第 07 章計量值管制圖

品質管理劉漢容、陳文魁

第 07 章計量值管制圖

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7.1 引言休哈特博士以樣本統計量之三個標準誤作為準則，來設定界限幅寬，以建立管制圖。錯誤的續用規則：「使用上個月的樣組數據，計算出當月管制圖的管制界限。」上月的隨機抽樣「手氣不佳」，當月出現管制「績效超好」的假象。上月的隨機抽樣「手氣甚佳」，當月出現管制「績效超差」的假象。

3



績效超好

4



績效超差

5



7.2 平均數管制圖

- 平均數管制圖 (X-bar control chart)係管制平均數之變化，即是製程分配的集中趨勢之變化。令Ｘ代表製程

(μ , σ的品質特性，而Ｘ之數值是呈現常態分配Ｎ 2)之隨機變數；由於常態分配是對稱的，致使中位數等於平均數。

6



7.2.1 群體已知假設製程品質特性Ｘ之平均數μ和標準差σ都是已知，利用統計學的抽樣理論及三標準誤之界限幅寬準則，我們即可以決定 -管制圖的中心線、管制上界和管制下界。

1

3A

nUCL

1

3A

nLCL

CL

nA /31

7



7.2.2 群體未知且小樣本μ σ假設製程品質特性Ｘ之平均數和標準差都是未知

，而且是小樣本，利用統計學的抽樣理論及三標準誤 -之界限幅寬準則，我們可以決定管制圖的中心線、

管制上界和管制下界。

2

12 d

AA

RAXn

XLCL 2

ˆ3

RAXn

XUCL 2

ˆ3

XCL

8



7.2.3 群體未知且大樣本μ σ假設製程品質特性Ｘ之平均數和標準差都是未知

，而且是大樣本，利用統計學的抽樣理論及三標準誤 -之界限幅寬準則，我們可以決定管制圖的中心線、


sAXn

XLCL 3

ˆ3

sAXn

XUCL 3

ˆ3

XCL

4

13 c

AA

9



7.3 中位數管制圖

- 中位數管制圖 (median control chart)係管制中位數之變化，即是製程分配的集中趨勢之變化。令Ｘ代表製程

(μ , σ的品質特性，而Ｘ之數值是呈現常態分配Ｎ 2)之隨機變數；由於常態分配是對稱的，致使中位數等於平均數。

X~

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7.3.1 群體已知假設製程品質特性Ｘ之平均數μ和標準差σ都是已知，利用統計學的抽樣理論及三標準誤之界限幅寬準則，我們即可以決定 -管制圖的中心線、管制上界和管制下界。

CL

1333

Amn

mLCL

1333

Amn

mUCL

nmX

/3~

11



7.3.2 群體未知且小樣本μ σ假設製程品質特性Ｘ之平均數和標準差都是未知

，而且是小樣本，利用統計學的抽樣理論及三標準誤 -之界限幅寬準則，我們可以決定管制圖的中心線、


2

12 d

AA

RAXn

XLCL 2

ˆ3

RAXn

XUCL 2

ˆ3

XCL

12



7.3.3 群體未知且大樣本μ σ假設製程品質特性Ｘ之平均數和標準差都是未知

，而且是大樣本，利用統計學的抽樣理論及三標準誤 -之界限幅寬準則，我們可以決定管制圖的中心線、


sAXn

XLCL 3

ˆ3

sAXn

XUCL 3

ˆ3

XCL

4

13 c

AA

13



7.4 全距數管制圖令Ｘ代表製程的品質特性，而Ｘ之數值是呈現常態分配Ｎ (μ,2) 之隨機變數。全距數： R = Xmax － Xmin 。全距數管制圖用以管制全距數之變化，製程分配的變異程度。

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7.4.1 群體已知且小樣本令Ｘ～Ｎ (μ,2) ，已知常態參數 μ和 σ 。樣本全距數之平均數 R = d2σ 。樣本全距數之標準誤 R = d3σ 。

2322 33 DdddUCL R

2dCL

1322 33 DdddLCL R

321 3ddD 322 3ddD

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7.4.2 群體未知且小樣本令Ｘ～Ｎ (μ,2) ，未知常態參數 μ和 σ 。樣本全距數之平均數。樣本全距平均之標準誤 = 。

RR

RDd

RdRRUCL R 4

2333

RDd

RdRRLCL R 3

2333

233 /31 ddD 234 /31 ddD

23 / dRd

R

R

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7.5 標準差管制圖令Ｘ代表製程的品質特性，而Ｘ之數值是呈現常態分配Ｎ (μ,2) 之隨機變數。標準差：。標準差管制圖用以管制標準差之變化，製程分配的變異程度。

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7.5.1 群體已知令Ｘ～Ｎ (μ,2) ，已知常態參數 μ和 σ 。樣本標準差之平均數 = c4σ 。樣本標準差之標準誤 = c5σ 。

545 3ccB 546 3ccB

654 33 BccEUCL

554 33 BccELCL

4cCL

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7.5.2 群體未知且大樣本令Ｘ～Ｎ (μ,2) ，未知常態參數 μ和 σ 。樣本標準差之平均數。標準差平均之標準誤 = 。

sBc

scssUCL s 4

4533

sBc

scssLCL s 3

4533

sCL

4

53

31

c

cB

4

54

31

c

cB

45 / csc s s

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7.6 管制圖界限彙要及範例

7.2~7.4 節管制圖用公式 7.2~7.4 節管制圖用常數

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計算界限公式彙整 7.2~7.4 節管制圖用公式

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管制界限常數彙整 7.2~7.4 節管制圖用常數

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範例 7.1

(0) 查常數： A1=1.3416, D1=0, D2=4.9183, d2=2.326 。

(1) 管制界限【附表一管制圖用常數】 X

42.4310*3416.1301 AUCL

CL 30

58.1610*3416.1301 ALCL

(2) 管制界限 R

18.4910*9183.42 DUCL

26.2310*326.22 dCL

LCL D 1 0

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範例 7.1 (2)(3) 製程抽樣：

自常態缽中隨機抽取 20 個樣組，每組樣本大小均為 5 ，計算各組之組平均和組全距。

±`ºA²ÚºÞ¨î¹Ï

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範例 7.2

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範例 7.2 (2)(0) 查常數：m3=1.154, c4=0.965, B5=0.1361, B6=1.8639 。

(1) 管制界限

【附表一管制圖用常數】

X

(2) 管制界限 R

12.7815*2238.177513 AmUCL

775CL

88.7685*2238.177513 AmLCL

32.95*8639.16 BUCL

83.45*965.04 cCL

68.05*1361.05 BLCL

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範例 7.2 (3)(3) 製程抽樣：

將 25 組平均數和標準差各自繪入 - 管制圖和標準差 σ- 管制圖，兩圖上都未顯示出統計失控的任何徵兆。

¤¤¼Æ¼Ð·Ç®tºÞ¨î¹Ï

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7.7 管制圖的偵察能力

假設有某零件製程其能力達 CP = 1.0 ，而且是不偏的。如果該製程往規格上界 USL 漂移了 3 ，雖然良率只剩50% ，製造出的產品卻仍然有一半的機率可以通測。每次抽樣一只時半數零件仍然有機會落入規格內，以致我們有 50% 機會讓零件製程錯誤地持續生產。

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偵察能力

採用管制圖，情形會有所改觀。假設每組樣本的抽樣數是 4 ，則管制上界 UCL 與管制中心之距離就只有 1.5 。如果該製程往規格上界 USL 漂移了 1.5 ，樣組平均數只有 0.135% 機會落至管制上界 UCL 之外，此際 6.7% 零件落至規格上界 USL 之外。

X

LSL

USL

LCL UCL

Reject

0.135%

ºÞ¨î¹ÏÀË¥X¤O

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壹型誤差雖然製程未有改變，但是樣本點卻仍然有機會落出 - 管制圖的管制上界或管制下界之外。單一的這種界外機率是稱壹型誤差（ α- 風險）。

X

30



範例 7.3

(0) 造亂數：製造 30 組四樣本的標準常態隨機亂數。

(1)Z 管制圖界限CL = 0 、 LCL = -1.5 、 UCL = +1.5

31



範例 7.3 (2)

(2) 失控辨識

平均數數據

32



範例 7.3 (3)

X(3) 做成管制圖

33



範例 7.3 (4)

(4)R 管制圖界限

LCL = 0 、 CL = 2.059 、 UCL = 4.698

D1=0, d2=2.326, D2=0

全距數數據

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範例 7.3 (5)

(5) 做成 R 管制圖

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範例 7.3 (6)

使用 Excel 函數 NORMDIST(1.5,-1.9,2/2,1) - NORMDIST(-1.5,-1.9,2/2,1) ，計算出製程中心漂移至 -1.9 時的數值是 0.3442 。給予不同的漂移值，求算貳型誤差的機率，做成Ｒ - 管制圖之貳型風險的 OC- 曲線 (β- 風險 ) 。

(6) R 管制圖 OC 曲線

ºÞ¨î¹Ï¶L«¬»~®t

36



7.7.1 平均數管制圖假設因有變化致使原來製程中心已非 μ0，業已偏移 kσ0，達到 μ1 = μ0+kσ 的新品質水準。樣本點卻仍然有機會落入 - 管制圖的管制上界及管制下界之間，單一樣本平均的這種界內機率是稱貳型誤差 (β- 風險 ) 。

nn kkβ 33

37



平均數管制圖之檢出力曲線對偏移達到 k0製程，管制圖可以檢出之機率是1-β ，所謂的檢出力 (power of test) 。

ºÞ¨î¹ÏÀË¥X¤O

38



範例 7.4

(0)

(1) ARL = 1/(1-b) = 1.08 。於第一組樣本就測知過程品質發生變異之機率為 1-β = 0.9295 。平均需經過 1.08 次抽樣就能測知製程中心達 2 的漂移變化。如果每隔兩小時抽檢一次，則平均製程需要 2.15 小時可以偵查出該巨大的漂移變化。

0705.047.747.1523523

39



範例 7.4 (2)

(2) 求得各種樣本大小和製程中心各種 kσ 漂移程度的 β 和ARL 值。顯然，製程中心漂移愈小則風險大，抽取樣本大則風險小。

ºÞ¨î¹Ï°»¹î¤O

40



7.7.2 全距數管制圖假設因有變化，致使製程的變異水準如今業已擴大至 0的新水準。可是，樣本全距數Ｒ卻仍然有機會落入Ｒ - 管制圖的管制上界及管制下界之間，這種界內機率是稱貳型誤差 (β- 風險 ) 。

2

2

22

2

2 ~//

d

RdR

樣本全距數之平均的自由度和母體之全距平均編製於附表二，以備卡方檢定時應用。

0 UCL

Pr

41



範例 7.5(0) d2 = 2.326 ，估計 0 = = 14.44/2.326 = 6.169 。 (1) 假設製程變異擴大至 1.20 的新水準，則 1-β = 0.032 。

2/ dR

968.01.4169.6*2.1

47.30

0

rrr PP

UCLP

(2) 給予不同的值，求算貳型誤差的機率，則 1-β = 0.032 ，做成Ｒ - 管制圖的 OC 曲線。

RºÞ¨î¹ÏÀË¥X¤O

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附表一管制圖用常數

43



附表二d2* 常數

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