wykead 6 - fuw.edu.plkonieczn/analiza/semestr2wyklad6.pdf · gay 8y=o many ftth)=t28x2 i takze w to...
TRANSCRIPT
WYKEAD 6
CEL : BADANIE EKSTREMOW FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 35
Rtchunekrozhiczkowy wpierwszym semestme stuzy mom migokyinnymi do baolowie pmebiegu
smiennosa.
fuukyi iszkiwwanie
wykresiw . Istothym eleeueutem badaniefuukyibyo poszukiwaniepunktow knytycznych I voaposnasanie Ich typu .
Poszukiwanie ekswe .
mow bywa to wazne Samo w Sobie mawetjeli mie bowdzo
obchodzi was jak zaawwuje sig funkqie jako take. Zojmiemy
sigterazpmygotowaniem gruntu do possukiwanie ekswemow
fuukyi Wiebe aeuiennyar I baowurie Ich Nodzaju .
02ham
to,
ze sojmowac si bgobiemy fuukjami typu
f : XIU - 112gobie
× jest pmestmeniq Banana,
waastosowe
mid mojcsgscig. IR "
,a Wartosci sq respite . Defimiqie
ekswemum ( maksimum I minimum ) poaostoje bez simian,
tan : punkt ×oEU jest maksimum ( minimum ) funkyi f jobdld
pewnafoE >0 speiniony jest warunek
Hxekfxo,e) fkkffx .
) ( Fxek ( x.,c) f (x ) >sf( xo ) )
Interesowaey was bgdqknyterie koniecsnei wystarcsajgce istmienie
ekswemum. Zeby aooacsyi ize istmiejq sytuo.ge skompkkowane
obejmyjmytolejny eksponat 2 tolekyifuukyi dziwnych :
flx ,y)= ( x - if ) ( X - 4g' ) f CQOKO
Nick h=[fmf ( th )=( tsx . Esjktsx - Litty ) =
= E ( Sx - Hy' )( Sx - atsj )
f ( th ) - E ( 8x - Hy' )( Sx - at Sj) =
36
Pnsyustolonym Sxi Sy ( ayli uholonym kierunku h ) manyzaleznosi wielomianowq od t ( Syto )
E= E( ftp.t ) ( Ely - t ) . Koga
re no
8y2
Gdy 8×-0 many f ( th )= 4th 8g"
I w to jest minimum
Gay 8y=o many ftth )=t28x2 I takze w to many minimum
Wygbgdd wigs nato,
ze fobcigte do tazdg.
pvostg pmechodzpcejpmez zero me minimum
.Nie just jednak prawdp ze f
me minimum w (0,0) gdyz W tazolym otueniu punktu ( 0,0)
sgpunktyu ktoryufpmyjmuje wowtosci ujemne :
¥aszczyzna2=0
f me wartosi zero me
kiywycuX=y2 I x - 4y2 ,
wartosa.
ujemne migdzy mini i wartosu.
dodathie w posostatyurpunktach .
Powyzhypmykiadpokazuje.zemiesgwystarcsajqcemetodyjeo1nowymiarowe-bao1aniefuukyiobujtymoloprros1ycnmozedauaifoAynewyniki.37Podo6miejeo1nokjakWpmypadkujednowyuiarowympmyo1atnebgdzieNo2wimigcietypuwsonuTaylove.S2c2agoluiecsg8totony8taibgdziemy2No2wimigaiedomgohe2.TwlERD2ENlEfr20RTAYLORAffiX0U-Yvoznic2kowolnek-1rasymeUypochodmefKistmiejewxoEU.WyrrazenieCKfKtH-fkdhz1f.YxDCn.hh.i-1fTx.Kh.ihKiYfxoihkjestneszt.mgduk.t2nMgfxyYT@DOWiDiIndukgiewzglgdemk.D
he 1<=1 varunek
flxoth) - f ( x. ) - f (xo)'h jest resztg ngdu 1 jest warunkiemvozniczkowalewscif w xo , Khiry jest speiniony me mocysaiozenie
Laktadamy ,Ze tw . saclwoki old m - L
, dowodzimy ,ze sddrodzi the
mfk : Dla ustalonago xoem defining any y: XOO - Y gdsie
Ojestotoczeuieue Je X
y(u)=f( xoth ) - f ( xo ) - f '(xDh - i. .- mk,fk}xD(h , ... ,h )
y vizhiczkujemy wsglgdem h . Mozme to erotic, gdyz f jest
vozhicskowalne 2 satozeuie a poclrodne sq wielolinioue
2e wwfgdu me h wigc takze vdzhicskowalne.
fish.
Q :EixnX Yjest odwsorooaniemtliniowym ciggfm to
e
Q jest ndznicskowalne w kazdym punkie 38
Qfztshz , . . .
, hit She ) =Q(hz , . .
,he )+Q( Shih , , ...
,he )+Q( has .SK ,
... he )t
t.it Q( hz , ... ,has ,She ) + v(hic
(wynaay sawierojqce pmyuajmnig
.
2 noisy8h
Poduodme Q'
jest odwsorowauiem
Xx÷x⇒( Shs , ... ,She ) - €xQ( has , ...
Shi .... he ) e W
Join.
Q jest symehycane to Jpnyjmmjeposada ¥yQ(Shi ,hz¥, he)
fish.
powaovio he he . .=he=h , 8ns . . . .
- Shish
= l .Q( 8h, h
...
h )
y(n)=f( xoth ) - f ( xo ) - f '(xDh - i. .- mk,fk}xD(h , ... ,h )
h M bi'
byykn) = fllxoth) - fllxo ) - f
"
HDCN - :-# ,.fm#C,h.....h )
A
BE ,'D y
'
:X 00 - BCX, 'D takze jest ndznicskowoene i
y "H=f" ( xoth) - fiat ;) - . :-# ,f'Yx . )f ,. ,n÷n)
m - 2
Poniewaz f jest m. noisy miznicskowalne w xo to y'jest m - I
naaynozniczkowalne w h=0. Komystajgc 2 saiozenie indnkyj .
negro pinemy- o =o
pntm.,HdH - Hot - tell 't )n - :-# ,,lyY Yo)( n
,.,n)H to
i
11 dull 39#t 60
"
IiiI-ninhEIetaepMntmganefttnHyooneYiiiihI11fltt411ftp.ssuPnnpsfsuplltlHH_ogttJ91E11th11Pt@ttJonLDlajcdnejsmiennejmielismynjznewsonymenesztg.wszuego.l
.
moscipmysouozeniuistnieuieKolcjnejpoarodug.RfxoihIYugghhtlfHtlhgjgeJxo.xothLDldwieluseuiennychmomysauuiesttegoossawwauieTwleRD2ENlECNierownosdTayloreffiXsU-YvdznicsKowalnekKrothieovazwe2biomefxeXix-xottnstEJQ1iLlgistniq.epochodmemgobekt1wteolyvente2ewsovuTaylorespetuiemierownosi1irxCxo.nHf@tgllnnktsxygnllIMYxotthl1MajgcdodyspozygiwzirTyhonemozemyzastanowiisigmaolwarunKamiistnieuieekshremum.tDWarunektoniec2nyNiechxobgolzieeKshremumfenkyifiX0U-HRWtaKimpmypadkudhedowolnegofriesbytduzegojhfenk4.oy.q
{ [ at _>f( xotth )
me ekshemum W 0 ( widzielismyjuz , ze twierdzenie odwrotne nie
jest prawdziwe ) . fes.li satemistm .gg pochodne tierunkowe Tfflxo )
to mmhg one bye'
miwne zero .
Mozemysatem sfonmuiowai
uastepujgcyfakt 40FAKT : fesili Xo jest ekshremum fonaz f just stabo ndznicskowalne
W xo to DfHD=O .
Manny oigcwarunek Koniecsnydle funkyi w jakim's seusie
ndzninkowaluych.Wowunek dottatekny wyuwugd uzycie wsoru Taylors :
TWIERDZENIE : fi XoU IR jest K . krolnie ndznicokowaleue W xo
oral flm ' (Xo )=O dhe mck, fl " ( xo ) to
a)fes.li w ×o f me
maximum ( minimum ) to K jest panyste oraz owe dowolnegoh flk ' ( h
, ... ,h ) f0 ( f ' " ( xo) ( h , ... in ) ZO ) .:isli due peonage >0 f WHO)(h , ... ink - E ( fkyxokn . . h ) ) " )dle dowoluego h : 11h 11=1 to f me wxo maksimum
( minimum )DOWJD 9h
G) Roawazmy t - > f ( xotth ) jest to funky .e mecsywitte ,
jeong 2mi ennej , niznicskowalne K vazy : g '(t)=f' ( xotth )h
ojnk )=f" ( xotth ) ( h ,h ) itol Skoro f w xo pochodne zero we
do ngdn K . 1 b gnk'
( 01=0 owe mck.
skin flkyxo ) ¥0
to dhe pewngoh gnk' ( 01=10 . gn ma ekswemum v
aeke ,satem sgodnie a odpowiednim hoierokeniem K Muni
by.c pabystei nosownego suaknow Noobaju ekswemum.
Powwow
gkn)(o)= fkyxokhi . .in )
Wgtpliwosa.
mozebudziijedyniefakt anyto ze fklxo) to list
nowhoanacsne2 faktem ,
ze dle peonego h flk ) ( h , ... h ) to .
Okazuje his ,Ze jest to agolud wtasnosc '
odwzarowan'
Kliniowychsymetnycsnych. 41Jeili Q jest K . liniowe symehyczne to Q jest jednoznacsniewyanacsone me weklovau posted ( Jw . :o)
Istotnie : Dbe dwwciniowycn jest bowobo tatwo :
f forma kwowlratowa
Q :VxV w q : V - W q(v)=Q( o.O )
q(otH=Q( the'
,o+o' ) - Qtr ,o+i)+Q(o '
,o+v'
) -
QHOHQHN ' )+Q(&v)+Q(d,O
'
)W her -
qcv ) 94 ' '
qH+o' )=2Q( ON
'
)+q(o)+qH '
)
QHN' )=£(q(t+o ' ) - qlv ) - qco 't)t formed polowysucyjne
Dle K >2 wary sg bardziq.
paskudne ,ale istniejq .
(2) 2e wsoru Taylors manyfcxoth) - fko ) -
Ty FHKDK ,. ,
Hakko,h)
2 saiozeuie f& ) (xo) ( h,
... ,h ) ( - E ( ) E) one 11h 11=1,
ffxoth) - f(xo)=µtf' "Cxokn ,...,h ) tnklx . ,k)= 42
.
= talk "kf'" Hollier .in#+nkcxoI -
< 0
ninny ktf' "Eh# , .it#+.iYnxgI ) >o
c- e ( se ) T 9the odpowieolniomaiego 11h11
|mglxp#s|< 42k !
satem hiezmienie 2nd Ku
wyrrazeue
a