zaokrúhlovacie metódy výpoctu exaktných návrhov experimentov · obsah 1 volebné systémy 2...

Zaokrúhl’ovacie metódy výpoctu exaktných návrhovexperimentov

Lenka Filová

October 29, 2012

Obsah

1 Volebné systémy

2 Efficient rounding (Pukelsheim 1992)

3 Multiplikatívne metódy

4 Príklady

5 Aproximacné algoritmy

6 References

Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 2 / 21

Zaokrúhl’ovacia metódaMáme aproximatívny návrh (

x1 . . . xsw1 . . . ws

)w1, . . . , ws sú váhy v bodoch supportu x1, . . . , xs.Chceme exaktný návrh vel’kosti N(

x1 . . . xsn1 . . . ns

)n1, . . . , ns sú pocty meraní v jednotlivých bodoch supportu.Ciel’: zaokrúhlit’ w1, . . . , ws tak, aby pre celé císla n1, . . . , ns platilo

ni ≈ Nwi =: zi, i = 1, . . . , s,

s∑i=1

ni = N

Prvý pokus: Kiefer 1971

ni = argmin maxi≤s|ni − zi|


Volebné systémy

Kritériá "férovosti" zaokrúhlenia

Pri prerozdel’ovaní hlasov vo vol’bách požadujeme, aby použité metódysplnali niektoré z týchto kritérií:

Monotónnost’ vzhl’adom na vel’kost’ návrhu (Alabama paradox), pocetbodov supportu (new states paradox) a ’pocet hlasov’ (populacnýparadox)Nevychýlenost’: ak w má rovnomerné rozdelenie na (s− 1)-rozmernomsimplexe, potom každý exaktný návrh vel’lkosti N dostaneme s rovnakoupravdepodobnost’ouDodržanie kvót: bNwic ≤ ni ≤ dNwieAditivita: Ak zlúcime dva body supportu , napr. x1, x2 do x+:(

x1 x2 x3 . . . xsn1 n2 n3 . . . ns

)→(x+ x3 . . . xsn+ n3 . . . ns

),

potom n+ = n1 + n2.Central impossibility result (Balinski, Young 1982): neexistuje metódasplnajúce všetky tieto kritériá


Volebné systémy

Alabama paradoxPorušenie monotónnosti vzhl’adom na rozsah N exaktného návrhu.

Pri zvýšení celkového poctu pozorovaní sa zmenší pocet pozorovaní vnejakom xi (Alabama 1880)

x1 x2 x3 ostatné celkovováhy 0.02557 0.03224 0.06234 0.87985 1

miesta 8 10 18 263 299miesta 7 10 19 264 300


Volebné systémy

New states paradox

Porušenie monotónnosti vzhl’adom na pocet bodov supportu (Oklahoma1907):

ξA1 =

(x1 . . . xsw1 . . . ws

)→ ξN1 =

(x1 . . . xsn1 . . . ns

)Položme N2 = N1 + ns+1. Potom

ξA2=

(x1 . . . xs xs+1

w1N1

N2. . . ws

N1

N2

ns+1

N2

)→ ξN2

=

(x1 . . . xs xs+1

m1 . . . ms ns+1

)kde pre niektoré i je ni 6= mi.


Volebné systémy

Population paradox

Porušenie monotónnosti vzhl’adom na ’pocet hlasov’.

Majme dva aproximatívne návrhy ξ1, ξ2 a k nim prislúchajúce zaokrúhleniavel’kosti N :

ξ1 =

x1 x2 x3

w1 w2 w3

n1 n2 n3

ξ2 =

x1 x2 x3

u1 u2 u3

m1 m2 m3

kde n1 = n2.K populacnému paradoxu dochádza, ak u1

w1> u2

w2, ale m1 < m2, teda napriek

väcšiemu nárastu váhy pri aproximatívnom návrhu sa pocetnost’ pre dané xiv exaktnom návrhu znížila (nastáva najmä ak w1 << w2).


Volebné systémy

Monotónne metódy

V k-tom kroku vypocítame kvóty qi, i = 1, . . . , s podl’a doterajšieho poctumeraní ui v bode xi (ui = 0 v prvom kroku). Dalšie meranie robíme v bode snajväcším qi.

D’Hondtova metóda, qi = wi

ui+1 Sainte-Lague metóda, qi = wi

2ui+1


Efficient rounding (Pukelsheim 1992)

Efficient rounding method (Pukelsheim&Rieder 1992)

Priama aplikácia metód používaných vo vol’báchZákladná myšlienka: pocetnosti zi = vwi zaokrúhlime nahor. Ak zi ∈ N,náhodne vezmeme bud’ zi alebo zi + 1

Pôvodný algoritmus (Puk92): robíme aspon tol’ko pozorovaní, kol’ko jebodov supportu (N ≥ s); v každom bode supportu, kde malaproximatívny návrh nenulovú váhu, požadujeme aspon jednopozorovanie (ni > 0 ∀i)Modifikácia (Dorfleitner, Klein 1999): robíme aspon tol’ko pozorovaní,kol’ko je parametrov (N ≥ m)Nepridávame žiadne nové body supportuZ pôvodných kritérií zachováva monotónnost’ vzhl’adom na N a aditivitu,ale môže porušit’ kritériá nevychýlenosti a dodržania kvótPotrebujeme poznat’ len váhy w aproximatívneho návrhu, výsledoknezávisí na modeli ani kritériu Φ



Algoritmus

1 Vstup: vektor váh aproximatívneho návrhu w = (w1, . . . , ws),∑wi = 1.

2 vol’ba násobiacej konštanty N − s ≤ v ≤ N : v = N − s/2 (Puk), v = N(Klein)

3 touto konštantou vynásobíme váhy aprox. návrhu: z = vw

4 d’alej položme

ni ∈

{{k + 1} ak zi ∈ (k, k + 1)

{k, k + 1} ak zi = k

t.j. zaokrúhl’ujeme nahor5 ak

∑ni < N , zväcšíme o 1 to ni, pre ktoré je hodnota I(ni, wi) = ni

wi

minimálnaak∑ni > N , zmenšíme o 1 to ni, pre ktoré je hodnota D(ni, wi) = ni−1

wi

maximálna6 Výstup: vektor n = (n1, . . . , ns),

∑ni = N .



Vlastnosti

Nech ξN je exaktný návrh vel’kosti N , ktorý je zaokrúhlenímaproximatívneho návrhu ξA a Φ je informacná funkcia.Dolná hranica na eficienciu výsledného exaktného návrhu vel’kosti N je

minΦ

Φ(M(ξN ))

Φ(M(ξA))≥ 1− m

N,

kde m je pocet parametrov modelu.Konvergencia: Pre všetky informacné funkcie Φ platí

limN→∞

1

NM(ξN ) = M(ξA),

limN→∞

Φ(1

NM(ξN )) = Φ(M(ξA)).



Výhodyrýchlost’pre vel’ké N máme zarucenú vysokú eficienciunetreba brat’ do úvahy kritérium a model

Nevýhodydostatocne vel’kú eficienciu vieme dosiahnut’, len ak N >> s

máme fixne dané body supportunevieme zapracovat’ lineárne podmienky na cenu, marginálne podmienkya pod.


Multiplikatívne metódy

Zovšeobecnenie (Dorfleitner, Klein 1999)

Zaokrúhlenie robíme pomocou tzv. signpost sequence {sk}, sk ∈ [k, k+ 1]

Táto postupnost’ generuje zaokrúhl’ovaciu funkciu R : [0,∞)→ N0

R(x) = k pre x ∈ [sk−1, sk)

Dalej dostávame funkcie I(k,w) = skw a D(k,w) = sk−1

w , pomocou ktorýchbudeme upravovat’ zaokrúhlenie na požadovaný rozsah N



Algoritmus

1 Vstup: vektorw = (w1, . . . , ws),

∑wi = 1

2 vypocítame pocetnosti ni = R(vwi), kde R je monotónna zaokrúhl’ovaciafunkcia a v je násobiaca konštanta

3 vypocítame odchýlku od požadovaného rozsahu návrhu d =∑ni −N

4 ak d = 0, vektor n = (n1, . . . , ns) je požadované zaokrúhlenie5 ak d < 0, zväcšíme o 1 to ni, pre ktoré je hodnota I(ni, wi) minimálna

ak d > 0, zmenšíme o 1 to ni, pre ktoré je hodnota D(ni, wi) maximálnaopakujeme, až kým nenastane d = 0

6 Výstup: vektor n = (n1, . . . , ns)



Špeciálne prípady

arithmetic mean rounding method

s(q)k = (1− q)k + q(k + 1), q ∈ [0, 1]

q = 0: Adamsova metóda (zaokrúhlenie nahor)q = 0.5: Websterova metóda (zaokrúhlenie do stredu)q = 1: D’Hondtova metóda (zaokrúhlenie nadol)

power mean rounding method

t(p)k =

(kp + (k + 1)p

2

)1/p

, p ∈ R

geometric mean rounding method

u(r)k = k1−r(k + 1)r, r ∈ [0, 1]


Príklady

Príklad: Kvadratická regresia na štvorci

Model:

Y (x) = β0 + β1x21 + β2x

22 + β3x1 + β4x2 + β5x1x2 + ε(x).

Aproximatívny D-optimálny návrh na [−1, 1]2 má váhywV = 0.1458 vo vrcholoch štvorcawS = 0.0802 v stredoch stránw0 = 0.0960 v strede štvorca


Príklady

Príklad: Kvadratická regresia na štvorci

Relatívne eficiencie exaktného a zaokrúhleného návrhu vzhl’adom naaproximatívny D-optimálny návrh:

N 6 7 8 9eff(wE |wA) 0.892 0.949 0.961 0.974

eff(wpuk|wA) 0.557 0.811 0.833 0.974


Príklady

Príklad: Kvadratická regresia na kockeModel:

Y (x) = β0 +

3∑i=1

βix2i +

3∑i=1

β(i)xi +∑i<j

βijxixj + ε(x).

Aproximatívny D-optimálny návrh má tvar:

Ked’že stredy stien majú nulovú váhu, algoritmus nebude tieto body privýpocte exaktného návrhu brat’ do úvahy.


Príklady

Príklad: Kvadratická regresia na kocke


Aproximacné algoritmy

Metódy založené na aproximacných algoritmoch

Dá sa ukázat’, že hl’adanie exaktného návrhu je NP-t’ažký problém.Za predpokladu P 6= NP teda neexistuje algoritmus s polynomiálnouzložitost’ou, ktorého riešenie by malo vyššiu eficienciu ako1− 1/e ≈ 0.632.Pre niektoré špeciálne kritériá (Φp kritériá pre p ∈ [0, 1]) sa dá ukázat’, žetáto hranica je najhoršia možná a že ju greedy algoritmom vieme vždydosiahnut’ (Sagnol 2013).


References

References

Balinski ML, Young HP (1982):"Fair representation: meeting the ideal ofone man, one vote", Brookings Institution PressKiefer J (1971): "The role of symmetry and approximation in exact designoptimality", Statistical Decision Theory and Related Topicswww.geometricvoting.org.ukPukelsheim F, Rieder S (1992): "Efficient rounding of approximatedesigns", Biometrika, Vol. 79, pp. 763-770Imhof L, Lopez-Fidalgo J, Wong WK (2001): "Efficiencies of RoundedOptimal Approximate Designs for Small Samples", Statistica Neerlandica,Vol. 55(3), pp 301–318Dorfleitner G, Klein T (1999): "Rounding with multiplier methods: Anefficient algortihm and applications in statistics", Statistical papers 40Sagnol G (2013): "Approximation of a maximum-submodular-coverageproblem involving spectral functions, with application to experimentaldesigns", Discrete Applied Mathematics


zaokrúhlovacie metódy výpoctu exaktných návrhov experimentov · obsah 1 volebné systémy 2...

Documents