' סמסטר א' מועד ב 2000 פר' דוד סודרי – תורת המספרים : 4 שאלה

:מצא פתרון טבעי מינימלי למערכת הבאהx≡11 (mod 24 )x≡5(mod 18)x≡5(mod 30)

פתרון:

gcdנשים לב לכך ש- (24,18,30 , ולכן, לא ניתן להשתמש במשפט השאריות הסיני1≠6=(

ישירות. לכן, נעשה נמיר את המערכת למערכת מודולו שבה כל המספרים זרים, כלומר למערכת

mod ( 246 , 186 , 306 )=mod(4,3,5).

נשים לב לכך ש:

1)x=24 k+11=4 (6 k )+11≡11 (mod 4 )≡−1(mod 4)2)x=18 l+5=3 (6 l )+5≡5 (mod 3 )≡−1 (mod3 )3)x=30 r+5=5 (6 r )+5≡5 (mod 5 )≡0 (mod 5)

לכן, עלינו לפתור את המערכת הבאה:

{x≡−1(mod 4)x≡−1(mod 3)x≡0(mod 5)

נשתמש במשפט השאריות הסיני, כדי לקבל:

x≡−1 (3 ) (5 ) c1+ (−1 ) (4 ) (5 ) c2+0 (3 ) (4 )c3 (mod 4 ⋅3⋅5 )≡−15 c1−20 c2(mod 60)כאשר:

−15c1≡1(mod 4)−20c2≡1(mod 3)

לכן:

1≡−15c1≡c1(mod 4)1≡−20c2≡c2(mod 3)

לכן, הפתרון הוא:

x≡−15−20 (mod 60 )=−35 (mod 60 )≡25 (mod 60)gcdנחלק ב- (25,60 )=5:

x≡5(mod 12)הוא הפתרון המינימלי למערכת.

: 5 שאלה השלמים הפותרים את המשוואות:x,yמצאו את כל ה-

x2−33 y2=±1פתרון:

נשים לב לכך שלמעשה מדובר בפתרון משוואת פל והמשוואה האחות שלה, ופתרונן קשורים לשבר משולב, כאשר:33√לפיתוח של

© Noy Soffer 2012

( x , y )={( pn , qn ): n=ml−1 } זוגי. n איזוגי, ולמשוואה האחות הוא כאשר nכאשר הפתרון למשוואת פל הוא כאשר

לשבר משולב:33√נפתח את

[√33 ]=5=a0√33=5+ 1

1

√33−5

=5+ 1

√33+58

[√33+58 ]=[ [√33 ]+58 ]=[ 108 ]=1=a1

√33+58

=1+ 18

√33−3

=1+ 1(√33+3 )3

[√33+33 ]=[5+33 ]=2=a2√33+33

=2+ 13

√33−3

=2+ 1√33+38

[√33+38 ]=[5+38 ]=1=a3√33+38

=1+ 18

√33−5

=1+ 1√33+5

[√33+5 ]= [5+5 ]=10=a4

√33+5=10+ 11

√33−5

=10+ 1

√33+58

=10+ 1θ1

לכן:

√33=[5 ,1,2,1,10] , ולכן, אין פתרון למשוואה האחות למשוואת פל, אבל יש פתרון למשוואת פלm=4אורך המחזור

n=4והם מתקבלים עבור l−1∈2N+1 כלומר עבור ,l∈Nכללי. לכן, הפתרון המינימלי מתקבל . נחשב:n=3עבור

לכן, הפתרונות הם:

© Noy Soffer 2012

p−2=0p−1=1p0=a0 p−1+ p−2=5p1=a1 p0+ p−1=6p2=a2 p1+ p0=17p3=a3 p2+ p1=23

q−2=1q−1=0q0=a0q−1+q−2=1q1=a1q0+q−1=1q2=a2q1+q0=3q3=a3q2+q1=4

( x , y )={(±23n , ±4n) :n∈N }

: 6 שאלה Zפרק ב- [i 42+49 את [ i.לגורמים ראשוניים

פתרון:Zראשית, נעיר כי [i הינו תחום פריקות יחידה, ולכן, מספיק לפרק את המספר הזה לגורמים אי[

פריקים, כי בתחום פריקות יחידה, ההגדרות של ראשוני ואי פריק שקולות. נתבונן בנורמה:

N (42+49i )=N (7 (6+7 i ) )=N (7 ) ¿3≡7מכיוון ש- (mod 4 Z, לפי מה שראינו בשיעור, הוא נשאר ראשוני ב-( [i , ולכן, מספיק לפרק[

6+7את i:לגורמים ראשוניים. נתבונן על

N (6+7 i )=62+72=36+49=85=5 (17) לגורמים ראשוניים:5,17נפרק את

5=(2+ i )(2−i)17=(4+i )(4−i)

לכן:

N (6+7 i )=(6+7 i ) (6−7 i )=(2+i ) (2−i ) (4+i )(4−i)i+2מחלק בדיוק אחד מבין 6+7iלכן ,2−i 4 ובדיוק אחד מבין+i ,4−iהצמוד שלו יחלק את .

המספר השני. נתבונן במנה:

6+7 i2+i

=(6+7 i ) (2−i)

5=26+8 i

5∉Z [ i ]

i∨6+7−2לכן, i:נתבונן במנה .

6+7 i2−i

=(6+7 i ) (2+i )

5=5+20 i

5=1+4 i=i(4−i)

לכן:

42+49 i=7 i (4−i )(2−i)

: 8 שאלה .243מצאו את מספר השורשים הפרימיטיביים מודולו א.

אינו ראשוני2282+1הראו כי ב.

פתרון:סעיף א:

, ולכן, לפי מה שראינו בשיעור, יש לו שורש פרימיטיבי אחד35=243נשים לב לכך ש-

. אזי:gלפחות. נסמן אותו:

¿d243 (g )=ϕ (35 )=34=81gלכן, כל המספרים ,g2 ,… g81הם כולם שונים. נרצה לדעת כמה מביניהם שורשים

פרימיטיביים:

© Noy Soffer 2012

נשים לב לכך ש:

¿d243 (gk )=¿d243 (g )

gcd (¿ d243 (g ) , k ) ולכן:

∀ k∈ [1,80 ] ,81=¿d243 (g )=¿d243 (gk)=or d243 (g )

gcd (¿d243 (g ) , k )

⇔gcd (¿d243 (g ) , k )=1⇔gcd (81 , k )=1נשים לב לכך ש:

|{k∈Z81 : gcd (81 , k )=1}|=ϕ (81 )=ϕ (ϕ (243 ) )=33=27סעיף ב':

aנפעיל את מבחן רבין מילר, כלומר נבחר : gcd (a ,2282+1 ונתבונן על1=(

a2282

2k

כזה,k כזה, ולכל a. אם המספר הזה אכן ראשוני, אז בהכרח שלכל k<282עבור כל

aייתקיים:2282

2k ≡±1(mod 2282+1) להפעלת המבחן.a=2. לכן, ניתן לבחור 2 אי זוגי, ולכן, הוא זר ל-2282+1נשים לב לכך ש-

, ונשים לב לכך ש:k=281נבחר למשל

22282

2281=22≡4≢1(mod 2282+1), ולכן, הוא אינו ראשוני.2 נכשל במבחן רבין מילר לפי בסיס 2282+1ולכן,

2282+1: 9 שאלה

d90¿חשבו את (745 ).

פתרון:

gcdראשית, הסדר הזה מוגדר היטב, כי (90,7 gcd ולכן: 1=( (90,745 . הסדר הזה חייב1=(

ϕלחלק את (90 )=ϕ (2⋅32 ⋅5 )=1 (3−1 )3 (5−1 )=2 (3 ) (4 . לפי הנוסחא לסדר של24=(

חזקה, אשר הוכחה בשיעור:

¿d90 (745 )=¿d90 (7 )

gcd (¿d90 (7 ) ,45 ). 7לכן, מספיק לחשב את הסדר של

7kלשם כך, נתבונן על :k∨ϕ (90 7k, כלומר ב- 24=( :k∈ {1,2 ,3,4,6,8,12,24 }.

אינו ראשוני ואינו חזקה של ראשוני, אין לו שורשים פרימיטיביים, ולכן,90למעשה, מכיוון ש-:12 עד k. לכן, מספיק לבדוק 24 הוא 90 מודולו 7לא ייתכן שהסדר של

71=772=49≡−41 (mod 90 )

© Noy Soffer 2012

73≡7 (−41 )=−287≡−17 (mod 90 )

74=(73 ) (71 )≡ (−17 ) (7 )=−119≡−29 (mod 90 )

76=(73 )2≡ (−17 )2=289≡19 (mod 90 )

712=(76 )2≡ (19 )2=361≡1(mod 90)ולכן:

¿d90 (7 )=12לכן, לפי הנוסחא:

¿d90 (745 )= 12gcd (12,45 )

=123

=4

: 10 שאלה פתרו את הקונגרואנציה הבאה:

x2≡17(mod 64 )

פתרון:נסמן:

f ( x )≡x2−17(mod 64=28) , ונרים את הפתרונות. נשים לב לכך2נפתור את הקונגרואנציה מודולו חזקות נמוכות של

פתרונות לקונגרואנציה. 2 אינו ראשוני, ייתכן שיש יותר מ-64שמכיוון ש-:2מודולו

x≡1(mod 2):4מודולו

f ( x )≡x2−17 (mod 4 )לכן:

x≡±1 (mod 4 ):8מודולו

x≡±1ניתן להציב ולראות כי הפתרונות היחידים הם (mod 8):16מודולו

( ניתן לראות כי 1,3,5,7כמו מקודם, ע"י הצבה ישירה )של

x≡±1 (mod 16)הם הפתרונות היחידים.

:32מודולו נעשה הרמה:

x1≡8k1+1(mod 32)x2≡8k2−1 (mod 32 )

נחשב:

f (1 )=f (−1 )=−16f ' ( x )=2 x

f ' (−1 )=−2, f ' (1 )=2

© Noy Soffer 2012

נפתח טיילור:

f (8k1+1 )=f (1 )+8k1 f' (1 )=−16+16k 1≡0(mod 32)

f (8k2−1 )=f (−1 )+8k 2 f' (−1 )=−16−16k 2≡0(mod 32)

:16לכן לאחר חלוקה ב-

k 1≡1(mod2)k 2≡−1(mod 2)≡1(mod 2)

לכן:

x≡9 ,7(mod 32):64מודולו

x≡±7נציב את הפתרונות שקיבלנו וגם את המספרים ,±9 , ±39 בפונקציה ונראה±41, לא פותר אתxאם היא מתאפסת. אם יש פתרונות, אז אלה הם הפתרונות היחידים, כי אם

הקונגרואנציה מודולו חזקה נמוכה, אז הוא בהחלט לא יפתור אותה מודולו חזקה גבוהה.נציב:

f (7 )=32≢0 (mod 64 )f (9 )=64≡0 (mod64 )

f (39 )≡f (−25 )=f (25 )=624≢0 (mod 64 )f (41 )≡f (−13 )=f (13 )=168≢0(mod 64)

x≡±7לכן, הפתרונות היחידים הם (mod 64 ).

© Noy Soffer 2012