Universiteit Gent

Faculteit Toegepaste Wetenschappen

Wiskundige Analyse I

F. BrackxH. De Schepper

M. Slodicka

Vakgroep Wiskundige Analyse

Academiejaar 2006-2007

Voorwoord

Het leermateriaal voor het vak Wiskundige Analyse I van de eerste jaar Bachelor in deingenieurswetenschappen, academiejaar 2006-07, omvat:

• onderhavige syllabus;

• de Maple-werkbladen van de contactsessies;

• een verzameling opgaven van oefeningen, met i.h.b. de opgaven voor de sessies inde PC-klassen;

• een verzameling waar-of-vals vragen waaruit naar believen quizzen kunnen wordengedistilleerd.

Dit alles is beschikbaar op het web en wordt geregeld bijgewerkt:

http://cage.ugent.be/~ms.

Het staat de student bovendien vrij - en ik moedig hem ertoe aan - alle contactsessies dievoor dit vak worden georganiseerd, bij te wonen. De kalender ervan staat ook op het net.Belangrijk om weten is dat in de hoorcolleges de leerstof niet wordt gedoceerd, m.a.w. detekst van de syllabus wordt niet nog eens op het bord geschreven. Wel wordt een aantalonderwerpen geıllustreerd en toegelicht aan de hand van voorbeelden en oefeningen.

Voor de inhoud van het vak verwijzen we naar de ECTS-fiche; daarin staat ook de doel-stellingen vermeld en wat aanvullende informatie.

F. Brackx, H. De Schepper & M. Slodicka25.09.2006

ii

Inhoudsopgave

1 GETALLEN 11 Algebraische eigenschappen van de reele getallen. . . . . . . . . . . . . . . 12 Rationale en irrationale getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Orde-eigenschappen van de reele getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Absolute waarde van een reeel getal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 De reele-getallenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Het volledigheidsaxioma van de reele getallen . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Het compleet geordend veld van de reele getallen . . . . . . . . . . . . . . 118 Het archimedisch karakter van de reele getallen . . . . . . . . . . . . . . . 139 Het bestaan van tenminste een irrationaal getal . . . . . . . . . . . . . . . 1410 De dichtheid van Q in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511 Intervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612 Binaire voorstelling van reele getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1813 Decimale representatie van reele getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814 Complexe getallen: definitie en bewerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915 Complexe getallen: toevoeging en modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116 Complexe getallen: meetkundige voorstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . 2217 Complexe getallen: bewerkingen (bis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2418 Het complexe vlak: afstand en omgeving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 NUMERIEKE RIJEN EN REEKSEN 271 Numerieke rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Standaard numerieke rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Enkele stellingen omtrent limieten van numerieke rijen . . . . . . . . . . . 304 Rijen van reele getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 De symbolen +∞ en −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Numerieke reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 Numerieke reeksen (vervolg): absolute en betrekkelijke convergentie . . . . 43

3 FUNCTIES: LIMIETEN EN CONTINUITEIT 481 Functies van een reele variabele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 Ophopingspunt van een verzameling reele getallen - limiet van functiewaarden 49

iii

3 Limietstellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 Uitbreidingen van het limietbegrip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 Continuıteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 Continuıteit op een gesloten interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 Uniforme continuıteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638 Stuksgewijze continuıteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 Monotone en inverse functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 AFLEIDEN EN PRIMITIVEREN 701 Afgeleide in een punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702 Afleidbaarheid in een interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743 Middelwaardestelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764 Stellingen van L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805 Formule van Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806 Primitiveerbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5 INTEGREREN 881 De riemannintegraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882 Uitbreiding van het integraalbegrip tot onbegrensde functies . . . . . . . . 1003 De Beta-functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6 ONEIGENLIJKE INTEGRALEN 1041 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042 Convergentietesten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053 Absolute convergentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074 De Gamma-functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095 De fourierintegraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116 De laplace-integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7 FUNCTIERIJEN EN -REEKSEN 1251 Functierijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252 Uniforme convergentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263 Continuıteit van de limietfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274 Integreerbaarheid van de limietfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285 Afleidbaarheid van de limietfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296 Functiereeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307 Positieve machtenreeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338 Negatieve machtenreeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419 De Z-transformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

iv

8 ELEMENTAIRE FUNCTIES 1511 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512 Natuurlijke machten en hun inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513 Gehele machten en hun inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524 Rationale machten en hun inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525 Veeltermfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536 Rationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537 Exponentiele functie en logaritmische functie . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538 Veralgemeende exponentiele functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559 Algemene machtsfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610 Hyperbolische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15611 Circulaire functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15812 Inverse hyperbolische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16213 Inverse circulaire functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

v

Hoofdstuk 1

GETALLEN

1 Algebraische eigenschappen van de reele getallen.

Op de verzameling R van de reele getallen zijn twee binaire bewerkingen gedefinieerd, deoptelling, genoteerd d.m.v. het teken +, en de vermenigvuldiging, genoteerd d.m.v. hetteken .. Een binaire bewerking doet met elk koppel van reele getallen een uniek getalovereenstemmen. De optelling en de vermenigvuldiging van reele getallen voldoen aan devolgende axioma’s, die van R+,. een zg. veld maken:

(R1) a + b = b + a, voor alle a en b in R;

(R2) (a + b) + c = a + (b + c), voor alle a, b en c in R;

(R3) er bestaat een reeel getal 0 waarvoor geldt dat 0 + a = a en a + 0 = a, voor alle ain R;

(R4) voor elke a in R bestaat er een reeel getal −a waarvoor geldt dat a + (−a) = 0 en(−a) + a = 0 ;

(R5) a.b = b.a, voor alle a en b in R;

(R6) (a.b).c = a.(b.c), voor alle a, b en c in R;

(R7) er bestaat een reeel getal 1, verschillend van 0, waarvoor geldt dat 1.a = a ena.1 = a, voor alle a in R;

(R8) voor elk reeel getal a 6= 0 bestaat er een reeel getal1

awaarvoor geldt dat a.

1

a= 1

en1

a.a = 1;

(R9) a.(b + c) = (a.b) + (a.c) en (b + c).a = (b.a) + (c.a) voor alle a, b en c in R.

Deze axioma’s kunnen als volgt worden omschreven:

1

(R1) : de optelling is commutatief;

(R2) : de optelling is associatief;

(R3) : er bestaat een zg. nul-element;

(R4) : elk reeel getal bezit een tegengestelde;

(R5) : de vermenigvuldiging is commutatief;

(R6) : de vermenigvuldiging is associatief;

(R7) : er bestaat een zg. eenheidselement;

(R8) : elk reeel getal dat niet nul is, bezit een omgekeerde;

(R9) : de vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling.

Alle algebraische eigenschappen van de reele getallen kunnen uit deze axioma’s wordenafgeleid. We geven hiervan een paar voorbeelden.

Stelling 1.1

(i) als voor reele getallen a en x geldt dat a + x = a, dan is x = 0;

(ii) als voor b 6= 0 en y in R geldt dat y.b = b, dan is y = 1;

(iii) voor elk reeel getal a geldt a.0 = 0.

Bewijs

(i) gebruik (R3), (R4), (R2);

(ii) gebruik (R7), (R8), (R6);

(iii) a + a.0 = a.1 + a.0 = a.(1 + 0) = a.1 = a, zodat wegens (i) a.0 = 0

Stelling 1.2

(i) als voor a 6= 0 en b in R geldt dat a.b = 1, dan is b =1

a;

(ii) als voor reele getallen a en b geldt dat a.b = 0, dan is ofwel a = 0, ofwel b = 0

Bewijs

2

(i) gebruik (R7), (R8), (R6);

(ii) onderstel dat a 6= 0, dan tonen we aan dat b = 0; inderdaad:

b = 1.b =

((1

a

).a

).b =

(1

a

).(a.b)

=

(1

a

).0 = 0

Opmerkingen

(i) de aftrekking in het veld van de reele getallen wordt gedefinieerd door:

a − b := a + (−b), voor alle a en b ∈ R;

(ii) de deling van a door b 6= 0 is gedefinieerd door:

a/b := a.

(1

b

);

(iii) de natuurlijke machten van een reeel getal a worden gedefinieerd door inductie:

a1 := a, an+1 = (an).a, n : natuurlijk getal;

(iv) als a 6= 0 dan stelt men per definitie: a0 := 1;

(v) de negatieve (natuurlijke) machten van een reeel getal a 6= 0 worden gedefinieerddoor:

a−1 :=1

a, a−n :=

(1

a

)n

, n : natuurlijk getal.

2 Rationale en irrationale getallen

De verzameling N van de natuurlijke getallen wordt beschouwd als een deelverzamelingvan R, door het natuurlijk getal n te vereenzelvigen met de som van n termen 1.De verzameling Z van de gehele getallen wordt beschouwd als een deelverzameling van R,door het geheel getal 0 te vereenzelvigen met het nulelement van R, en het geheel getal−n, n ∈ N te vereenzelvigen met de som van n termen −1.

3

Reele getallen die in de vormb

a, met a 6= 0 en b in Z, kunnen worden geschreven, noemt

men rationale getallen. De verzameling van de rationale getallen noteert men Q. Toonaan dat de som en het product van twee rationale getallen opnieuw een rationaal getalis. Toon eveneens aan dat Q voorzien van de optelling en vermenigvuldiging aan de veld-axioma’s (R1) t.e.m. (R9) voldoet.

Reele getallen die niet rationaal zijn, noemt men irrationaal. Dat er inderdaad irrationalegetallen bestaan zal blijken uit stelling 9.1. We bewijzen nu reeds:

Stelling 2.1Er bestaat geen rationaal getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 2.

BewijsOnderstel dat er gehele getallen p en q bestaan waarvoor (p/q)2 = 2; we mogen onder-stellen dat p en q positief zijn en onderling ondeelbaar. Uit p2 = 2q2 volgt dat p2 even is;p is dus ook even (waarom?). Aangezien p en q onderling ondeelbaar zijn, volgt hieruitdat q oneven is.Vermits p even is, kan men stellen p = 2m met m in N. Aldus is 4m2 = 2q2 of q2 = 2m2,m.a.w. q2 is even. Dus is q even.Uit de hypothese dat (p/q)2 = 2 volgt dus terzelfdertijd dat q oneven is, en dat q even is,een contradictie. De gemaakte hypothese is dus vals.We kunnen ook anders redeneren. p2 = 2q2 kan niet, want als we p en q in priemfactorenontbinden, dan komt de factor 2 in p2 een even keer voor en in 2q2 een oneven aantalkeer.

3 Orde-eigenschappen van de reele getallen

De zg. orde-eigenschappen van de reele getallen slaan op de begrippen positief en onge-

lijkheid. De orde-eigenschappen kunnen alle afgeleid worden uit het volgende orde-axioma:

(R10) Er bestaat een niet-ledige deelverzameling P ⊂ R, de verzameling van de positievegetallen, die voldoet aan:

(i) als a en b tot P behoren dan is ook a + b ∈ P;

(ii) als a en b tot P behoren dan is ook a.b ∈ P;

(iii) voor elk reeel getal a geldt een en slechts een van de volgende drie mogelijkheden:ofwel a ∈ P, ofwel a = 0, ofwel −a ∈ P.

Als a tot P behoort, noemen we a positief en noteren: a > 0; als −a tot P behoort,noemen we a negatief en noteren: a < 0.

4

Ongelijkheid van reele getallen wordt nu gedefinieerd m.b.v. de verzameling P van depositieve getallen.

Definitie 3.1Als voor twee reele getallen a en b geldt dat a − b ∈ P, dan noemen we a groter dan b ennoteren a > b of b < a; synoniem is b kleiner dan a. Als a − b ∈ P ∪ 0 dan noemen wea groter dan of gelijk aan b (of b kleiner dan of gelijk aan a) en noteren a ≥ b of b ≤ a.

Opmerkingen

(i) Voor twee reele getallen a en b geldt een en slechts een van de volgende uitdrukkin-gen: ofwel is a < b, ofwel is a = b, ofwel is a > b.

(ii) Als terzelfdertijd a ≤ b en a ≥ b dan is a = b.

Er volgen nu enkele stellingen over ”ongelijkheden” die kunnen worden bewezen m.b.v.het orde-axioma (R10).

Stelling 3.1Beschouw drie reele getallen a, b en c.

(i) Als a > b en b > c, dan is a > c.

(ii) Als a > b dan is a + c > b + c.

(iii) Als a > b en c > 0, dan is ac > bc; als a > b en c < 0, dan is ac < bc.

Bewijs stelling 3.1 als oefening.

Dat natuurlijke getallen positief zijn, volgt uit

Stelling 3.2

(i) Als a ∈ R en a 6= 0, dan is a2 > 0;

(ii) 1 > 0;

(iii) voor elk natuurlijk getal n geldt n > 0.

Bewijs

(i) Aangezien a 6= 0 is ofwel a ∈ P, ofwel −a ∈ P. Als a ∈ P, dan is a.a ∈ P. Als−a ∈ P, dan is (−a).(−a) = a2 ∈ P.

(ii) Uit (i) volgt dat 1 = 1.1 > 0.

5

(iii) Bewijs door volledige inductie. Het gestelde is waar voor n = 1 (zie (ii)). Ondersteldat het gestelde waar is voor het natuurlijk getal k; dan is k ∈ P en dus k + 1 ∈ P.Het gestelde is dus waar voor alle natuurlijke getallen.

De volgende stelling wordt vaak gebruikt om aan te tonen dat een bepaald reeel getal nulis.

Stelling 3.3Onderstel dat voor het reeel getal a geldt dat 0 ≤ a < ε, voor elke ε > 0. Dan is a = 0.

Bewijs(uit het ongerijmde)

Onderstel dat a > 0. Neem ε0 =1

2a; dan is 0 < ε0 < a, in tegenspraak met het onder-

stelde. De gemaakte hypothese is dus vals.

OefeningToon aan dat als voor het reeel getal a geldt dat 0 ≤ a ≤ ε, voor elke ε > 0, dan a = 0.

Stelling 3.4Als ab > 0 dan is ofwel a > 0 en b > 0, ofwel a < 0 en b < 0.

BewijsUit ab > 0 volgt meteen dat a 6= 0 en dat b 6= 0. Aldus is ofwel a > 0, ofwel a < 0. Als

a > 0 dan is1

a> 0 en dus ook b =

(1

a

)(ab) > 0. Als daarentegen a < 0, dan is

1

a< 0

en dus b =

(1

a

)(ab) < 0.

Gevolg 3.1Als ab < 0 dan is ofwel a < 0 en b > 0, ofwel a > 0 en b < 0.

4 Absolute waarde van een reeel getal

Definitie 4.1De absolute waarde van het reeel getal a, genoteerd |a|, is gedefinieerd door

|a| :=

a als a > 0,0 als a = 0,

−a als a < 0.

Uit deze definitie volgt dat |a| ≥ 0 voor alle a in R. Ook is |a| = 0 als en slechts dan alsa = 0. Verder is ook | − a| = |a| voor alle reele a.

6

Stelling 4.1Beschouw de reele getallen a, b en c. Er geldt:

(i) |ab| = |a||b|;

(ii) |a|2 = a2;

(iii) als c ≥ 0 dan is |a| ≤ c als en slechts dan als −c ≤ a ≤ c;

(iv) −|a| ≤ a ≤ |a|.

Bewijs

(i) Als ofwel a = 0 ofwel b = 0, dan zijn linker- en rechterlid nul. Er zijn dan nog vierandere gevallen mogelijk. Als a > 0 en b > 0 dan is ab > 0 zodat |ab| = ab = |a|.|b|.Als a > 0 en b < 0 dan is ab < 0 zodat |ab| = −ab = a(−b) = |a|.|b|. Analoog voorde andere gevallen.

(ii) Aangezien a2 ≥ 0 geldt a2 = |a2| = |aa| = |a||a| = |a|2.

(iii) Als |a| ≤ c dan geldt zowel a ≤ c als −a ≤ c, of dus a ≤ c en a ≥ −c. Omgekeerd,als −c ≤ a ≤ c dan is zowel a ≤ c als −a ≤ c en dus |a| ≤ c.

(iv) Stel c = |a| in (iii).

Stelling 4.2 (driehoeksongelijkheid)Voor reele getallen a en b geldt |a + b| ≤ |a| + |b|.

BewijsUit stelling 4.1 weten we dat −|a| ≤ a ≤ |a| en −|b| ≤ b ≤ |b|. Tel deze ongelijkheden op:−(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|. Het gestelde volgt nu uit stelling 4.1 (iii).

Gevolg 4.1Voor reele getallen a en b geldt:

(i) ||a| − |b|| ≤ |a − b|;

(ii) |a − b| ≤ |a| + |b|.

Bewijs

(i) Pas de driehoeksongelijkheid toe op a = a−b+b en bekom aldus |a| = |(a−b)+b| ≤|a − b| + |b|, waaruit volgt dat |a| − |b| ≤ |a − b|. Wissel de rol van a en b om enbekom analoog: |b| − |a| ≤ |b − a|. Het gestelde volgt dat uit stelling 4.1 (iii).

7

(ii) Vervang b door −b in de driehoeksongelijkheid.

Gevolg 4.2Voor reele getallen a1, a2, ..., an geldt:

|a1 + a2 + ... + an| ≤ |a1| + |a2| + ... + |an|.

Bewijs door volledige inductie.

5 De reele-getallenas

Een nuttige meetkundige interpretatie van het systeem van de reele getallen is de zg.reele-getallenas. Hierbij wordt de absolute waarde van een reeel getal a beschouwd als deafstand van het punt a tot de oorsprong 0. De afstand tussen twee reele getallen a en bis |a − b|. Zeggen dat het reeel getal x dicht bij een gegeven reeel getal a ligt, betekentdat hun onderlinge afstand |x − a| klein is. Een precieze formulering maakt gebruik vanhet begrip omgeving.

Definitie 5.1Gegeven het reeel getal a en het reeel getal ε > 0. De ε-omgeving van a is de verzameling

x ∈ R : |x − a| < ε = x ∈ R : −ε < x − a < ε= x ∈ R : a − ε < x < a + ε.

Stelling 5.1Als het reeel getal x behoort tot de ε-omgeving van het reeel getal a, voor alle ε > 0, danis x = a.

BewijsNeem x in de ε-omgeving van a, dan is |x − a| < ε. Als dit geldt voor elke ε > 0, danvolgt uit stelling 3.3 dat x = a.

6 Het volledigheidsaxioma van de reele getallen

We hebben reeds vermeld dat de verzameling Q van de rationale getallen voldoet aan develd-axioma’s (R1) t.e.m. (R9). Ook het orde-axioma (R10) is vervuld door Q (toon ditaan als oefening). Anderzijds zullen we in stelling 9.1 aantonen dat er irrationele getallen

8

bestaan. Er zijn dus nog axioma’s van doen om het reele-getallen-systeem te karakterise-ren. Het blijkt dat nog een axioma daartoe volstaat, het zg. volledigheidsaxioma. Menzegt dan dat de verzameling van de reele getallen uitgerust met de optelling, de verme-nigvuldiging en de ordening, een compleet geordend veld is. De verzameling Q van derationale getallen, op dezelfde wijze uitgerust, is dan wel een geordend veld, dat echterniet compleet is.

Definitie 6.1Beschouw een niet-ledige verzameling reele getallen S ⊂ R.

(i) Men zegt dat S naar boven begrensd is als er een reeel getal b bestaat waarvoors ≤ b voor alle s in S; dergelijk getal b heet dan een bovengrens van S.

(ii) Men zegt dat S naar beneden begrensd is als er een reeel getal a bestaat waarvoora ≤ s voor alle s in S; dergelijk getal a heet dan een benedengrens van S.

(iii) Men zegt dat S begrensd is als S terzelfdertijd naar boven en naar beneden begrensdis. Men zegt dat S onbegrensd is als S niet begrensd is.

Merk op dat als een verzameling S van reele getallen naar boven (beneden) begrensd is,en oneindig veel boven-(beneden-)grenzen van S bestaan.

Definitie 6.2Beschouw een niet-ledige verzameling reele getallen S ⊂ R.

(i) Indien er een reeel getal ξ bestaat dat voldoet aan de volgende twee voorwaarden:

* ξ is een bovengrens van S

* voor elke bovengrens b van S geldt b ≥ ξ,

dan zegt men dat ξ het supremum van S is, notatie ξ = sup S.

(ii) Indien er een reeel getal η bestaat dat voldoet aan de volgende twee voorwaarden:

* η is een benedengrens van S

* voor elke benedengrens a van S geldt a ≤ η,

dan zegt men dat η het infimum van S is, notatie η = inf S.

Opmerkingen

(i) Als het supremum (infimum) van een verzameling reele getallen bestaat, is het uniek.

(ii) Niet elke verzameling reele getallen heeft een supremum (infimum). Voor een niet-ledige verzameling S reele getallen zijn er vier mogelijkheden:

9

* sup S en inf S bestaan beide

* sup S bestaat, maar inf S bestaat niet

* sup S bestaat niet, maar inf S bestaat wel

* sup S en inf S bestaan beide niet

De condities die het bestaan van een supremum (infimum) regelen kunnen geparafrazeerdworden als volgt.

Lemma 6.1Het reeel getal ξ is het supremum van de niet-ledige verzameling S van reele getallen alsen slechts dan als

* s ≤ ξ, voor alle s ∈ S

* als y < ξ dan bestaat er een s in S waarvoor y < s.

Lemma 6.2Een bovengrens ξ van de niet-ledige verzameling S ⊂ R is het supremum van S als enslechts dan als voor elke ε > 0 er een sε ∈ S bestaat waarvoor ξ − ε < sε.

Bewijs deze lemmata als oefening. Formuleer en bewijs de analoge lemmata voor hetinfimum.

Opmerking 6.1Het supremum (infimum) van een verzameling reele getallen behoort niet noodzakelijktot deze verzameling. Zo is voor de verzameling S1 = x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1 enS2 = x ∈ R : 0 < x < 1, sup S1 = sup S2 = 1 en inf S1 = inf S2 = 0, maar sup S1 ∈ S1,inf S1 ∈ S1, terwijl sup S2 /∈ S2 en inf S2 /∈ S2.

Het is een fundamentele karakteristiek van het reele-getallensysteem dat elke niet-ledige

verzameling van reele getallen die naar boven begrensd is, een supremum bezit. Nochtanskan deze uitspraak niet worden bewezen op basis van de axioma’s (R1) t.e.m. (R10).

(R11) Het volledigheidsaxioma van de reele getallen:Elke niet-ledige verzameling reele getallen die naar boven begrensd is, heeft een supremum.

Op basis van dit axioma (R11) kan dan bewezen worden:

Elke niet-ledige verzameling reele getallen die naar beneden begrensd is, heeft eeninfimum.

Bewijs dit laatste als oefening; beschouw daartoe de verzameling S = −s : s ∈ S.

10

7 Het compleet geordend veld van de reele getallen

De bewerkingen (optelling en vermenigvuldiging), de ordening (ongelijkheden) en het su-premum en infimum nemen van een verzameling, gaan nu onderling interageren. Dit geeftaanleiding tot een rij eigenschappen, waarvan we er twee bewijzen.

Eigenschap 7.1

Als S een niet-ledige verzameling reele getallen is die naar boven is begrensd, en aeen willekeurig reeel getal, dan definieert men a + S := a + s : s ∈ S. Er geldt:sup(a + S) = a + sup S.

BewijsS is naar boven begrensd; volgens (R11) bestaat het supremum sup S = ξ. Voor alles ∈ S geldt s ≤ ξ, en dus ook a + s ≤ a + ξ. Dit betekent dat a + ξ een bovengrens is vande verzameling a + S; deze laatste verzameling heeft dus een supremum sup(a + S) datvoldoet aan sup(a + S) ≤ a + ξ. Neem nu een willekeurige bovengrens b van a + S; danis a + x ≤ b voor alle x ∈ S. Hieruit volgt dat x ≤ b− a, voor alle x ∈ S, m.a.w. b − a iseen bovengrens van S, waarvoor dus geldt: b − a ≥ sup S. Dus is a + ξ ≤ b. Aangezienb een willekeurige bovengrens van a + S is, geldt i.h.b. a + ξ ≤ sup(a + S). Uit de beidebekomen ongelijkheden samen volgt het gestelde.

Eigenschap 7.2

Onderstel dat A en B niet-ledige deelverzamelingen van R zijn waarvoor geldt dat a ≤ bvoor alle a in A en alle b ∈ B. Dan is sup A ≤ inf B.

BewijsNeem b ∈ B; dan is a ≤ b voor alle a ∈ A, m.a.w. b is een bovengrens van A en aldussup A ≤ b. Deze laatste ongelijkheid is geldig voor alle b ∈ B, m.a.w. sup A is eenbenedengrens van B, zodat sup A ≤ inf B.

Toon nu zelf, als oefening, de volgende eigenschappen aan.

Eigenschap 7.3

Als S een niet-ledige begrensde deelverzameling van R is, a > 0, b < 0, aS = as : s ∈ S,dan is

(i) inf(aS) = a inf S;

(ii) sup(aS) = a sup S;

(iii) inf(bS) = b sup S;

11

(iv) sup(bS) = b inf S.

Eigenschap 7.4

Als A en B begrensde niet-ledige deelverzamelingen van R zijn en A + B = a + b : a ∈A en b ∈ B, dan is sup(A + B) = sup A + sup B en inf(A + B) = inf A + inf B.

Vooruitlopend op de studie van functies behandelen we hier reeds de toepassingen vande noties boven- en benedengrens op de waardenverzameling van deze functies, die weonderstellen deelverzameling van R te zijn.

Definitie 7.1

(i) Men zegt dat de functie f : Ω −→ R naar boven begrensd is op de verzameling Ω alsde verzameling f(Ω) = f(x) : x ∈ Ω een naar boven begrensde deelverzamelingvan R is, m.a.w. als er een reeel getal b bestaat waarvoor f(x) ≤ b voor alle x ∈ Ω.

(ii) Men zegt dat de functie f : Ω −→ R naar beneden begrensd is op de verzamelingΩ als de verzameling f(Ω) een naar beneden begrensde deelverzameling van R is,m.a.w. als er een reeel getal a bestaat waarvoor a ≤ f(x) voor alle x ∈ Ω.

(iii) Men zegt dat de functie f : Ω −→ R begrensd is op de verzameling Ω als f zowelnaar boven als naar beneden begrensd is, m.a.w. als er een reeel getal r bestaatwaarvoor |f(x)| ≤ r voor alle x ∈ Ω.

Eigenschap 7.5

Onderstel dat de functies f : Ω −→ R en g : Ω −→ R beide begrensd zijn op Ω.

(i) Als f(x) ≤ g(x) voor alle x ∈ Ω, dan is supx∈Ω f(x) ≤ supx∈Ω g(x).

(ii) Als f(x) ≤ g(y) voor alle x ∈ Ω en alle y ∈ Ω, dan is supx∈Ω f(x) ≤ infy∈Ω g(y).

Eigenschap 7.6

Als de functies f : Ω −→ R en g : Ω −→ R begrensd zijn, dan geldt:

(i) supf(x) + g(x) : x ∈ Ω ≤ supf(x) : x ∈ Ω + supg(x) : x ∈ Ω

(ii) inff(x) + g(x) : x ∈ Ω ≥ inff(x) : x ∈ Ω + infg(x) : x ∈ Ω

Bewijs eigenschappen 7.5 en 7.6 als oefening.

12

8 Het archimedisch karakter van de reele getallen

Het lijkt vanzelfsprekend dat de verzameling van de natuurlijke getallen niet begrensd isin R. Dit valt echter niet te bewijzen met enkel de axioma’s (R1) t.e.m. (R10). Menmoet beroep doen op het volledigheidsaxioma (R11) en de inductie-eigenschap van N [i.e.als n ∈ N dan is n + 1 ∈ N].

Stelling 8.1 (R is archimedisch)Voor elk reeel getal x bestaat er een natuurlijk getal nx dat groter is dan x.

Bewijs(uit het ongerijmde)Onderstel dat dit gestelde vals is, dan is n ≤ x voor alle n ∈ N, m.a.w. x is een bovengrensvan N. De niet-ledige verzameling N heeft dan een supremum ξ ∈ R. Het reeel getal ξ−1is kleiner dan het supremum ξ van N; het is dus geen bovengrens van N, m.a.w. er bestaateen natuurlijk getal m > ξ−1. Hieruit volgt ξ < m+1, m.a.w. het natuurlijk getal m+1is groter dan ξ = sup N, wat onmogelijk is.

Gevolg 8.1

Het infimum van de verzameling S =

1

n: n ∈ N

is nul.

BewijsDe verzameling S is niet-ledig en naar beneden begrensd door 0; aldus bestaat inf S = η,waarvoor geldt η ≥ 0. Onderstel dat η > 0; dan bestaat er, dankzij het archimedisch

karakter van R, een natuurlijk geval nη waarvoor1

η< nη of

1

nη

< η. Maar dan is η geen

ondergrens van S. Dus moet η = 0.

Gevolg 8.2

Voor elk reeel getal x > 0 bestaat er een natuurlijk getal nx ∈ N waarvoor 0 <1

nx

< x.

Bewijs

Als x > 0 is dan kan x geen benedengrens zijn voor de verzameling S =

1

n: n ∈ N

waarvan het infimum nul is. Er bestaat dus een element1

nx

in S waarvoor 0 <1

nx

< x.

Gevolg 8.3Voor elk reeel getal x > 0 bestaat er een natuurlijk getal nx waarvoor nx − 1 ≤ x < nx.

13

BewijsBeschouw de verzameling Sx = m ∈ N : x < m; dankzij het archimedisch karakter vanR is de verzameling Sx niet-ledig. Nu bezit elke niet-ledige deelverzameling van N eenkleinste element [de zg. wel-ordeningseigenschap van N]. Noem nx het kleinste elementvan Sx; dan behoort nx − 1 niet tot Sx, zodat x ≥ nx − 1. Aangezien nx tot Sx behoortis ook x < nx.

9 Het bestaan van tenminste een irrationaal getal

We hebben reeds aangetoond in stelling 2.1 dat er geen rationaal getal bestaat waarvanhet kwadraat 2 is. Steunend op het volledigheidsaxioma van R bewijzen we nu dat er eenpositief getal bestaat waarvan het kwadraat gelijk is aan 2; dit positief getal moet danwel irrationaal zijn.

Stelling 9.1Er bestaat een positief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 2.

BewijsBeschouw de verzameling S := s ∈ R : 0 ≤ s, s2 < 2; deze verzameling is niet-ledigwant 1 ∈ S. Een bovengrens van S is 2; S heeft dus een supremum: x := sup S; bemerkdat x > 1. We tonen aan dat x2 = 2.

Onderstel eerst dat x2 < 2; beschouw het reeel getal2 − x2

2x + 1, dat duidelijk positief is. Het

archimedisch karakter van R stelt ons in staat een natuurlijk getal n te vinden waarvoor

1

n<

2 − x2

2x + 1

of1

n(2x + 1) < 2 − x2,

of nog x2 +1

n(2x + 1) < 2

zodat

(x +

1

n

)2

= x2 +2x

n+

1

n2≤ x2 +

1

n(2x + 1) < 2.

Uit

(x +

1

n

)2

< 2 volgt dat het reeel getal x +1

nbehoort tot S, wat in tegenspraak is

met het feit dat x = sup S. Het is dus uitgesloten dat x2 < 2.

Onderstel nu dat x2 > 2; dan is x2 − 2 > 0 en kunnen we een natuurlijk getal m vindenwaarvoor

1

m<

x2 − 2

2x

14

of1

m2x < x2 − 2,

of nog x2 − 2x

m> 2

zodat

(x − 1

m

)2

= x2 − 2x

m+

1

m2> x2 − 2x

m> 2.

Als s ∈ S dan is s2 < 2 <

(x − 1

m

)2

en dus ook s < x − 1

m, wat betekent dat x − 1

meen bovengrens van S is. Dit is in tegenspraak met het feit dat x het supremum van Sis. Het is dus uitgesloten dat x2 > 2.Aangezien het uitgesloten is dat zowel x2 < 2 als x2 > 2, is x2 = 2.

Met een analoge redenering kan men bewijzen dat als a > 0 er een unieke b bestaat waar-voor b2 = a. Men noemt b de vierkantswortel van a en noteert b =

√a. Op analoge, maar

iets ingewikkelder, wijze toont men het bestaan aan van een unieke k-de machtswortelk√

a uit a > 0 aan, voor alle k ∈ N.

Opmerking 9.1Als we in het bewijs van stelling 9.1 de verzameling S vervangen door de verzamelingT = q ∈ Q : 0 ≤ q, q2 < 2, dan bewijst men dat y := sup T voldoet aan y2 = 2.Maar we weten reeds uit stelling 2.1 dat y niet rationaal is, zodat de verzameling T vanrationale getallen geen supremum heeft dat tot Q behoort. Het geordend veld Q bezitdus de compleetheid-eigenschap niet.

10 De dichtheid van Q in R

Stelling 10.1Voor de reele getallen x en y waarvoor x < y, bestaat er steeds een rationaal getal rwaarvoor x < r < y.

BewijsZonder de algemeenheid te schaden kunnen we onderstellen dat x > 0. Nu is y − x > 0

zodat er een natuurlijk getal n bestaat waarvoor1

n< y − x, of nx + 1 < ny. Voor het

positieve getal nx kan er een natuurlijk getal m worden gevonden waarvoor m−1 ≤ nx <

m. Aldus is m ≤ nx + 1 < ny en dus nx < m < ny. Het rationaal getal r :=m

nvoldoet

aan x < r < y.

Gevolg 10.1Voor reele getallen x en y waarvoor x < y, bestaat er steeds een irrationaal getal zwaarvoor x < z < y.

15

Bewijs

Pas stelling 10.1 toe op de reele getallenx√2

eny√2; er bestaat dus een rationaal getal r

waarvoorx√2

< r <y√2. Het getal z := r

√2 is irrationaal en voldoet aan x < z < y.

11 Intervallen

Met behulp van de ordening in R kunnen specifieke deelverzamelingen reele getallen ge-definieerd worden die als fundamentele deelverzamelingen kunnen worden beschouwd:

(i) het open interval ]a, b[:= x ∈ R : a < x < b

(ii) het gesloten interval [a, b] := x ∈ R : a ≤ x ≤ b

(iii) de half-open (of half-gesloten) intervallen [a, b[:= x ∈ R : a ≤ x < b en ]a, b] :=x ∈ R : a < x ≤ b.

Daarnaast kunnen ook de volgende onbegrensde intervallen worden gedefinieerd:

(iv) ]a, +∞[:= x ∈ R : a < x;

(v) [a, +∞[:= x ∈ R : a ≤ x;

(vi) ] −∞, b[:= x ∈ R : x < b;

(vii) ] −∞, b] := x ∈ R : x ≤ b;

(viii) ] −∞, +∞[:= R.

Men hoede zich ervoor de loutere symbolen −∞ en +∞ als reele getallen te beschouwen!

Het is een voor de hand liggende eigenschap van een interval I dat als x en y tot I behoren,het interval [x, y] bevat is in I. Deze eigenschap is in feite een karakterisering van hetbegrip interval, zoals blijkt uit de volgende stelling

Stelling 11.1Als de verzameling S van reele getallen ten minste twee punten omvat en voldoet aan deeigenschap:

als x, y ∈ S en x < y dan is [x, y] ⊂ S,

dan is S een interval.

16

BewijsOnderstel dat S begrensd is en stel a := inf S en b := sup S. Dan is S ⊂ [a, b].Als a < z < b dan is z geen benedengrens van S; er bestaat dus een x ∈ S waarvoorx < z. Maar z is ook geen bovengrens van S, zodat er een y ∈ S bestaat waarvoor z < y.Dus is z ∈ [x, y] zodat wegens het onderstelde z ∈ S. Aldus is ]a, b[⊂ S.We hebben terzelfdertijd dat S ⊂ [a, b] en ]a, b[⊂ S, zodat wel S =]a, b[ of ]a, b] of [a, b[ of[a, b].Onderstel nu dat S naar boven begrensd is, maar niet naar beneden. Stel b := sup S, danis S ⊂] − ∞, b]. Neem z < b, dan bestaan er x en y in S waarvoor z ∈ [x, y]. Dus is] −∞, b] ⊂ S. We concluderen dat S een onbegrensd interval is.De gevallen waarbij S naar beneden begrensd is en niet naar boven, of noch naar bovennoch naar beneden begrensd, worden op analoge manier behandeld.

Definitie 11.1Een rij In, n ∈ N van intervallen wordt genest genoemd als

I1 ⊃ I2 ⊃ ... ⊃ In ⊃ In+1 ⊃ ....

Een voorbeeld van een geneste rij intervallen is In =

[0,

1

n

], n ∈ N. Het is duidelijk dat

0 tot alle intervallen van de rij behoort. Met behulp van het archimedisch karakter vanR wordt aangetoond dat 0 het enige gemeenschappelijke punt is.

Dat een geneste rij intervallen niet noodzakelijk een gemeenschappelijk punt bezit, wordt

geıllustreerd door de rij In =

]0,

1

n

[, n ∈ N; immers voor elke x > 0 bestaat er een na-

tuurlijk getal m waarvoor1

m< x, zodat x /∈ Im.

Nochtans geldt de volgende stelling.

Stelling 11.2

(i) Een geneste rij gesloten en begrensde intervallen bezit ten minste een gemeenschap-pelijke punt.

(ii) Een geneste rij gesloten en begrensde intervallen waarvoor het infimum van de leng-ten ervan nul is, bezit een uniek gemeenschappelijk punt.

Met behulp van deze stelling kan worden aangetoond dat de verzameling van de reelegetallen niet aftelbaar is, d.w.z. dat er geen een-een-afbeelding bestaat tussen R en N.De verzameling Q van de rationale getallen wel aftelbaar zijnde, is het duidelijk dat ookde verzameling van de irrationale getallen niet aftelbaar is.

17

12 Binaire voorstelling van reele getallen

Beschouw de reele getallen tussen 0 en 1.Neem x ∈ [0, 1].

Als x ∈[0,

1

2

[neem dan a1 = 0; als x ∈

]1

2, 1

]neem a1 = 1; als x =

1

2neem a1, ofwel 0

ofwel 1; er geldt steeds:a1

2≤ x ≤ a1 + 1

2.

Deel het interval

[a1

2,a1 + 1

2

]middendoor. Als x behoort tot het linker deelinterval,

neem dan a2 = 0; behoort x tot het rechter deelinterval, neem a2 = 1; als x =1

4of x =

3

4,

neem dan a2 ofwel 0 ofwel 1; er geldt steeds:

a1

2+

a2

22≤ x ≤ a1

2+

a2 + 1

22.

Door op analoge wijze deze procedure verder te zetten onstaat er een rij an, n ∈ N vannullen of eenen. Voor elke n ∈ N geldt:

a1

2+

a2

22+ ... +

an

2n≤ x ≤ a1

2+

a2

22+ ... +

an + 1

2n.

Als op een bepaald ogenblik in de procedure x samenvalt met het midden van het intervaldat dan wordt middendoor gedeeld, dan gaat de rij verder met enkel nullen of enkel eenen.

De binaire representatie van x is dan (.a1a2...an...)2; deze is uniek tenzij x =m

2n(m oneven)

waarvoor er twee representaties bestaan: x = (.a1a2...an−1100...)2 en x = (.a1a2...an−1011...)2.Omgekeerd, bepaalt een rij van nullen en eenen een uniek reeel getal in [0, 1]. Immers de

corresponderende ongelijkheid bepaalt een gesloten interval met lengte1

2n. De geneste rij

gesloten en begrensde intervallen waarvan het infimum van de lengten dus nul is, bepaalthet unieke reele getal dat aan bewuste ongelijkheid voldoet voor alle n ∈ N.

13 Decimale representatie van reele getallen

Een analoge constructie als voor de binaire representatie van reele getallen, maar ditkeer met verdeling van de intervallen in 10 gelijke deelintervallen, leidt tot de decimalerepresentatie van reele getallen.Neem x ∈ [0, 1] en verdeel het interval [0, 1] in 10 gelijke deelintervallen; dan bestaat

er een geheel getal b1 ∈ 0, 1, ..., 9 waarvoor x ∈[

b1

10,b1 + 1

10

]. Op analoge wijze als in

18

paragraaf 12, onstaat een rij bn, n ∈ N van gehele getallen waarbij 0 ≤ bn ≤ 9 voor allen ∈ N en waarvoor

b1

10+

b2

102+ ... +

bn

10n≤ x ≤ b1

10+

b2

102+ ... +

bn + 1

10n.

Het reeel getal x wordt dan decimaal gerepresenteerd door: x := .b1b2...bn... .Als x ≥ 1 dan bestaat er een natuurlijk getal B waarvoor B ≤ x < B + 1; de decimalerepresentatie van x luidt dan: x = B.b1b2...bn... . Negatieve getallen worden analoogbehandeld.Dat elke decimale representatie een uniek reeel getal bepaalt, is een gevolg van stelling11.2(ii), aangezien de corresponderende ongelijkheid een geneste rij van intervallen vast-

legt met lengte1

10n.

Als x =m

10n, m en n natuurlijke getallen waarbij 1 ≤ m ≤ 10n en m niet deelbaar door

10, dan zal x samenvallen met een van de verdelingspunten en is de decimale representa-tie van x niet uniek. Immers op het ogenblik dat x op een verdelingspunt valt, kan menofwel voor het linker deelinterval kiezen, waardoor alle volgende decimalen 9 zullen zijn,ofwel kiezen voor het rechter deelinterval waardoor alle volgende decimalen 0 zullen zijn.Uiteraard stellen beide decimale representaties hetzelfde reeel getal voor.

Een decimaal getal B.b1...bn... noemt men periodiek als er een blok van opeenvolgendedecimalen herhaald wordt vanaf een zeker rang: bn = bn+m voor alle n ≥ k. Het kleinstenatuurlijk getal m waarvoor dit geldt, noemt men de periode. Het afbreken van eendecimale representatie komt overeen met het constant herhalen van 0 vanaf een zekererang.Men kan bewijzen dat een positief getal rationaal is als en slechts dan als zijn decimalerepresentatie periodiek is.

14 Complexe getallen: definitie en bewerkingen

We beschouwen de verzameling van de koppels (a, b) reele getallen a en b, waarop we devolgende bewerkingen definieren:

* gelijkheid: (a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c en b = d;

* optelling: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d);

* vermenigvuldiging: (a, b).(c, d) = (ac − bd, ad + bc).

Een dergelijk koppel (a, b) van reele getallen noemt men een complex getal, en de verza-meling van de complexe getallen wordt C genoteerd.

Het is een eenvoudige oefening aan te tonen dat C uitgerust met de hierboven vermeldebewerkingen, de volgende eigenschappen bezit:

19

(C1) de optelling is commutatief;

(C2) de optelling is associatief;

(C3) er bestaat een nul-element, nl. (0, 0) voor de optelling;

(C4) elk complex getal (a, b) bezit een tegengestelde, nl. (−a,−b);

(C5) de vermenigvuldiging is commutatief;

(C6) de vermenigvuldiging is associatief;

(C7) er bestaat een eenheidselement, nl. (1, 0), voor de vermenigvuldiging;

(C8) elk complex getal (a, b) 6= (0, 0) bezit een omgekeerde, nl.

(a

a2 + b2,

−b

a2 + b2

);

(C9) de vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling.

Dit kan worden samengevat als ”de verzameling van de complexe getallen uitgerust metde (hierboven gedefinieerde) optelling en vermenigvuldiging, is een veld”

Beschouw nu de volgende deelverzameling van C:

RD = (a, 0) : a ∈ R .

Ga na dat RD uitgerust met optelling en vermenigvuldiging voldoet aan de axioma’s (R1)t.e.m. (R9) van de reele getallen. Door met elk koppel (a, b) ∈ RD het reeel getal a telaten overeenstemmen, wordt een een-een-correspondentie gelegd tussen RD en R. Menzegt dat op deze wijze R ingebed is in C. Daarom ook noemt men het eerste element avan het koppel (a, b) het reele deel van het complex getal (a, b) en men noteert a = ℜ(a, b).

De deelverzameling van C gedefinieerd door

ID = (0, b) : b ∈ R

is de deelverzameling van de zg. imaginaire getallen; het tweede element b van het koppel(a, b) noemt men overeenkomstig het imaginaire deel van het complex getal (a, b) en mennoteert b = ℑ(a, b).Het woord imaginair heeft te maken met het feit dat (0, 1).(0, 1) = (0.0−1.1, 0.1+1.0) =(−1, 0), m.a.w. het produkt van het imaginair getal (0, 1) met zichzelf, is te identificerenmet het reeel getal −1, iets wat inderdaad ondenkbaar is in de ”reele”wereld.

Een elegantere, nuttiger en praktischer notatie voor complexe getallen bestaat erin hetreele getal (1, 0) te schrijven als 1 en het zuiver imaginair getal (0, 1) te schrijven als i.Het koppel (a, b) wordt aldus geschreven als

(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + ib.

20

Een complex getal kan dus gezien worden als de som van een reeel getal en een imaginairgetal. Met deze nieuwe notatie worden de elementaire bewerkingen inderdaad eenvoudigervan uitzicht en gemakkelijker uit te voeren:

* gelijkheid: a + ib = c + id ⇐⇒ a = c en b = d;

* optelling: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d);

* vermenigvuldiging: (a + ib).(c + id) = ac + iad + ibc + i2db = ac − bd + i(ad + bc).

Bij de laatste overgang hebben we gebruik gemaakt van de ”beroemde”betrekking

i2 = −1

die de parafrazering is in de nieuwe notatie van

(0, 1).(0, 1) = (−1, 0).

Men hoede zich ervoor zich te laten verleiden tot het populaire gezegde dat ”i de vier-kantswortel uit −1 is”; dit is pure nonsens.

15 Complexe getallen: toevoeging en modulus

We stellen het complex getal a+ ib kortweg voor door z; het nulelement voor de optelling0 + i0 noteren we kortweg 0, en het eenheidselement 1 + i0 als 1.

Het complex getal dat tegengesteld is aan z = a+ ib (eigenschap C4) is dan −z = −a− ib;

het omgekeerde van z is1

z=

1

a + ib=

a

a2 + b2+ i

−b

a2 + b2(z /∈ 0 ondersteld).

Met behulp van een nieuwe bewerking kan deze laatste gelijkheid eenvoudig bekomenworden; deze nieuwe bewerking is de (complexe) toevoeging.

Definitie 15.1De (complex) toegevoegde van het complex getal z = a+ib is het complex getal z = a−ib.

Merk op dat de complex toegevoegde van een reeel getal dit getal zelf is.

Uit z + z = 2a volgt ℜz =1

2(z + z), terwijl uit z − z = 2ib volgt dat ℑz =

1

2i(z − z).

Ook is z.z = z.z = (a + ib)(a− ib) = a2 + b2, een positief getal. Het product zz kan enkelnul zijn als z = 0 (en dan is uiteraard ook z = 0). Dit leidt tot

21

Definitie 15.2De modulus van het complex getal z = a + ib is |z| =

√a2 + b2.

De modulus van een complex getal is dus nul als en slechts dan als het complex getal nul is.

We hebben dus meteen: zz = zz = |z|2. En dit leidt tot een eenvoudige berekening vande omgekeerde van z 6= 0:

1

z=

1

z.z

z=

z

|z|2 =a − ib

a2 + b2.

Merk ook nog op dat de modulus van een reeel getal (opgevat als een bijzonder complexgetal) samenvalt met het begrip absolute waarde van dit reeel getal:

a = a =⇒ |a|2 = aa = a2;

vandaar ook dat hetzelfde symbool kan worden gebruikt.

Toon aan, als oefening, dat de modulus van een complex getal de volgende eigenschappenbezit:

(i) |z1z2| = |z1||z2|;

(ii) |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| (driehoeksongelijkheid);

(iii) |z1 − z2| ≤ |z1| + |z2|;

(iv) ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|.

De modulus stelt ons in staat ook in C het begrip begrensde verzameling te definieren:een verzameling S van complexe getallen is begrensd als de verzameling |z| : z ∈ S eenbegrensde verzameling reele getallen is.

16 Complexe getallen: meetkundige voorstelling

Beschouw het complex getal z = a + ib = (a, b). Het koppel reele getallen kan wordenbeschouwd als het stel coordinaten van een punt in het vlak betrokken op een cartesiaansassenstelsel. We kunnen het complex getal z = a + ib vereenzelvigen met het punt metcoordinaten (a, b). Een reeel getal heeft dan een beeldpunt op de X-as, terwijl een zuiverimaginair getal een beeldpunt op de Y -as heeft. Om die reden spreekt men vaak vanhet complexe vlak met de reele as (de X-as) en de zuiver imaginaire as (de Y -as). Deoorsprong is dan het beeldpunt van het complex getal 0. Op die manier ontstaat eeneen-een-correspondentie tussen de verzameling van de punten van het gecoordinatiseerdevlak en de verzameling van de complexe getallen.Merk op dat tegengestelde complexe getallen beeldpunten bezitten die symmetrisch lig-gen t.o.v. de oorsprong, terwijl een complex getal en zijn toegevoegde symmetrisch liggen

22

t.o.v. de reele as.Hetzelfde complex getal z = a + ib kunnen we ook vereenzelvigen met de vector die aan-grijpt in de oorsprong en als eindpunt het punt met coordinaten (a, b) bezit. Alle vectorendie complexe getallen voorstellen grijpen steeds aan in de oorsprong; men spreekt van ge-bonden vectoren. Met het complex getal 0 correspondeert de nulvector in de oorsprong.Op deze wijze ontstaat een een-een-correspondentie tussen de verzameling van de com-plexe getallen en de verzameling van de gebonden vectoren in het vlak. Ga na dat metde som van twee complexe getallen de som van de corresponderende gebonden vectorenovereenstemt.

Berekenen we de lengte van de gebonden vector die overeenstemt met het complex getalz = a + ib, dan bekomen we:

lengte vectorz =√

a2 + b2 = |z|;

de lengte van deze vector is dus precies de modulus van het beschouwde complex getal;een notatie ervoor is r.

Een gebonden vector kunnen we volkomen karakteriseren door haar lengte r en de hoekdie ze insluit met de reele as (de X-as); noem die hoek θ (zie Fig. 1.1).Gegeven r en θ dan stemt hiermee precies een gebonden vector, en dus een complex getal

y

b

0

θ

r

z

a x

Figuur 1.1: Meetkundige voorstelling van z

overeen. Maar omgekeerd, bij een gegeven complex getal of corresponderende gebondenvector, is r wel volkomen bepaald, maar θ is bepaald op een veelvoud van 2π radialen na.Samengevat

r en θ −→ z −→ r en θ + 2kπ, k ∈ Z.

Deze hoek θ wordt vaak het argument van z genoemd; met elk complex getal z /∈ 0 stem-men dus oneindig veel argumenten overeen, die onderling een veelvoud van 2π radialen

23

van elkaar verschillen. Het argument van het complex getal 0 is niet gedefinieerd.

Vertrek van het complex getal z = a + ib /∈ 0. Bepaal zijn modulus:

r = |z| =√

a2 + b2

en een waarde van zijn argument, i.e. een hoek θ die voldoet aan:

a = r cos θ, b = r sin θ.

Dit leidt tot de zg. polaire vorm van het complex getal z:

z = a + ib

= r cos θ + i r sin θ

= r(cos θ + i sin θ)

Maken we gebruik van de exponentiele functie, dan kunnen we beroep doen op de - laterte bewijzen - zg. formule van Euler:

exp(iθ) = cos θ + i sin θ,

om de polaire vorm van het complex getal z te herschrijven als:

z = r exp(iθ).

17 Complexe getallen: bewerkingen (bis)

De polaire vorm van complexe getallen is uiterst geschikt voor de vermenigvuldiging ende machtsverheffing. Zo is:

z1z2 = (r1 exp(iθ1))(r2 exp(iθ2))

= r1r2 exp(i(θ1 + θ2))

= r1r2(cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2));

z1

z2

=r1 exp(iθ1)

r2 exp(iθ2)

=r1

r2

exp(i(θ1 − θ2))

=r1

r2

(cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2));

zn = (r exp(iθ))n = rn exp(inθ)

= rn(cos nθ + i sin nθ), n ∈ N.

24

Voor de inverse bewerking van de (natuurlijke) machtsverheffing gaan we omzichtig tewerk, en stellen de vraag: gegeven het complex getal z, welke complexe getallen w, zo dieer zijn, voldoen aan: wn = z. Stel w = ρ exp(iϕ), dan moet gelden:

(ρ exp(iϕ))n = z = r exp(iθ)

ofρn exp(inϕ) = r exp(iθ)

waaruit volgt dat

ρ = n√

r en ϕ =θ + 2kπ

n, k = 0, 1, 2, ..., n − 1;

er bestaan dus n complexe getallen w waarvan de nde macht gelijk is aan het gegevencomplex getal z /∈ 0. Deze n complexe getallen w0, w1, ..., wn−1 liggen alle op dezelfdeafstand ρ = n

√r van de oorsprong; ze zijn de hoekpunten van een regelmatige n-hoek

ingeschreven in de cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal ρ.

Nemen we i.h.b. z = 1, dan zijn er n complexe getallen w0, w1, ..., wn−1, gegeven door

wk = exp

(i2kπ

n

), k = 0, 1, 2, ..., n− 1

waarvan de nde macht gelijk is aan 1:

wnk = 1, k = 0, 1, 2, ..., n − 1.

De beeldpunten ervan zijn de hoekpunten van een regelmatige n-hoek ingeschreven in dezg. eenheidscirkel, dit is de cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal 1. Merk opdat w0 = 1 op de reele as ligt; als n oneven is, is dit ook het enige van deze getallen wk

dat op de reele as ligt. Als n = 2m even is, dan ligt ook wm = exp(iπ) = −1 op de reeleas.

18 Het complexe vlak: afstand en omgeving

De modulus |z| van het complexe getal z is de afstand van het beeldpunt van z tot deoorsprong.

Beschouw nu twee complexe getallen z1 en z2, en hun verschil waarvan we de modulusberekenen:

|z1 − z2| = |(a1 + ib1) − (a2 + ib2)|= |(a1 − a2) + i(b1 − b2)|=

√(a1 − a2)2 + (b1 − b2)2.

25

Het resultaat is de afstand in het cartesiaans vlak tussen de punten met respectievecoordinaten (a1, b1) en (a2, b2), m.a.w. tussen de beeldpunten van z1 en z2 in het com-plexe vlak.

Gegeven het complex getal z0 en het reeel getal ε > 0, dan is de zg. ε-omgeving van z0

de verzameling van de complexe getallen (of hun beeldpunten) die op een afstand kleinerdan ε van z0 zijn gelegen:

z ∈ C : |z − z0| < ε,m.a.w. een open schijf met middelpunt z0 en straal ε.

Als x0 reeel is, dan is de doorsnede van de ε-omgeving van x0 in het complexe vlak, metde reele as precies de reele ε-omgeving van x0 (zie definitie 5.1.).

26