2.3.2010 1הרצאה אותות ומערכות

428 חדר 15:00-16:00ד"ר יצחק ברגל. שעות קבלה: יום ב' bergeli@eng.biu.ac.il מייל:

.85%הרכב הציון: מבחן )בונוס(5%: עד 4.5.2010 בוחן בתאריך

10% תרגיל מטל"ב - הגשה פרונטאלית -

מבוא לקורס שימוש מעשי בכלי של התמרות פורייה.מטרה כללית של הקורס:

נסתכל על האות הכי בסיסי: האות ההרמוני. כלומר, אות מהצורה:דוגמא:

זהו אות עצמי של מערכת ליניארית. אם נכניס אותות למערכת ליניארית וקבועה בזמן -.לכן נרצה לייצג כל אות ע"י אות הרמונינקבל את האות כפול קבוע.

:טור פורייהאם האות הוא מחזורי אזי ניתן לבטא אותו בצורת

:כהתמרת פורייהאם האות אינו מחזורי אזי ניתן לייצג אותו

- זמן המחזור(T )נרצה לדעת את התדר של כל אות. באות מחזורי זה קל: התדר הוא: באות לא מחזורי )כמו אות דיבור( אין תדר במישור הזמן אלא ניתן להסתכל עליו כאל סכום

של תדרים שונים, לדוגמא: אות דיבור:

תדר של אות דיבור מגיע עד בערך : כאשר אות מסוים נמצא בתחום מסויםריבוב בתדרבהמשך הקורס נלמד שניתן לעשות לאות

במישור התדר )כמו אות דיבור( - ניתן להזיז אותו במישור התדר או להוסיף עוד אותות לאותו אותות נפרדים(:3אות. )נצריך מערכת שתוכל להחזיר אותם ל-

SSB אפנון . נרצה להעלות את האות לתדר גבוה יותר משנינתון אות דיבור שהתדר שלו הוא עד

סיבות:לאפשר לכמה משתמשים להשתמש באותו תווך.1

1

להתאים את האות לתווך )לתת טווח התפשטות מסוים(.2

הזזה של האות היא פעולה שמשנה את האות. לא ניתן לראות זאת בציר הזמןהערה חשובה: אלא במישור התדר. לעומת זאת - התמרת פורייה של האות איננה משנה את

האות, אלא היא ביטוי של האות במישור התדר.

נושאי הקורס: - רוב הקורס יעסוק בשימושים של טורי פורייה והתמרות פורייה. כהקדמה נחזור על אלגברה

ליניארית והטלה לבסיס.- נלמד על ייצוג של אותות מחזוריים על ידי טור פורייה.

- נלמד על ייצוג של אותות לא מחזוריים על ידי התמרת פורייה.- נעסוק בהבנה ובתכונות של הכלים המתמטיים שלמדנו בסמסטר א

- נסתכל על דוגמאות ושימושים של התמרות פורייה )בעיקר בתחום התקשורת( - נוכיח את משפט הדגימה: נלמד שיש קשר הדוק בין אות בזמן בדיד ובין אות בזמן רציף.

ישנם מקרים בהם ניתן לדגום אות רציף.

חזרה - אלגברה ליניארית תכונות:2 קבוצה המקיימת מרחב ליניארי:. 1

אזי: א. סגירות לחיבור: אם ממשי או מרוכב. בדר"כ מרוכב. ]כי. אזי: ב. סגירות לכפל בסקלר: אם

התמרת פורייה היא במישור המרוכב[ מרחבים ליניאריים עיקריים שנעבוד איתם:2קיימים

א. מרחב הסדרות המרוכבות )סופיות או אינסופיות( בזמן בדיד: נסמן:

ב. מרחב האותות הרציפים המרוכבים בזמן רציף: נסמן:

זהו ביטוי לגודל של איבר במרחב ליניארי. הנורמה מקיימת:נורמה:. 2א. הומוגניות:

ב. אי-שיוויון המשולש: . וכמו"כ מתקיים: ג. חיוביות:

במרחבים שלנו מתקיים:בזמן בדיד:

נורמת הפעולה של אות בזמן בדיד: : 1 נורמה מסדר

נורמת האנרגיה של אות בזמן בדיד: : 2 נורמה מסדר

נורמת המקסימום של אות בזמן בדיד: נורמה אינסוף:

2

בזמן רציף:

נורמת הפעולה של אות בזמן רציף: : 1 נורמה מסדר

נורמת האנרגיה של אות בבזמן רציף: : 2 נורמה מסדר

נורמת המקסימום של אות בזמן רציף: נורמה אינסוף:הרבה פעמים נרצה לחבר מרחב ונורמה, ונגדיר מרחבי נורמה.

בזמן בדיד: - מרחב האותות הבדידים עם נורמת פעולה סופית: מרחב - מרחב האותות הבדידים עם נורמת אנרגיה סופית: מרחב - מרחב האותות הבדידים עם נורמת מקסימום סופית: מרחב

בזמן רציף: - מרחב האותות הרציפים עם נורמת פעולה סופית: מרחב - מרחב האותות הרציפים עם נורמת אנרגיה סופית: מרחב - מרחב האותות הרציפים עם נורמת מקסימום סופית: מרחב

פעולה על שני איברים במרחב המקיימת את התכונות הבאות:מכפלה פנימית:. 3 א. הרמטיות:

ב. ליניאריות: . ובנוסף מתקיים: ג. חיוביות:

ליניאריות מצד ימין מקיימת: משפט:הצמוד של הקבוע יוצא החוצה.

היא: מכפלה פנימית במרחב הליניארי בזמן בדיד הגדרה:

מהגדרה זאת נקבל כי:

היא: Lמכפלה פנימית במרחב הליניארי בזמן רציף

מהגדרה זאת נקבל כי:

:נסתכל לשם האינטואיציה על מכפלה פנימית במרחב הממשי

נראה שמכפלה פנימית היא ביטוי להתאמה בכיוון.

נסתכל על מקרי קצה: והוקטורים ניצבים. כלומר: אזי:

והוקטורים באותו כיוון כלומר: אזי: אזי: כלומר: בכיוונים והוקטורים

מנוגדים

תלות ליניאריות בין אותות:. 4:נסתכל על קבוצה המוכלת במרחב ליניארי:

3

אם הוא ניתן לתיאור כצירוף ליניארי של איברים ב- תלוי ליניארית ב-א. הוקטור X סקלרים קיימים כלומר: ווקטורים . הסכום: שמתקיים כך

הוא בלתי תלוי ליניארית ב-אחרת: הקבוצה וקטורים Xב. קיימים אם ליניארית תלויה וסקלרים

. ו: לכל כך שמתקיים:

כלומר: בתוך הקבוצה ישנו לפחות וקטור אחד שתלוי ליניארית באחרים ואז אם נחסר.0אותו מהצירוף הליניארי של האחרים - נקבל

בסיס:. 5סופי: הקבוצה בסיס המרחב של סופי בסיס היא

לכל אם קיימת קבוצה אחת של סקלרים Sהליניארי כך שמתקיים:

ע"י צירוף ליניארי של Sכלומר: ניתן לייצג כל וקטור ב- . הבסיס צריך כל המרחב מיותרים. ]מכאן -Sלפרוס את וקטורים מינימלי. אין ולהיות

שהבסיס חייב להיות בת"ל[אינסופי: אם בסיס Sהמניה בת אבל האינסופית הקבוצה אזי נורמה מרחב הינו

קיימת קבוצה אם לכל S הינה בסיס של המרחב

כך ש: יחידה של סקלרים

יותר שתוסיף ככל כלומר: בנורמה. התכנסות נקראת הזאת ההתכנסות מ- לוקטור איברים ויותר יותר תתקרב כך בקיצור: לכתוב ניתן .

קבוצות אורתוגונליות / אורתונורמליות:. 6 מתקיים: תיקרא אורתוגונלית אם הקבוצה

כלומר: אין בקבוצה את וקטור האפס.ובנוסף תיקרא אורתונורמלית אם בנוסף: הקבוצה תכונות:

אזי:. משפט פיתגורס: בקבוצות אורתוגונליות, אם 1

. קבוצה אורתוגונלית היא בת"ל2קיימים כלומר: ליניארית. תלויה היא הקבוצה כי נניח השלילה: בדרך ההוכחה:

. אזי נסתכל על, ו-0 ולפחות אחד מהם שונה מ-הקבועים

המכפלה הפנימית:

וזה לא ייתכן ע"פ ההנחה. על כן הסתירה מוכיחה את המשפט. kנקבל שלכל ייצוג על בסיס אורתונורמלי:

4

. אזיS בסיס אורתונורמלי סופי או אינסופי של מרחב מכפלה פנימית יהי

כך שמתקיים: קיימת סדרה יחידה של קבועים

: kנגלה את הקבוע ה-

הערות:

אם הבסיס אורתוגונלי אזי:

וידוע הייצוג של הוקטורים - אם קיים בסיס אורתונורמלי למרחב כזה בעזרתבייצוג אזי נוח לייצג את המכפלה הפנימית ע"י:הבסיס והקבועים

באותות רציפים הסכום יהפוך לאינטגרל.

אותות הרמוניים בזמן בדיד

ההרמונית: בזמןהמשפחה האותות למרחב בסיס היא

. )זה לאו דווקא חייב להיות המחזור הכי קטןNבדיד המחזוריים במחזור שלהם(

המכפלה הפנימית המוגדרת לבסיס זה היא:

. נוכיח כדי להוכיח שזה בסיס צריך להוכיח שאפשר לייצג כל אות ע"י קבועים ו-הוכחה:גם כי הבסיס הוא אורתוגונלי. )ומזה יוצא שהוא גם בת"ל(

נוכיח אורתוגונליות )עבור

משום שע"פ0. התוצאה היא השתמשנו בנוסחת סכום סופי של טור הנדסי:

.0 זהו מספר שלם השונה מ-, שהרי ולכן: הנתון הגודל של כל אות הוא:

נבחן את גודל הבסיס. תחילה נגדיר מסרק הלמים:

אם ניקח מחזור אחד של האות המחזורי ונכפול במסרק הלמים נקבל את האות המחזורי:

נמחיש את זה בצורה גרפית. נתון האות המחזורי:

5

אותות בסיס. כך בעצם בכל פעם כופלים את4כיון שהאות הוא מחזורי ניתן לחלק אותו ל-הגודל של האות ברכבת הלמים.

וקטורי בסיס כדי שההוכחה תתפוס )שלאNהערה: בקשר להוכחת האורתוגונליות - צריך .N יהיה כפולה של נאפס את המכנה, שהרי אסור ש-נמצא את הקבועים ע"י מכפלה פנימית:

אזי:כיון ש-

DFS] בזמן בדיד ] של טור פורייה נקרא הפירוק הזה של לוקחים אות ומחשבים מקדמי פורייה שלו:נוסחת האנליזה:

מחשבים את האות מתוך מקדמי פורייה שלו:נוסחת הסינתזה:

ערכים עוקבים של האות.N אומר שניתן לחשב את מקדמי פורייה בעזרת כל הסימון: )המייצגים מחזור אחד(

אותות הרמוניים בזמן רציף

המשפחה ההרמונית:

עם מכפלה פנימית:Tהיא בסיס אורתוגונלי למרחב האותות בזמן רציף המחזוריים במחזור

נקבל את ההוכחה נגביל )לעת עתה( לאותות רציפים. נוכיח אורתוגונליות: עבור הערה:כי:

הוא הסבר: המחזור כל פני על מחזורי אות של אינטגרל אם 0 האותות לכן . אורתוגונליים. כלומר: הם בת"ל, ואין אותות מיותרים.כעת נוכיח כי הבסיס יכול לייצג כל אות במרחב. ניעזר בלמה:

היא הדלתא של דיראק. ההוכחה תינתן בשיעור הבא.כאשר: . כלומר: מחזור יחיד של נסמן ב-

. ניעזר בכלל ההזזה: על ידי שכפול של נייצג את האות

6

ברכבת הלמיםTמכפלה של

הוא צירוף ליניארי של קבועים עם איברים מהבסיס.הוכחנו שכל אות .מזה נגזור בשיעור הבא את טור פורייה הרציף של

7

9.3.2010 2הרצאה F ourier Series טורי פורייה -

זמן רציף:

זמן בדיד:

כאשר מחשבים מקדמי פורייה של אותות מחזוריים תמיד לוקחים מחזור אחד ולאהערה: משנה איפה הוא מתחיל.

מקדמי פורייה מחזוריים. כלומר: בזמן בדיד: פונקציית ההלם של דיראק מוגדרת באופן הבא: הגדרה:

הפונקציה מקיימת: רציפה מסביב ל-לכל פונקציה

צריך להיזהר בפעולותפונקציית דלתא היא לא פונקציה במובן הרגיל אלא פונקציה מוכללת. .איתה

לדוג': שתי פעולות שניתן לעשות עם פונקציית הלם הם הזזה בזמן והכפלה בקבוע:

עם כל שאר הפעולות צריך להיזהר. לדוגמא:. זה שהערך ב- ולכן לא נוכל להציב בקלות אינה מקבלת ערך סופי מוגדר עבור

.0 זה לא אומר כלום על הפונקציה, כי הרי היא מוגדרת באופן מיוחד בנקודה הוא 0 אלא באיזור מסוים סביבכמו"כ - פונקציית הדלתא לא מוגדרת רק בעזרת הערך בנקודה

. לכן כאשר כופלים אותה בפונקציה רגילה 0ה- tf-הפונקציה צריכה להיות רציפה סביב ה - 0.

וברור כי לא אבל זה נכון לכל 0 ובשאר הזמן נקבל נקבל ב-לכאורה אם נציב הגדרנו כך באופן מלא את הפונקציה. אלא צריך להסתכל דרך ההגדרה:

היה יוצא מינוס החוצה, ולכן:אם

כעת, נוכיח את הלמה מהשיעור הקודם:

לכלT הוא אות מחזורי במחזור נסתכל על המבנה של הפונקציה בצד שמאל: הוכחה:

k לכן סכום של כל האותות יהיה גם מחזורי במחזור .Tוזה מתאים לצד ימין שם יש , .Tרכבת הלמים כאשר הערך חוזר על עצמו כל

. נסתכל מתחת[ יש רק פונקציית הלם בזמן ל-בין [ 0כעת נוכיח שמסביב ל- לאינטגרל )ע"פ ההגדרה של פונקציית הלם(:

כי:T אזי נקבל אם : 1 אפשרות

זהו אינטגרל של סכום של איברים. כל האיברים יתאפסו חוץ מ-

8

כי:0 נקבל אם למשל

נקבל:אם

.Tולכן סכימה של כל האיברים תיתן

.0 אזי נקבל או אם אפשרות ב:

נקבל:כאשר:

פעמיים. נטפל בסכום הראשון:0 כי יש את החסרנו את

1נרצה להשתמש בסכום של טור הנדסי אינסופי, אבל צריך שהאיבר בתוך הטור יהיה קטן מ-. לכן נעשה את הטריק הבא:ואצלנו:

וניתן להשתמש בנוסחה של טור הנדסי אינסופי.1 ושואף ל-1כעת האיבר בתוך הטור קטן מ- הוא כפולה כלומר: כאשר יש אי-רציפות כאשר:

של כאשר Tשלמה לכן, נקבל:.

הסכום השני דומה:

. בסה"כT הוא כפולה שלמה של שוב יש לנו אי רציפות כאשר נקבל:

9

נעשה גורם משותף ונקבל:

ההוכחה דומה למקרה השלישי: היה בתחום האינטגרציה אזי אחד מההלמים היה נמצא בתוך תחום האינטגרציה0 אם הערה:

.0ואז לא היינו מקבלים נתאר את התוצאה בצורה גרפית:

דוגמאות לטור פורייה: . ניתן ללכת לנוסחאות ולחשב. המחזור הוא: . אות רציף מחזורי הרמוני: 1

את המקדמים אבל ניתן לחשב באופן ישיר:

. ניתן להציג את האות כסכום של אקספוננטים:. אות סינוסי בזמן רציף: 2

.. אות סינוסי בזמן בדיד: 3 האות הוא מחזורי.קודם צריך לבדוק האם האות מחזורי, שהרי לא לכל

מסוים שעבורו שוב. כעת צריך למצוא נקבל: למשל: עבור וזה לא מתקיים. לכן האות הוא לא מחזורי. עבורו . כלומר: צריך למצוא 0נקבל .N אזי המחזור הוא אם הכלל:

האות: את נפרק

נקבל: מקדמים מחזוריים. אם לדוגמא נבחר אתNהאות הזה הוא מחזורי. ניתן להגביל אותו ל-

. נקבל: אזי: N, אזי בגלל שהמחזור הוא התחום:

אזי כיון שהאות הוא בזמן בדיד, צריך שהמחזור יהיה מספר שלם. )בניגודכאשר: לזמן רציף שבו המחזור לא חייב להיות מס' שלם.

: הוא מספר שלם אזי המחזור הוא לפיכך: אם

אינו מספר שלם אזי צריך לחפש מחלק משותף. אם )המחזור האמיתי יכול להיותNבכל מקרה בשביל טור פורייה מספיק לקבוע כי המחזור הוא

יותר קטן(:

נקבל:עבור

10

אבל זה לא קריטי משום שכאשר N עדיין האות הוא מחזורי במחזור אם אזי:

. אין משמעות פיזיקלית לתדריםולכן תמיד ניתן להפוך את התדר להיות .שמעל

. גל ריבועי בזמן בדיד: 4

. נכתוב את האות בצורה מתמטית:בציור לעיל המחזור הוא

כדי לחשב את מקדמי פורייה של האות נצטרך לגשת לנוסחה:

של kכאשר שלמה כפולה הוא N:נקבל

, אלאsinc( ]מקדמי פורייה שלו דומים לפונקציית Dirichletהאות הזה נקרא אות דיריכלה ) הם שונים[sin לדיריכלה הוא שדיריכלה מחזורי וגם הערכים שבתוך ה-sincשההבדל בין

נסתכל על מקרי קצה:, כלומר: אין רווחים בין הדגימות. אם נציב במקדם פורייה נקבל: א.

נקבל: בנוסחה שקיבלנו נציב כאשר אם ו-

בשאר המקרים. כלומר:

כלומר: נקבל רק דגימה במקומות: ב. אם

כאשר אם נציב בנוסחה שקיבלנו נקבל: ו- בשאר המקרים.

לסיכום: קיבלנו דואליות:

. גל ריבועי בזמן רציף:4

11

ההגדרה המתמטית היא: .Tמחזור הגל הוא

פורייה: מקדמי נמצא

כי נקבל:נניח .

נקבל:עבור

מקרי קצה:.1 וחצי מהמחזור הוא 0 הוא - כלומר: חצי מהמחזור הערך של א.

: כידוע:sincנרשום את המקדמים בעזרת פונקציית

אינה תלויה בזמן המחזור כלל. )מקדמיsincבצורה הזאת ניתן לראות שהצורה של גל ה- (.הפורייה של הפונקציה הם דגימות של התמרת פורייה של הפונקציה עבור

נשאר בעצם רק הריבוע המרכזי )כל שאר הריבועים בורחיםב. כאשר זמן המחזור שואף ל-( האות כבר לא מחזורי ואז נקבל:ל-

כלומר: יש כאן ביטוי במישור התדר לאות שאיננו מחזורי. זוהי הדרך להגיע להתמרת פורייהשל האות.

Fourier Transform התמרת פורייה -

12

נתון אות רציף לא מחזורי אבל סופי בזמן. כלשהוTנרצה לייצג אותו במישור התדר. נבחר מחזור

כך ש:

כעת נרחיב את האות לאות מחזורי:

הטור פורייה של האות החדש יהיה:

: בעזרת ונגדיר את מספיק גדול כך שנוכל לקחת מחזור אחד של Tניקח

ע"פ מה שראינו לעיל:

נגדיר את הפונקציה:

:ולכן ניתן לחשב את מקדמי פורייה של

: מ-ננסה ליצור בחזרה את

: ננסה לראות מה קורה כאשר

הופך לאינטגרל ע"פ סכומי רימן: )אזי הסכום

)

שטח המלבן הוא אורך כפול רוחב:

13

tjejX

0 k 0

01 k

tjejX 00

סכום שטחי כל המלבנים הופך לאינטגרל:כאשר

: ל-קיבלנו ייצוג יחיד: מעבר מ-

התמרת פורייה בזמן רציף:

קיבלנו את הנוסחה של דוגמא להתמרת פורייה בזמן רציף:

נתון פולס מלבני יחיד:

הערה: אין הבדל בין קטן לקטן שווה, שהרי ההתמרה היא אינטגרלית ולא מבדילים ביןההתמרות שלהם.

את זמן המחזור של פולס מלבני מחזוריזה מתאים למה שראינו קודם, שכאשר מרווחים ל-.sincנקבל התמרה שהיא אות

14

16.3.2010 3הרצאה התמרת פורייה בזמן בדידניקח אות לא מחזורי בזמן בדיד ונעשה לו המשכה מחזורית:

:. לקחנו רווח בין הדגימות כך שN הוא מחזורי במחזור האות :נמצא טור פורייה של האות

ונקבל:נבחר את המחזור המרכזי - כלומר: את המחזור שמכיל את האות המקורי

מתאפס. שהרי האות ועד הרי נוכל לקחת מ-כיון שבחרנו את המחזור של

בעזרת הנוסחה:, וננסה להביע את נגדיר:

, משום שהיא סכימה של איברים היא פונקציה מחזורית ב-

(, אזי יש מחזור משותף )עבור מחזורית במחזור, ולכן כיון ש-עם מקדמים נקבל: . גם עבור לכל האיברים שאנחנו סוכמים והוא ו- היא פונקציה1

מחזורית.. היא פונקציה מחזורית במחזור נקבל ש-

מחזורים במחזור המקדמים N כי כאשר . )כי נקבל ,

. נקבל Nועבור כל כפולה של דרך ההתמרה, או דרך מקדמי פורייה:כעת, נחפש דרך למצוא את

: , , כלומר: כאשר נבדוק מה קורה כאשר יש לנו סכום של איברים שהולך ונהיה גדול יותר ויותר והרווחים בין הדגימות הולכים וקטנים:

. מחזורית הפונקציה ערך כלומר: רוחב, כפול אורך הוא מלבן כל שטח

הפונקציה כפול הרווח. ולכן נקבל: הרוחב הוא

לכן סכום כל שטחי המלבן יהיה: קיבלנו סכימה של כל המלבנים במחזור אחד. כאשר

נוכל לומר שזה קירוב ע"י אינטגרל:נקטין את

15

0

0 05 20 N

0 kGG

. וזה בדיוק מלבנים במחזור, האורך של המחזור כולו הוא Nישנם לסיכום:

התמרת פורייה בזמן בדיד

אותות בדיד ע"י רצף של לא מחזורי בזמןבייצוג אות ע"י התמרת פורייה אנחנו מתארים אות ! האות בציר הזמן הוא בדיד אבל במישור התדר אנחנו מייצגים אותו ע"י התמרההרמוניים

רציפה ומחזורית. זה מזכיר לנו טור פורייה )סכום של אותות הרמוניים(..ואיננה מחזורית אינסופית היא בזמן רציף- התמרת פורייה . מחזורית היא בזמן בדיד- התמרת פורייה

כי נוח לקחת את המחזור באופן הזה. ל-- בדר"כ אנו מסתכלים על ההתמרה רק בין - אפשר להגדיר כל מספר כתדר לאות בזמן בדיד.

. האותות0- נזכור כי האותות שמשתנים הכי לאט אלו האותות שהתדרים שלהם קרובים ל-.שמשתנים הכי מהר אלו האותות שהתדרים שלהן שואפים ל-

- לא משתנים בכלל במישור כלומר: 0 אלו אותות בתדר - אותות בתדרהזמן.

- אלו אותות שמשתנים כל אלו אותות מהצורה: - אותות בתדר .nהזמן ב-

נסמן התמרת פורייה בזמן בדיד: דוגמאות:

. פולס מלבני יחיד בזמן בדיד: 1

ההתמרה: את נחשב

. נקבל: 0 - כלומר: יש לנו רק דגימה אחת ב-מקרה קצה:

16

nx

n1N 1N

נוסחת האנליזה:

נוסחת הסינתזה:

סיכום - טורי פורייה והתמרות פורייהזמן בדידזמן רציף

אותותמחזוריים

)טוריפורייה(

FS

אנליזה:

סינתזה:

DFS

אנליזה:

סינתזה:

אותותלא-מחזור

יים

)התמרתפורייה(

FT

אנליזה:

סינתזה:

DTFT

אנליזה:

סינתזה:

תכונות:FS : אותות מחזוריים במחזור T .

DFS : אותות מחזוריים במחזור N .FT : :נסמן

DTFT : :נסמן ליניאריות:. 1

FS :DFS :

FT :DTFT :

הזזה בזמן:. 2FS : המחזור .T:נשמר בהזזה בזמן. נקבל

הערה: גבולות האינטגרציה משתנים כיון שזה על מחזור שלם ולא משנה מאיפהמתחילים.

DFS : המחזור .N:נשמר בהזזה בזמן. נקבל

FT :

DTFT :הזזה בתדר:. 3

FS מוזזים: : ההזזה תתבצע ע"י כך שנסתכל על המקדמים של

17

כלומר: הזזה בתדר שקולה להכפלה בפאזה ליניארית בזמן. הזזה בזמן שקולה להכפלה בפאזה ליניארית בתדר.

DFS :

FT ::נקבל .

הערה: בטורי פורייה בזמן רציף עשינו הזזות בתדרים ספציפיים, כי אם נכפול בתדר כאן לא נוכל להסתכל על הטור פורייה כי אז האות לא יהיה מחזורישאינו

אין לנו בעיה של מחזוריות ולכן ניתן להזיז בכל תדר.DTFT :

מחזוריות בתדר:. 4FSטור פורייה בזמן רציף אינו מחזורי :

DFS : מחזורי - NFTהתמרת פורייה של אות רציף איננה מחזורית :

DTFT : מחזורית - הרחבה/כיווץ ציר הזמן:. 5

FS : בצענו הרחבה. בצענו כיווץ, אם . אם כלומר: מחזורי במחזור אזי T מחזורי במחזור אם

אבל עם מחזור שונה: הם כמו של נקבל שמקדמי פורייה של עם מחזור

DFS : לעשות מנת על .DFSבין אפסים להוסיף נצטרך הדגימות כאשר מרחיבים את האות הבדיד.

ותדר בסיסי מחזורי במחזור אזי N מחזורי במחזור אם

עם מחזור FT : בצענו הרחבה. בצענו כיווץ, אם . אם

DTFT : על מנת לעשות .DTFTנצטרך להוסיף אפסים בין הדגימות כאשר מרחיבים את האות הבדיד.

18

קונבולוציה:. 6

FT :

קיבלנו שהתמרת פורייה של קונבולוצה היא הכפלת ההתמרות.DTFT :

הערה: מעבר דרך מערכת ליניארית ניתן לתאר בשתי אפשרויות:קונבולוציה בזמן:

מכפלה בתדר: DFS :

בעלותקיבלנו קונבולוציה בזמן בדיד, אבל זו קונבולוציה ציקלית כיון שהאותות .Nאותו זמן מחזור

קונבולוציה ציקלית מוגדרת ע"י:הגדרה:

מחזור נתונים האותות: דוגמא:

מחזור

נקבל:

כלומר: במקום להסתכל על האות בצורה מחזורית - נסתכל בצורה מעגלית:

19

אותות מחזוריים:2מכפלה של שני מקדמי פורייה היא הקונבולוציה הציקלית של

20

23.3.2010 4הרצאה המשך - תכונות טורי פורייה והתמרות פורייה

:קונבולוציה. 6FT :

DTFT :DFS :נתון :

אזי: כאשר הקונבולוציה הציקלית היא:

לסיכום:.התמרת פורייה בדידה או רציפה של קונבולוציה היא מכפלת ההתמרותמקדמי פורייה הבדידים של קונבולוציה ציקלית הם מכפלת המקדמיםקונבולוצה ליניארית )רגילה( בין שתי אותות מחזוריים - בדר"כ תתבדר, כי האותות

אינסופיים.

קונבולוציה ליניארית בזמן בדיד: נדון בתכונות של קונבולוציה ליניארית של אות בדיד כללי עם אות בדיד מחזורי. ]כאשר

לא מחזורית, אזי המוצא הואאות מחזורי עובר במערכת ליניארית עם תגובה להלם הקונבולוציה ביניהם. בדר"כ תגובה להלם של מערכת ליניארית היא לא מחזורית. אם

היא מחזורית - אזי בדר"כ היא לא יציבה[ אות כללי. נגדיר את הקונבולוציה ביניהם:, ו-N אות מחזורי בדיד במחזור יהי

, שהרי:N הוא מחזורי במחזור

. אזי ע"פ ההגדרה:. נסמן: נסתכל על מקדמי פורייה של

, נקבל:, כלומר: נפריד את הסכומים ע"י הוספה והחסרה של

כי כיון שהסכום הראשון הוא על מחזור שלם במקום ניתן לכתוב בסכום הראשון שהואניתן להתחיל מכל מספר. נקבל שהסכום הראשון הוא מקדם פורייה של

, אבל כבר ראינו בשיעור הקודם שמקדם פורייה של הזזה של אות נשארהזזה של , כלומר: זוהי התמרת פורייה של אותו דבר. הסכום השני הוא תגובת התדר של

.בתדרים

. מוכפל בהתמרת פורייה בתדר לסיכום: נקבל שכל מקדם הוא המחזור של N :כי מתארת. האות המחזורי שהסדרה

הוא:

21

. הוא הרחבה/קיפול מחזורי של האות הלא-מחזורי

נקבל: כלומר: המוצא של אות מחזורי העובר במערכת ליניארית עם תגובה להלם לא מחזורית ניתן לתיאור ע"י קונבולוציה ליניארית עם התגובה להלם או ע"י קונבולוציה

ציקלית עם ההרחבה/הקיפול המחזורי של התגובה להלם. עם כל אות מחזורי במחזור ניתן לתאר קונבולוציה רגילה של עם

N.קונבולוציה ציקלית בזמן רציף:

.T אותות מחזוריים במחזור יהי: . אזי נקבל כי:נגדיר:

קיבלנו קונבולוציה ציקלית )בדומה לזמן בדיד( כלומר:

כאשר:

באופן הבא: נתונים האותות המחזוריים דוגמא גרפית:

נסמן בקווים אדומים מקווקוים מחזור אחד של האותות. הקונבולוציה הציקלית מתבצעת : )היפוךעל מחזור אחד. על מנת לבצע את הקונבולוציה נצטרך לייצג גרפית את

והזזה(

22

כיון שהאות הוא מחזורי - אזי כל פעם שחלק מהאות זז ימינה ויוצא מתחום האינטגרציה - אותו חלק בדיוק נכנס משמאל לתחום האינטגרציה. בכל מקרה תמיד ישנו מחזור שלם

בתוך תחום האינטגרציה. של ובין ההיפוך וההזזה שלתוצאת הקונבולוציה היא סכימה של כל המכפלות בין האות

קונבולוציה ליניארית בזמן רציף: אות כללי. נגדיר את הקונבולוציה ביניהם:, ו-T אות מחזורי רציף במחזור יהי

. אזי ע"פ ההגדרה:. נסמן: נסתכל על מקדמי פורייה של

מגדירה אות מחזורי. בזמן רציף הסדרה בזמן בדיד אמרנו שהסדרה

אינה מחזורית בפני עצמה אלא:

לסיכום נקבל:

להלם תגובה עם ליניארית דרך מערכת עובר רציף אות מחזורי שאינהכאשר מחזורית - אזי ניתן לתאר את המוצא בשלושה דרכים:

. כלומר: א. קונבולוציה ליניארית עם כלומר: ב. קונבולוציה ציקלית עם ההרחבה המחזורית של

עם תגובתג. ייצוג של מקדמי פורייה של המוצא ע"י הכפלה של מקדמי פורייה של , . כלומר: התדר בתדרים

. אזי ההרחבה/קיפול של נתונה מערכת עם תגובה להלם דוגמא:

היא:

חיובי. עבור . נתאר מחזור אחד של נתמקד בתחום ולכן: כאשר

23

הוא אקספוננט דועך:בדוגמא הזאת

: ע"י הרכבת: הוא שכפול של הייצוג הגרפי של

האות הכולל הוא סכימה של כל האותות. היא לעשות קיפול של האות לתוך בתחום דרך אחרת להציג את

התחום באופן הבא:

. בדוגמא הזאת נקבל ש-כל קיפול כזה מגיע מאחד האותות המוזזים כי אנחנו סוכמים רק איברים חיוביים. הדבר מתבטא הוא הגבר של

שהרי:גם בביטוי המתמטי של

הוא קבוע.. הגודל של הוא הגבר פי

הייתה סופית היינו מקבלים שכפול שלה בזמן.אם הפונקציה :כעת, נסתכל על התמרת פורייה של

מוצא המערכת יהיה:

לסיכום:

היפוך ציר הזמן:. 7

24

FT :נחפש את התמרת פורייה:: נתון: נתון

DTFT :FS :

DFS :הצמדה:. 8

FS ::נחפש מקדמי פורייה .

DFS :FT :

DTFT :

סימטריה:. 9FT:

עבור אות ממשי:א. על פי תכונת ההצמדה נקבל: ולכן:

כלומר: החלק הממשי של ההתמרה הוא פונקציה אי-זוגית והחלק המדומה הוא פונקציה

אי-זוגית. ניתן להשתמש גם בהגדרות של ערך מוחלט ופאזה ונקבל:

הערך המוחלט של ההתמרה הוא פונקציה זוגית, והפאזה היא פונקציה אי-זוגית. הערה: התמרת פורייה של אות ממשי היא מרוכבת אך סימטרית. בדר"כ לא מתארים

מה קורה בצד השלילי של ציר התדר כי ניתן לתאר אותו באמצעות הסימטריה. עבור אות זוגי:ב.

על פי תכונת היפוך ציר הזמן נקבל: ולכן:

כלומר: תכונת הזוגיות נשמרת. עבור אות אי-זוגי:ג.

פי תכונת היפוך ציר הזמן נקבל: ולכן:

כלומר: תכונת אי-הזוגיות נשמרת. עבור אות זוגי וממשי:ד.

על פי תכונת ההצמדה נקבל: על פי תכונת היפוך ציר הזמן נקבל:

ולכן: כלומר: התמרת פורייה היא זוגית וממשית

עבור אות אי-זוגי וממשי:ה. על פי תכונת ההצמדה נקבל:

על פי תכונת היפוך ציר הזמן נקבל: ולכן:

כלומר: התמרת פורייה היא אי-זוגית ומדומה טהורה.ו. ניתן לחלק כל אות ממשי לאות זוגי ואי-זוגי:

25

הוא זוגי אזי: כאשר האות הוא זוגי אזי: כאשר האות

)כאשר נתון שהוא ממשי(, היא )על פי תכונת הליניאריות(:התמרת פורייה של

: תורם את החלק הממשי של החלק הזוגי של

: תורם את החלק המדומה של החלק האי-זוגי של

DTFT :FS :

DFS :דוגמאות:

. נתון האות הרציף והתמרת פורייה שלו: 1

נמצא את ההתמרה של האות:

וממשי הביטוי הוא ממשי, ולכן על פי תכונה ו. של סימטריה נקבל:עבור

הערה חשובה: ברוב המקרים יש להשתמש בתכונות כדי למצוא את התמרת פורייה ולאללכת ישר לנוסחא האינטגרלית.

. נתון האות הבדיד והתמרת פורייה שלו: 2

נמצא את ההתמרה של האות:

נקבל פעמיים את הערך של כי עבור הוספנו על פי תכונת היפוך ציר הזמן נקבל:

ולכן:

דואליות:. 10

FT :כזכור נוסחאות התמרת פורייה: סינתזה :

אנליזה:

26

מתחלפים. נראההנוסחאות מאוד דומות אחת לשניה, התפקידים של דוגמא כיצד ניתן להשתמש בזה ואח"כ נמצא דואליות באופן כללי:

ראינו בדוגמא לעיל כי:

ולכן ע"פ נוסחת הסינתזה:

את שני האגפים ונקבל:נכפיל ב-

ונקבל:נגדיר:

ונקבל: נגדיר:

כלומר:

את ההתמרה של מצאנו מההתמרה של

כעת נראה זאת באופן כללי: אינו פרמטר בפונקציה ולכן בפיתוח הבא לא נשתמש ]הערה: ה-יהי

[בו כדי לבטא את

את שני האגפים ונקבל:נכפיל ב-

ונקבל:נגדיר:

ונקבל: נגדיר

כלומר נקבל כי:

נתון אות חלון: דוגמא: ונקבל:נחליף:

DFS :כזכור נוסחאות טור פורייה בזמן בדיד: סינתזה :

אנליזה:

. נקבל: נסמן: . לכן יש אפשרות להחליף ביניהם:N מחזוריים במחזור

27

כלומר:

FS :ע"פ הנוסחאות: סינתזה :

אנליזה:

לא ניתן למצוא דואליות בין סדרה של מקדמים ובין אינטגרל.

DTFT :ע"פ הנוסחאות: סינתזה :

אנליזה:

לא ניתן למצוא דואליות בין סדרה של מקדמים ובין אינטגרל.אמנם - יש דואליות בין טור פורייה לבין ההתמרה הבדידה.

ונתון האות הבדיד: לדוגמא: נתון האות הרציף: האות הבדיד מתנהג כמו מקדמי פורייה של האות הרציף. נוכל לבטא את התמרת

: בעזרת פורייה בזמן בדיד של

בנוסחה של טור פורייה האקספוננט צריך להיות:

כלומר: . התמרת פורייה של זמן בדיד היא מחזוריתT מחזורי נוודא שזה נכון: האות

. מחזורית ואכן:

28

13.4.2010 5הרצאה המשך - תכונות טורי פורייה והתמרת פורייה:

הכפלה במישור הזמן:. 11

FT:ראינו לעיל כי הכפלה במישור התדר היא קונבולוציה במישור הזמן :

. מתכונת הדואליות נקבל: כפונקציה של הזמן, כלומר כ-נסתכל על

נסמן: לעיל:נציב במשוואה

נקבל: נציב:

כלומר: אם נתון אות שהוא מכפלה של שתי אותות בזמן, אזי במישור התדר הוא יהיהקונבולוציה בין שני ההתמרות של שני האותות )כפול קבוע(

FS :

DTFT :

DFS :

במישור התדרקונבולוציה ציקליתבזמן בדיד אנחנו מקבלים שמכפלה במישור הזמן היא

תנאי התכנסות:FS:ראינו כי טור פורייה של אות בזמן רציף :

האינטגרל הוא גבול שלא תמיד מתכנס. גם הסכום הוא אינסופי ולא תמיד מתכנס. הספק הוא שלאות תנאי מספיק לקיום של מקדמי פורייה קיום מקדמי פורייה:. 1

סופי:

לאותות מחזוריים של אנרגיה אינסופית, ולכן אנחנו בודקים הספק, כלומר: האנרגיהבמחזור אחד חלקי זמן המחזור. ההתכנסות כאן היא לאיבר בודד

ב-. 2 את הסכום החלקי: 2Lהתכנסות נגדיר נאמר שהסכום .

בעל הספק סופי, אם: לאות מתכנס ב-

29

ולא למספר בודד. אמנם, זה לא מבטיח שהסכום ההתכנסות כאן היא לאות , שהרי כיון שההתכנסות היא תחת אינטגרל יכול להיות הבדלשווה זהותית לאות

בנקודות בודדות בין הסכום לאות והאינטגרל לא יושפע מזה. כלומר: המדד הזה לאמבטיח שוויון מוחלט.

נקודתית:. 3 הסכום התכנסות נקודה לכל )כלומר: נקודתית מתכנס ל- )

אם מתקיימים תנאי דיריכלה:

בנקודה 1 החד-צדדיים הגבולות קיימים .:

בנקודה 2 החד-צדדיות הנגזרות קיימות .:

הערות: –. אם היא לא רציפה לכל נקודה רציפה אזי האות מתכנס ל-אם א.

ההתכנסות היא לאמצע הקפיצהשלאב. אותות קיימים כלומר: הכרחיים, ולא מספיקים תנאים הם התנאים

מקיימים את התנאים ובכל זאת יש התכנסות.היא: ג. המתמטית בוחרים ההגדרה קודם ואח"כ.

מחשבים התכנסות.ניתן להגדיר תנאים חלופיים לתנאי דיריכלה:ד.

חסום. 1. ישנו מס' סופי של נקודות מינימום ומקסימום במחזור אחד של האות2. ישנו מס' סופי של קפיצות במחזור אחד של האות3

תנאים אלה מתקיימים ברוב האותות.אם בנוסף לנאמר לעיל הנגזרת משני הצדדים קיימת וסופיתהתכנסות במידה שווה:. 4

הטור לכל אזי היא: המתמטית ההגדרה שווה. במידה מתכנס

: , כאשר T נתון האות הרציף מחזורי במחזור דוגמא:

הם: הטור מקדמי

30

ההספק של האות הוא סופי, ולכן קיימים מקדמי פורייה לטור. נבדוק כיצד נראה הסכוםשל כמות מסויימת של מקדמים:

קטן אין עדיין התכנסות של הסכום לכל נקודהכאן המרצה הראה במטל"ב שעבור הולך וגדל מתקיימת התכנסות לכל נקודה. בנקודת הקפיצה של האות ישאבל עבור

. זה נובע מכך שאין של הסכום שנשאר למרות שאנחנו מגדילים את בגלל הקפיצות.–התכנסות במידה שווה

מסוים. ככל שהזמןN בסופו של דבר עבור 1 שנבחר אזי האות יתכנס ל-לכל זמן גדול יותר(. אם הזמן הואN כך ההתכנסות תהיה יותר איטית )צריך יותר קרוב ל-

אזי לעולם לא תהיה התכנסות אלא רק לאמצע הקפיצה.בדיוק

והוא מתכנס במובן אבל הוא לא מתכנס במידהכלומר: האות מתכנס נקודתית שווה.

. ניתן לעבוד עםלסיכום: לכל אות נורמלי תהיה התכנסות נקודתית והתכנסות ב- כלומר: נהיה מוכנים לסבול את–אותות שיש בהם קפיצות וההתכנסות היא לא במ"ש

ה-. אזי: אם ידועים מקדמי פורייה של הטור - בכיוון ההפוך:

ב-. 1 כלומר: : אם 2Lהתכנסות בריבוע, סכימים קיים אות , אזי

המקיים:

, אזי מובטחת התכנסות סכימים בהחלט, כלומר: אם התכנסות במ"ש:. 2

במ"ש

: , כאשר T נתון הגל הריבועי לעיל, מחזורי במחזור דוגמא:

ראינו לעיל שאין התכנסות במ"ש. כעת נוכיח זאת ע"י שנראה שמקדמי פורייה של

הוא מס' רציונלי )לצורך הפשטות(האות אינם סכימים בהחלט. נניח כי

המקיימים זאת. ברור כי:. נבצע סכימה רק על כעת נגדיר:

31

, ולכן:שהרי הורדנו איברים מהסכום. כעת:

, ולכן ניתן להוציא אותו:כלומר: המונה של הסכום אינו תלוי באינדקס

אזי במישור התדר–שהרי זהו טור הנדסי אינסופי. קיבלנו שכאשר האות אינו רציף אבל לאט( ולכן בהתמרה ההפוכה הוא לא יתן0יהיה לאות זנב שמן )שאמנם שואף ל-

לאות להתכנס במ"ש.DFS בטור פורייה בדיד אין בעיית התכנסות שהרי אין כאם סכום אינסופי אלא סכום על :N

איברים.DTFT-כאן הטור הבדיד הוא לא מחזורי, ולכן יש בעיית התכנסות. כיון ש :DTFT-דואלי ל FS

לכן: במובן שגיאה ריבועית, אם האות קיים )במישור התדר(:2L התכנסות ב-.1

סכים בריבוע, כלומר: יש לו אנרגיה סופית:

מתכנסת במ"ש )אם נעשה התמרה הופכית( ההתמרה התכנסות במ"ש:.2 סכים בהחלט, כלומר:אם האות

FT.בשני הכיוונים )מעבר מזמן לתדר ובחזרה( ישנה בעיית התכנסות : אנרגיה סופית: קיים במובן שגיאה ריבועית אם לאות קיום ההתמרה:. 1

. נסמן: התכנסות ההתמרה ההופכית:. 2

ב-א. התדר(:2Lהתכנסות )במישור אות לכל הסכום סופית אנרגיה בעל אם: לאות 2L מתכנס ב-האינסופי של ההתמרה ההפוכה

אינו מחזורי אנחנו מחפשים אנרגיה סופית ולא הספקהערה: כיון שהאות )כמו שחיפשנו בטור פורייה עבור אות מחזורי(

נקודתית:ב. מתקיים: התכנסות מתקיימים אם התנאים המספיקים הבאים:

1 .

מס' סופי של נקודות מינימום ומקסימום בכל מקטע סופי. ל-2 מס' סופי של קפיצות סופיות בכל מקטע סופי. ל-3

)בהתמרת פורייה(תופעת גיבס:. 3 אינה במ"ש. נקבל תופעת גיבס אינה רציפה, אזי ההתכנסות של א. אם

מערך הפונקציה בנקודת הקציפה(9% של בנקודות הקפיצה )

32

בנקודות אי הרציפות אינה במ"ש. לדוגמא:ב. ההתכנסות לעבר ההתמרה בזמן לפונקציית חלון שאינה רציפה בתדר כאשר נעבור מפונקציית נקבל–

.משפטי פלנשארל ופרסבל:. 12

FT:

נקבל:זהו משפט פלנשארל. אם נציב

זהו שוויון פרסבל. האנרגיה של האות נשמרת במעבר מזמן לתדר.FS:שוויון פלנשארל :

שוויון פרסבל:

DTFT:שוויון פלנשארל :

שוויון פרסבל:

DFS:שוויון פלנשארל :

שוויון פרסבל:

גזירה והפרש:. 13FT :היא:. אזי התמרת פורייה של : נגדיר

.נשתמש באינטגרציה בחלקים:

לפיכך:

. לפיכך הביטוי0 שואף ל- וב-אם לאות יש אנרגיה סופית, אזי הערך שלו ב-.0השמאלי הוא

FS :DTFT:אין הגדרה של נגזרת בזמן בדיד. אבל יש הגדרה של הפרש :

33

DFS :

התמרת פורייה של פונקציה קבועהFT אזי מתקיים: : נתון האות

נקבל שהתמרת פורייה היא: כלומר: לכל , כלומר:כעת, ננחש כי התמרת פורייה של פונקצייה קבועה היא פונקציית הלם

נבדוק את ההתמרה ההפוכה ונקבל:

מקרה פרטי: דוגמא:

ע"י תכונת התמרת הנגזרת:נמצא את ההתמרה של

ולכן:

. ידוע שהתמרה של אות אי-זוגי היאאנחנו רוצים לדעת מה קורה כאשר אי-זוגית:

.0שהרי משהו שווה למינוס של עצמו רק אם הוא

לסיכום נקבל:

DTFT :

נבדוק ע"י ההתמרה ההפוכה:

. ל-בכל מחזור יש רק פונקציית הלם אחת ולכן לאינטגרל נכנס רק ההלם שבין נמצא התמרת פורייה של מדרגה בזמן בדיד:דוגמא:

. לכן הוספנו אתהפונקציה היא בזמן בדיד ולכן חשוב לשים לב לנקודה . כדי להראות ש-הביטוי

34

.רואים שיש הבדל רק בשתי נקודות:

ע"פ תכונת ההפרש נקבל:

ולכן:

:0. נבדוק מה קורה עבור כפולה שלמה של זה נכון לכל

לסיכום נקבל:

35

27.4.2010 6הרצאה

בשיעור שעבר ראינו כי:

אינטגרציה וסכימה:. 14

FT :אזי:: נגדיר .

הוא הקבוע שנוסף באינטגרציה:

ונקבל:נכפול את המשוואה העליונה ב-

הוא ערך סופי. לכן ניתן רציף, ולכן ערך ההתמרה בתדר הנחנו שהאות .להוריד את הביטוי השני ולהישאר עם

DTFT:נגדיר :

התמרת פורייה של אותות מחזוריים:. 15FT התמרת פורייה. נחפש את ההתמרה ההפוכה:: תהי

כלומר:התמרת פורייה של אות הרמוני היא פונקציית דלתא.

. )הבענו אותו באמצעות טור פורייה(T אות מחזורי רציף במחזור כעת, יהי

השתמשנו בליניאריות של התמרת פורייה. הביטוי השמאלי הוא טור פורייה של אות הניתן כסכום של אותות הרמוניים. הביטוי הימני הוא התמרת פורייה של הטור.

DTFT :

. נביע אותו באמצעות טור פורייה: אות מחזורי במחזור כעת, יהי

. נקבל: נגדיר:

36

ולכן:מתקיים:

(. לסיכום:N )מחזורי במחזור זאת משום ש-

מחזוריות ההתמרה היא: לסיכום:

- התמרת פורייה של אות הרמוני בודד היא פונקציית הלם- התמרת פורייה של אות מחזורי )סכום של אותות הרמוניים( היא רכבת הלמים.

- אות המכיל תדר יחיד הינו בדר"כ מרוכב.. התמרת פורייה שלו היא:- אות ממשי המכיל שני תדרים יהיה אות מסוג:

אות כזה משתנה בקצב של

משתנה בקירוב בקצב של - אות המכיל רק רכיבי תדר הקרובים לתדר

: משתנה לכל היותר בקצב - אות המכיל רכיבי תדר עד תדר

סינון מסנן הוא רכיב המשנה את ההרכב הספקטראלי )במישור התדר( של האות. מסננים נפוצים

הם:LPF –מעביר רק תדרים נמוכים של האות. חוסם תדרים גבוהים HPF –.מעביר תדרים גבוהים וחוסם תדרים נמוכים של האות BPF –מעביר תדרים בתחום מסוים וחוסם תדרים גבוהים יותר או נמוכים יותר

היא בעצם מסנן.LTIכל מערכת הוא:LTIבזמן רציך מוצא מערכת

37

הוא:LTIבזמן בדיד מוצא מערכת

שלושת המערכות הבאות הן שקולות:- הן קומוטטיביות LTIמערכות

בזמן רציף מתוארת ע"י משוואה דיפרנציאלית:LTI משפחה של מערכות בזמן רציף:

נעשה התמרת פורייה לשני אגפי המשוואה )השוויון נשמר משום שהתמרת פורייהיחידה(:

בזמן בדיד מתוארת ע"י משוואת הפרש:LTI משפחה חשובה של מערכות בזמן בדיד:

התמרת פורייה של שני אגפי המשוואה תיתן:

נתכנן מסנן דוגמא: FIR )Finit Inpulse Response(.זהו מסנן בעל תגובת הלם סופית - נתכנן אותו בעזרת תכונת ההכפלה:

נתחיל מהמד"ר לעיל:

. נקבל: , נציב:

דגימות בזמן:נראה שהתגובה להלם היא לכל היותר

. LPF נתכנן מסנן דוגמא:

38

. במישור הזמן נקבל: המסנן מחזורי

ניתן לממש את התגובה להלם, משום שהיא אינסופית בזמן. לכן הבעיה היא שלא המוגדרת ע"י:נממש עבור אות סופי כלשהו, כלומר, נכפיל אותו ב-

נקבל:

זהו גרעין דיריכלה. נקבל שתוצאת הקונבולוציה היא:

גדול יותר הוא יהיהN אך ככל שניקח 9% של over-shootכמו בטור פורייה יש לנו נקודתי יותר.

סיכום סוגי התמרות: 4- ישנם

זמןרציף

זמןבדיד

FSDFSאות מחזורי אות לאמחזורי

FTDTFT

- הקשר בין טור פורייה להתמרת פורייה:

מתקיים: T מחזורי במחזור עבור

מתקיים: Nמחזורי במחזור עבור

- הקשר בין התמרת פורייה לטורי פורייה:

אות לא מחזורי. אזי: נתון

אות לא מחזורי. אזי: נתון

- קיפול של אות בזמן = מתיחה של אות בתדר- דגימה של אות בזמן = קיפול של אות בתדר

- דואליות:

:LTI- תגובה של מערכת

39

nxtx

nyty

jeX

jX

jeY

jY

nhth ,

hקונבולוציה ליניארית עם

nhth reprep ,

hrepקונבולוציה ציקלית עם

TFTDTF

TFTDTF

jeHjH ,

Hמכפלה ב-

ka

SFDSF

kb 0,0

kjeHkjH

Hמכפלה ב-

בניית רכבת הלמים

חילוץ מקדמי הלמים

בניית רכבת הלמים

חילוץ מקדמי הלמים

SFDSF

יישומים בתקשורת

שיטה להזיז את האות בתדר. מטרת האפנון:אפנון:- ריבוב: יכולת לשדר כמה אותות בתדרים שונים באותו תווך. )כך פועלות תחנות הרדיו(

- לאפשר עבודה בתחום תדרים המתאים לערוץ.

DSB ( Double Side Band ) אפנון

אנחנו מעוניינים להזיז את במישור התדר, כלומר: B מוגבל סרט נתון אות

- גל נושא. ב-תחום התדרים של האות. לפיכך נכפיל את האות

במישור התדר נקבל הזזה של האות באופן הבא:

. נשים לב שרוחב הסרט של רוחב הסרט הוא רוחב התדרים בצד החיובי של ציר . כיון שאנחנו יכולים לשלוט על הוא ואילו רוחב הסרט של האות המשודר Bהוא

- אנחנו יכולים לשלוט על תחום התדרים שאותו אנחנו רוצים לשדר.תדר הגל הנושא כעת נגלה את האות בעזרת הגלאי הבא:

40

jX

B B

1

. נקבל:כפלנו את האות המשודר ב-

נעבור למישור התדר:

ולכן )ע"פ מעבר מכפל בזמן לקונבולוציה בתדר(:

כאשר נבחר אתLPF עלינו להעביר את האות דרך מסנן כעת, על מנת להוציא את כדי לסנן רעשים(.B )עדיף כמה שיותר קרוב ל-רוחב הפס שלו בתחום

הבעיה היא שהאפנון הזה לא עובד במציאות. כיון שהמשדר הוא לא אידיאלי יקח לו זמן לעבד שניות. נראה כיצד זה משפיע עלאת האות ולשדר אותו ואז האות האות ישודר בהשהיה של

המקלט: . המשדר כופל את האות בגל נושא האות שיכנס למשדר יהיה בהשהיה:

ונקבל:

במשדר. המקלט לא יודע זאת ולכן הוא יתייחס לאות כאילו הואנוצר הפרש פאזה של הגיע בזמן.

, . ואז נקבל: נגדיר: שניות([. המקלט]התייחסנו לאות המגיע כאל אות חדש )בפועל הוא הגיע בהשהיה של

[. נקבל בגלאי:כופל את האות הנכנס ב-

נעבור למישור התדר:

41

נקבל את המוצא: LPFאם נפעיל מסנן לא נקבל את האות כמו שהוא.. אם קיבלנו שאות המוצא תלוי בהשהיה

למעשה קשה מאוד לממש את האות כיון שהתזמון המדויק שבו האות נכנס למשדר אינו ידוע. שתיתן: נקבל כמעט את כל האות, אבל עבור השהיה עבור השהיה קטנה

האות יעלם ולא נקלוט אותו!לכן בדר"כ לא משתמשים באפנון כזה באופן מעשי.

AM אפנון

. לכן נוסיף לאות0ניתן לשחזר את האות בתנאי שהאמפליטודה העליונה לעולם לא יורדת מה-איבר חיובי שישאיר את האות תמיד חיובי:

שיקיים:aהמטרה היא למצוא

במישור התדר נקבל:

אפנון כזה קל לגלות ע"י מעגל חשמלי שמחבר את הפיקים של האות: )בירוק(

כאשר המתח עולה הקבל נטען עד לפיק, כאשר המתח יורד הקבל מתפרק )תלוי בתדר(. ככליותר גבוה הקבל מתפרק יותר לאט והאות יקלט יותר טוב.שהתדר

הבעיה היא ששידור ההלם מבזבז הספק. מצד שני אם ניצור הלם נמוך יותר גלאי ההלם לא לא יתקיים. ניתן לשפץיעבוד, כי אם נשדר את ההלם על הספק נמוך אזי התנאי

את המקלט באופן הבא:

42

הפעלנו מסנן צר על איזור הדלתא. הוא מסנן את הגל הנושא ומגביר אותו. אח"כ מפעילים והוא מוציא את האות.LPFמסנן

(Double Side-Band Reduced Carrier: )מקלט כזה נקרא: (Double Side-Band Supressed carrier: )המקלט הקודם נקרא:

43

4.5.2010 7הרצאה DSB ( Double Side Band ) אפנון

הוא שידור של האות כאשר התדרים שלו מוזזים והם סביבDSBראינו בשיעור שעבר שאפנון :

מאוד רגיש לשינוי פאזה של האות. )השהיה במישור הזמן(.DSBראינו שאפנון כמו"כ דיברנו על שימוש בגל נושא, ושע"י גלאי מעטפת נוכל לשחזר אותו. אם הגל הנושא חלש- לא נוכל להפעיל גלאי מעטפת, אבל נוכל לשחזר את הגל הנושא שמכפילים בו בשביל

יש בזבוזDSB. הבעיה היא שבאפנון DSB-RCשלאת היה בעיה עם הפאזה. אפנון כזה נקרא של רוחב סרט.

שהוא כפול מרוחב הסרט הוא ניתן לראות כי רוחב הסרט של החלק החיובי של, החיובי של האות עצמו. לפיכך כדי לשדר את האות אנחנו משתמשים ברוחב סרט כפול - וזה

דבר בזבזני. כמו"כ לא ניתן לשדר אות מרוכב - ולכן יש להקפיד שהאות המשודר יהיה סימטרי במישור

התדר כלומר: עלינו לשדר גם את החלק השלילי של האות. SSB ( S ingle side Band ) אפנון

אפנון זה אנו משדרים רק חלק מהאות. אם נשים לב ניתן להפיק את כל המידע של האות ע"ישימוש באחד משתי האפשרויות הבאות:

)בירוק(. דרך נוספת היאBPFע"מ לשדר רק את החלקים המקווקווים עלינו להפעיל מסנן להשתמש במסנן הילברט. זהו מסנן בעל תגובה להלם:

לסנן רוצים היינו אילו הוא העובדה שהמסנן הוא ממשי. הילברט במסנן בשימוש היתרון המסנן שהיינו צריכים לתכנן לא היה ממשי כי הוא לא סימטרי.LPFבאמצעות

SSB-USB ( Upper Side Band ) אפנון העברת החלק החיובי של האות בלבד: : 1 שלב

44

jX

B B

1

: הצמדה של האות. האות שקיבלנו הוא לא ממשי )כי במישור התדר הוא לא סימטרי(,2שלב לכן עלינו להפוך אותו לממשי ע"י הצמדה של האות והזזה שלו לתחום התדרים שאנובאקספוננט: הכפלה ע"י מתבצעת התדר במישור האות של הזזה רוצים.

האות: של הממשי החלק את ניקח כעת,

נבנה את האפנן:

SSB-LSB ( L ow Side Band ) אפנון :1שלב

: 2שלב

נבנה את האפנן:

45

.SSBכעת נבנה גלאי לאות שאופנן

ונוציא את האות המקורי:LPFהאות באמצע הוא האות המקורי. לכן נעביר דרך

רגיש מאוד לכל שינוי פאזה והאות במוצא אף יכולDSBבשיעור שעבר הוכחנו כי אפנון להתאפס עבור הפרש פאזה מסוים. הבעיה נוצרת כי מקבלים את חצי העיגול פעם מימין ופעם

משמאל בפאזה שונה והסכום שלהם יכול להתאפס.אפנון של אחרים.SSBבמקרה בתדרים הם כי השני את האחד לבטל יכולים לא הם

המורכבות היא הצורך לייצר את הגל הנושא בתדר מדוייק על מנת שלא תיווצר הזזה.כעת נראה כיצד משדרים אות מרוכב:

התמרת פורייה של אות מרוכב היא ממשית ואינה סימטרית. בדר"כ אנו עוסקים באות ממשי, שההתמרה שלו היא מרוכבת ולכן את הגל נצטרך לצייר פעמיים - עבור החלק המדומה ועבור

החלק הממשי, או עבור הערך המוחלט והפאזה.- להפוך לסימטרי על מנת לשדר את האות אנו צריכים להפוך את האות לממשי, כלומר במישור התדר. תחילה נזיז את האות במישור התדר על מנת שיהיה מוגדר רק עבור תדרים

חיוביים:

46

כעת נהפוך את האות לממשי, ע"י הוספת השיקוף שלו:

על מנת לייצג אות מרוכב נצטרך לעשות שתי כניסות למערכת, כאשר כניסה אחת מייצגת אתהממשי המרוכב החלק החלק את מייצגת השניה והכניסה הזאת המערכת .

פשוטה למימוש, ואין צורך להשתמש במסנן הילברט.

כעת נבנה את הגלאי. נרצה להזיז חזרה את האות המשודר באופן הבא:

. באופן אנליטי נקבל:LPFע"מ להוציא את האות המקורי נעביר דרך

2B זהה לשידור אות ממשי בעל רוחב סרט Bנשים לב ששידור של אות מרוכב בעל רוחב סרט )באות מרוכב מודדים את כל רוחב הסרט משום שהוא לא סימטרי במישור התדר ולכן אם

ניקח רק את החלק החיובי - נאבד מידע(.המשודר: האות על פאזה שגיאת משפיעה כיצד נראה

47

. משום שהוא מוזז בתדר יסנן את הביטוי הצמוד LPFה-

אזי אין השהיה ונקבל את האות אם נקבל ההיפך: אם

אזי נוכל להכפיל ב-עבור כל תדר אחר נקבל ערבוב של שניהם. אם אנחנו יודעים את .. נעשה זאת ע"י מעגל מיוחד שמוצא את ההשהיה ולקבל את האות

תקשורת ספרתיתבתקשורת אנלוגית אנחנו מטפלים באות בזמן רציף כמו שהוא.

בתקשורת ספרתית אנחנו מקבלים סדרה של ביטים )אות בדיד( ועלינו להפוך אותו לאות רציףנייצג את הביטים בסדרת דגימות המכילות מידע ספרתי. זאת יכולה על מנת לשדר אותו.

.להיות כל סדרה של מספרים , , , האפשרויות שלנו הם:

במקלט נצטרך להעביר את כל הדגימות האלו, אלא שיהיה לנו רעש )לא נכנס לזה(. תחילהנניח כי סדרת הביטים היא ממשית. נייצג אותה באמצעות אות רציף עם הלמים באופן הבא:

T.הרווח הקבוע בין ההלמים -

בחרנו הלמים כיון שזה הייצוג הכי פשוט, אלא שהוא בעייתי, כי רוחב הסרט הוא אינסופי, והוא קשה למימוש כי אין מציאות של מתח אינסופי. נמצא את רוחב הסרט של האות המשודר

ע"י התמרה:

מיוצג במישור התדר ע"י התמרת פורייה של האות הבדיד קיבלנו שהאות הרציף בשינוי סקלה. מכאן ניתן לראות שרוחב הסרט הוא אינסופי, שהרי התמרת פורייה של אות

ובין . ההבדל בין מחזורית , ולכן ההתמרה בדיד היא מחזורית הוא בשינוי הסקלה:

כיון שרוחב הסרט הוא אינסופי, אזי על מנת לשדר את האות עלינו למצוא דרך להביא את)נבחר צורת משולש(האות לרוחב סרט סופי. לכן נעביר את האות דרך מסנן כלשהו

ונקבל אות סופי:

48

יצירתהלמים

אילו היינו בוחרים מסנן מלבני, היינו מקבלים מלבנים:

נבדוק את המסנן המלבני במישור התדר:

וגם הבעיה היא שכיון ש- לא מתאפס במישור התדר לא מתאפס במישור הוא בעל רוחב סרט אינסופי.התדר נקבל עדיין שהאות

יהיה בעל רוחב סרט סופי. בציר הזמן המסנן האידיאלי צריךלפיכך יש לדרוש שהמסנן להיות אינסופי וזה בלתי אפשרי. מספיק שנדרוש הוא יהיה מאוד ארוך.

במישור הזמן:לדוג': נראה כיצד נראה מסנן בעל אורך

לאינסוף - כך נקבל רוחבנקבל דריכה והמוצא התערבב לנו. ככל שנשאיף את האורך של סרט סופי במישור התדר ולא תהיה דריכה.. כך שנוכל לשחזר אותו אח"כ מתוך נבחן שיטה אחרת לשדר את האות הבדיד

T שמתאפס כל נשים לב שאנו מעוניינים לשחזר רק נקודות דגימה בודדות. לפיכך נבחר את ה-T תיתן לנו בכל כפולה של . בחירה כזאת של 1שניות ובזמן אפס הערך שלו הוא

המתאים. כל מה שקורה בין הכפולות לא מעניין אותנו. כעת, על מנת לשחזר את . שניות מהאות Tניקח דגימה כל

לסיכום - יש למצוא מסנן המקיים את שתי הדרישות הבאות:מסנן אינסופי בזמן )וסופי במישור התדר(א. שניות ומקיים Tמסנן המתאפס כל ב.

49

צריך להיות ממשי. מה שיגרום לאות להיות מרוכב הוא המסנן וכך ננצל גם את החלק הממשי וגם את החלק המדומה להעביר מידע. למעשה יצרנו קשר בין העולם הרציף

ובין העולם הבדיד.

מעבר מאות בזמן רציף לאות בזמן בדיד הרבה פעמים קיימת בעיה הפוכה, כלומר: עלינו לקחת אות בזמן רציף ולדגום אותו - להפוך אותו לבדיד ואז לשחזר בחזרה את האות הרציף מתוך האות הבדיד. את התנאים לדגימה

ושחזור אותות רציפים נראה בשבוע הבא.

50

11.5.2010 8הרצאה מעבר מאות רציף לאות בדיד

T ע"י דגימה של האות הרציף כל . יצרנו ממנו אות בזמן בדיד נתון אות בזמן רציף שניות:

האם אפשר לשחזר את האות הרציף מתוך האות הבדיד? לכאורה הדבר בלתי אפשרי, שהריבין כל שתי נקודות אפשר להעביר אינסוף קווים ואיך נדע איזה קו להעביר?

שיאפשר שחזור מדויקTנראה שעבור משפחה מסויימת של אותות ישנו תנאי על זמן הדגימה של האות המקורי הרציף.

אנחנו דוגמים את האות על מנת להכניס את המידע למחשב. מחשב הוא מכונה ספרתית . היא מערכת זולה, קטנה וקלה יותר לתכנון. חשוב לנו לא לאבד מידע בשחזור1 ו-0המקבלת

ולכן אנו רוצים שחזור מדויק של האות המקורי. נבדוק מתי האות שנדגום באמת ייצג את האותבזמן הרציף.

משפט הדגימהלתיאור אות בזמן רציף במישור התדר, וב-מעתה נשתמש ב- לאות בזמן בדיד במישור

התדר. במישור התדר:נבטא את האות הבדיד

בזמן בזמן בדיד לבין התמרת פורייה של האות קשרנו בין התמרת פורייה של האות רציף.

הגדרנו:

- המרחק בין ההלמים במישור התדר: היא רכבת הלמים בזמן רציף.

51

עם קונבולוציה נקבל התדר במישור ההלמים. ברכבת הדגום האות מכפלת הוא שנותנת סכום אינסופי של הזזות.

: אכן מחזורית שבטאנו בעזרת ההתמרה של נוכיח כי ההתמרה של

לסיכום, נתאר את פעולת הדגימה בשני שלבים: . קיבלנו רכבת הלמים וכפלנו אותו ברכת הלמים לקחנו את האות הנתון א.

בזמן רציף. ובין ע"י התמרות ניתן לקשר בין האות ב.

במציאות, החלוקה הזאת לשני שלבים לא קיימת, אבל מבחינה מתמטית זה נוח יותר להציגזאת כך.

הצגה גרפית של פעולת הדגימה

נראה כך.נניח כי האות המקורי

נכפול אותו ברכבת הלמים:

שטח ההלם מייצג את הדגימות במישור הזמן.

52

הפיכה של רכבתהלמים

לסדרה בדידה

ע"י שינוי סקאלה: לאות כעת נוכל לעבור מהאות

.קיבלנו את המחזוריות של שאם השכפולים אינם דורכים אחד על השני ניתן יהיה לעבורניתן לראות מהגרף של

שהתנאי לדגימת האות הוא:. נקבל ל- : כל פעולה שעושים על האות חייבת להיות פעולה בציר הזמן. ציר התדר לאהערה חשובה

קיים במציאות, אלא זו רק דרך מתמטית להסתכל על האות. נזכור כי האות שלנו ישמור את האות בזמןLPFהוא בזמן בדיד, ולכן כל הכפלה או חילוק או מעבר ב-

בדיד.

שחזור האות מזמן בדיד לזמן רציף מתוכו.. אנחנו מעוניינים לשחזר את האות הרציף נתון האות הבדיד: בעזרת שינוי סקאלהשלב א: נגיע לאות : בעזרת שלב ב: נבטא את

וזה יעזור לנו לשחזור, זאת אם התנאיLPFעכשיו, כאשר אנחנו בזמן רציף נוכל להעביר דרך . לכן מסנןשל הדריכות מתקיים, כלומר: אם אין חפיפה בין השכפולים, כלומר:

המקיים:

יקיים: השחזור מאות בדיד לאות המקורי נעשה בדרך הפוכה למה שעשינו בדגימה. הגדרנו מסנן

, כלומר - הלכנו מהסוף להתחלה. ל-שבעזרת רכבת הלמים עובר מ-

משפט הדגימה של נייקוויסט

מתוך. אזי ניתן לקבוע את עבור אות מוגבל סרט המקיים יהי הבא: באופן דגימותיו

זאת אם מתקיים: הוא המרווח בין הדגימות.כאשר

53

בניית רכבת

והוא מכיל רכבתהבעיה היא שעל מנת לדגום את האות אנו צריכים לבנות את האות וזה בלתי אפשרי למימוש. לכן נחפש פתרון–הלמים. המשמעות היא אות עם מתח אינסופי

אחר:

כפול המערכת המוזזת:במקום להשתמש ברכת הלמים השתמשנו בסכום של

נקבל:

: סביב כל אחת מן הנקודות המשמעות היא פונקציית

,. נקודות אלו הן נקודות הדגימה ישנן נקודות מסויימות בהן נוכל לדעת בדיוק מהו שהרי:

בנקודות הדגימה הוא אינסופי משום שבכל נקודה עוברות אינסוףאלא שעדיין הערך של דגימות. אנחנו רוצים ליצור אות בזמן רציף מהדגימות הנתונות בעזרת רכיב פשוט יותר, ללא

. לכן נשתמש בפונקציית מדרגה.הכפלה ב- על מנת לתאר את הסכימה הזאת נשתמש במעברים שעשינו מוקדם יותר. נשתמש ברכבת

הלמים של מסנן מלבני. נבחר מסנן שהתגובה להלם שלו תהיה:

ימינה. מטרת המסנן היא לשמור את הערך שלהמסנן הינו השהיה של פונקציית חלון ב- .ZOH - Zero Order Holdהדגימה עד הדגימה הבאה. מסנן זה נקרא:

נקבל:

54

נרצה לדעת באלו נקודות הוא. כדי לצייר את באדום מצוייר הערך המוחלט של

מתאפס.האפס הראשון יהיה כאשר:

וקיבלנו שהוא לא לגמרי התאפס, נשאר בתוך המלבןTרצינו לקבל את המשולש מוכפל ב-משהו.

שתי תופעות:א. תגובת התדר היא אינסופית ולכן היא לא מאפסת לגמרי את השכפולים.

ב. תגובת התדר אינה שטוחה בתחום הרצוי )יש עיוות גם במשולש המקורי( . נמתח את התמונה,על מנת שהשכפול יהיה טוב יותר נרצה להגדיל את קצב הדגימה

תרד, והמשולש המקורי שאינו תלוי ב-. הנקודה הגבוהה של ה-כלומר את ה- ישאר במקומו וכך נקבל קירוב טוב יותר.

. נרצה שהמסנן ימחק אתעל מנת להעיף את השכפולים האחרים נוכל להעביר דרך עוד

. בכך פתרנו את בעיה א. את בעיה ב. נתקן בעזרת הכפלההשכפולים המיותרים מעבר ל-

:ב-

- דגימות מהירות יותר.: להגדיל את 1אפשרות : להוסיף מסנן מיד אחרי.2אפשרות

FOH - First Order Hold שחזור האות הרציף ע"י חיבור קוים בין נקודות הדגימה.

על מנת לנתח את האות נציג אותו כמסנן באופן הבא:

55

כיון שסכום כל1הקונבולוציה תגרום לכך שנקבל על כל דגימה משולש. בדגימות עצמן נקבל שני קווים מקווקוים זהו הקו שעובר בין כל שתי נקודות דגימה. באזור השכפולים הוא ישאיף

, ובאיזור הרצוי - המשולש, הוא יעוות יותר!0את הנקודות ל-

ואז נוכל לתקן אח"כ. כל שחזור שלא נעשה - תמיד נוכל לתקן. לרוב נשתמש ב-הערה:אם יש בעיה היא מתעוררת בדגימה. כלומר: כאשר תנאי נייקוויסט לא מתקיים.

דגימה בתדר נמוך מתדר נייקוויסט

.. דגמו את האות בקצב מוגבל סרט נתון אות רציף השלב בו נאבד מידע הוא השלב בו מכפילים את האות ברכבת הלמים:

)הקו המקווקו( אלא שנקבלT עם הגבר LPFכאשר נרצה לשחזר את האות נפעיל מסנן - קיפול, שכפולים.aliasingשכפול בקצוות. תופעה זו נקראת

נתון האותדוגמא:

. ולשכפולים במחזור של דגימת האות תגרום להקטנה בגודל ביחס של נקבל את הגרף:כאשר אנחנו עומדים בתנאי נייקוויסט, כלומר אם:

56

sx

jX pIm

0

2s

2s 0 s

0 s0 s

0 s 0

jX p

m m

T

תיתן לנו את האות בחזרה.הפעלת מסנן ברוחב

נקבל את הגרף הבא:אם אנחנו לא עומדים בתנאי נייקוויסט, כלומר אם

נשים לב כי הדלתות החיוביות הפכו לשליליות והשליליות לחיוביות. נוצר שינוי בתדר והפיכת.פאזה. אם נפעיל מסנן נקבל את האות:

. )המונח קיפול מתאים רק לאותות ממשיים שיש לנונוצר קיפול - התדר התקפל סביב סימטריה במישור בתדר. בדר"כ לא נתייחס לקיפול אלא לשכפולים(

Anti-Aliasing Filterאות בקצב נתון אותו נייקוויסטודגמנו תנאי מתקיים האם יודעים איננו .

. מה נוכל לעשות על מנת להקטין ככל הניתן את הנזק שעלול להיווצר? נרצה לעשותדרך משהו לפני הדגימה על מנת להקטין את הנזק. נעביר את האות Anti-Aliasing

Filter שימנע את השכפולים: - מסנן נגד שכפולים ברוחב

אילו לא היינו מעבירים את הפילטר לפני הדגימה היינו מקבלים שכפול כפול. תנאי נייקוויסט

חותך את האות באמצע וגורם ניתן לשחזר את האות. אבל כאן התדר אומר שאם

לשכפול אחרי פעולת הדגימה.

- נחתוך את האות כבראם נעביר לפני הדגימה פילטר שיסנן את כל התדרים הגבוהים מ-

לפני הדגימה ואז לאחר הדגימה האות לא ייחתך פעמיים.

על מנת לדגום אותות צרי סרט.נראה כיצד ניתן להשתמש בפילטר

57

s

jX pIm

0

2s

2s 0 s

filter anti aliasing

דגימת אותות צרי סרט

אות צר סרט המקיים: יהי

אלא שבמקרה הזה ניתן לדגום בתדרניתן כמובן לדגום את האות בתדר נייקוויסט: נמוך יותר. נשתמש בשכפול של האות.

שתי המשולשים הצמודים לציר האנכי הם שכפולים של האות. אנחנו רואים שאם ניקח תדר כך שהשכפולים לא יעלו על עצמם - ניתן יהיה לשחזר את האות גם בלי לקיים אתדגימה

תנאי נייקוויסט..BPFנשחזר את האות ע"י

58

25.5.2010 9הרצאה דגימת אותות צרי סרט

בשיעור שעבר הראינו שלפעמים ניתן להשתמש בקיפולים שנוצרים מדגימה לטובתנו, כך נוכללדגום אות בתדר דגימה נמוך מתדר נייקוויסט.

אות צר סרט המקיים: יהי

בתדר האות את נקבל:דגמנו .

בירוק - באדום השכפול - בשחור - בגלל שהאות הוא צר נוכל בכל זאת לשחזר את האות.

צורך רק בשינוי סקאלה של הציר. את יש בדידה כדי להפוך את רכבת ההלמים לסדרה . אם מחזורי בתדר . ניתן לראות כי האפקט המשמעותי של הדגימה ראינו ב-

נוכל להבין אם יש דריכות או לא. אם בקטענסתכל על מחזור אחד בקטע

מחזור אחד אין דריכות אזי גם בשאר הקטעים אין דריכות. אמנם עשינו דוגמא ספציפית, לא ניתן לדעת בכל מקרה מתי יש דריכות ומתי אין. נראה את

הדברים אנליטית מבחינה מתמטית:

כלשהם. משולשים עבור 2 נקבל LPFאחרי מעבר ב-

59

הפיכה של רכבת הלמים לסדרה

בדידה

נראה את התנאים על מנת שלא יהיו דריכות:

, כלומר:א. צריך שהאות הירוק ישאר בצד החיובי ויהיה קטן מתדר המסנן

, כלומר:ב. צריך שהאות האדום ישאר בצד השליל ויהיה גדול מתדר המסנן

נחבר את שני התנאים הראשונים:

נחשב את שני התנאים האחרונים:

ה- שבתוך שחייבים היא שקיבלנו התנאי של ל-LPFהמשמעות מקום יהיה משולשים2 מתאימים ע"מ למצוא את המשולשים האלו.לפחות. אחרי שמוודאים זאת, יש לחפש

על מנת לקבל את האות בתדר המקורי.BPF בשחזור נעדיף לעשות הערה:

סיכום - דגשים לדגימה ושחזור

- הייצוג המתמטי של דגימה נעשה בשתי פעולות: , שכפול האות במרחקים שלTא. הכפלה ברכבת הלמים - העוצמה של האות יורדת פי

.ב. חילוץ מקדמי ההלמים

- מסנן אופטימלי. תדר הקטעון הוא T עם הגבר LPF- שחזור - ע"י מסנן

שממנו והלאה האות מתאפס.- באות מוגבל סרט ישנו תדר מקסימלי שבהם האות חי. מחוץ להם האות- באות צר סרט ישנו מרווח תדרים

מתאפס.

דצימציה של אות בדיד

, נדגום את האות ע"י לקיחת חלקדצימציה היא דגימה של אות בדיד. נתון אות בדיד מהדגימות:

כאשר דגמנו אות רציף עברנו מהעולם הרציף לעולם הבדיד. כאשר דוגמים אות בזמן בדיד -נשארים בתחום הבדיד.

60

, דגמנו איתו אות נוסף שמפריע לנו, כמתואר בציור:נתון אות רציף

.אם נדגום את האות בתדר נייקוויסט - האות הנוסף יתקפל על האות המקורי, כי

שיסנן את האות הנוסף. בתדר למדנו כי ניתן לסנן את הרעש ע"י מסנן

קיימת שיטה נוספת - נעביר את האות למישור הספרתי ושם האות הנוסף לא יתקפל על האותהמקורי. שם נוכל לצמצם את האות לפחות דגימות בלי הפרעה לאות המקורי.

הוא אות בזמן בדיד מוגבל סרט, כלומר: נניח כי

הדגימות יתבצעו בעזרת איפוס, מחיקה וצמצום. את האיפוס והמחיקה נעשה בעזרת רכבתהלמים.

נניח לרגע שהאות הבדיד נוצר מאות רציף, והדגימה הייתה מהירה מידי )יש דגימות מיותרות(.יותר. אבל אנחנו רוצים להישאר דגימה קטן ולדגום בקצב לזמן הרציף נוכל אמנם לחזור

במישור הספרתי הבדיד ולא לחזור למישור הרציף.ואז נוכל לצמצם אתלכן נמחק חלק מהדגימות ע"י הכפלת האות ברכת הלמים ברווח

דגימות בכל מחזור הדגימות שאופסו. בעצם אנחנו מוחקים Mבמציאות אמנם לא( . מאפסים אלא חותכים את האות ע"י מסנן, אבל לצורך ההבנה נקרא לזה איפוס ומחיקה.(

הלמים רכבת ל-נגדיר )מקביל רציף(:. בזמן מדגימה

הדגימה. קצב הוא

האות את ונקבל:נכפול ההלמים ברכבת

קיבלנו בדומה לזמן רציף שהכפלה ברכבת הלמים יוצרת שכפולים של האות. במישור התדרנקבל:

61

אמנם יש לנו שכפול אחד אבל כיון שבמישור התדר האות המקורי מורכב מאינסוף משולשים במישור התדר( - אזי נקבל שכפול של אינסוף משולשים.)האות המקורי מחזורי

הוא: השכפולים בין מסדר המרחק דצימציה שנעשה במקרה יהיה2. המרחק

.

כי ריווח באפסים בזמן הוא כיווץ בתדר:DTFT ראינו בתכונות התמרת פורייה תזכורת:

- ישנואנחנו נשתמש בתכונה זו בכיוון ההפוך. אחרי המחיקה קיבלנו אות מהצורה של - האות לאחר הדגימה. מתכונות התמרת פורייהריווח באפסים של האות. נגדיר:

נקבל:

כלומר: אם נמתח את האות במישור התדר נקבל במישור הזמן את האות הדגום )המכווץ(.: והמחזור שלו יהיה 2 זה ימתח את האות פי במקרה ש-

בדוגמא שציירנו לא נוכל לשחזר את האות משום שיש דריכות. נרצה למצוא את התנאי לכך שלא יהיו דריכות ונוכל לשחזר את האות בלי לאבד מידע. התנאי הוא שהאות יהיה מוכל כולו

. כלומר: בקטע )במקרה שתנאי זה לא מתקיים, אפשר למזער את הנזק מהדריכות ע"י הפעלת מסנן

Anti-aliasing וכך נוכל לדגום( על האות המקורי. המסנן יעביר את האות רק בתדרים . אמנם חלק מהאות יחתך אבל רוב האות יעבור ונוכל לשחזר אותו.Mאת האות בקצב

. אידיאלי עם תדר קטעון LPF )לא בהכרח מוגבל סרט( ומסנן נתון אות ספרתי .aliasing ללא השתמשו במסנן זה על מנת לבצע דצימציה לאות ביחס של

המערכת הנוכחית ללא הדצימציה לא מספקת לנו את הנדרש. אם נשתמש במסנן בשלב.Mראשון אזי נוכל לעשות דצימציה רק עד קצב

62

מסנן anti-aliasing

תדרקטעון

צמצום דגימותמיותרות

Mדצימציה 2

אחרי הפעלת המסנן נקבל אות מוגבל סרט )בשחור(: באדום - שכפול של האות )לאחר הכפלה ברכבת הלמים(

עם תדר קטעון anti-aliasing: הפעלת מסנן 1שלב

: מכפלה ברכבת הלמים: 2שלב

: מריחת האות במישור התדר:3שלב

פשוט נכניס את האות עוד פעם. על מנת לקבל דצימציה של Mכעת קיבלנו דצימציה של . לסיכום:לאותה מערכת. ואז נקבל דגימה של

לאחר הפעלת המערכת פעם נוספת נקבל:

למעשה בכל פעם אנו לוקחים חלק קטן מהאות המקורי ומותחים אותו. נוח יותר לעשות את אותה הפעולה פעמיים על מערכת זולה ופשוטה מאשר לבנות מערכת אחת יקרה ומסובכת.

כך אנו חוסכים בחומרה.

אינטרפולציה של אות בדיד

פעולת האינטרפולציה היא פעולה הפוכה לפעולת הדצימציה.

63

מסנן anti-aliasing

תדרקטעון

צמצום דגימות

מיותרות

Mדצימציה

מסנן anti-aliasing

תדרקטעון

צמצום דגימות

מיותרות

Mדצימציה

כאשר נתון אות בזמן בדיד - נרצה להכניס דגימות בין הדגימות הקיימות:

באדום - הכנסנו דגימה בין כל שתי דגימות של האות המקורי )השחור( ראינו כי לא נאבד מידע.לעיל אמרנו שאם עשינו דצימציה של אות מוגבל סרט עם מסנן

מקיים את תנאי נייקוויסט נוכלכעת אנו רוצים לשחזר את המידע. אם קצב האינטרפולציה לשחזר באופן מלא את האות.

האינטרפולציה מתבצעת בשני שלבים: באופן: רווח באפסים. ע"פ התכונה ריווח בזמן = כיווץ בתדר - ניצור את האות 1שלב הבא:

(. במישור הזמן המשמעות היא3כיווצנו את האות במישור התדר )בדוגמא הנ"ל פי הוספת אפסים.

, כך שכל אות שלישי יעבור: ותדר קטעון L: נסנן את האות ע"י מסנן בעל הגבר 2שלב

. נבטא את המסנן בצורה מתמטית:נקבל אות מוגבל סרט ומחזורי

64

שמתאפס בדגימות המקוריות. כך נקבל בסכום את הערךעל כל דגימה מלבישים מתאפס בשאר המקומות. זהו מסנןשל הדגימות שאנו מוסיפים. כל אחד מה-

אידיאלי.סיכום

אינטרפולצישחזורדצימציהדגימהה

אות בזמןאות בזמן רציףאות מקוריבדיד

אות בזמןאות מקוריבדיד

אות בזמןבדיד

מרווח ביןדגימות

TM'מס - הדגימות

מרווח ביןדגימות

TL)שלם(

תדרהדגימה

ספרתיאנאלוגיסינון

תדרנייקוויסט

TLהגבר המסנן

אות בזמןאות בזמן בדידאות מוצאבדיד

תדרהקטעון

אות בזמןאות מוצארציף

אות בזמןבדיד

65

1.6.2010 10הרצאה חזרה - דגימה ושחזור

לקחנו אות בזמן רציף וייצגנו אותו ע"י דגימות. ראינו שיש קשר בין דגימה בזמן ודגימה בתדר. שלו.DTFTזה חשוב משום שאפילו שיש דגימה בזמן - לא נוכל להכיל במחשב את כל ה-

אנחנו יודעים כי דגימה בזמן יוצרת קיפול )שכפול( בתדר:

בגלל השכפולים בתדר ניתן לעשות דגימה לאותות מוגבלי סרט כך שלא יהיו דריכות. ראינובתחילת הקורס כי קיפול בזמן יוצר דגימה בתדר.

קיפול בזמן - לוקחים את האות והופכים אותו למחזורי ע"י קונבולוציה עם רכבת הלמים:

. מקדמי פורייה הם דגימות שלניתן למצוא את מקדמי הפורייה של האות המחזורי , לכן נוצרת כאן אפשרות לבטא דגימה של האות.התמרת פורייה של האות בתדרים

הערות: שלהם. כמו"כDTFTניתן להחזיק דגימות של אות בזמן, אבל לא ניתן להחזיק את ה-.1

בזמן - השכפולים לא יעלו אחדניתן להחזיק דגימות בתדר, ואם האות יהיה חסום על השני ולא נאבד מידע. ניקח את הפירוק לטור פורייה.

אות לא יכול להיות גם סופי בזמן וגם סופי בתדר..2

דגימה של אות חסום בזמן. אות כללי בזמן רציף. עם התמרת פורייה יהי

בקצב בזמן קיפול נבצע ונקבל:-

. בתדריםהתמרת פורייהקיבלנו דגימה של שלו ע"פ נוסחת הסינתזה:מקדמי פורייה בעזרת - כעת, נציג את האות

, פעמים במחזור כך שקצב הדגימה הוא: - כעת נדגום את האות המחזורי

נקבל:

. נקבל: סכומים. נציב: 2- נחלק את הסכום הזה ל-2N…N+2N+1N…210k0…210…210l2…111…000r

מס' שלמים. לפיכך: כי כידוע:

66

קיבלנו ע"פ נוסחת הסינתזה ביטוי למקדמי פורייה של האות הבדיד המחזורי:

מקדמי פורייה שחוזרים עלN המוצג ע"י טור פורייה שלו - יש Nכלומר: לאות בדיד מחזורי עצמם.

נקבל ע"פ משפט הדגימה:. אם דגמנו את האות בזמן בקצב - נחזור לאות המקורי

:- נדגום את האות המקורי בתדר בנקודות

הוא מקדמי טור פורייה של האות הבדיד המחזורי:

פעמים. נקבל:משמעות הדבר הוא שמקדמי פורייה חוזרים על עצמם כל

:לסיכום - דגימה של אות חסום בזמן

קיבלנו גם בציר הזמן וגם בתדר דגימה וקיפול מחזורי. - נצטרך שגם בזמן וגם בתדר הקיפול יהיה עם דריכות זניחות כדי שנוכל לומר שהוא מייצג

דגימות בתדר. )תנאי נייקוויסט אומר שנוכלN דגימות בזמן ל-Nאת האות. קיבלנו קשר בין לדגום אות חסום סרט בזמן בלי לאבד מידע כלל.

- דגימה בזמן לא מאבדת מידע אם האות הוא חסום בתדר )או בערך חסום בתדר עם עיוותיםקטנים, הדגימה בזמן לא תעוות את הייצוג בצורה משמעותית בדריכות קטנות(

- דגימה בתדר לא מאבדת מידע אם האות הוא חסום בזמן. המרחק בין הדגימות בתדר קובע את זמן המחזור של הקיפול המחזורי, ואם האות הוא חסום בזמן )או בערך חסום בזמן(

העיוות לא יהיה משמעותי.נציג את עקרונות הדגימה בצורה גרפית:

)בקירוב(:נתון אות מוגבל בזמן

שיכיל בתוכו כמעט את כל האות. כעת נבצע קיפול מחזורי:בחרנו

67

ניתן לראות שקיימות דריכות אלא שהן זניחות.(: דגימות בכל מחזור )בדוגמא הבאה כעת נדגום את האות המחזורי

כעת נראה את התהליך בציר התדר:

שכפול במישור התדר:

דגימה בתדר:

נשים לב כי מספר הדגימות במחזור בזמן זהה למס' הדגימות במחזור בתדר. כמו"כ ברור כי דגימות יתנו לנוNנוצר עיוות בתדר בגלל השכפולים. אלא שאם העיוותים אינם גדולים אזי

ייצוג סביר של האות.

68

אזי לפי נייקוויסט אין איבוד מידע בדגימה בזמן. מוגבל סרט - אם האות

אזי דגימה בתדר )קיפול בזמן( לא תגרום לאיבוד מידע. מוגבל בזמן לאורך - אם האות - אנליזה בזמן: האם קיפול מחזורי זניח?

אנליזה בתדר: האם קיפול בתדר לפי המרחק שלקחנו בזמן זניח? אם התשובה לשתי השאלות היא חיובית - נקבל ייצוג סביר של האות.

- בפועל האותות אינם מוגבלי סרט ולא בהכרח מוגבלים בזמן. לכן נסתפק בקירוב.

ניתן לקבל קירוב טוב כרצוננו להתמרת פורייה של אות: נניח שאין דריכות בזמן ואין דריכות בתדר. )בפועל זה לא ניתן להשגה שהרי אי אפשר להגדיל

וגם את גם את וגם שהרי: יגדל בהתאם, ולא ניתן לעשות אינסוף דגימות.

אלא נגדיל רק אחד מהם - איפה שיש יותר עיוות.

(אם אין דריכות בשני הצדדים אזי נוכל להתעלם מהשכפולים )כלומר: להרחיק אותם ל-ולומר כי:

ונקבל: נשתמש בזהות:

מספיק קטן הסכום הזה יתכנס לאינטגרל המגדיר את התמרת פורייה.נרצה להראות שעבור

ולכן: נבחן את הגבול: . לכן אזי: . כמו"כ: אם

. נקבל:0 שואף ל-שואף לאינסוף יותר מהר ממה ש-

נקבל בעצם סכום אינסופי של מלבנים שהגבול שלו הוא האינטגרל המגדיר את התמרתפורייה:

עיבוד ספרתי של אותות בזמן רציף

עיבוד ספרתי של אותות ההיא שיטה לטפל באותות רציפים באמצעות העולם הבדיד. לאחרהטיפול נחזיר את האות להיות רציף. הסכמה המתארת את העיבוד נראית כך:

הסיבה שמעבירים את האות לזמן בדיד ומעבדים אותו היא משום שיותר קל לעשות עיבוד ספרתי כי יש חומרה התומכת בזה, עד כדי כך ששווה לשלם בחומרה הממירה את האות לזמן

בדיד ואח"כ משחזרת אותו לזמן רציף.

69

מסנן ליניאריהבאה: המערכת את נבחן

זוהי משוואת הפרש המתארת גזירה בזמן בדיד. ניתן למצוא מתוכה את התגובה להלם )ע"יהתמרת פורייה(:

נמחיש את עקרונות העיבוד בצורה גרפית:כבר בשלב לגזירה שהרי אין משמעות מוגבל סרט אינו )אם האות מוגבל סרט נתון אות

הדגימה נהרוס את האות ע"י שכפולים(

נדגום את האות בקצב הגדול מקצב נייקוויסט: בשלב ראשון נכפול ברכבת הלמים, ונקבל:

בשלב השני: נהפוך את רכבת ההלמים לסדרה בדידה )ע"י שינוי סקאלה(:

)זוהי פעולת העיבוד(: עם תדר קטעון כעת נעביר את האות דרך המסנן

70

כעת נשחזר את האות הבדיד לאות רציף )ע"י שינוי סקאלה(:

, נקבל את האות לאחר העיבוד:T והגבר עם תדר קטעון LPFאחרי מעבר ב-

הקשר בין המוצא לכניסה הוא:

.. המסנן מעביר את התדרים: Tעבור כל תדר מכפילים ב-כלומר: אם נסתכל על העיבוד בזמן רציף נראה כי קיבלנו מכפלה בתדר שהיא קונבולוציה בזמן.

אם לדוגמא המסנן הוא גוזר - אזי כידוע:

נבדוק האם המסנן שתכננו הוא באמת גוזר:

קטן )כלומר: אם דגמנו מספיק מהר( נקבל:עבור

וזה קירוב טוב לנגזרת בזמן. ניתן גם לתכנן את המסנן מסוף להתחלה. אנו רוצים ליצור מסנן כךש:

אזי נתכנן מראש מסנן כזה, עם תדר קטעון

71

8.6.2010 11הרצאה עיבוד ספרתי של אותות בזמן רציף

המערכת פועלת כל עוד השכפולים לא נכנסו פנימה. נקבל:

מערכת השהיה בזמן, כלומר נחפש: לא יכולה להזיז בתדר, אבל ננסה ליצור השהיה באורך LTIמערכת

לא שלם - ניתן להעלות את קצב הדגימה הוא מספר שלם. אם ההשהיה תעבוד רק אם דגימות ואז דצימציה חזרה. אם , השהיה של ע"י אינטרפולציה ביחס של הוא כפולה

אז זה יהיה בסדר. בתהליך האינטרפולציה והדצימציה לא נאבד מידע!שלמה של ואז- ציר התדר לכווץ של גורמת כלומר: בזמן, אינטרפולציה מעלה את קצב הדגימה

.מסננים ומשאירים את התדרים בתהליך הדצימציה נמלא את השכפולים בערכים, ונרחיב את האות. אבל בגלל שעשינו-

קודם אינטרפולציה אז זה מבטיח שלא נאבד מידע בדצימציה. זה יכול להבטיח לנו שנקבל רציונלי נוכל למצוא כזה שניות. לכל השהיה של

נצטרך ליצור מכל דגימה הרבהאבל השהיה בשיטה זאת היא לא טובה כי עבור דגימות.

. כלומר: השהיה ב-אם המסנן שאנו רוצים ליצור הוא:

. יש לנו מחזוריות של המסנןאז נצטרך ליצור מסנן ספרתי: הזה:

נקבל את אותה תגובה של , כלומר: עבורהמסנן הוא ספרתי, ולכן הוא מחזורי 0. שלם! וזו אותה מגבלה. יתקבל רק אם השיוויון ל-

.- תנאי נייקוויסט אומר: אם נחמיר את תנאי נייקוויסט ונאמר:

אזי נוכל לומר כי:

צריך שלמסנן תהיה פאזה ליניארית:

72

בקצב שלו.0 על פי הדרישה המחמירה לא מענין אותנו, והוא יכול לחזור ל-הקטע שקרוב ל-עדיין נוכל לבנות מסנן מחזורי שיראה כך:

נוכל לממש את המסנן בצורה ספרתית, וליצור כל השהיה שנרצה, ונקבל: . ככל שיהיה לנו יותר מרווחTזה מגביל יותר את האות. אבל תמיד נוכל להקטין ולשנות את

אז זה יצור לנו מסנן שיהיה יותר קל לממש אותו.שלא מעניין אותנו בין הפאזה ל-אי רציפות בזמן - רוחב סרט אינסופי בתדר

אי רציפות בתדר - אינסופיות בזמן, זנב ארוך מאוד. זה מתקן את הרציפות.0כאשר אנחנו מתקנים בקצוות את הפאזה ל-

בשיעור הקודם ראינו דוגמא למסנן המבצע גזירה במישור הספרתי:

קטן )כלומר: אם דגמנו מספיק מהר( נקבל:ראינו שעבור

לכן צריכים לתכנן מסנן שמקיים בזמן רציף:

אם ברצוננו להוסיף השהיה לאות נקבל:

נקבל: התמרה הפוכה תיתן:

. החיתוך שלה שנרצה לדגוםקיבלנו תגובה להלם אינסופית, אבל זה הרבה יותר טוב מ- שזה יותר מהר מ-יהיה פחות נורא, כי היא דועכת לפי

מימוש מסננים מעשיים.LPF Butterworthנבחן מימוש של מסנן

כי הואLPF. המסנן הוא 2. זהו מסנן מסדר מסנן טוב הוא מסנן שמקיים:

.. יורד ל- הוא גדל. תדר יורד מונוטונית ככל ש-

73

מערכות הניתנות למימוש אלה מערכות שניתן לבטא אותן באמצעות מד"ר בזמן רציף. נרצה למצוא את קוטב המסנן במישור לפלס, כלומר: את הערך שעבורו המכנה מתאפס )עבור מסנן

(:Nמסדר

נקודות. - מרוכב. המכנה חייב להתאפס עבור ממשי תמיד.

. עבור הערכים המוחלטים של השורשים יופיעו בצמדים קומפלקסים על המעגל נקבל:

וחצי יאפסו את כאשר חצי יאפסו את הערכים יאפסו את

נמצאים בצד שמאל בגלל שהוא ממשי סיבתי ויציב. ניקח אתניתן לומר כי הקטבים של את ונרשום שמאל מצד כמכפלה:הקטבים

הוא הגבר כלשהו. מבחינה פורמלית:כאשר

נקבל:לדוגמא, עבור

מסנן ממשי מורכב מקטבים ממשיים או מצמדים קומפלקסים, כלומר: אם קיים קוטב מרוכב -הצמוד המרוכב שלו גם יהיה קוטב.

טורי:RLCנסתכל על מעגל

74

אם נרצה ליצור את המסנן שתכננו לעיל נבחר:

אם ברצוננו ליצור מסנן מסדר גבוה יותר, פשוט נשרשר ע"י חוצץ מתח. אלא שנהיה חייביםלקחת זוגות קומפלקסים, אחרת נקבל מסנן לא ממשי.

בכל מקרה מסנן הערה: Anti-Aliasingחייב להיות בזמן רציף. כל שאר העיבוד יכול להיות ספרתי.

לסיכום:

נניח בינתיים כי: :שכפול מחזורי של

זה מזכיר את משפט הדגימה )מקונבולוציה עם רכבת הלמים(. ניזכר במשפט הדגימה:

בזמן. כלומר: הוא דגימה של

והמסנן הוא:

שימור התגובההתגובה להלם של המסנן היא דגימה של המסנן מזמן רציף. העקרון הזה נקרא .להלם

אפשרויות:2 הוא מוגבל סרט, וזה בעיה כי רוב המסננים אינם מוגבלי סרט. אז ישנם . נחסום את המסנן, נגדיר מסנן אפקטיבי: 1

עיקרון שימור התגובה להלם יתקיים עבור המסנן האפקטיבי ולא עבור המסנן המקורי:

כאשר נרצה לחשב את התגובה להלם יתקע כי המסנן הוא חסום סרט.. נשתמש במסנן כמו שהוא, ונקווה כי השכפולים זניחים. נממש את המסנן:2

יורד מונוטונית, אבל צריך יודעים כי המסנן נשתמש בעקרון שימור התגובה להלם. אנו לדאוג שהשכפולים יהיו זניחים.

נקבל פולינוםבזמן רציף: המסננים יהיו מיוצגים ע"י משוואת דיפרנציאליות, ובמישור חלקי פולינום.

ובמישור יהיו מיוצגים ע"י משוואות הפרש, פולינום חלקיבזמן בדיד: המסננים נקבל פולינום.

נתון מסנן בזמן רציף, נרצה להגיע ממנו למסנן בזמן בדיד שמייצג אותו. נשתמש בעקרון שימורהתגובה:

נמיר למישור הזמן ונקבל תגובה להלם..1

75

נדגום את התגובה להלם.2נתמיר את התגובה ונקבל משוואת הפרש ב-.3

פולינומים נמצא לו חלוקה לשברים חלקיים. לצורך הפשטות נניח2 הוא חלוקה של אם (:1כי למסנן קיימים רק קטבים פשוטים )כלומר: כל הקטבים הם מסדר

: 1שלב

החלק הממשי של הקוטב צריך להיות שלילי על מנת שהמסנן יהיה יציב. אז כל האקספוננטיםידעכו. : נדגום את המסנן שקיבלנו במישור הזמן:2שלב

: נתמיר את המסנן הדגום:3שלב

של המסנן בזמן בדיד. אם של המסנן בזמן רציף, ממופה לקוטב נשים לב שכל קוטב ונמצאהקוטב הוא מצד שמאל )כלומר: חלק ממשי שלילי( אזי בזמן בדיד נקבל

שהקוטב הוא בתוך מעגל היחידה והמסנן יציב. אפסים לא ימופו בצורה דומה!הערה:

מסדר שני.Butterworth: נרצה לממש בקירוב )נזניח את השכפולים( מסנן דוגמא

שלב ראשון: נפרק לשברים חלקיים:

אנחנו יודעים את הקטבים:

נקבל:

, וההתמרה תהיה: יהיו: הקטבים בהתמרת

76

בשביל לממש פולינום חלקי פולינום, נעשה מכנה משותף:

כדי לממש את זה נרשום משוואת הפרש:

כשנעביר לזמן נקבל השהיות:

זו הצורה לעשות את זה במטל"ב:

15.6.2010 12הרצאה מועד א – פתרון מבחן תשס"ז

: , אות מחזורי במחזורנתון נקודות)30. )1

.אינו שבר רציונלי ידוע כי

.( אידיאלי, בעל תדר קטעון HPF מסונן ע"י מסנן מעביר גבוהים )האות .במוצא המסנן מתבל האות:

, בעל התמרת פורייה: כגל נושא לשם אפנון האות משתמשים באות

77

1z 1b

1z

1a

1z2a

nx ny

האות המאופנן הינו:

ואיירו אותה. של האות המחזורי מצאו את התמרת פורייה נקודות)5(א. ואיירו אותה. של האות מצאו את התמרת פורייה נקודות)5(ב.

אות מחזורי? אם תשובתכם חיובית האם מצאו את מחזורו. אם תשובתכם– נמקו.–שלילית

. מצאו תנאי על של האות המאופנן איירו את התמרת פורייה נקודות)6(ג.., שיבטיח את יכולת הגילוי של האות , המחזור של

: התקני, הנתון להלן, כדיל לשחזר את האות DSB השתמשו במקלט נקודות)5(ד.

(LPF, את תדר הקטעון של המסנן מעביר הנמוכים האידיאלי )קבעו את התדר . כך שיובטח: , ואת ההגבר

בזמנים: כתוצה מתקלה במערכת השידור, מתאפסים הפולסים של נקודות)9(ה.

במקרה זה. - איירו את התמרת פורייה של האות המאופנן לאחר הקלקול הוא אות מחזורי. מצאו את מחזור האות, ואיירו את האותרמז:

המחזור הבסיסי שלו.תוספת ו. נקודות)5(רשות: ממשיך ולכן במשדר, הקלקול על יודע אינו המקלט

בפעולתו. בעזרת הפרמטרים שמצאם בסעיף ד'. האם עדיין מתקיים במוצא המקלט ? אם תשובתכם חיובית, נמקו. ואם לאו, הציעו תיקון למקלט שיאפשר

גילוי מושלם. בסעיף זה ניתן להניח כי: הנחיה:

פתרון:

ע"פ דף הנוסחאות: א. :, כאשר הרווח בין כל שני הלמים הוא: sincנקבל הלמים בצורת

., כלומר: הם כאשר: sincנקודות האיפוס הראשונות של ה-

ההגבר במרכז הוא:

78

ty

tccos

LPFתדר קטעון Gהגבר tr

. כלומר: הוא יסנן את ההלם במרכז, ונקבל: הוא: BPFב. תדר הקטעון של ה-

עדיין מחזורי כי התמרת פורייה שלו מורכבת מהלמים במרווחים קבועים. כמו"כהאות נשאר מחזורי.LTI ואות מחזורי שעובר דרך מערכת LTIהאות בסה"כ עבר דרך מערכת

.T נשאר המחזור של האות

: הוא משולש בודד, כלומר: הוא אות חסום סרט ג. האות

האות המאופנן הוא:

:sincקיבלנו קונבולוציה עם הלמים, כלומר נקבל הזזות של האות עם הגבר משתנה לפי

הוא שהמשולשים לא ידרכו אחד על השני, כלומר: מתוך התנאי לשחזור של

79

ימינה ושמאלה ומורידה את ההגבר בחצי: מזיזה את ד. ההכפלה ב-

על מנת שההזזה תהיה בדיוק למרכז, נקבע:

צריך לכלול רק את המשולש המרכזי שיווצר במרכז, כלומר:LPFתדר הקטעון של ה-

התחברו שבמרכז ב-2כיון ההכפלה שגרמה בחצי ההגבר שהורדת נקבל משולשים, חלקי ההגבר של המשולש הראשון: להיות אחד צריך ולכן ההגבר התקזזה,

, כלומר: מתאפסים בזמנים: ה. הפולסים של האות לפני התקלה:

אחרי התקלה:

. כעת נגדיר את האות החדש:ניתן לראות כי המחזור עלה ל- מהמרכז.Tתחילה נגדיר מחזור אחד של האות. הוא מורכב משני ריבועים שמוזזים ב-

כלומר, אם:

מייצג שתי הזזות שלו ימינהמייצג ריבוע אחד במרכז, אזי: ושמאלה.

לנו הוא להפוך את האות כל שנותר בזמן היא הכפלה באקספוננט בתדר. כעת, הזזזה , כלומר:למחזורי עם מחזור

:כדי למצוא את התמרת פורייה נמצא מקדמי פורייה של האות המחזורי

80

tp

t

2T T

1TT

23T

1TT

T2

אחדמחזור

T4TT2T4

ולכן ע"פ הדואליות בין מקדמי פורייה להתמרת פורייה:

:cos וב-sincקיבלנו רכבת הלמים המוכפלת ב-

הם:sincנקודות האיפוס של ה-

הנקודות בהן יהיו ההלמים הם:

טבעי. לעולם לא יתאפס עבור ה-

, כלומר: הוא יקטע את ההלם שבמרכז וגם את הוא BPFתדר הקטעון של מסנן ה-

. במישור פורייה(. זהו הגל הנושא של האות שני ההלמים שמצדדיו )עבור נקבל:

רק בהגבר שונה:בעצם נקבל הזזות של

81

ו. בסעיף ד מצאנו: תדר הגל הנושא: תדר הקטעון:

הגבר:

נתון: בגלל שההגבר שונה וההזזות שונות, כמו"כ נקבלברור כי המקלט לא יוציא את האות

(דריכה )המקלט יוציא את השכפול השלישי שמרכזו ב-על מנת לתקן את המקלט נצטרך:

- לשנות את תדר הגל הנושא ל-

- לשנות את ההגבר ל-

על מנת שלא יהיו דריכות. אז נוכל לשנות את תדר הקטעון של- צריך להתקיים המסנן ל-

. אנו מעוניינים לדגום אות בזמן רציף נק')35(. 2 , אנו דוגמים אותו לאחר שעבר סינוןמסיבות מעשיות, במקום לדגום ישירות את האות

LTI.כלומר, האות הדגום המעשי מוגדר כדלקמן:

: כאשר הוא זמן הדגימה.Tו-

נק')5(א. כ הדגימות את לרשום ניתן כי הוכיחו משמע:: .

סביב זמני הדגימה האות ממוצע מייצגות את הדגימות .: חשבו את התמרת פורייה של המסנן נק')4(ב.

, בעל מקדמי טור פורייה הינו אות ממשי, מחזורי במחזור, נתון כי מעתה .

.DC רכיב איןכמו כן, נתון כי לאות נק')8(ג. , ערכה המוחלט של התמרת פורייה של האות אתאיכותית שרטטו

.במוצא המערכת נק')6(ד. ו- העזרו בתמונת התדר ששרטטתם כדי לקבוע קשר בין כך שבהכרח

. יתקבלו- בשיקולים במישור הזמן כדי לקבוע קשר בין אך ורק השתמשו נק')5(ה. כך

(.זהות )מובן, שתוצאות הסעיפים ד' ו-ה' יתקבל שבהכרח.DC אין רכיב הבהירו לעצמכם מה המשמעות של הנתון המציין, כי לאות רמז:

מספר שלם(, וכי מקדמי פורייה של האות) וכי נניח עתה כי נק')7(ו.

מקיימים:

. מצאו, תחת ע"י כך שלא תתרחש תופעת קיפול בדגימת קבעו תנאי על . מתוך הדגימות תנאי זה, את המשחזר האידיאלי של

82

יש לרשום תרשים מלבני מלא של המשחזר.

פתרון:

: א. נצייר את

ב- תלוי וגובהו שאורכו מלבן הוא הלם. לפונקציית מסוים קירוב הוא . ואז תוצאת נקבל הלם זה. בצורה אידיאלית הוא קונבולוציה עם מלבן נחשב את ולכן יש קירוב של הלם, קונבולוציה עם הלם היא האות עצמו. אלא שכאן

הקונבולוציה:

לפיכך דגימה של תוצאת הקונבולוציה תיתן:

ב. ע"פ דף הנוסחאות:

ג. נגדיר את האות:

. לפיכך: הוא מחזור אחד של האות כאשר:

כיון שלאות אין מרכיב DC-כלומר - אין הלם ב - . )כידוע - לאות מחזורי יש בין ההלמים הוא: . הערך המוחלט של ההתמרה חייבהלמים בתדר(. המרחק

להיות סימטרי בגלל שהתמרת פורייה של אות ממשי היא סימטרית. ההלמים הם מקדמי(:פורייה של האות )מוכפלים ב-

נצייר איכותית:

מוכפלים ב- הם מקדמי פורייה של האות

83

.. הפונקצייה מתאפסת ב- המוכפלת בהתמרת פורייה של sincהוא פונקציית

.מכפלת הגרפים תיתן את

sinc צריך שההלמים יפלו בדיוק על המקומות בהם פונקציית ה-ד. על מנת שיתקיים: מתאפסת, כלומר:

נדרוש: הזמן במישור ה.

. אזזה יתקיים אם האינטגרל יהיה על מחזור שלם של הפונקציה, כלומר נדרוש: . וזה יהיה בדיוק הגדרת המקדם פורייה שלDCנקבל שאינטגרל על מחזור שלם הוא קבוע -

בכל מקום. אזי נדע שהאות 0, וכיון שנתון לנו שאין מקדם פורייה ב-0 ב-ו. ע"פ הנתונים נקבל שכל ההלמים נמחקים חוץ מהשניים הראשונים:

במישור הזמן, במישור התדר נקבל שכפוליםTאם נרצה לדגום את האות במרווח דגימה :במרווח

על מנת שלא יהיו קיפולים נדרוש:

84

המקיים:( DTFT בעל התמרת פורייה בזמן בדיד )נתון אות . 3

. מחוץ לתחום מתאפס בהכרח משמע: : על פני מחזור יחיד בנקודות DTFTיוצרים "דגימת הלם" של ה-

נסמן:

והוכיחו כי הוא אות מחזורי. מהו המחזור של כתלות ב-( רשמו את נק' 9)א.?

מתוך הקטן ביותר, שיאפשר שחזור מדויק של ההתמרה( מצאו אתנק' 8)ב..

כדאי לבדק את המתרחש במישור הזמן.רמז: של ההתמרהלשחזור מדויק שמצאתם בסעיף ב', הוכיחו כי נוסחה ( עבורנק' 12)ג.

נתונה ע"י: - מתוך דגימותיה

. רשמו, ראשית, את נוסחת השחזור בזמן רמז: ( הסבירו את נוסחת השחזור בסעיף ג' והשוו אותה לנוסחת השחזור של אות בזמןנק' 6)ד.

רציף מתוך דגימותיו )נוסחת השחזור של שאנון(.

פתרון:

הנוסחאות: מדף א.

בכל מחזור יש שני הלמים )אחד בתחילת המחזור ואחד בסוף(, נקבל:

.M מחזורי . ברור כי האות M במרווחים של נקבל שכפולים של האות המקורי :ב. נצייר את האות

85

חסום בזמן על ידי הנקודה: כידוע, האות ,לפיכך על מנת שלא יהיו דריכות נדרוש: בשכפול

ה- יהיה:Mלכן המינימלי

בפונצקיית חלון בזמן:ג. על מנת לשחזר את האות נצטרך להכפיל את

זה יסנן את השכפולים וישאיר את האות במרכז. במישור התדר נקבל קונבולוציה ציקלית:

:Mקונבולוציה ציקלית מתבצעת על פני מחזור אחד בגודל

- נקבל הזזה, כלומר:כיון שהקונבולוציה היא עם

הייתה ה. הדגימה שלנו הבדיד בתדרבמקרה האות של השחזור ולכן האות, מתוך . בתדר נקבל קונבולוציה עם גרעיןהזמן מתבצע ע"י הכפלה בחלון במישור המחזורי

.דריכלה שהוא מחזורי בנוסחת שאנון המקורית )בזמן רציף( הדגימה נעשית בזמן, והשחזור מתבצע ע"י מעבר ב-

LPF כלומר: ע"י פונקציית בתדר ,sinc-בזמן, )כאן אי אפשר להשתמש ב sincכי הוא לא מחזורי(

לכן הנוסחא שקיבלנו היא דואלית לנוסחת שאנון.

דגשים למבחן:

לנסות לפתור את כל הסעיפים! לא תמיד השאלות יהיו בנויות סעיף על גבי סעיף.-חלוקת הנקודות זהה בין כל השאלות, בין הסעיפים יש חלוקה שונה-

86