人工知能特論 2011資料 No.6

東京工科大学大学院担当教員　亀田弘之

前回までの確認から

Prenex Conjunctive Normal Form

• Literal

• Clause

• PCNF

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前回までこんな話をしまし

た。

Leteral

• Literal の定義：1. アトムはリテラル ( 例： P(x), Q(3,5,8) )

2. アトムの否定もリテラル ( 例： ~P(x), ~Q(3,5,8))

– 上記の１を正リテラル (positive literal) 、２を負リテラル (negative literal) という。（例： P(f(x)) は正リテラル , ~P(f(x)) は負リテラル )

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Clause

• Clause の定義：– ゼロ個以上かつ有限個のリテラルからなる選

言のこと。例：　

1. P(a) v Q(x,b,f(s))

2. ~Q(x,y) ＜＝１個のリテラルの選言！

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Clause の集合による表記法

1. P(a) v Q(x,b,f(s)) 　　 {P(a) , Q(x,b,f(s))}

2. ~Q(x,y) {~Q(x,y) }

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いろいろな表記法があります。慣れるしかありません。

いろいろな表記法があります。慣れるしかありません。

Prenex Conjunctive Normal Form

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)( 111 mnn CCxqxq る変数はすべて論理式に現れであり、かは ni xxxq ,,, 21

Prenex Conjunctive Normal Form

8

)( 111 mnn CCxqxq

る変数はすべて論理式に現れであり、かは ni xxxq ,,, 21

Prenex Matrix

Clause

PCNF の例

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)),((~

)),()((

)),()((~

))),()((~)(),(~))()(((

)),(),,((

)))(~),((~)),(~)(((

ayQy

axQxPx

ayQyPyx

xxQbPxPxaQbPaPx

zyPzyxSzyx

aPbaRyxQxPyx

PCNF への変形

• 任意の述語論理式は PCNF に変形することができる。その際、その論理式の真理値は保存される。

• 例：

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))()((~

))()((~

)()(~

)()(~

)()(~

)()(

yQxPyx

yyQxPx

yyQxPx

yyQxxP

xxQxxP

xxQxxP

定理

• 任意の論理式 φ に対して、 φ と真理値が等価な論理式 ψ でかつ PCNF のものが１つ存在する。

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変形の手順（その１）

1. 論理式 φ の中の→と↔を次の規則を用いて取り除く。1. （ A→B ）　を　 (~A v B) に置き換える。2. (A↔B) を　 (~A v B)^(A v ~B) に置き換え

る。

2. 分離された変数がそれぞれ異なるように変数名を書き換える。

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変形の手順（その２）

3. すべての～がアトムの直前に来るように次の規則を用いて変形する。1. ～∀ x ψ 　を　∃ｘ～ ψ 　に置き換える。2. ～∃ x ψ 　を ∀ｘ～ ψ 　に置き換える。3. ～ ( φ ∨ ψ ) を ( ~φ ∧ ~ψ ) に置き換える。4. ～ ( φ ∧ ψ ) を ( ~φ ∨ ~ψ ) に置き換える。5. ～～ φ を φ に置き換える。

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変形の手順（その３）4. すべての限量子∀と∃を論理式の先頭部

分へ移動させる。1. ∃ ｘ φ∨ψ 　＝＞　 ∃ｘ (φ∨ψ)

2. φ∨∃x ψ 　＝＞　∃ｘ (φ∨ψ)

3. ∀ ｘ φ∨ψ 　＝＞　 ∀ｘ (φ∨ψ)

4. φ ∨ ∀x ψ 　＝＞ ∀ｘ (φ∨ψ)

5. ∃ ｘ φ∧ψ 　＝＞　 ∃ｘ (φ∧ψ)

6. φ∧∃x ψ 　＝＞　∃ｘ (φ∧ψ)

7. ∀ ｘ φ∧ψ 　＝＞　 ∀ｘ (φ∧ψ)

8. φ∧∀x ψ 　＝＞　∀ｘ (φ∧ψ) 14

変形の手順（その 4 ）

5. Matrix 部分を CNF 形式に変形する。1. ((A∧B)∨C) を ((A∨C) ∧ (B ∨C)) に2. ((A∨B)∧C) を ((A∧C) ∨ (B ∧C)) に

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PCNF 導出の例（練習問題）

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))),(~))(()(((~))(~))(()(((~

))),(~)((~)))(()(((~

))),(~)((~)))(()(((~

)),(~)((~)))(()((~

)),()((~)))(()((~

)),()((~)))(()((~

)),()((~)))(()((~

)),()((~)))(()((

ayRxfPxPyQxfPxPyx

ayRyQxfPxPyx

ayRyQyxfPxPx

ayRyQyxfPxPx

ayRyQyxfPxPx

ayRyQyxfPxPx

axRxQxxfPxPx

axRxQxxfPxPx

何度も練習してみてください。

何度も練習してみてください。

確認問題

• 次の置き換えは、真理値を保存するか確かめよ。

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)),(),((

)),(),((

),(),(

)},(),,(),,(),,(),,({

},,{

xaQyxPyx

zaQyxPzyx

xaxQyxyPx

abQcaQaaQbcPcaPI

cbaD

確認問題

• 次の置き換えは、真理値を保存することを確かめよ。

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))()((

)()(

)}(),({

},,{

yPxPyx

yyPxxP

cPaPI

cbaD

Skolem Standard Form

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Skolem Standard Form

20

)( 111 mnn CCxqxq

る変数はすべて論理式に現れだけであり、は ni xxxq ,,, 21

Prenex Matrix

Clause

PCNF 　＝＞　 SSF への書き換え

• 限量記号（存在記号）∃を除去しなければならない。そのために、スコーレム定数やスコーレム関数を導入する。

• 例：

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),(),(

))(,(),(

axxPyxxPy

xfxxPyxyPx

大切な注意事項（その１）

• 任意の論理式は PCNF に変形可能• 任意の PCNF は SSF に変形可能• 任意の論理式とそれから導かれる SSF と

は論理的に等価であるとは限らない（真理値は必ずしも保存されない！）。

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真理値が保存されない例

)}1({

;)2()1(.3

2.2

}2,1{.1

)(

)(

PI

FIandTI

Da

D

aP

xxP

pp

　　　　

　

大切な注意事項（その２）

• BUT

• 充足不可能な論理式は充足不可能な SSFに変形される。

• 元の論理式がモデルを持つための必要十分条件は、 SSF がモデルを持つことである。（これは重要な定理の１つ）

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Herbrand Models

• 次に、フランスの論理学者 Jacques 　Herbrand が考案した解釈 (interpretation) を導入する。この解釈を特に、 Herbrand interpretation とよび、この解釈に基づくモデルを Herbrand model と呼ぶ。

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• Herbrand universe U

• Herbrand base B

• Herbrand pre-interpretation J

• Herbrand interpretation I

• Herbrand model M

以下、例で説明する。

26

例：

27

))},()(()),(,(),({ xxQxPxbfaQaP

まず、このような論理式の集合を考える。

Herbrand Universe

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})),(()),((),(),(,,{ bffaffbfafbaU

元の論理式に含まれていた定数と関数に着目し、これからか得られるすべての項を集めたもの。

Herbrand 　 Base

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})),(()),((),,(),,(),(),({ bfPafPbbQaaQbPaPB

元の論理式に含まれていた述語を、先ほどのU の要素に適用して得られる述語すべてからなる集合。

Herbrand pre-interpretation

• 解釈の領域 D ： Hebrand Universe U

• 定数記号の解釈 : 自分自身に対応させる。• 関数記号の解釈：自分自身に対応させる。

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Herbrand interpretation

• Herbrand pre-interpretation に基づくInterpretation を Herbrand Interpretation と呼ぶ。

• なお HI の内、所与の論理式（群）を充足するものを Herbrand Model (HM) と呼ぶ。

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例

注意事項

• HM の意義1.Σ がモデルを持つ　　 Σ が HM を持つ。2.Σ 　｜＝　 φ 　　 S は HM を持たない。

ただし、 S は Σ∪ { ～ φ} の SSF 。

述語論理における推論

• Resolution

• 代入• 論理プログラミング（ Prolog など）• 帰納論理プログラミング (Progol など )

＝＞知識分類・知識獲得・知識発見