扭转

变形特点： 1, 相邻横截面绕杆的轴线相对转动； 2. 杆表面的纵向线变成螺旋线； 3, 实际构件在工作时除发生扭转变形外， 还伴随有弯曲或拉、压等变形。

受力特点： 圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的

外力偶 Me 作用下发生扭转。 薄壁杆件也可以由其它外力引起扭转。

Me

Me

扭转 薄壁圆筒的扭转

薄壁圆筒——通常指 的圆筒10

0r

当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩（合力）——扭矩 eMT

m

m

T

Me

l

M em

m

M e

r0O

扭转

推论：(1) 横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如

同刚性平面一样；(2) 相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的

距离未变。

MeMe

A D

B C

一 , 薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律

扭转

横截面上的应力：(1) 只有与圆周相切的切应力，且圆周上所有点处的切应力

相同；(2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3) 横截面上无正应力。

Me m

m

x

r0

dA

扭转

二 , 薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：

TrAA

d由 根据应力分布可知

02A

T引进　　　　，上式亦可写作2

00 πrA

20000

π2)π2(d r

T

rr

T

Ar

T

A

A

TAr d0 ，于是有

Me m

m

x

r0

dA

扭转三 , 剪切胡克定律

(1) 上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了，这

种直角改变量称为切应变。(2) 该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了角，这

种角位移称为相对扭转角。(3) 在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是

不沿壁厚变化的，故有　　 ，此处 r0 为薄壁圆筒的平均半径。　

lr0

MeMe

A D

B C

扭转

薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力不超

过材料的剪切比例极限 p 时，外力偶矩 Me( 数值上等于扭

矩 T ) 与相对扭转角成线性正比例关系，从而可知与亦成线性正比关系：

这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系数 G 称为材料的切变模量 (shear modulus) 。（剪切弹性模量） 钢材的切变模量的约值为： G =80GPa

G

Me

A DB C

Me

扭转

传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图Ⅰ. 传动轴的外力偶矩

当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在 t 秒

钟内所作功等于外力偶之矩 Me 乘以轮在 t 秒钟内的转角。

扭转 因此，外力偶 Me 每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为

3minr

mNe

3

sradmNe

3

s

radmNekw

1060

}{π2}{

10}{

10}{

}{}{}{

nM

M

tMP

因此，在已知传动轴的转速 n( 亦即传动轴上每个轮的转速 ) 和主动轮或从动轮所传递的功率 P 之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：

minr

kw3

minr

3kw

mNe }{

}{1055.9

}{π2

6010}{}{

n

P

n

PM

扭转Ⅱ. 扭矩及扭矩图

传动轴横截面上的扭矩 T 可利用截面法来计算。

T

Me

Me

T

T = Me

Me Me

1

1

扭转

扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。

扭矩图——显示横截面上扭矩与横截面位置的关系。

杆件各个横截面上扭矩可能不同。找最大扭矩

扭转 例题 : 一传动轴如图，转速 ；主动轮输入的功率 P

1= 500 kW ，三个从动轮输出的功率分别为： P2= 150 kW ，

P3= 150 kW ， P4= 200 kW 。试作轴的扭矩图。

minr300n

扭转

解： 1. 计算作用在各轮上的外力偶矩

mkN9.15mN 109.15mN)300

5001055.9( 33

1 M

mkN78.4mN1078.4mN)300

1501055.9( 33

32 MM

mkN37.6mN1037.6mN)300

2001055.9( 33

4 M

扭转2. 计算各段的扭矩

BC 段内： mkN78.421 MT

AD 段内： mkN37.643 MT

CA 段内： mkN9.56322 MMT ( 负 )

注意这个扭矩是假定为负的

扭转3. 作扭矩图

由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩 Tmax 在 CA 段内，其

值为 9.56 kN·m 。

The End

扭转

d TAA

等直圆杆扭转时的应力 · 强度条件

静力平衡

由上式无法得到切应力的值 要利用几何条件和物理条件

dA

目标： 求切应力

eMeM

扭转一 . 横截面上的应力

表面变形情况

推断横截面的变形情况

( 问题的几何方面 )

横截面上应变的变化规律

横截面上应力变化规律

应力 - 应变关系

( 问题的物理方面 )

内力与应力的关系横截面上应力的计算公式

( 问题的静力学方面 )

扭转

1. 表面变形情况：

(1) 几何方面eMeM

(a) 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状 未变，小变形情况下它们的间距也未变；

(b) 纵向线倾斜了一个角度 。平面假设——等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的

轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。

推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。

扭转2. 横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：

E

A

O1

Dd

D'G'

GO2

d/2

dx

eM

eM

ba

b

TTO1 O2

a

dx

d

ba

b

TTO1 O2

a

dx

d

扭转2. 横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：

x

EG

GGρρ

d

d

tan

即

xρ d

d E

A

O1

Dd

D'G'

GO2

d/2

dx

eM

eM

ba

b

TTO1 O2

a

dx

d

扭转

xρ d

d

式中 ——相对扭转角沿杆长的变化率，常用 '来表示，对于给定的横截面为常量。

xd

d

可见，在横截面的同一半径 的圆周上各点处的切应变

均相同；与成正比，且发生在与半径垂直的平面内。

dx ba

b

TTO1 O2

a

d

扭转

xGG

d

d

(2) 物理方面

由剪切胡克定律

可见，在横截面的同一半径 的圆周上各点处的切应

力均相同，其值与成正比，其方向垂直于半径。

G

dA

dA

扭转

pp I

T

GI

TGρ

(3) 静力学方面

其中 称为横截面的极惯性矩 Ip ，它

是横截面的几何性质。

A Ad2

d TAA

从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式

pd

d

GI

T

x

A

AI d2p 以 代入上式得：

TAx

GA

dd

d 2

即

扭转

pppmax W

T

r

IT

I

Tr

pI

T T

max

maxd

式中 Wp 称为扭转截面系数，其单

位为 m3 。

横截面周边上各点处 r) 的最大切应力为

Tmax

max

d

D

扭转

实心圆截面：

32

πdπ2

42

0

3 dd

圆截面的极惯性矩 Ip 和扭转截面系数 Wp

16

π

2/

3p

p

d

d

IW

AAI d2

p

d d

扭转

空心圆截面：

D

d

DdD

AID

d

A

其中

44

44

2

2

32p

132

π

32

π

dπ2d

4344

pp 1

16

π

16

π

2/

D

D

dD

D

IW

D

d

d

扭转

以横截面、径向截面以及与表面平行的面 ( 切向截面 )

从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体——单元体。

可得： '

单元体· 切应力互等定理

由单元体的平衡条件∑ Fx=0 和∑ Mz=0 知单元体的上、下两个平面( 即杆的径向截面上 ) 必有大小相等、指向相反的一对力 'dxdz 并组成其矩为 ('dxdz)dy 力偶。

yzxxzy

M z

dddddd

0

由

扭转

即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线垂直的切应力和 数值相等，且均指向 ( 或背离 ) 该两个面的交线——切应力互等定理。

扭转

现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面 ef

( 如图 ) 上的应力。

斜截面上的应力

x

yn

e

f

/

/

/

扭转

分离体上作用力的平衡方程为

0sinsindcoscosdd

,0

0cossindsincosdd

,0

AAA

F

AAA

F

利用 ' ，经整理得

2cos,2sin

/

扭转

由此可知： (1) 单元体的四个侧面 ( = 0° 和 = 90°) 上切应力的绝对值最大； (2) =-45° 和 =+45° 截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；

min45

max45

如图所示。

2cos,2sin

/

/

max

maxmin

min

扭转

单元体四个侧面上仅存在切应力而无正应力，因此这种应力状态称为纯剪切应力状态。

扭转强度条件

][max

此处 []为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即

][p

max W

T

铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。

扭转

等直圆杆扭转时的变形 · 刚度条件

Ⅰ. 扭转时的变形

等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角 ( 相对角位移 ) 来度量。

MeMe

扭转

当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩 T 及材料的切变模量 G 为常量时有

pGI

Tl

由前已得到的扭转角沿杆长的变化率 ( 亦称单位长度扭转角 ) 为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的相对扭转角为

pd

d

GI

T

x

l

lx

GI

T0

p

dd

pGI 扭转刚度 抗扭刚度

EA

lFl N

The End

扭转

解： 1. 各段轴的横截面上的扭矩：mN637 ,mN955 21 TT

例题： 图示钢制实心圆截面轴，已知： M1=1 592 N·m ，

M2 = 955 N·m ， M3 = 637 N·m ， lAB = 300 mm ， lAC = 500

mm ， d = 70 mm ，钢的切变模量 G = 80 GPa 。试求横

截面 C 相对于 B 的扭转角 CB 。

扭转

rad1069.1m1070

32π

Pa1080

m10500mN637 3

439

3

P

2

GI

lT ACCA

3. 横截面 C 相对于 B 的扭转角： rad1017.0rad1069.1rad1052.1 333 CAABCB

rad1052.1m1070

32π

Pa1080

m10300mN955 3

439

3

P

1

GI

lT ABAB

2. 各段轴的两个端面间的相对扭转角：

扭转

Ⅱ. 刚度条件

式中的许可单位长度扭转角 [']的常用单位是 (°)/m 。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：

对于精密机器的轴 [']≈0.15~0.30 (°)/m ；

对于一般的传动轴 [']≈2 (°)/m 。

][max

][π

180

p

max GI

T

扭转

解 : 1. 按强度条件求所需外直径 D

有由因 ][ ,16

15

16

π1

16

π

p

maxmax

34

3

p W

TDDW

m10109Pa1040

1615

π

mN1056.916

][1615

π

16 3

6

3max

33

TD

例题： 由 45号 钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比 = 0.5 。已知材料的许用切应力 [] = 40 MPa ，切

变模量 G= 80 GPa 。轴的横截面上扭矩的最大者为 Tmax = 9.

56 kN·m ，轴的许可单位长度扭转角 [']=0.3 (°)/m 。试选择轴的直径。

扭转2. 按刚度条件求所需外直径 D

有由因 ][π

180 ,

16

15

32

π1

32

π

p

max4

44

p GI

TDDI

m105.125m/)(3.0

1

π

180

1615

πPa1080

mN1056.932

][

1

π

180

1615

π

32

3

9

3

max

4

4

G

TD

mm75.62d

3. 空心圆截面轴所需外直径为 D≥125.5 mm( 由刚度条件控制 ) ，内直径则根据 = d/D = 0.5 知

扭转 等直圆杆扭转时的应变能

纯剪切应力状态下的应变能密度

对处于纯剪切应力状态的单元体 ( 图 a) ，为计算其上的外力所作功 dW 可使左侧面不动，此时的切应力仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力 dydz 在相应的位移 dx 上作功。

扭转

zyxxyzW ddd2

1ddd

2

1d

于是，当材料在线弹性范围内工作时 (≤p ，见图 b) ，

有

扭转

2

1

ddd

ddd21

d

d

d

d εε

zyx

zyx

V

W

V

Vv

2ε

2

ε 22 G

vG

v 或

单元体内蓄积的应变能 dVε 数值上等于单元体上外力所

作功 dW ，即 dVε=dW 。单元体单位体积内的应变能，亦

即纯剪切应力状态下的应变能密度为

由剪切胡克定律 =G，该应变能密度的表达式可写为

2

1ε v

2ε

2

ε 22 E

vE

v 或

扭转

在扭矩 T 为常量时，长度为 l 的等直圆杆所蓄积的应变能为

等直圆杆在扭转时积蓄的应变能

l AV

xAvVvV ddd εεε

p

22

2p

2

2

p

2

ε

2d

2

dd2

1dd

2

GI

lTA

I

T

G

l

AI

Tx

GxA

GV

A

AlAl

由 可知，亦有pGI

Tl

2pε 2

l

GIV TV

2

1ε

扭转 当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为

n

ii

i

n

i

ii

l

GIV

GI

lTV

1

2pε

1 p

2

ε 2,

2亦即

在线弹性范围内工作的等直圆杆在扭矩 T 为常量，其长度为 l 范围内的应变能亦可如下求得：

p

2

ε

2

1

2

1

GI

lT

TWV

扭转Ⅰ. 等直非圆形截面杆扭转时的变形特点

横截面不再保持为平面而发生翘曲。平面假设不再成立。

自由扭转 (纯扭转 )—— 等直杆，两端受外力偶作用，端面可自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只有切应力而无正应力。

扭转Ⅱ. 矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解

一般矩形截面等直杆 狭长矩形截面等直杆

扭转(1) 一般矩形截面等直杆

横截面上的最大切应力在长边中点处：

tmax W

T

横截面上短边中点处的切应力：

单位长度扭转角：

tGI

T

4t bI

——扭转截面系数tW 3tW b

为与 相关的因数 (表 3-1) 。h

mb

max

为与 相关的因数。h

mb

It—— 相当极惯性矩 :

为与 相关的因数。h

mb

扭转

矩形截面杆在自由扭转时的因数，，

m=h/b 1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0

0.140

0.208

1.000

0.199

0.263

__

0.294

0.346

0.858

0.457

0.493

0.796

0.622

0.645

__

0.790

0.801

0.753

1.123

1.150

0.745

1.789

1.789

0.743

2.456

2.456

0.743

3.123

3.123

0.743

扭转

(2) 狭长矩形截面等直杆

10 , 3

mm 由表可见，当 时 故有

3444t 3

1

33 h

hmI

t2333t 3

1

33

Ih

hmW

扭转闭口薄壁杆：自由扭转，截面形状任意，变厚度

假定： 1 ，横截面上无正应力，只有切应力 2 ，薄壁，切应力沿壁厚无变化，

方向与壁厚中线相切

扭转

1

2

1

2dx

0X dxdx 2211

2211

横截面周边任一点处 与 之积为常数

扭转横截面切应力与扭矩的关系

ds

rds

rdsdTTs

02AT

最大切应力：壁厚最薄处

min0max 2

A

T

02

T

A

薄壁圆筒

02

T

A

The End