▮ 수 리 분 과 ▮

기초 수리학 (1)

손 광 익 / 영남대학교 건설환경공학부 교수

제 1 장 수리학 총론

제 1 유체역학 수리학

제 2 유체역학 공 용어

제 3 물체의 구분 특성

제 4 차원 단

제 5 유체역학을 한 물리 기본원칙

제 2 장 정수역학

제 1 정수 상태 방정식

제 2 정지 정수방정식의 응용

제 3 수 의 평면에 작용하는 힘

제 4 수 의 곡면에 작용하는 힘

제 5 부력 부체의 안정

제 6 일정 가속도를 받는 유체 (상 정지 정수방정식 응용)

제 3 장 수리 운동학

제 1 유체 운동학 총론

제 2 연속방정식 (질량보존법칙)

제 4 장 동수역학

제 1 Bernoulli 방정식

제 2 에 지선과 동수경사선

제 3 경사 곡선흐름에서의 Piezometric head의 변화

제 4 운동량 방정식

제 1 장 수리학 총론

제 1 절 유체역학 및 수리학

1. 관련 학문의 정의 및 분류

▶ 유체역학 (Fluid Mechanics)

정지 또는 움직이는 유체자체의 특성 및

유체와 고체표면 또는 다른 두 유체의 경계면에서의 상호작용을 연구

유체의 공학적 응용을 다루는 물리적 학문

┬ 유체정력학

└ 유체동력학

▶ 유체역학의 발전과정 :

▷문화와 과학적 흥미만족 : 철학자와 수학자들의 흥미 위주

▷Classical Hydrodynamics : 미적분학의 발전과 함께 이론 중심의 학문으로 발전

(약 300년전)

▷Experimental Hydraulics : 경험을 토대로 한 학문의 중요성으로 부터 출발

▷현대의 Fluid Mechanics : 이론과 경험 수리학은 단일화

(20세기 초 Ludwig Prandtle)

▷Aerodynamics 와 Hydraulics : 우주항공산업의 발달

▶ 수리학 (Hydraulics) :

물리적 시스템 중에 있는 물의 거동특성에 대하여 연구하는 학문

▶ 수공학 (Hydraulic Engineering)

물의 집수, 저장, 이송, 조절 등을 위하여 수리학적 원칙을 응용하는 학문.

Applied Hydrology ;

Irrigation and Drainage Engineering ;

Waterway Engineering ;

Hydropower Engineering ;

Flood and Sediment Control ;

Coastal Engineering ;

Water Resources Engineering ;

Water Supply and Waste water Engineering 등

2. 연구 및 응용 분야

제 2 절 유체역학 전공 용어

1. 시스템

▶ Universe : 존재하는 모든 물체 전체를 의미

▶ system : 특정한 현상 또는 물체에 대하여 탐구하고자 할 때universe로부터

일부만을 분리시킨 어떤 주어진 양의 물질

▶ surroundings : system에 강한 영향을 미치는 system을 둘러싼universe의

일부분

▶ system boundary : surroundings과 system을 분리하고 있는 경계

▶ control mass (closed system) : boundary를 통해 질량의 교환이 불가능한

system

▶ control volume (open system) : boundary를 통해 질량의 교환이 가능한

system

예) 1. Shaving cream temperature when it leaves pressurized container

2. Output power from power turbine

2. 에너지

▶일반적 정의 :

시스템의 상태를 기술하는 특성 중의 하나로 일을 할 수 있는 능력을 의미

▶열역학적 정의 :

시스템의 열역학적 상태를 시스템의 양으로 기술하는 척도

▶Bernoulli법칙 :

에너지 보존의 법칙으로 운동, 위치 및 내부 에너지의 합은 일정

3. 유체의 특성 (Properties)

압력, 온도, 체적 등 어떤 system의 상태를 정의할 수 있는 측정 가능한 양

(quantities)

- Extensive properties : 시스템의 질량에 종속된 특성

- Intensive properties : 시스템의 질량과 무관한 특성

3.1 Temperature(온도, °K, °R, °C, °F) :

절대온도 : 물질을 이루는 입자들의 운동이 zero가 되는 온도 (-273.15 °C)

3.2 Pressure(압력) : 실제 또는 가상의 단위면적당 수직으로 작용하는 힘

P = F/A

3.3 전단응력 : 인접한 두 layer사이에 다른 선형모멘텀을 지닌 입자의 교환에 의해

발생

τ = F/A

3.4 Bulk Modulus of Elasticity (체적탄성계수) :

Ev = -ΔP/(Δ∀/∀)

3.5 Density (밀도, Kg/m3) :

for liquid ; ρ = dm/d∀ = m/∀ = 1000 kgm/m3 =1.94 slug/ft3

for perfect gas ; ρ = P / (RT)

3.6 Specific volume (비체적, m3/Kg) : 단위질량당 체적

v = ∀/m = d∀/dm = 1/ρ

3.7 Specific weight (비중량, N/m3) : 유체의 단위체적당 작용하는 중력

γ = ρ g

3.8 Specific gravity (비중) :

s = γ /γ w

3.9 Continuum(연속체)

ΔL for volume ; 1.0E-6 meter for liquid

; 1.0E-5 meter for gases

Characteristic Length ; 1.0E-4 meter for pipe dia.

; 1.0E-3 meter for wing cord

avg. = dm/dVρ

ρ

dV

VΔ

제 3 절 물체의 구분 및 특성

1. 물체의 구분

▶ Status of matter

┬ solid

└ fluid ┬ liquid

└ gases

▶ Vapor(증기) :

고체상과 액체상에 대단히 근접한 기체성 물체로 정의

▶ 유체, 고체의 구분방법

▷ molecule - space

- attractive force

▷ fill a container

▷ react under normal and tangential force

ex) solid ; deformation angle θ ≠ f(time)

fluid ; deformation angle θ = f(time)

▶ Field, Tensor Notation, Vector, Scalar

▷ Field : 시간과 공간의 연속함수로 표현되는 scalar, vector or tensor quantity

▷ Scalar : 크기(magnitude)로만 표현되는 quantity ex) T, ρ, g

▷ Vector : 크기와 한 개의 방향(direction)으로 정의되는 quantity.

▷ Tensor : 크기와 두개이상의 방향으로 정의되는 quantity.

방향의 수가 order of the tensor를 결정한다.

2. 유체의 점성 및 종류

▶ NO-SLIP CONDITION : 점성(viscosity)때문에 나타나는 현상으로 고체 또는

다른 유체와의 경계면에 있는 유체입자는 주변 물체와 동일하게 운동.

▶ 뉴턴의 Viscosity law (점성법칙)

y축이 하상으로부터 수면을 향해 양의 방향으로 가정할 경우 ;

dydv

μy

v(y)y)v(yμτ =

Δ

−Δ+= (1)

▷ Dynamic viscosity (Pa⋅sec) : 점성계수

μ = τ / (dv/dy) = Shear Stress/Velocity Gradient

반대로 수면으로부터 하상방향을 양의 방향으로 가정할 경우

dydv

-μτ = (2)

통상 열역학이나 유체역학에서는 식(2)를 주로 사용한다.

▶ 점성에 의한 유체의 분류

▷ Newtonian fluid ; μ is independent of the rate of deformation.

▷ Non-Newtonian fluid ; ┬ Time Independent fluid

└ Time Dependent fluid

제 4 절 차원 및 단위

1. 차원 (Dimension)

모든 물리량은 길이, 질량, 시간 등 몇 개의 기본량으로 조합되어 있다. 유체역학에서

사용하는 차원은 MLT계와 FLT계가 있다.

2. 단위

물리량의 크기는 정해진 기준 크기와의 비로써 나타내는데 이 기준량을 단위(Unit)

▶ 국제 단위계 : 미터법, foot ⋅pound법, 尺貫법 등

▶ SI (International System of Units) 단위계 : 국제 공통단위로 기본 및

보조단위로 구성

▷ 기본단위 : 길이(m), 질량(kg), 시간(s), 전류(A), 온도(K), 물질량(mol),

광도(cd)

▷ 보조단위 : 평면각(rad), 입체각(sr ; 스테라디안)

� 물의 점성계수 ; 3.23x10-5 lbf⋅s/ft2 = 1.52x10-3 N⋅s/m2

� 물의 동점성계수 ; 1.66x10-5 ft2/s = 1.54x10-6 m2/s

� 물의 비중량 ; 62.4 lbf/ft3 = 9.8 kN/m3

� 물의 밀도 ; 1.94 slug/ft3 = 1000 kgm/m3

� 물의 체적탄성계수 ; 2.94x105 psi = 2.03x106 kN/m2

▶ 힘과 질량사이의 상관관계 : 힘이란 단위질량에 미치는 중력 즉 무게

F = m⋅ g

1 lbf = 1 lbm x 32.174 ft/sec2

= 1 slug x 1 ft/sec2

1 kgf = 1 kgm x 9.806 m/sec2

1 N = 1 kgm x 1 m/sec2

3. 단위 변환

1 ft = 0.3048 m

1 lbm = 0.4536 kgm

1 slug = 14.594 kgm

1 lbf = 4.448 N

1 hp = 550 lbf⋅ft/sec

1 Joule = 1 N⋅m = 0.239 cal (1 Btu = 252 cal)

1 Watt = 1 Joule /sec

Pa = N/m2

°K = °C + 273.15° ≈ °C + 273° (SI Unit)

°R = °F + 459.67° ≈ °F + 460° (ES Unit)

°C = (5/9) (°F - 32 )

점성계수 단위 ; Poise = dyne.sec/cm2 = 0.1N⋅sec/m2

동점성계수 단위 ; Stoke = cm2/sec

제 5 절 유체역학을 위한 물리적 기본원칙

� 운동량 법칙(뉴턴의 제 2법칙)

� 에너지 보존의 법칙

� 질량 보존의 법칙

� 차원해석

� 물체의 특성

� 자유도(free-body diagram) 개념과 Control Volume

1. 유체에 작용하는 힘의 종류

▶ 관성력 (Inertia force) :

Fi = m a = ρ ∀ a

▶ 중력 (Gravity) :

Fg = m g = γ ∀

▶ 점성력 (Viscosity) :

Fv = τ A = -μ (dv/dy) A

▶ 탄성력 (Elastic Force) :

Fev = Ev A

▶ 압력 (Pressure) :

Fp = ΔP A

▶ 표면장력 (Surface Tension) :

Fσ = σ L

흡착력(Adhesive Force) ; 상이한 분자끼리의 인장력

응집력(Cohesive Force) ; 동일한 분자끼리의 인장력

▷모세관현상

표면장력 (Surface tension)에 의한 물기둥 높이 h를 구하는 공식

σ (πd) cos θ = W = γ Vol. = γ (πd2 /4) h

따라서

h = 4σ cos θ/ (γ d )

2. 자유도 (Free Body Diagram)

▶ 공간 다이아그램( space diagram) : 실제의 물리적 조건들을 나타낸 그림

▶ Free body diagram :

연구대상의 중요한 물체 부분에 작용하는 힘들을 이용하여 힘의 평형상태를

규명하여 문제를 해결하게 되는데 물체와 이 물체에 작용하는 힘의 평형상태를

나타내는 다이아그램

제 2 장 정수역학 (Fluid Statics)

제 1 절 정수 상태 방정식

Fluid Statics 란 정지상태나 평형상태의 유체에 작용하는 각종 힘의 영향을

연구하는 분야로써 임의 방향으로의 힘의 합은 영(zero) 이거나 임의 축을 중심으로

하는 모멘트의 합은 영(zero) 이다.

평형상태 : 전단응력과 Accelerative Forces가 결여된 상태 또는 유체요소사이에

상대운동이 없는 상태 즉, 1. 정지상태 or 2. 일정 가속도 or 3. 일정 각속도

1. 상미분과 편미분

▶ Ordinary Differential (상미분) :

y = )(xf 일 경우

X-축으로의 미소거리 dx에서의 y값의

변화 dy는

dy = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

dx

dy ⋅dx 이다. (그림 참조)

dxaxfxf ⋅+= )()(01

▶ Partial differential (편미분) :

여러개의 독립변수중 하나의 독립변수(independent variable)에 대한 종속변수

(dependent variable)의 변화율을 의미.

x

xfxxf

x

zx

yΔ

−Δ+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂→Δ

)()(lim

0

따라서 만약 x, y방향으로의 변화를 동시에 고려한 z값의 변화 Δz :

Δz = f(x+Δx, y+Δy) – f(x, y)

= yy

yxfyyxfx

x

yyxfyyxxfΔ

Δ

−Δ++Δ

Δ

Δ+−Δ+Δ+ ),(),(),(),(

= y

x

z

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂dx+

x

y

z

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂dy

2. 정수상태 방정식 유도

정지상태나 평형상태에 있는 육면체의 유체입자에 작용하는 힘(관성력, 중력,

압력)의 각 방향으로의 힘의 합은 영(zero)

x-방향에 대한 힘의 평형 :

∑ Fx

= 압력에 의한 힘 + 관성력에 의한 힘

= p⋅dy⋅dz - (p + (∂p/∂x)⋅dx)⋅dy⋅dz -m⋅ax

= - (∂p/∂x)⋅dx⋅dy⋅dz - ρ⋅dx⋅dy⋅dz⋅ax = 0

∴ - (∂p/∂x)⋅dx⋅dy⋅dz = ρ⋅dx⋅dy⋅dz⋅ax

X

Y

Ζ

p

x

(p + dx) dy dz

p dy dz

γ dx dy dz

a x

m

a z m

a y

m

즉,

∂p/∂x = - ρ⋅ax (1)

동일한 방법으로

y-방향에 대한 힘의 평형 :

∑ Fy = p⋅dx⋅dz - (p + (∂p/∂y)⋅dy)⋅dx⋅dz - m⋅ay

= - (∂p/∂y)⋅dx⋅dy⋅dz - ρ⋅dx⋅dy⋅dz⋅ay = 0

∴ - (∂p/∂y)⋅dx⋅dy⋅dz = ρ⋅dx⋅dy⋅dz⋅ay

즉, ∂p/∂y = - ρ⋅ay (2)

z-방향에 대한 힘의 평형 :

∑ Fz = 압력에 의한 힘 + 관성력에 의한 힘 + 중력에 의한 힘

= p⋅dx⋅dy - (p + (∂p/∂z)⋅dz)⋅dx⋅dy - mg - m⋅az

= - (∂p/∂z)⋅dx⋅dy⋅dz - ρ⋅dx⋅dy⋅dz⋅(g + az) = 0

∴ - (∂p/∂z)⋅dx⋅dy⋅dz = ρ⋅dx⋅dy⋅dz (g + az)

즉, (∂p/∂z) = - ρ⋅(g + az) = - γ - ρ az (3)

압력 ),,( zyxfp = 라하면 3차원 공간상에서의 압력변화는

dp = (∂p/∂x)dx + (∂p/∂y) dy + (∂p/∂z) dz

따라서 식 (1),(2), (3)으로부터

dp = (∂p/∂x)dx + (∂p/∂y) dy + (∂p/∂z) dz

= ρ⋅(- ax⋅dx - ay⋅dy - az⋅dz - g⋅dz) (4)

dp = ρ⋅(- ax⋅dx - ay⋅dy - az⋅dz - g⋅dz) (4)

만약 ax = ay = az = 0 이고 비압축성 유체라면

dp/dz = - γ

또는 (1/γ) ∫ dp = - ∫ dz

윗 식을 적분하면

p/γ + z = Const. (5)

수리학에서는 (p/γ + z )를 Piezometric Head (Hydraulic Head)라 부른다.

� 수면하 수심 h에서의 압력(절대압과 게이지압)을 산정해 보자.

식(5)의 상수 C는 경계조건(수면 즉, z = 0 에서의 압력 pa )을 식 (5)에 적용 :

C = pa /γ

따라서 식(5)는 다시

p/γ + z = pa /γ 또는 p = pa - γz

즉, 수면하 수심 h(즉, z=-h)에서의 압력 :

p = pa - γ(-h) = pa + γh (6)

식 (6)으로부터 수면하 h에서의

압력수두(Pressure Head) h = p/γ

� Pascal 의 paradox

▶ For compressible fluids ;

∫ (1/γ) dp = - ∫ dz (a)

▷ for Polytropic process eq.

n

p v⋅ =n

p

ρ =

nn

n

g

gp

ρ⋅

⋅

= n

n

gp

γ

⋅

= const.

n

g =const. 이므로 위 식은 다시

n

p

γ= const.

또는 n

Cp/1

1)/(=γ (b)

식(b)를 식(a)에 대입하고 경계조건 p2 = p1 at z2 = z1 를 적용하면

1n

n

1

12

12}

nRT

)z1)(zg(n{1/pp −

−−

−= (c)

Isentropic은 Polytropic의 특별한 경우이며 Polytropic 방정식은 pv n = const.로

여기서 n = )dz

dT

g

R1/(1+ 이며 dT/dz 는 lapse rate라 한다.

고도 0 ~ 11019 m ; Polytropic n = 1.2345

고도 ~ 20063.1 m ; Isothermal

고도 ~ 32156.4 m ; Polytropic n = 0.97177

▷ for Isothermal (pv = const) : }RT

)zg(zexp{/pp

1

12

12

−

−= (d)

제 2 절 절대정지 정수방정식의 응용

1. 피에조메터와 마노메터

Δp= - γ⋅Δz = γ⋅h (h ; Depth & ⊕ downward) 식을 이용

▶ 피에조메터(a, b)와 마노메터를 이용한 압력 산정 예

2. 피토튜브

static pressure (정압) ; p1 /γ + z1 + V2/2g

stagnation pressure (정체압) ; p2 /γ + z2

stagnation pressure와 static pressure를 측정하는 점의

elevation이 동일하다면 z1 = z2 이므로

(p2 /γ - p1 /γ) = V2/2g

즉,

(p2 - p1 ) = γ V2/2g (7)

manometer에 나타나는 두 튜브의 압력수두차이는

Δp = p2 - p1 = (γf - γ ) h (8)

식 (7), (8)로부터

γ V2/2g = (γf - γ ) h

따라서

V2 = 2 g⋅h⋅ (γf - γ ) / γ

또는

V = )1/(2 −γγf

gh

제 3 절 수중의 평면에 작용하는 힘

1. 단면 1, 2차 모멘트

▶ 단면 1차 모멘트 ;

x축을 기준으로 하는 단면 A에 대한 일차모멘트

Gx = ∫A y⋅dA 로 정의.

그림의 x′ 축을 기준으로 한 단면일차모멘트 ;

Gx′ = ∫A(y-a)⋅dA = ∫Ay⋅dA - ∫Aa⋅dA

= ∫Ay⋅dA – a ∫AdA = ∫Ay⋅dA – a A

▶ Centroid (도심)

Gx′이 영이 되는 a가 존재 하며( ∫Ay⋅dA = a⋅A)이 축은 단면의 도심 C를 통과 한다.

즉, x-x 가 도심을 통과할때 ;

Gx = Gc = 0

x 축으로부터 도심까지의 거리는 a = yc (또는 y )로 식 15)와 같이 표현된다.

yc = ∫Ay⋅dA / A = Gx / A (15)

만약 Gx 값을 알고 있는 경우

Gx′ = ∫A y ′⋅dA = ∫A (y - a)⋅dA = ∫A y⋅dA - ∫A a⋅dA = Gx - a⋅A (16)

� 직사각형과 삼각형의 도심은 ?

x rec = ∫∫ ⋅

dA

dAx =

∫∫

⋅

⋅⋅

dxp

dxpx )(=

[ ]l

l

⋅p

xp0

2

2/ =

2

l

x tri = ∫∫ ⋅

dA

dAx =

∫∫

⋅

⋅⋅

dxxp

dxxpx

)/(

))/((

l

l=

[ ]

[ ]l

l

l

l

0

2

0

3

2/

3/

xp

xp

= l3

2

▶ 단면 2차 모멘트 (관성모멘트)

Ix = ∫A y2⋅dA ≠ A⋅yc2

Iy = ∫A x2⋅dA (17)

만약 Ix 값을 알고 x′ 축이 x축으로부터 a 만큼 떨어져 있는 경우

Ix′ = ∫A y'2⋅dA = ∫ A (y-a)2 ⋅ dA

= ∫ A y2 ⋅ dA - ∫ A 2ya⋅ dA + ∫ A a2 ⋅ dA

= Ix - 2a ∫A y dA + a2 ∫A dA

= Ix - 2a⋅ Gx + a2 ⋅ A (18)

따라서 x-x 가 도심을 통과할때 ;

Ix′ = Ic + a2 ⋅ A (19)

� 직사각형에 대한 단면 2차모멘트를 구하라.

b

h/2 dy

y c c

Ic = ∫A y2⋅dA = ∫A y2 ⋅ b dy = b [ ] 2/

2/

3

3/h

hy

−

= b⋅ h3/12

� 단면별 단면 2차모멘트 (관성모멘트)

직사각형 (폭 = b, 높이 = h) Ic = bh3/12

삼각형 (폭 = b, 높이 = h) Ic = bh3/36

원형 (직경 = d) Ic = πd4/64

2. 수중 평면에 작용하는 힘의 산정 공식

Fp = ∫ A dF = ∫ A γ ⋅h ⋅ dA = ∫ A γ⋅ l ⋅ sinθ ⋅dA

= γ ⋅sinθ ∫ A l ⋅ dA = γ ⋅ sinθ ⋅ l c ⋅ A

yc = ∫Ay⋅dA / A = Gx / A 로부터

(식 15)

Fp = γ ⋅sinθ ∫ A l ⋅ dA

= γ ⋅ sinθ ⋅ l c ⋅ A = γ ⋅ hc⋅ A (20)

식(20)으로부터

l p ⋅ Fp = l p ⋅ γ ⋅ sinθ ⋅ l c ⋅ A (21)

한편, l p ⋅ Fp 에 대하여 수학적으로 해석하면

l p ⋅ Fp = ∫ A l ⋅ dFp = ∫ A l ⋅ γ⋅ l ⋅ sinθ ⋅dA = γ ⋅sinθ ∫ A l 2⋅dA

위 식에 Iy = ∫A x2⋅dA (식 17)을 적용하면 ;

l p ⋅ Fp = γ ⋅sinθ ⋅Ix

또는 l p = γ ⋅sinθ ⋅Ix / Fp (22)

Fp = γ ⋅ sinθ ⋅ l c ⋅ A (식 20)을 식 (22)에 적용하면

l p = { γ ⋅sinθ ⋅Ix } / { γ ⋅ sinθ ⋅ l c ⋅ A } = Ix / { l c ⋅ A }

Ix 대신 Ix′ = I c + a2 ⋅ A (식 19)를 대입하면

l p = Ix / { l c ⋅ A } = {Ic + A⋅ l c 2}/{ l c ⋅ A }

즉.

Alll

c

c

cp⋅

+=I

(23)

Fp의 방향은 언제나 평면에 직각으로 작용한다.

� 수중의 평면 게이트에 작용하는 힘과 위치를 구해보자.

(h = 12ft, w=40ft, s = 0.68)

게이트에 작용하는 힘 ;

Fp = γ ⋅ hc⋅ A = (0.68x62.4 lb/ft3)x(12ft/2)x(12ftx40ft) = 122000 lb

Ic = bh3/12

L c = h/2

따라서 게이트에 작용하는 힘의 위치 ;

L p = L c + AL

I

c

c = h/2 + hwh

wh

)2/(

12/3

= h3

2 = 8 ft (수면으로부터)

� 수중의 평면 게이트에 작용하는 힘과 위치를 구해보자.

(h = 8m, w=30.5m, s = 1.0, θ=60°)

게이트에 작용하는 힘 ;

Fp = γ ⋅ hc⋅ A = (9.81 kN/m3)x(8m/2)x(30.5mx8m/sin60°) = 11060 kN

따라서 게이트에 작용하는 힘의 위치 ;

Ic = bh3/12 = wL3/12

L c = L/2

L = h/sinθ = 8m/sin60° = 9.24 m

L p = L c + AL

I

c

c = L/2 + LwL

wL

)2/(

12/3

= L3

2 = 6.16 m (수면으로부터)

� 수중의 평면 게이트에 작용하는 힘과 위치를 구해보자.

(H = 2ft, B=4ft, hc = 5ft, s = 0.91, θ=60°)

게이트에 작용하는 힘 ;

Fp = γ ⋅ hc⋅ A = (0.91x62.4 lb/ft3)x(5ft)x(4ftx2ft) = 2270 lb

게이트에 작용하는 힘의 위치 ;

Ic = BH3/12

L c = hc/sin60° = 5ft/sin60° = 5.77 ft

따라서

L p = L c + AL

I

c

c = 5.77 +)24)(77.5(

12/24 3

⋅

⋅

= 5.828 ft (수면으로부터)

제 4 절 수중의 곡면에 작용하는 힘

▶ 수평으로 작용하는 힘 :

dFh = P ⋅ dA ⋅ cos θ (24)

즉 곡면의 수평 투사면적에 작용하는 힘

▶ 수직으로 작용하는 힘 :

dFv = P ⋅ dA ⋅ sin θ = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ dA ⋅ sin θ = ρ⋅ g ⋅ d∀ (25)

즉 곡면 위에 놓여 있는 유체기둥의 무게

▶ 수직력의 작용위치 :

그림 (C)의 O점에 대하여 임의의 dA에 대한 모멘트를 취하면 ;

(dFv) ⋅ x = ρ ⋅ g ⋅ d∀⋅ x

Fv ⋅ xv = ρ ⋅ g ∫ ∫ ∫ x ⋅ d∀ (26)

Fv = ρ ⋅ g ⋅ ∀ (27)

From Eq.(26) and (27)

xv = ∫ ∫ ∫ x ⋅ d∀/ ∀ (28)

Eq.(28)은 체적중심 (Centroid of volume)의 정의이다.

즉, 수직력은 곡면 위에 놓여 있는 유체기둥의 체적중심을 통과한다.

� 아래 물탱크의 곡면부에 작용하는 힘의 크기와 힘의 작용위치를 구하라.

(h1 = 3m, h2 = 4.5m, w=2.5m, γ=9.81kN/m3)

면적 ; A1 + A2 = h1⋅R + π⋅R2/4 = 3m x 1.5m + π⋅1.52/4 = 4.5 + 1.767 = 6.267

체적 ; ∀ = w⋅A = 2.5 x 6.267 = 15.67 m3

무게 ; W = γ∀ = 9.81 x 15.67 = 153.7 kN

따라서

곡면에 작용하는 수직력 ;

Fv = 153.7 kN

수직력 작용위치 :

즉, 체적중심

(Composite area technique를 이용)

21

2211

AA

xAxAx

+

+

=

= 767.15.4

)636.0)(767.1()75.0)(5.4(

+

+

= 0.718 m

곡면에 작용하는 수평력 ;

곡면의 수평투영면적(빗금친 부분) ;

Ah = 2.5 x 1.5 = 3.75

수평투영면적의 도심까지의 수심 ;

hhc = h1 + s/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

따라서 Fh = γ ⋅ hhc⋅ Ah = 9.81 x 3.75 x 3.75 = 138 kN

수평력 작용위치 ;

L hp = Lhc + hhc

hc

AL

I = Lhc +

wsL

ws

hc

12/3

= 3.75 +1275.3

5.12

×

= 3.80 ft (수면으로부터)

힘의 총합 ;

Fp = 22

hvFF + ,

작용방향 ;

)/(tan 1

hvFF

−

=φ

예제] 아래 그림의 곡면에 작용하는 수직력의 크기를 산정하라.

예제] 아래 그림의 두 곡면에 작용하는 힘의 크기를 비교하라.

제 5 절 부력 및 부체의 안정

▶ 부력

A면에 작용하는 수직성분의 수압 :

A~수면 물기둥의 무게

B면에 작용하는 수직성분의 수압 :

B~수면 물기둥의 무게 이므로

A-B면 사이의 수압의 차이는 A-

B면 사이의 물기둥의 무게만큼

윗방향으로 작용하며 이를 부력(Buoyant Force)이라 부른다.즉, 부력은 수면방향

으로 작용하며 물속에 잠긴 물체의 체적만큼의 물의 무게이고 부력의 작용점은

Eq.(12)에서 보는 바와 같이 물체가 완전히 물속에 잠긴경우 물체의 체적중심을

통과한다.

▶ 부체의 안정

부력 및 부력의 작용점은 부체가 움직일때마다 변화하나 부체의 무게중심은 언제나

일정하므로 부력의 작용점과 무게중심의

위치에 따라 부체의 안정성이 변한다.

MB > GB : Stable

MB = GB : Neutral

MB < GB : Unstable

M을 경심(metacenter) 이라하고

B'을 부력중심,

G를 중력중심이라하며 M점이 G점보다 높이 있으면 부체는 안정되고

G점보다 낮으면 부체는 불안정 하다.

제 6 절 일정 가속도를 받는 유체 (상대정지 정수방정식 응용)

▶ 일정한 연직가속을 받는 유체

상대정지 유체의 정수방정식 ;

dp = ρ⋅(- ax⋅dx - ay⋅dy - az⋅dz - g⋅dz) 로부터

dp = - ρ az⋅dz - ρ g⋅dz

윗 식을 적분하면

p = -(ρ⋅az + γ)z + C

경계조건 z = o 일 때 p = po 를 윗 식에 적용하면

C = po

따라서 윗식은 다시

p = -(ρ⋅az + γ)z + po

z = -h 지점의 수압은

p = (ρ⋅az + γ)h + po (29)

▶ 일정한 수평가속을 받는 유체

상대정지 유체의 정수방정식 ;

dp = ρ⋅(- ax⋅dx - ay⋅dy - az⋅dz - g⋅dz)

으로부터

dp = - ρ ax⋅dx - γ⋅dz

자유수면은 압력이 일정하므로 dp = 0 이다.

따라서 일정한 수평가속을 받는 유체의 수면은

- ρ ax⋅dx - γ⋅dz = 0

따라서 윗식은 다시 dz/dx = - g

ax

따라서 수면의 기울기 ;

)/(tan 1

dxdz−

=θ (30)

▶ 일정한 각속도를 받는 유체

제 3 장 수리 운동학 (Kinematics of Fluid Flow)

제 1 절 유체 운동학 총론

1. 흐름의 기술방법

▶ Condition of motion :

Statics ; 정지물체에 작용하는 힘의 균형을 다룬다.

Kinetics ; 불균형을 이룬 힘에 의한 물체의 움직임을 다룬다.

▶ Condition of Force action :

Kinematics ; 물체의 움직임을 유발한 힘을 고려치 않고 물체의 움직임을 취급.

Dynamics ; 물체의 움직임을 동반하는 힘의 작용을 취급

▶ Hybrid :

Statics(정력학) ; Fluid statics involves the single property of fluid weight.

Kinematics(운동학) ; principle of continuity and the various characteristics of

flow pattern are discussed

Dynamics(동력학) ; The two basic principles of energy and momentum are

developed.

2. 흐름의 종류

▶ 흐름의 특성변화 ;

┬ 정류 (Steady Flow; ∂Ch/∂t = 0 ) ┬ 등류 (Uniform Flow) ; ∂Ch/∂l = 0

│ └ 부등류 (Non-Uniform Flow) ; ∂Ch/∂l ≠ 0

└ 부정류 (Unsteady Flow; (∂Ch/∂t ≠ 0)

- Uniform flow(등류) ; 흐름의 특성이 흐름의 경로에 따라 변치 않는 흐름

- Non-uniform flow(부등류) ; 흐름의 특성이 위치에 따라 변하는 흐름.

- Steady Flow(정류) ; 흐름의 특성이 시간에 관계없이 변치 않는 흐름.

▶ 점성력이 지배하는 정도 ;

┬ � 층류 (Laminar Flow) ; Re (= V d / ν = 4 V R / ν) < 2000

└ � 난류 (Turbulent Flow) ; Re > 4500

여기서 Re = 4 V R / ν

R은 동수반경 (=통수단면적/습윤윤변길이= A/p)

▶ 층류(Laminar Flow)와 난류(Turbulent Flow)의 구분

층류 ; (Re < 2000 for Pipe flow)

난류 ; (Re > 4500 for Pipe flow)

즉, Reynolds Number ; Re = 관성력/점성력 = V D / ν

� 층류와 난류에 해당하는 유속분포와 흐름을 찾고 그 이유를 설명하라.

▶ 중력이 지배하는 정도 ;

┬ � 상류 (Subcritical Flow) ; Fr < 1 downstream control

├ � 한계류 (Critical Flow) ; Fr = 1

└ � 사류 (Supercritical Flow) ; Fr > 1 upstream control

여기서 Fr 는 Froude No. (= V / Dg ⋅ = V / c )

D 는 수리수심 (= 통수단면적/자유수면의 폭 = A/T)

▶ 파의 전파와 상류/사류의 구분

3. 동수반경 (Hydraulic Radius)

동수반경(Hydraulic Radius) ; 단면적과 습윤윤변의 길이의 비.

R = A/P

� 직사각형 수로(3W x 2H)에 Q = 30m3/s, 수심 1.5m.

통수단면적(A), 습윤길이(P), 동수반경(R)을 구하고 이 흐름을 구분하라.

단 물의 동점성계수 ν = 1.0 x 10-6 m2/s 이다.

A = 3 x 1.5 = 4.5 m2

P = 3 + 2x1.5 = 6 m

R = A/P = 4.5/6 = 0.75 m

V = Q/A = 30/4.5 = 6.67 m/s

Re = 4 V R / ν = 4 x 6.67 x 0.75 / (1.0 x 10-6) = 20,000,000 ≫ 4,500

따라서 난류(Turbulent flow).

� 삼각형 및 사변형 수로의 단면적, 습윤길이 수면폭 산정공식을 유도하라.

4. 1차원, 2차원, 3차원 흐름의 예

5. 흐름을 기술하는 용어

▶ Path Line (유적선):

일정시간동안 한 개의 유체입자가 움직인 경로를 연결한 선

▶ Streak Line (맥선):

일정시간동안 흐름내의 특정지점을 통과한 모든 유체입자들의 현재 위치을 연결한 선

▶ Time Line :

특정시간에 일직선을 이루는 흐름내의 유체 입자들의 집합

▶ Stream Line (유선):

특정시간에 대한 유체입자들의 유속벡터에 접하는 접선들을 연결한 선.

즉, 유선과 유선사이를 흐르는 유체의 질량은 일정하다.

▶ Stream Tube (유관):

가상의 폐곡선상의 모든 점을 통과하는 유선들로 구성된 관.

제 2 절 연속방정식 (Continuity Equation; 질량보존법칙)

1. 1차원 연속방정식

유관속을 압축성 유체가 정상류 상태로 흐른다고 하자.

단면 1과 2사이의 유체질량이 시간 dt동안 1'과 2'으로 움직였다면

단면 1 ~ 2 사이의 유체질량과 단면 1'~ 2'사이의 유체질량은 동일하다.

m 1~1' = m 2~2' (1)

한편

m = ρ⋅Vol. = ρ⋅dA⋅ds 이므로 식 (1)은 다시

ρ1⋅dA1⋅ds1 = ρ2⋅dA2⋅ds2 (2)

식 (2)의 양변을 dt로 나누면

ρ1⋅dA1⋅dt

ds1 = ρ2⋅dA2⋅

dt

ds2

즉,

ρ1⋅dA1⋅v1 = ρ2⋅dA2⋅v2 (3)

유관이 아닌 고정된 경계로 둘러싸인 유체의 흐름의 경우 식 (3)은 다시

∫ρ1⋅v1 ⋅dA1 = ∫ρ2⋅v2 ⋅dA2

한 단면에서 밀도가 일정할 때

ρ1 ∫v1 ⋅dA1 = ρ2 ∫v2 ⋅dA2

단면 1과 2에서 의 평균유속을 V1과 V2라 하면

ρ1⋅A1⋅V1 = ρ2⋅A2⋅V2

따라서

압축성 정상류 유체의 경우 질량보존의 법칙은

ρu A = Const. (4)

비압축성 유체의 경우 밀도는 일정하므로 밀도항을 상수항으로 처리하면

u A = Q = Const. (5)

2. 3차원 연속방정식

질량 보존의 법칙이란 단위시간당 유입질량과 유출질량의 차이는 단위시간당

C.V.내의 질량의 변화율로 기술된다.

즉,

∂(Mass)/∂t =

Inflow of Mass/Unit time - Outflow of Mass/Unit time

또한,

t

m

Δ=

t

Vol

Δ

⋅ρ=

t

LA

Δ

⋅⋅ )(ρ=

t

tVA

Δ

Δ⋅⋅⋅ )(ρ= VA ⋅⋅ρ

이상의 서술을 그림과 같은 C.V.을 이용하여

수학적으로 기술하면 ;

t∂

∂ρdx⋅dy⋅dz = ρu⋅dy⋅dz - {ρu +

x

u

∂

∂ )(ρdx}⋅dy⋅dz

+ ρv⋅dx⋅dz - {ρv + y

v

∂

∂ )(ρdy}⋅dx⋅dz

+ ρw⋅dx⋅dy - {ρw + z

w

∂

∂ )(ρdz}⋅dx⋅dy

즉,

t∂

∂ρdx⋅dy⋅dz = -

x

u

∂

∂ )(ρdx⋅dy⋅dz -

y

v

∂

∂ )(ρdy⋅dx⋅dz

- z

w

∂

∂ )(ρdz⋅dx⋅dy (6)

양변을 C.V.의 체적 dx⋅dy⋅dz으로 나누면 단위체적에 대한 질량보존의 법칙

∴ - ∂(ρu)/∂x - ∂(ρv)/∂y - ∂(ρw)/∂z = (∂ρ/∂t)

or

(∂ρ/∂t) + ∂(ρu)/∂x + ∂(ρv)/∂y + ∂(ρw)/∂z = 0 (7)

▶ 1-Dimensional, Steady Flow의 경우 ;

(∂ρ/∂t) = 0, ∂(ρv)/∂y = 0, ∂(ρw)/∂z = 0 가 되며

따라서

식(7)은 식(8)과 같이 단순화 시킬 수 있고 식(8)을 적분하면 식 (9)가 된다.

x

u

∂

∂ )(ρ= 0 (8)

ρu = Const. (9)

따라서

통수단면적이 A인 한 지점에 대한 1차원적 질량보존의 법칙은 식 (4), (5)와

동일함을 알 수 있다.

ρu A = Const. for any fluid

or

u A = Q = Const. for ρ = const (i.e., incompressible fluid)

제 4 장 동수역학 (Dynamics of Fluid Flow)

제 1 절 Bernoulli 방정식 (Simplified Energy Eq.)

1. Newton 법칙을 이용한 Bernoulli 방정식 유도

2. 열역학적 에너지 보존법칙을 이용한 에너지방정식 유도

유체의 단위 질량당의 에너지.

▶ 에너지와 일의 종류

▷ Kinetic Energy ; (m⋅V2 /2) / m = V2 /2 d

= [FLM-1]

▷ Potential Energy ; (W⋅z) / m = (m⋅g⋅z) / m = g⋅z =d

[FLM-1]

▷ Internal Energy ; e = Cv⋅ΔT d

= [FLM-1]

▷ Flow work or Displacement Energy ;

(∫s F⋅ds)/m = (Fp1⋅ds1)/m = (p1⋅dA1⋅ds1) / m

= (p1⋅dA1⋅ds1 ) / (ρ1⋅dA1⋅ds1 ) = p1 / ρ1 d

= [FLM-1]

▷ Mechanical Energy ; by means of Pumps or turbine : EM d

= [FLM-1]

▷ Heat Flow ; Energy Transition due to heat temperature difference :

EH d

= [FLM-1]

▶ In-flow 에너지와 Out-flow 에너지의 Balance Eq. ;

e1 + p1 / ρ1 + g⋅z1 + V12/2 ± EM ± EH = e2 + p2 / ρ2 + g⋅z2 + V2

2 / 2 (4)

식의 양변을 g로 나누면 (i.e., 단위중량당 에너지 Balance)

e1/g + p1/(g ρ1) + z1 + g

V

2

2

1 ± EM/g ± EH/g = e2/g + p2 /(g ρ2) + z2 + g

V

2

2

2 (5)

비압축성 유체의 경우 ρ = const. 이며

내부에너지와 일반적으로 에너지 형태로서 쓰일 수 없는 heat flow 등을 에너지

손실(hL)로 표기

p1/γ + z1 +g

V

2

2

1 = p2 /γ + z2 + g

V

2

2

2 + {e2 - e1 - (± EM ± EH)}/g = p2/γ + z2 +

g

V

2

2

2 + hL

즉,

p1/γ+ z1 + g

V

2

2

1 = p2 /γ + z2 + g

V

2

2

2 + hL (6)

3. 운동에너지 보정계수

2차원 이상의 흐름이 발생하는 관로의 경우

에너지 방정식을 유도할 때 적용하였던 관내 유속이 일정하다는 조건과 다르므로

이에 대한 보정이 필요하게 된다.

실제 운동에너지 평균유속을 이용한

운동에너지

Solid m⋅v2/2 (m/t)⋅v2/2 = (ρ⋅A⋅v)⋅v2/2

Fluid ∫ {ρ⋅v3/2}⋅dA ρ⋅A⋅V3/2

평균유속을 이용한 운동에너지를 실제 운동에너지로 보정하기 위해서는

에너지 방정식 중 g

V

2

2

대신 운동에너지 보정계수 α를 곱한 αg

V

2

2

을 적용한다.

α = velocityaverage using Fluid of K.E.

Fluid of K.E.Exact =

2

23

3

AV

dAv

ρ

ρ

∫=

3

1

AVdAv

A

3

∫ (7)

▶ 층류의 α : (관로내 유속 v = vmax ( 1 - r2/R2) 로 가정)

평균유속 V = (1/A) ∫A v⋅dA = 2

R

1

π

∫ drrR

rv

R

π2)1(2

2

max0

− = vmax /2

식 (6)과 평균유속 V로 부터

α = {1/ A⋅V3} ∫ A v3⋅dA = 8/R

1

3

max

2

vπ

∫ drrR

rv

R

π2)1( 3

2

2

3

max0

− = 2.0

▶ 난류의 α : (관로내 유속 v = vmax (r/R)1/n)로 가정)

α = 1.01 - 1.15 (Average ; 1.03 - 1.06) 이다.

▶ Correction Factor α를 적용해야 할 경우 :

Turbulent flow의 경우 ;

α ≈ 1.0 이므로 에너지 방정식에서는 Correction Factor α 를 적용해야 할 필요

없음

Laminar flow 인 경우 (Re < 2000) ;

α ≈ 2.0 이나 위치에너지 및 압력에너지에 비해 K.E. Energy 값이 작은 경우

무시.

그러나

두 단면의 Correction Factor α값이 큰 차이를 보일 경우 반드시 적용.

p1/γ + z1 + αg

V

2

2

1 = p2 /γ + z2 + αg

V

2

2

2 + hL (8)

4. 에너지방정식의 응용

▶ Torricelli의 정리(에너지 손실을 무시한 경우)

베르누이 정리를 적용하면

p1 /γ + z1 + V12/2g = p2 /γ + z2 + V2

2/2g

저수지의 유속은 영이고

z1 , z2 에서의 압력도 영이므로

V22/2g = p1 /γ + z1 – (p2 /γ + z2 ) = z1 –

z2 = h

따라서

관을 통한 흐름의 유속

V= gh2 (9)

제 2 절 에너지선과 동수경사선

에너지 선(Energy Line ; EL)과 동수경사선(Hydraulic Grade Line ; HGL)

Energy Line (EL) = p/γ + z + v2/(2g)

Hydraulic Grade Line (HGL) = EL - v2/(2g) = p/γ + z

▶ 에너지선(EL)과 동수경사선(HGL)을 찾는법

1. Plot the EL where it is known

Reservoir surface

Pitot tube (Stagnation tube) height

2. plot the HGL where it is known

Free jet centerline

Piezometer height

3. use the continuity equation to find velocity V at various points throughout the

system.

� 에너지 손실이 없는 경우

Energy Line(E.L.), Hydraulic Grade Line(H.G.L.), 위치에너지, 속도에너지,

압력에너지의 관계.

� 에너지 손실이 있는 경우

ref.) vapor pressure = 30 kPa

제 3 절 급경사 및 곡선흐름에서의 Piezometric head의 변화

1. 급경사 수로의 Piezometric head

(a)

(b) (c)

등류의 경우 사면수로에서의 압력수두는 식 (12)와 같다.

P = γ⋅d⋅cosθ

따라서

θγ cos/ ⋅== dph (12)

또는

θ2

cos⋅= yh (13)

점변류의 경우 :

하상의 기울기 θ가 클 때(6° 이상, 또는 경사 1:10 이상) 식 (12)는 계속

유효하나식 (13)은 변류(varied flow)에 적합치 않다.

2. 곡선 수로의 Piezometric head

곡률반경 r을 이루는 곡선을 따르는 흐름의 경우 원심가속도 r

Va

n

2

= 가 작용

dA(p + dp) dA

V

Stream Line

θ

p dA

(p + dp) dA

dW

dr

dz

n

s

r-radius curvature

m a =( dA dr) (V /r) n ρ .. 2.

Fluid Element

Stream line 연직방향의 힘의 합은 영(zero)

즉,

∑FN = 0 ;

z)/(pdr

d+γ = (HGL)

dr

d =

rg

v2

⋅

(16)

따라서,

r → ∞ ⇒ z)/(pdr

d+γ = 0 i.e., p/γ + z = const.

0 < r < ∞ ⇒ z)/(pdr

d+γ ≠ 0 i.e., p/γ + z = varies

제 4 절 운동량 방정식 (Momentum Equation)

1. 운동량 방정식

운동량 보존의 법칙으로

그림과 같이 두개의 stream line 사이의

1-D steady flow를 나타내는 C.V.를 고려.

시간 t 일때 1, 2 단면사이의 유체질량이

시간 t + Δt 때 1', 2' 단면으로 움직였다고 가정

Newton의 제 2법칙 →→

=∑ amF 를 C.V.에 적용

t

tVm

ttVm

tdt

VmdamF

Δ

→−

Δ+

→

=Δ=

→

=→

=∑→ )()(

lim0

)( (15)

한편,

( )mVt t

→

+Δ = ρ⋅(Vol)⋅→

V + ρ2⋅(Vol) 2⋅→

V 2

= ρ⋅(Vol)⋅→

V + ρ2⋅A2⋅ΔS2⋅→

V 2 Q (Vol) 2 = A2⋅ΔS2

= ρ⋅(Vol)⋅ →

V + ρ2⋅A2⋅V2⋅Δt2⋅→

V 2 Q ΔS2 = V2⋅Δt2

( )mVt

→

= ρ⋅(Vol)⋅ →

V + ρ1⋅(Vol) 1⋅→

V 1

= ρ⋅(Vol)⋅ →

V + ρ1⋅A1⋅ΔS1⋅→

V 1 Q (Vol)2 = A1⋅ΔS1

= ρ⋅(Vol)⋅ →

V + ρ1⋅A1⋅V1⋅Δt1⋅→

V 1 Q ΔS1 = V1⋅Δt1

위 식들을 식 (15)에 대입하면

t

VmVm

dt

VmdF

ttt

t Δ

−==

→

Δ+

→

=Δ

→

→

∑)()()(

lim0

= t

VtVAVtVA

t Δ

Δ−Δ

→→

=Δ

11112222

0

limρρ

비압축성 유체인 경우

Q 1⋅ρ1 = Q2⋅ρ2 = Q⋅ρ 이므로

∑→

F = →→

−11112222

VVAVVA ρρ = →→

−

111222VQVQ ρρ = )(

12

→→

−VVQρ (16)

Momentum flux entering control volume is negative(-) and Momentum flux

leaving is positive(+).

� Eq.(16)의 ∑→

F 에 포함되어야 할 힘은?

1. Pressure force ; Fp = p A

2. Inertia force ; F = m a = ρQ V

3. gravity force ; F = m g = γ Vol.

4. Viscous force ; F = τ A

5. Surface tension ; small curvature flow

6. Elastic force ; Fp shows the effects of Elastic force.

관로의 압력

개수로의 압력

개수로의 압력과 중력

개수로의 압력과 중력 및 마찰력

▶ 에너지 방정식과 운동량 방정식의 차이

구분 에너지 방정식 운동량 방정식

특성 Scalar Vector

의미 System 내에서의 에너지 손실 System에 작용하는 힘과 System의

경계 를 통해 들어오고 나가는 운동량

flux

적용 System의 경계사이의

에너지손실 산정이 가능한 경우

System의 경계사이의 에너지손실

산정이 불가능한 경우

4.2 운동량 방정식 응용

F

→

∑ = ∑→

ρ Q V

F

→

∑ = F F F F R Rp p p p x y1 2 3 4

→ → → → → →

+ + + + +

Taking x, y components of

∑→

F = →

∑ VQρ

X-Component ; →

+

→

+

→

−

→

+

→

xRxpF

pF

xpF

xpF

4321

= - Q1⋅ρ1 (+V1x) - Q2⋅ρ2 (+V2 x) + Q3⋅ρ3 (+V3 x) + Q4⋅ρ4 (-V4 x)

F

p 1

F

p 2

F

p 3

F

p4

R

y

R

x

X

Y

ρ1Q1V1

ρ2Q2V2

ρ3Q3V3

ρ4Q4V4

Y-Component ; →

−

→

+

→

−

→

yRypF

ypF

ypF

421

= - Q1⋅ρ1 (+V1y) - Q2⋅ρ2 (-V2y) + Q3⋅ρ3 (0) + Q4⋅ρ4 (-V4y)

� 운동량 방정식 적용 예

Specific gravity S = 0.85, Q1 = 0.14 m3/sec, Q3 = 0.10 m3/sec일 때 Junction에

작용하는 힘(Rx, Ry, R)을 구하라. (손실은 무시)

A = 0.073 m

p = 137.9 kPa

A = 0.018 m

A = 0.032 m

1

1

2

2

2

2

3

45

30

Solution)

∑→F = )(

→

−

→

inVoutVQρ (16)

▶운동량 방정식

∑Fx = Fp1 - Fp2 cos45° - Fp3 cos 30° - Rx

= ρ (Q2V2x + Q3V3x - Q1V1 )

∑Fy = - Fp2 sin45° + Fp3 sin 30° + Ry

▶연속 방정식으로부터

Q1 = Q2 + Q3 �

Q2 = 0.14 - 0.1 = 0.04 m3/s

따라서

v2 = Q2 / A2 = 0.04 / 0.018 = 2.222 m/s

v3 = Q3 / A3 = 0.1 / 0.032 = 3.125 m/s

v1 = Q1 / A1 = 0.14 / 0.073 = 1.918 m/s

▶에너지 방정식으로부터

p1 /γ + v12 / 2 g = p2 /γ + v2

2 / 2 g = p3 /γ + v32 / 2 g

p1 /γ + v12 / 2 g = 137900 / 0.85/ 9800 + 1.9182 / 19.6 = 16.742

따라서

p2 = 0.85 x 9800 x (16.742 - v22 / 2 g) = 137363 N/m2

p3 = 0.85 x 9800 x (16.742 - v32 / 2 g) = 135310 N/m2

즉

Fp1 = P1 A1 = 137900 x 0.073 = 10066.7

N

Fp2 = P2 A2 = 2472.5 N

Fp3 = P3 A3 = 4329.9 N

▶운동량 방정식으로부터

∑Fx = Fp1 - Fp2 cos45° - Fp3 cos 30° - Rx = ρ (Q2V2x + Q3V3x -

Q1V1 )

또는

10067 - 2473 x cos45° - 4330 x cos30° - Rx

= 1000x0.85x(0.04 x 2.222 x cos45° + 0.1 x 3.125 x cos30° - 0.14 x

1.918)

따라서

Rx = 4513.2 N

∑Fy = - Fp2 sin45° + Fp3 sin 30° + Ry

= ρ [Q2 (-)V2y + Q3V3y ]- 2473 x sin45° + 4330 x sin30° + Ry

= 1000 x 0.85 x [0.04 x 2.222 x sin45° - 0.1 x 3.125 x sin30°]

Ry = 495.4 N

3. 운동량 보정계수(Momentum Correction Factor)

K.E. 의 보정이 필요한 이유와 마찬가지로

유속이 변하는 경우와 평균유속을 사용할 경우 Momentum Flux 의 보정이 필요

∑→

F = )(12

→→

− VVQ ββρ (9)

Fp1

Fp2

Fp3Ry

Rx

� 운동량 보정계수 산정 예

▶ 층류 :

관로내 유속 v = vmax ( 1 - r2/R2) 일 경우

β = {1/ A⋅V2} ∫A v2⋅dA = 4/R

1

2

max

2

vπ

∫ drrR

rv

R

π2)1( 2

2

2

2

max0

− = 4/3 = 1.33

2-D laminar flow의 경우; β = 1.20 이며

▶ 난류의 경우 β = 1.005 - 1.05 이다.

� Correction Factor를 적용해야 할 경우 :

4. 운동량방정식의 응용 - Thrust Anchoring (thrust block)

4.1. Thrust Force caused by Water Pressure

θ

PP

P

Bend Tee

Reducer Dead End

4.2. Anchoring with Concrete Blocks

h2

h1

H

B

Wµ

W1

W3

W2

P

E

L

h2

h1

H

B

WP2

PP2

P1

F' F'

µ

P1

E

(W + P2)

L