zadatak 121 (marino i medax, srednja škola)1 zadatak 121 (marino i medax, srednja škola) koliko je...

1

Zadatak 121 (Marino i Medax, srednja škola)

Koliko je x + y ako vrijedi: 5

?10

x x y

x y y

+ + =

+ − =

. 1 . 2 . 3 . 4 . 5A B C D E

Rješenje 121

Ponovimo!

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:

, .

, 0

0

x xx

x x

≥=

− <

Ako je broj x pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki x, x ≥ 0,

vrijedi │x│= x.

Ako je x negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj – x koji je pozitivan. Za svaki x,

x < 0, je │x│= – x.

Postoje četiri slučaja!

Prvi slučaj 0 5 2 5

0 10

5

1010

x x x y x y

y x y

x x y

y yx y y y x

≥ + + = ⋅ + =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

≥ + − =

+ + =

+ − =+ − =

metoda

zamje

2 5 2 10 5 20 5

10 10 10ne

x y y y

x x x

⋅ + = ⋅ + = + =⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= = =

5 20 15.

10 1

nema riješenja zbo

0

g

0

y

x y

y

x

= − = −⇒ ⇒ ⇒

= = ≥

Drugi slučaj

0 5 25 metoda suprotnih

koeficijenata10

5

0 10 2 10

x x x y x y

y x y

x x y

x y y y x y

≥ + + = ⋅ + =⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

< − − =

+ + =

+ − ⋅ =− =

2 5 4 10 2 10/ 2/ :5 20 5 20 4.

2 0 2 05

1 1

x y yx x x

x y x y

⋅ + = ⋅ + ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

− ⋅ = − ⋅

⋅

=

Računamo y.

metoda

zamjen

2 52 4 5 8 5 5 8

e3.

4

x yy y y y

x

⋅ + =⇒ ⇒ ⋅ + = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −

=

Dakle, rješenje je

( ) ( ), 4, 3x y = −

pa je

( )4 3 1.x y+ = + − =

Odgovor je pod A

Treća slučaj

0 5 5

0 10

5

1010

x x x y y

y x y y

x x y x x

y yxx y y

< − + + = + =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

≥ + − = =

+ + = − +

+ −+ − =

nema rješenja zbo5.

g

010

y

x x

=⇒ ⇒

= <

Četvrti slučaj

2

0 5 5

0 10 2

5

1010

x x x y y

y x y

x x y x x

x y y xy y

< − + + = + =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

< − − = − ⋅

+ + = − +

+ = =−

nema rješenj5.

2 1

a zbo

0

g

0

y

x y y

=⇒ ⇒

− ⋅ = <

Vježba 121

Koliko je x + y ako vrijedi: 5 0

?10 0

x x y

x y y

+ + − =

+ − − =

. 1 . 2 . 3 . 4 . 5A B C D E

Rezultat: A.

Zadatak 122 (Tomislav, srednja škola)

Ako je 5, 7, 6, koliko je ?a b b c c a a b c+ = + = + = ⋅ ⋅

Rješenje 122

Ponovimo!

.a b

a c b dc d

=⇒ + = +

=

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

1.inačica

( ) ( )

5 5m

7 7 6 7 5 6etoda

zamjen7 5

6e

6

a b a b

b c b c c c c c

c a a c

+ = + =

+ = ⇒ = − ⇒ ⇒ − + − = ⇒ − + − = ⇒

+ = = −

( )5 6 7 2 8 2 /8 4.: 2c c c c c⇒ − − = − − ⇒ − ⋅ = − ⇒ − −⋅ = − ⇒ =

Računamo a i b.

[ ]6 6 4 2

.7 7 4 3

4a c a a

bc

c b b

= − = − =⇒ ⇒ ⇒

= − = − ==

Konačno je 2 3 4 24.a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ =

2.inačica

zbrojimo

jednadžbe

5

7 5 7 6 2 2 2 18

6

a b

b c a b b c c a a b c

c a

+ =

+ = ⇒ ⇒ + + + + + = + + ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒

+ =

( ) ( ) / :2 18 2 18 9.2a b c a b c a b c⇒ ⋅ + + = ⇒ ⋅ + + = ⇒ + + =

Računamo a.

( )

metod77 a

z7 9

amjene9 7 2.

99

b cb ca a a

a b ca b c

+ =+ =⇒ ⇒ ⇒ + = ⇒ = − ⇒ =

+ + =+ + =

Računamo b i c.

[ ]5 5 5 2 3

.6 6 6 2

24

aa b b a b b

c a c a c c

+ = = − = − =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

+ = − = −=

= =

Konačno je

2 3 4 24.a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ =

3

Vježba 122

Ako je 3, 5, 4, koliko je ?a b b c c a a b c+ = + = + = ⋅ ⋅

Rezultat: 6.

Zadatak 123 (Valentina, gimnazija)

2 2 2Ako je 2 5 4 2 2 1 0, koliko je ?x y z x y x z y x y z⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + = + +

Rješenje 123

Ponovimo!

( ) ( ) ( ),2 22 2 2

.2,2

2n n n

a b a b a a b b a b a a b b a b⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ + = − + ⋅ ⋅ + = +

02 20

0.

aa b

b

=+ = ⇒

=


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Preoblikujemo zadanu jednadžbu.

2 2 22 5 4 2 2 1 0x y z x y x z y⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + = ⇒

2 2 2 2 24 4 2 2 1 0x x y y x x z z y y⇒ − ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + + + ⋅ + = ⇒

( ) ( ) ( )2 2 2 2 24 4 2 2 1 0x x y y x x z z y y⇒ − ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + + + ⋅ + = ⇒

( ) ( ) ( )

( )2 12 0 22 2 2

2 1 0 0

1 0 1 1

xx y x y

x y x z y x z x z x z

y y y

= ⋅ −− ⋅ = = ⋅

⇒ − ⋅ + + + + = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = − ⇒

+ = = − = −

( )

22 2 2

2 2 .

1 1 11

xx x x

x z z x z z

y y yy

= −= − = − = −

⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − − ⇒ =

= − = − = −= −

Sada je: 2 1 2 12 2 1.x y z x y z x y z+ + = − − + ⇒ + + = − ⇒ + + = −− +

Vježba 123

2 2 2Ako je 2 5 4 2 2 8 0, koliko je ?x y z x y x z y x y z⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − = + +

Rezultat: 3.

Zadatak 124 (Vegy, gimnazija)

2 10Neka je 1 . Ako je , onda je jednako:x x x a b x a b= + = + ⋅ +

. 85 . 86 . 87 . 88 . 89A B C D E

Rješenje 124

Ponovimo!

( ) ( ) ( )2 22 2 2 2

2 2, , .mn n m

a a a b a a b b a b a a b b⋅

= + = + ⋅ ⋅ + − = − ⋅ ⋅ +

( ) ( ), , , .1

,2 a c a cnn m n m n n

a a a a a a a a b a bb d b d

⋅+= ⋅ = = ⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅

4

, , .1

,

n na bn a a a b a b

n a c b dnc db n n nb

= −= = ⇒ − = − − =

=

.a b a b

n n n

++ =


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Množenje zagrada

( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Nađemo prvo rješenja kvadratne jednadžbe.

22 2 1 0

1 1 01 , 1 , 1

x xx x x x

a b c

− − == + ⇒ − − = ⇒ ⇒

= = − = −

( ) ( ) ( )1 , 1 , 1 2

1 1 4 1 12

4 1,2 2 11,2 2

a b c

xb b a c

xa

= = − = −− − ± − − ⋅ ⋅ −

⇒ ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅=

⋅

1 5

11 1 4 1 5 2.

1,2 1,22 2 1 5

2 2

x

x x

x

+=

± + ±⇒ = ⇒ = ⇒

−=

Uvrstimo vrijednosti x1 i x2 u drugu jednadžbu

10.x a b x= + ⋅

•

101 51 5 1 5

22 210

xa b

x a b x

+= + +

⇒ = + ⋅ ⇒

= + ⋅

( )55 22

1 2 5 51 5 1 5 1 5

2 2 4 2a b a b

+ ⋅ ++ + +⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒

5 51 2 5 5 1 5 6 2 5 1 5

4 2 4 2a b a b

+ ⋅ + + + ⋅ +⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒

( ) ( )5 5

2 3 5 3 51 5 1 5

4 2 2

2

4a b a b

⋅ + ⋅ ++ +⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒

5 4 13 5 1 5 3 5 3 5 1 5

2 2 2 2 2a b a b

+ + + + +⇒ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

5

2

23 5 3 5 1 5

2 2 2a b

+ + +⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

( )2

29 6 5 5 3 5 1 5

4 2 2a b

+ ⋅ + + +⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

29 6 5 5 3 5 1 5

4 2 2a b

+ ⋅ + + +⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

( )22

2 7 3 514 6 5 3 5 1 5 3 5 1 5

4 2 2 4 2 2a b a b

⋅ + ⋅+ ⋅ + + + +⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

( )2 2

7 3 5 3 5 1 5 7 3 5 3 5 1 5

2 2 2

2

2 24a b a b

⋅ + ⋅ + + + ⋅ + +⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

( )2

49 2 7 3 5 3 5 3 5 1 5

4 2 2a b

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + +⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

( )22

49 42 5 3 5 3 5 1 5

4 2 2a b

+ ⋅ + ⋅ + +⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

49 42 5 9 5 3 5 1 5 49 42 5 45 3 5 1 5

4 2 2 4 2 2a b a b

+ ⋅ + ⋅ + + + ⋅ + + +⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

( )2 47 21 594 42 5 3 5 1 5 3 5 1 5

4 2 2 4 2 2a b a b

⋅ + ⋅+ ⋅ + + + +⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

( )47 21 5 3 5 1 5 47 21 5 3 5 1 5

2 2

2

4 2 2 2a b a b

⋅ + ⋅ + + + ⋅ + +⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

( ) ( )47 21 5 3 5 1 5

4 2a b

+ ⋅ ⋅ + +⇒ = + ⋅ ⇒

( )2

141 47 5 63 5 21 5 1 5

4 2a b

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ +⇒ = + ⋅ ⇒

141 47 5 63 5 21 5 1 5 141 47 5 63 5 105 1 5

4 2 4 2a b a b

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + +⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒

( )2 123 55 5246 110 5 1 5 1 5

4 2 4 2a b a b

⋅ + ⋅+ ⋅ + +⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒

6

( )123 55 5 1 5 123 55 5 1 5

2 2 2

2

4a b a b

⋅ + ⋅ + + ⋅ +⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒

55 5 1 5123.

2 2 2a b

⋅ +⇒ + = + ⋅

•

101 51 5 1 5

22 210

xa b

x a b x

−= − −

⇒ = + ⋅ ⇒

= + ⋅

( )55 22

1 2 5 51 5 1 5 1 5

2 2 4 2a b a b

− ⋅ +− − −⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒

5 51 2 5 5 1 5 6 2 5 1 5

4 2 4 2a b a b

− ⋅ + − − ⋅ −⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒

( ) ( )5 5

2 3 5 3 51 5 1 5

4 2 2

2

4a b a b

⋅ − ⋅ −− −⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒

5 4 13 5 1 5 3 5 3 5 1 5

2 2 2 2 2a b a b

− − − − −⇒ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

22

3 5 3 5 1 5

2 2 2a b

− − −⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

( )2

29 6 5 5 3 5 1 5

4 2 2a b

− ⋅ + − −⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

29 6 5 5 3 5 1 5

4 2 2a b

− ⋅ + − −⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

( )22

2 7 3 514 6 5 3 5 1 5 3 5 1 5

4 2 2 4 2 2a b a b

⋅ − ⋅− ⋅ − − − −⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

( )2 2

7 3 5 3 5 1 5 7 3 5 3 5 1 5

2 2 2

2

2 24a b a b

⋅ − ⋅ − − − ⋅ − −⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

( )2

49 2 7 3 5 3 5 3 5 1 5

4 2 2a b

− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − −⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

7

( )22

49 42 5 3 5 3 5 1 5

4 2 2a b

− ⋅ + ⋅ − −⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

49 42 5 9 5 3 5 1 5 49 42 5 45 3 5 1 5

4 2 2 4 2 2a b a b

− ⋅ + ⋅ − − − ⋅ + − −⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

( )2 47 21 594 42 5 3 5 1 5 3 5 1 5

4 2 2 4 2 2a b a b

⋅ − ⋅− ⋅ − − − −⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

( )47 21 5 3 5 1 5 47 21 5 3 5 1 5

2 2

2

4 2 2 2a b a b

⋅ − ⋅ − − − ⋅ − −⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒

( ) ( )47 21 5 3 5 1 5

4 2a b

− ⋅ ⋅ − −⇒ = + ⋅ ⇒

( )2

141 47 5 63 5 21 5 1 5

4 2a b

− ⋅ − ⋅ + ⋅ −⇒ = + ⋅ ⇒

141 47 5 63 5 21 5 1 5 141 47 5 63 5 105 1 5

4 2 4 2a b a b

− ⋅ − ⋅ + ⋅ − − ⋅ − ⋅ + −⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒

( )2 123 55 5246 110 5 1 5 1 5

4 2 4 2a b a b

⋅ − ⋅− ⋅ − −⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒

( )123 55 5 1 5 123 55 5 1 5

2 2 2

2

4a b a b

⋅ − ⋅ − − ⋅ −⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒

55 5 1 5123.

2 2 2a b

⋅ −⇒ − = + ⋅

Dobili smo sustav jednadžbi:

55 5 1 5123

2 2 2

55 5 1

od prve jednadžbe

oduzmemo drug5123

2

u

2 2

a b

a b

⋅ ++ = + ⋅

⇒ ⇒⋅ −

− = + ⋅

55 5 55 5 1 5 1 5123 123

2 2 2 2 2 2a b a b

⋅ ⋅ + −⇒ + − − = + ⋅ − + ⋅ ⇒

55 5 55 5 1 5 1 5123 123

2 2 2 2 2 2a b a b

⋅ ⋅ + −⇒ + − + = + ⋅ − − ⋅ ⇒

55 5 55 5123 123 1 5 1 5

2 2 2 22 2a ab b

⋅ ⋅ + −⇒ + + −−= + ⋅− ⋅ ⇒

55 5 55 5 1 5 1 5

2 2 2 2b b

⋅ ⋅ + −⇒ + = ⋅ − ⋅ ⇒

55 5 55 5 1 5 1 5

2 2 2/ 2

2b b

⋅ ⋅ + −⇒ + = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

8

( ) ( )55 5 55 5 1 5 1 5b b⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + − ⋅ − ⇒

110 5 5 5 110 5 5 5b b b b b bb b⇒ ⋅ = + ⋅ − + ⋅ ⇒ ⋅ −⋅ = + + ⋅ ⇒

110 5 5 5 110 5 5 5b b b b b b⇒ ⋅ = + ⋅ − + ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒

110 5 2 5 2 5 11

/2

10 5 2 5 110 5 555

.b b b b⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ =

Računamo nepoznanicu a.

5555 5 1 5123

5555 5 1 51232 2 2

2 2 2

b

aa b

=⋅ +

⇒ + = + ⋅ ⇒⋅ ++ = + ⋅

55 5 1 5 55 5 55 55 5123 55 123

2 2 1 2 2 2 2a a

⋅ + ⋅ + ⋅⇒ + = + ⋅ ⇒ + = + ⇒

55 55 5 55 5 55 5 55 5123 55 123

2 2 2 2 2 2 2a a

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ + = + ⇒ + + = + ⇒

55 123 55 123 123 55 123 55

2 2 2

55 5 55 5

2 2 22 2 2a a a a

⋅ −⇒ + = ⇒ +

⋅+ + = ⇒ = − ⇒ = ⇒

66834

2

8

2.a a a⇒ = ⇒ = ⇒ =

Rješenje zadatka glasi:

34 55 89.a b a b+ = + ⇒ + =

Odgovor je pod E.

Vježba 124

2 10Neka je 1 . Ako je , onda je jednako:x x x a b x b a= + = + ⋅ −

. 19 . 20 . 21 . 22 . 23A B C D E

Rezultat: C.

Zadatak 125 (Karlo, gimnazija)

Riješi sustav jednadžbi:

2

2.

2

x y z y x

y x z z y

z x y x z

− ⋅ = −

− ⋅ = −

− ⋅ = −

Rješenje 125

Ponovimo!

( )2 2 2 2 2

2 0 0, , .a b

a c b d a b a a b b a b a bc d

=⇒ + = + − = − ⋅ ⋅ + + = ⇒ = =

=

zbrojimo

je

2

2

2dnadžbe

x y z y x

y x z z y

z x y x z

− ⋅ = −

− ⋅ = − ⇒ ⇒

− ⋅ = −

2 2 2x y z y x z z x y y x z y x z⇒ − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ = − + − + − ⇒

9

2 2 2x y z y x z z y x z y x zx y⇒ − ⋅ + − ⋅ + − − + − += −⋅ ⇒

2 2 2 2 2 20 0x y z y x z z x y x y z x y x z y z⇒ − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ = ⇒ + + − ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⇒

2/

20 2

2x y z x y x z y z⇒ + + − ⋅ − − ⋅ = ⋅⋅ ⇒

2 2 22 2 2 2 2 2 0x y z x y x z y z⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒

2 2 2 2 2 22 2 2 0x x y y x x z z y y z z⇒ − ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ + = ⇒

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 0x x y y x x z z y y z z⇒ − ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ + = ⇒

( ) ( ) ( )

02 2 2

0 0 .

0

x y

x y x z y z x z x y z

y z

− =

⇒ − + − + − = ⇒ − = ⇒ = =

− =

Rješenje sustava je svaka trojka realnih brojeva oblika:

( ), , , .a a a a R∈

Vježba 125

Riješi sustav jednadžbi:

2

2.

2

x x y z y

y y x z z

z z x y x

+ = ⋅ +

+ = ⋅ +

+ = ⋅ +

Rezultat: ( ), , , .a a a a R∈

Zadatak 126 (Katarina, maturantica)

Zeleni čaj pakiran je u kutije od 20 g i 50 g. Kutija od 20 g košta 11.30 kn, a kutija od 50 g

košta 25 kn. Veletrgovac je 5200 g čaja platio 2743 kn. Koliko je ukupno kutija čaja kupio?

. 75 . 107 . 170 . 354A B C D

Rješenje 126

Ponovimo!

Sve jasno!

Neka je x broj kutija od 20 g, a y broj kutija od 50 g. Kutija od 20 g košta 11.30 kn, a kutija od 50 g

košta 25 kn.

Veletrgovac je:

• kupio 5200 g čaja pa vrijedi jednadžba

20 50 5 200x y⋅ + ⋅ =

• platio 2743 kn pa vrijedi jednadžba

11.30 25 2 743.x y⋅ + ⋅ =

Dobijemo sustav!

( )

metoda suprotnih

/ 2koeficijenata

20 50 5 20020 50 5 200

11.30 25 2 74311.30 25 2 743

x yx y

x yx y

⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ =⇒ ⇒ ⇒

⋅ + ⋅ ⋅ −=⋅ + ⋅ =

( )20 50 5 200

2.6 286 2.6 286 1/ : 12 0.22.60 50 5

.6486

x yx x x

x y

⋅ + ⋅ =⇒ ⇒ −− ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ =

− ⋅ − ⋅ = −

Računamo y.

10

110 110 110

20 50 5 200 20 / :50 5 200 2 5 52010

x x x

x y x y x y

= = =⇒ ⇒ ⇒

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

2 110 5 520 220 5 520 5 520 220 5 300y y y y⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ + ⋅ = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒

/ :5 5300 60.y y⇒ ⋅ = ⇒ =

Veletrgovac je ukupno kupio 170 kutija čaja.

110 60 170.x y+ = + =

Odgovor je pod C.

Vježba 126

Zeleni čaj pakiran je u kutije od 2 dag i 5 dag. Kutija od 2 dag košta 11.30 kn, a kutija od 5

dag košta 25 kn. Veletrgovac je 520 dag čaja platio 2743 kn. Koliko je ukupno kutija čaja kupio?

. 75 . 107 . 170 . 354A B C D

Rezultat: C.

Zadatak 127 (Darko, gimnazija)

Ako je zadan sustav jednadžba

2 2 2 2

, , , ,2 2 2 2

1 1

x y x y y x x ya b a b R

x y x y

− ⋅ − − ⋅ −= = ∈

− + − +

tada

je 2 2

x y− jednako:

2 2 2 2. . . .A a b B a b C a b D a b+ − + −

Rješenje 127

Ponovimo!

( ) ( ) ( )2

, .2 2

, ,2

2

n na a n n n

a b a a b b a a a b a bnb b

= − = − ⋅ ⋅ + = ⋅ = ⋅

, .a ba b a b

a c b dc dn n n

=−− = ⇒ − = −

=


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

22 22 2 2 2

2

2 22 2 2 211 1

2/

2/

22 2 2 22 2

22 2 2 2

2 21 11

x y x yx y x y x y x yaa a

x yx y x y

y x x y y x x yy x x yb b

bx y x y

x y

− ⋅ −− ⋅ − − ⋅ −== =

− +− + − +⇒ ⇒ ⇒

− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ −= =

=− + − +

− +

11

22 2

22 2 2 2 2 2

22 22 2

1 2 21

2 22 2 2 2 2 2 2

22 2

2 2 212 2

1

x y x y

a x x y x y y x y

ax yx y

y x x y y x y x y x x y

b b

x yx y

− ⋅ −

= − ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ −

=− +− +

⇒ ⇒ ⇒

− ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ −

= =

− +− +

22 2 2 2 2 2

22

2 21

22 2 2 2 2 2

22

2 21

x x y x y y x y

a

x y

y x y x y x x y

b

x y

− ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ −

=

− +⇒ ⇒

− ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ −

=

− +

( )

( )

2 2 2 2 2 22

2

2 21

2 2 2 2

oduzmemo

jedna2 2 d2

2

2 21

žbe

x x y x y y x y

a

x y

y x y x y x x y

b

x y

− ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ −

=

− +⇒ ⇒ ⇒

− ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ −

=

− +

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2

2 2

2 2 2 21 1

x x y x y y x y y x y x y x x y

a b

x y x y

− ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ −

⇒ − = − ⇒− + − +

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2

2 2

2 21


a b

x y

− ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ −

⇒ = − ⇒− +

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2

2 2

2 21


a b

x y

− ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − − + ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ −

⇒ = − ⇒− +

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 22 2

1

x y x y y x x y

a b

x y

x y x y x y x y− ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅+ ⋅ − − − ⋅ −

⇒ =

⋅

−

+

−

⇒−

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 21

x y x y y x x y

a b

x y

+ ⋅ − − − ⋅ −

⇒ = − ⇒− +

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 21

x y x x y y x y

a b

x y

− − ⋅ − + ⋅ −

⇒ = − ⇒− +

12

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 21

x y x x y y x y

a b

x y

− − ⋅ − + ⋅ −

⇒ = − ⇒− +

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 21

2 2 2 2 2 2 2 2.

2

1

21

2 21

x y x y x y

a b a b x y a b

x

y

y

x

x y

− ⋅ − + − ⋅

⇒ = − ⇒ = − ⇒ −

+

=

−

−

−

+− +

Odgovor je pod D.

Vježba 127

Odmor!

Rezultat: …

Zadatak 128 (Vesna, ekonomska škola)

Razred od 26 učenika bio je na izletu. Cijena toga izleta po učeniku iznosila je 2100 kn za

plaćanje na rate, 1995 kn za jednokratno plaćanje. Razred je izlet ukupno platio 52185 kn. Koliko je

učenika toga razreda izlet platilo jednokratno?

Rješenje 128

Ponovimo!


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

1.inačica

Neka je:

• x broj učenika koji plaćaju na rate

• y broj učenika koji plaćaju jednokratno.

U razredu je 26 učenika pa vrijedi jednadžba:

26.x y+ =

Izlet je ukupno plaćen 52185 kn pri čemu je cijena za plaćanje na rate 2100 kn, a za jednokratno

plaćanje 1995 kn po učeniku. Zato je valjana jednadžba:

2100 1995 52185.x y⋅ + ⋅ =

Iz sustava jednadžbi izračunamo y.

metoda zamjene,

supstitucije

26 26

2100 1995 52185 2100 1995 52185

x y x y

x y x y

+ = = −⇒ ⇒ ⇒

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

( )2100 26 1995 52185 54 600 2100 1995 52185y y y y⇒ ⋅ − + ⋅ = ⇒ − ⋅ + ⋅ = ⇒

2100 1995 52185 54 600 105 2 415y y y⇒ − ⋅ + ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒

( )105 2 415 / : 105 23.y y⇒ − ⋅ = ⇒ =−−

2.inačica

U razredu je 26 učenika. Neka je x broj učenika koji plaćaju jednokratno. Tada je 26 – x broj učenika

koji plaćaju na rate.

Izlet je ukupno plaćen 52185 kn pri čemu je cijena za plaćanje na rate 2100 kn, a za jednokratno

plaćanje 1995 kn po učeniku. Vrijedi jednadžba:

( )2100 26 1995 52185 54 600 2100 1995 52185x x x x⋅ − + ⋅ = ⇒ − ⋅ + ⋅ = ⇒

2100 1995 52185 54600 105 2 415x x x⇒ − ⋅ + ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒

( )105 2 415 / : 105 23.x x⇒ − ⋅ = ⇒ =−−

13

Vježba 128

Razred od 26 učenika bio je na izletu. Cijena toga izleta po učeniku iznosila je 2100 kn za

plaćanje na rate, 1995 kn za jednokratno plaćanje. Razred je izlet ukupno platio 52185 kn. Koliko je

učenika toga razreda izlet platilo na rate?

Rezultat: 3.

Zadatak 129 (Siniša, ekonomska škola)

Marko ima 16 novčanica i njihova je ukupna vrijednost 250 kn. Neke od novčanica imaju

vrijednost 10 kn, a sve ostale 20 kn. Za koliko je veći iznos u novčanicama od 20 kn, nego u

novčanicama od 10 kn?

. za 90 . za 100 . za 110 . za 120A kn B kn C kn D kn

Rješenje 129

Ponovimo!


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

1.inačica

Neka je:

• x broj novčanica koje imaju vrijednost 10 kn

• y broj novčanica koje imaju vrijednost 20 kn.

Marko ima ukupno 16 novčanica. Slijedi jednadžba:

16.x y+ =

Ukupna vrijednost:

• svih novčanica od 10 kn je 10 · x

• svih novčanica od 20 kn je 20 · y.

Njihova je ukupna vrijednost 250 kn pa pišemo jednadžbu:

10 20 250 10 20 250 / : 10 2 25.x y x y x y⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ + ⋅ =

Dobije se sustav jednadžba:

( )/ 1metoda suprotnih

koeficijena

1616 169

t.

2 25 2 252 2a 5

x yx y x yy

x y x yx y

⋅ −+ =+ = − − = −⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =

+ ⋅ = + ⋅ =+ ⋅ =

Računamo x.

99 16 16 9 7.

16

yx x x

x y

=⇒ + = ⇒ = − ⇒ =

+ =

Računamo za koliko je veći iznos u novčanicama od 20 kn, nego u novčanicama od 10 kn.

20 10 20 9 10 7 180 70 110 .y x kn⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − =

Odgovor je pod C.

2.inačica

Neka je x broj novčanica koje imaju vrijednost 10 kn. Tada je 16 – x broj novčanica koje imaju

vrijednost 20 kn jer Marko ima ukupno 16 novčanica.

Ukupna vrijednost:

• svih novčanica od 10 kn je 10 · x

• svih novčanica od 20 kn je 20 · (16 – x).

Njihova je ukupna vrijednost 250 kn pa pišemo jednadžbu:

( ) ( ) ( )10 20 16 250 10 20 16 250 / : 10 2 16 25x x x x x x⋅ + ⋅ − = ⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒ + ⋅ − = ⇒

( )32 2 25 2 25 32 7 7 7/ .1x x x x x x x⇒ + − ⋅ = ⇒ − ⋅ = − ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ =⋅ −

Računamo za koliko je veći iznos u novčanicama od 20 kn, nego u novčanicama od 10 kn.

14

( ) [ ] ( )20 16 10 20 16 7 10 7 20 9 70 180 70 117 0 .xx x kn⋅ − − ⋅ = = ⋅ − − ⋅ = ⋅ − = − ==

Odgovor je pod C.

y ⋅⋅⋅⋅x ⋅⋅⋅⋅

Vježba 129

Marko ima 14 novčanica i njihova je ukupna vrijednost 210 kn. neke od novčanica imaju

vrijednost 10 kn, a sve ostale 20 kn. Za koliko je veći iznos u novčanicama od 20 kn, nego u

novčanicama od 10 kn?

. za 60 . za 70 . za 80 . za 90A kn B kn C kn D kn

Rezultat: B.

Zadatak 130 (Ana, ekonomska škola)

Pomiješa li se 16 L toplije vode s 4 L hladnije, temperatura smjese je 66 ºC. Pomiješa li se

14 L toplije vode s 6 L hladnije, temperatura smjese je 59 ºC. Kolika je temperatura toplije, a kolika

hladnije vode?

Rješenje 130

Ponovimo!

.0a a− + =

Neka je x temperatura toplije vode, a y hladnije vode. Iz uvjeta zadatka dobiju se dvije jednadžbe sa

dvije nepoznanice.

( )

( )

16 4 16 4 66 16 4 20 66 16 4 1320

14 6 20 59 14 6 118014 6 14 6 59

x y x y x y

x y x yx y

⋅ + ⋅ = + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ =⇒ ⇒ ⇒

⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ = + ⋅

/ : 4 metoda suprotnih

/ :

16 4 1320 4 330

14 6 1180 72 koeficijen3 ata590

x y x y

x y x y

⋅ + ⋅ = ⋅ + =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

( )4 330 12 3 9905 400

7 3 5907 3 590

/ 3x y x yx

x yx y

⋅ + = − ⋅ −⋅ ⋅ = −⇒ ⇒ ⇒ − ⋅ = − ⇒

⋅ + ⋅ =⋅

−

+ ⋅ =

( )5 400 80 80/ : 5 toplija v da.ox x C⇒ − ⋅ = − ⇒ = ⇒−�

Računamo y.

804 80 330 320 330 330 320

4 330

xy y y

x y

=⇒ ⋅ + = ⇒ + = ⇒ = − ⇒

⋅ + =

hlad1 n0 10 i voda.jay C⇒ = ⇒ �

Vježba 130

Pomiješa li se 8 L toplije vode s 2 L hladnije, temperatura smjese je 66 ºC. Pomiješa li se 7 L

toplije vode s 3 L hladnije, temperatura smjese je 59 ºC. Kolika je temperatura toplije, a kolika

hladnije vode?

Rezultat: 80 ºC toplija voda, 10 ºC hladnija voda.

Zadatak 131 (Katarina, ekonomska škola)

Temperatura T(t) izražena u ºC mijenja se prema formuli ( ) ( )cos ,T t A B t C D= ⋅ ⋅ + + gdje je

t vrijeme u satima. Kolike su vrijednosti parametara A i D ako je maksimalna temperatura 29 ºC,

minimalna 13 ºC, A < 0? . 16, 21 . 16, 45A A D B A D= − = = − =

. 8, 21 . 8, 45C A D D A D= − = = − =

15

Rješenje 131

Ponovimo!

Parametar

Vladimir Anić, Ivo Goldstein, Rječnik stranih riječi, Novi Liber, Zagreb, 2002.

Veličina, obično realna varijabla, čije vrijednosti služe za razlikovanje elemenata nekog skupa točaka

funkcija, jednadžbi ili drugih matematičkih objekata.

Bratoljub Klaić, Rječnik stranih riječi, Nakladni zavod MH, Zagreb, 1983.

Veličina o kojoj ovisi funkcija ili oblik krivulje.

Funkcija cos x ima:

• maksimum cos x = 1

• minimum cos x = – 1.

Budući da je A < 0 (uvjet), funkcija T imat će:

• maksimalnu vrijednost za ( )cos 1B t C⋅ + = − pa vrijedi jednadžba

( )1 29 29A D A D⋅ − + = ⇒ − + =

• minimalnu vrijednost za ( )cos 1B t C⋅ + = pa vrijedi jednadžba

1 13 13.A D A D⋅ + = ⇒ + =

Iz sustava jednadžba dobije se:

metoda suprotnih/ : 2

koefic

292 42 2 42 21

ij.

13 enata

A DD D D

A D

− + =⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

+ =

Računamo A.

2121 13 13 21 8.

13

AA A A

A D

=⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −

+ =

Odgovor je pod C.

Vježba 131

Temperatura T(t) izražena u ºC mijenja se prema formuli ( ) ( )cos ,T t A B t C D= ⋅ ⋅ + + gdje je

t vrijeme u satima. Kolike su vrijednosti parametara A i D ako je maksimalna vrijednost 29 ºC,

minimalna 13 ºC, A > 0?

. 16, 21 . 16, 45A A D B A D= = = =

. 8, 21 . 8, 45C A D D A D= = = =

Rezultat: C.

Zadatak 132 (Vesna, ekonomska škola)

Cijena C najma automobila određuje se prema formuli C = n · D + m · K, gdje je n broj dana

na koji je automobil bio unajmljen, D cijena najma automobila na jedan dan, m broj prijeđenih

kilometara, a K cijena jednog prijeđenog kilometra. Cijena najma automobila, koji je iznajmljen na

dva dana, s prijeđenih 160 km iznosi 866 kn. Cijena najma automobila za tri dana i 120 prijeđenih

kilometara iznosi 723 kn.

1) Kolika je cijena najma automobila po danu?

2) Koliko je plaćen najam automobila koji je u četiri dana prešao 240 km?

Rješenje 132

Ponovimo!

Sve je jasno!

1)

Rečenicu ''Cijena najma automobila, koji je iznajmljen na dva dana, s prijeđenih 160 km iznosi 866

kn.'' možemo napisati kao matematički izraz (kao jednadžbu).

16

[ ]

2

160 866 2 160

866

C n

n

m D Km K

C

D

=

= ⇒ ⇒ = ⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒

=

2 160 866 2 160 866 / : 80 3 .2 4 3D K D K D K⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ + ⋅ =

Rečenicu ''Cijena najma automobila za tri dana i 120 prijeđenih kilometara iznosi 723 kn.'' možemo

napisati kao matematički izraz (kao jednadžbu).

[ ]

3

120 723 3 120

723

C n

n

m D Km K

C

D

=

= ⇒ ⇒ = ⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒

=

3 120 723 3 120 723 / : 40 4 .3 2 1D K D K D K⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ + ⋅ =

Dobili smo sustav jednadžba.

( )

metoda suprotnih

/ 1koeficijenata

80 43380 433

40 24140 241

D KD K

D KD K

+ ⋅ =+ ⋅ =⇒ ⇒ ⇒

+ ⋅ =+ ⋅ ⋅ −=

80 43340 192 40 192 4.8.

40 241/ : 40

D KK K K

D K

+ ⋅ =⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

− − ⋅ = −

Računamo D.

4.840 4.8 241 192 241 241 192

40 241

KD D D

D K

=⇒ + ⋅ = ⇒ + = ⇒ = − ⇒

+ ⋅ =

cijena najma p d9 .nu4 o aD kn⇒ =

2)

Najam automobila koji je u četiri dana prešao 240 km iznosi:

[ ]

4

2404 49 240 4.80 1348 .

49

4.80

C n D

n

mC C kn

Dm

K

K

=

=⇒ ⇒ = ⋅ += ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ =

=

=

Vježba 132

Odmor!

Rezultat: …

Zadatak 133 (Mira, ekonomska škola)

Riješite nejednadžbu ( ) ( )2

2 1 3 2 1 2 0x x⋅ − + ⋅ ⋅ − + > i napišite rješenja uz pomoć intervala.

Rješenje 133

Ponovimo!

( ) ( )2 2 2 1

, , :,2 .n n n n m n m

a b a a b b a b a b a a a a a−

− = − ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ = =

, 0 , ., 0a b a b

a b c a b cc c c c

> > ⇒ > < > ⇒ <

0 00 ili

0 0.

a aa b

b b

> <⋅ > ⇒

> <


17

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Skup zadajemo nabrajanjem njegovih elemenata ili opisom karakterističnih svojstava koja posjeduju njegovi elementi.

Unija skupova A i B je skup koji sadrži sve elemente koji se nalaze u skupu A i sve elemente koji se

nalaze u skupu B. Označavamo ga .A B∪

Presjek skupova A i B je skup koji sadrži sve elemente koji se nalaze i u skupu A i u skupu B.

Označavamo ga .A B∩

Preoblikujemo nejednadžbu.

( ) ( ) ( )2 2 2

2 1 3 2 1 2 0 2 2 2 1 1 6 3 2 0x x x x x⋅ − + ⋅ ⋅ − + > ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ − + > ⇒

2 2 24 4 1 6 3 2 0 4 4 6 0 4 4 6 01 3 2x x x x x x x x x⇒ ⋅ − ⋅ + + ⋅ − + > ⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ > ⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅− + >+ ⇒

( )/ :2 2 2

4 2 0 4 2 0 2 0 2 1 02 .x x x x x x x x⇒ ⋅ + ⋅ > ⇒ ⋅ + ⋅ > ⇒ ⋅ + > ⇒ ⋅ ⋅ + >

Umnožak je pozitivan ako su oba faktora pozitivna ili oba negativna.

Prvi slučaj

( )

00 0 0

2 1 0 12 1 0 2 /1 2 1 :

22

xx x x

x xx x x x

>> > >

⋅ ⋅ + > ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ + > ⋅ > − ⋅ > − > −

zajednički

presj0 0,

k.

ex x⇒ ⇒ > ⇒ ∈ + ∞

+ ∞∞∞∞

- ∞∞∞∞

0-

1

2

Drugi slučaj

( )

00 0 0

2 1 0 12 1 0 2 /1 2 1 :

22

xx x x

x xx x x x

<< < <

⋅ ⋅ + > ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ + < ⋅ < − ⋅ < − < −

zajednički

presjek

1 1, .

2 2x x⇒ ⇒ < − ⇒ ∈ − ∞ −

+ ∞∞∞∞

- ∞∞∞∞ 0-

1

2

Rješenje zadane nejednadžbe je unija intervala (skupova).

1, 0, .

2x ∈ − ∞ − + ∞∪

Vježba 133

Odmor!

Rezultat: …

18

Zadatak 134 (Mira, ekonomska škola)

Riješite sustav jednadžba

( )log 3 1

5 0.04 .

3 0

x z

x y

y z

⋅ + =

−=

+ ⋅ =

Rješenje 134

Ponovimo!

( ) ( )( ) ( )

1, .

n f x g xa a a f x g xn

a

−= = ⇒ =

Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.

Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:

llog ogb

c ca c a b a b

b=

→

= =

Dekadski logaritam

Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili

obični logaritam.

log log10

.x x=

( ) ( ) ( ) ( ),log10 1 log log .f x g x f x g x= = ⇒ =


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Decimalni broj piše se u obliku decimalnog razlomka tako da se u brojnik napiše zadani decimalni

broj bez decimalne točke, a u nazivnik se napiše dekadska jedinica (10, 100, 1000, 10000, 100000, …)

koja ima toliko nula koliko decimalni broj ima decimala (znamenaka na decimalnom mjestu, tj. iza

decimalne točke ili decimalnog zareza).

Najprije preoblikujemo prve dvije jednadžbe sustava (napišemo njima ekvivalente jednadžbe):

• ( ) ( )log 3 1 log 3 log10 3 10x z x z x z⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ + =

• 4

10

4 1 15 0.04 5 5 5 5

2100 25 50

x y x y x y x y x y− − − − −= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

25 5 2.

x yx y

− −⇒ = ⇒ − = −

Sada imamo sustav od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice:

3 10

2 .

3 0

x z

x y

y z

⋅ + =

− = −

+ ⋅ =

Treba riješiti ovaj sustav! Prava sitnica! Pokažimo tri načina. Ako želite i sami nađite još neki.

1.inačica

uvrstimo u drugu i treću jednadžbumetoda

zamjen

3 10 10 3

2 2

3 0 0e

3

x z z x

x y x y

y z y z

⋅ + = = − ⋅

− = − ⇒ − = − ⇒ ⇒

+ ⋅ = + ⋅ =

19

( )

metoda suprotnih

koeficijena

2 2 2

3 10 3 0 30 9 0 9 t30 a

x y x y x y

y x y x x y

− = − − = − − = −⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

+ ⋅ − ⋅ = + − ⋅ = − ⋅ + = −

( )/ :8 3 8 82 32 4.x x x−⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ =

Računamo y i z.

( )4

64 2 2 4 62

10 3 4 10 12 2 2

/ 1

10 3

xyy y y

x yz z z z

z x

=− = −− = − − = − − − = −

− = − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒= − ⋅ = − = − =

= −

⋅

⋅

−

−

6.

2

y

z

=⇒

= −

Rješenje sustava glasi:

( ) ( ), , 4, 6, 2 .x y z = −

2.inačica

zbrojim drugu i

treću jednadžb

3 103 10 3 10

23 2 0 3 2

3 0u

x zx z x z

x yx y y z x z

y zy y

⋅ + =⋅ + = ⋅ + =

− = − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒− + + ⋅ = − + + ⋅ = −

+ ⋅− +

=


koeficijena

3 103 10 9 3 30

3 3t2 32a 2

x zx z x z

x z x zx z

⋅ + =⋅ + = − ⋅ − ⋅ = −⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

+

⋅ −

⋅ = − + ⋅ = −+ ⋅ = −

( )/ :8 3 8 82 32 4.x x x−⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ =

Računamo y i z.

( )4

64 2 2 4 62

3 4 10 12 10 10 1

/ 1

2 23 10

xyy y y

x yz z z z

x z

=− = −− = − − = − − − = −

− = − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ + = + = = − = −

⋅ +

⋅ −

=

6.

2

y

z

=⇒

= −


( ) ( ), , 4, 6, 2 .x y z = −

3.inačica

zbrojimo sve

tri jednadž

3 10

2 3 3 10 2 0

3 0be

x z

x y x z x y y z

y z

⋅ + =

− = − ⇒ ⇒ ⋅ + + − + + ⋅ = − + ⇒

+ ⋅ =

3 3 8 3 3 8 4 4 8x z x z x z x zy x zy⇒ ⋅ + + + ⋅ = ⇒ ⋅ + + + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅− =+ ⇒

/ : 44 4 8 2.x z x z⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ + =

Promatramo sustav

3 10.

2

x z

x z

⋅ + =

+ =

( )

metoda suprotnih

/ 1koeficijenata

3 103 10 3 10

22 2

x zx z x z

x zx z x z

⋅ + =⋅ + = ⋅ + =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

+ =+ = − − =− −⋅

2 8 2 8 4/ .: 2x x x⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

20

Računamo y i z.

( )4

64 2 2 4 62

4 2 2 4 2

/ 1

22

xyy y y

x yz z z z

x z

=− = −− = − − = − − − = −

− = − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒+ = = − = − =

−

=

⋅

−+

6.

2

y

z

=⇒

= −


( ) ( ), , 4, 6, 2 .x y z = −

Vježba 134

Riješite sustav jednadžba

( )log 3 1

10 0.01 .

3 0

x z

x y

y z

⋅ + =

−=

+ ⋅ =

Rezultat: ( ) ( ), , 4, 6, 2 .x y z = −

Zadatak 135 (Lucija, ekonomska škola)

U pet posuda nalazi se ukupno 200 bombona. U prvoj i drugoj posudi zajedno nalazi se 104

bombona, u drugoj i trećoj 86 bombona, u trećoj i četvrtoj 60 bombona, a u četvrtoj i petoj 54

bombona. Koliko je bombona u prvoj posudi?

Rješenje 135

Ponovimo!

, .a b a b

a c b d a c b dc d c d

= =⇒ + = + ⇒ − = −

= =


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

1.inačica

Neka je x1, x2, x3, x4 i x5 broj bombona u prvoj, drugoj, trećoj, četvrtoj i petoj posudi. Iz zadanih

podataka dobije se sustav jednadžba.

20051 2 3 4

1041 2

86 .2 3

603 4

5454

x x x x x

x x

x x

x x

x x

+ + + + =

+ =

+ =

+ =

+ =

Iz sustava jednadžba dobijemo:

zbrojimo

jednadž

862 3

60 86 60be

5453 4 2 3 3 4 4

5454

x x

x x x x x x x x

x x

+ =

+ = ⇒ ⇒ + + + + + = + + ⇒

+ =

2 2 200.52 3 4

x x x x⇒ + ⋅ + ⋅ + =

Promatrajmo sustav jednadžba:

21

20051 2 3 4

2 2

oduzmemo

jed20052 3 4

nadžbe

x x x x x

x x x x

+ + + + =⇒ ⇒

+ ⋅ + ⋅ + =

( )2 2 200 2005 51 2 3 4 2 3 4

x x x x x x x x x⇒ + + + + − + ⋅ + ⋅ + = − ⇒

2 2 05 51 2 3 4 2 3 4

x x x x x x x x x⇒ + + + + − − ⋅ − ⋅ − = ⇒

2 2 0 2 2 01 3 4 3 45 52 2 1 3 4 3 4

x x x x xx x x x x xx x x⇒ + + − ⋅ − ⋅ = ⇒ + + − ⋅ − ⋅+ − − =+ ⇒

0 .1 3 4 1 3 4

x x x x x x⇒ − − = ⇒ = +

Iz sljedećeg sustava izračunamo x1.

603 4

60.1

1 3 4

x xx

x x x

+ =⇒ =

= +

2.inačica

Neka je x1, x2, x3, x4 i x5 broj bombona u prvoj, drugoj, trećoj, četvrtoj i petoj posudi. Iz zadanih

podataka dobije se sustav jednadžba.

( ) ( )

20051 2 3 4

1041 2

86 20052 3 1 2 3 4

603 4

5454

x x x x x

x x

x x x x x x x

x x

x x

+ + + + =

+ =

+ = ⇒ + + + + = ⇒

+ =

+ =

86 54 200 200 86 54 60.1 1 1

x x x⇒ + + = ⇒ = − − ⇒ =

Vježba 135

U pet posuda nalazi se ukupno 165 bombona. U prvoj i drugoj posudi zajedno nalazi se 33

bombona, u drugoj i trećoj 55 bombona, u trećoj i četvrtoj 77 bombona, a u četvrtoj i petoj 99

bombona. Koliko je bombona u prvoj posudi?

Rezultat: 11.

Zadatak 136 (Vicka, ekonomska škola)

U četirima kombijima i šest autobusa ima ukupno 356 sjedala, a u dvama kombijima i osam

autobusa 448 sjedala. Za koliko je više sjedala u autobusu nego u kombiju. Napomena: Svi autobusi

imaju jednaki broj sjedala i svi kombiji imaju jednaki broj sjedala.

Rješenje 136

Ponovimo!

Sve je jasno!

Neka je:

x broj sjedala u kombiju

y broj sjedala u autobusu.

Rečenicu ''U četirima kombijima i šest autobusa ima ukupno 356 sjedala, …'' zapišimo u

obliku jednadžbe.

4 6 356.x y⋅ + ⋅ =

Rečenicu ''…, a u dvama kombijima i osam autobusa ima 448 sjedala.'' zapišimo u obliku jednadžbe.

2 8 448.x y⋅ + ⋅ =

22

Riješimo sustav jednadžbe.

( )/ : 2metoda suprotnih

koeficijenat

4 6 3564 6 356

2 8 448 2 8 448a

x yx y

x y x y

⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ =⇒ ⇒

−⇒

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

2 3 1785 270 5 270 54.

8/

85

2:

44

x yy y y

x y

− ⋅ − ⋅ = −⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

⋅ + ⋅ =

Računamo x.

52 8 54 448 2 432 448 2 448 432

2 8 448

yx x x

x y

=⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒

⋅ + ⋅ =

2 16 2 16 8/ .: 2x x x⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

U autobusu je 46 sjedala više nego u kombiju.

54 8 46.y x− = − =

Vježba 136

Odmor!

Rezultat: …

Zadatak 137 (Anita, ekonomska škola)

Zlatar raspolaže s dvije smjese. Prva sadrži 40% zlata, a druga 60%. Koliko grama svake

smjese mora zlatar pomiješati da bi dobio 20 grama smjese s 52% zlata?

Rješenje 137

Ponovimo!

Stoti dio nekog broja naziva se postotak. Piše se kao razlomak s nazivnikom 100. Postotak p je broj

jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine.

Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa ''... p% od x...''?

.100

px⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

1.inačica

Neka je:

• x količina prve smjese

• y količina druge smjese.

Rečenicu ''Koliko grama svake smjese mora zlatar pomiješati da bi dobio 20 grama smjese …''

zapišemo u obliku jednadžbe. 20.x y+ =

Rečenicu ''Prva sadrži 40% zlata, a druga 60% … da bi dobio 20 grama smjese s 52% zlata?''

zapišemo u obliku jednadžbe.

( ) ( )40 60 52 40 60 52

100 100 100 100 100 100/ 100x y x y x y x y⋅ + ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅= ⋅ + ⇒

( ) ( )40 60 52 40 6 /0 52 : 4x y x y x y x y⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⇒

( )10 15 13 10 15 13 13x y x y x y x y⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒

23

10 15 13 13 3 2 0.x y x y x y⇒ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⇒ − ⋅ + ⋅ =

Riješimo sustav jednadžba.

metoda suprotnih / 3

koeficijen

20 20 3 3 60

3 2 0 3 2 0 3at 2 0a

x y x y x y

x y x y x y

+ = + = ⋅ + ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

− ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ = − ⋅

⋅

+ ⋅ =

/5 60 5 60 12 grama.: 5y y y⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Računamo x.

1212 20 20 12 8 grama.

20

yx x x

x y

=⇒ + = ⇒ = − ⇒ =

+ =

2.inačica

Neka je:

• x količina prve smjese

• y količina druge smjese.

Rečenicu ''Koliko grama svake smjese mora zlatar pomiješati da bi dobio 20 grama smjese …''

zapišemo u obliku jednadžbe. 20.x y+ =

Rečenicu ''Prva sadrži 40% zlata, a druga 60% … da bi dobio 20 grama smjese s 52% zlata?''

zapišemo u obliku jednadžbe.

40 60 52 40 60 5220 20

100 100 100 1/ 1

00 100 10000x y x y⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅⋅ ⇒

40 60 52 20 40 60 52 2 : 200 /x y x y⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒

2 3 52.x y⇒ ⋅ + ⋅ =

Riješimo sustav jednadžba.


koeficijenat

2020 2 2 40

2 3 52 2 3 522 3 5a 2

x yx y x y

x y x yx y

+ =+ = − ⋅ − ⋅ = −⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⋅

⋅ −

+ ⋅ = ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ =

12 grama.y⇒ =

Računamo x.

1212 20 20 12 8 grama.

20

yx x x

x y

=⇒ + = ⇒ = − ⇒ =

+ =

3.inačica

Neka je x količina prve smjese. Budući da je ukupno 20 grama smjese, druge smjese bit će 20 – x.

Sada napišemo jednadžbu.

( ) ( )40 60 52 40 60 52

20 20 20 20100 100 100 1

/00 100

100100

x x x x⋅ + ⋅ − = ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅− = ⋅ ⇒

( ) ( )40 60 20 52 20 40 6 /0 20 52 20 : 20x x x x⇒ ⋅ + ⋅ − = ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ − = ⋅ ⇒

( )2 3 20 52 2 60 3 52 2 3 52 60 8x x x x x x x⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒ ⋅ + − ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ = − ⇒ − = − ⇒

( )8 8 8 grama/ 1 .x x x⋅⇒ − = − ⇒ − = −− ⇒ =

Druge smjese treba: 20 20 8 12 grama.x− = − =

Vježba 137

Zlatar raspolaže s dvije smjese. Prva sadrži 40% zlata, a druga 60%. Koliko grama svake

smjese mora zlatar pomiješati da bi dobio 40 grama smjese s 52% zlata?

Rezultat: x = 16 grama, y = 24 grama.

24

Zadatak 138 (Mario, ekonomska škola)

Riješite sustav linearnih jednadžba metodom suprotnih koeficijenata, metodom zamjene

(supstitucije) i metodom uspoređivanja (komparacije)

3 13

2 3.

1 23

4 3

x y

x x

+ −− =

− ++ =

Rješenje 138

Ponovimo!

.a b

a c b dc d

=⇒ + = +

=

Dva različita broja koji imaju jednake module zovemo suprotni brojevi. Njihov zbroj je nula.

0.a a a a− + = − =


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Najmanji zajednički nazivnik je najmanji prirodni broj koji može biti zajednički nazivnik dvaju ili više

zadanih razlomaka.

Sustav preoblikujemo u jednostavniji oblik tako da se najprije riješimo razlomaka. Svaku jednadžbu

pomnožimo s najmanjim zajedničkim nazivnikom.

( ) ( )

( ) ( )

3 1 3 13 3

3 3 2 1 182 3 2 3

1 2 1 2 3 1 4 2 363 3

4 3/ 1

4 3

/ 6

2

x y x y

x y

x y x y x y

+ − + −− = − =

⋅ + − ⋅ − =⇒ ⇒ ⇒

− + − + ⋅ − + ⋅ + =+ =

⋅

⋅+ =

3 9 2 2 18 3 2 18 9 2 3 2 7.

3 3 4 8 36 3 4 36 3 8 3 4 31

x y x y x y

x y x y x y

⋅ + − ⋅ + = ⋅ − ⋅ = − − ⋅ − ⋅ =⇒ ⇒ ⇒

⋅ − + ⋅ + = ⋅ + ⋅ = + − ⋅ + ⋅ =

Metoda suprotnih koeficijenata

2 7 3 7, .

4 31 3 31

3 2

3 4

x y x y

x y x y

⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅

−

+ =

Uz nepoznanicu x koeficijent u:

• prvoj jednadžbi je 3

• drugoj jednadžbi je 3.

Uz nepoznanicu y koeficijent u:

• prvoj jednadžbi je – 2

• drugoj jednadžbi je 4.

Pomnožimo prvu jednadžbu s – 1, tako da koeficijenti uz nepoznanicu x budu suprotni brojevi – 3 i 3.

Zatim jednadžbe zbrojimo i dobijemo jednu jednadžbu s jednom nepoznanicom, y.

( )3 2 73 2 7 3 2 76 24

3 4 31 3 4 313 4 31

/ 1x yx y x yy

x y x yx y

⋅ − ⋅ =⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅ = −⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ =

⋅ −

/ :6 624 4.y y⇒ ⋅ = ⇒ =

Izračunamo nepoznanicu x.

43 2 4 7 3 8 7 3 7 8 3 15

3 2 7

yx x x x

x y

=⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = ⇒

⋅ − ⋅ =

/ :3 315 5.x x⇒ ⋅ = ⇒ =

25

Rješenje sustava je uređen par

( ) ( ), 5, 4 .x y =

Metoda zamjene (supstitucije)

Iz jedne jednadžbe sustava (na primjer prve) izrazimo jednu nepoznanicu (na primjer x ili u našem

slučaju još je bolje 3 · x) i zatim je uvrstimo (supstituiramo) u drugu jednadžbu.

3 2 7 3 7 27 2 4 31 2 4 31 7

3 4 31 3 4 31

x y x yy y y y

x y x y

⋅ − ⋅ = ⋅ = + ⋅⇒ ⇒ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = − ⇒

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

6 24 6 24 4/ .: 6y y y⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =


43 7 2 4 3 7 8 3 15 3 15 5/ :

73 .

3 2

yx x x x x

x y

=⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

⋅ = + ⋅


( ) ( ), 5, 4 .x y =

Metoda uspoređivanja (komparacije)

Iz jedne i druge jednadžbe izrazimo istu nepoznanicu (na primjer x ili u našem slučaju još je bolje

3 · x) i onda dobivene izraze izjednačimo.

3 2 7 3 7 27 2 31 4 2 4 31 7

3 4 31 3 31 4

x y x yy y y y

x y x y

⋅ − ⋅ = ⋅ = + ⋅⇒ ⇒ + ⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = − ⇒

⋅ + ⋅ = ⋅ = − ⋅

6 24 6 24 4/ .: 6y y y⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =


43 7 2 4 3 7 8 3 15 3 15 5/ :

73 .

3 2

yx x x x x

x y

=⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

⋅ = + ⋅


( ) ( ), 5, 4 .x y =

Vježba 138

Riješite sustav linearnih jednadžba metodom suprotnih koeficijenata, metodom zamjene

(supstitucije) i metodom uspoređivanja (komparacije)

03 5

.2 2

42 3

x y x y

x y x y

+ −+ =

⋅ + − ⋅− =

Rezultat: ( ) ( ), 1, 4 .x y = −

Zadatak 139 (Nikola, ekonomska škola)

U sustavu jednadžba 2 4

2 7

x y

y x

= ⋅ +

= ⋅ + izračunajte nepoznanicu x.

Rješenje 139

26

Ponovimo!


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

( )metoda

zamjene

2 42 2 7 4 4 14 4

2 7

x yx x x x

y x

= ⋅ +⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ + + ⇒ = ⋅ + + ⇒

= ⋅ +

( )4 14 4 3 18 3 18 6./ : 3x x x x x⇒ − ⋅ = + ⇒ − ⋅ = ⇒ − ⋅ ⇒ = −−=

Vježba 139

U sustavu jednadžba 2 1

2 8

x y

y x

= ⋅ +

= ⋅ − izračunajte nepoznanicu x.

Rezultat: x = 5.

Zadatak 140 (Luka, gimnazija)

Riješi jednadžbu x2 – y2 = 1987 u skupu cijelih brojeva.

Rješenje 140

Ponovimo!

( ) ( )2 2

.a b a b a b− = − ⋅ +

Cijeli brojevi jesu brojevi:

..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...− − − − −

Oni čine skup cijelih brojeva koji označavamo slovom Z, a zapisujemo kao

{ } { }..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ... ili 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, ... .Z Z= − − − = − − −

Prosti brojevi (prim – brojevi) su prirodni brojevi djeljivi bez ostatka samo s brojem 1 i sami sa

sobom, a veći od broja 1.

Preoblikujemo jednadžbu.

( ) ( )2 2

1987 1987.x y x y x y− = ⇒ − ⋅ + =

Primijetimo da je broj 1987 prost broj. Zato vrijedi:

( ) ( ) ( ) ( )1

1987 1 19871987

metoda suprotnih

koeficijenata

x yx y x y x y x y

x y

− = − ⋅ + = ⇒ − ⋅ + = ⋅ ⇒ ⇒ ⇒

+ =

2 1988 2 1988 /: 2 994.x x x⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Računamo y.

994994 1987 1987 994 993.

1987

xy y y

x y

= ⇒ + = ⇒ = − ⇒ =

+ =

Rješenje je:

( ) ( ), 994, 993 .x y =

Vježba 140

Odmor!

Rezultat: …

zadatak 121 (marino i medax, srednja škola)1 zadatak 121 (marino i medax, srednja škola) koliko je...

Documents