标准方程 y x

a b

2 2

2 2 1 ( )a b 0

图形

范围 对称性 顶点 焦点 离心率

1

o

Fy

x

2

F

M

,a y a b x b ≤ ≤ ≤ ≤ 关于 y轴对称 、关于 x轴对称 、关于原点对称

( , ) ( , )A a A a1 20 0 、 ( , ) ( , )B b B b1 20 0 、

FF11(0, (0, --cc),),FF22(0, (0, cc)) ( )c a b2 2 ( ) 0 1

ce e

a

复习回顾复习回顾

例 1 、求椭圆 16x2+25y2=400 中 x,y 的取值范围，以及长轴和短轴的长、焦点和顶点的坐标，离心率大小。

解：把已知方程化成标准方程：

145 2

2

2

2

yx

这里 a=5,b=4, 所以 c= =3 1625

椭圆的长轴和短轴长分别为 2a=10 和 2b=8,

两个焦点分别为 F1 （ -3 ， 0 ）和 F2 （ 3 ，0 ），

四个顶点分别为 A1 （ -5 ， 0 ）、 A2 （ 5 ，0 ）、

B1 （ 0 ， -4 ）、 B2 （ 0 ， 4 ）。

44,55 yx

5

3

a

ce离心率

可利用对称性画图

例 2 　求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴ 经过点 P( － 3,0) 、 Q(0, － 2) ；⑵ 长轴长等于 20 ，离心率 3/5 。

2 2

19 4

x y

解： ⑴方法一：设方程为 mx2 ＋ ny2 ＝ 1 （ m ＞ 0 ， n ＞ 0 ， m≠n ），将点的坐标方程，求出 m ＝ 1/9,n ＝ 1/4 。

方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在 x 轴上，且点 P 、 Q 分别是椭圆长轴与短轴的一个端点

，故 a ＝ 3 ， b ＝ 2 ，所以椭圆的标准方程为

注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： ⑴定位； ⑵定量

2 2

1100 64

x y ⑵

2 2

1100 64

y x 或

例 2 、求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（ 3 ）长轴长为 6, 中心 O, 焦点 F, 顶点 A 构成的角

OFA 的余弦值为 2/3.

2 2 2 2

1 19 5 5 9x y x y

或

解：由题知 a=3 cos OFA=∠ ca

o F

A∴c=2 ， b2=a2-c2=5

因此所求椭圆的标准方程为

与椭圆 4x2+9y2=36 有相同的焦距，且离心率为

2 2 2 2

1 125 20 20 25x y x y

或

例 3 、求适合下列条件的椭圆的标准方程：

解：由已知得所求椭圆 2c=2 5

c 5e

a 5 又

∴a=5 ， b2=a2-c2=20故所求椭圆的标准方程为：

若将题设中的“焦距”改为“焦点”，结结论又如何？

例 4 、已知 F1 是椭圆的左焦点， A 、 B 分别是椭圆的右顶点和上顶点， P 为椭圆上的点，当 PF1⊥F1A ， PO AB∥ （ O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率。

O

B

A

P

F1

解：设椭圆的方程为：2 2

2 2

x y1

a b

px c 2 2

2 2p 2 2

c by b(1 )

a a

又 KOP=KAB

2b bac a

因此 b=c 2 2a c c 即c 2

ea 2

例 5 ：设 M 为椭圆 上的

一点 ,F1 ,F2 为椭圆的焦点 , 如果∠ MF1F2 =75° ， ∠ MF2F1 =15° ，求椭圆的离心率。

1b

y

a

x2

2

2

2

例 6. 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口 BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上，片门位于别一个焦点 F2 上。由椭圆一个焦点 F1 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2 。已知 BC 垂直于 F1F2 ， |F1B|=2.8cm ， |F1F2|=4.5cm. 试建立适当的坐标系，求截口 BAC所在椭圆的方程（精确到 0.1cm ）

例 7. 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心） F2 为一个焦点的椭圆。已知它的近地点 A（离地面最近的点）距地面 439 km ，远地点 B （离地面最远的点）距地面 2384 km ，并且 F2 、 A 、 B 在同一直线上，地球半径约为 6371 km. 求卫星的轨道方程（精确到 1 km ）。

x

y

AB..F1 F2

解：建系如图，以 AB 所在直线为 x 轴， AB 中点为原点可设椭圆方程为： 12

2

2

2

by

ax 0 ba

则

O

ca |||| 2OFOA || 2AF 4396371 6810

..

ca |||| 2OFOB || 2BF 23846371 8755

解得 .5.9725.7782 ca ，22 cab .7722

故卫星的轨道方程是 .177227783 2

2

2

2 yx

练习1 、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为 。

2 、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为 。

3 、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为 。

4 、已知椭圆 的离心率为 1/2 ，

则 m= .

22

1/3

4 或－ 5/4

1/2

1 、用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 （ 1 ）先定位：确定焦点的位置 （ 2 ）再定形：求 a,b 的值。2 、求椭圆的离心率 （ 1 ）求出 a,b,c ，再求其离心率 （ 2 ）得 a,c 的齐次方程，化为 e 的方程求

作业1 、椭圆的一焦点与长轴较近端点的距离为 焦点与短轴两端点连线互相垂直，求该椭圆的标准方程。

2 、已知椭圆在 x 轴和 y 轴正半轴上两顶点分别为A ， B ，原点到直线 AB 的距离等于 ，又该椭圆

的离心率为 ，求该椭圆的标准方程。3 、点 M （ x,y ）到定点（ 2 ， 0 ）的距离与到定

直线 x=8 的距离之比为 的点的轨迹方程是什么？

轨迹是什么？

3 、（ 98 高考）椭圆 　　的焦点 F1 ， F2 ，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1 的中点在 y 轴上，那么 |PF1| 是 |PF2| 的 （ ）

A 、 7 倍 B 、 5 倍 C 、 4 倍 D 、 3 倍

4 、我们把离心率等于黄金比 的椭圆称为优美椭圆，设 　　　　是优美椭圆， F ， A

分别是它的左焦点和右顶点， B 是它短轴的一个端点，则∠ ABF=

A 、 60° B 、 75° C 、 90° D 、 120°