T.KAINOY

ฟั�งก์�ชั�น คื�อ คืวามสัมพันธ์ ซึ่��งในสัองคื��อนดับใดัๆ ของคืวามสัมพันธ์ น�น ถ้�าสัมาชิ�กตัวหน�าเหม�อนกนแล้�ว

สัมาชิ�กตัวหล้งตั�องไม�ตั�างกน

1. ถ้�าคืวามสัมพันธ์ น�นอยู่��ในรู�ปแจกแจงสัมาชิ�ก ให�ดั�ว�าสัมาชิ�กตัวหน�าของคื��อนดับซึ่)�ากนหรู�อไม� ถ้�าสัมาชิ�กตัวหน�าของคื��อนดับซึ่)�ากน แสัดังว�าคืวามสัมพันธ์ น�นไม่�เป*นฟั,งก ชิน       ตั�วอย่�างที่�� 1 คืวามสัมพันธ์ ในข�อใดัตั�อไปน.�เป*นฟั,งก ชิน r1 = {(0, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 4)}

ไม�เป*นฟั,งก ชิน เพัรูาะ 1 คื��กบทั้�ง 2 แล้ะ 3r2 = {(0, 1),(1, 2),(3, 1),(2, 4)}

เป*นฟั,งก ชิน เพัรูาะไม�ม.การูใชิ�สัมาชิ�กตัวหน�าซึ่)�าเล้ยู่(ห�ามใชิ�สัมาชิ�กตัวหน�าซึ่)�า แตั�ใชิ�สัมาชิ�ก

ตัวหล้งซึ่)�าไดั�)

ฟั�งก์�ชั�น(function)

ถ้�า (x1,y1) ∈ r แล้ะ (x1,y2)

หลั�ก์ในก์ารพิ�จารณาว�าความ่สั�ม่พิ�นธ์�เป็"น

T.KAINOY

2. ถ้�าคืวามสัมพันธ์ น�นอยู่��ในรู�ปของการูก)าหนดัเง��อนไขสัมาชิ�ก r = {(x,y) ∈ A× B | P(x,y) } ให�แทั้นคื�าแตั�ล้ะสัมาชิ�กของ x ล้งในเง��อนไข P(x,y) เพั��อหาคื�า y ถ้�าม. x ตัวใดัทั้.�ให�คื�า y มากกว�า 1 คื�า แสัดังว�าคืวามสัมพันธ์ น�นไม่�เป*นฟั,งก ชิน       

r3 = {(x, y) | y2 = x } ไม�เป*นฟั,งก ชิน เพัรูาะถ้�าสัมมตั� x

= 4 จะไดั�ว�า y = 2 หรู�อ -2r4 = {(x, y) | y = x2 } เป*นฟั,งก ชิน เพัรูาะไม�ว�าจะแทั้น x

คื�าใดั ก1ไดั� y เพั.ยู่งคื�าเดั.ยู่วr5= {(x, y) | y = x } ไม�เป*นฟั,งก ชิน เพัรูาะว�า ถ้�า x =

2 จะไดั� y = 2, -2

3. พั�จารูณาจากกรูาฟัของคืวามสัมพันธ์ โดัยู่การูล้ากเสั�นตัรูงขนานกบแกน y ถ้�าเสั�นตัรูงดังกล้�าวตัดักรูาฟัของคืวามสัมพันธ์ มากกว�า 1 จ4ดั แสัดังว�าคืวามสัมพันธ์ น�นไม่�เป*นฟั,งก ชิน

ตั�วอย่�างที่�� 2 จงตัรูวจสัอบว�า r = {(x,y) R R y2 = 4x +1 }

เป*นฟั,งก ชินหรู�อไม�ว�ธ์.ทั้)า จาก y2 = 4x + 1

ให� (x , y1) r จะไดั� y12 = 4a + 1 ….. (1)

ให� (x , y2) r จะไดั� y22= 4a + 1 ….. (2)

คืวามสัมพันธ์ r จะเป*นฟั,งก ชินก1ตั�อเม��อ ถ้�า (x , y1) r

แล้ะ (x , y2) r แล้�ว y1 = y2

T.KAINOY

จาก (1) แล้ะ (2) จะไดั� y12 = y2

2

y1 = y2

ดังน�นเรูาไม�สัามารูถ้สัรู4ปไดั�ว�า y1 = y2 แสัดังว�าคืวามสัมพันธ์ น.�ไม�เป*นฟั,งก ชินตั�วอย่�างที่�� 3 จงตัรูวจสัอบว�า r = {(x,y) R R y = √ x+1}

เป*นฟั,งก ชินหรู�อไม�ว�ธ์�ที่#าจาก y = √ x+1

ให� (x , y1) r จะไดั� y1 = √a+1 …..(1)

ให� (x , y2) r จะไดั� y2 = √a+1 …..(2)

จาก (1) แล้ะ (2) จะไดั� y1 = y2

คืวามสัมพันธ์ ดังกล้�าวเป*นฟั,งก ชิน

น�ยู่มใชิ� y = f(x) หรู�อ y = g(x) การูเข.ยู่นฟั,งก ชินน�ยู่มเข.ยู่นเฉพัาะสั�วนทั้.�เป*นเง��อนไขของฟั,งก ชิน

f={( x , y )∈R×R|y=2 x+5 } เข.ยู่นสั�นๆไดั�ในรู�ป y=2x+5 หรู�อ y=2x+5

f={( x , y )∈R×R|y=2 x+5 } เข.ยู่นสั�นๆไดั�ในรู�ป y=x2หรู�อ g( x )=x2

หม่าย่เหตั$ เรู.ยู่ก f(x) ว�าคื�าฟั,งก ชิน f ทั้.� xตั�วอย่�างที่�� 4 ให� f เป*นฟั,งก ชินโดัยู่ทั้.� f ( x )=2 x2−1

จงหา f(0) , f(2) แล้ะ f(-1)

ว�ธ์�ที่#าจาก f ( x )=2 x2−1

จะไดั� f (0)=2(0 )2−1 =−1

f (2)=2(2)2−1 =7

สั�ญลั�ก์ษณ�ของฟั�งก์�ชั�น

T.KAINOY

f (−1 )=2(−1)2−1 =1

ตั�วอย่�างที่�� 5 ก)าหนดัให� f (1)=2 แล้ะ f ( x+1 )=1+ 2

f ( x ) เม��อ x เป*นจ)านวนเตั1มบวก

จงหาคื�า f (4 )

ว�ธ์�ที่#าจาก f ( x+1 )=1+ 2

f ( x ) แล้ะ f (1)=2

ให� x=1 จะไดั� f (2)=1+ 2

f (1)=1+ 2

2=2

x=2 จะไดั� f (3)=1+ 2

f (2)=1+ 2

2=2

x=3 จะไดั� f (4 )=1+ 2

f (3)=1+ 2

2=2

1. ฟั�งก์�ชั�น จาก์ A ไป็ B (f : A B )

คื�อฟั,งก ชินซึ่��ง Df = A แล้ะ Rf B

ตั�วอย่�างที่�� 6 ให� A = {1,2,3,4} B = {3,6,7,8}

1. ถ้�า f1 = { (1,3) , (2,6) , (3,7) , (4,8) }

จะพับว�า f1 เป*นฟั,งก ชิน แล้ะ D f1= { 1,2,3,4, } = A

f1 เป*นฟั,งก ชินจาก์ A ไป B2. ถ้�า f2 = { (1,6) , (2,7) , (3,8) }

จะพับว�า f2 เป*นฟั,งก ชิน แล้ะ D f2= { 1,2,3 } A

เรูาจะเรู.ยู่กว�า f2 เป*นฟั,งก ชินเฉยู่ ๆ แตั�ถ้�าจะเรู.ยู่กว�าเป*นฟั,งก ชินจากไหนไปไหน

ตั�องเรู.ยู่กว�า f2 เป*นฟั,งก ชินจาก D f2 ไป B2. ฟั�งก์�ชั�นจาก์ A ไป็ที่��วถึ)ง B (f : A o⃗nto B )

คื�อฟั,งก ชินซึ่��ง Df = A แล้ะ Rf = B

ลั�ก์ษณะของ

T.KAINOY

3. ฟั�งก์�ชั�นแบบ 1 – 1 (One – to – one function )

ฟั,งก ชิน f จะเรู.ยู่กว�า ฟั,งก ชินแบบ 1-1 ก1ตั�อเม��อสัมาชิ�กในเรูนจ แตั�ล้ะตัวม.คืวามสัมพันธ์ กบสัมาชิ�กในโดัเมนเพั.ยู่งตัวเดั.ยู่วเทั้�าน�น หรู�อกล้�าวอ.กนยู่หน��งไดั�ว�า ไม�ม.สัมาชิ�กในโดัเมน 2 สัมาชิ�ก หรู�อมากกว�าไปม.คืวามสัมพันธ์ กบสัมาชิ�กในเรูนจ สัมาชิ�กเดั.ยู่วกน แล้ะเพั��อคืวามเข�าใจ ขอให�นกเรู.ยู่นดั�แผนภาพัตั�อไปน.�

ถ้�า f เป*นฟั,งก ชินซึ่��งม.คืวามสัมพันธ์ ดังแผนภาพัตั�อไปน.�

เรูาเรู.ยู่ก f1 ว�า เป*นฟั,งก ชินแบบ 1-1

สั�วน f2 เรู.ยู่กว�า เป*นฟั,งก ชินไม�ใชิ�แบบ 1-1 หรู�ออาจจะเรู.ยู่กอ.กอยู่�างหน��งว�าเป*นฟั,งก ชินแบบ many-to-one

ก์ารตัรวจสัอบว�า f เป็"นฟั�งก์�ชั�นแบบ 1 – 1 หร-อไม่�ล้กษณะการูตัรูวจสัอบจะคืล้�ายู่คืล้�งกบการูตัรูวจสัอบว�าคืวามสัมพันธ์

เป*นฟั,งก ชินหรู�อไม� แตั�กล้บกน

BAf1

x

y

z

1

2

3

BA

f2x

y

m

o

n

T.KAINOY

1. ถ้�าเรูาสัามารูถ้เข.ยู่นกรูาฟัของฟั,งก ชินน�นไดั� เรูาจะใชิ�ว�ธ์.การูตัรูวจสัอบโดัยู่การูล้ากเสั�นขนานกบแกน X ตัดักบกรูาฟัของฟั,งก ชินน�น แล้ะถ้�าม.เสั�นทั้.�ขนานกบแกน X เสั�นใดัเสั�นหน��งตัดักบกรูาฟัเก�น 1

จ4ดั ก1แสัดังว�าฟั,งก ชินน�นเป*นฟั,งก ชิน ไม�ใชิ�แบบ 1 – 1

2. ใชิ�ว�ธ์.การูคืาดัคืะเน กล้�าวคื�อ ใชิ�พั�จารูณาจากตัวแปรู X ว�าอยู่��ในรู�ปก)าล้งทั้.�เป*นจ)านวนเตั1มคื��หรู�ออยู่��ในรู�ปคื�าสัมบ�รูณ หรู�อไม� ถ้�าอยู่��ในล้กษณะดังกล้�าว ฟั,งก ชินน�นไม�คืวรูเป*นฟั,งก ชินแบบ 1-1 กล้�าวคื�อคืวรูจะเป*นฟั,งก ชินแบบ many – to – one

3. ตัรูวจสัอบโดัยู่ใชิ�หล้กทั้.�ว�าให� (x1,y) f แล้ะ (x2,y) f ดังภาพัถ้�าสัามารูถ้สัรู4ปไดั�ว�า x1 = x2 ก1แสัดังว�าฟั,งก ชินดังกล้�าวเป*นฟั,งก ชินแบบ 1-1

ตั�วอย่�างที่�� 7 ก)าหนดัให� f เป*นฟั,งก ชิน โดัยู่ทั้.� f ={(x , y) R R√X+1 +√Y +1=2}

จงพั�จารูณาว�า f เป*นฟั,งก ชินแบบ 1-1 หรู�อไม�ว�ธ์�ที่#า ให� (x1,y) f แล้ะ (x2,y) f

จะไดั�ว�า √ x1+1 + √ y+1 = 2 ….. (1)

แล้ะ √ x2+1+ √ y+1 = 2 …...(2)

(1)=(2) จะไดั� √ x1+1 = √ x2+1

x1 + 1 = x2 + 1

x1 = x2

แสัดังว�าฟั,งก ชินดังกล้�าวเป*นฟั,งก ชินแบบ 1-1

ตั�วอย่�างที่�� 8 ก)าหนดัให� f = {(x , y) R Ry = x2} จงตัรูวจสัอบว�าฟั,งก ชิน f เป*น 1-1 หรู�อไม�

ว�ธ์�ที่#า ให� (x1,y) f แล้ะ (x2,y) f

y = x12 …….. (1)

T.KAINOY

c = x22 …….. (2)

x12= x2

2 แล้ะไดั� x1 = x2

ซึ่��งไม�าสัามารูถ้สัรู4ปไดั�ว�า x1 = x2

ดังน�น f เป*นฟั,งก ชินไม�ใชิ�แบบ 1-1

เม��อเข.ยู่นกรูาฟัของคืวามสัมพันธ์ จะทั้)าการูตัรูวจสัอบว�า y แตั�ล้ะตัว คื��กบ x เพั.ยู่งตัวเดั.ยู่วหรู�อไม� โดัยู่ล้ากเสั�นแนวนอนแล้ะดั�ว�าทั้.� y แตั�ล้ะคื�า เสั�นน.�ตัดักรูาฟัไม�เก�นหน��งจ4ดัหรู�อไม�

4. ฟั�งก์�ชั�นหน)�งตั�อหน)�งจาก์ A ไป็ B” ( f : A 1⃗−1B )

คื�อฟั,งก ชินทั้.� Df = A แล้ะ Rf B แล้ะ สั)าหรูบ “ y แตั�ล้ะตัว จะคื��กบ x เพั.ยู่งตัวเดั.ยู่วดั�วยู่”

5.ฟั�งก์�ชั�นหน)�งตั�อหน)�งจาก์ A ไป็ที่��วถึ)ง B ( f : A B )

คื�อฟั,งก ชินทั้.� Df = A แล้ะ Rf = B แล้ะ สั)าหรูบ “ y แตั�ล้ะตัว จะคื��กบ x เพั.ยู่งตัวเดั.ยู่วดั�วยู่”

ถ้�า f เป*นฟั,งก ชินจาก A ไป B ล้กษณะของฟั,งก ชิน f สัามารูถ้แยู่กออกเป*น 4 ชิน�ดัคื�อ

บทั้สัรู4ป

T.KAINOY

1. ฟั,งก ชินคืงตัว (Constant Function)

f (x) = a (กรูาฟัเสั�นตัรูงแนวนอน)

เชิ�น f (x) = 2 , f (x) = -3 เป*นตั�น2. ฟั,งก ชินเชิ�งเสั�น (Linear Function)

f (x) = ax + b (กรูาฟัเสั�นตัรูงเฉ.ยู่งๆ)

เชิ�น f (x) = 5x+3 , f (x) = 4x เป*นตั�น3. ฟั,งก ชินก)าล้งสัอง (Quadratic Function)

ฟั�งก์�ชั�นที่��น�าสันใจ

T.KAINOY

f (x) = ax2+ bx + c (กรูาฟัพัารูาโบล้าหงายู่หรู�อคืว)�า)เชิ�น f (x) = 3x2+ 2x + 1 , f (x) = 7x2- 4 เป*นตั�น

4. ฟั,งก ชินพัห4นาม (Polynomial Function)

f(x) = an xn+an−1 x

n−1+.. .+a2x2+a1 x+a0

โดัยู่ทั้.� an , an−1 ,. . . ,a2 , a1 , a0 เป*นคื�าคืงตัว แล้ะ n เป*นจ)านวนเตั1มทั้.�ม.คื�ามากกว�าหรู�อเทั้�ากบศู�นยู่

เชิ�น f(x) = 2x5+ 3x3 + 4x + 7

5. ฟั,งก ชินตัรูรูกยู่ะ (Rational Function)

f(x) = p (x)q(x ) เม��อ p(x), q(x) เป*นฟั,งก ชินพัห4นาม แล้ะ q(x)

≠ 0

เชิ�น f(x) = 3x−2x2−1

6.ฟั,งก ชินคื�าสัมบ�รูณ (Absolute Value Function)

f (x) = ax + b + c (กรูาฟัรู�ปตัวว.หงายู่หรู�อคืว)�า)

เชิ�น f(x) =|x|

7.ฟั,งก ชินข�นบนไดั (step function) คื�อ ฟั,งก ชินทั้.�ม.คื�าคืงตัวเป*นชิ�วง ๆ

กรูาฟัของฟั,งก ชินน.�จะม.รู�ปรู�างคืล้�ายู่ข�นบนไดั

T.KAINOY

8. ฟั,งก ชินทั้.�เป*นคืาบ (periodic function)

            f เป*นฟั,งก ชินทั้.�เป*นคืาบ ก1ตั�อเม��อ ม.จ)านวนจรู�ง p ทั้.�ทั้)าให� f(x+p) = f(x) สั)าหรูบ ทั้4กคื�าของ x แล้ะ x+p ทั้.�อยู่��ในโดัเมนของ f