KPSS (VE DİĞER SINAVLAR İÇİN)

MUHAKEME PROBLEMLERİ

Bu dokümanın tüm hakları www.filozof.com.tr’ye aittir.

İnternette sadece bireysel kullanım için yayınlanmaktadır.

2

PROBLEMLER

SAYI - KESİR PROBLEMLERİ

Sayı - kesir problemlerini çözerken dikkat edilmesi gereken en önemli nokta, denklemi doğru kurabil-mektir. Denklemi kurarken işlem önceliğinin soru çözümünde önemli olduğunu ve parantez ile işlem önceliğinin gösterilebileceğini unutmamalıyız.

Örneğin;

Bir x sayısının 3 katının 2 fazlası: İstenen ifade olur. Burada parantez kullanılmasına ge-

rek yok; çünkü ilk önce çarpma işlemi yapılır.

3 x 2

Bu ifadeyi 3 x şeklinde de yazar-

sak doğru yazmış oluruz. Bir örnek daha verelim:

2 (3 x) 2

Bir sayının 2 fazlasının 3 katı: İstenen ifade olur. Eğer parantez kullanılmamış ol-

saydı ifade olacaktı ve işlem önceliğin-den, önce ve ifade x + 6 olurdu ki,

(x 2) 3 x 2 3

2 3 6

(x 2) 3 x 6 dır.

Böyle bir yanlışa düşmemek için parantezi doğru yerde kullanmalıyız.

www.

filo

zof.

com

.tr

Herhangi bir sayı x olsun

1. Bir sayının 2 fazlası : x + 2

Bir sayının 5 fazlası : x + 5

2. Bir sayının 7 eksiği : x 7

Bir sayının 1 eksiği : x 1

3. Bir sayının 5 katı : 5 x

Bir sayının 7 katı : 7 x

4. Bir sayının yarısı : x

2

Bir sayının 8 de 1 i :x

8

5. Bir sayının 5

7 si :

5 5 xx

7 7

Bir sayının 3

4 katı :

3 3 xx

4 4

6. Bir sayının 3 te 1 inin 2

5 i :

1 2 x 2x

3 5 3 5

Bir sayının 4

5 inin

3

7 si :

4 3 4 x 3x

5 7 5 7

7. Bir sayının 4 katının 5 fazlası : 4 x 5

Bir sayının 2 katının 4 fazlası : 2 x 4

8. Bir sayının 5 fazlasının 4 katı :

4 (x 5) 4 x 4 5

Bir sayının 4 fazlasının 2 katı :

2 (x 4) 2 x 2 4

9. Bir sayının 6 katının 3 eksiğinin 2

5 i :

2 2 (6 x 3)

(6 x 3)5 5

Bir sayının 3 fazlasının 2 katının üçte biri :

1 2 (x 3)

2 (x 3)3 3

10. Bir sayının 2 katı ile 4 katının toplamı: 2 x 4 x

Bir sayının 9 katı ile 5 katının farkı: 9 x 5 x

Bir sayının 3 katı ile yarısının toplamı: x

3 x2

Bir sayının 2

3 ü ile 4 te 1 inin toplamı:

2 1 2 x

x x3 4 3

x

4

Bir sayının 3 te 1 inin 4 eksiği: 1 x

x 43 3 4

11. Bir sayının karesinin 1 fazlası : 2x 1

Bir sayının 1 fazlasının karesi : 2(x 1)

Bir sayının küpünün 5 katının 4 fazlası: 35 x 4

Bir sayının 4 fazlasının küpünün 5 katı:

35 (x 4)

Problemler

www.

filo

zof.

com

.tr

enklem Kurarken Dikkat Edilecek Husus-lar

akat ılarak denklem kurulma-

30 tane meyve vardır.

olmak üzere kulla-

toplanan ve çıkarılan ifadelerin aynı cins olması gerekir.

iri ile toplanır fakat

oplanmaz. Çünkü aynı cins

klemde eşitliğin sağ ve sol tarafını yazar-ken aynı cins çokluklar birbiri ile eşitlenir.

le eşitlenmez.

rdışık Sayı Problemleri

ayı adedi tek sayıda dedine bölündüğünde

D

1. Soruda bilinmeyen ifade bir harf ile belirtilir.

Örneğin; a, b, c … gibi

eyen bulunabilir; fSoruda birden fazla bilinmen az sayıda harf kullanlıdır.

Örneğin; Bir sepette elma ve armut olmak üzere toplam

Bu ifadeyi denklem olarak yazalım:

Elma sayısı x, armut sayısı y x + y 30 şeklinde yazmak yerine bir harfnarak elma sayısına x, armut sayısına (30 x) diyerek soruyu daha kolay çözebiliriz.

Çünkü denklemimiz bir bilinmeyenli (bilinmeyen x) denklem olacaktır.

2. Denklem kurulurken

Örneğin;

ye Bilye + Bil

Kitap + Kitap

Turist + Turist

bu ifadeler birb

Bilye + Kitap

Turist + Bilye

Kitap + Turist

Öğrenci + Sıra

ifadeleri birbiri ile tdeğillerdir.

3. Den

Öğrenci sayısı Öğrenci sayısı

Alınan yol Alınan yol

ı Sıra sayısı Sıra sayıs

Farklı cins çokluklar birbiri i

Öğrenci Sıra

Zaman Hız

k Tavşan Tavu

A

Ardışık sayı problemlerinde sise sayıların toplamı sayı aortadaki sayıyı verir.

Örneğin; ardışık beş sayının toplamı 100 ise bu sayıları bulunuz.

100 : 5 20 ortadaki sayı

18 19 20 21 22

en küçüksayı

en büyük sayı

Ardışık üç tam sayının toplamı:

+ (x + 1) + (x + 2) veya (a 1) + a + (a + 1)

ya

yının toplamı:

x

Ardışık üç tek tam sayı toplamı:

(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) ve

x tek sayı olmak üzere,

x + (x + 2) + (x + 4)

Ardışık üç çift tam sa

2n + (2n + 2) + (2n + 4) veya

x çift sayı olmak üzere,

x + (x + 2) + (x + 4)

ÖRNEK SORU

2 Hangi sayının

3 ünün 4 eksiği, aynı sayının

s

A) D) 70 E) 72

mi

yarısının 5 fazla ına eşittir?

46 B) 54 C) 63

Çözüm:

Şimdi denkle yazalım. Sayımız x olsun.

(3)(2)

2 xx 4 5

3 2

2 x x5 4

3 2

4 x 3 x9

6

x9

6

x 6 9

x 54 bulunur.

(Cevap B)

3

Problemler

???

YAYI

NC

ILIK

ÖRNEK SORU

Üç basamaklı birbirinden farklı dört sayının top-

n büyüğü en fazla

www.

filo

zof.

com

.tr

lamı 500 dür.

Bu sayıların e kaçtır?

) 193

zalım.

aklı sayı ((abc) gibi …)

farklı

00

e büyüğü en fazla kaçtır?

ıla-

A) 197 B) 196 C) 195 D) 194 E

Çözüm:

Verilenleri ya

4 tane üç basam

Sayılar birbirinden farklı (rakamlar denmemiş)

Toplamları 5

İst neni yazalım. En

En büyüğünün en fazla olması için diğer sayrın en az olması gerekir.

l. sayı + ll. sayı + lll. sayı + lV. sayı 500

303

A)

100 + 101 + 102 + x 500

303 + x 500

x 500

x 197 olur.

(Cevap

ÖRNEK SORU

Farkları 8 olan iki sayıdan büyüğün 3 katı ile

açtır?

E) 18

ı: k

olsun.

8

nklemleri orta çözeceğiz.

iz.

ak,

3 b 4 k 73

küçüğün 4 katı toplamı 73 tür.

Buna göre, büyük olan sayı k

A) 12 B) 13 C) 15 D) 16

Çözüm:

l. Yol:

Küçük say

Büyük sayı: b

Denklemi kuralım.

1. denklem: b k

2. denklem: 3 b 4 k 73

Yukarıdaki de k

Büyük sayı istendiğinden k yı yok edeceğ

1. denklemi 4 ile çarpar 2. denklem ile toplars

4/ b k 8

3 b 4 k 73

4 b 4 k 32

+

7b 105 b 15 olur.

ll. Yol:

Büyük sayı: x + 8

Küçük sayı: x olsun.

kları 8 olduğu için böyle yazıldı.)

Büyük sayı: x + 8 7 + 8 15 bulunur.

(Cevap C)

(Far

7 x 24 73

3 (x 8) 4 x 73

73

x 7

3 x 3 8 4 x

7 x 49

ÖRNEK SORU

Bir manifaturacı, elindeki bir top kumaşın ilk

önce 1

3 ünü, daha sonra kalan kumaşın

2

5 ini

satmıştır.

A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40

Çözüm:

oplam kumaş x m olsun.

Geriye 42 m ku aş kaldığına göre ilk satılan kumaş kaç metredir?

m

l. Yol:

T

1. satılan kumaş: 1 x

x3 3

Kalan kumaş:

(3)3 1

(1)

x x x 2xx

3 3

2. satılan kumaş: 2x 2 4x

3 5 15

Kalan kumaş:

(5) (1)

2x 4x 6x 2x42 m

3 15 15 5

2x 422 x 42 5

5 1

x 105 m bulunur.

Soruda istenen ilk satılan kumaş:

x 10535 m olur.

3 3

4

Problemler

www.

filo

zof.

com

.tr

Toplam kumaşı ilk ön arçaya, daha sonra 5 parçaya bölebilmek için kumaşı OKEK(3, 5) 15 parçaya ayırır ve her parçaya x m dersek, kuma-şın tamamı m olur.

n kısım:

ll. Yol:

ce 3 p

15 x

İlk satıla1

15 x 5 x3

Kalan kumaş: 15 x 5 x 10 x

İkinci satılan kumaş: 2

10 x 4 x 5

x 7

:

(Cevap D)

Kalan kısım: 10 x 4 x 6 x 42

İlk satılan kısım 5 x 5 7 35 m olur.

ÖRNEK SORU

daş bir torbadaki bily eri eşit olarak paylaşıyorlar. Gruba 2 kişi dağında her birine düşen bilye sayısı 3 aza

Buna göre torbadaki bilye sayısı kaçtır?

A) 130 B) 12 C) 60 D) 30 E) 15

işi

bilye düşeceğinden her biri (a 3) tane bilye alır. Bilye

Toplam bilye sayısı:

Bir gruptaki 8 arka elha katıldı-

lıyor.

0

Çözüm:

Gruptaki 8 kişinin her biri a tane bilye almış ol-sun. Toplam bilye sayısı: 8 a olur. Gruba 2 keklenirse 10 kişi olur ve her birine 3 eksik

sayısı değişmediğinden,

8 a 10 (a Bilye Bilyesayısı sayısı

8 a 10 a 10 3

8 a 10 a 30

30 2 a

3)

15 a

8 a 8 15 120 olur.

(Cevap B)

ÖRNEK SORU

Bir oteldeki odalara turistler her odakalacak şekilde yerleştirilirse 6 turist odalara yer-leştirilemiyor. Eğer 4’er 4’er yerleştirilirse 5 odaboş kalıyor.

Bu otelde topla kaç oda vardır?

A) 20 B) 21 C) 23 D) 25 E) 26

da 3 kişi

m

Çözüm:

Otelde toplam x tane oda olsun. Her odaya 3 kişi yerleştirilirse 3 x kişi odalarda olur ve 6 kişi odalara yerleşti işti. Turist sayısırilemem : 3 x 6

olur.

Her odaya 4 kişi yerleştirilirse ve 5 oda boş kal-da dolmuştur. mışsa (x 5) o

Turist sayısı: 4 (x 5) olur.

du

Turist sayısı aynı ol ğundan,

Turistsayısı

3 x 6 4 (x 5)Turistsayısı

3 x 6 4 x

3 x 6 4 x 4 5

20

26 x

6 20 4 x 3 x

Otelde 26 oda bulunmaktadır.

(Cevap E)

ÖRNEK SORU

Bir kumbarada 50 kuruşluk ve 1 liraparalardan oluşan toplam 40 tane para vardır.

Bu paraların toplamı 25 lira olduğuna göre bu kumbarada kaç tane 50 kuruş vardır?

A) 20 B) 24 C) 30 D) 34 E) 38

Çözüm:

lık madeni

50 kuruşluk para sayısı: a tane olsun.

50 kuruşların toplam tutarı: 50 a kuruş olur.

100 kuruşluk para sayısı: 40 a tane ol

ur.

(1 lira 100 kuruş)

100 kuruşlukların toplam tutarı:

olur.

uruş

100 (40 a)

Kumbaradaki toplam para: (k olarak)

50 a 100 (40 a) 2500

Her tarafı 50 ye bölelim:

(Cevap C)

a 2 (40 a) 50

a 2 40 2a 50

80 a 50

a 30 bulunur.

5

Problemler

???

YAYI

NC

ILIK

ÖRNEK SORU

1

5

www.

filo

zof.

com

.tr

Bir çalışan 1 aylık maaşının ini ev kirasına,

kalanın 1

4 ini araba taksidine ve kalanın

2 ünü

3

mutfak masrafına ayırıyor.

Geriye çalışanı ı kaldığına göre, bu

A) B)

Çözüm:

Ev kirası

n 320 lirasçalışanın aylık kazancı kaç liradır?

1600 1200 C) 800 D) 700 E) 600

l. Yol:

Çalışan aylık kazancı: 5 x lira olsun.

: 1

5 x x5

lira

aksiti:

Kalan parası: 5 x x 4 x lira

Araba t 1

4 x x lira4

Kalan parası

Mutfak masrafı

: 4 x x 3 x lira

: 2

3 x 2 x lira3

Kalan parası:

kazancı

1600 lira olur.

e gösterelim

3 x 2 x x 320 lira

Çalışanın aylık : 5 x 5 320

ll. Yol:

Çalışanın maaşını şekil il .

Ev kirası

1

5

Maaşının tamamı 5 parça

Araba taksiti

1

4

Kalan para

Mutfak masrafı

2

3

Kalan para

En son kalan

320 lira

Toplam para:

320 320 320 320 320

Toplam para:

(Cevap A)

5 320 1600 lira

ÖRNEK SORU

Bir salona 12 büyük ve 8 küçük masa veya 10 büyük ve 12 küçük masa atılabiliyor.

Buna göre, bu salona küçük masalardan kaç tane atılır?

A) 10 B) 18 C) 24 D) 30 E) 32

Çözüm:

Salonun kapasitesi veya

Salonun kapasitesi =

Salon aynı salon olduğundan salon kapasit leri

12 B 8 K

10 B 12 K

eeşittir.

12 B 8 K 10 B 12 K

12 B 10 B 12 K 8 K

2 B 4 K

B 2 K

Bir büyük masa 2 küçük masa kadar yer kaplı-yormuş. Hepsinin küçük masa olması istendi-ğinden

Salonun kapasitesi 12 B 8 K

12 (2 K) 8 K

24 K 8 K

32 K

Buna göre bu salona 32 tane küçük masa atılır.

(Cevap E)

ÖRNEK SORU

2

7

dı

si su ile dolu olan bir kabın ağırlığı 5 kg

r. Kap tam dolu iken tüm ağırlık 15 kg oldu-

Çözüm:

ğuna göre boş kabın ağırlığı kaç kg dır?

A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3

her biri x kg

kabın ağırlığı k kg olsun

+

2x + k 5

+

7x + k 15

/2x + k 5 7x + k 15 +

5x 10 x 2 dir. k 1 kg dır.

Beraber çözüm yapılırsa

her biri x kg

(Cevap A)

6

Problemler

www.

filo

zof.

com

.tr

YüzBun dır.

e ,erhangi ikisinin verilip üçüncü-

ı şeklindedir.

B’nin %a sı P olsun. (%a ifadesi “yüzde a” diye okunur.)

Yukarıdaki ifade matematiksel olarak,

YÜZDE PROBLEMLERİ

de problemlerinde genel olarak üç ifade vardır. lar: “temel sayı, yüzde oranı ve yüzde payı”

Yüzde probl mleri; “temel sayı” “yüzde oranı” ve “yüzde payı”ndan hsünün sorulmas

aB P

100 şeklinde gösterilir.

Bu formüldeki,

B ye, temel sayı;

a ya, yüzde oranı;

P ye, yüzde payı adı verilir.

Yüzde 27, aşağıdaki ifadelerden biri ile gösterilir.

270,27

100 %27

UYARI

Yüzde problemlerini çözerken yüzdesi alınmak

istenen sayı 100x şeklinde alınırsa soru daha ko-lay çözülebilir.

ÖRNEK

F sayısı A sayısının %30’u, A sayısı da D sayı-

F’ye oranını bulalım.

A sayısı D nin %70 i ise, A 70 olur.

sının %70 idir.

Buna göre, D’nin

Çözüm:

Uyarıyı dikkate alırsak,

D 100 alalım.

70 70D A 100 A A 7

100 100 0

F sayısı A nın %30 u ise,

30 30

F A 70 21 bulunur.

100 100

D nin F ye oranı,

D 100olur.

F 2

UYARI

olan çokluklar arasında sağAynı türdenkarşılaştırma

lıklı bir ve kıyaslama yapabilmek için bü-

zdesi olarak ifade ede-yüklüklerini birbirinin yübiliriz.

ÖRNEK

İki pazarlamacıdan birincisi yapmış olduğu 250 isi ise 150 TL lik satış-

tan 9 TL kazanç elde ediyor.

Buna göre, bu iki pazarlamacının hangisinin aha azdır

TL lik satıştan 10 TL, ikinc

kazanma oranı d ?

Çözüm:

Buna karar verebilmek için her iki kazanılan parayı yüzde olarak ifade edelim. Bunun için orantı kuralım:

250 TL den 10 TL kazanılırsa, 100 TL den a TL

kazansın. O halde,

250 den 10 TL ise

100 den a TL olur.

Doğru orantı

250a 1000

a 4 tür.

250 a 100 10

Bu işlem, a 10 100

250 10 a a 4100 250

şeklinde de yapılabilir.

150 TL den 9 TL kazanırsa, 100 TL den k TL kazansın

150 den 9 ise

100 den k olsun

Doğru orantı

150 k 100 9

100 9k

150

k 6 dır.

1

Bu lem, y 9 1

150 9 ise y 6100 150

00

pılabilir.

iş şek-

linde de ya

7

Problemler

???

YAYI

NC

ILIK

Birinci kazanma oranı %4 iken ikinci kazanma oranı %6

www.

filo

zof.

com

.tr

dır. Buna göre, 1. pazarlamacının ka-zanma oranı daha azdır.

Kazanma oranı aşağıdaki gibi de bulunabilir.

1. pazarlamacı için, 10 1 1 4 4

%4250 25 25 4 100

tür.

2. pazarlamacı için,

9 3 3 2 6

%6 dır.150 50 50 2 100

ÖRNEK SORU

x sayısı y sayısının %60 dır.

una göre, B x 3y

4x y

oranı kaçt

A)

ır?

18

5 B) 3 C)

18

7 D)

18

11 E) 4

Çözüm:

6 0x y

10 05x 3y

x 3x 3k ve y 5k alınabilir.

y 5

x 3y4x y

denkleminde x ve y yi yazarsak

x 3y 3k 3 5k

4x y 4 3k 5k

3k 15k

12k 5k

18k

7 k

ÖRNEK SORU

Bir öğrenci, elindeki kitabın önce %10 unu, daha sonra da kalan sayfaların %30 unu okumuştur.

una göre, kitabın toplam yüzde kaçını oku-muştur?

A) 27 B) 32 C) 37 D) 41 E) 46

Çözüm:

Kitap 100 sayfalık olsun. Öğrenci, önce %10 unu yani 10 sayfasını okumuş ve geriye

0 90 sa a kalmıştır.

Daha sonra kalan sayfaların %30 unu yani

B

100 1 yf

3090 27

100 sayfasını okumuştur.

Toplamda 10 + 27 37 sayfasını okum

Kitap 100 sayfa olup toplamda 37 sayfasını okuduğu için, kitabın %37 sini okumuştur.

(Cevap C)

uştur.

ÖRNEK SORU

Bir sınıftaki öğrencilerin %40 ı erkektir. Kız öğre ilerinin sayısı 48 olduğuna göre, sınıf

çtır? nc

mevcudu ka

60

%60 kız olur.

Sınıf mevcudu x olsun

A) 60 B) 70 C) 80 D) 120 E) 1

Çözüm:

%40 erkek ise

18olur.

7

(Cevap C)

60x 48 (kız öğrencilerin sayısı)

100

6x 48

10

x 80

(Cevap C)

8

Problemler

www.

filo

zof.

com

.tr

KÂR – ZARAR PROBLEMLERİ

Alış Fiyatı (Maliyet) A

elim.

atış Alış + Kâr)

ş Alış Zarar) ile hesaplanır.

Satış Fiyatı S

Kâr K

Zarar Z ile göster

Satış fiyatı, alış fiyatına kâr eklenerek veya alış fiyatından zarar çıkarılarak bulunur. Yani;

S A + K, (S

S A Z, (Satı

UYARI

Kâr-zarar problemlerinde, kâr veya zarar daima alış fiyatı (maliyet) üzerinden hesapl ır.

an

ÖRNEK

mağazacı bir gömleği 5 TL den aldı. 1 T Bir L kâr sattı.

TL lik kârını 5 TL (alış fiyatı) de etti. Bu mağazacının kâr oranı

bıraktı ve 5 + 1 6 TL ye

Bu mağazacı 1 üzerinden el

5 TL de 1 TL ise

Doğru orantı

100 TL de x TL dir.

x 20 olur.

5 x 100 1

Kâr oranı %20 dir.

UYARI

Kâr-zarar problemlerinde indirim veya zam he-saplanırken daima satış (etiket) fiyatı üzerinden

planır.

hesa

ÖRNEK SORU

Kampanya yapan bir satış yeri, fiyatlarda %3 0 indirim yapıyor. İlk ay satışın az olduğu görülün-ce ikinci ay indirimli fiyatlar üzerinden %20 indi-rim daha yapılıyor.

Buna göre, satış yeri s ibinin yaptığı tüm indirim yüzde kaçtır?

B) 50 C) 45 D) 44 E) 25

Kampanya yapılmadan önce bir malın etiket fiyatı 100 TL olsun. 100 TL den ilk ay %30 indi-rim yapılırsa indirim 30 TL olur. Bu durumda ma-

ah

A) 51

Çözüm:

lın fiyatı 70 TL olur.

70 TL den %20 indirim yapılırsa indirim

20

70 14 TL100

olur.

Toplam indirim 100 TL de 30 + 14 44 TL dir.

Buna göre, satış yeri sahibinin yaptığı tüm indi-rim %44 tür.

(Cevap D)

ÖRNEK

Bir pantolon %25 kârla 60 TL ye satılıyor. Bu

aliyeti (alış fiyatı) A TL olsun.

pantolon %15 zararına kaç TL ye satılmalıdır?

Çözüm:

I. Yol:

Pantolonun m Bu pantolon %25 kârla 60 TL ye satılıyor ise,

100 25A 60

100

125

A 60100

100

60A

125

A 48 dir.

Bu pantolon %15 zararına x TL ye satılıyor ise

100 15A

x

100

8548 x

100

x 40,

r Satış

Alış Zarar Satış

%100 %15 %85

x TL

8

II. Yol:

Alış + Kâ

%100 %25 %125

60 TL

%125 60 TL ise

Doğru orantı

%85 x TL dir.125 x 60 85

60 85x

125

x 40,8 di r.

9

Problemler

???

YAYI

NC

ILIK

ww

w.fi

loz

ÖRNEK SORU

of.c

om.t

r

Bir bakkal bir malı %50 kârla satarken satış fiyatı üzerinden %20 indirim yapıyor.

Buna göre, bu bakkal bu maldan % kaç kâr

) 30 D) 40 E) 50

00 TL olsun. %50 kârla satış L nin üzerinden %20 indi-

etmiştir?

A) 10 B) 20 C

Çözüm:

Bu malın maliyeti 1fiyatı 150 TL dir. 150 T

rim 15 0 2 0

100 30 TL dir.

150 30 120 TL yeni satış fiyatımız ır.

Bakkal bu maldan %20 kâr etmiştir.

(Cevap B)

d

ÖRNEK SORU

Bir malın 1

3 ü %50 kârla, kalanı ise %10 zararla

satıl

Buna i

ıyor.

göre, bu satıştak kâr - zarar durumu

)%20 zarar

D) %20 kâr E) %30 zarar

Çözüm:

3 tane malımız olsun bunların her birinin maliyet100 TL olsun. Toplam maliyetimiz 300 TL

aşağıdakilerden hangisidir?

A) %10 zarar B) %10 kâr C

i

100 150 90 1001 2 150 180 330

100 100

mizdeki toplam para)

(eli-

300 30 kâr

100 x

doğru orantı

x 10 %10 kâr

ÖRNEK SORU

Bir tüccar aldığı iki maldan birisinin maliyeti diğerinin üç katıdır. Tüccar maliyeti yüksek olan malı %20

ın

zararla ve maliyeti düşük olan malı

ği zarar % kaçtır?

2 4 E) 5

%50 kârla satıyor.

Buna göre, tüccarın bu satıştan etti

A) 1 B) C) 2,5 D)

Çözüm:

Maliyeti yüksek Maliyeti düşük

300 TL 100 TL

240 TL 150 TL

%20 zararla %50 kârla

ir. (Satış sonrası elimizdeki para)

240 + 150 390 TL d

400 TL 10 TL zarar

100 x

doğru orantı

x 2,5 %2,5 zarar

(Cevap C)

ÖRNEK SORU

Bir satıcı bifiyatı üzerin

r malı %40 zararla satarken satış den %80 artış yaparak ürünü

216 TL’ye satıyor.

Buna göre, bu malın maliyeti kaç TL dir?

A) 150 B) 180 C) 200 D) 210 E) 240

ti 100x olsun.

100x %40 zararla satışı 60x dir.

60x %80 artış yapılırsa 108x olur.

Çözüm:

Maliye

100 80 180

60 x 60 x 108 x tir.100 100

2

Maliyet 200 TL dir.

(Cevap C)

108x 216, x

(Cevap B)

10

Problemler

www.

filo

zof.

com

.tr

FAİZ PROBLEMLERİ

Faiz problemlerini yüzde problemi çözüyormuş gibi aynı mantıkla çözebiliriz. Çünkü faiz oranları da yüzde üzerinden veriliyor. Örneğin; “yıllık faiz

oranı %40 tır” gibi…

ÖRNEK

500 TL yıllık %40 yatırılıyor.

faiz oranı üzerinden bankaya

kaç TL faiz getireceğini bulalım.

faiz oranı üzerinden bankaya onunda kazanılacak faiz:

Bu paranın,

a) 3 yıl sonunda

b) 4 ay sonunda

Çözüm:

500 TL yıllık %40 yatırılırsa; bir yılın s

40500 200 TL dir.

100

a) Üç yıl :

ın sonunda kazanılacak faiz

600 TL dir. 3 200

b) 4 ay sonunda kazanılacak faiz:

1 yılda (12 ayda) 200 TL ise,

1 ayda 200

TL12

4 ayda 200 200

4 TL ol12 3

ur.

en faiz miktarı,

apital),

%)

aranın faizde kalma süresi

a süresi

ak anaparanın faizde kalma süresi

Kural:

F: Elde edil

A: Anapara (K

n: Yıllık faiz fiyatı (

t1: Yıl olarak anap

t2: Ay olarak anaparanın faizde kalm

t3: Gün olarolmak üzere,

1n

F A t olur. (Yıllık faiz) 100

2A n tF olur.

1200 (Aylık faiz)

3A n tF olur.

(Günlük faiz)

36000

ÖRNEK SORU

4000 TL yıll ankık %15 faiz oranı ile b aya yatırılı-yor.

sonra para, faizi ile beraber 4500 TL

8 D) 10 E) 11

fa-

Kaç ay olarak çekilir?

A) 4 B) 6 C)

Çözüm:

Para 4000 TL yatırılmış ve 4500 TL olarak çe-kilmiştir. Aradaki fark, 4500 4000 500 TLizdir.

n tF A

100

12

15 t4000

100 12

40

500

5010 100 3 5 t

100

3 4

50

0 10 5 t

500 50 t

10 t dir.

(Cevap D)

ÖRNEK SORU

Deniz, yıllık %25 faiz oranı üzerinden bankaya bir miktar para yatırıyor.

Buna göre, kaç yıl sonra yatırılan bu para kendisinin 4 katı kadar faiz getirir?

A) 32 B) 16 C) 12 D) 8 E) 4

Yatırılan para x TL olsun.

Çözüm:

A n tF

100

kurabiliriz.

formülü yardımıyla şöyle bir denklem

x 25 t t4x 4

100 4

t 16 yıl olarak bulunur.

(Cevap B)

11

Problemler

???

YAYI

NC

ILIK

ÖRNEK SORU

www.

filo

zof.

com

.tr

4000 TL nin yıllık %40 dan 3 yılda getirdiği faiz X TL ve X TL nin yıllık %30 dan 2 yılda

getirdiği faiz Y TL olduğuna göre, X + Y top-lamı kaç TL dir?

A) 2880 B) 3000 C) 4800

D) 6680 E) 7680

Çözüm:

A n t

F

f100

ormülü yardımıyla

4000 40 3

X 40 40 3 4800 TL0

bulunur.

X 4800 T

10

L nin yıllık %30 dan 2 yılda getirdiği faiz ise,

4800 30 2Y 48 3

100

2880 TL dir.

0 2

Y 2880 TL bulunur.

X + Y 4800 + 2880 7680 TL dir.

(Cevap E)

ÖRNEK SORU

800 TL’nin bir kısm ı A bankasına yıllık %20 den eri kala k %10 ğına r yıl - 14 ıştır.

A bankasına yatırılan para kaç TL dir?

A) 200 B) 400 C) 500

D) 600 E) 750

ına yatırılan miktar x TL olsun.

B Bankasına yatırılan miktar ise 800 x TL dir.

1 yıllığına, g nı da yıllı dan B ban-kasına 1 yıllı yatırılıyor. Bi sonra her ikisinden toplam 0 TL faiz alınm

Buna göre,

Çözüm:

A Bankas

x 20 1 (800 x) 10 1140

100 100

2x 800 x140

10 10

ÖRNEK SORU

Bir bankaya, yıllık %60’tan beş yıllığı na yatırılan

r.

, alına apara

60 C) 80 D) 100 E) 120

n

para beş yıl sonunda faizi ile birlikte 160 TL ol-muştu

Buna göre n faiz an dan kaç TL fazladır?

A) 40 B)

Çözüm:

Yatırılan para x TL ve 5 yıl sonunda elde edilefaiz F olsun.

x F 160 TL dir.

x 60 5F F

100

3x

x + F 160 denklemin e F 3x yazarsak,

x + 3x 160

4x 160

x 40 TL dir.

F 120 TL dir.

F x 120 40 80 olur.

Faiz anaparadan 80 TL fazladır.

d

(Cevap C)

ÖRNEK SORU

Faiz oranı yıllık %30 olan bir bankaya yatırılan

r.

Buna göre, bank a yatırılan para kaç TL’dir?

A) 1500 B) 1350 C) 1200

ırılan para x TL olsun.

bir miktar paranın, 12 gün sonunda faizi 15 TL olarak çekiliyo

ay

D) 1050 E) 150

Çözüm:

Bankaya yat

800 x 2x 1400

x 800 1400

x 600 TL dir.

(Cevap D)

x 3 015

123600 0

A n tF günlük faiz

36000

36 x

15

3600

x 1500 TL dir.

(Cevap A)

12

Problemler

www.

filo

zof.

com

.tr

KARIŞIM PROBLEMLERİ

Kural:

Ağırlıkça tuz oranı %x olan A gramlık bir karı-

şımdaki tuz miktarı x

A dır.100

Bir tuzlu su karı şımındaki tuz oranı %x ise, su

Karışıma giren madde miktarlarının toplamı son add şittir

oranı %(100 x) tir.

karışımdaki m e miktarına e .

Saf M

Karışım Ora .O) adde Miktarı

nı (KTüm Madde Miktarı

Saf madde; tuz, şeker, alkol vb…

Tüm madde; karışıma katılan tüm maddelerin top-lamı

ÖRNEK

Tuz o karışı-mında .

ranı %40 olan 70 gramlık tuz-suki tuz ve su miktarlarını bulunuz

Çözüm:

Tuz oranı %40 olan 70 gramlık karışımda,

40 70 4070 2 v

8 gram tuz ar dır.100 100

90 28 42 gram su vardır.

ÖRNEK SORU

Alkol oranı %40 olan 50 litre alkol - su karışı-

50

Çözüm:

I. Yol

itrelik karışımdaki alkol miktarı,

mına 10 litre alkol karıştırılırsa, karışımın al-kol oranı yüzde kaç olur?

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E)

Alkol oranı %40 olan 50 l

40

50 20 litredir.100

20 litre alkol olan 50 litrelik karışıma 10 litre alkol katılırsa, oluşan 50 + 10 60 litrelik karışımın 20 + 10 30 litresi alkol olur.

En son karışımın alkol oranı %a olsun.

60 litrenin 30 litresi alkol ise, 100 litrenin a litresi alkoldür. Bu orantı aşağıda gösterilmiştir.

Doğru orant

60 de 30 ise

100 de a dir.

ı

60a 100 30

100 30a

60

a 50 dir.

II. Yol

alkol oranı %100 dür.

karışımın alkol oranı %a olsun.

10 litre alkolün

En son

Verilenlere göre, alkol miktarlarının eşit olduğunu kullanırsak;

40 100 a50 10 (50 10)

100 100 100

50 40 10 100 (50 10) a

2000 1000 60 a

3000 60 a

50 a dır.

Kural:

Tuz (saf madde) oranı %a olan K gram tuz - su karışımı ile tuz (saf madde) oranı %b olan N gram tuz - su karışımı karıştırılıyor. Oluşan karışımın oranı %x ise, bu denklemi kuralım.

(Cevap E)

%a %b %x

N) gramK gram N gram (K +

+

a K b N x (K N) olur.

13

Problemler

???

YAYI

NC

ILIK

ww

w.fi

loz

f.co

m.t

r o

Eğer karışıma tuz (saf madde) eklenirse, ekle-nen maddeni

n (saf madde) tuz oranı %100 olur.

Eğer karışıma su eklenirse, suyun tuz oranı %0 olur.

Eğer karışımdan su buharlaştırılırsa, değişen sadece su miktarı olur, tuz (saf madde) miktarı değişmez. Toplam madde miktarı da azalır.

Karışıma A gram tuz (saf madde) eklenirse,

Karışım Oranı Saf Madde Miktarı + A

A

Tüm Madde Miktarı +

(Tuz Oranı)

(Su, sadece tüm madde miktarına eklenir.)

ÖRNEK SORU

30 litrelik alkol - su karışımının alkol oranını %25’ten %40 a çıkarmak için, karışımdan kaç litre su buharlaştırılmalıdır?

A) 18

5 B)

24

5 C)

41

4

D) 45

4 E) 15

Çözüm:

Kuralı uygularsak:

%25 Alkol - su

30 litre x litre

%40 %0

Su Alkol - su

(30 x) litr

Su buharlaştırıldığı için () yaptık, çıkardık.

e

30 25 x 0 (30 x) 40

30 25 (30 x) 40

Her iki tarafı 10 a bölersek

30 25 (30 x) 40

10 10

3 25 (30 x) 4

75 30 4 4 x

75 120 4x

4x 120 75

45x litre olur.

(Cevap D)

4

ÖRNEK SORU

Kilogramı 20 TL olan ceviz ile kilogramı 15 TL olan üzümden 400 gramlık bir karışım alınarak 7,5 TL ödenmiştir.

Buna göre, alınan karışımda kaç gram ce iz

350 B) 300 C) 270

D) 200 E) 150

Çözüm:

Ceviz

vvardır?

A)

Üzüm

x gr 400 x gr

x 20 (400 x) 157,5

1000 1000

1 kg 1000 gr 1000 gr 20 TL ise

201 gr TL

1000

20 xx gr TL dir.

1000

1 kg 1000 gr 1000 gr 15 TL ise

151 gr TL

1000

15 (400 x)(400 x) gr TL dir.

1000

7,51000 1000

20x 6000 15x 7500

5

x 20 (400 x) 15

x 1500

(Cevap B)

x 300 gr Ceviz

ÖRNEK SORU

Şeker oranı %20 olan 80 gramlık homojen şe-kerli su karışımının %50’si dökülüyor. Dökülen miktar kadar şeker ilave ediliyor.

Buna göre, son durumda karışımın su oranyüzde kaçtır?

A) 70 B) 60 C) 50 D) 45 E) 40

ı

14

Problemler

www.

filo

zf.

com

.tr

Çözüm:

Bu sorunun şekil olarak gösterimi:

o

%20 80 gr

Şeker-su

- %20 40 gr

Şeker-su

+ %100 40 gr

Şeker

= %x 80 gr

Son durumŞeker-su

her tarafı 10 a bölersek

%60 şeker

%40 su

20 80 20 40 100 40 x 80

2 80 2 40 10 40 8 x

160 80 400 8x

480 8x

x 60 bulunur.

(Cevap E)

ÖRNEK SORU

%40 ı su olan k litrelik bir karışıma 30 litre daha su ilave ediliyor.

Elde edilen karışımın %60 ı su olduğuna göre k kaçtır?

60 D) 65 E) 70

Çözüm:

Su miktarını göz önünde bulundurarak denklemi yazalım.

A) 45 B) 50 C)

Su miktarı

40 100 60k 30

100 (k 30)

100 100

Su miktarı

(Cevap C)

k 40 30 100 (k 30) 60

40k 3000 60k 1800

1200 20k

60 k bulunur.

ÖRNEK SORU

%30 u alkol olan 80 litrelik alkol-su karışımına 10 litre alkol ve 20 litre su katılırsa yeni karı-

ışımın alkol oran yüzde kaç olur?

A) 340

11 B)

240

11 C)

200

11

D) 160

E) 140

11

11

Çözüm:

tarını göz önünde bulundurarak denk-Alkol miklemi yazalım.

Alkol miktarı

3080

100 0 x10 20 (80 10 20)

100 100 100 100

Alkol miktarı

80 30 10 100 20 0 (80 10 20) x

2400 1000 0 110x

3400 110x

34

0x bulunur.

11

(Cevap A)

15

Problemler

???

YAYI

NC

ILIK

YAŞ PROBLEMLERİ

Yaş problemlerinin temel mantığı, yıllar geçtikçe her insanın yaşının geçen yıllar kadar artacağı veya önceki yıllarda aynı yıl kadar eksik olacağıdır. Buyüzden iki kişinin yaşları farkı daima sabit kalacaktır.

www.

filo

zof.

com

.tr

Bu kurallar göz önünde bulundurularak verilen prob-leme uygun denklemler yazılır.

Yaş problemlerinin çözümünde aşağıdaki bilgileri kullanırız.

Bir kişinin bugünkü yaşı x ise,

t yıl sonraki yaşı, x + t ve

t yıl önceki yaşı, x t dir.

n tane kişinin yaşları toplamı T ise,

t yıl sonra yaşları topla ı

t yıl önceki yaşları toplamı

İki kişinin yaşlarının fa ı yıllara göre değişmez. Bu durumda, iki kişinin yaşlarının farkı daima sabittir.

İki kişinin yaşlarının or ı yıllara göre değişir. Bu durumda, iki kişinin y larının oranı sabit değil-dir. Yaşları oranı sabit ise bu iki kişinin yaşları birbirine eşittir.

-

m , T n t ve

, T n t dir.

rk

anaş

ÖRNEK

Ali, Veli ve Kemal’in bugünkü yaşları toplamı 57 dir.

Buna göre, bu üç kişinin 4 yıl sonraki yaşları toplamı kaçtır?

Çözüm:

Bugünkü yaşları toplamı 57 olan Ali, Veli ve Kemal’den her birinin 4 yıl sonraki yaşı 4 arta-caktır.

y Buna göre, bu üç kişinin 4toplamı,

ıl sonraki yaşları

olur.

57 4 4 4 57 3 4 57 12 69

ÖRNEK

Özgül’ün yaşı, Özgür’ün yaşının 3 katından 3

?

üm:

Verilere göre tablo yapalım:

4 yıl önceki yaşı

Şimdiki yaşı 5 yıl sonraki yaşı

fazladır.

4 yıl önce Özgül ile Özgür’ün yaşları toplamı 27 olduğuna göre, 5 yıl sonra Özgül kaç ya-şında olacaktır

Çöz

Özgül (3x + 3) 4 3x + 3 (3x + 3) + 5

Özgür x 4 x x + 5

yaşı x olsun. Özgül’ün yaşı ının 3 katından 3 fazla olduğundan, ) yaşındadır.

4 + x 4 olur.

+ x 4 27

4x 5 27

4x 32

x 8 olur.

yıl sonra Özgül 3x + 3 + 5 3x + 8

3 . 8 + 8

24 + 8 32 olur.

Özgür’ün şimdikiÖzgür’ün yaşÖzgül (3x + 3

Tablodan 4 yıl önceki yaşlarını toplarsak, toplam

(3x + 3)

Toplam 27 verildiğine göre,

3x + 3 4

5

ÖRNEK SORU

aşları toplamı 45 tir.

Didem, -la 9 yaşıy

A B C) 27 D) 32

Didem’in yaşı 45

yla Didem

Leyla ile Didem’in bugünkü y

Leyla’nın bunda olduğuna

günkü yaşın göre, Ley

dayken, Leyla bugün kaç

aşındadır?

) 18 ) 25 E) 34

Çözüm:

Leyla’nın yaşı x olsun. Leyla ile Didem’in yaşla-rı toplamı 45 olduğuna göre,x olacaktır. Buna göre,

Le

Bugünkü yaşı x 45 x

t yıl önceki yaşı 9 x

Bu iki kişinin yaşları farkı daima sabit olduğu için,

(Cevap A )

2x x 9 45

x (45 x) 9 x

x 45 x 9 x

3x 54

x 18

16

Problemler

ÖRNEK SORU

www.

filo

zof.

com

.tr

Bir baba 29 yaş dadır ve iki çocuğunun yaşları

ıntoplamı 7 dir.

Buna göre, kaç yıl sonra babanın yaşı iki çocuğunun yaşları toplamının 2 katına eşit olur?

A) 2 B) 5 C) 7 D) 9 E) 10

Çözüm:

Baba Ç1 + Ç2

29 7

x yıl sonra 29 + x 7 + 2x

2 (7 + 2x)

2

5 yıl sonra babanın yaşı iki çocuğun yaşları toplamının 2 katı olacaktır.

(Cevap B)

9 + x 2

9 + x 14 + 4x

15 3x

x 5

ÖRNEK SORU

Zehra ile Selçuk’un yaşları toplamı 63’tür. Zehra Selçuk’un yaşına geldiğinde Selçuk 42 yaşında olacaktır.

Buna göre , Zehra’nın şimdiki yaşı kaçtır?

C) D) E)

35 40 47 A) 28 B) 30

Çözüm:

Zehra Selçuk

42 63 x

x 63 x olsun

aman sabit olacağından

42 (63 x)

21 + x

ın yaşı

yaşları farkı her z

(63 x) x

63 2x

3x 84

x 28 Zehra’n

(Cevap A)

ÖRNEK SORU

Sema ile Sare’nin yaşları toplamı 58’dir. Se-ma’nın yaşı Sare’nin yaşının iki katından 29 eksik olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

le Sare’nin yaşları aynıdır.

A) Sema ile Sare ikizdir.

B) Sare Sema’dan üç yaş büyüktür.

C) Sema i

D) Sare doğduğunda Sema iki yaşında idi.

E) Sare, Sema’dan 4 yaş büyüktür.

Çözüm:

Sema Sare

2x 29 x

Sema + Sare 58

2x 29 + x 58

3x 87

x 29

Sema

Sare

29 29

(Cevap C)

ÖRNEK SORU

Said 1960 yılında doğmuştur. Said Ebrar’dan 6 yaş büyüktür, Zeynep’ten

de 12 yaş küçüktür.

nep’in doğum yılları inde doğru olarak ve-

Buna göre, Ebrar ile Zeyaşağıdakilerden hangisrilmiştir?

Ebrar Zeynep

A) 1966 1958

B) 1954 1972

C) 1944 1976

D) 1966 1948

E) 1948 1966

Çözüm:

Said Ebrar

1966 1960

x + 6 x

Zeynep

1948

x + 18

(Cevap D)

17

Problemler

???

YAYI

NC

ILIK

HAREKET PROBLEMLERİ

Hız ve hareket problemlerinde birbiriyle alakalı üç temel unsur vardır.

Bunlar;

2.

Hayol an hız ile yol doğru orantılı değişken-

Hız abit ir yolu tmek için gereken zam ağ an hı aman ters orantılı değ .

şke arasın kiyi veren formül;

1. Hareketlinin hızı (v)

Hareketlinin aldığı yol (x)

www.

filo

zof.

com

.tr

3. Hareket süresince geçen zaman (t)

reketlinin hızı arttıkça sabit bir zamanda, alınan artacağınd

lerdir.

arttıkça s b kat ean azalac ınd z ile zişkenlerdir

Bu üç deği n daki iliş

YoHız , şeklinde

l xv

n t dir.

Problemde istenenlere göre formül,

Zama

Yol Hız Zaman, x v t veya

Yol xZaman , t şeklinde de kullanılabilir.

Hız v

UYARI

rmülleri üçgen çizerek kolayca aklımBu fo ızda tu-tabiliriz.

x

v t

nur. Örneğin; x isteniyorsa, x

kapatılır ve v ile t yan yana

olduğu için çarpılır.

n ifade kapatılarak,

alanlar çarpılarak veya

n ifade bulu-

İstenile

geriye k

bölünerek istenile

ÖRNEK

Bir hareketli, A kentinden B kentine saatte 80 km hızla 7 saatte varıyor.

Buna göre, A kenti ile B kenti arasındaki zaklık kaç km dir?

Çözüm:

I. Yol:

İstenen, yol (x) ? km olmak üzere,

u

Verilenlere göre, hız (v) 80 km/saat, süre (t) 7 saattir.

x v t 80 7 560 km dir.

II. Yol:

x

v t

Yolu (x) bulmak istiyoruz. x i

kapatırsak; v ile t yan yana

olduğu için çarparız.

x v t 80 7 560 km olur.

ÖRNEK

480 km lik bir yolu 10 saatte alan bir aracın hızı saatte kaç km dir?

Çözüm:

x zaman (t) alt alta olduğu için

bu i

v t

patalım. Yol (x) ve

fadeleri böleriz. Yani;

Hızı (v) ka

xv olu

t r.

x 480 km, t 10 saat ise,

480V 48 km / sa olur.

10

ÖRNEK

ızını 20 km azaltara Bir tren saatteki h k 240 km lik yolu 2 saat daha geç bir zamanda gidiyor.

Trenin ilk hızı kaç km/saat tir?

Çözüm:

YolHız

Zaman

xYani, v dir.

t

x 240 olduğundan 240

v dir. () t

, hız 20 km azalınca zaman 2 saat artıyor.

Aynı şekilde

18

Problemler

www.

filo

zf.

com

.tr

o

240v 20

t 2 (

() ve () dak

)

i denklemleri eşitlersek;

240 240 240 240v 20

t t 2 t t 2

20

(t 2) (t)

1 1240 20

t t 2

1 1 20

t t 2 240

t 2 t 1

t (t 2) 12

2 1

t (t 2) 12

t (t 2) 2 12

t (t 2) 2 4

t (t 2) 4 6

t 4 olur.

renin ilk hızıT , 240 240

v 60 km / st 4

aat tir.

Kural:

v1 v2 x

A B

arala-

rında x km bul alarından aynı anda rbirlerine doğru hareket ettiklerinde k rşılaşma

süresi t saat olsun. Bu iki araç arasındaki yolun uzunluğunun, hızlar toplamına oranı t’ye eşittir. Buna göre,

Saatteki hızları 1 2v km ve v km olan iki araç

unan A ve B noktbi a

1 2 1 2

AB xt d

v v v v

ir.

ÖRNEK SORU

Aralarında 600 km uzaklık bulunan iki hareketli-den birinin hızı 80 km/sa, diğerinin hızı 70 km/sa dır.

Bu iki hareketli aynı anda birbirine doğru hareket ettikten kaç saat sonra karşılaşırlar?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Çözüm:

l. Yol:

A B

600 km

M

v1 70 km/saat v2 80 km/saat

sonra ka

Bu verilere göre,

Hareketliler t saat rşılaşsınlar. Bu du-rumda karşılaşma gerçekleştiğinde iki aracın git-tiği toplam yol 600 km dir.

Hızı 70 km/saat olan aracın gittiği yol, 70 t dir.

Hızı 80 km/saat olan aracın gittiği yol, 80 t dir.

70 t 80 t 600

150 t 600

t 4 bulunur.

ll. Yol:

Yukarıdaki kurala göre yapalım.

1 2

1 2 1 2

x 600, v 80 km / sa, v 70 km / sa ise,

AB x 600 600t 4 saat

v v v v 80 70 150

(Cevap C)

Kural:

A

Çevre x

v1 v2 Saatteki hızları v

olan iki araç çevre unl

km olan daires zı

(birbirlerine do

lerinde karşıla

olsun. Çemb

hızlar toplamın t

1v km

uz

el pistte

ğru) harek

şma süresi t s

erin çevres

anı

e 2v km

uğu x

t yönde

et ettik-

aat

inin,

ye eşit-a or

tir. Yani, 1 2

Çevre (x)t dir.

v v

ÖRNEK SORU

Çevresi 3600 metre olan dairesel bir pistte aynı aynı anda ve zıt yönde harekete baş-

ki hareketlinin hızları sırasıyla; 34

Hareketliler kaç dakika sonra karşılaşırlar?

A) 41 B) 43 C) 45 D) 47 E) 48

noktadan,layan im/dakika ve 46 m/dakika dır.

19

Problemler

???

YC

ILIK

A

YIN

www.

filo

zf.

com

.tr

o

Çözüm:

Yol: I.

A

x1 Ç

x2

3600 m

B

v1 34 m/da v2 46 m/da Aynı anda A noktasın-

dan hareket

reketliler (hızları v1 34 m/dakika ve v2 46

m/dakika olan hareket-

ıyla 2

Buna göre,

t dir. (

t dir. (

() deki denklem ile () deki denklem taraf ta-rafa toplanırsa,

II. Yol:

Yukarıdaki kural ygulayalım.

liler sıras x

eden ha-

1 ve x

yollarını aldıktan sonra)

B noktasında t dakika

sonra karşılaşsınlar.

)

)

1x 34

2x 46

1 2x x 80 t

3600 80 t

t 45 olur.

ı u

Çevresi 3600 m olan çembersel bir pistin bir A noktasından, aynı anda ve zıt yönde harekete başlayan iki hareketlinin hızları 34 m/dakika, 46 m/dakika ise karşılaşma süresi,

1 2v v 34 46 80

Çevre(x) 3600 3600t 45 dakikadır.

(Cevap C)

Kural:

v1 km/saat v2 km/saat

A C B

v1 > v2

Saatteki hızları v1 km ve v2

rında x km bulunan A ve B n a et ettiklerinde arkadaki aracın

üresi t saat olsun. Bu iki racın aralar n uzunluğunun hızlar farkına

ranı t ye eşit re,

km olan iki araç arala-oktalarından aynı and

aynı yönde hareköndeki aracı yakalama sa ındaki yolu

o tir. Buna gö 1 2

ÖRNEK SORU

A ve Bhareket ede

noktalarından aynı anda ve aynı yönde n iki aracın saatteki hızları sırasıyla

55 ve 45 km’dir.

AB 90 km

olduğuna göre, A’dan hareket eden aracın B’den hareket eden aracı ya

kalama süresi

kaç saattir?

A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 10

Çözüm:

l. Yol:

55 km/sa

A C B

15 km/sa

Hareketliler harekete geçtikten t saat sonra C’ye gelmiş olsunlar (A aracı B aracını C de yakala-dı).

ABt dir.

v v

AC 55 t dir. ()

BC 45 t dir. ()

AB 90 km ise

AB AC BC

90 55 t 45 t

90 10 t

t 9 olur.

ll. Yol:

Kurala göre yapalım.

1 2v v 55 45 10

AB 90 90t 9 bulunur.

(Cevap D)

Kural:

A

v1

v2

Çevre

Saatteki hızları 1v km ve 2v km

x

v1 > v2

olan iki araç çevre unl

km olan dair t

d ö t

rinde hızlı ol ı

olan aracı ya

saat olsun. Çe çevr

hızlar farkı ye

Yani,

uz

esel pist

an arac

kalama

mberin

na oranı t

uğu x

e aynı

n yavaş

süresi t

esinin

eşittir.

an a aynı y ne hareke ettikle-

1 2

e (x)t d

v v

Çevr

ir.

20

Problemler

wilo

zof.

com

.tr

ww.f

ÖRNEK

Çevr esi 1470 m olan dairesel bir pistte aynı noktadan, aynı ve aynı yönde harekete başlayan iki hareketlinin hızları sırasıyla 26 m/dakika ve 12 a dır.

Hızı fazla olan hareketli kaç dakika sonra diğerine ilk kez yetişir?

Çözüm:

Yukarıdaki kurala re yapalım.

anda

m/dakik

gö

1 21 2

Çevre (x)t , (v

v v

v )

oldu- 1v 26 2m / da, v 12 m / da, x 1470 m

ğuna göre,

1470 1470

t 105 dakika 26 12 14

(Dikkat edilirse hızlı olan 2. turunuyavaş olan 1. turunu atmaktadır. Yani hızlı olan 1 tur fazla atmıştır.)

Kural:

atmakta,

A B

vy Nehir

Nehirde A noktasından B noktasına gitmek isteyen bir yüzücü için;

AB x , Nehrin akış hızı: vA, Yüzücünün hızı: vY

ve AB yolunu alma süresi t olsun.

Nehirin akış yönünde giderse;

AB (Nehrin hızı + Yüzücünün hızı) x Zaman

nünün zıddı yönde giderse;

n y 1x (v v ) t formülü bulunur.

Nehirin akış yö

AB Yüzücünün hızı Nehrin hızı x Zaman

y nx v v t formülü bulunur.

ise y nv v AB yoluna ulaşır.

bulunduğu yerde sabit kalır.

ise akıntıda sürüklenir.

y nv v ise

y nv v

ÖRNEK

Bir yüzücü, köprüd en ırmağa atlayıp, K nokta-sından L noktasına doğru akıntıya karşı 12 daki-ka yüzerek 360 metre ilerliyor. Sonra geriye dö-nüp, yere göre hızını değiştirmeden 5 dakikada atladığı K noktasına ulaşıyor.

öre, yüzücünün yere göre hızı kaç m/da dır?

Çözüm:

Yüzücünün yere göre hızı vy metre/dakika ve akıntının yere göre hızı va metre/dakika olsun.

Yüzücü, giderken akıntıyı karşısına, dö üşte ise

yere göre gidiş hızı (vy va) met-re/da

Y ızı (vy + va) met-re/dakika olur.

olu gidiş süresine böld

Buna göre,

Buna g

narkasına aldığı için,

Yüzücünün kika

üzücünün yere göre dönüş h

Gidilen yolun uzunluğunun o yüğümüzde gidiş hızını buluruz.

y a360

v v12

v 30 dur. (1) y av

y a36

0

v v5

(1) deki d emi taraf tarafa toplanırsa,

(2) y av v 72 dir.

enklem ile (2) deki denkl

y a

y a

y

y

y

v v 72

2v 30 72

2v 102

v 51 olur.

v v 30

21

Problemler

???

YAYI

NC

ILIK

İŞÇİ VE HAVUZ PROBLEMLERİ

www.

filo

zof.

com

.tr

A. İŞÇİ PROBLEMLERİ

konudaki işçi problemleri orantı konBu usundaki işçi rklı olup “birlikte iş yapma prob-

lemleri” dir.

ki işçinin bir işi b tirme süresini bulma” problemi ile ğun bir havuzu doldurma süresini bulma”

roblemi aynı matem emele dayanmaktadır.

irlikte iş yapma problemlerinde aşağıdaki bilgiler kullanılarak çözüme gidilir.

Bir işi;

Ali tek başına a s ,

irlikte işin tamamını t saatte bitirsin-ler. Buna göre,

Ali 1 saatte işin

problemlerinden fa

“İ i“iki muslup atik t

B

aatte

Veli tek başına b saatte bitirsin.

Ali ile Veli b

1

a kadarını bitirir.

saatte işinVeli 1 1

b kadar nı bitirir.

Ali ile Veli birlikte 1 saatte işin

ı

1

t kadarını bitirir-

Ali ile Veli’nin ayrı ayrı 1 saatte yaptıkları iş mik-tarlarının toplamı, birlikte 1 saatte yaptıkları iş miktarına eşittir. Buna göre,

ler.

1 1 1

a b t olur. Bu bağıntı

1 1

t 1a b

biçiminde de ifade edilebilir.

Bu ifade, Ali ile Veli beraber t saat çalışırlarsa işbitirirler şeklinde söylenebilir. Eşitliğin sağındaki 1(bir) i

i

şin bittiğinin göstergesidir.

ÖRNEK

Bir işi tek başına Zehra 8 günde, Elif 6 günde

işin kaçta kaçını yapmış olur?

bitirebiliyor.

İkisi birlikte çalışarak işi tamamladıklarına göre, Elif

Çözüm:

İkisi birlikte bu işi x günde bitirsinler.

(3) (4)

1 1x 1

8 6

3 4x 1

7x 1

24x tür.

7

24

24

Buna göre, Elif 24

x7

gün çalışmıştır.

Elif 6 günde işin tamamını ya ptığına göre,

1 günde i şin 1 24

sını, g24 1 4

ünde6 7 7 6 7

ünü

yapar.

ÖRNEK

Bir işin 4 te 3 ünü Kemal 6 saatte, aynı işin 5 te 2 sini Murat 4 saatte bitirebiliyor. Buna göre,

Kemal ile Murat birlikte bu işin tamamını kaç saatte bitirebilirler?

Çözüm:

Bir işin 4 te 3 ünü (4 parçadan 3 pamal 6 saatte, yapabiliyorsa bu kişi ay

rçasını) Ke-nı koşullar-

da bu işin;

1 parçasını 6 : 3 2 saatte,

4 parçasını (tamamını) ise saatte yapar.

Bir işin 5 te ikisini (5 parçadan 2 parçasını) Murat 4 saatte yapabiliyorsa bu kişi aynı koşullarda işin; 1 parçasını 4 : 2 2 saatte

5 parçasını (tamamını saatte yapar.

Aynı işi ikisi birlikte t saatte bitirsinler. O zaman,

2 4 8

) 5 2 10

(5) (4)

1 1 1

8 10 t

5 4 140 t

40

9 1

t

40t saat olur.

9

22

Problemler

UYARI

A, B ve C işçileri sırasıyla aynı işi x, y, z saatte birlikte ibitirsinler. Üçü

sonra C işçis

www.

filo

zof.

com

.tr

şe başladıktan m saat i işten ayrılıyor. Kalan işi A ve B iş-

çileri n saat daha çalışarak işi bitiriyorlar. Bu problemin denklemini yazalım.

1 1 1 1 1

dir. m n 1x y z x y

ÖRNEK SORU

günde, Bir işi tek başına Canan 6 Gamze 9 gün-de, Sümeyye 18 günde or. Üçü birlikte 2bitirebiliy

Geriye kal işi Canan ile Sümeyye birlikte kaç günde irebilir?

A)

gün çalıştıktan sonra Gamze ayrılıyor.

an bit

3

2 B)

4

3 C)

5

4 D)

6

5 E) 2

Çözüm:

Üçü birlikte 2 gün çalıştıktan sonra Gamze ayrı-lıyor. Kalan işi Canan ile Sümeyye x günde bitir-sinler.

Buna göre, üçü birlikte 2 gün, Canan ile Sümey-ye x gün çalışacaklardır.

(3) (2) (1) (3) (1)6 9 18 6 18

1 1 1 1 11

2 x

6 42 x 1

18 18

12 4x1

18

12 4x 18

4x 6

6 3x dir.

4 2

(Cevap A)

ÖRNEK SORU

Bir kalfa 3 günde 4 tak ım elbise, bir usta ise 4 günde 7 takım elbise dikebiliyor.

kebilirler?

A) 18 B) 20 C) 21 D) 23 E) 24

İkisi birlikte 74 takım elbiseyi kaç günde di-

Çözüm:

I. Yol:

Gün sayılarını eşitleyelim.

Bir kalfa 3 günde 4 takım elbise dikerse

3 4 12 günde 4 4 16 takım elbise diker.

Usta, 4 günde 7 takım elbise diker

se

4 3 12 günde 7 3 21 takım elbise diker.

İkisi birlikte 12 günde 16 + 21 37 takım elbise dikerler.

İkisi birlikte 37 takım elbiseyi 12 günde diktikleri-ne göre, 74 takım elbiseyi günde di-kerler.

II. Yol:

Bir günde yaptıkları işleri bulalım.

Verilenlere göre, kalfa bir günde

12 2 24

4

3 tak

usta ise bir günde

ım elbise,

7

4 takım elbise dikebiliyor. İki-

si birlikte 74 takım elbiseyi x günde diksinler. Buna göre,

(3)(4)

4 7x 74

3 4

16 21 x 712

4

x 74

)

37

12

x 24 olur.

(Cevap E

ÖRNEK

Uzunlukları aynı olan iki mum aynı anda yanma-ya başladığında, biri 4 saatte, diğeri 7 saatte ta-

nda u

olur?

mamıyla yanarak bitmektedir.

Bu iki mum aynı a yakıldıktan kaç dakikasonra, birinin boy diğerinin boyunun 2 katı

23

Problemler

???

YAYI

NC

ILIK

aynı anda yakıldıktan x saat sonra birinin boyu diğerinin boyunun iki katı olsun.

1. mumun tamamı 4 saatte yanıyorsa, 1 saatte

www.

filo

zf.

com

.tr

o

Çözüm:

Bu iki mum

1

4 ü ve x saatte de

x

4 ü yanar.

x

4 ü yanan mu-

mun geriye x

14

ü kalır.

2. mumun tamamı 7 saatte yanıyorsa, 1 saatte 1

7 si ve x saatte de

x

7 si yanar.

x

7 si yanan

mumun x

17

si kalır.

Bu iki mum aynı anda yakıldıktan x saat sonra, birinin boyu diğerinin boyunun 2 katı ise,

(7) (2)

2 12 7

5x1

x x1 2 1

7 4

x 2x1 2

7 4

x x1 2

7 2

x x

5

14

14x olur.

14 14

saat 60 14 12

B. H

Havuz problemlerini işçi problemleri gibi düşünerek çöz oşal ukları negatif () olarak işleme dahil ederiz.

Bi aek atte doldursun. C mus-

aşına c saatte boşaltsın.

5 5

168 dakika bulunur.

AVUZ PROBLEMLERİ

eriz. Ancak b tan musl

Kural:

r havuzu A musluğu tek başına saatte, B musluğu t başına b saluğu dolu havuzu tek b

Üç musluk birlikte açıldığında boş havuz t saatte

dolsun. Buna göre, 1 1 1 1

a b c t olur.

ÖRNEK

Boş bir havuzu iki musluktan biri tek başına 6 saatte, diğeri 9 saatte doldurmaktadır.

Buna göre, iki musluk birlikte açılırsa boş havuz kaç saatte dolar?

Çözüm:

İki musluk birlikte boş havuzu x saatte doldur-sun. Verilenlere göre,

(3) (2)

1 1 1

6 9 x

5 1

18 x

18x saat bulunur.

5

ÖRNEK SORU

Boş havuzun tamamını tek başına A msaatte, B musluğu 18 saatte doldurmakta

usluğu 9 dır. Ha-

vuzun tabanında bulunan C musluğu dolu havu-zu 27 saatte boşaltmaktadır.

Bu üç musluk birlikte açıldığında boş havuz kaç saatte dolar?

A) 59

7 B

54

7 C)

5

7 D)

48

7) E) 3

Çözüm:

Boş havuz, üç musluk birlikte açıldıktan a saatsonra dolsun. Buna göre,

(2)(6) (3)

1 1 1 1

9 18 27 a

6 3 2 1

(Cevap B)

54 a

7 1

54 a

54a saat

7

ÖRNEK SORU

A musluğunun su akıtma kapasitesi; B musluğu-nun su akıtma kapasitesinin 3 katı ve C muslu-ğunun su akıtma kapasitesinin 4 katıdır. Bir ha-vuzu bu üç musluk birlikte 12 saatte doldurabili-yor.

Buna göre, bu havuzu tek başına B musluğu kaç saatte doldurabilir?

A) 41 B) 45 C) 49 D) 53 E) 57

24

Problemler

25

ÖRNEK

www.

filo

zof.

com

.tr

12k, B 4k, C 3k olur.

, A ak k,

apasitesi ile doldurma süresi ters

lanın doldurma süresi t saat ise;

4k olanın doldurma süresi 3t,

3k olanın doldurma süresi 4t olur.

(Çalışma kapasitesi ile işi bitirme süresi ters orantılı olduğu için,

Havuzu üçü birlikte 12 saatte doldurabildiklerine göre,

Çözüm:

I. Yol:

A’nın su akıtma kapasitesi, B’nin su akıtma ka-

pasitesinin 3 katı ve C’nin su akıtma kapasitesi-nin 4 katı olduğuna göre,

3B 4C ise, A A

Yani nın su ıtma kapasitesi 12 B nin 4k, C nin 3k olur.

Su akıtma korantılıdır. Buna göre,

Su akıtma kapasitesi 12k o

(12k t 4k 3t 3k 4t dir.)

(12) (4) (3)

1 1 1 1

t 3t 4t 12

19 1

12t 12

t 19 bulunur.

Buna göre B musluğunun havuzu doldurmasüresi

3 t 3 19 57 saattir.

Yol:

II.

3k olur. Havuzu üçü l

usluğu havuzu tek başına x saatte un. Buna göre,

Verilenlere göre, A’nın su akıtma kapasitesi 12k olduğunda, B’nin 4k, C nin birlikte 12 saatte doldurabildik erine göre, havuz 12k + 4k + 3k 19k kapasite ile 12 saatte dol-muştur. B mdoldurs

19k ile 12 saatte

4k ile x saatte

Ters orantı

4 x 12 19

x 3 19 57 olur.

4 k x 12 19 k

(Cevap E)

h

h

A A m k

C

B

usluğu boş olan havuzu te

başına 12 saatte, C musluğu

d avuzu kendi seviyesine

kadar 18 saatte boşaltıyor.

Üç musluk aynı anda açılırsa boş olan havuz kaç saatte dolar?

başına 6 saatte dolduruyor. B

musluğu dolu olan havuzu tek

olu h

Çözüm:

h

h

A

Cll. kısım

l. kısımda; C musluğunun bir

görevi yoktur. Havuzun yarısı

olduğundan; A tamamını 6 saat-

te, yarısını 3 saatte doldurur. B

A, B, C

Bl. kısım

A, B

tamamını 12 saatte, yarısını 6

saatte boşaltır. İkisi beraber

havuzun l. kısmını;

1(2) (1)

1 1 1

3 6 t

1

11

2 1 1

6 t

1 1ise t 6 saat

6 t

l. Kısım 6 saatte dolar.

ll. kısımda üç muslukta görev yapar. Yine havu-zun yarısı olduğundan A muslu saatte dol-durur; B musluğu 6 saatte, C musluğuboşaltır.

ğu 3 18 saatte

2 2(6) (3)

2

22

1 1 1 1 6 3 1 1

3 6 18 t 18 t

2 1

18 t

1 1ise t

9 saat

ı;

15 saatte dolar.

9 t

Havuzun tamam

t1 + t2 6 + 9