강체의 동역학 · 2016-05-09 · 328 제5장강체의평면운동학 각운동 관계식...

제2부

강체의 동역학

5.1 서론

제2장의 질점운동학에서는 곡선이나 직선경로를 이동하는 점들의 변위, 속도, 가

속도를 결정하는 관계식들을 유도하였다. 강체운동학에서는 질점과 동일한 관계

식을 사용하지만 물체의 회전도 추가로 고려해야 한다. 그러므로 강체운동학은 속

도, 가속도뿐만 아니라 각변위, 각속도, 각가속도도 포함한다.

다음의 두 가지 중요한 이유로 강체의 운동을 기술할 필요가 있다. 첫째 캠이

나 기어, 여러 종류의 링크장치들의 운동을 발생, 전달, 제어할 필요가 있기 때문

이다. 이때 기계 부품의 형상을 설계하기 위해 변위, 속도와 가속도를 분석해야 된

다. 게다가 그 운동 결과로 발생된 힘은 부품 설계 시 반드시 고려되어야 한다.

둘째, 힘이 작용하여 발생하는 강체운동을 종종 계산해야 하기 때문이다. 추력

과 중력을 고려해 로켓의 운동을 계산하는 것이 그 예이다.

우리는 이러한 두 가지 상황에서 강체운동학의 법칙들을 적용할 필요가 있다.

이번 장에서는 단일 평면에서 발생하는 운동을 분석하는 방법에 대해 다루게 된

다. 제7장에서는 3차원 운동학에 대해서 소개할 것이다.

강체 가정

앞 장에서는 강체를 질점들 간의 거리 변화가 없는 질점계로 정의하였다. 따라서

만약 각각의 질점이 강체에 부착되어 함께 회전하는 기준 축의 위치벡터로 정의

된다면, 이러한 축으로부터 측정된 위치벡터는 아무런 변화가 없을 것이다. 이것

은 당연히 이상적인 상황이다. 왜냐하면 힘이 작용하면 물체의 형태는 어느 정도

5강체의 평면운동학Plane Kinematics of Rigid Bodies

이 장의 구성

5.1 서론

5.2 회전

5.3 절대운동

5.4 상대속도

5.5 영속도의순간중심

5.6 상대가속도

5.7 회전축에대한운동

5.8 이장에대한복습

강체운동학은 운동과 연관된 힘과 모멘트는 고려하지 않고 강체의 선형운동과 각운동의 관계를 나타낸다. 기어, 캠, 연결 링크 외에 많은 움직이는 부품 설계의 대부분은 운동학 문제이다.

R.IanLloyd/Masterile

326제5장강체의평면운동학

변하기 때문이다.

그럼에도 불구하고 만약 물체의 운동에 비해서 형태의 변화가 매우 작다면, 강

체로 가정할 수 있을 것이다. 예를 들면 비행기 날개의 떨림으로 인해서 발생되는

변위는 비행기 전체의 운동을 기술하는 데 큰 영향이 없으므로 강체로 가정하는

것이 합당하다. 하지만 만약 플러터에 의해 발생하는 날개 내부 응력의 경우, 날개

부분의 상대운동을 무시할 수 없으므로, 날개를 강체로 가정할 수 없을 것이다. 이

장과 다음 두 장에서는 대부분의 내용이 강체에 바탕을 두고 있다.

평면운동

물체의 모든 부분이 평행한 평면 내에서만 운동할 때 강체는 평면운동을 한다고

한다. 편의상 질량중심을 포함한 평면인 운동평면을 고려하고, 물체가 얇은 판과

같이 운동이 평면 내에 국한되는 경우만을 다룬다. 이러한 가정은 엔지니어링 분

야에서 여러 가지 강체운동을 표현할 때 충분히 합당하다.

강체의 평면운동은 그림 5.1과 같이 여러 가지 항목으로 분류될 수 있다.

병진(translation). 물체 내에서 연결한 임의의 선분이 항상 평행하게 이동하는

경우 병진운동이라 정의한다. 병진운동의 경우 물체를 이은 어떤 선분도 회전하지

않는다. 그림 5.1a의 직선 병진운동의 경우, 물체의 모든 점이 평행한 직선을 따라

이동한다. 그림 5.1b의 곡선 병진운동의 경우, 모든 점이 지정된 곡선을 따라서 이

동한다. 이 두 가지 병진운동의 경우 물체 내의 모든 점의 운동이 같기 때문에 물

체의 운동을 물체의 어느 한 점만으로 완벽하게 표현된다. 그러므로 제2장에서 공

부했던 질점운동으로 강체의 병진운동을 완벽하게 기술할 수 있다.

고정축 회전(rotation about a fixed axis). 그림 5.1c는 고정축에 대한 회전운동

을 나타낸다. 강체의 모든 질점이 회전축을 중심으로 원형 경로를 따라 이동한다.

그리고 회전축에 대해 수직인 강체 내부의 모든 선분이 (회전축을 지나가지 않는

모든 선분을 포함) 동시에 같은 각도만큼 회전한다. 제2장에서 논의했던 질점의

원운동을 이용하면 강체의 회전운동을 표현할 수 있으며 이것에 대해서는 다음 절

에서 취급한다.

일반평면운동(general plane motion). 그림 5.1d에 나타낸 일반평면운동은 병

진운동과 회전운동의 결합이다. 2.8절에서 다루었던 상대운동 원리들을 이용해서

일반평면운동을 나타낼 것이다.

각각의 그림에 나타내었듯이 물체 내부의 모든 질점들의 경로는 단일 평면운동

에 투영된다는 점에 주목하라.

강체의 평면운동의 해석은 기하학적 정보를 이용하여 절대 변위와 시간 미분 항

DavidParker/PhotoResearchers,Inc.

그림의 니켈 마이크로기어는 두께가 단지 150

mm(150×10－6 m)이며 초소형 로봇에 응용 가능성이 있다.

5.2회전327

을 바로 계산하거나, 상대운동 원리를 이용하여 계산할 수 있다. 각각의 방법은 중

요하고 유용하며 다음 절에서 다룬다.

5.2 회전

강체의 회전운동은 강체의 각운동으로 표현된다. 그림 5.2는 평면 회전운동하는

강체를 나타낸다. 어떤 고정 좌표계를 기준으로 물체에 붙어 있는 선분 1과 2의 각

도는 q1와 q2로 정의된다. 왜냐하면 각도 b는 일정하므로, q2 〓 q1 + b의 관계식

을 시간에 대해 미분하면 q1 〓 q2이고 q1 〓 q2이며, 유한한 시간 동안 ∆q1 〓 ∆q2

이다. 따라서 운동평면 내에 있는 강체의 모든 성분들은 동일한 각변위, 각속도, 각가속

도를 갖는다.

선분의 각운동은 임의의 고정축에 대한 회전각도와 그 시간 미분 항만에 의해

서 결정되는 점을 주목하라. 각운동에서는 운동평면에 수직인 고정축이 꼭 필요한

것은 아니다.

12

β

1θ2θ

그림 5.2

강체 평면운동의 모양 실례

(a)직선 병진

B

A

B′

A′

B

A

B′

A′

B

A

B

A

B′

B′

A′

θ

B

A

B′

A′

B

A

B′

A′

B

A

B

A

B′

B′

A′

θ

(b)곡선 병진

B

A

B′

A′

B

A

B′

A′

B

A

B

A

B′

B′

A′

θ

B

A

B′

A′

B

A

B′

A′

B

A

B

A

B′

B′

A′

θ(c)

고정축 회전

B

A

B′

A′

B

A

B′

A′

B

A

B

A

B′

B′

A′

θ

B

A

B′

A′

B

A

B′

A′

B

A

B

A

B′

B′

A′

θ

(d)일반평면운동

B

A

B′

A′

B

A

B′

A′

B

A

B

A

B′

B′

A′

θ

B

A

B′

A′

B

A

B′

A′

B

A

B

A

B′

B′

A′

θ

그림 5.1


각운동 관계식

평면 회전운동을 하는 강체의 각속도 w와 각가속도 a는 각각 물체 내 임의의 선분

의 각변위 q의 1차 및 2차 시간 미분이다. 그 정의는 다음과 같다.

(5.1)

세 번째 식은 처음 두 식에서 dt를 소거하여 얻어진다. 이러한 관계식에서, w와 a

의 양의 방향을 시계방향 혹은 반시계방향으로 하든지 상관없이 q의 양의 방향과

동일하다. 식 (5.1)은 질점의 직선운동을 정의할 때 쓴 식 (2.1), (2.2), (2.3)과 유사

한 형태이다. 사실 직선운동을 표현하는 2.2절의 모든 관계식은 선형량인 s, v, a를 각각 각운동량인 q, w, a로 바꾸어서 그대로 사용할 수 있다. 강체동역학을 더

공부하면 운동학과 운동역학에 걸쳐 선형운동과 각운동의 관계가 거의 유사하다

는 것을 발견하게 될 것이다. 이러한 관계들은 아주 중요한데, 이러한 관계들이 역

학에서 발견되는 대칭성과 통일성을 설명하는 데 도움을 주기 때문이다.

등각가속도 회전의 경우 식 (5.1)을 적분하면 다음과 같다.

여기서 w0과 q0는 각각 t 〓 0일 때 초기 각속도와 각변위이고 t는 운동이 지속된

시간이다. 이 식들은 2.2절에서 언급한 일정 가속도가 있는 직선운동에 관한 식과

완벽하게 유사하므로 적분하여 구할 수 있을 것이다.

그림 2.3과 2.4에 나타낸 s, v, a, t의 관계들도 그에 상응하는 q, w, a 값으로 간

단히 바꾸어 사용할 수 있을 것이다. 평면 회전에 대한 관계들을 그림으로 그려보

아야 한다. 선형 가속도로부터 선형 속도와 선형 변위를 얻는 수학적인 과정에서

단지 직선운동에 해당하는 값들을 회전운동에 대한 값으로 바꿔서 적용하면 회전

운동에 대한 관계식을 적용할 수 있다.

고정축에 대한 회전운동

고정축을 중심으로 강체가 회전할 때, 축 위에 있는 점들을 제외한 모든 점들은 동

심원 형태로 움직인다. 따라서 그림 5.3과 같이 원점 O를 지나면서 그림 평면에 수

직인 축을 중심으로 회전하는 강체의 경우, 임의의 점 A는 반경 r인 원을 따라 움

KEY CONCEPTS

또는

또는

5.2 회전 329

직인다. 2.5절에서 언급한 A의 선형 운동과 이동경로에 수직인 각운동 간의 관계

에 대하여 이미 알고 있을 것이다. 각속도 w 〓 q와 각가속도 a 〓 w 〓 q를 이용하

여 식 (2.11)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

(5.2)

이러한 관계식들은 벡터의 형태로 외적을 이용하여 나타낼 수도 있다. 특히 벡

터 표현은 3차원 운동을 분석할 때 중요하다. 그림 5.4a와 같이 회전운동하는 강체

의 각속도벡터 는 회전 평면에 대해 수직이며 오른손 법칙의 방향을 따른다. 벡

터 외적의 정의로부터 벡터 v는 와 r의 외적으로 다음과 같이 구해진다. 이러한

외적으로 v의 정확한 크기와 방향을 결정할 수 있다.

외적에서 벡터의 곱의 순서를 꼭 지켜야 한다. 반대 순서의 경우 r× 〓－v가

된다.

점 A의 가속도는 외적으로 표현된 v를 시간에 대하여 미분해서 다음과 같이 구

해진다.

여기서 〓 는 강체의 각가속도를 의미한다. 그러므로 식 (5.2)에 해당하는 식은

다음과 같고, 그림 5.4b에 나타내었다.

그림 5.4

AA

O

v

r

(a)

O

v = r

(b)

=

r) (

an = rat =

·

·

O

A

t

v = r

at = r

2an = rn

r

그림 5.3

330제5장강체의평면운동학ⓒStevenHaggard/Alamy

풀리-케이블 장치는 엘리베이터의 일부이다.

(5.3)

3차원 강체운동의 경우, 각속도벡터 는 크기뿐만 아니라 방향도 바뀌게 될 것

이다. 이러한 경우 각속도벡터의 미분 값인 각가속도벡터 〓 는 더 이상 각속도

벡터 와 같은 방향이 아니다.

ⓒNom

ad/SUPER

STOCK

풀리와 케이블은 샌프란시스코 케이블카의 일부이다.

5.2회전331

예제 5.1

1800 rev/min의 각속도로 시계방향으로 회전하는 플라이휠에 t 〓 0에서 반시계방향의

토크가 가해진다. 토크는 반시계방향으로 a 〓 4t rad/s2만큼의 각가속도를 발생시킨다.

여기서 t는 토크가 발생되는 시점으로부터의 시간이다. (a) 플라이휠의 시계방향 각속도

가 900 rev/min가 되는 시간을 구하라. (b) 플라이휠의 회전 방향이 바뀌는 시간을 구하

라. (c) 토크가 작용되고 14초 동안 시계방향과 반시계방향의 회전을 합한 전체 회전수를

구하라.

| 풀이 | 편의상 반시계방향을 양으로 한다.

(a) a는 알고 있는 시간의 함수이므로, 각속도를 얻기 위해서 적분한다. 초기 각속도는

－1800(2p)/60 〓－60p rad/s를 이용하면 다음과 같다.

시계방향의 각속도 900 rev/min 혹은 w 〓－900(2p)/60 〓－30p rad/s를 대입하면 다

음과 같다.

답

(b) 플라이휠의 방향은 각속도가 0이 될 때 바뀌므로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

답

(c) 14초 동안 총 플라이휠이 회전한 수는 처음 9.71초 동안 시계방향으로 회전한 수 N1

과 반시계방향으로 회전한 회전수 N2를 더해주면 된다. w에 관한 항을 t에 대해 적분하

면 각변위(단위는 radian)를 구할 수 있다. 그러므로 첫째 구간에서는

또는 N1 〓 1220/2p 〓 194.2바퀴 시계방향으로 회전하였다.

둘째 구간에서는

또는 N2 〓 410/2p 〓 65.3바퀴 반시계방향으로 회전하였다. 따라서 총 14초 동안 전체

회전수는 다음과 같다.

답

t에 대한 w를 그래프로 나타내면, q1이 음의 영역으로 나타나고 q2가 양의 영역으로 나

타나는 것을 볼 수 있다. 만약 전체 구간을 한꺼번에 적분하면 |q2|－|q1|를 얻게 된다.

도움말

❶ 부호에 특별히 주의해야 한다. 적분 하한

값은 초기 각속도로 음의 값(시계방향)을

갖는다. 또한 회전수를 라디안 단위로 환

산시켜야 한다.

, rad/sCCW

–60

64.8

00

142 10 126 84

6.86 9.71

–301

2

t, s

❷ 이 문제에서 음의 부호는 시계방향이라

는 것을 다시 한 번 명심하자.

❸ a의 원래 표현식을 rev/s2으로 변환하면

회전수를 직접 구할 수 있다.

❶

❷

❸


예제 5.2

승강 모터의 피니언 A는 드럼에 부착된 기어 B를 회전시킨다. 물체 L은 정지상태에서 등

가속도 운동을 하여 0.8 m 높이만큼 상승했을 때 2 m/s의 속도가 된다. (a) 드럼과 연결

되어 있는 케이블 점 C의 가속도를 구하라. (b) 피니언 A의 각속도와 각가속도를 구하라.

| 풀이 | (a) 케이블이 드럼에서 미끄러지지 않는다면 물체 L의 속도와 가속도는 당연

히 점 C에서의 접선속도 및 가속도와 동일할 것이다. 물체 L은 등가속 직선운동이므로,

C의 n방향과 t방향의 가속도성분은 다음과 같다.

답

(b) 기어 B의 각운동으로부터 두 기어의 접촉점의 속도 v1와 가속도 a가 동일하다는 것을

이용하면 기어 A의 각운동이 구해진다. 첫째, 기어 B의 회전운동은 드럼에 붙어 있는 C의 운동에 의해 결정되므로 다음과 같이 구해진다.

그리고 v1 〓 rAwA 〓 rBwB와 a1 〓 rAaA 〓 rBaB로부터 다음을 얻는다.

답

답

예제 5.3

직각막대가 4 rad/s2로 감속하면서 시계방향으로 회전하고 있다. w 〓 2 rad/s일 때 점 A의 속도와 가속도를 벡터로 표현하라.

| 풀이 | 오른손 법칙을 이용하면 다음과 같다.

A의 속도와 가속도는 다음과 같다.

답

답

v와 a의 크기는 다음과 같다.

C

B

A

200mm

600mm 800mm

L

0.8 m

2 m/s

도움말

❶ 케이블 위의 한 점은 드럼과 접촉한 후

속도의 방향이 바뀌고 각속도의 법선성

분이 발생함을 주목하자.

C

B

A100mm

300 mm

v = 2 m/s

a = 2.5 m/s2

at = 2.5 m/s2

A

B

Av1

a1

aCB an = 10 m/s2

❶

xy

A

0.4 m

0.3 m

이고

이고

5.2회전333

h

b

O

x

y

A

A

rO

x

y

r––4

O

0.2 m

0.5 m

20°

O

x

y

A

강체의 동역학 · 2016-05-09 · 328 제5장강체의평면운동학 각운동 관계식...

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