ฟังก์ชัน

ใน คณิตศาสตร ์ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ จาก เซต หนึ่ง (โดเมน) ไปยังอีกเซตหนึ่ง (โคโดเมน ไม่ใช่ เรนจ์) โดยที่สมาชิกตัวหน้าไม่ซ้้ากัน ความคิดรวบยอดของฟังก์ชันนี้เป็นพื้นฐานของทุกสาขาของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์เชิงปริมาณ

แนวคิด แนวคิดที่ส้าคัญที่สุดคือ ฟังก์ชันนั้นเป็น "กฎ" ที่ก้าหนด ผลลัพธ์โดยขึ้นกับ

สิ่งที่น้าเข้ามา ต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง -แต่ละคนจะมีสีที่ตนชอบ (แดง, ส้ม, เหลือง, เขียว, ฟ้า, น้้าเงิน, คราม หรือ

ม่วง) สีที่ชอบเป็นฟังก์ชันของแต่ละคน เช่น จอห์นชอบสีแดง แต่คิมชอบสีม่วง ในที่นี้สิ่งที่น้าเข้าคือคน และผลลัพธ์คือ 1 ใน 8 สีดังกล่าว

-มีเด็กบางคนขายน้้ามะนาวในช่วงฤดูร้อน จ้านวนน้้ามะนาวที่ขายได้เป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิภายนอก ตัวอย่างเช่น ถ้าภายนอกมีอุณหภูมิ 85 องศา จะขายได้ 10 แก้ว แต่ถ้าอุณหภูมิ 95 องศา จะขายได้ 25 แก้ว ในที่นี้ สิ่งที่น้าเข้าคืออุณหภูมิ และผลลัพธ์คือจ้านวนน้้ามะนาวที่ขายได้

-ก้อนหินก้อนหนึ่งปล่อยลงมาจากชั้นต่างๆของตึกสูง ถ้าปล่อยจากชั้นที่สอง จะใช้เวลา 2 วินาที และถ้าปล่อยจากชั้นที่แปด จะใช้เวลา (เพียง) 4 วินาที ในที่นี้ สิ่งน้าเข้าคือชั้น และผลลัพธ์คือระยะเวลาเป็นวินาที ฟังก์ชันนี้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่าง เวลาที่ก้อนหินใช้ตกถึงพื้นกับชั้นที่มันถูกปล่อยลงมา

"กฎ" ที่นิยามฟังก์ชันอาจเป็น สูตร, ความสัมพันธ์ (คณิตศาสตร์) หรือเป็นแค่ตารางที่ล้าดับผลลัพธ์กับสิ่งที่น้าเข้า ลักษณะเฉพาะที่ส้าคัญของฟังก์ชันคือมันจะมีผลลัพธ์เหมือนเดิมตลอดเมื่อให้ สิ่งน้าเข้าเหมือนเดิม ลักษณะนี้ท้าให้เราเปรียบเทียบฟังก์ชันกับ "เครื่องกล" หรือ "กล่องด้า" ที่จะเปล่ียนสิ่งน้าเข้าไปเป็นผลลัพธ์ที่ตายตัว เรามักจะเรียกสิ่งน้าเข้าว่า อาร์กิวเมนต์ (argument) และเรียกผลลัพธ์ว่า ค่า (value) ของฟังก์ชัน

ชนิดของฟังก์ชันธรรมดาเกิดจากที่ทั้งอาร์กิวเมนต์และค่าของฟังก์ชันเป็น ตัวเลขทั้งคู่ ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันมักจะเขียนในรูปสูตร และจะได้ค่าของฟังก์ชันมาทันทีเพียงแทนที่อาร์กิวเมนต์ลงในสูตร เช่น

f(x) = x2 ซึ่งจะได้ค่าก้าลังสองของ x ใดๆ โดยนัยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันจะสามารถมีได้มากกว่าหนึ่งอาร์กิวเมนต์ เช่น

g(x,y) = xy เป็นฟังก์ชันที่น้าตัวเลข x และ y มาหาผลคูณ ดูเหมือนว่าน่ีไม่ใช่ฟังก์ชันจริงๆดังที่เราได้อธิบายข้างต้น เพราะว่า "กฎ" ขึ้นอยู่กับสิ่งน้าเข้า 2 สิ่ง อย่างไรก็ตาม ถ้าเราคิดว่าสิ่งน้าเข้า 2 สิ่งนี้เป็น คู่อันดับ (x,y) 1 คู่ เราก็จะสามารถแปลได้ว่า gเป็นฟังก์ชัน โดยที่อาร์กิวเมนต์คือคู่อันดับ (x,y) และค่าของฟังก์ชันคือ xy

ในวิทยาศาสตร์ เรามักจะต้องเผชิญหน้ากับฟังก์ชันที่ไม่ได้ก้าหนดขึ้นจากสูตร เช่นอุณหภูมิบนพื้นผิวโลกในเวลาใดเวลาหนึ่ง นี่เป็นฟังก์ชันที่มีสถานที่และเวลาเป็นอาร์กิวเมนต์ และให้ผลลัพธ์เป็นอุณหภูมิของสถานที่และเวลานั้นๆ

เราได้เห็นแล้วว่าแนวคิดของฟังก์ชันไม่ได้จ้ากัดอยู่แค่การค้านวณด้วยตัว เลขเท่านั้น และไม่ได้จ้ากัดอยู่แค่การค้านวณด้วย แนวคิดของคณิตศาสตร์เกี่ยวกับฟังก์ชัน เป็นแนวคิดโดยทั่วไปและไม่ได้จ้ากัดอยู่แค่สถานการณ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวเลข เท่านั้น

แน่นอนว่าฟังก์ชันเชื่อมโยง "โดเมน" (เซตของสิ่งน้าเข้า) เข้ากับ "โคโดเมน" (เซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้) ดังนั้นสมาชิกแต่ละตัวของโดเมนจะจับคู่กับสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของโคโดเมน เท่านั้น ฟังก์ชันน้ันนิยามเป็นความสัมพันธ์ที่แน่นอน ดังที่จะกล่าวต่อไป เป็นเหตุจากลักษณะทั่วไปนี้ แนวคิดรวบยอดของฟังก์ชันจึงเป็นพื้นฐานของทุกสาขาในคณิตศาสตร์

ประวัติ

ในทางคณิตศาสตร์ "ฟังก์ชัน" บัญญัติขึ้นโดย ไลบ์นิซ ใน พ.ศ. 2237 เพื่ออธิบายปริมาณที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้ง เช่น ความชันของเส้นโค้ง หรือจุดบน เส้นโค้ง ฟังก์ชันที่ไลบ์นิซพิจารณานั้นในปัจจุบันเรียกว่า ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ และเป็นชนิดของฟังก์ชันที่มักจะแก้ด้วยผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ ส้าหรับฟังก์ชันชนิดนี้ เราสามารถพูดถึงลิมิตและอนุพันธ์ ซึ่งเป็นการทฤษฎีเซต พวกเขาได้พยายามนิยามวัตถุทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดด้วย เซต ดีริคเลท และ โลบาเชฟสกี ได้ให้นิยามสมัยใหม่ของฟังก์ชันออกมาเกือบพร้อมๆกัน

ในค้านิยามนี้ ฟังก์ชันเป็นเพียงกรณีพิเศษของความสัมพันธ์ อย่างไรก็ตาม เป็นกรณีที่มีความน่าสนใจเป็นพิเศษ ความแตกต่างระหว่างค้านิยามสมัยใหม่กับค้านิยามของออยเลอร์นั้นเล็กน้อยมาก

แนวคิดของ ฟังก์ชัน ที่เป็นกฎในการค้านวณ แทนที่เป็นความสัมพันธ์ชนิดพิเศษนั้น อยู่ในคณิตตรรกศาสตร์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี ด้วยหลายระบบ รวมไปถึง แคลคูลัสแลมบ์ดา ทฤษฎีฟังก์ชันเวียนเกิด และเครื่องจักรทัวริง

นิยามอย่างเป็นทางการ

ฟังก์ชัน f จากข้อมูลน้าเข้าในเซต X ไปยังผลที่เป็นไปได้ในเซต Y (เขียนเป็น ) คือความสัมพันธ์ ระหว่าง X กับ Y ซึ่ง

1.ส้าหรับทุกค่า x ใน X จะมี y ใน Y ซึ่ง x f y (x มีความสัมพันธ์ f กับ y) นั่นคือ ส้าหรับค่าน้าเข้าแต่ละค่า จะมีผลลัพธ์ใน Y อย่างน้อย 1 ผลลัพธ์เสมอ

2.ถ้า x f y และ x f z แล้ว y = z นั่นคือ ค่าน้าเข้าหลายค่าสามารถมีผลลัพธ์ได้ค่าเดียว แต่ค่าน้าเข้าค่าเดียวไม่สามารถมีผลลัพธ์หลายผลลัพธ์ได้

ค่าน้าเข้า x แต่ละค่า จากโดเมน จะมีผลลัพธ์ y จากโคโดเมนเพียงค่าเดียว แทนด้วย f (x)

จากนิยามข้างต้น เราสามารถเขียนอย่างสั้นๆได้ว่า ฟังก์ชันจาก X ไปยัง Y คือเซตย่อย f ของผลคูณคาร์ทีเซียน โดยที่แต่ละค่าของ x ใน X จะมี y ใน Y ที่แตกต่างกัน โดยที่คู่อันดับ (x, y) อยู่ใน f

เซตของฟังก์ชัน ทุกฟังก์ชันแทนด้วย YX สังเกตว่า |YX| = |Y||X| (อ้างถึง จ้านวนเชิงการนับ)

ความสัมพันธ์ระหว่าง X กับ Y ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข (1) นั่นคือฟังก์ชันหลายค่า ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันหลายค่า แต่ฟังก์ชันหลายค่าไม่ทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ระหว่าง X กับ Y ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข (2) นั่นคือฟังก์ชันบางส่วน ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบางส่วน แต่ฟังก์ชันบางส่วนไม่ทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชัน "ฟังก์ชัน" คือความสัมพันธ์ที่เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสองเงื่อนไข

ดูตัวอย่างตอ่ไปนี้

สมาชกิ 3 ใน X สัมพันธ์กับ b และ c ใน Y ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันหลายค่า แต่ไม่เปน็ฟังก์ชัน

สมาชิก 1 ใน X ไม่สัมพันธ์กับสมาชิกใดๆเลยใน Y ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันบางส่วน แต่ไมเ่ป็นฟังก์ชัน

ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันจาก X ไปยัง Y เราสามารถหานิยามฟังก์ชันนี้อย่างชัดแจ้งได้เป็น f={ (1,d) , (2,d) , (3,c) } หรือเป็น

โดเมน, โคโดเมน และเรนจ์

ซึ่งคือเซตข้อมูลน้าเข้าเรียกว่า โดเมนของ f และ Y ซึ่งคือเซตของผลลัพธ์ที่

เป็นไปได้ เรียกว่า โคโดเมน เรนจ์ของ f คือเซตของผลลัพธ์จริงๆ {f (x) : x ในโดเมน} ระวังว่าบางครั้งโคโดเมนจะถูกเรียกว่าเรนจ์ เนื่องจากความผิดพลาดจากการจ้าแนกระหว่างผลที่เป็นไปได้กับผลจริงๆ

ฟังก์ชันน้ันเรียกชื่อตามเรนจ์ของมัน เช่น ฟังก์ชันจ านวนจริง หรือ ฟังก์ชันจ านวนเชิงซ้อน เอนโดฟังก์ชัน คือฟังก์ชันที่โดเมนและเรนจ์เป็นเซตเดียวกัน

ฟังกช์ันหนึ่งต่อหนึ่ง ฟังก์ชนัทั่วถึง และฟังกช์ันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

เราสามารถแบ่งฟังก์ชันตามลักษณะความสัมพันธ์ได้ดังนี้1.ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (1-1) ฟังก์ชันจะคืนค่าที่ไม่เหมือนกันหากน้าเข้าค่าคนละค่ากัน

กล่าวคือ ถ้า x1 และ x2 เป็นสมาชิกของโดเมนของ f แล้ว f (x1) = f (x2) ก็ต่อเมื่อ x1 = x2

2.ฟังก์ชันทั่วถึง (แบบ onto) ฟังก์ชันจะมีเรนจ์เท่ากับโคโดเมน กล่าวคือ ถ้า y เป็นสมาชิกใดๆของโคโดเมนของ f แล้วจะมี x อย่างน้อย 1 ตัว ซึ่ง f (x) = y

3.ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เป็นฟังก์ชันที่เป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และฟังก์ชันทั่วถึง มักจะใช้แสดงว่าเซต X และเซต Y มีขนาดเท่ากัน

กราฟของฟังก์ชันกราฟของฟังก์ชัน f คือเซตของคู่อันดับ (x, y (x))

ทั้งหมด ส้าหรับค่า x ทั้งหมดในโดเมน X มีทฤษฎีบทที่แสดงหรือพิสูจน์ง่ายมากเมื่อใช้กราฟ เช่น ทฤษฎีบทกราฟปิด ถ้า X และ Yเป็นเส้นจ้านวนจริง แล้วนิยามนี้จะสอดคล้องกับแนวคิดของกราฟ

กราฟของฟังก์ชันก้าลังสาม กราฟน้ีเป็นฟังก์ชันทั่วถึงแต่ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

สังเกตว่าเมื่อความสัมพันธ์ระหว่างสองเซต Xและ Y มักจะแสดงด้วยเซตย่อยของ X×Yนิยามอย่างเป็นทางการของฟังก์ชันนั้นระบุฟังก์ชัน f ด้วยกราฟของมัน

ตัวอย่างฟังก์ชัน1. ความสัมพันธ์ wght ระหว่างบุคคลกับน้้าหนักในเวลาใดเวลาหนึ่ง2. ความสัมพันธ์ cap ระหว่างประเทศกับเมืองหลวงของประเทศนั้น3. ความสัมพันธ์ sqr ระหว่างจ้านวนธรรมชาติ n กับก้าลังสอง n2

4. ความสัมพันธ์ ln ระหว่างจ้านวนจริงบวก x กับลอการิทึมฐานธรรมชาติ ln (x) แต่ความสัมพันธ์ระหว่างจ้านวนจริงกับลอการิทึมฐานธรรมชาตินั้นไม่เป็น ฟังก์ชัน เพราะว่าจ้านวนจริงทุกจ้านวนไม่ได้มีลอการิทึมฐานธรรมชาติ นั่นคือเป็นความสัมพันธ์ไม่ทั้งหมด

5. ความสัมพันธ์ dist ระหว่างจุดบนระนาบ R2 กับระยะทางจากจุดก้าเนิด (0,0) ชนิดของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่มักใช้กันเช่น การบวก การลบ การคูณ การ

หาร พหุนาม เลขยกก้าลัง ลอการิทึม ราก อัตราส่วน และตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเหล่านี้มักเรียกว่า ฟังก์ชันพื้นฐาน แต่ค้าน้ีจะมีความหมายต่างออกไปตามสาขาของคณิตศาสตร์ ตัวอย่างของฟังก์ชันที่ไม่เป็นพื้นฐาน (ฟังก์ชันพิเศษ) เช่น ฟังก์ชันเบสเซิล และฟังก์ชันแกมมา

คุณสมบัติของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันอาจเป็นฟังก์ชันคู่หรือคี่ฟังก์ชันต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่องฟังก์ชันจ้านวนจริง หรือ ฟังก์ชันเชิงซ้อนฟังก์ชันสเกลาร์ หรือ ฟังก์ชันเวกเตอร์

ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่

ฟังก์ชันคู่ (even functions) และฟังก์ชันคี่ (odd functions) คือ ฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติเกี่ยวกับความสมมาตร ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่มีความส้าคัญในคณิตวิเคราะห์หลายสาขา โดยเฉพาะเรื่องอนุกรมก้าลัง และอนุกรมฟูรีเย

ฟังก์ชันคู่

ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรที่เป็นจ้านวนจริง f จะเป็นฟังก์ชันคู่ ถ้าสมการต่อไปนี้เป็นจริง ส้าหรับทุกค่า x:

f(−x) = f(x) ตีความในเชิงเรขาคณิตได้ว่า กราฟของฟังก์ชันนี้สมมาตรกับแกน y หมายความว่า ถ้าเราสะท้อนกราฟกับแกน y เราก็ยังได้กราฟรูปเดิม

ตัวอย่างของฟังก์ชันคู่ ได้แก่ | x |, x2, x4, cos(x), และ cosh(x)

ฟังก์ชันคี่

ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรที่เป็นจ้านวนจริง f จะเป็นฟังก์ชันคี่ ถ้าสมการต่อไปนี้เป็นจริง ส้าหรับทุกค่า x:

f(−x) = −f(x) ตีความในเชิงเรขาคณิตได้ว่า กราฟของฟังก์ชันนี้สมมาตรกับจุดก้าเนิด (origin) หมายความว่า ถ้าเราหมุนกราฟไป 180 องศา รอบจุดก้าเนิด เราก็ยังได้กราฟรูปเดิม

ตัวอย่างของฟังก์ชันคี่ ได้แก่ x3, sin(x), และ sinh(x)

คุณสมบัติพื้นฐาน ฟังก์ชันที่เป็นทั้งฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ มีเพียงฟังก์ชันเดียว ได้แก่ ฟังก์ชันที่เป็น

ศูนย์เสมอ (f(x) = 0 ส้าหรับทุกค่า x)ผลบวกของฟังก์ชันคู่กับฟังก์ชันคี่ จะไม่เป็นทั้งฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ ผลบวกของฟังก์ชันคู่ 2 ฟังก์ชัน จะเป็นฟังก์ชันคู่, ฟังก์ชันคู่คูณกับค่าคงที่ จะเป็น

ฟังก์ชันคู่ ผลบวกของฟังก์ชันคี่ 2 ฟังก์ชัน จะเป็นฟังก์ชันคี่, ฟังก์ชันคี่คูณกับค่าคงที่ จะเป็น

ฟังก์ชันคี่ผลคูณของฟังก์ชันคู่ 2 ฟังก์ชัน จะเป็นฟังก์ชันคู่ ผลคูณของฟังก์ชันคี่ 2 ฟังก์ชัน จะเป็นฟังก์ชันคู่ ผลคูณของฟังก์ชันคู่กับฟังก์ชันคี่ จะเป็นฟังก์ชันคี่อนุพันธข์องฟังก์ชันคู่ จะเป็นฟังก์ชันคี่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันคี่ จะเป็นฟังก์ชันคู่

ฟังก์ชันต่อเนื่อง

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันต่อเนื่อง (อังกฤษ: continuous function) คือฟังก์ชันที่ถ้าตัวแปรต้นมีค่าเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อย ผลลัพธ์ก็ จะมีค่าเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อยด้วยเช่นกัน เราเรียกฟังก์ชันที่การเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อยของค่าของตัวแปรต้นท้าให้ เกิดการก้าวกระโดดของผลลัพธ์ของฟังก์ชันว่า ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง (discontinuous function)

ตัวอย่างเช่น ให้ฟังก์ชัน h(t) เป็นฟังก์ชันที่ส่งเวลา t ไปยังความสูงของต้นไม้ที่เวลานั้น เราได้ว่าฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง อีกตัวอย่างของฟังก์ชันต่อเนื่องคือ ฟังก์ชัน T(x) ที่ส่งความสูง x ไปยังอุณหภูมิ ณ จุดที่มีความสูง x เหนือจุดพิกัดทางภูมิศาสตร์จุดหนึ่ง ในทางกลับกัน ถ้า M(t) เป็นฟังก์ชันที่ส่งเวลา t ไปยังจ้านวนเงินที่อยู่ในบัญชีธนาคาร เราได้ว่า M ไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่องเนื่องจากผลลัพธ์ของฟังก์ชันมีการเปลี่ยนแปลงแบบก้าวกระโดดเมื่อมีการฝากเงินหรือถอนเงินเข้าหรือออกจากบัญชี

ในคณิตศาสตร์แขนงต่างๆ นั้นแนวคิดของความต่อเนื่องถูกดัดแปลงให้มีความเหมาะสมกับคณิตศาสตร์แขนง นั้นๆ การดัดแปลงที่พบได้บ่อยที่สุดมีอยู่ในวิชาทอพอโลยี ซึ่งท่านสามารถหาข้อมูลเพิ่งเติมได้ในบทความเรื่อง ความต่อเนื่อง (ทอพอโลยี) อนึ่ง ในทฤษฎีล้าดับโดยเฉพาะในทฤษฏีโดเมน นิยามของความต่อเนื่องที่ใช้คือความต่อเนื่องของสก็อตซึ่งเป็นนิยามที่สร้างขึ้นจากความต่อเนื่องที่ถูกอธิบายในบทความนี้อีกทีหนึ่ง

ฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง สมมติว่า f เป็นฟังก์ชันที่ส่งชว่งช่วงหนึ่งของจ้านวนจริงไปยังจ้านวนจริง ดังเช่นฟังก์ชัน h,

T, และ M ข้างต้น ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถเขียนแทนด้วยกราฟของฟังก์ชันบนระนาบคารท์ีเซียน เราอาจกล่าวโดยหยาบๆ ว่าฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องถ้ากราฟของฟังก์ชันเป็นเส้นที่ไม่มีจุดแหว่งหรือการ ก้าวกระโดด กล่าวคือ เราสามารถเขียนกราฟได้โดยไม่ต้องยกปากกา

ถ้าจะกล่าวให้รัดกุมตามหลักคณิตศาสตร์แล้ว เรากล่าวว่าฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่จุด c ถ้าเงื่อนไขทั้งสองข้อต่อไปนี้เป็นจริง

ฟังก์ชัน f มีนิยามที่จุด c ให้ c เป็นจุดลิมิตของโดเมนของ f แล้ว ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ c มีค่าเท่ากับ f(c) เรากล่าวว่าฟังก์ชัน f ฟังก์ชันต่อเนื่องทุกที่ หรือเรียกย่อๆ ว่า ฟังก์ชันต่อเนื่อง ถ้า f ต่อเนื่องที่

ทุกจุดในโดเมนของมัน

จ านวนจริง

จ านวนจริง คือจ้านวนที่สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งกับจุดบนเส้นตรงที่มีความยาวไม่สิ้นสุด (เส้นจ้านวน) ได้ ค้าว่า จ านวนจริง นั้นบัญญัติขึ้นเพื่อแยกเซตนี้ออกจากจ านวนจินตภาพ จ้านวนจริงเป็นศูนย์กลางการศึกษาในสาขาคณิตวิเคราะห์จ้านวนจริง (real analysis)

คุณสมบัติและการน าไปใช้

มีหลักเกณฑ์ในการแบ่งจ้านวนจริงอยู่หลายเกณฑ์ เช่น จ้านวนตรรกยะ หรือ จ้านวนอตรรกยะ; จ้านวนพีชคณิต (algebraic number) หรือ จ้านวนอดิศัย; และ จ้านวนบวก จ้านวนลบ หรือ ศูนย์

จ้านวนจริงแทนปริมาณที่ต่อเน่ืองกัน โดยทฤษฎีอาจแทนได้ด้วยทศนิยมไม่รู้จบ และมักจะเขียนในรูปเช่น 324.823211247… จุดสามจุด ระบุว่ายังมีหลักต่อๆไปอีก ไม่ว่าจะยาวเพียงใดก็ตาม

การวัดในวิทยาศาสตร์กายภาพเกือบ ทั้งหมดจะเป็นการประมาณค่าสู่จ้านวนจริง การเขียนในรูปทศนิยม (ซึ่งเป็นจ้านวนตรรกยะที่สามารถเขียนเป็นอัตราส่วนที่มีตัวส่วนชัดเจน) ไม่เพียงแต่ท้าให้กระชับ แต่ยังท้าให้สามารถเข้าใจถึงจ้านวนจริงที่แทนได้ในระดับหนึ่งอีกด้วย

จ้านวนจริงจ้านวนหนึ่งจะกล่าวได้ว่าเป็นจ านวนที่ค านวณได้ (computable) ถ้ามีขั้นตอนวิธีที่สามารถให้ได้ตัวเลขแทนออกมา เนื่องจากมีจ้านวนขั้นตอนวิธีนับได้ (countably infinite) แต่มีจ้านวนของจ้านวนจริงนับไม่ได้ จ้านวนจริงส่วนมากจึงไม่เป็นจ้านวนที่ค้านวณได้ กลุ่มลัทธิเค้าโครง (constructivists) ยอมรับการมีตัวตนของจ้านวนที่ค้านวณได้เท่านั้น เซตของจ้านวนที่ให้นิยามได้นั้นใหญ่กว่า แต่ก็ยังนับได้

ส่วนมากคอมพิวเตอร์เพียงประมาณค่าของจ้านวนจริงเท่านั้น โดยทั่วไปแล้ว คอมพิวเตอร์สามารถแทนค่าจ้านวนตรรกยะเพียงกลุ่มหนึ่งได้อย่างแม่นย้าโดยใช้ตัวเลขจุดลอยตัวหรือตัวเลขจุดตรึง จ้านวนตรรกยะเหล่านี้ใช้เป็นค่าประมาณของจ้านวนจริงข้างเคียงอื่นๆ เลขคณิตก้าหนดความเที่ยงได้ (arbitrary-precision arithmetic) เป็นขั้นตอนในการแทนจ้านวนตรรกยะโดยจ้ากัดเพียงหน่วยความจ้าที่มี

แต่โดยทั่วไปจะใช้จ้านวนของบิตความละเอียดคงที่ก้าหนดโดยขนาดของรีจิสเตอร์หน่วยประมวลผล (processor register) นอกเหนือจากจ้านวนตรรกยะเหล่านี้ ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์สามารถจัดการจ้านวนอตรรกยะจ้านวนมาก (นับได้) อย่างแม่นย้าโดยบันทึกรูปแบบเชิงพีชคณิต (เช่น "sqrt(2)") แทนค่าประมาณตรรกยะ

นักคณิตศาสตร์ใช้สัญลักษณ์ R (หรือ - อักษร R ในแบบอักษร blackboard bold) แทนเซตของจ้านวนจริง สัญกรณ์ Rn แทนปริภูมิ n มิตขิองจ้านวนจริง เช่น สมาชิกตัวหนึ่งจาก R3 ประกอบด้วยจ้านวนจริงสามจ้านวนและระบุต้าแหน่งบนปริภูมิสามมิติ

นิยาม

การสร้างจากจ านวนตรรกยะ

จ้านวนจริงสามารถสร้างเป็นส่วนสมบูรณ์ของจ้านวนตรรกยะ ส้าหรับรายละเอียดและการสร้างจ้านวนจริงวิธีอื่นๆดูที่ construction of real numbers (การสร้างจ้านวนจริง)

วิธีสัจพจน์

ให้ R แทนเซตของจ้านวนจริงทั้งหมด แล้ว เซต R เป็นฟีลด ์หมายความว่ามีการนิยามการบวกและการคูณ และมีคุณสมบัติ

ตามปกติ

ฟีลด์ R เป็นฟีลด์อันดับ หมายความว่ามีอันดับเชิงเส้น (total order) ≥ ซึ่งส้าหรับทุกจ้านวนจริง x y และ z:

ถ้า x ≥ y แล้ว x + z ≥ y + zถ้า x≥ 0 และ y ≥ 0 แล้ว xy≥ 0

อันดับนั้นมีความบริบูรณ์เดเดคินท์ (Dedekind-complete) กล่าวคือทุกสับเซตที่ไม่ใช่เซตว่าง S ของ R ซึ่งมีขอบเขตบน ใน R มี ขอบเขตบนน้อยสุด ใน R

คุณสมบัติสุดท้ายนี้เป็นตัวแบ่งแยกจ้านวนจริงออกจากจ้านวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น เซตของจ้านวนตรรกยะที่มีก้าลังสองน้อยกว่า 2 มีขอบเขตบน (เช่น 1.5) แต่ไม่มีขอบเขตบนน้อยสุดที่เป็นจ้านวนตรรกยะ เพราะว่ารากที่สองของ 2 ไม่เป็นจ้านวนตรรกยะ

จ้านวนจริงนั้นมีคุณสมบัติข้างต้นเป็นเอกลักษณ์ พูดอย่างถูกต้องได้ว่า ถ้ามีฟีลด์อันดับที่มีความบริบูรณ์เดเดคินท์ 2 ฟีลด์ R1 และ R2 จะมีสมสัณฐานฟีลด์ที่เป็นเอกลักษณ์จาก R1 ไปยัง R2 ท้าให้เราสามารถมองว่าทั้งคู่เป็นวัตถุเดียวกัน

คุณสมบัติ

ความบริบูรณ์

เหตุผลหลักในการแนะน้าจ้านวนจริงก็เพราะว่าจ้านวนจริงมีลิมิต พูดอย่างเป็นหลักการแล้ว จ้านวนจริงมีความบริบูรณ์ (โดยนัยของ ปริภูมิอิงระยะทาง หรือ ปริภูมิเอกรูป ซึ่งต่างจากความบริบูรณ์เดเดคินท์เกี่ยวกับอันดับในส่วนที่แล้ว) มีความหมายดังต่อไปนี้ ล้าดับ (xn) ของจ้านวนจริงจะเรียกว่า ล าดับโคชี ถ้าส้าหรับ ε > 0 ใดๆ มีจ้านวนเต็ม N (อาจขึ้นอยู่กับ ε) ซึ่งระยะทาง |xn − xm| น้อยกว่า ε โดยที่ n และ m มากกว่า N และอาจกล่าวได้ว่าล้าดับเป็นล้าดับโคชีโคชีถ้าสมาชิก xn ของมันในที่สุดเข้าใกล้กันเพียงพอ

ล้าดับ (xn) ลู่เข้าสู่ลิมิต x ถ้าส้าหรับ ε > 0 ใดๆมีจ้านวนเต็ม N (อาจขึ้นอยู่กับ ε) ซึ่งระยะทาง |xn − x| น้อยกว่า ε โดยที่ n มากกว่า N และอาจกล่าวได้ว่าล้าดับมีลิมิต x ถ้าสมาชิกของมันในที่สุดเข้าใกล้ x เพียงพอ

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าทุกล้าดับลู่เข้าเป็นล้าดับโคชี ข้อเท็จจริงที่ส้าคัญหนึ่งเกี่ยวกับจ้านวนจริงคือบทกลับของมันก็เป็นจริงเช่น กัน :

ล าดับโคชีทุกล าดับของจ านวนจริงลู่เข้า นั่นก็คือ จ้านวนจริงนั้นบริบูรณ์สังเกตว่าจ้านวนตรรกยะนั้นไม่บริบูรณ์ เช่น ล้าดับ (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,

1.41421, ...) เป็นล้าดับโคชีแต่ไม่ลู่เข้าสู่จ้านวนตรรกยะจ้านวนใดจ้านวนหนึ่ง (ในทางกลับกัน ในระบบจ้านวนจริง มันลู่เข้าสู่รากที่สองของ 2)

การมีอยู่ของลิมิตของล้าดับโคชีท้าให้แคลคูลัสใช้ การได้ รวมไปถึงการประยุกต์มากมายของมันด้วย การทดสอบเชิงตัวเลขมาตรฐานเพื่อระบุว่าล้าดับนั้นมีลิมิตหรือไม่คือการทดสอบ ว่ามันเป็นล้าดับโคชีหรือไม่ ถ้าเราไม่ทราบลิมิตเหล่านั้นล่วงหน้า

ตัวอย่างเช่น อนุกรมพื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้ก้าลังลู่เข้าสู่จ้านวนจริงจ้านวนหนึ่งเพราะว่าส้าหรับทุกค่าของ x ผลรวมสามารถท้าให้มีค่าน้อยลงเพียงพอโดยเลือก N ที่มีค่ามากเพียงพอ นี่พิสูจน์ว่าล้าดับนี้

เป็นล้าดับโคชี ดังน้ันเรารู้ว่าล้าดับลู่เข้าแม้กระทั่งเราไม่รู้ว่าลิมิตคืออะไร

ฟังก์ชันแบบ n-ary : ฟังก์ชันหลายตัวแปร

ฟังก์ชันที่เราใช้ส่วนมักจะเป็น ฟังก์ชันหลายตัวแปร ค่าที่ได้จะขึ้นอยู่กับปัจจัยต่างๆกัน จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ตัวแปรทั้งหมดต้องแสดงอย่างชัดแจ้งเพื่อที่จะเกิดความสัมพันธ์แบบฟังก์ชัน - ไม่มีปัจจัย "ซ่อนเร้น" อยู่ และเช่นกัน จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ไม่มีความแตกต่างเชิงคุณภาพระหว่างฟังก์ชันตัวแปรเดียวกับฟังก์ชันหลายตัว แปร ฟังก์ชันสามตัวแปรจ้านวนจริงนั้นก็คือฟังก์ชันของ triple ((x,y,z)) ของจ้านวนจริง

ถ้าโดเมนของฟังก์ชันหนึ่งเป็นเซตย่อยของ ผลคูณคาร์ทีเซียน ของ n เซต แล้ว เราเรียกฟังก์ชันนี้ว่า ฟังก์ชัน n-ary ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน dist มีโดเมน จึงเป็นฟังก์ชันทวิภาค ในกรณีนี้ dist ((x,y)) เขียนอย่างง่ายเป็น dist (x,y) การด้าเนินการ ก็เป็นฟังก์ชันหลายตัวแปรชนิดหนึ่ง ในพีชคณิตนามธรรม ตัวด้าเนินการเช่น "*" นั้นนิยามจากฟังก์ชันทวิภาค เมื่อเราเขียนสูตรเช่น x*y ในสาขานี้ เสมือนกับว่าเราเรียกใช้ฟังก์ชัน * (x,y) โดยปริยาย เพียงแต่เขียนในรูปสัญกรณ์เติมกลาง (infix notation) ซึ่งสะดวกกว่า

ตัวอย่างที่ส้าคัญทางทฤษฎีตัวอย่างหนึ่งคือ ก้าหนดการเชิงฟังก์ชัน ซึ่งใช้แนวคิดของฟังก์ชันเป็นศูนย์กลาง ด้วยวิธีนี้ การจัดการฟังก์ชันหลายตัวแปรท้าได้เหมือนเป็นการด้าเนินการ ซึ่งแคลคูลัสแลมบ์ดา มีวากยสัมพันธ์ (syntax) ให้เรา

การประกอบฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน f: Xye → Y และ g:Y → Z สามารถประกอบกันได้ ซึ่งจะได้ผลเป็นฟังก์ชันประกอบ g o f: X → Z ซึ่งมีนิยามคือ (g o f) (x) = g (f (x)) ส้าหรับทุกค่าของ x ใน X ตัวอย่างเช่น สมมติว่าความสูงของเครื่องบินที่เวลา t เป็นไปตามฟังก์ชัน h (t) และความเข้มข้นของออกซิเจนในอากาศที่ความสูง x เป็นไปตามฟังก์ชัน c (x) ดังนี้น (c o h) (t) จะบอกความเข้มข้นของออกซิเจนในอากาศรอบๆเครื่องบินที่เวลา t

ฟังก์ชันผกผัน

ถ้าฟังก์ชัน f: X → Y เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งต่อเนื่อง แล้ว พรีอิเมจของสมาชิก y ใดๆในโคโดเมน Y จะเป็นเซตโทน ฟังก์ชันจาก y ∈ Y ไปยังพรีอิเมจ f−1 (y) ของมัน คือฟังก์ชันที่เรียกว่า ฟังก์ชันผกผัน ของ f เขียนแทนด้วย f −1

ตัวอย่างหนึ่งของฟังก์ชันผกผันส้าหรับ f (x) = 2x คือ f −1 (x) = x/2 ฟังก์ชันผกผันคือฟังก์ชันที่ย้อนการกระท้าของฟังก์ชันต้นแบบของมัน ดู อิเมจผกผัน

บางครั้งฟังก์ชันผกผันก็หายากหรือไม่มี พิจารณา f(x) = x2 ฟังก์ชัน ไม่ใช่ฟังก์ชันผกผันเมื่อโดเมนของ f คือ

เอกสารอ้างอิง1. http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%

B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99_%28%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C%29

2. http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B9%88%E0%B9%81%E0%B8%A5%E0%B8%B0%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%84%E0%B8%B5%E0%B9%88

3. http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%87

4. http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87

แบบฝึกหัด