2008 א – פר' מיכאל סודין 2 חדו"א : 1 שאלה

:חשבו את האינטגרל הלא אמיתי

∫0

∞1

ex+e− xdx

פתרון:

∫0

∞1

ex+e− xdx=[ t=e

x

dx=dtt

¿

¿]=∫1∞ 1

t 2+1dt=[arctan (t ) ]1

∞=π2−arctan 1

: 2 שאלה

fנתונות פונקציות n: [0,1 ]→R נניח כי .f nU→f וכי [ 0,1] עלfחסומה. הוכיחו כי

¿x∈ [0,1 ]

f n(x)→¿ x∈[0,1] f ( x)

פתרון: בהכרח רציפה, ומכיוון שהיא רציפה על קטע סגור, אז לפיfמכיוון שיש התכנסות במ"ש, אז

¿קנטור, היא רציפה במ"ש. בנוסף, x∈ [0,1 ]

f (x)=maxx∈[0,1]

f (x . נניח כי II ממשפט וויירשטראוס (

f (x0 )=maxx∈ [0,1 ]

f (x)

כלומר:

∀ x∈ [0,1 ] , f ( x )≤ f ( x0)מהתכנסות במ"ש:

∀ ε>0 ,∃N∈N :∀n≥ N ,∀ x∈ [0,1 ] ,|f n ( x )−f ( x )|<εf. נראה כי x=x0בפרט עבור n (x0 )=¿ x∈[0,1] f n(x)-החל מ N.מסוים

נניח בשלילה כי:

∃ x1∈ [0,1 ] :∀ N∈N ,∃n≥ N :∨f n (x1)∨¿∨f n (x0 )∨¿אזי:

f (x0 )−ε< f n (x0 )< f (x0 )+ε

¿מכיוון ש- f n (x1 )∨¿∨f n (x0 ∀, וגם ¿∨( x∈ [0,1 ] , f ( x )≤ f ( x0):אז בהכרח מתקיים ש ,

f n (x0 )< f n (x1 )<f (x0 )+εואז:

f n (x1 )−f (x0 )<εואז:

limn→∞

f n(x1)=f (x0)

limכלומר n→∞

f n(x1)=limn→∞

f n(x0) ,ולכן ,f n (x1 )=¿ x∈[0,1] f n(x , ולכן, בהכרח מתקיים ש-(

f n (x0 )=¿ x∈[0,1] f n(x)

©Noy Soffer 2013

: 3 שאלה

∑נתון כי טור החזקות n=0

∞

an zn הוא בעל רדיוס התכנסות R:מצאו את רדיוס ההתכנסות של הטורים .

∑א.n=0

∞

an cn zn

∑ב.n=0

∞

an3 zn

פתרון:סעיף א':

∑מכיוון שרדיוס ההתכנסות של n=0

∞

an zn הוא R אז הטור מתכנס עבור ,|z|<R:לכן הטור .

∑n=0

∞

an (cz )n

>|z|, כלומר עבור cz|<R|יתכנס עבור R|c|

סעיף ב':לפי נוסחאת קושי הדמרד:

R= 1lim¿ n→∞an

⇒ lim¿ n→∞an=1R

’ של הטור שלנו:Rנשתמש שוב בנוסחאת קושי הדמרד כדי לחשב את רדיוס ההתכנסות

R'= 1

lim¿ n→∞an3= 1

( lim¿ n→∞an )3= 1

( 1R )3=R3

: 4 שאלה הוכיחו או הפריכו:

fתהי א. :Rn→Rm-רציפה, ו E⊂Rm קבוצה פתוחה. אזי גם המקור f−1(E).קבוצה פתוחה

fתהי ב. :Rn→Rm-רציפה, ו E⊂Rn ,קבוצה פתוחה. אזי גם התמונהf (E).קבוצה פתוחה

פתרון:סעיף א':

לא פתוחה. אזי:f−1(E)נניח בשלילה כי

∃ x∈ f−1 (E ) :∀ δ>0 ,Bd(x , δ)⊈ f−1(E)

∋xמכיוון ש- f −1(E):

∃ y∈E : f ( x )= y פתוחה:Eמכיוון ש-

∀ z∈ E ,∃ ε>0 :Bd ( z , ε )⊆E

©Noy Soffer 2013

=zבפרט עבור y.:E רציפה על fמכיוון ש-

∀ ε>0 ,∃ δ>0 :∀ c∈Bd ( x , δ ) , f (c )∈ Bd ( y , ε )לכן:

∀ c∈Bd ( x , δ ) , f (c )∈Bd ( y , ε )⊆Eלכן:

∀ c∈Bd ( x , δ ) , c∈ f−1(E)לכן:

Bd ( x , δ )⊆ f −1(E)ולכן, המקור בהכרח פתוח.

סעיף ב':לא נכון!!

ניקח למשל:

∀ x∈R , f ( x )=0 היא קבוצה פתוחה.R, וזו לא קבוצה פתוחה, למרות ש-0 היא הנקודה fהתמונה של

: 5 שאלה

fתהי :R2→R גזירה ברציפות המקיימת x∂ f∂ x

+ y ∂ f∂ y

=0 ,∀ x , y∈R.

קבועה.fהוכיחו כי

פתרון: לאורך המסילה:fנתבונן על

∀a∈R , γ a ( t )=(t , at)אזי:

∂ f∂ t

= ∂ f∂ x∂x∂ t

( t , at )+ ∂ f∂ y

∂ y∂ t

( t , at )= ∂ f∂ x

+ ∂ f∂ xa=0

לכן, מצאנו כי:

∀a∈R , Df ( t , at )=0γנעיר כי המסילות a ( t )=(t , at)פורשות את כל המישור, ולכן, מצאנו למעשה שהדיפרנציאל הוא

קבועה.f לאורך כל הנקודות במישור, ולכן הפונקציה 0

©Noy Soffer 2013