Chap 3 Diffraction I : GeometryChap. 3 Diffraction I : Geometry

3.1 Introduction

Von Laue

- 결정이 규칙배열을 하는 원자로 되어 있다면

X 선에 산란의 중심으로 작용할 것이며

◈

X-선에 산란의 중심으로 작용할 것이며,

- 파장이 결정에서 원자간 거리와 거의 동일한 전자파라면

결정을 통하여 x-선을 회절 할 수 있을 것으로 추정

W. H. Bragg and W.L. Bragg◈

- Laue의 실험을 해석하였고

- 회절에 필요한 조건을 간단한 수식으로 표현

- NaCl, KCl, KBr 구조 해석NaCl, KCl, KBr 구조 해석

3 2 Diffraction3.2 Diffraction

정의: 파 (wave)의 진행 경로중에 어떤 물체가 놓이면 특정한 조건하에서는 파를 산란시킨다.만일, 물체의 구성단위 크기가 입사파의 파장과 거의 유사하면 어떠한 방향으로는만일, 물체의 구성단위 기가 입사파의 파장과 거의 유사하면 어떠한 방향 는서로 보강 (reinforce)을 하고 또 다른 방향으로는 서로 상쇄 (annihilation)하는데

이러한 일반적인 현상을 “회절” 이라 한다.

경로차가 위상에 미치는 영향

1. 경로의 길이에 차이가 있으면, 위상 차이 발생

2. 위상의 차이에 의해 진폭이 변화

in phase out of phase

어떻게 하여 결정이 X-선을 회절시키는가 ?

입사빔중 x-선 1과 1a를 고찰하여보면, XX` 와 YY`사이에서의 경로차

QK-PR = PK cos Q – PK cos Q = 0

서로 강화한다서로 강화한다

서로 다른 면에 있는 원자에 의한 강화조건 [ x-선 1과 2]서로 다른 면에 있는 원자에 의한 강화조건 [ x 선 1과 2]

ML + LN = d`sin Θ + d`sin Θ경로차는 :

만일 이 경로차가 파장의 정수배이면, 산란 x-선 1`과 2`은 위상이 일치

n λ = 2 d`sin Θ Bragg lawgg

회절이 일어나려면 만족하여야 할 본질적인 조건

Bragg law 에서 n 의 의미는?

- n은 반사의 차수 (order of reflection)라 하며 sinΘ값이 1을 넘지 않는 범위에서 정수

- n 은 인접 원자면에서 산란된 x-선사이의 경로차에서의 파수

산란 x-선 1`과 2` -- 경로차는 1파장

산란 x-선 1`과 3` -- 경로차는 2파장

산란 x-선 1`과 4` -- 경로차는 3파장산란 x 선 1 과 4 경로차는 3파장

Three scattering modes:

1) 단원자 가스처럼 공간에 불규칙하게 배열한 원자에 의한 산란

- 모든 방향으로 일어남 [강도]

2) 공간에 주기적으로 배열한 원자에 의한 산란2) 공간에 주기적 배열한 원자에 의한 산란

- Bragg 법칙을 만족하는 경우 --- 이 산란을 회절이라 함 [진폭]

- Bragg 법칙을 만족시키지 못하는 경우 --- 산란이 일어나지 않음Bragg 법칙을 만족시키지 못하는 경우 산란이 일어나지 않음

결정에 의한 X 선의 회절과 가시광선의 반사의 유사점과 차이점 ?결정에 의한 X-선의 회절과 가시광선의 반사의 유사점과 차이점 ?

유사점 : 두 경우 다 입사각과 반사각이 동일

차이점 : (1) 결정에 의해 회절된 빔은 입사빔의 경로에 있는 모든 원자에 의해서

산란된 X-선으로 되어 있음산란된 X 선으로 되어 있음한편, 가시광선의 반사는 엷은 표면 층에서만 일어남

(2) 단색 X-선의 회절은 Bragg 법칙을 만족시키는 특별한 입사각일 때만 일어남가시광선의 반사는 어떠한 입사각이라도 일어남가시광선의 반사는 어떠한 입사각이라도 일어남

(3) 좋은 거울에 의한 반사는 그 효율이 거의 100%임회절 x-선빔의 강도는 입사 x-선의 강도에 비하여 약함회절 x 선빔의 강 는 입사 x 선의 강 에 비하여 약함

3.3 Bragg Law gg

두 가지 기하학적 사실 :

(1) 입사빔, 회절면 수직선, 회절빔은 모두 같은 평면에 있다

λn

(2) 회절빔과 투과빔 사이의 각은 언제나 2Θ

-회절을 일으킬 경우의 최소 n값은 11sin2 ` ≤= θλd

n

-대부분의 결정면의 d` 는 3 A 정도

-관찰되는 각 2 Θ 에 대한 회절조건은

`2d≤λ 대부분의 결정면의 d 는 3 A 정

-파장 λ 는 약 6 A 를 넘을 수 없다

- 예, 파장이 500 A 인 자외선의 경우 결정에조사되어 회절을 일으킬 수 없다

2d≤λ

조사되어 회절을 일으킬 수 없다

θλ sin2d=θλ sin2`

nd

= ndd

`

=

θλ sin2dn

제 2차 100반사와 제 1차 200반사제 2차 100반사와 제 1차 200반사

경로차 ABC는 입사 파장의 2 배 경로차 DEF는 입사 파장의 1 배

면간거리 d`의 (hkl)면에 의한 제 n 차반사는

면간거리 d=d`/n 인 (nh nk nl)면에 의한 제 1차 반사면간거리 d d /n 인 (nh nk nl)면에 의한 제 1차 반사

3 4 L ’ ti3.4 Laue’s equations

Bragg’s equation : 회절을 scalar 공식으로 표현

회절빔의 방향을 나타내기 위하여는 벡터로 표현

결정체는 3차원적인 실체

회절빔의 방향회절빔의 방향

입사빔의 방향

λαα ha =− )cos(cos 0

λββ kb =− )cos(cos 0

λγγ l)cos(cos

경로차가 파장 hλ 의 정수배가 되도록 하려면S가 산란체 배열선과 만드는 각 α는

λγγ lc =− )cos(cos 0다른 축 적용

3.5 Reciprocal lattice and diffraction

AA+δ

- 파장이 λ 인 X-선인 입사빔 So 와 회절빔 S에 대한 O와 A에서 경로차는

)(o OASOAS

OnOmAvuA

⋅−+⋅=

+=+=δ

)( oSSOA −⋅−=

- 위상차 (Phase difference)

OAOASS o ⋅⋅−=⋅−

−==Φ ζπλ

πλπδ 2)(2/2

''' blbkbh ++ζ 321 blbkbh ++=ζ

)(2)()(2

'''

3213'

2'

1'

lkharaqapblbkbh ++⋅++−=Φ π

)(2 rlqkph ++−= π

회절이 일어나기 위해서는 φ 는 2π 의 정수배

회절이 일어나기 위한 조건

Ewald sphere construction

3 6 Diff ti di ti3.6 Diffraction directions

- 결정이 단색 x-선을 회절하는 방향 즉 2θ 를 결정하는 것은 무엇인가?

θλ sin2d=

2

222

21

alkh

d++

=)(

4sin 222

2

22 lkh

a++=

λθ

입사빔의 파장이 λ이고입방정의 단위포의 크기가 a 일때,(hkl)면에 회절되는 Bragg각을 예측함

회절방향은 단위포의 모양과 크기에 의해서 결정됨회절방향은 단위포의 모양과 크기에 의해서 결정됨

3.7 X-ray spectroscopy (분광학)y p py ( )

( )1. 구조해석 (Structure analysis) : 알고 있는 파장 (λ)의 X-선을 사용하여 회절각 (Θ)를 측정

- 결정내의 여러면의 면간거리 (d) 를 결정

2. X-선 분광학 (X-ray spectroscopy) : 면간거리 (d )를 아는 면이 결정을 사용하여 Θ를 측정면간거리 (d )를 아는 면이 결정을 사용하여 Θ를 측정

- 사용한 X-선의 파장 (λ)를 결정

X-ray density

= weight of atoms in unit cell / volume of unit cell

NA∑

=ρ

weight of atoms in unit cell / volume of unit cell

[ / 3]V=ρ [g/cm3]

실제 값을 대입하여 단순화시키면,

`66.1

)10`)(100236( 243 VA

VA

NVA ∑∑∑ === −ρ

`)10`)(10023.6( 243 VVNV ×× −ρ

macroscopic density of a particular specimen << x-ray density

거시적인 시편은 대개 거시적인 규모의 균열과 기공과원자규모의 단위포에 빈자리를 포함하기 때문

Bragg는 회절하는 x-선의 파장을 모르고도 NaCl의 결정구조를 알아 낼 수 있었던 것은?

)..(4)..(4 ClwtatNawtatA +=∑

`66.1

VA∑=ρ V` 을 구한다

V

V` 로부터 a (lattice parameter)를 구한다

adhkl = 222 lkhdhkl

++

3 8 Diffraction methods3.8 Diffraction methods

Bragg law : θλ sin2d=

λ θ

Laue method

λ θ

variable constant

Rotating crystal method

Powder method

variable

variableconstant

constant

Powder method variableconstant

Laue method

Transmission Laue method Back-reflection Laue method

Laue method

-같은 곡선위의 반점은 같은 정대에 속함

-어떤 정대의 면에 의한 Laue반사는 모두 그 정대축을축으로 하는 가공적인 원추의 표면에 있음

-정대의 면에 의한 Laue반사가 원추의표면위에 있다는 것

- Laue 법의 주요 용도: 결정방위의 결정 과 결정의 완전도 판단결정방위의 결정 과 결정의 완전도 판단

Rotating crystal method

결정이 한 축 주위로만 회전하므로-결정이 한 축 주위로만 회전하므로,0o 에서 90o 사이의 모든 각이 Bragg 각이 되지는 않음

용도 : 미지의 결정구조를 결정

Powder method

- 분말은 한 축 주위로만 회전하는 것이 아니라, 모든 방향의 축으로 회전을 하고 있는 단결정 이라 여길 수 있음

- 어떤 특정한 hkl 반사를 고찰하여보면

분말이 모든 방향으로 배향된 무수한 결정립으로 되어 있으므로- 분말이 모든 방향으로 배향된 무수한 결정립으로 되어 있으므로,회전한 것과 같은 효과를 갖음

Debye-Scherrer methodDebye Scherrer method

- 회절선은 2θ = 90o 일때는 직선이고, 그외는 곡선으로 나타남

회절선의 위치를 측정하여 를 결정하고 반사면의 면간거리 를 계산- 회절선의 위치를 측정하여, θ를 결정하고, 반사면의 면간거리 d 를 계산

-결정의 단위포 모양과 크기를 알고 있다면, 필름에 나타난 모든 회절선의 위치를 예측할 수 있음필름에 나타난 모든 회절선의 위치를 예측할 수 있음

예, 2θ의 값이 제일 작은 것은 면간거리가 제일 큰 면에 의한 반사에 의해 생김

(100) (110)(100), (110)