודנטים למדו בסמסטר ראשון של תשס"ג את הקורס "בניות וטרנספורמציות".1 2הסטודנטים הכירו את התוכנה "הנדסה בתנועה" ועבדו איתה על דף עבודה מספר

)מפורט בהמשך(.– קבוצה של 3 קבוצה מספר סטודנטים, פרחי הוראה, שנה ג', מסלול חט"ב.16

גבולות" בשיעור בקורס "הנדסה אנליטית "2הסטודנטים עבדו עם הלומדה "ללא ורגילים לכך שחלק מהשיעורים מתקיימים בחדרי מחשבים עם לומדה זו. את הלומדה “

Mathematixכלומר, הכירו את התוכנה בשיעור "שימוש( ” הם הכירו הכרות שטחית מחשב בהוראת המתמטיקה בשנה שקדמה לשנה בה נערך הניסוי, אך לא עבדו עם

התוכנה בשיעור מתמטיקה(. – קבוצה של 4 קבוצה מספר סטודנטים, פרחי הוראה, שנה ב' מסלול חט"ב.14

“ עם הלומדה בוצעה אנליטית Mathematixהמשימה "הנדסה "1”, בשיעור בקורס אותה הכירו הכרות שטחית )כלומר, הכירו את התוכנה בשיעור "שימוש מחשב בהוראת המתמטיקה בשנה שבה נערך הניסוי, אך לא עבדו עם התוכנה בשיעור מתמטיקה(.

רגילים לכך שחלק מהשיעורים מתקיימים בחדרי מחשבים.לאהסטודנטים סטודנטים, פרחי הוראה, שנה א', מסלולים חט"ב21 – קבוצה של 5 קבוצה מספר

” ותרגלו בעיותWordויסודי, אשר במקביל ללימוד גיאומטריה למדו שימושים בתוכנה “רלוונטיות בגיאומטריה בעזרת סרגל הציור של התוכנה.

מערך המחקר המחקר משלב מחקר כמותי ומחקר איכותני. בעזרת שאלוני ואן הילה ושאלוני המשוב,

באופן כמותי, בדקנו את האפיונים של תרומת הלומדות לפרחי הוראה בהתאם לסוג לבדיקתtו- 2הבעיה, להרכב הקבוצה, בהתאם ללומדה ולסוג הקורס. ערכנו מבחני

השינוי ברמות ההתפתחות של ואן הילה בהתאם לשימוש במחשבים ולבדיקת התרומהלהישגים.

משתני המחקר הערה: בין המשתנים שבחרנו היו משתנים, כגון רמות ואן הילה, ששימשו בחלק מן

.המחקר כמשתנים בלתי תלויים ובחלקו האחר כמשתנים תלויים

משתנים בלתי תלוייםלשאלה הראשונה:

)"סוג הקורס )קורס מתמטי/קורס "שימושי מחשב בהוראת המתמטיקה-( 2.2קבוצות הלומדים )כפי שתוארו ב

24

סוג הבעיה )שגרתי - בעיות מספר לימוד מקובלות בתוכנית, לא שגרתי – בעיות אתגריות הנותנות לסטודנטים הזדמנות לגלות תופעות מתמטיות שונות ולצורך

כך דורשות הכללות, הוכחות, הסקת מסקנות וגם יכולת לקשר בין נושאיםשונים(

( הלומדהword ,ללא גבולות ,MathematiX)הנדסה בתנועה ,(:1לשאלה השניה )סעיף

מספר השאלון )שאלון ראשון שהועבר בתחילת השנה ושאלון שני שהועבר בסופה(

השתתפות בקורס מחשב במהלך השנה(:2לשאלה השניה )סעיף

רמות ההתפתחות של ואן הילהסוג הבעיה סוג הקורס-( 2.2קבוצות הלומדים )כפי שתוארו ב

משתנים תלוייםלשאלה הראשונה:

אפיונים של תרומת הלומדה )להבנת הבעיה, לגילוי הפתרון, לצורך הבניית פתרון אנליטי, אחר(

(:1לשאלה השניה )סעיף .רמות ההתפתחות של ואן הילה

(:2לשאלה השניה )סעיף )הישגים )מספר שאלות פתורותתפישה לגבי השימוש בלומדה

כלי המחקר

.(1נספח )הוצג בשאלון ואן הילה. 1

שאלות. שליטה5 רמות כאשר בכל רמה מוצגות 4השאלות מחולקות על פי השאלות הנתונות5 מתוך 4ברמה מסוימת נקבעת על סמך תשובה נכונה על

ברמה זו. בתהליך הבדיקה התברר שקיימים מצבים בהם אין שליטה ברמות נמוכות ומתגלה שליטה ברמות גבוהות יותר. במהלך בדיקת התשובות של הסטודנטים על

25

השאלון התגלתה תופעה של "רמות חסרות", כלומר, היו סטודנטים רבים שעברו שלא ענו היטב על רמה מסוימת, אך ענו על רמה גבוהה יותר. על מנת להתייחס

ל"רמות החסרות" יצגנו את כל רמה החסרה בעזרת סימן ה- "-" לאחר מספר אז הרמה שלו מיוצגת3 ו- 1הרמה. למשל, אם לנבדק נקבע שליטה ברמות

בלבד, אז הרמה שלו4 , או , דוגמה נוספת : אם לנבדק נקבע שליטה ברמה 3כ- - . בנוסף, לצורך השוואה כמותית חישבנו רמה סופית כרמה4מייצגת כ- ---

הגבוהה ביותר פחות מספר השגיאות )כולל גם תשובות החסרות( בכל הרמות.הנמוכות חלקי סך כל התשובות האפשריות עד לרמה זו )כולל את הרמה(

הערה: בסקירת הספרות הצגנו את רמות ההתפתחות של ואן-הילה וממשיכיו.במחקר זה,

ובתיקון ה"רמות החסרות" שלא מצאנו במחקרים קודמים.0-4 השתמשנו ברמות ,Senk אינה נמצאת בספרות של ואן-הילה, אך מופיעה במחקרם של סנק )0רמה

( כפי שהצגנו בסקירתClements & Battista, 1992( ושל קלמנטס ובטיסטה )1989 הספרות ואכן נמצאו סטודנטים ברמה זו. הנחנו שהסטודנטים הלומדים במכללה לא

של ואן-הילה ולכן רמה זו לא נבדקה.5נמצאים ברמה

. שאלון משוב. 2

להלן שאלון משוב אשר חולק לסטודנטים בכל ניסוי )פרט לניסוי עם קבוצה(5מספר :

אחת מהשאלות:כל עבור הציגו בפירוט את דרך הפתרון..1 תארו את אופן העבודה עם המחשב )למשל, בהתחלה עבדתם עם המחשב ואחר כך עם נייר ועפרון.2

או עבדתם לסירוגין וכו'(.במה התבטאה עזרתו של המחשב בתהליך הפתרון?.3

(:X )יש לסמן ב-באיזו מידה הלומדה עזרה בפתרון כל אחת מהבעיות הללו

שאלהאופן שימוש בלומדה1מס'

שאלה2מס'

שאלה3מס'

שאלה4מס'

סוג שאלה )שגרתית /חקר(ככלי עזר בהבנת הבעיה

ככלי עזר בגילוי פתרון, בהעלאתהשערות לפתרון

בבניית הוכחות גיאומטריות עקביותאחר )ציון, תאר(

26

מבדקים.. 3 המבדקים התבצעו בהתאם לדפי עבודה המוצגים בהמשך. על מנת להעריך את

שיפור התוצאות כתוצאה מהשימוש בלומדה עבור כל שאלה הושוו תשובותיו של כלנבדק לפני ואחרי שימוש במחשב.

התוצאות נותחו גם בהתייחס לרמת הלומד וגם בהתייחס לסוג הבעיה.

מהלך המחקר בתחילת שנת הלימודים תשס"ג התבצע מבחן בגיאומטריה הבודק את הרמה בה

(. מבחן זהה התקיים בסוף שנת הלימודים. 1נמצאים הלומדים )נספח במהלך שנת לימודים זו בדקנו את שאלות המחקר בשש הקבוצות, כאשר הקבוצה

השניה ביצעה שני דפי עבודה – האחד בגיאומטריה אנליטית והשני בגיאומטריה. עבדה על דף עבודה מספר 1 קבוצה מספר כאשר מתוך שיעור הנמשך שעתיים , 1

ובשעה מחשב ללא השאלות על הסטודנטים עבדו הראשונה בשעה – אקדמיות שלאחריה עבדו על אותן השאלות עם המחשב. )לתזכורת, זו קבוצה של מורים בפועל,

”).MathematiXבשיעור הנדסה אנליטית, עם התוכנה “1דף עבודה מספר

שאלות ללא עזרת המחשב .4 מתוך 3 דקות לפתור 40הסטודנטים התבקשו במשך

. מצא את משוואות צלעות המרובע. מצא את משוואת האלכסונים שלABCD. נתונים קודקודי מרובע 1המרובע.

A)-2,3( , B)-4,5( , C)-8,3( , D)-6,1(

נחתכים בראשית הצירים. מצא אתBM ו- AN . תיכוניו A(a,0) , B(0,b) קדקודים ABC. למשולש 2 .C ואת שיעורי הקודקוד MNמשוואת קטע האמצעים

לאורך קווים מאונכים זה לזה במהירותA, B. שני הולכי רגל החלו לנוע בו זמנית מנקודות נתונות 3. מצא את המקום גיאומטרי של נקודות אמצע הקטע ביניהם בכל רגעי הזמן. vקבועה

הנחיה: בחר מערכת קואורדינטות שבה הצירים מכוונים מקביל לישרים בהם מתקדמים הולכי הרגל. , ולאורך מסלול התנועה של השני - רקxלאורך מסלול התנועה של אחד מהם ישתנה רק שיעור ה -

מנקודת מוצאו.vt אחרי תחילת התנועה, עובר כל אחד מהם מרחק t . בכל רגע של זמן yשיעור ה - וכתוב את שיעורי אמצע הקטעtכתוב את שיעורי הנקודות שבהן נמצאים הולכי הרגל בכל עת, חלץ את

המחבר את שתי הנקודות המתארות את הימצאות של כל אחד מהולכי הרגל בכל רגע של זמן.

4 .AM הוא מיתר במעגל x2+y2=R2 שיעורי הנקודה . A( הם R,0 והנקודה ,)P(x0,y0)היא אמצע . AMהמיתר

. x0,y0 באמצעות Mא. הבע את שיעורי הנקודה . Aב. מצא את המקום הגיאומטרי של אמצעי כל המיתרים במעגל, היוצאים מן הנקודה

הסטודנטים התבקשו לענות שוב על השאלות והפעם להיעזר במחשב ובכל שאלה להראות כיצד

נעזרו במחשב. לסיום למלא את טבלת המשוב ולענות באיזו מידה הלומדה עזרה בפתרון כלאחת מהבעיות הללו?

27

היא שאלה שהצגתה באופן גרפישהשאלה הראשונה דף העבודה תוכנן כך, מאפשרת קריאת הפתרון. שאלה זו היא שאלה שגרתית בהנדסה אנליטית שפתרונה האלגברי פשוט. המטרה בהצגת שאלה זו הייתה בבדיקת היכולת של הסטודנטים לנצל

היאהשאלה השנייהאת הלומדה לקישור בין הייצוגים השונים: אלגברי, גרפי ונומרי. שאלה עם פרמטר אך גם היא שאלה שגרתית. מטרתה – לבחון את אופן השימוש במחשב כאשר מדובר בניסוח כללי של בעיה. כאן הלומדה עוזרת בהבנת הבעיה תוך

השאלה השלישיתשרטוט והצגה מספר מקרים פרטיים ויכולה לכוון לגילוי הפתרון. היא שאלה לא שגרתית שמשלבת את המושגים של גיאומטריה אנליטית עם המושגים הבסיסיים של מכאניקה )מוכרים לסטודנטים אך לא בהקשר לבעיות של גיאומטריהייצוג גרפי נכון מאפשר גם אנליטית(. התפקיד של הלומדה כאן בהמחשת הבעיה.

היא שאלה לאהשאלה הרביעיתלהבין את הביעה עצמה וגם לגלות את הפתרון. אמצעי של הגיאומטרי המקום ובמציאת ישרים של במשפחה העוסקת שגרתית הקטעים. בשאלה זו תמיכת הלומדה באה לידי ביטוי בשרטוט אך דרך השרטוט ניתן

לראות את הפתרון ולהבין את משמעות המושג "מקום גיאומטרי".

1 מתוך דף עבודה מספר 4 ו-3 עבדה א. על שאלות 2קבוצה מספר 2 ב. על דף עבודה מספר

בהוראת מחשב שימוש קורס שלמדו הוראה, פרחי של קבוצה זו לתזכורת, ” ובעבודה השניה עםMathematiXהמתמטיקה. בעבודה הראשונה הם עבדו עם ה-“

"הנדסה בתנועה".2דף עבודה מספר

דקות שאלות אלה ללא מחשב.30פתרו במשך בנה משיק למעגל הנתון העובר דרך נקודה הנתונה. .1

D בפנים הזווית. בנה קטע אשר קצותיו נמצאים על קרני הזווית כך ש- D , נקודה ABCנתונה זווית .2תהיה נקודת האמצע שלו.

בנה מקבילית לפי אלכסוניה וצלע אחת. .3 הסטודנטים התבקשו לענות שוב על השאלות והפעם להיעזר במחשב ובכל שאלה להראות כיצד

נעזרו במחשב. לסיום למלא את הטבלה ולענות באיזו מידה הלומדה עזרה בפתרון כל אחתמהבעיות הללו.

כל השאלות הן שאלות לא שגרתיות.

3 עבדה א. על דף עבודה מספר 3קבוצה מספר 4 ב. על דף עבודה מספר

לתזכורת, זו קבוצה של פרחי הוראה, שלמדו קורס הנדסה אנליטית. בעבודה”.MathematiXהראשונה עבדו עם ה-"ללא גבולות" ובעבודה השניה עם ה-“

28

דקות פתרו שאלות אלו ללא עזרת המחשב.40במשך

)נתון המעגל .1 x+3)2+( y−2 ונתונים שלושת הישרים:25=2(8א. x+15 y+28=012−ב. x−5 y+45 .5=03ג. x−4 y−8=0

מצאו את המצב ההדדי בין המעגל הנתון לכל אחד מהישרים הנ"ל.

5המעגל .2 x2+5 y2+10 x−13=0:חסום בתוך ריבוע, שמשוואת אחת מצלעותיו היא x+3 y=k.

.kמצאו את ערכו של הפרמטר א.

מצאו את משוואות צלעות הריבוע.ב.

)נתון כי המעגל .3 x+4 )2+( y−2 x+3 והישר 40=2( y=2 נפגשים בנקודות A-ו C נמצאת ברביע השני(.C)הנקודה

.C ו-Aמצאו את שעורי הנקודות א.

הוא קוטר במעגל הנתון.ACהראו ש-ב.

נמצאתD. )הנקודה D ו-Bחותך את המעגל הנתון בנקודות ACהקוטר המאונך ל- ג.ברביע השלישי(. מצאו את הנקודות.

הוא ריבוע? נמקו.ABCDהאם המרובע ד.

.B ו-A שחותך אותם בהתאמה בנקודות y=2x-12 והישר y=x-3 ו-y=-x+3נתונים הישרים .4?ABמהם שיעורי אמצע הקטע א. בהתאמהy=x-3 ו-y=-x+3 פרמטר( חותכת את שני הישרים: n)y=2x+nמשפחת הישרים ב.

הנ"ל.AB. מצאו את משוואת המקום הגיאומטרי של אמצעי הקטעים B ו-Aבנקודות בדקו שהנקודה שהתקבלה בסעיף א' מקיימת את משוואת המקום הגיאומטריג.

שקיבלתם בסעיף ב'.

ענו שוב על השאלות והפעם היעזרו במחשב. בכל שאלה תארו כיצד נעזרתם במחשב. לסיוםמלאו את הטבלה: באיזו מידה הלומדה עזרה בפתרון כל אחת מהבעיות הללו?

היא שאלה שהצגתה באופן גרפישהשאלה הראשונה דף העבודה תוכנן כך, מאפשרת קריאת הפתרון. שאלה זו היא שאלה שגרתית בהנדסה אנליטית שפתרונה האלגברי פשוט. המטרה בהצגת שאלה זו הייתה במתן תזכורת ליכולת של הלומדה

ונומרי. היא שאלה עםהשאלה השניהלקישור בין הייצוגים השונים: אלגברי, גרפי פרמטר. מטרתה – לבחון את אופן השימוש במחשב כאשר מדובר במשפחה של צורות גיאומטריות. הלומדה אינה דינמית, אבל אפשר להשתמש בהעתקות )הן העתקות של

השאלה השלישיתשינוי הביטוי והן העתקות של שינוי גרפי( ולעקוב אחר השינויים. היא שאלה שהצגתה באופן גרפי נותנת חלק מן הפתרון ויכולה לכוון לגילוי הפתרון. לייצוג הגרפי יש יתרון של הצגה הוליסטית של הסיטואציה. שלוש השאלות הראשונות

השאלה הרביעיתהן שאלות שגרתיות, פרט לסעיף האחרון של השאלה השלישית. היא שאלה לא שגרתית העוסקת במשפחה של ישרים ובמציאת המקום הגיאומטרי שלזו תמיכת הלומדה באה לידי ביטוי בשרטוט "אב טיפוס". אמצעי הקטעים. בשאלה

29

בתהליך השרטוט ניתן לראות את הקשרים בין האובייקטים המתמטיים השונים, לראות כיצד מתווספות נקודות השייכות למקום הגיאומטרי ולהבין את משמעות המושג "מקום

גיאומטרי" ואת השיטתיות בתהליך.

:4 עבדה על דף עבודה מספר 3קבוצה מספר דקות פתרו שאלות אלו ללא עזרת המחשב.40במשך

נמצאת עלQ על האליפסה. נקודה P(x1,y1) ונקודה F2 ו-F1נתונים שני המוקדים של אליפסה .1?PQמיהו הישר . F2PF1 חוצה את זווית PQומקיימת ש- F1F2הקטע

כיצד השאלה הקודמת מוכיחה את התכונה האופטית של האליפסה: אם נמקם מקור אור.2באחד ממוקדי מראה אליפטית, אזי כל קרן היוצאת ממנו תעבור דרך המוקד השני.

משני גדות נהר ממוקמים שני מפעלים )לא בהכרח האחד מול השני ולא בהכרח במרחקים.3 שווים מגדות הנהר( המעבירים סחורות האחד לשני. היכן יש למקם עת מעגן המעבורת כדי

שהמרחק בין שני המפעלים יהיה הקצר ביותר? . דרךB ו-A מעבירים משיק בנקודה כלשהי החותך את הצירים בנקודות y2=2pxלפרבולה .4

נקודות אלו מעבירים מקבילים לצירים. מצאו את המקום הגיאומטרי של מפגשי המקביליםהאלה.

ענו שוב על השאלות והפעם היעזרו במחשב. בכל שאלה תארו כיצד נעזרתם במחשב. לסיוםמלאו את הטבלה: באיזו מידה הלומדה עזרה בפתרון כל אחת מהבעיות הללו?

דף העבודה עסק בשאלות לא שגרתיות ולכן נוספו ההנחיות הבאות:

הנחייה:1לשאלה

שרטטו את הנתונים במחשב )אין צורך לשרטט את האליפסה, ניתן להסתפק בנקודות ובקטעים(.

?Qכיצד יצרתם את -האם יש צורך בהוכחה שPQהוא אכן הישר שציינתם או שהבנייה במחשב מחליפה את הצורך

בהוכחה? אם כן – הסבירו מה צריך להוכיח והוכיחו זאת. אם לא – הסבירו מדוע ניתן להסתפקבבנייה במחשב.

2לשאלה בנוסף להסבר ציינו כיצד השרטוט במחשב תורם להסבר.

3לשאלה כיצד התכנון של השרטוט המתאים במחשב לשאלה זו מסייע לפתרונה?

של השגרתי ש-השאלה הראשונההניסוח הוכח הוא PQלאליפסה הנורמל הוא השאלות. כאן הסטודנטים נדרשו למצוא בעצמם את המאפיין של הישר. Pבנקודה

והשלישית לתכונההשניה והרחבה יישום מהוות והן הראשונה לשאלה קשורות עוסקת במקומות גיאומטריים.השאלה הרביעית המוצגת בשאלה הראשונה.

5 עבדה על דף עבודה מספר 4קבוצה מספר ה-“ עם אנליטית הנדסה קורס שלמדו הוראה, פרחי של קבוצה זו לתזכורת,

MathematiX.”

30

נחתכים בראשית הצירים. מצא אתBM ו- AN . תיכוניו A(a,0) , B(0,b) קדקודים ABC. למשולש 1 .C ואת שיעורי הקודקוד MNמשוואת קטע האמצעים

לאורך קווים מאונכים זה לזה במהירותA, B. שני הולכי רגל החלו לנוע בו זמנית מנקודות נתונות 2. מצא את המקום גיאומטרי של נקודות אמצע הקטע ביניהם בכל רגעי הזמן. vקבועה

הנחיה: בחר מערכת קואורדינטות שבה הצירים מכוונים מקביל לישרים בהם מתקדמים הולכי הרגל. , ולאורך מסלול התנועה של השני - רקxלאורך מסלול התנועה של אחד מהם ישתנה רק שיעור ה -

מנקודת מוצאו.vt אחרי תחילת התנועה, עובר כל אחד מהם מרחק t . בכל רגע של זמן yשיעור ה - וכתוב את שיעורי אמצע הקטעtכתוב את שיעורי הנקודות שבהן נמצאים הולכי הרגל בכל עת, חלץ את

המחבר את שתי הנקודות המתארות את הימצאות של כל אחד מהולכי הרגל בכל רגע של זמן.

.1 בדף עבודה מספר 1אילו הן השאלות השניה והשלישית עליהן עבדה קבוצה מספר

6 עבדה על דף עבודה מספר 5קבוצה מספר לקורס במקביל גיאומטריה קורס שלמדו הוראה, פרחי של קבוצה זו לתזכורת,

”.Word"שימושים בתוכנה “הוכח שבמשולשים חופפים, התיכונים לצלעות השוות, שווים ביניהם..1הוכח שבמשולשים חופפים, חוצי הזוויות השוות, שווים ביניהם..2הוכח שבמשולשים חופפים, הגבהים לצלעות השוות, שווים ביניהם..3

ניתן להשתמש רק במושגים שהוגדרו בקורס.הערה חשובה האם יש הבדל בין הוכחות של שלוש הטענות?

האם מסביב לכל משולש אפשר להתוות מעגל כך, שכל שלושת הקדקודים של המשולש יהיו על.4 איפה, אם כן אם לא, במה זה תלוי?המעגל החוסם את המשולש. המעגל? מעגל כזה נקרא

יהיה מרכז המעגל החוסם: בתוך המשולש, על אחת מצלעותיו או מחוצה לו? במה זה תלוי? איךמוצאים את מרכז המעגל החוסם?

האם מסביב לכל מרובע אפשר )שאלה זו מיועדת רק למי שמסיים את שאר המשימות( .5 להתוות מעגל כך, שכל ארבעת הקדקודים של המרובע יהיו על המעגל? מעגל כזה נקרא

,אם כן אם לא, במה זה תלוי? חסום במעגל. נקרא והמרובעהמעגל החוסם את המרובע, איפה יהיה מרכז המעגל החוסם: בתוך המרובע, על אחת מצלעותיו או מחוצה לו? במה זה

תלוי?

31

ממצאיםאפיונים של תרומת לומדה לפרחי הוראה3.1

בשלב ראשון נציג את התוצאות הסטטיסטיות משאלון המשוב:

)ייתכן1 על דף מספר 1א. תוצאות סטטיסטיות של שאלון המשוב לקבוצה מספר שהמחשב שימש ככלי עזר במספר קטגוריות(:

לאשגרתיתשגרתיתסוג השאלהשגרתית

לאשגרתית

שאלה1שאלה אופן השימוש בלומדה2

4שאלה 3שאלה

ככלי עזר לצורך הבנתהבעיה

2375

ככלי עזר בגילויהפתרון

0376

1 על דף מספר 1: תוצאות שאלון המשוב של קבוצה מספר 1לוח מראה שאין קשר מובהק בין השימוש בלומדה ככלי עזר לצורך הבנת הבעיה 2מבחן

לבין סוג הבעיה, כלומר, מספר הפעמים שהנבדקים נעזרו בלומדה לצורך הבנת הבעיה בבעיות לא שגרתיות אינו שונה באופן מובהק ממספר פעמים שהנבדקים נעזרו

בלומדה לצורך הבנת בעיות שגרתיות( ( p=0.1752, 2=1.82, df=1 2. בניגוד לכך מבחן מראה שיש קשר מובהק בין השימוש

בלומדה ככלי עזר לצורך גילוי הפתרון לבין סוג הבעיה, כלומר, מספר הפעמים=שהנבדקים נעזרו בלומדה בגילוי הפתרון בבעיות לא שגרתיות גדול באופן מובהק )

4.19 ,df=12 ,p=0.0406.בהשוואה לשימוש זה בבעיות שגרתיות )

)ייתכן1 על דף מספר 2ב. תוצאות סטטיסטיות של שאלון המשוב לקבוצה מספר שהמחשב שימש ככלי עזר במספר קטגוריות(:

לא שגרתיתלא שגרתיתסוג השאלה

4שאלה 3שאלה אופן השימוש בלומדה

32

ככלי עזר לצורך הבנתהבעיה

69

1213ככלי עזר בגילוי הפתרון

1 על דף מספר 2: תוצאות שאלון המשוב של קבוצה מספר 2לוח מראה שבפתרון בעיות לא שגרתיות אין הבדל מובהק בין השימוש בלומדה ככלי עזר 2מבחן

לצורך הבנת הבעיה או ככלי עזר בגילוי הפתרון , כלומר, בבעיות לא שגרתיות מספר הפעמים

שהנבדקים נעזרו בלומדה לצורך הבנת הבעיה אינו שונה באופן מובהק ממספר פעמים שהנבדקים

.p=0.2318, 2=1.43, df=1נעזרו בלומדה לצורך גילוי הפתרון ((

(ייתכן שהמחשב2 על דף מספר 2ג. תוצאות סטטיסטיות של שאלון המשוב לקבוצה מספר

שימש ככלי עזר במספר קטגוריות):

לא שגרתיתלא שגרתיתלא שגרתיתסוג השאלה

3שאלה 2שאלה 1שאלה אופן השימוש בלומדה ככלי עזר לצורך הבנת

הבעיה457

677ככלי עזר בגילוי הפתרון

2 על דף מספר 2: תוצאות שאלון המשוב של קבוצה מספר 3לוח מראה שבפתרון בעיות לא שגרתיות אין הבדל מובהק בין השימוש בלומדה 2מבחן

ככלי עזר לצורך הבנת הבעיה או ככלי עזר בגילוי הפתרון, כלומר, בבעיות לא שגרתיות מספר הפעמים שהנבדקים נעזרו בלומדה לצורך הבנת הבעיה אינו שונה באופן

,p=0.5695מובהק ממספר פעמים שהנבדקים נעזרו בלומדה לצורך גילוי הפתרון ))

2=0.32, df=1.

)ייתכן3 על דף מספר 3ד. תוצאות סטטיסטיות של שאלון המשוב לקבוצה מספר שהמחשב שימש ככלי עזר במספר קטגוריות(:

שגרתיתשגרתיתשגרתיתסוג השאלה אופן השימוש

בלומדה3שאלה 2שאלה 1שאלה

ככלי עזר לצורךהבנת הבעיה

103 חלק א' לא1+

וחלק ב' כן

3

9 מתוכם2 )125 ככלי עזר בגילוי

33

ציינו שהשתמשוהפתרון בהזזה כדי למצוא

ואתkאת הישרים(

חלק א' לא2+וחלק ב' כן

לצורך הבנייתהוכחה עקבית

)ציינו2 שעוזר לתת

תמונה כללית או הנחיות

לפתרון(

00

)ציינו3אחר שעוזר

לאימות או בדיקת

התשובות(

)אימות1התשובות(

– תיקון1 )2 –1שגיאות,

אימותתשובות(.

3 על דף מספר 3: תוצאות שאלון המשוב של קבוצה מספר 4לוח

מראה שבפתרון בעיות שגרתיות אין הבדל מובהק בין השימוש בלומדה ככלי 2מבחן עזר לצורך הבנת הבעיה או ככלי עזר בגילוי הפתרון, כלומר, בבעיות לא שגרתיות מספר הפעמים שהנבדקים נעזרו בלומדה לצורך הבנת הבעיה אינו שונה באופן

,p=0.1969מובהק ממספר פעמים שהנבדקים נעזרו בלומדה לצורך גילוי הפתרון ) )

2=1.67, df=1 . מראה שבבעיות לא שגרתיות מספר הפעמים שהנבדקים נעזרו 2בניגוד לכך מבחן

בלומדה לצורך גילוי הפתרון שונה באופן מובהק ממספר פעמים שהנבדקים נעזרוp=0.0001, 2=16.55, df=1בלומדה לצורך הבניית הוכחה עקבית ) )

קבוצה זו הוסיפה הערות בכתב:הערות )נבחר ציטוט בניסוח אחד מתוך הרעיונות הדומים(:

לגיטימי למצוא תשובות מספריות בעזרת המחשב, אך לא לגיטימי לתת הוכחות (4לפי המחשב )

בשאלה בה מופיע פרמטר נראה שהמחשב לא עוזר. יש צורך בתוכנה דינמית (.5כדי לפתור בעיות עם פרמטר )

על השאלה הרביעית ענה רק סטודנט אחד שכתב "למי שלא יודע איך לפתור ניתן בקלות לפתור זאת על ידי המחשב".

)ייתכן4 על דף מספר 3ה. תוצאות סטטיסטיות של שאלון המשוב לקבוצה מספר שהמחשב שימש ככלי עזר במספר קטגוריות(:

34

לאלא שגרתיתסוג השאלהשגרתית

לא שגרתית

3שאלה 2שאלה 1שאלה אופן השימוש בלומדה ככלי עזר לצורך הבנת

הבעיה220

100ככלי עזר בגילוי הפתרון לצורך הבניית הוכחה

עקבית )כיוון1

להוכחה(00

– כיוון1 )2אחר –1למחשבה,

תחושה(

)מקל על1ההסבר(

0

4 על דף מספר 3: תוצאות שאלון המשוב של קבוצה מספר 5לוח מראה שבפתרון בעיות לא שגרתיות אין הבדל מובהק בין השימוש בלומדה 2מבחן

.p=0.2146, 2=1.54, df=1באופנים השונים ))

קבוצה זו הוסיפה הערות בכתב:הערות )נבחר ציטוט בניסוח אחד מתוך הרעיונות הדומים(:

:1הערות לשאלה (5"המחשב לא מחליף צורך בהוכחה" )

(4"אי בקיאות בתוכנה מנעה שימוש טוב" )(2"במחשב אין את כל האופציות לפתרון הבעיה" )

(1"יש צורך ביותר משימות מסוג זה" )(2"יש צורך ביותר זמן" )

:2הערות לשאלה "אם הייתה אופציה של הזזה היינו יכולים לגלות את התכונה ולהסביר אותה".

:3הערות לשאלה "התוכנה לא דינמית – לא יכולנו לראות את השינוי באורך הקטע כאשר מזיזים נקודות.

אם היינו יכולים להזיז היינו יכולים לראות מתי המרחק הקטן ביותר".

מניתוח התוצאות הסטטיסטיות ניתן לראות שהסטודנטים נעזרים בלומדה לצורך הבנת הבעיה הן בבעיות לא שגרתיות והן בבעיות שגרתיות. השרטוט במחשב ממקד את

הסטודנטים בנתונים ובמה שצריך למצוא.

35

הסטודנטים נעזרים בלומדה במידה רבה לצורך גילוי הפתרון או לפחות להכוונה אליו. כאן באים לידי ביטוי ההבדלים בשליטה בלומדה וכן בהתייחסות של הסטודנטים לבעיה: אם הם מרגישים שאינם זקוקים לכלי עזר, הם עשויים לא לפנות למחשב גם

אם הם שולטים בו. כך, בסעיף א' אנו רואים שהמורים חשים שהם יודעים את הפתרון(. 1ולכן לא הרבו להשתמש בלומדה בקריטריון זה )לוח

הקבוצה השניה שלמדה קורס במחשבים השתמשה רבות בלומדה לצורך גילוי (. הקבוצה השלישית שלטה בתוכנה "ללא גבולות" ולא שלטה2-3הפתרון )לוחות

”MahtematiXמספיק ב-” והערות4-5ומכאן נבעו ההבדלים בשימוש ככלי עזר לצורך גילוי הפתרון )לוחות

נלוות(. שתי הקבוצות הראשונות לא השתמשו במחשב לצורך הבניית הוכחה עקבית.

הקבוצה השלישית השתמשה במחשב בהתאם לקריטריון זה מעט מאוד ומן ההערות ניתן ללמוד על חוסר קישור בין שימוש במחשב לבין הצורך בהוכחות פורמליות. מניתוח

התוצאות הסטטיסטיות נראה כי יש הבדל בין קבוצות הלומדות קורס במתמטיקה המשלב מחשב לבין קורס מחשב לסטודנטים המתמחים במתמטיקה. בקורסי מחשב לא תמיד ראו פרחי ההוראה צורך בהוכחה פורמלית, כלומר, העובדה שהמחשב עזר

להם למצוא כיוון לא שכנעה אותם בצורך הנוסף של הכללה והוכחה.

הקבוצה השלישית ציינה שהשתמשה במחשב גם לצורך כיוון למחשבה, תחושה,הסתמכות על הבניה לצורך הסבר, אימות, בדיקת התשובות ולתיקון השגיאות.

הישגים3.2

השינוי ברמות החשיבה לפי ואן הילה במהלך שנת הלימודים 3.2.1

בחרנו בתיאוריית רמות החשיבה של ואן-הילה כדי לשקף מדד נוסף של רמת התפתחות בקרב הסטודנטים. חלק זה של הניסוי לא הוצע בהצעת המחקר והוספנו אותו כמדד

(.1.4שתוקף במחקרים קודמים לבניית רמות חשיבה בגיאומטריה )סעיף בדיקת רמות החשיבה התבצעה פעמיים במהלך השנה: בתחילתה ובסיומה. הבדיקה

נעשתה לכלל הסטודנטים בחוג למתמטיקה.להלן תוצאות המיון מיוצגים בעזרת טבלת שכיחויות וגרף:

השינוי בהישגים3.2.2

36

נתמקד כעת בקבוצות לימוד אשר עבדו עם מחשב במהלך שנת הלימודים כדי לחדד את התרומה של הסביבה הממוחשבת לשיפור בהישגים וגם כדי להפיק לקחים לעבודה

בכלים ממוחשבים וליעל את אופן השימוש בהם. .1.332.93 - 1 קבוצה מספר הרמה הממוצעת של

התפלגות הרמה בקבוצה:

33-4מתחת ל- רמה34שכיחות

ניתוח תרומתה של הלומדה בהתאם לרמות הלומדים:

33-4מתחת ל- רמת הלומד )שגרתיות(1-2שאלות

(50% )2 (100% )3שימוש בלומדהתוצאות שיפור

על-ידי הלומדה2( 66%)0( 0%)

)לא שגרתיות(3-4שאלות (66% )3(100% )3שימוש בלומדה שיפור תוצאותעל-ידי הלומדה

1( 33%)3( 75%)

1: ניתוח תרומת הלומדה לקבוצה 15לוח

הערות: עם4 נצפו שני מקרים כאשר סטודנטיות )מורות ברמה

3וותק בהוראה ועם ניסיון בשימוש הלומדה( הבינו ופתרו שאלה רק בעזרת הלומדה )חשוב לציין שללא מחשב הן לא הבינו את

הבעיה כלל(.

מסקנות:כל הסטודנטים )מורים בפועל( מתחת לרמה השלישית השתמשו בלומדה, אך

ניצלו את הלומדה בעיקר לפתרון בעיות "שגרתיות". כל הסטודנטים ברמה השלישית ומעלה השתמשו בלומדה. הלומדה לא תרמה

בהבנה ולא בפתרון של בעיות "שגרתיות", אך בבעיות "לא שגרתיות" היאתרמה במידה גבוהה.

37

. 0.633.27 2 קבוצה מספר הרמה הממוצעת של

התפלגות הרמה בקבוצה:

33-4מתחת ל- רמה38שכיחות

2ניסוי ראשון בקבוצה מספר

להלן הצגה של מספר התשובות הנכונות שהציגה הקבוצה:

4שאלה 3 שאלה מס' שאלהללא מחשב

)פתרון אנליטי(חלקימלאחלקימלא

2907עם המחשב

)פתרון גרפי ללאהוכחה(

1011

פתרון אנליטי לאחרשימוש בתכנה

10

, ניסוי ראשון2: מספר התשובות הנכונות של קבוצה 16לוח

ו- 3הסטודנטים התבקשו לפתור רק את שאלות מדף העבודה. בשלב ראשון ניסו4 בדרך הבעיות בפתירת שהמוטיבציה לציין חשוב מחשב. ללא הבעיות את לפתור אנליטית הייתה נמוכה מכיוון שהתרבות הסוציו-מתמטית של הסטודנטים הפרידה בין למידה בקורס "שימושי מחשב" לבין שיעור מתמטיקה, בו הם פותרים בעיות בדרך פורמלית. הסטודנטים הציגו באופן ויזואלי את הסיטואציה של הבעיה, הבינו את דרך

לפני הצגתה3הפתרון והסתפקו בכך. רוב הסטודנטים לא הצליח להבין את שאלה , אף אחד לא הצליח לפתור אותה לפני הצגתה על ידי4בעזרת הלומדה. לגבי שאלת

38

הלומדה. כמעט כל המשתתפים אישרו תרומתה הלומדה בהבנה גם בשלב ניסוחהבעיה וגם בשלב הצגת הפתרון.

המסקנות על תרומת הלומדה בבעיות חקר בקבוצה עם רמה ממוצעת גבוהה )מעל( הלומדה :3

;עוזרת בהבנת הבעיה;עוזרת בגילוי הפתרוןאינו עוזרת בהוכחה )בגילוי פתרון אנליטי(, כלומר, הסטודנטים לא מקשרים בין

ההצגה הגרפית של פיתרון הבעיה לבין דרך אנליטית.

2ניסוי שני בקבוצה מספר

להלן הצגה של מספר התשובות הנכונות שהציגה הקבוצה:

123מס' שאלהסוג השאלהללא מחשב

)פתרון אנליטי(354

עם המחשב )פתרון גרפי ללא

הוכחה(

10910

פתרון אנליטי לאחרשימוש בתכנה

622

, ניסוי שני2: מספר התשובות הנכונות של קבוצה 17לוח

הסטודנטים התבקשו לפתור את כל השאלות מהדף. הם ניסו לפתור את הבעיות ללא מחשב. חשוב לציין שגם בניסוי הזה המוטיבציה בפתירת הבעיות בדרך אנליטית הייתה נמוכה )כמו בניסוי הקודם(. בתחילת הניסוי הם אמרו שהרושם הוא שמי שאינו זוכר את

הפתרון האנליטי לא יוכל לגלות אותו בעזרת הלומדה.

39

הסטודנטים התבקשו לענות שוב על השאלות והפעם להיעזר במחשב ובכל שאלה להראות כיצד נעזרו במחשב. לסיום הם התבקשו לענות באיזו מידה הלומדה עזרה

בפתרון כל אחת מהבעיות הללו.

רוב הסטודנטים העריכו את תרומתה של הלומדה בהבנת הבעיות וכן בגילוי ההוכחות אולם רק מעטים הצליחו לגלות את פתרונות בעזרת הלומדה. סטודנטית אחת ציינה כי רק לאחר הניסוי היא תוכל להבין חומר של הקורס )בניות וטרנספורמציות( ולהתכונן

למבחן.

ניתוח תרומתה של הלומדה בהתאם לרמת הלומדים בפתרון כל שלושת השאלות:

33-4מתחת ל- רמת הלומד(100% )8 (100% )3שימוש בלומדה

תוצאות שיפור על-ידי הלומדה

1( 33%)5( 62.5%)

2: ניתוח תרומת הלומדה לקבוצה 18לוח

המסקנות על תרומת הלומדה בניסוי: ( הלומדה :3בבעיות בנייה בקבוצה עם רמה ממוצע גבוהה )מעל

;עוזרת בהבנת הבעיה;לא תמיד עוזרת בגילוי הפתרוןסטודנים בעלי רמה גבוהה מנצלים את הלומדה טוב יותר מאשר סטודנטים

בעלי רמה נמוכה.הסטודנטים אישרו את הפוטנציאל הלומדה בפתרון בעיות בנייה אך ציינו כי

לניצול טוב יותר צריך הרבה תירגול.

5קבוצה מספר .1.112.69רמה ממוצעת של הקבוצה :

התפלגות הרמה בקבוצה:

33-4מתחת ל- רמה1011שכיחות

להלן ניתוח תרומתה של הלומדה בהתאם לרמות הלומדים:

40

33-4מתחת ל- רמת הלומד(45% )5 (90% )9שימוש בלומדה

שיפור תוצאות על-ידיהלומדה

6( 67%)4( 80%)

5: ניתוח תרומת הלומדה לקבוצה 19לוח

המסקנות על תרומת הלומדה בבעיות בגיאומטריה בקבוצה עם רמה ממוצעת בינונית(:3)מתחת ל-

סטודנטים בעלי רמה גבוהה משתמשים פחות בלומדה אך מנצלים אותה יותר טוב מאשר סטודנטים בעלי רמה נמוכה.

מן התוצאות הסטטיסטיות, מניתוח העבודות ומהערות הסטודנטים נראה שהעבודה עם המחשבים תורמת לשיפור בהשגים בזכות התוספת הויזואלית שהלומדות מאפשרות.

התמונה המצטיירת היא שהתרומה שונה בהתאם לרמת הלומד ובהתאם לסוג הבעיה)שגרתית/לא שגרתית(.

מסקנה חשובה שהסקנו הייתה ליעל את השימוש במחשבים על ידי שילוב בין הקורסים במתמטיקה לקורסים במחשב. יש צורך במחקר נוסף שיבדוק את השינוי שיתבצע

במהלך שנת הלימודים תשס"ד.

פרק רביעי: סיכום ומסקנות קורסי המחשב נלמדים במכללה מזה שנים רבות, כאשר במהלך השנים האחרונות שילבנו לימוד של לומדות במתמטיקה כחלק מקורסי המחשב למתמחים במתמטיקה בנוסף לשיעורים בהם המרצים משלבים את הלומדות כחלק מתהליך ההוראה. בניסוי

אופנים של שימוש במחשב: ככלי עזר3זה התעניינו באפיון השימוש בלומדות. הצגנו לצורך הבנת הבעיה, ככלי עזר בגילוי הפתרון ולצורך הבניית הוכחה עקבית. לשלוש האופנים האלה הוספנו אפשרות נוספת כדי לבדוק אם הסטודנטים משתמשים בלומדה באופן שלא ציפינו. בנוסף לכך, הבחנו בין "בעיות שגרתיות" ל"בעיות לא שגרתיות"

בעמוד שתיארנו כאשר2באופן שונים יהיו במחשב השימוש שאפיוני שיערנו . האלגוריתמים את לדעת אמורים )שהם שגרתיות" ב"בעיות עוסקים הסטודנטים לפתרונן או לפחות את הסקיצה ההתחלתית של תהליך ההתרה( לבין אפיוני שימוש במחשב ב"בעיות לא שגרתיות" )דיון באובייקטים גיאומטריים לא מוכרים או בתהליכים

41

מתמטיים לא מוכרים(. בדקנו מגוון של קבוצות )מורים בפועל ופרחי הוראה( במגוון שלקורסים )קורסי מחשב, קורסי גיאומטריה וקורסי גיאומטריה אנליטית(.

( שמורים בפועל משתמשים במחשב1 מראים )לוח 2 התוצאות של מבחני לצורך הבנת הבעיה גם בבעיות שגרתיות וגם בבעיות לא שגרתיות באופן שאינו שונה

(. לעומת זאת המורים בפועלp=0.1752, 2=1.82, df=1באופן מובהק )יותר בלומדה באופן מובהק כדי לגלות את הפתרון בבעיות לא שגרתיות משתמשים

(.df=12 ,p=0.0406, 4.19=מאשר בבעיות שגרתיות ) 2דפי העבודה האחרים היו בנויים רק מסוג אחד של בעיות ולכן בוצעו עליהם מבחני

הבודקים את הקשר בין סוג הבעיה לבין הקריטריון המייצג את אופן השימוש בלומדה.ו-3, 2אנו רואים מלוחות שמבחני 5 2 מראים שאין הבדל מובהק בקרב פרחי

הוראה בין השימוש בלומדה לבין האופנים השונים של השימוש בבעיות לא שגרתיות. ( מצאנו שאין הבדל מובהק בין שימוש במחשב4לעומת זאת בבעיות שגרתיות )לוח

( ( הפתרון בגילוי עזר ככלי במחשב שימוש לבין הבעיה הבנת לצורך עזר ככלי p=0.1969, 2=1.67, df=1אבל יש הבדל מובהק בין שימוש במחשב לצורך גילוי הפתרון

,p=0.0001לבין שימוש בו לצורך הבניית הוכחה עקבית )) 2=16.55, df=1הסטודנטים . כיוון השגיאות, תיקון התשובות, אימות במחשב: לשימוש נוספים שיקולים הציגו למחשבה, תחושה, מקל על ההסבר. בנוסף למילוי שאלוני המשוב הוסיפו הסטודנטים

)עמודים אינדוקטיבית20-21הערות עבודה בין קונפליקט על ללמוד ניתן מהן ) במחשב לבין עבודה דדוקטיבית על הדף ומכאן על חוסר קישור בין לימוד בסביבה

,3.2.2ממוחשבת לבין שיעור מתמטיקה בחדר לימוד. ממצא זה מקבל חיזוק בסעיף (,33-34שבו תארנו את חוסר הנכונות לכתוב פתרונות תיאורטיים בשיעור מחשב )עמ'

כאשר בשיעור גיאומטריה, עם עבודה עקבית בסביבה ממוחשבת לא התעוררה כלבעיה.

ההפרדה בין קורסי המחשב לקורסי המתמטיקה נעשתה לפני שנים כאשר היה צורך בפיתוח מיומנויות מחשב בסיסיות לאו דווקא לצורך השימוש במתמטיקה. מבנה לימודים מסורתי זה מיצה כנראה את עצמו, לפחות כאשר מטרתנו – מציאת אופןמאידך, והגיאומטריה בפרט. לימוד המתמטיקה בכלל השימוש במחשב שילווה את זו גם תפיסת הגיאומטריה כאוסף של אמיתות נצחיות שאינן השפיעה על הפרדה

ובכלים בהם משתמשים בפעילויות כפי שהצגנו בעמוד את6תלויות בעוסקים בה ,Straesserמחקרו של סטרסר ) (. פרחי ההוראה נדרשו לקשר בין הגיאומטריה2001

והגיאומטריה האנליטית שלמדו בקורסי מתמטיקה לבין יכולות הלומדות שלמדו בקורסיהתוצאות מן דרכם. בהמשך ולהוראה ללמידתם תרומה מהשילוב ולבנות מחשב הסטטיסטיות אנו רואים שפרחי ההוראה מכירים את התוכנות והלומדות המתמטיות, אך

42

לא מתרגלים מספיק לשימוש משמעותי בהם במהלך עיסוקיהם במתמטיקה במסגרות המוגדרות כעיוניות ולא שולטים בכל האופציות. ההפרדה בין קורסי המחשב ובין קורסי המתמטיקה מונעת היווצרות נורמות סוציו-מתמטיות שיבנו את אופן העבודה בסביבה

ממוחשבת כך שיובילו להוכחות פורמליות מבחינה מתמטית. ונפרט תורמת. נרחיב נובע שעבודה בסביבה ממוחשבת מן התוצאות הסטטיסטיות

במספר אופנים: כאשר השאלות שגרתיות, אפשר לקבל את הפתרון בעזרת המחשב ואז לבנות

את הדרך התיאורטית, אפשר לפתור בדרך תאורטית ואז לבדוק את התשובות. אם התשובה נכונה – לאמת אותה ואם התשובה שגויה – לתקן ולחפש כיוון

לתיקון. כאשר הבעיות אינן שגרתיות מכל סיבה שהיא, בין אם זו שאלה פתוחה מהסוג

דיו מוכר אינו בהן המרכזי המושג או התחום אם ובין חקר, שאלות של - הלומדות מסייעות בהצגת תמונה כללית, בהצגת אב-טיפוס, לסטודנטים

בבדיקת התכונות המשתנות והתכונות הנותרות ללא שינוי )בעזרת הדינמיות של הלומדות(. העבודה בלומדות נותנת כיוון למחשבה ופריצת דרך לכיוון ההוכחה. בשני סוגי הבעיות – הלומדות עוזרות בהבנת הבעיה, אך לא תמיד ברור מהו המכלול של מהלך הפתרון: מהעלאת ההשערה ועד מתן ההוכחה הכללית או הפתרון הכללי, כולל הצורך להוכיח שהפתרון המוצע הנו פתרון הממצה את

הבעיה, כמו שנדרש לעשות למשל בבעיות בנייה.

נראה שעבודה בעזרת1.2 בהתאם לקשיים בהוראת הגיאומטריה שהצגנו בסעיף לומדות בגיאומטריה ובגיאומטריה אנליטית יכולה ליצור מוטיבציה לגילוי משפטים ולתקן

,Balacheffתפיסות מוטעות בקרב פרחי ההוראה. לפי בלשף ) ( פרחי ההוראה1987 ( – להשתכנע בכך שכלל מסוים הוא נכון3יכולים לשפר את "הוכחות היחיד" )עמוד

ולפתח את יכולת ההסבר, שעשויה לשפר הן את דרך ההוראה והן את היכולת לתמוך בתלמידים בעת הוראת מקצועות אלה. נראה שיש צורך בתמיכה במעבר מ"הוכחות היחיד" ל"הוכחה המתמטית הפורמלית" כדי ליצור מורים משוכנעים בנכונות התכונותיכולת איתור בעיות אצל תלמידיהם בעתיד יכולת הסברה, בעלי הגיאומטריות, בעלי יש צורך בהוראת יכולת הוכחה פורמלית של המשפטים המתמטיים. אי לכך, ובעלי הגיאומטריה והגיאומטריה האנליטית משולבות מחשב, במקום ההפרדה הקיימת כיום בין הקורסים הדיסציפלינריים לבין הקורסים בהם מלמדים את מיומנויות המחשב ואפילו כאלה המכוונים לדיסציפלינה. חלק מתהליך ההוראה, בייחוד כאשר מדובר במורים העתידיים למתמטיקה, צריך להיות מלווה בדיון כיתתי על תרומת המחשב, ועל הציפיות

43

ממנו, ועל מגבלותיו במה שקשור להוראת המתמטיקה בכלל וגיאומטריה בפרט. עלהרחבות שהאפשרויות לסטודנטים ברור שיהיה כזאת בצורה בנוי להיות הקורס הטמונות בלומדות, ואפילו בלומדות הדינמיות המתקדמות, אינן מבטלות את הצורךנגדיות, ודוגמאות דוגמאות בהוכחה, בהכללה, בטיעון מתמטי תקף, אלא מספקות לתהליכים מחשב של תרומה ועוד. אותן, ולבדוק השערות להעלות עוזרות

סוציו-מתמטיים היא בהעשרת הדיון ובהרחבת מגוון האופציות להעלאת רמתו. אחת המסקנות מן הממצאים היא שגם משתמשים שאינם נרתעים מהשימוש במחשב לצורך חקר בעיה מתמטית, לא תמיד מודעים לאפשרויות השימוש בו, ויש בהחלט צורך

בחשיפתם למגוון רחב של כלים, תוך התייחסות ליכולות ומגבלות של כל כלי.מאשש המתמטיקה בהוראת המתמחים הסטודנטים על שלנו הניסוי תוצאות מחקרים קודמים על הקשיים של לומדים גיאומטריה. האוכלוסייה כוללת מורים שכבר מלמדים גיאומטריה, מורים שלא התנסו בהוראת הגיאומטריה, פרחי הוראה העתידים ללמד את הגיאומטריה הפורמלית בחטיבת הביניים ופרחי הוראה העתידים ללמד את הגיאומטריה הלא פורמלית בבית הספר היסודי. במיוחד בולט הצורך ביישום ההצעה

וינר והרשקוביץ ) ,Vinner & Hershkowizשל ( בצורך ללמד מושג כך שיביא גם1980 לזיהויו וגם לבנייתו כדי ליצור דימוי מושג, כדי ליצור הגדרה של מושג וכדי להביא ליכולת

11, 9, 7, 6(. מצאנו בלוחות 4של פעולות על המושג )מנטליות או פיסיות( )עמוד מגוון של רמות התפתחות לפי ואן-הילה והתייחסנו לתוצאות8, 7, 4, 2, 1ובאיורים

ברמות שולטים לא אך הפורמליות הגבוהות ברמות השולטים סטודנטים שנמצאו הנמוכות יותר העוסקות בזיהוי צורות גיאומטריות ובזיהוי ובניתוח של תכונות של צורות.

שהציעה סנק )0כתוצאה מכך השתמשנו ברמה Senk, 1989ובשיטה שקראנו לה ) . השימוש ברמות ההתפתחות של12"שיטת הרמות החסרות" כפי שתיארנו בעמוד

ואן-הילה בוצע ותוקף במחקרים קודמים רבים )למשל, כל המחקרים שהוצגו בסעיףבחטיבות1.4 ההוראה מדרך נובעת בהוכחות הפורמלית שהשליטה נראה ועוד(.

האינטואיטיבית ולדרך לויזואליזציה קישור אין כאשר העליונה ובחטיבה הביניים שנלמדה בגיל הרך ובבית הספר היסודי ואין פיתוח של הויזואליזציה של מקצוע זה. התוצאות מעידות על צורך בהתנסות בתהליך אינדוקטיבי של גילוי משפט, כפי שמציגה

( וכפי שמציעים כל החוקרים הדנים בהשפעות אפשריות של2, עמוד 1992הרשקוביץ )(.4-6, עמודים 1.3.2סביבה ממוחשבת על לימוד ועל הוראת הגיאומטריה )סעיף

אנו למדים שקבוצת הסטודנטים שהשתתפו בקורסיt וממבחן 8, 7, מאיורים 11מלוח עלtמחשב שיפרו את רמתם כאשר שתי הקבוצות התחילו מרמה זהה. ניתוח מבחן

מוסיף את המידע שרצינו להתמקד בו על השפעת המחשב על עליית13 ו-12לוחות הרמה הממוצעת. נמצא שבקבוצה "ללא מחשב" הרמה הממוצעת עלתה מ-

44

1.262.57-ל 0.83 3.15 (p=0.034, t=-2.24 df=25) ומלוח שבקבוצת13 נמצא מ- ל- 1.272.63ה"מחשב" הרמה הממוצעת עלתה 1.053.26t=-2.76) p=0.01,

(df=28 איורים לוחות 9-11. זו. עלייה מציגים את12-13 המחזק ממצא מציגים . באופן3-4 לבין אילו שרמתם בין 0-2השערתנו שיש הבדל בין סטודנטים שרמתם בין

גבוה מאחוז הסטודנטים2כללי נמצא כי אחוז הסטודנטים שבסוף השנה רמתם מעל בתחילת השנה. תוצאה זו מובהקת בקרב הסטודנטים מקבוצת2שרמתם הייתה מעל

"ללא מחשב" ואינה מובהקת בקבוצת ה"מחשב". כתוצאה מכך בדקנו את ההתנהגות)לוח שינוי12, איור 14של שינוי הרמה בשתי הקבוצות (, כלומר את המגמה של

מבחן של ניתוח בעזרת ומצאנו חיובי ושינוי שינוי ללא שלילי, שינוי 2הרמה:

שבקבוצת "מחשב" מספר הנבדקים אשר שיפרו את רמתם גדול באופן מובהק ממספר,p=0.0443הנבדקים אשר שיפרו את רמתם בקבוצה "ללא מחשב" )) 2=4.05, df=1.

ויזואליים ייצוגים בין קישור זו מראה שהלומדות אשר הציעו אפשרויות של תוצאה לייצוגים פורמליים תרמו לשיפור דווקא ברמות ההתפתחות הנמוכות של ואן הילה – בשלב של הכרה: זיהוי והבחנה של צורות גיאומטריות כאשר הצורה נתפסת כשלמות

ובשלב של אנליזה – זיהוי וניתוח תכונות של צורות. לסיום התמקדנו בקבוצות לימוד אשר עבדו עם מחשב במהלך שנת הלימודים תשס"גבבדיקת המתמטיקה". בהוראת מחשב "שימוש בקורס או מתמטי מקורס כחלק קבוצות המורים בפועל )לאו דווקא במתמטיקה( נצפה שכל המורים שרמתם מתחת ל-

השתמשו בלומדה בעיקר לבעיות שגרתיות. המורים ברמה השלישית ומעלה השתמשו3 3בלומדה בעיקר בבעיות לא שגרתיות. בקבוצת פרחי הוראה עם רמה ממוצעת מעל

שעסקה בבעיות לא שגרתיות בהנדסה אנליטית הלומדה עזרה בהבנת הבעיה ובגילוי הפתרון ולא עזרה בגילוי פתרון אנליטי. קבוצה זו עסקה בשאלות לא שגרתיות של בנייה בגיאומטריה ובהן הלומדה עזרה בהבנת הבעיה, אך לא תמיד בגילוי הפתרון. נמצא כי סטודנטים בעלי רמה גבוהה מנצלים את הלומדה טוב יותר מאשר סטודנטים

נמצא כי סטודנטים בעלי3בעלי רמה נמוכה. בקבוצה שרמתה הממוצעת נמוכה מ- רמה גבוהה משתמשים פחות בלומדה אך מנצלים אותה טוב יותר מאשר סטודנטים

בעלי רמה נמוכה. בכך שהוא מציע שילוב יעיל של הלומדות בהתאם לרמת הלומדחשיבות המחקר

הסטודנטים של בלמידה הלומדות לשילוב הנאותה הדרך מציאת השאלה. ולסוג להוראה תתרום להעשרת השיעורים של פרחי ההוראה במכללה ותפתח בפני המורים

לעתיד דרך נאותה לשלב את הלומדות לכשילמדו גיאומטריה בכיתותיהם.

45

מסקנות דידקטיותכתוצאה מהמסקנות לגבי הצורך במיזוג הקורסים משני סוגים: דיסציפלינריים

וקורסי מיומנויות במחשב, - תפקיד המורה בשני סוגי הקורסים מקבל גם הוא פן חדש. היות שמטשטש קו ההפרדה בין ההוראה בשני סוגי הקורסים, המורה צריך להפוך בין היתר גם למתווך בין שני סוגי הידע: בין הידע הדיסציפלינרי, בפרט, הידע הגיאומטרי העיוני על כל דיוקו, אופיו הדדוקטיבי והמובנה - לביןלהוות ועלולות ומתפתחות, הולכות שלו שהאפשרויות בכלי שליטה יכולת "פיתוי" להחליף בו היבטים שונים במבנה הדעת הדיסציפלינרי. זה מחייב את המורה להיות מסוגל להנחות דיון פורה המתייחס לכל ההיבטים: הדיסציפלינרי,

התפישתי והטכני של שיעור משולב המחשב. עלינו לזכור גם שהסטודנטים שלנו הם המורים בעתיד, ולעיתים גם בהווה, על כן

אופן השימוש במחשב במסגרת לימודי הגיאומטריה שלהם עשוי להשליך גם על עבודתם העתידית. בהקשר זה, ההתנסות שלהם בשימוש במחשב דווקא לבעיותבעיה כל בעצם שלנו, המיון לפי שכן מאד, חשובה היא שגרתיות בלתי הדבר, פירוש שגרתית. בלתי בעיה הנה ללומד מוכר לא מסוג גיאומטרית שמורה שעבר התנסות חיובית בשימוש במחשב לצורך הבנת הבעיות הבלתיהמוביל החשיבה תהליך את המתווה הבעיה של הבסיסי בחקר שגרתיות, העקבי הגיאומטרי לידע הנוגע בכל המחשב מגבלות את מבין וכן לפתרון ויעילות לשילוב המחשב במצבי הוראה והשיטתי - עשוי למצוא דרכים נכונות

מגוונים.בספרות המחקרית המוקדשת להוראת הגיאומטריה בשנים האחרונות, מוקדשת

אמפירית בסיסית מגיאומטריה המעבר להבניית מיוחדת לב תשומת ואינדוקטיבית, המאפיינת בעיקר את אופייה בבית הספר היסודי, לגיאומטריה עיונית דדוקטיבית אותה במתחילים ללמד בבית הספר העל יסודי. אחת הדרכים

,De Villiersהמוצעות )ראה, למשל, 1996 Tall, 2002 & Pinto ,Barwise &

Etchemendy, העקבי.1996 הגיאומטרי הטיעון של ויזואליזציה היא ואחרים( הכוונה היא לכך שמושגים, אקסיומות ומשפטים גיאומטריים )ומתמטיים בכלל( רבים מקבלים "איור" אותנטי. כך, למשל, מושג החפיפה מאויר באופן ישיר על ידי התלכדות שתי צורות. שיטות איור אלה, אם מובנות נכון על ידי מורה נאור

תמונהלמתמטיקה, עשויות לעזור להבנות טיעון מתמטי עקבי הישר על בסיס ה המתקבלת, וזאת בלי תלות ברמת התפתחות החשיבה הגיאומטרית של הלומד.ובשימוש הנכונה בלשון מדויק מתמטי שיח להבנות מאפשרת זאת גישה במושגים מדויקים כבר ברמה ויזואלית של הלומדים. מאידך, אחד הממצאים של

46

המחקר שלנו, שרק מאושש את תצפיותינו המקצועיות במשך שנות ההוראה( ובחו"ל בעבר דומים מחקרים תוצאות עם בהלימה ושנמצא במכללה,

Senk,1989, Martin & Harel, ניכר1989 שחלק כך על מצביע ואחרים( , מהסטודנטים שלנו עוברים תהליך אותו עתידים לעבור גם התלמידים שלהם בעתיד, היות שהם נמצאים ברמה ויזואלית של ידע גיאומטרי. לאור ממצא זה,ההתפתחות תהליך את לעבור להם שתעזור התנסות עבורם ליצור חשוב שלהם, התלמידים שיעברו דומה לתהליך ושתקביל הגיאומטרית, בחשיבה בהתחשב, כמובן, בהבדלי גיל, הרגלי למידה, בשלות פסיכולוגית ועוד. נראה בלתי נמנע שבעתיד למחשב שמור תפקיד מרכזי בויזואליזציה של אובייקטים מתמטיים, ושל אובייקטים גיאומטריים בפרט. אי לכך, נראה חשוב שהסטודנטיםמורים ידי על דווקא המונחית במחשב בשימוש התנסות עוברים שלנו למושגים ויזואליים ממושגים מעבר בתהליכי המתמטיקה, לדיסציפלינת ומסקנות משולשים לחפיפת המוקדשת פעילות הוא לכך דוגמא מופשטים. מהחפיפה לגבי הקטעים המיוחדים במשולש, בה התנסו תלמידי שנה א' בקורס בסיסי בגיאומטריה. כמו שאיננו מוצאים לנכון לקיים הפרדה בין קורסי מיומנויות במחשב לבין קורסים דיסציפלינריים בכל הנוגע לשילוב המחשב, כך אין מקוםיש כי אם דידקטיים, לקורסים רק הדידקטי להיבט הלב שימת את לדחות יותר במסגרת הקורסים הדידקטיים, בהחלט מקום לדיון נוסף וברמה גבוהה

בהם לומדים הסטודנטים אחרי שצברו ידע דיסציפלינרי בסיסי.,היבט חשוב נוסף הוא ההלימה בין השליטה הנדרשת בלומדות ברמות שונות

ועד לומדות דינמיות דוגמת “הנדסהwordהחל מהכלי הבסיסי של שרטוט מתוך שחלק לזהות ניתן המשוב לשאלוני הסטודנטים של מהתשובות בתנועה”. לאפשרויות מודעות חוסר היה במחשב שימושם את שהגבילו מהגורמים הטמונות בלומדות מתקדמות, או חוסר השליטה בהן. כאשר מדובר בלומדים במסגרת לימודים סדירה כלשהי, אי אפשר להתעלם מהצורך בתזמון בין שני תהליכים: של פיתוח מיומנויות שליטה בכלים ממוחשבים, מחד, ושל התפתחות הידע הגיאומטרי, מאידך. כאשר הסטודנט רק מתחיל את הלימודים שלו, אין לצפות שישלוט בלומדות ספציפיות שהרי לא היה לו שום צורך בהן קודם לכן. לעומת זאת, הגישה שלו לכלים ממוחשבים בסיסיים יותר כמעט מיידית גם עבור סטודנטים שרק מתחילים להכיר מחשב. על כן, מערך הכלים הממוחשבים בהםגמיש בשימוש בהם. להיות צריך והמורה רחב להיות צריך משתמש המורה כלים עם דינמיות, בלומדות הטמונות האפשרויות את להשוות אין אמנם

47

, אך אין גם להזניח את אפשרויות השימושWordבסיסיים כמו סרגל שרטוט של בכלים בסיסיים יותר – לצרכים בסיסיים יותר.

,כפי שהבהרנו, מיון הבעיות לשגרתיות ולבלתי שגרתיות הוא במידה רבה מותנה ותלוי בהיקף הידע הגיאומטרי של הלומדים. היות שכללנו בין בעיות לא שגרתיות גם כאלה שאינן מוכרות ללומדים או שנוגעות למושגים שאינם מוכרים ללומדים, ניתוחן הוא למעשה חלק מתהליך ההיכרות והלמידה של המושגים או התהליכיםגם מקבילים המחשב, בתמיכת מתבצעים כאשר אלה תהליכים החדשים. לתהליך הבניית הידע העיוני: מושגים שהיו חדשים ולכן בלתי שגרתיים בעבר, הפכו מוכרים לאחר תהליך הלמידה. כך, תהליך הפיכת בעיות מבלתי שגרתיות לשגרתיות בכל הנוגע לשימוש במחשב, עוזר לפתח במקביל גם כלים עיוניים וגם

יכולת שליטה בכלים ממוחשבים ויכולת הפקת תמיכה מתמטית רלוונטית מהם.

48

רשימת מקורות

תפישת המושגים הגדרה ואי-הגדרה בקרב מורים ופרחי הוראה,(. 1991אור-בך, א. ) בתוך מחקרים בהוראת המתמטיקה ומדעים. תקצירי עבודות מוסמך, אוניברסיטת ת"א, החוג

.140-141, עמ' 1996להוראת המדעים, כרך ב' –

הקשר בין רמות החשיבה האריתמטית לבין המצופה מהם). 2003גלבוב-גוברמן, ר. ( חיבור לשם קבלת תואר "דוקטור לפילוסופיה", ביתבלמידה משמעותית של פרחי הוראה.

הספר לחינוך, אוניברסיטת באר-שבע (עדיין לא פורסם).

( מ. - חשיבה מחדש. 2003דה-ויליירס, הוכחה מכון, 30על"ה (. – קשר חם, הטכניון טכנולוגי לישראל, מל"מ, משרד החינוך.

,10עלה (. אספקטים קוגניטיביים בהוראה ובלמידה של גיאומטריה. 1992הרשקוביץ, ר. )המרכז להוראת המדעים, האוניברסיטה העברית, ירושלים.

חיבור לשם קבלת תוארדימוי מושגים הנדסיים בסיסיים אצל תלמידים ומורים.). 1989הרשקוביץ, ר. ( "דוקטור לפילוסופיה", בית הספר לחינוך, האוניברסיטה העברית, ירושלים.

) (עורכת), נ' אברהמי, הגיאומטריה). 1996ואן-דורמולן והוראת ואן-הילה ומשרדתיאוריית הטכניון . החינוך, התרבות והספורט, חיפה.

הוראת). הבעייתיות בלמידת מושגים בגאומטריה אוקלידית". בתוך: א' פרידלנדר (עורך), 1987פטקין, ד' ( , המחלקה להוראת המדעים – מכון ויצמן למדע,ההנדסה – אוסף מקורות ופעילויות לשיעורי מתודיקה

.7-8רחובות, עמ'

) ר. והרחבותיה1996רייז בגיאומטריה מספרי הלימוד לבעיית חקירה במחשב בעיה ). הפיכת המרכז להוראת המדעים, האוניברסיטה העברית, ירושלים.. 18עלה לכיווני חקירה נוספים.

Artigue, M (1997). Computer Environments and Learning Theories in Mathematics Education. In B. Barzel (Ed.). Teaching Mathematics with Derive and the TI-92. Proceedings of the International Derive and TI-92 Conference. Bonn. pp. 1-17.

Balacheff, N. (1987). Aspects of Proof in Pupils’ Practice of School Mathematics. In D. Pimm (ed.), Mathematics, Teachers and Children, Hodder and Stoughton, Llondon. pp. 216-235.

49

Barwise, J., Etchmendy, J. (1996). Visual Information and Valid Reasoning. In G. allwein and J. Barwise (eds.), Logical Reasoning with Diagrams. Oxford University Press.

Battista, M. T., Clements, D. H. (1995). Geometry and Proof. Mathematics Teacher. 88(1), 48-54.

Borasi, R., Siegal, M., Fonzi, J. (1998). Using Transactional Reading Strategies to Support Sense-Making and Discussion in Mathematics Classrooms: An Exploratory Study. Journal of Research in Mathematics Education. 29(3). 275-305.

Chazan, D. (2000). Beyond Formulas in Mathematics and Teaching – Dynamics of the High School Algebra Classroom. Teachers College, Columbia University, New York and London.

Chazan, D., Yerushalmy, M. (1998). Charting a Course for Secondery Geomery. In R. Lehrer and D. Chazan (eds.). Designing Learning Environments for Developing Understanding of Geometry and Space. Lawrence Erlbaum Associates. pp. 67-90.

Chazan, D., Yerushalmy, M. (1992). Research and Classroom Assessment of Students' Verifying, Conjecturing, and Generalizing in Geometry. In Lesh and S. J. Lamon, (Eds.). Assessment of Authentic Performance in School Mathematics. AAAS Press Series on Assessment and Evaluation. pp. 89-118

Clements, D., Battista, M. (1992). Geometry and Spatial Reasoning. Grouws (ed.). Handbook of Research on Mathematics Teaching Learning, NewYork: Macmillan Publishing Co.

Cuoco, A. A., Goldenberg, E. P., & Mark, J. (1995). Connecting Geometry with the Rest of Mathematics. In P. A. House & A. F. Coxford (Eds.), Connecting Mathematics across the Curriculum. NCTM Yearbook.

de Villiers M.(1996). The Future of Secondary School Geometry, Slightly adapted version of Plenary presented at the SOSI Geometry Imperfect Conference, Pretoria.

DiSessa, A. (1985). A Principled Design for an Integrated Computational Environment. Human Computer Interaction. Vol. 1. 1-47.

Dreyfus, T. (1999). Why Johnny Can’t Prove? Educational Studies in Mathematics. Vol. 38. 85-109.

Drijvers, P. (2000). Students Encountering Obstacles Using a CAS. The International Journal of Computer Algebra in Mathematics Education. Vol 5(3). 189-209.

Duval, R. (1998). Geometry from a cognitive Point of view. In C. Mammana and V. Villani (eds.). Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century. Kluwer, Dodrecht, pp. 37-51.

Edwards, L. D. (1992). A Comparison of Children’s Learning in Two Interactive computer Environments’. Journal of Mathematical Behaviour. Vol. 11. 73-81.

Epstein, D., Levy, S. (1995). Experimentation and Proof in Mathematics. Notices of the American Mathematical Society. Vol. 42(6). 670-674.

50

Fehr, H. E. (1973). Geometry as a Secondary School Subject. In K. B. Henderson (Ed.). Geometry in the Mathematics Curriculum: 1973 Yearbook. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. 369-380.

Fishbein, E. (1982). Intuition and Proof. For the Learning of Mathematics. Vol. 3(2). 9-18, 24.

Galindo, E. (1998). Assessing Justification and Proof in Geometry Classes Taught Using Dynamic Sofyware. The Mathematics Teacher. Vol. 91(1). 76-82.

Goldenberg, E. P. (1999). Principles, Art, and Craft in Curriculum Design: The case of Connected Geometry. International Journal of Computers for Mathematical Learning. Vol. 4(2-3). 191-224.

Goldenberg, E. P., Cuoco, A. A. (1998). What is Dynamic Geometry? In R. Lehrer and D. Chazan (eds.). Designing Learning Environments for Developing Understanding of Geometry and Space. Lawrence Erlbaum Associates, NJ. pp. 351-368.

Hadas, N., Hershkowitz, R., Schwarz, B. (2000). The Role of Contradiction and Uncertainty in Promoting the Need to Prove in Dynamic Geometry Environment. Educational Studies in Mathematics. 44, 127-150.

Hanna, G. (1998). Proof as Explanation in Geometry. Focus on Learning Problems in Mathematics. Center for Teaching/Learning of Mathematics. Vol. 20(2-3). 4-13.

Healy, L., Hoyles, C. (2001). Software Tools for Geometrical Problem Solving: Potentials and Pitfalls. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 6, 235-256.

Hershkowitz, R. (1987). The Acquisition of Concepts and Misconceptions in Basic Geometry – or When “A Learning Is a Dangerous Thing”. In Proceedings of the Second International Seminar on Misconceptions and Educational Strategies in Science and Mathematics. J. Novak (Ed.). Cornell University. Ithaca. New York.

Hiebert, J., Carpenter, T. P. (1992). Learning and Teaching With Understanding. In Grouws, D. A. (Ed.). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. New York: Macmillan.

Hiebert, J., Carpenter, T. P., Fennema, E., Fuson, K., Wearne, D., Murray, H. Olivier, A., Human, P. (1997). Making Sense: Teaching and Learning Mathematics With Understanding. Heinemann, Portsmouth, NH.

Hoffer, A. (1981). Geometry is More than Proof. Mathematics Teacher. Vol. 74(1). 11-18.

Horgan, J. (1993). The Death of Proof. Scientific American. Vol. 269(4). 93-103.

Hoyles, C., Healy, L. (1997). Unfolding Meanings for Reflective Symmetry. International Journal of Computers for Mathematical Learning. Vol 2(1). 27-59.

Hoyles, C., & Noss, R. (Eds.). (1992). Learning Mathematics and Logo. Cambridge, Ma.: MIT Press.Jones, K. (2000). Providing a Foundation for Deductive Reasoning: Students’ Interpretations When Using Dynamic Geometry Software and Their Evolving Mathematical Explanations. Educational Studies in Mathematics. 44, 55-85.

51

Kleiner, I. (1991). Rigor and Proof in Mathematics: A Historical Perspective. Mathematics Magazine. Vol. 64(5). 291-314.

Laborde, C. (2000). Dynamic Geometry Environment as a Source of Rich Learning Contexts for the Complex Activity of Proving. Educational Studies in Mathematics. 44, 151-161.

Lagrange, J. B. (1999). Complex Calculators in the Classroom: Theoretical and Practical Reflections on Teaching Pre-Calculus. International Journal of Computers for Mathematical Learning. Kluwer Academic Publishers. 4(1). 51-81.

Mariotti, M. A. (2000). Introduction to Proof: The Mediation of a Dynamic Software Environment. Educational Studies in Mathematics. 44, 25-53.

Martin, W. G., Harel, G. (1989). Proof Frames of Preservice Elementary Teachers. Journal for Research in Mathematics Education. Vol. 20. 41-51.

Mason, J. (1993). Questions about Geometry. In D. Pimm & E. Love (Eds.). Teaching and Learning Mathematics: A reader. London: Holder & Stoughton.

Mayberry, J.W. (1983). The Van Hiele Levels of Geometric Thought in Undergraduate Preservice Teachers. . Journal for Research in Mathematics Education, 14, pp. 58-69.

Meira, L. (1998). Making sense of Instructional Devices: The Emergence of Transparency in Mathematical Activity. Journal for Research in Mathematics Education. Vol. 29(2). 121-142.

Papert, S. (1992). Foreword. In C. Hoyles & R. Noss (Eds.), Learning Mathematics and Logo. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. pp. ΙΧ−ΧΙ .

Pinto, M., Tall, D. (2002) Building Formal Mathematics on Visual Imagery: a Case Study and a Theory, For the Learning of Mathematics, 22, 1.

Senk, S. L. (1985). How Well do Students Write Geometry Proofs? Mathematics Teachers. Vol. 6. 448-456.

Senk, S. L. (1989). Van Hiele Levels and Achievement in Writing Geometry Proofs. Journal for Research in Mathematics Education. Vol. 20. 309-321.

Shaughnessy, J.M. & Burger, W. F. (1985). Spadework Prior to Deduction in Geometry. Mathematics Teacher, 78, pp. 419-428.

Straesser, R. (2001). Cabri-Geometre: Does Dynamic Geometry Software (DGS) Change Geometry and its Teaching and Learning? International Journal of Computers for Mathematical Learning. 6, 319-333.

Suydam, M. N. (1985). The Shape of Instruction in Geometry: Some Highlights from Research. Mathematics Teachers, Vol. 78, 481-486.

52

Thurston W.P.(1994). On proof and progress in mathematics. Bulletin of the American Mathematical Society. Vol. 30(2), 161-177.

Usiskin, Z. (1982). Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry. The University of Chicago.

Van Hiele, P.M. (1999). Developing Geometric Thinking throuth Activities That Begin with Play, Teaching Children Mathematics, 5(6), pp. 310-316.

Vinner, S, Hershkowitz, R. (1980). Concept Images and Common Cognitive Paths in the Development of Some Simple Geometrical Concepts. Proceedings of the 4th P.M.E. Conference. Berkeley.

Winslow, C. (1998). A Linguistic Approach to the Justification Problem in Mathematics Education. For the Learning of Mathematics. Vol. 18(1). 17-23

Yerushalmy, M. (1999). Making Exploration Visible: On Software Design and School Algebra Curriculum. International Journal of Computers for Mathematical Learning. Vol. 4(2-3). 169-189.

ספרות נוספת:

National Council of Teachers of Mathematics (1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, VA: Author.