บทท 9สมดลของวตถแขงเกรง

ภาพนกกายกรรมแสดงถงระบบสมดลไดอยางดยง นกกายกรรมสามารถทรงตวอยไดอยางไร มแรงอะไรเขามาเกยวของบาง นกศกษาสามารถหาคำาตอบได คลกครบ

9-1 เ ง อ น ไ ข ส อ ง ข อ ข อ งสมดล______________________________________

เงอนไขสมดลขอท 1 คอ สมดลตอการเลอนตำาแหนง แรงสทธรวมเปนศนย F = 0 ในระบบ

พกดฉาก นนคอ

Fx = 0 , Fy = 0................... (9-1)

เงอนไขสมดลขอท 2 คอ สมดลตอการหมน สำาหรบเงอนไขนเราจะใหแกนหมนเปนแกนไหนกได เพราะจรง ๆ แลวเมอสมดลตอการหมน

ฟสกสราชมงคล

217

วตถแขงเกรง หมายถง วตถทมรปรางไมเปลยนแปลงเมอมแรงมากระทำา หรออยภายใตอทธพลของแรงตางๆ ตวอยางของวตถแขงเกรงเชน ฟลายวล ลกสบ ขอเ ห ว ย ง ม เ ล (Pulley) เ ป น ต น ภายในวตถแขงเกรงประกอบดวยอน ภาคมากมายซ ง เรยกว า เป น ระบบของอน ภาค (system of particle) ซ ง ร ะ ยะ ห า งร ะ ห ว า งอ น ภ า ค ด ง ก ล า ว ไ ม ม ก า รเปลยนแปลงเมอมแรงมากระทำา

วตถอยในภาวะสมดลกตอ

= 0 ทก ๆ แกนหมน................... (9-2)

9-2 จดศนยถวง________________________________________________

รป 9-1

ทก ๆ อนภาคในตววตถจะถกดงดดดวยแรงดงดดของโลก แตเราสามารถแทนแรงทกระทำากบวตถทงกอนดวยแรงลพธเพยงแรงเดยว ซงเราเรยกวานำาหนกของกอนวตถ จากรป 9-1 เปนวตถกอนหนงซงมรปรางแบนราบวางอยบนระนาบ xy ถาเราแบงวตถชนนออกเปนชนเลกๆจำานวนมากมาย โดยแตละชนมนำาหนก w1 , w2 ,... และกำาหนดตำาแหนงของวตถแตละชนจากจดอางองเปน (x1 , y1), (x2 , y2)...ตามลำาดบ นำาหนกรวมของวตถหาไดจาก

W = w1 + w2 + ..... wnW = wi

นำาหนกแตละชน ทำาใหเกดทอรครอบแกนหมน ดงรป 9-1a ทอร ค ร อ บ แ ก น ห ม น oy ข อ งนำาหนกชนท 1 คอ w1x1 ชนท 2 คอ w2x2 ชนท 3..... และอน ๆ ทอรครวมทงหมด

wx = w1x1 + w2x2 + .....กำาหนดใหทอรคทหมนตามเขมเปนบวก และทวนเขมเปนลบ

ฟสกสราชมงคล

218

W คอ นำาหนกทงหมด และ X คอ ระยะของจดศนยถวงบนแกน x จะได

WX = w1x1 + w2x2 + ..... X=

=................... (9-3)

ในทำานองเดยวกนกบแกน y จะได

Y=

=................... (9-4)

จดพกด (X, Y) เรยกวา จดศนยถวงถาหารสมการ (9-3) และ (9-4) ทงขางบนและขางลางดวย g กจะ

เหมอนกบสมการ (7-27) ซงเปนสมการทใชในการหาจดศนยกลางมวล แตมขอแมวา สนามโนมถวงจะตองคงททก ๆ จดบนวตถ

รป 9-2 ถาสนามโนมถวงคงท จดศนยถวงจะเทากบจดศนยกลางมวล (rcm

= rcg)

จากสมการ (8-24) = r F ให w1 เปนนำาหนกของอนภาคม ว ล m1 จ ะ ไ ด w1 = m1g ถาเวกเตอร r1 คอระยะของอนภาค m1 วดจากจด O

ทอรค 1 = r1 m1g

ฟสกสราชมงคล

219

ทอรครวมของอนภาคทงหมด คอ = r1 m1g + r2 m2g + .....

= (m1r1 + m2r2 + .....) g................... (9-5)

มวลรวมของวตถM = m1 + m2 + .....

จะได = ................... (9-6)

วงเลบของสมการ (9-6) คอตำาแหนงจดศนยกลางมวล (rcm) และ Mg ค อ น ำา ห น ก ข อ ง ม ว ลทงกอน

= rcm Mg = rcm W................... (9-7)

ตวอยาง 9-1 จงบอกตำาแหนงของจดศนยถวงของชนสวนเครองจกร 2 ชนตอกน (มเนอเดยวกนตลอด) ดงแสดงในรป (9-3)

รป 9-3 ชนสวนของเครองจกร 2 ชนตอกน

หลกการคำานวณ เนองจากวตถมลกษณะสมมาตร ดงนน จดศนยกลางความถวงจะอยบนแนวกลาง ox ของวตถ ปรมาตรของจานชนแรก คอ 8 cm3 แ ล ะ ป ร ม า ต ร ข อ ง แ ท ง ก ล ม ช น ส ว น ท ส อ ง ค อ 12 cm3 อตราสวนของนำาหนกจะเทากบอตราสวนของปรมาตร

= = =

ใหจด O ดานซายของชนสวนเปนจดหมน ดงนน x1 = 1 cm , x2 = 8 cm

ฟสกสราชมงคล

220

และ X =

= 5.2 cm

จดศนยถวงอยหางจากจด O เปนระยะ 5.2 cm

จดศนยถวงเปนคณสมบตทสำาคญยงของวตถ ดงน

หนง เมอแขวนหรอวางวตถแนวเดยวกบจดศนยถวง วตถจะอยในสมดลไมหมน ดงรป 9-4สอง แรงทกระทำาแนวเดยวกบจดศนยถวง จะไมทำาใหวตถหมน แตถาไมไดกระทำาทจดน วตถ

จะหมนสาม โมเมนตมของวตถจะเทากบมวลคณกบความเรวของจดศนยถวง (หรอจดศนยกลางมวล) แ ร ง จ ะ เ ท า ก บ ม ว ล ค ณ ก บ ค ว า ม เ ร ง ข อ งจดศนยถวง เพราะจดศนยถวงถอวาเปนจดตวแทน ของมวลทงกอน

ฟสกสราชมงคล

221

รป 9-4 เมอแขวนหรอวางวตถแนวเดยวกบจดศนยถวง วตถจะอยในสมดลไมหมน

9-3 ต ว อ ย า ง ส ม ด ล ข อ ง ว ต ถ แ ข งเกรง________________________________

ขนตอนการแกปญหาโจทย1. สเกตรปภาพและกำาหนดสดสวนใหถกตอง2. เขยนแผนภาพแทนแรง แสดงแรงทกระทำาบนวตถใหครบ3. กำาหนดพกดฉาก และทศทางใหเหมาะสม4. ใชสมการ F = 0 โดยแยกออกเปน Fx = 0, Fy = 0 และ

Fz = 05. กำาหนดจดหมนเพอคำานวณหาทอรค โดยใชสมการ = 0 แรง

ทยงไมทราบคาตดเปน ตวแปรไว อาจจะตองกำาหนดจดหมนมากกวา 1 จด เพอใหจำานวนสมการเทากบตวแปร

6. แกสมการหาคาตวแปร

ฟสกสราชมงคล

222

บทความออนไลน

วนทหอเอนเมองปซาตงตรง หอเอนแหงเมองปซา สรางดวยหนอ อนสขาว สง 181 ฟต  ม 8 ช น แตละชนมเสาหนออนรองรบ ลงมอสรางเม อ ค.ศ. 1174 ไปเสรจในป ค.ศ. 1350 ใชเวลานานถง 176 ป ซงเปนสงกอสรางทใชเวลาสรางนานทสดในโลก พอสรางเสรจฐานกทรดลงไปขางหนง ทำาใหเอยงออกไปจากเสนด ง 4 เมตร แต ท ไม ล มลงมา เพราะแรงทจดศนยถวง เมอลากดง

ตวอยาง 9-2 กระจาดดอกไมหนก w2 แขวนอยบนคานทจด B โดยมนำาหนก w1 ถวงอยทจด A ดงรป 9-5 a จงหานำาหนก w1 ททำาใหคานกระดกสามารถตงอยในสภาพสมดลไดหลกการคำานวณ

รป 9-5 กระจาดดอกไมแสนสวยกบมวลกอนสเหลยม แขวนอยบนคานในสภาพสมดล

สเกตรปภาพ และเขยนแผนภาพแทนแรง ดงรป (9-5 b)คานอยในสภาพสมดลไดกเพราะ

Fy = P - w1 - w2 = 0ใหจด O เปนจดหมน

0 = w1 1 -w2 2 = 0กำาหนดให 1 = 1.2 m , 2 = 1.6 m และ w2 = 15 N แทนคา

ลงไปในสมการทงสอง แกสมการ หา w1 = 20 N , P = 35 Nถาใชจด A เปนจดหมน

A = P 1 - w2 ( 1 + 2)= (35 N)(1.2 m) - (15 N)(2.8 m) = 0

สรป จะใชจดไหนเปนจดหมนกได หรอจดหมนอาจไมจ ำาเปนตองอยบนวตถ เพอพสจนลองใหจดหมนอยหางจาก A ไปทางซาย 0.4 m และหา วาเทากบศนยหรอไม

ตวอยาง 9-3 บนไดยาว 10 m นำาหนก 400 N พาดเอยงกบผนงทไมมแรงเสยดทาน ทำามม 53.1o กบระดบ จงหาขนาดและทศทางของแรง F1 และ F2

ฟสกสราชมงคล

223

รป 9-6 (a) บนไดตรงแตเอยงพาดกบผนงทไมมแรงเสยดทาน

(b) แผนภาพแยกแรงบนแกน x และ yหลกการคำานวณ

สเกตรปภาพ และเขยนแผนภาพแทนแรง ในกรณทผนงไมมแรงเสยดทาน แรงปฏกรยา F1 อยบนแกน -x สวนพนมแรงเสยดทาน แรงปฏกรยา F2 จงยงไมทราบทศทาง

บนไดอยในสภาพสมดลFx = F2x - F1 = 0Fy = F2y - 400 N = 0 เงอนไขแรก

เทคนค ปญหาจะงายขนมากถาเลอกจดหมนทมแรงกระทำามาก ๆ เพราะแรงเ ห ล า น จ ะ ไ ม ป ร า ก ฏ ใ นสมการ ฉะนนใหเลอก A เปนจดหมน

A = F1 (8 m) - (400 N)(3 m)= 0

จากสมการทสอง จะได F2y = 400 Nจากสมการทสาม จะได F1 = Nm

= 150 Nและจากสมการแรก F2 =

= 427 N = tan-1

ฟสกสราชมงคล

224

= 69.4o

ตวอยาง 9-4 แขนของนกกลามขณะกำาลงยกนำาหนก ดงภาพ 9-7 b เปนแผนภาพแทนแรงทเกยวของขณะทยกนำาหนก w ,T คอแรงตงบนเสนเอนทตนแขนทำามม กบระดบ จงหาแรงตงบนเสนเอน

รป 9-7 แผนภาพแทนแรงของนกกลามหลกการคำานวณ

แตก T เปน Tx และ Ty

Tx = T cos, Ty = T sinทขอศอกมแรง Ex และ Ey เราจะใชขอศอกเปนจดหมน เพอตดทอรคทเกดจากแรง Tx , Ex และ Ey ออกไป

ขอศอก = w - d Ty = 0

จะได Ty =

และ T =

ฟสกสราชมงคล

225

(a)

แขนอยในสภาพสมดลFx = 0 และ Fy = 0

ให A เปนจดหมน จะได( -d) w + dEy = 0

Ey = - Ey มเครองหมายเปนลบ แสดงวาทศทางทกำาหนดไวตงแตตนผด ทถกตองมทศทางลงถาใหจด B เปนจดหมน

w - hEx = 0Ex =

สมมตให w = 50 N, d = 0.10 m, = 0.50 m และ = 80o

จากรป tan = จะไดh = d tan

= (0.10 m)(5.67)= 0.567 m

T = = 245 N

Ey = = -200 N

Ex = = 44.1 Nขนาดของแรงทขอศอก

E = = 205 N

ฟสกสราชมงคล

226

การทดลอง

ในหองทดลองนจะมหนงสอกองอยทงหมด 13   เลม  คณสามารถเลอนหนงสอแตละเลมหรอทงกองไดโดยใชเมาสคลกและลาก   หรอจะใชลกศรของคยบอรดกได   ใหคณเลอนหนงสอเลมบนใหออกจากขอบโตะใหไกลจากขอบโตะมากทสด  

9-4 แรงคควบ__________________________________________________

รป 9-8 แสดงแรงคควบจากแมเหลกโลกทกระทำาบนปลายของเขมทศ

รป 9-9 แสดงแรงคควบซงเกดจากแรง 2 แรง มขนาดเทากนแต

ทศทางตรงกนขามกน แตแนวแรงไมอยในแนวเดยวกน ขนาดของโมเมนตของ

แรงคควบคนจะมคา คงทเสมอ ไมวาจะคดรอบจดหมนใดกตาม โดยมขนาด F

บางครงแรงทกระทำาบนวตถอาจม 2 แรงทมขนาดเทากน แตมทศตรงขามกน ขนานกนแตไมทบกน ตวอยางทเหนไดชดสดคอ รป 9-8 แสดงแรงคควบจากแมเหลกโลกทกระทำาทปลายของเขมทศมขนาดเทากน แรงหนงพงไปทางทศเหนอ อกแรงหนงพงไปทางทศใต ทำาใหเขมทศหมนจนเขมชอยในแนวเหนอใต แรงคควบจะเปนศนย (F = 0) เพราะระยะระหวางแรงเปนศนย

รป 9-9 แสดงแรงคควบ ซงเกดจากแรง 2 แรง แตละแรงมขนาด F มระยะหางในแนวตงฉากเท าก บ แรงลพธสทธ R = F - F = 0

ฟสกสราชมงคล

227

หมายความวา แรงคควบไมมผลตอการเลอนตำาแหนงของวตถ เพยงแตทำาใหวตถหมนเทานน

ทอรคสทธรอบจด O คอ0 = x2F - x1F

= (x1 + ) F - x1 F = F

................... (9-8)

ทอรคสทธไมเกยวของกบระยะ x1 และ x2 เลย เราจงสรปไดวา ขนาดของโมเมนตของแรง“

คควบคนจะคงทเสมอไมวาจะคดรอบจดหมนใดกตาม”

ฟสกสราชมงคล

228

บทความออนไลน

นกกฬาใชธนสมยใหมดงรป ใหสงเกตตวสเตบไลเซอรหรอตวสรางสมดล (stabilizer) ซงมลกษณะเปนแทงเรยวยาวตดอยทางดานหนาของธน นกวทยาศาสตรบอกวา ตวสราง สมดลจะชวยนกธนขณะทอยใน

บรรยายลงในกระดานฟสกส

ภาพคนงานกำาลงขนกลองอนมากมาย   เขาใชขาขวายนรถ เขนไว   และเอนไปขางหลง     คณวา ภาพนคนงานพยายามสรางความสมดลไดอยางไร     จงอธบายลง

ทดสอบกอนและหลง

วธทำา ให ใสชอ  สกล  เลอกวชาทสอบ และจำานวนขอ แตตองไมเกนจากทกำาหนดไว เชน กำาหนดไว 10  ขอ เวลาเลอกจำานวนขอ  ให

เลอก  5  และ  10 ขอไมเกนจากน เปนตน เมอทำาเสรจสามารถดคะแนนจากรายละเอยดผทำาขอสอบไดทนท

เรอง สมดลของวตถแขงเกรง 

แบบฝกหดเรองสมดลของวตถ

1. แผนไมกระดานสมำาเสมอขนาดใหญยาว L = 6.0 m มวล M = 90 kg วางอยบนโครงบงคบไมทเลอยสองชนอยหางกน D = 1.5 m และอยหางเทากนจากจดศนยกลางของแผนไมกระดาน ดงรป Throckmorton พยายามยนบนปลายขวามอของแผนไม Throckmorton มมวลไดมากทสดเทาใด แผนไมกระดานจงยงคงอยนงได [ ตอบ 30 kg ]

2. นตยสารรถยนตเลมหนงรายงานวา รถ “Nissan 240SX ดงรป ม 53% ของนำาหนกรถอยทลอหนาของรถ และ 47% อยทลอหลงของรถ โดยมฐานลอกวาง 2.46 m” นหมายความวาแรงแนวฉาก

ฟสกสราชมงคล

229

แบบฝกหดทายบทพรอม

แบบฝกหดทายบทพรอมเฉลย คลกครบ

ทงหมดททำาตอลอหนาคอ 0.53w และททำาตอลอหลงคอ 0.47w โดยท w คอนำาหนกทงหมดของรถ ฐานลอคอระยะระหวางเพลาลอหนาและเพลาลอหลง จดศนยถวงของรถอยหนาเพลาหลงเทาใด [ ตอบ 1.30 m ]

3. คนสองคนแบกมอเตอรไฟฟาหนกโดยการวางมอเตอรไวบนแผนกระดานเบายาว 2.00 m คนหนงยกทปลายหนงดวยแรง 400 N และอกคนหนงยกปลายตรงขามดวยแรง 600 N มอเตอรหนกเทาใด และจดศนยถวงอยทไหน [ ตอบ 1000 N, 1.20 m จากปลายทแรง 400 N กระทำา ]

4. ลกบอลรศม r1 = 0.080 m มวล 1.00 kg ตดอยทปลายหนงของแทงวตถเบายาว 0.400 m อกปลายหนงมลกบอลรศม r2 = 0.100 m มวล 2.00 kg ตดอย ดงรป จดศนยถวงของระบบอยทไหน [ ตอบ 0.387 m จากจดศนยกลางของทรงกลมมวล 1.00 kg ]

5. กระดานกระโดดนำายาว 3.00 m มทรองรบอยทจดซงอยหาง 1.00 m จากปลาย และนกกระโดดนำาซงหนก 500 N ยนอยทปลายอสระ ดงรป แผนไมกระดานมพนทตดขวางสมำาเสมอและหนก 280 N จงหา

ก) แรงทตำาแหนงรบนำาหนก [ ตอบ 1920 N ]ข) แรงทปลายซงถกกดลง [ ตอบ 1140 N ]

6. ประตกวาง 1.00 m สง 2.00 m หนก 280 N ตดบานพบรบนำาหนกไวสองบาน บานหนงทระยะ 0.50 m จากดานบนและอกบานหนงทระยะ 0.50 m จากดานลาง บานพบแตละบานรบนำาหนกครงหนงของนำาหนกประต สมมตวาจดศนยถวงของประตอยทจดศนยกลางของประต จงหาองคประกอบตามแนวระดบของแรงทบานพบแตละบานทำาตอประต [ ตอบ แตละบานพบออกแรง 140 N ]

ฟสกสราชมงคล

230

7. แรงสองแรงขนาดเทากนและมทศตรงขามกระทำาตอวตถหนงทตำาแหนงตางกนทำาใหเกดสงทเรยกวา คควบ แรงสวนทางกนสองแรงขนาด F1 = F2 = 8.00 N เทากนทำาตอแทงวตถแทงหนง ระยะหาง ระหวางแรงควรเปนเทาใดถาแรงทงสองจะทำาใหมทอรคสทธขนาด 6.40 N.m รอบปลายซายของวตถ [ ตอบ 0.800 m ]

8. หอเอยงปซา สง 55 m มเสนผาศนยกลาง 7.0m ยอดของหอเอยงไปจากแนวดงเปนระยะทาง 4.5 m ถาสมมตใหหาเอยงปซานเปนทรงกระบอกทมมวลสมำาเสมอ

ก) ระยะทางในแนวระดบวดจากยอดหอเพมไดอกเทาไรกอนทหออนลอลนนจะลมลง [ ตอบ 2.5 m ]

ข) มมวดกบแนวดงทระยะน [ ตอบ 7.25 องศา ]

9. ทตำาแหนง 50 cm ของไมเมตร ยดดวยหมดกบผนงเปนจดหมน ซงมมวล 300 กรม และ 200 กรม อยทตำาแหนง 10 cm และ 60 cm ตามลำาดบ จงหาตำาแหนงทสามทเมอนำามวลขนาด 400 g มาแขวนบนไมเมตรน แลวทำาใหไมเมตรสมดลอยในแนวระดบ

10. สนขชอ Nikita ของคณยาว 0.90 m (จากจมกถงขาหลง) ขาหนาของมนอยหาง 0.18 m ในแนวระดบจากจมกของมน จดศนยถวงของมนอยหาง 0.28 m ในแนวระดบจากขาหลงของมนและสนขตวนหนก 190 N

ก) พนระดบออกแรงทำาเทาใดตอขาหนาแตละขางของ Nikita และเทาใดตอขาหลงแตละขาง

[ ตอบ หนา 37 N, หลง 58 N ]ข) ถา Nikita คาบกระดกหนก 25 N ขนมาไวในปาก (อยใตจมกพอด)

แรงทพนกระทำาตอขาหนาแต ละขางของมนและตอขาหลงแตละขางของมนมคาเทาใด [ ตอบ หนา

53 N, หลง 55 N ]

ฟสกสราชมงคล

231