Základy Základy elektrotechnikyelektrotechnikyPřechodové jevyPřechodové jevy

Základní Základní pojmypojmy

V předchozích úvahách jsme vždy předpokládali ustálený stav obvodu. Tomu odpovídal průběh napětí a proudu na prvcích obvodu:- ustálený stejnosměrný proud – rezistor – přímka- harmonický průběh proudu – R, L, C – harmonický (sinusový) průběhV praxi je ale nutné často řešit přechodné děje:* zapnutí a vypnutí obvodu* regulace* poruchové stavy

* Přechodový jev nastane, přechází-li obvod z jednoho ustáleného stavu do jiného ustáleného stavu.

* Jedná se o závislost elektrických veličin na čase.* Délka přechodového děje může být řádově od s do hodin* Řešení přechodových dějů:

- matematicky (jednoduché nebo složené funkce)- měřením na digitálním osciloskopu nebo analyzátoru- simulací

Rozdělení přechodových dějůRozdělení přechodových dějů

1. Přechodové děje na ideální rezistoru ve stejnosměrném obvoduJe nejjednodušší, protože žádný přechodový děj nevzniká – odezva obvodu na změnu je skoková.

Rozdělení přechodových Rozdělení přechodových dějůdějů

2. Přechodové děje na ideální rezistoru ve střídavém obvoduAni zde žádný přechodový děj není – odezva obvodu na změnu je okamžitá.

Přechodné jevy v obecných Přechodné jevy v obecných obvodechobvodech

V rámci základů elektrotechniky se řeší pouze přechodový děj R, L a R, C ve stejnosměrných obvodech, zejména z důvodů matematiky.Některé další přechodové děje jsou náplní automatizace

Jen málo obvodů lze definovat jako obvody s ideálními rezistory (pouze tepelné spotřebiče).Řešení přechodných dějů v obecných obvodech je dáno zdrojem a prvky v obvodu:1. Stejnosměrný obvod - R, C a R, L -exponenciální funkce

- R, L, C - kmitavý tlumený průběh2. Střídavý obvod - R, C a R, L - kmitavý tlumený průběh

- R, L, C - kmitavý tlumený průběhPozn. Při simulace ustálených stavů ve střídavých obvodech je třeba nechat odeznít přechodový děj.

Stejnosměrný zdroj – R, CStejnosměrný zdroj – R, CObvod RC je tvořen ideálním rezistorem a kondenzátorem a je připojen na zdroj stejnosměrného napětí

R

C

UuR

uC

1. Zapnutí obvodu (nabíjení kondenzátoru)

* obvodem začne procházet nabíjecí proud (in), kondenzátor se začne nabíjet

* na kondenzátoru a rezistoru vzniká úbytek napětí (uR a uC)

in

* v prvním okamžiku se kondenzátor chová jako zkrat a obvodem prochází maximální proud – I0

R

UI 0

* v obvodu musí platit 2. Kirchhoffův zákon -

CR tutuU )()(

* napětí na rezistoru lze vyjádřit podle Ohmova zákona nR tiRtu )(*)(

Stejnosměrný zdroj – R, CStejnosměrný zdroj – R, C

R

C

UuR

uC

in* napětí na

kondenzátoru ttiC

tu nC )(*1

)(

* po dosazení do napěťové rovnice

ttiC

tiRU nn )(*1

)(*

* proud z rovnice rovnici lze určit pomocí vyšší matematiky

kde je časová konstanta

t

n eIti

*)( 0

CR*Časová konstanta určuje rychlost nabíjení

kondenzátoru.

Časový průběh nabíjeníČasový průběh nabíjení* proud v obvodu (nabíjecí

proud) klesající exponenciální

funkce

t

n eIti

*)( 0

* napětí na rezistoru klesající exponenciální

funkce

tt

nR eUeIRtiRtu

***)(*)( 0

* napětí na kondenzátoru rostoucí exponenciální

funkce

)1(**)()( tt

RC eUeUUtuUtu

Časový průběh nabíjeníČasový průběh nabíjení

Zhodnocení průběhuZhodnocení průběhu1. Na kondenzátoru nelze docílit skokové změny

napětí2. Rychlost nárůstu napětí na kondenzátoru je dána

časovou konstantou . Přechodový děj se považuje za ukončený (kondenzátor je nabitý) za dobu t=3*

3. Na kondenzátoru může dojít ke skokové změně proudu

4. Průběh napětí na odporu kopíruje průběh proudu5. Okamžitý součet napětí na odporu a kondenzátoru

je roven napětí zdroje kondenzátory se používají k vyhlazení průběhu napětí

(usměrňovače) a k odrušení špiček napětí (ochrana elektroniky).

PříkladPříkladRC obvod je tvořen kondenzátorem C=1mF a rezistorem R=500. Napětí zdroje je 200V. a) určete funkce pro průběh napětí a proudu, funkce zakresleteb) vypočítejte okamžité hodnoty napětí a proudu v čase t1=0,3s

c) vypočítejte hodnotu napětí na kondenzátoru pro t2=3*

Časová konstanta

sCR 5,010*500* 3

Nabíjecí proud i(t)n

5,05,00 *4,0*

500

200**)(

tttt

n eeeR

UeIti

Napětí na rezistoru u(t)R

5,0*200*)(tt

R eeUtu

Napětí na kondenzátoru u(t)C

)1(*200)1(*)( 5,0

tt

C eeUtu

Časový průběh nabíjeníČasový průběh nabíjení

Nabíjení kondenzátoru

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3t(s)

u(V

)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

i(mA

)

uR(t) uC(t) in(t)

U

I0

Stejnosměrný zdroj – R, CStejnosměrný zdroj – R, C

R

C

UuR

U=uC

2. Vypnutí obvodu (vybíjení kondenzátoru)

* kondenzátor je nabitý na napětí zdroje

* obvodem začne procházet vybíjecí proud (iv), kondenzátor se začne vybíjet (předpokládáme původní směr proudu)

* na rezistoru vzniká úbytek napětí uR (předpokládáme původní směr napětí)

* energie kondenzátoru se na odporu přemění na teplo

iv

* v prvním okamžiku je velikost proudu dána počátečním napětím na kondenzátoru a velikostí odporu rezistoru – I0 R

U

R

UI C 0

* napětí na kondenzátoru se postupně snižuje, v obvodu musí platit 2. Kirchhoffův zákon -

0)()( CR tutu

* napětí na rezistoru lze vyjádřit podle Ohmova zákona vR tiRtu )(*)(

Stejnosměrný zdroj – R, CStejnosměrný zdroj – R, C

R

C

UuR

uC

iv* napětí na

kondenzátoru ttiC

tu vC )(*1

)(

* po dosazení do napěťové rovnice

ttiC

tiR vv )(*1

)(*0

* proud z rovnice rovnici lze určit pomocí vyšší matematiky

t

v eIti

*)( 0

* proud v obvodu (vybíjecí proud) klesající exponenciální funkce, záporný

počáteční proud

t

v eIti

*)( 0

* napětí na rezistoru klesající exponenciální

funkce, záporné počáteční napětí

tt

cR eUeIRtiRtu

***)(*)( 0

* napětí na kondenzátoru klesající exponenciální

funkce

t

RC eUtutu

*)()(

Časový průběh vybíjeníČasový průběh vybíjení

Vybíjení kondenzátoru

t(s)

U(V

)

I(m

A)

uR(t) uC(t) i(t)

U

I0

PříkladPříkladVybíjení kondenzátoru. RC obvod je tvořen kondenzátorem C=1mF a rezistorem R=500. Napětí zdroje je 200V. V ustáleném stavu je kondenzátor nabitý na napětí zdroje a) určete funkce pro průběh napětí a proudu, funkce zakresleteb) vypočítejte okamžité hodnoty napětí a proudu v čase t1=0,3s

c) vypočítejte hodnotu napětí na kondenzátoru pro t2=3*

Časová konstanta

sCR 5,010*500* 3

Vybíjecí proud i(t)v

5,05,00 *4,0*

500

200**)(

tttt

v eeeR

UeIti

Napětí na rezistoru u(t)R

5,0*200*)(tt

R eeUtu

Napětí na kondenzátoru u(t)C

5,0*200*)()(tt

RC eeUtutu

PříkladPříkladVybíjení kondenzátoru. RC obvod je tvořen kondenzátorem C=1mF a rezistorem R=500. Napětí zdroje je 200V. V ustáleném stavu je kondenzátor nabitý na napětí zdroje a) určete funkce pro průběh napětí a proudu, funkce zakresleteb) vypočítejte okamžité hodnoty napětí a proudu v čase t1=0,3s

c) vypočítejte hodnotu napětí na kondenzátoru pro t2=3*

Vybíjecí proud iv

(t=0,3)mAeti v 5,219*400)3,0( 5,0

3,0

Napětí na rezistoru uR (t=0,3)

VetuR 8,109*200)3,0( 5,0

3,0

Napětí na kondenzátoru uC (t=0,3)

VetuC 8,109*200)3,0( 5,0

3,0

PříkladPříklad

Vybíjení kondenzátoru

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

t(s)

U(V

)

-450-400-350-300-250-200-150-100-50050100150200250300350400450

I(m

A)

uR(t) uC(t) i(t)

U

I0

Stejnosměrný zdroj – R, LStejnosměrný zdroj – R, LObvod RL je tvořen rezistorem a ideální cívkou a je připojen na zdroj stejnosměrného napětíuR

uL

* poté začne obvodem procházet budící proud (in), na cívce vzniká magnetické pole

* na cívce a rezistoru se vytváří úbytek napětí (uR a uL)

in

1. Zapnutí obvodu* v prvním okamžiku se cívka chová

jako nekonečně velký odpor, obvodem neprochází žádný proud

* v obvodu musí platit 2. Kirchhoffův zákon -

)()( tutuU LR

* napětí na rezistoru lze vyjádřit podle Ohmova zákona )(*)( tiRtu nR

R

L

U

Stejnosměrný zdroj – R, LStejnosměrný zdroj – R, L

* po dosazení

* napětí na cívce lze vyjádřit podle indukčního zákona

uR

uL

in

R

L

U t

tiLtu n

L

)(

*)(

t

tiLtiRU n

n

)(

*)(*

* proud z rovnice rovnici lze určit pomocí vyšší matematiky

kde je časová konstanta

I0 je proud po ukončení přechodového děje (ustálený proud)

)1(*)( 0t

n eIti

R

L

Po ukončení přechodového děje se cívka chová jako zkrat, proud je omezen pouze rezistorem: R

UI 0

Časový průběh vytváření Časový průběh vytváření magnetického pole na cívcemagnetického pole na cívce

* proud v obvodu (budící proud)

rostoucí exponenciální funkce

)*1()( 0t

n eIti

* napětí na rezistoru rostoucí exponenciální

funkce

)1(*)1(**)(*)( 0tt

nR eUeIRtiRtu

* napětí na ideální cívce klesající exponenciální

funkce

tt

RL eUeUUtuUtu

*)1(*)()(

Časový průběh budícího Časový průběh budícího prouduproudu

Budící proud na cívce

t(s)

u(V

)

i(A)

uR(t) uL(t) in(t)

U

I0

Zhodnocení průběhuZhodnocení průběhu1. Na cívce nelze docílit skokové změny proudu2. Rychlost nárůstu proudu na cívce je dána časovou

konstantou . Přechodový děj se považuje za ukončený za dobu t=3*

3. Na cívce může dojít ke skokové změně napětí4. Průběh napětí na odporu kopíruje průběh proudu5. Okamžitý součet napětí na odporu a cívce je roven

napětí zdroje cívky se používají k vyhlazení průběhu proudu

PříkladPříkladNabuzení cívky. RL obvod je tvořen cívkou L=3,5 H s vnitřním odporem R=40. Napětí zdroje je 20V. a) určete funkce pro průběh napětí a proudu, funkce zakresleteb) vypočítejte okamžité hodnoty napětí a proudu v čase t1=50 ms

c) vypočítejte hodnotu napětí na cívce pro t2=3* Časová konstanta

msR

L5,87

40

5,3

Budící proud in(t):

)1(*5,0)1(*)( 5,870

tt

n eeIti

Napětí na vnitřním odporu cívky uR (t)

)1(*20)1()( 5,87

tt

R eeUtu

Napětí na ideální cívce uL(t)

5,87*20*)()(tt

RL eeUtuUtu

PříkladPříkladNabuzení cívky. RL obvod je tvořen cívkou L=3,5 H s vnitřním odporem R=40. Napětí zdroje je 20V. a) určete funkce pro průběh napětí a proudu, funkce zakresleteb) vypočítejte okamžité hodnoty napětí a proudu v čase t1=50 ms

c) vypočítejte hodnotu napětí na cívce pro t2=3* Časová konstanta

msR

L5,87

40

5,3

Budící proud in(t=50ms):

Aemstin 218,0)1(*5,0)50( 5,87

50

Napětí na vnitřním odporu cívky uR

(t=50ms):VemstuR 71,8)1(*20)50( 5,87

50

Napětí na ideální cívce uL(t=50ms): VemstuL 29,11*20)50( 5,87

50

Časový průběh budícího Časový průběh budícího prouduproudu

Budící proud na cívce

0

5

10

15

20

25

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

t(s)

u(V

)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

i(A)

uR(t) uL(t) in(t)

U

I0

Stejnosměrný zdroj – R, LStejnosměrný zdroj – R, L

uR

uL

* po otevření diody začne obvodem procházet proud (iv) (předpokládáme původní směr proudu)

* na cívce a rezistoru se vytváří úbytek napětí (uR a uL)

iv 2. VypnutíNa rozdíl od kondenzátoru magnetické pole na cívce okamžitě po vypnutí okamžitě zaniká. Simulaci lze provést pomocí nulové diody. V zapnutém obvodu je závěrném stavu. Při rozpojení se vlivem indukčního zákona vytvoří na cívce indukované napětí:

R

L

U

t

tiLtu v

L

)(

*)(

* indukované napětí má takový směr, aby proud jím vyvolaný působil svými účinky proti změně, která ho vyvolala (snaží se udržet magnetické pole) polarita napětí se změní nulová dioda se otevře

Stejnosměrný zdroj – R, LStejnosměrný zdroj – R, L* v obvodu musí platit 2.

Kirchhoffův zákon -)()(0 tutu LR

* napětí na rezistoru lze vyjádřit podle Ohmova zákona )(*)( tiRtu vR

uR

uL

iv

R

L

U

* po dosazení t

tiLtiR v

v

)(

)(*0

* řešením dostaneme průběh indukovaného proudu

t

v eIti

*)( 0

* napětí na odporu:

t

R eUtu

*)(

* napětí na cívce:

t

RL eUtutu

*)()(

Časový průběh indukovaného Časový průběh indukovaného prouduproudu

Indukované napětí na cívce

t(s)

u(V

) i(A

)

uR(t) uL(t) iv(t) I0

U

-U

PříkladPříkladVypnutí cívky. RL obvod je tvořen cívkou L=3,5 H s vnitřním odporem R=40. Napětí zdroje je 20V. a) určete funkce pro průběh napětí a proudu, funkce zakresleteb) vypočítejte okamžité hodnoty napětí a proudu v čase t1=50 ms

c) vypočítejte hodnotu napětí na cívce pro t2=3* Časová konstanta

msR

L5,87

40

5,3

Indukovaný proud iv(t):

5,870 *5,0*)(

tt

v eeIti

Napětí na vnitřním odporu cívky uR (t)

5,87*20*)(tt

R eeUtu

Napětí na ideální cívce uL(t)

5,87*20*)()(tt

RL eeUtutu

PříkladPříkladVypnutí cívky. RL obvod je tvořen cívkou L=3,5 H s vnitřním odporem R=40. Napětí zdroje je 20V. a) určete funkce pro průběh napětí a proudu, funkce zakresleteb) vypočítejte okamžité hodnoty napětí a proudu v čase t1=50 ms

c) vypočítejte hodnotu napětí na cívce pro t2=3* Indukovaný proud

iv(t=50ms):AeeImsti

t

v 283,0*5,0*)50( 5,87

50

0

Napětí na vnitřním odporu cívky uR

(t=50ms):

VeeUmstut

R 29,11*20*)50( 5,87

50

Napětí na ideální cívce uL(t=50ms): VeeUmstu

t

L 29,11*20*)50( 5,87

50

Časový průběh indukovaného Časový průběh indukovaného prouduproudu

Indukované napětí na cívce

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

t(s)

u(V

)

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

i(A

)

uR(t) uL(t) iv(t) I0

MateriályMateriály

Blahovec Elektrotechnika 2

http://www.leifiphysik.de/index.php

http://www.zum.de/dwu/umaptg.htm