数学分析与高等代数考研真题详解 - 202.194.48.19

博士家园考研丛书（2010 版）

全国重点名校数学专业考研真题及解答

数学分析与高等代数

考研真题详解

南京大学数学专卷

博士家园编著

博士家园系列内部资料

《博士家园数学专业考研丛书》

编委会

这是一本很多数学考研人期待已久的参考书，对于任何一个想通过考取重点院校的研究

生来进一步深造的同学来说，历年的各个院校的真题的重要性是显而易见的。为了帮助广大

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二零一零年二月

2

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数学分析与高等代数考研真题详解

南京大学考研数学专卷

目录 2000 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2001 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2002 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2003 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2005 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答 2007 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答 2008 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 2008 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 2009 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 2010 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题

南京大学

南京大学硕士研究生入学考试数学分析试题 2000 年

一、求下列极限

1）设n

nn x

xx++

=+ 3)1(3

1 ，（为已知），求； 01 >x nnx

∞→lim

解：另外用归纳法也是可以的

1(3 3)( 3)3 , , 0

3

, ,

nn n

n

xx n xx+

− −− = ∀ >

+

根据压缩映像原理知收敛不难得到答案为 3

2）； 22

)(lim 22

00

yx

yx

yx +→→

解：

2


2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

0 0 0 0

2 3

2 2 0

00

ln( ) ln( ) ln( ) | 2 ln |

1lnlim 2 ln lim lim lim 01 12

lim( ) 1

x y

z z z z

x y

xy

x y x y x y x y x y z z

z zz z z

z zx y e

→ → → →

→→

+ = + < =

= = − = =

+ = =

3） ∫+∞

→

x

xdt

tt

120

coslim ；

解：放缩法

2 2

2 21 1

201

cos 1| |

cos 1

coslim 0

x x

x

x

tt t

t dt dt xt t

t dtt

+∞ +∞

+∞

→

≤

⇒ <

⇒ =

∫ ∫

∫

=

4） ∫∫≤+

→−

222

2

2

220

)cos(1limryx

xy

rdxdyyxe

rπ.

解：这几道题目的做法都相似，主要就是放缩和夹逼定理，运用熟练以

后非常方便。 2

2 2 2

2 2

2

2 2 2

22

2

2 2

22

2

1 cos( )

0, ', '

1 11 cos( ) cos(2 ) 1

1 cos( ) 1

, , 1

xy

x y r

xy r

xy

x y r

e x y dxdyr

r r r

e ex y r

e x y dxdyr

π

ε

ε

ε

ε επ

+ ≤

+ ≤

−

∀ > ∃ <

< < < +

> − > > −

1− < − < +

∫∫

∫∫所以利用夹逼定理原式的极限为

二、设在)(xf [ 1.1 ]− 上有二阶连续偏导数， 0)0( =f ，令xxfxg )()( = ，

( ) )0()0(,0 fgx ′=≠ ，证明

1）在处连续，且可导，并计算)(xg 0=x )0(g ′ ；

3


2）在处也连续. )0(g ′ 0=x

证明：（1）这类题目就是不断利用 L’Hospital 法则，不过注意必须有导函数连续

的条件。

0 0

2

20 0

( ) (0)lim ( ) lim '(0) (0)0

( ) '( ) ( )'( ) ( ) ' , 0'( )

( ) '(0) '( ) '(0) 1'(0) lim lim "(0)2 2

x x

x x

f x fg x f gxf x xf x f xg x x

x xg xf x xf f x fg f

x x

→ →

→ →

−= = =

−−⎧ = = ≠⎪⎪= ⎨ − −⎪ = = =

⎪⎩

（2） 20 0 0

'( ) ( ) "( ) '( ) '( ) 1lim '( ) lim lim "(0) '(0)2 2x x x

xf x f x xf x f x f xg x f gx x→ → →

− + −= = = =

三、设 teetf tnt

n3sin)1()( −−

−= ， ( )0≥t ，试证明

1）函数序列 ( ){ }tfn 在任一有穷区间 [ ]A,0 上和无穷区间 [ ]+∞,0 上均一致收敛

于 0；

2） ∫+∞

−−

∞→=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

0

3 0sin1lim tdtee tnt

n.

证明：注意 (1 )tne

−− 和分别在te− [ ]A,0 和[ ],A +∞ 上的极限为 0，然后就好办了

1）

3( ) (1 ) sin(1) [0, ]

0, 0, , ,0 1 | ( ) |

(2) [ 1, ]0, 0, 1,

| ( ) |(1)(2)

ttn

n

tn

n

tn

f t e e tt A

A N n N e f

t AA t A

e f t

tε ε ε

ε

ε ε

− −

−

−

= −

∈

∀ > ∀ > ∃ > < − < ⇒ <

∈ − +∞∃ > ∀ > ∀ ≥ −

< ⇒ <

通过知道命题成立

2）其实一致收敛的时候 lim 可以穿越积分号的

2

3 32

0 0

1, ( )

11 sin lim 1 sin lim

n

N Nt tt tn n

N N

n f xN

e e tdt e e tdt dtN

ε

+∞− −− −

→∞ →∞

< =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

由于一致收敛，存在足够大的时候

0

0=∫

4


四、设对任一 A>0, 在)(xf [ ]A,0 上正常可积，且收敛，令

试证明

0)(0

≠∫+∞

dttf

( ,0,)()()(0

≥−= ∫∫+∞

xdttfdttfxx

x

ϕ ) )(xϕ 在 ( )+∞,0 内至少有一个零点.

解：主要利用介值定理。另外注意可导可以推导到连续

[ , ]

0

0 0

'( ) 2 ( ) ( )

(0) ( )

lim ( ) 0, [0, ] , ( ) 0

lim ( ) ( ) ( ) ( ) (0)

0 0

x

xx

x

xx

x f x x C

f t dt

f t dt A f t dt

x f t dt f t dt f t dt

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

−∞ +∞

+∞

+∞ +∞

→∞

+∞ +∞

→+∞

= ⇒ ∈

= −

= ≠

= − = = −

→ +∞

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

否则和可积且收敛的条件矛盾

根据连续函数的介值定律,从而在必然有点

五、计算积分 ( ) )0(,sincosln)(2

0

222 >+= ∫ adxxxaaI

π

.

解：

( )2

2 2 2

0

2

2 2 2 2 2 2 20 0

2

( ) ln cos sin , ( 0)

1 2 1'( ) 2 tan( tan )(1 tan ) 1 ( ) (1 )

2 ( )1 2 2 1

( ) ln(1 ) (1 )( ) ln1 12(1) 0

I a a x x dx a

a 1I a a d x da x x a a x x

aa a a

dI dI da I a a C aI ada a aI

π

π

π π π

π π ππ

+∞

= + >

= =+ + − + +

− =− +

⎫= ⇒ = ⇒ = + + +⎪⇒ =+ + ⎬⎪= ⎭

∫

∫ ∫ x−

六、试求指数λ，使得 dyryxdxr

yx λλ

2

2

− 为某个函数 ( )yxu , 的全微分，并求，

其中

( )yxu ,

22 yxr += .

解：利用二阶混合导数相同的性质，来解决该问题

5


2

2

2

2

2 2 32 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 3

2 2

2 20

2 ( 0

2 ( 0)

( ) 1

( , ) ( )x

x x F Fr dx r dy dx dyy y x y

F x rx yF x ry y

F x F x xr xr r ry x y x y y y

F x F x ry x y x y y

x x y xy x

x ytu x y dt f yyy t y

λ λ

λ

λ

λ λ λ λ

λ

λ λ

λ

λ λ λ

− −

∂ ∂− = +

∂ ∂

∂⎧ =⎪ ∂⎪⇒ ⎨∂⎪ = −

⎪ ∂⎩∂ ∂

= − + = = − − ≠∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂= − = = − =

∂ ∂ ∂ ∂

⇒ + + = − ⇒ = −

+= + =

+∫

矛盾

1−

)λ

七、计算下列曲线积分和曲面积分

)1 ( ) ( ) ( )∫ +++−++=c

dzzyxdyyxdxzyxI ,22 3 其中 c 为与

的交线，从原点看去是逆时针方向.

12 22 =+ yx

zyx −=+ 22 2

解：z=-1，所以 dz=0.如果使用 Stokes 定理反而更麻烦。所以化简再用 Green公式。

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

3

cos2 sin3 2

2 3

0

2 24 2

0 0

2 2

2 2

sin 2( cos )sin cos sin cos2 2

1 2 1 2 2sin cos2 2 4

c

x

y

c

I x y z dx x y dy x y z dz

x y dx x y dy

d d

d d

θ

θ

π

π π

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ π

=⎧⎪⎨ =⎪⎩

= + + − + + +

= − + − ⎯⎯⎯⎯→

= − + −

+= + =

∫

∫

∫

∫ ∫

)2 ( ) ( ) ( ) 2222222 :, RczbyaxSdxdyzdzdxydydzxI

S

=−+−+−++= ∫∫ .

解：基本同 1992 年的那道题目，我只是把那道题目的结果稍加修改

6


2 2

2 2

2 2 21

'

2 2

0 0 0

2 2

0 0 0 0

z c , S'

2 ( )

cos: sin

( ) [ ( ) (cos sin ) ]

( )

S

V

R R z

V

R R z

I x dydz y dzdx z dxdy

x y z dxdydz

x a ry b rz c z

x y z dxdydz r a b c r rz d drdz

a b c dz rdr d zdz rdr d

π

π

θθ

θ θ θ

θ θ

−

−

=

= + +

= + +

= +⎧⎪ = +⎨⎪ = +⎩

+ + = + + + + +

= + + +

∫∫

∫∫∫

∫∫∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

补齐的平面形成封闭的曲面

代换

2 2

0 04

3

43

1

2 2 22

43 2 2

1 2

2( )3 4

4( )3 2

4( )3 2

R R z

z c

a b c RR

a b c RI R

I c dxdy c R

a b c RI I I R c R

π

π π

ππ

π

ππ π

−

=

+ += +

+ += +

= =

+ += + = + +

∫ ∫ ∫

∫∫

八、设 ,( ) lnnnu x x x= [ ]0,1x∈

1) 试讨论在1

( )nn

u x∞

=∑ ](0,1 上的收敛性和一致收敛性；

2) 计算1

01

lnn

n

x xdx∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑∫ .

解：此题与第三题属于完全相同的题目 1）

7


1 1

1

1

1

1lim ln ln ,1 0( ) ln 1 10, 0,1

1( ) ln lim ln1

ln1 (0,1 ], , 0,ln(1 )

1 1ln1

12 1

11| ( ) | | (1 )

n

nnn

n n

n Mn M

n nn M n M

n MM M

n

N

n Nn

x xx x x xu x x x x xx

xu x x x x xx

x M

xx x xx

xn

u xN

εδδ ε δδ

εδ

∞ ∞

→∞

= =

− +∞ ∞

→∞= =

−−

=

⎧ −= > >⎪= = − −⎨

⎪ =⎩−

= =−

< > ∈ − ∀ > ∃ =−

−< =

−

< > = −

−= −

∑ ∑

∑ ∑

∑

令

1 1(1 ) 11ln(1 ) | 01 2

, , x 1

N

N eN

N

− −− > >

=可见内闭一致收敛在不一致收敛

（2）其实内闭一致收敛积分号就可以和 lim 相互穿越了。不用非要用定义去

做

1 1

[0,1]

1 1 1

0 0 11 1 1

1

0

1( ) ( ) ln lim ln ln1 1

(0 ) (0), (1 ) (1)max | ( ) |

ln lim ln ln , 0

( ln )1

nn

n nn n

x

Nn n n

Nn n n

x xf x u x x x x x xx x

f f f ff x M

x xdx x xdx x xdx

x x dxx

δ

δδ

∞ ∞

→∞= =

+ −

∈

∞ ∞−

−→∞= = =

−= = = =

− −= =

<

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=−

∑ ∑

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

∫

从而知其连续，故而有界，不妨设

→

1 1 1

0 0 0

1 1 21 1

20 01 1 1

1 1( ln ) ln ln(1 ) 11

11 1 1 16

n n

n n n

x dx xdx x dxx x

x xdx dxn n n

π− −∞ ∞ ∞

= = =

= − = −−

= − + = − = − = −

∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫ ∫

+

九、设

22

2exp , 0, 0( , )

0, 0, 0

xt t xf x t t

t x

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞− + > >⎪ ⎢ ⎥⎜ ⎟= ⎨ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎪ = >⎩

0( ) ( , )I x f x t

∞= ∫ dt ) ( 0x >

1）讨论 ( )I x 在 ( 上的一致收敛性，并证明 )0,+∞

2

00lim ( )

2x

xI x e dx π

+

+∞ −

→= =∫

2）计算 ( )I x .

8


解：（1）

2

22

2 2 222

2

22

2

0 0 00 0 0

2

exp , 0, 0( , ) ( )

0, 0, 010 ( , ) ( 2 ), ( )

( )

lim ( ) lim lim

[ ]

t

N N

xxt t tt

x x x

x

xt t xf x t I xt

t x

f x t dt e dt F N F x

I x

I x e e dx e e dt e dt

e dx e

ξ

π

+ + +

∞ ∞ −

−−+∞ +∞ +∞− − −

→ → →

+∞ −

−∞

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞− + > >⎪ ⎢ ⎥⎜ ⎟= ⎨ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎪ = >⎩

< < =

= = =

=

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

为标准正态分布的上位数

所以一致收敛。

2 2 2

2

2

0 0

2

x y r

x

dxdy re d dr

e dx

πθ π

π

+∞ +∞ +∞− − −

−∞ −∞

+∞ −

−∞

= =

=

∫ ∫ ∫ ∫

∫

（2）

2

2 2

22

2

( )2

0

( ) ( )2 220 0

2 2

exp , 0, 0( , )

0, 0, 0

( )

'( ) 2 (1 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )

2 ( )

( )2

xtx t

x xt tx xt t

x x

xt t xf x t t

t x

I x e e dt

x xI x e e dt I x e e d t I xt t

I x

I x Ce eπ

− +∞

− + − +∞ ∞

− −

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞− + > >⎪ ⎢ ⎥⎜ ⎟= ⎨ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎪ = >⎩

=

= − − = + −

= −

⇒ = =

∫

∫ ∫

2001 年数学分析一、求下列极限

1）设 ),2(,4

3,0 1

1 ≥+

== − na

aa nn 求； nn

a∞→

lim

解：（这道题目没有什么好讲的吧）（1）利用数学归纳法：证明该数列单调递增且有界，小于 1

（2）直接求出通项公式 1

112n na −= −

2）求极限：

12

20

1limx

y

xy

x ey

+

− +

→+∞→

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

解：这道题目ex总是比x大无穷阶，猜出答案来解决

9


( )

( )

12 2

20

2 2 22 2

2 4

12

20

1lim lim

( )0

( )lim lim 0

1lim 0

xy x

x xy y

x yx y x y

xx yx xy

xy

xy

x e x y ey

x y x yx y ee e

x y xee

x ey

+

+

− +2 y− +

→+∞ →+∞→ →+∞

− +

+ +

+→+∞ →+∞→+∞

− +

→+∞→

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ +< + < <

+= =

⎛ ⎞∴ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

；

3）设试求[ ] ,,)( , BbaACxf BA <<<∈ ∫−+

→

b

ah

dxh

xfhxf )()(lim0

解：lim 不能穿越积分符号，但是 f（x）可积，所以分开来积分再合起来

[ ],

0 0 0

( ) , , ( ) [ , ]

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (lim lim lim

( ) ( )

A B

x

ab

ab

h h ha

f x C A a b B f x a b

f x dx F x

f x h f x F b h F a h F b F adxh h

)f x h f x F b h F b F a h F adxh h

f b f a

→ → →

∈ < < <

=

+ − + − + − +=

+ − + − + −= −

= −

∫

∫

∫

所以在可积

h

4）设在内可导，且)(xf )1,0( ),1,0(,1|)(| ∈∀<′ xxf 令 )2)(1( ≥= nn

fxn ，试证明

存在有限

nnx

∞→lim

解：其实更简单的方法用 Cauchy 收敛准则，更为简洁。当时没有注意 (1). , (0,1) ( ) ( ) '( )( ) | ( ) ( ) | 1

1(2).{ ( )}

10, 0, , , | ( ) |

1, ' max{ , N}

1 1 1 1 1| ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) | 2

1, ( )

x y f x f y f x y f x f y

f pn

N M N n M f pn

m n N

m nf p f f f pm m n n mn n

f p mm

ξ

ε ε

ε

ε ε ε

ε

∀ ∈ − = − ⇒ − <

∀ > ∃ > ∀ > ∃ > − <

∀ > ∃ =

−− ≤ − + − < + < + =

→ → +∞

，

存在一个收敛的子列，不妨设收敛于

根据的任意性得知，时

二、设令 ,1)0(,)( ),(2 =∈ +∞−∞ gCxg

10


⎪⎩

⎪⎨⎧

≠−

=′=

时当

时当

0,cos)(0),0(

)(x

xxxg

xgxf

1）讨论处的连续性；在 0)( =xxf

2）求 .0)(),( 处的连续性在并讨论 =′′ xxfxf

解：应该是指二阶导函数连续吧，反复利用中值定理和 L’Hospital 法则 2( , )C −∞ +∞

0 0

0 0 0

2

0

( ) cos '( ) sin1) (0) lim lim g '(0)1

( ) cos ( ) (0) 1 cos(0) lim lim lim g '(0)

2)( ) cos '( ) sin ( ) cos0 , '( ) ( ) '

0 ,( ) cos '(0)

'(0) lim

x x

x x x

x

g x x g x xfx

g x x g x g xfx x x

g x x g x x g x xx f xx x x

xg x x g

xfx

→ →

→ → →

→

− += = =

− − −= = + =

− + −≠ = = −

=−

−= =

或者

<1>当时

<2>当时

2 20 0

0

2 20 0 0 0

0

( ) 1 '(0) 1 coslim lim

'( ) '(0) 1 "(0) 1lim2 2 2

'( ) '(0) sin ( ) (0) '(0) 1 coslim '( ) lim lim lim

'( ) '(0) 1 "(0) 1lim 1 "(0)2 2 2

x x

x

x x x x

x

g x xg xx x

g x g gx

g x g x g x g xg xf xx x

g x g g fx

→ →

→

→ → → →

→

− − −+

− += + =

− + − − −= − −

− += + − == =

x

三、设 [ ] [ ],1,0,1)(0,0)0(,)( 1,01 ∈∀≤′<=∈ xxffCxf 试证明对一切 [ 1,0 ]∈t ，成立

[ ]∫∫ ≥⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ tt

dxxfdxxf0

32

0

)()(

证明：原来想用 Cauchy-Schwarz 定理的，后来发现方向反了。尝试含参量的积分，成功

11


[ ]2

3

0 0

3

0 0 0

0

, (0,1]( ) (0) '( ) 0

( ) ( ) ( )

2 ( ) ( ) ( ) 2 ( )( ( ) ( ) '( )

2 ( ) ( )[1 '( )] 0

( ) (0) 0t 0

t t

t t t

t

xf x f f

x

G t f x dx f x dx

G )f t f x dx f t f t f x dx f x f x dxt

f t f x f x dx

G t G

ε

∀ ∈−

= >

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

∂= − = −

∂

= − ≥

> =

=

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

首先

从而命题成立，似乎也仅仅在的时候取到等号

四、求下列积分

1）计算反常积分 ∫+∞ −

=0

sin dxx

xeIx

；

解：（1）利用含参量的积分解决问题

0

00 0 0

20 0

0

2

sin( )

sin cos cos | sin

cos | sin | sin

1 , 0, [ , )1

( ) arctan( )

lim ( ) arctan( ) lim

x

x x x x

x x x

e xI dxx

I e xdx e d x e x e d

e x e x xe dx

I x

I C

I C

α

α α α α

α α α

α

α

αα

α α

ε εα αα α

α α

+∞ −

+∞ +∞ +∞− − − +∞ −

+∞− +∞ − +∞ −

→∞

=

∂= − = = +

∂

= + +

∂⇒ = − > ∈ +∞

∂ +⇒ = − +

= − + =

∫

∫ ∫ ∫

∫

对任意的

x

0

sin 0

( ) arctan( )2 4

xe x dxx

I

α

α

π πα α

+∞ −

→∞=

⇒ = − + =

∫

（2）利用复变函数作

12


1

5 14 4

2

1

1 2

14

1 2

( 1 ) ( 1 )

0

0 01( 1 ) 2 24

104

( 1 ) ( 1 )

1 1: R (0 ) : ( 0)4 4

L : 0 L : 0

Im Im

sin 2Im Im Im2

| | |

i i

i

i z i x

L

i z e e x ixi

L i

i z i R e

R R e

e eI dz dxz x

e e e xdz de x dx dxz xe x

e edzz

π π

π

π

π

π ε π

xπ

+∞− − − −

+∞− − −

+∞ +∞

− − − − ⋅

Γ

Γ → Γ →

→ ⋅ →

= =

= = =

=

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

半径为的圆周，和半径为的圆周，

和

=

2

1 1 2 2

34 4 2 sin( )4

0 0

0 0( 1 ) ( 1 )

4 4

( 1 ) ( 1 )

0

| | | 0

4

0 Im2 4 4

i

i

Rii

i z i R ei

i

i z i x

L L

dR e e dR e

e e idz d e i dz e

e edz I dxz x

θ

θ

π π

θ πθθ

θθ

π π

θ

πε θε

π π π

⋅ −

− − − − ⋅

Γ

+∞− − − −

+Γ + +Γ

⋅ = ≤⋅

= ⋅ = = −⋅

= ⇒ = − = − =

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

2）计算曲面积分，其中 S 为锥面∫∫ ++=S

dxdyzdzdxydydzxI 222

( ) hzyxahz ≤≤+= 0,22

2

22

那部分的外侧

解：

2

2 2 2

2 2 21

'

2

0 0 0

2 22 2

0 0 0 0 0 02 3

2 220

2 2 22

,

2 ( )

2 ( cos sin )

2 (cos sin ) 2

22

S Vazhh

az azh hh h

h

x

x y a z h

I x dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz

r r r z d drdz

dz r dr r d zdz rdr d

a z dz a hh

I x dydz y dzdx z dxdy

π

π π

θ θ θ

θ θ θ θ

ππ

+

+ = =

= + + = + +

= + +

= + +

= =

= + +

∫∫ ∫∫∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

补齐

2 2 2 2 2

2 2

, ,

2 21 2 2

y a z h x y a z h

h dxdy a h

I I I a h

2π

π= = + = =

= =

= − = −

∫∫ ∫∫

五、求 212arctan)(

xxxf

−= 在处的幂级数展开式，并计算0=x ∑

∞

= +−

=0 12

)1(n

n

nS 之值

解：背出 arctanx 的展开式，总是有用的

13


2

3 5

3 5

0

2( ) arctan 2arctan1

arctan ...3 5

2 2( ) 2 ...3 5

( 1,1]( 1) arctan1=2 1 4

n

n

xf x xx

x xx x

x xf x x

Sn

π∞

=

= =−

= − + −

= − + −

−

−= =

+∑

收敛区间为

六、设 0,1,1 11 ≥>++

=+ xkxxk

xn

nn .

1) 证明级数 10( n

n)nx x

∞

+=

−∑ 绝对收敛；

2) 求级数之和. ( )∑∞

=+ −

11

nnn xx

证明：首先猜测极限，然后得到这个解。其实，可以用归纳法，证明单调。然后迎刃而

解。

( )

1 1

1

1 11

2

1 1

2

1

1

1

, 1, 01

( )(1 )1

,

, 1, 01

11 2n | | | | |1

1 1

nn

n

nn

n

n nn

nn n

n

nn n

n

n n n

n n n n

k xx k xx

x k kx kx

k

x x k x

k xx x k xx

k xx xx

x x xx x x x

+

+

∞

+=

+

−

+

−

+= > ≥

+

− −− =

+

− = −

−− = > ≥

+

−− =

−

− − | r 1= = − = <− + +

∑

利用压缩映像原理知收敛并且不难得到极限为

当足够大的时候

从而得知其绝对收敛

14


( )

1 1

1

1 11

, 1, 01

( )(1 )1

,

nn

n

nn

n

n nn

k xx k xx

x k kx kx

k

x x k x

+

+

∞

+=

+= > ≥

+

− −− =

+

− = −∑

利用压缩映像原理知收敛并且不难得到极限为

七、设 dttI ∫+∞

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=0

22

4

exp),(βα

βα ，其中 βα , 满足不等式432 22 −≤+− βαα .

1）讨论含参变量积分 ),( βαI 在区域432: 22 −≤+− βααD 上的一致收敛性

2）求 ),( βαI 在区域上的最小值. D

解：

4 4

2 20 0

144

14

( , ) exp exp 324

1 3 3 1 9[ , ] 2 [ , ]2 2 4 4 4

90, max{ 4ln( ),1}4

9 9exp exp exp( )3 3 4 42 24 4

0 exp

N

N N N

t tI dt dt

N

t tdt dt t dt e

t

α βα β α

α α

εε

εα α

+∞ +∞

+∞ +∞ +∞−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞− −

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎜ ⎟−⎝ ⎠

∈ ⇒ − ∈

∀ > ∃ = −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −

= < − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−<

∫ ∫

∫ ∫ ∫

可见一致收敛

=

4 4 4

exp exp1 3 924 4 4

1494

t t

α

α

α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −

< <⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

最小值在 = 的时候取到

最大值在 = 的时候取到

2002 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题

1．求下列极限；

15


1） 0

(1 ) cos2lim

sin sin ln(1 )2

x

x

xx

xx x→

+ −

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

．

2）设 ( ) ln( )f x x a x= + − , ( , )x a∈ −∞ ,

a）求 ( )f x 在上的最大值； ( ,a−∞ )

b）若 1 lnx a= , 2 1ln( )x a x= − , 1 ( )n nx f x+ = , ( 1, 2,3,n )= , 求 lim nnx

→∞．

2．设1( ) sin

lnf x x

x= − , 试证 ( )f x 在[2, )+∞ 内有无穷多个零点．

3．设 ( )f x 在的某个邻域内连续, 且0x = (0) 0f = , 0

( )lim 21 cosx

f xx→=

−,

1）求； (0)f ′

2）求 20

( )limx

f xx→

；

3）证明 ( )f x 在点取极小值． 0x =

4．设 ( )f x 在点的某个邻域内具有二阶连续导数, 且0x =0

( )lim 0x

f xx→

= , 试证明：

1）； (0) (0) 0f f ′= =

2）级数1

1n

fn

∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ 绝对收敛．

5．计算下列积分：

1）求 1

x

x

xe dxe −

∫ ；

2）S

I yzdxdy zxdydz xydzdx= + +∫∫ , 其中 S 是圆柱面2 2 1x y+ = , 三个坐标平面及旋

转抛物面所围立方体的第一象限部分的外侧曲面． 22z x= − − 2y

6．设 [ ]( ) ,f x C a b∈ , ( )f x 在内可导, ( , )a b ( )f x 不恒等于常数, 且 ( ) ( )f a f b= ,

试证在内至少存在一点( , )a b ξ , 使 ( ) 0f ξ′ > ．

7 ．在变力的作用下 , 质点由原点沿直线运动到椭球面F yzi zx j xyk= + +

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + = 第一象限的点 ( , , )M ξ η ζ , 问ξ 、η、ζ 取何值时, 力 F 所做的功W 最大,

16


并求W 得最大值．

8．1）证明 1n

xx en

−⎛ ⎞− ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

, （n N∈ , ）； 0n x≥ ≥

2）求 2

0lim 1

nn

n

x x dxn→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ．

2002 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答∗

1．解 1）2 3

3 2ln(1 ) ( ( )) ( )2 2x x 4x x x x O x x O x+ = − + = − + , 0x →

32 4 2( ) 42

3 2

(1 ( ))(1 ) cos82

(sin sin ) ln(1 ) ( ( ))( ( ))2 2

xx O xx xx e Ox

x xx x x O x x O

− +− − ++ −

=− + − + +

x

x

2 3

23

9 ( )8

( )2

x O x

x O x

+=

+ , （） 0x →

故, 原式94

= ．

2）

a） 1( ) 1f x

a x′ = −

−, ( , )x a∈ −∞ , 当 1x a= − 时, ( ) 0f x′ = ,

易知, ( 1)f 1a a− = − 是 ( )f x 在 ( , a)−∞ 上的最大值．

b） ( , )x a∈ −∞ 时, ( ) 1f x a≤ − , 故, 时, 2n ≥ 1 1nx a+ ≤ − ,

又 1x a≤ − , , 故, ln( ) 0a x− ≥ 1x a≤ − 时, ( )f x ≥ x ．

从而, 时, 3n ≥ 1n nx x+ ≥ , 即{ }nx , 为单增序列, 且3n ≥ 1nx a≤ − , ( n)∀ ,

故{ }nx 存在有限极限, lim nnx α

→∞= , 且 1aα ≤ − ,

在 1 ( )n nx f x+ = 两边令 , 得n →∞ ln( )aα α α= + − , 从而, 1aα = − ．■

2．证因为 , ( ) [2, )f x C∈ +∞1lim 0

lnx x→∞= ,

∗ 解答人：王兴虎山东大学威海分校

17


sin 2 12

n ππ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, sin 2 12

n ππ⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

, 1, 2,3,n =

2x e> 时, 1 10

ln 2x< < , 又时, 2n ≥ ( )f x 在

32 , 22 2

n nπ ππ π⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦上有

2 02

f n ππ⎛ ⎞+ >⎜ ⎟⎝ ⎠

, 32 02

f n ππ⎛ ⎞+ <⎜ ⎟⎝ ⎠

,

故存在32 , 2

2 2nx n nπ ππ π⎛ ⎞∈ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( ) 0nf x使 = , 从而, ( )f x 在 [2, )+∞ 上有无穷多个

零点．■

3．解 1）

2

0 0

2sin( ) 0 ( ) 2(0) lim lim 00 1 cosx x

xf x f xf

x x→ →

−′ = =− − x

= ．

2）

2

2 20 0

2sin( ) ( ) 12lim lim 2 11 cos 2x x

xf x f xx x x→ →

= =−

i = ．

3）因为 20

( )lim 1x

f xx→

= , 对0 1ε< < , 0δ∃ > , 使得当 x δ< 时, 有

2 2(1 ) ( ) (1 )x f x xε ε− < < + ,

从而 x 充分小时, , 即( ) (0) 0f x f> = (0)f 是极小值．■

4．证 1）由0

( )lim 0x

f xx→

= , 知0 0

( )lim ( ) lim 0x x

f xf x xx→ →

= ⋅ = , 即

(0) 0f = , 0

( )(0) lim 0x

f xfx→

′ = = ．

2）由泰勒展开式, 21( ) (0) (0) ( )2

f x f f x f xξ′ ′′= + + , 0 xξ< < , 由 ( )f x′′ 在包含

的某个区间 [ ,0x = ]δ δ− 上连续 , 故 x δ≤ 时 , ( )f x Mθ′′ ≤ , 从而

2( ) ( )2Mf x x x δ≤ ≤ , 因此, 充分大时, n 2

1 12Mf

n n⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

i , 显然1

1n

fn

∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

绝对收敛．■

5．解 1）令21, ln( 1)xu e x u= − = + , 则 2

21

udx duu

=+

, 从而

18


2 2

2

2

22

2

2

ln( 1) ( 1) 211

2 ln( 1)

22 ln( 1) 21

2 ln( 1) 4 4arctan

2 1 4 1 4arctan 1

x

x

x x x

xe u u udx duu ue

u du

uu u duu

u u u u C

x e e e

+ ⋅ += ⋅

+−

= +

= + −+

= + − + +

= − − − + − +

∫ ∫

∫

∫

C

cos , sinx r y r

．

2） , 令( , , ) , ( , , ) , ( , , )P x y z zx Q x y z xy R x y z yz= = = = θ θ= 故有

2 1 2

0 0 0

( )

( cos sin )

14 715 24

V

r

I z x y dxdydz

d rdr z r r dπθ θ

π

−

= + +

= + +

= +

∫∫∫

∫ ∫ ∫ zθ ．■

6．证因 ( ) ( )f a f b= 及 ( )f x 不恒为常数, 故至少存在一点 ( , )c a b∈ , 满足

( ) ( ) ( )f c f a f b≠ = ,

不妨令 ( ) ( )f c f a> , 在[ , 上用中值定理, 存在一点]a c ( , ) ( , )a c a bξ ∈ ⊂ , 使

1( ) ( ( ) ( )) 0f f c f ac a

ξ′ = − >−

．

若 , 则在[ , 上用中值定理, 同样可得所征结论．■ ( ) 0f c < ]c b

7．解直线段的参数方程为 OM

[0,1]x ty t tz t

ξηζ

=⎧⎪ = ∈⎨⎪ =⎩

故, 1 2

03

OMW yzdx zxdy xydz t dtξηζ ξηζ= + + = =∫ ∫ ．

令2 2 2

2 2 2( , , ) 1Fa b cξ η ζξ η ζ ξηζ λ

⎛ ⎞= + − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

19


解方程组

2

2

2

2 2 2

2 2 2

2 0

2 0

2 0

0

Fa

Fb

Fc

a b c

ξ

η

ζ

λξηζ

ληξζ

λζξη

ξ η ζ

⎧ ′ = − =⎪⎪⎪ ′ = − =⎪⎨⎪ ′ = − =⎪⎪⎪ + + =⎩

,

解得唯一解, 3 3, ,

3 3a bξ η ζ= = =

33

c , 由问题的实际意义, max3

9W abc= ．■

8．证 1）当时, 不等式0n x≥ ≥ 1n

xx en

−⎛ ⎞− ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

等价于1xnx e

n−

− ≤ ．

令 ( ) 1xn xf x e

n− ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠, 则

1( ) 1 0xnf x e n x

n−⎛ ⎞

′ = − ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

≥ ,

从而, , ( ) 0, (0) 0f x f′ ≥ =

即 , 即( ) 0f x ≥ 1n

xx en

−⎛ ⎞− ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

．

2）令1 [0, ]

( )0

n

x x nf x n

x n

⎧ ⎛ ⎞− ∈⎪ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨⎪ >⎩

，

因为 2 2ln 1 ln 1 ln , ( [0, ], )nx xx n x x A

n n⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − + ∈ ≥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

n A ,

2

2 3

1ln 1 ( )2

x x xn n O nn n n n

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − − + →∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 2

2 2

1 11 exp 1 (2 2

nx xx x xe O e O n

n n n n n− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⋅ − + = ⋅ − + →∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠)

故 ( )nf x 一致收敛到 , 2xe x− [0, ]x A∈ ．

据 1） 20 ( ) xnf x e x−≤ ≤ , 从而

0( )nf x dx

+∞

∫ 关于n N∈ 一致收敛．

且对 0ε∀ > , 存在 , 使0A > 20 ( ) xnA A

f x dx e x dx ε+∞ +∞ −≤ ≤ <∫ ∫ ,

从而 2

0 0lim ( ) x

nnf x dx e x dx

+∞ +∞ −

→∞=∫ ∫ ．

20


即 2 2

0 0lim 1 (2 1) 2

nn x

n

x x dx e x dxn

+∞ −

→∞

⎛ ⎞− = = Γ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ = ．

或直接计算2 2

0 00 02 2 2x x x x xe x dx e x xe dx xe e dx

+∞ +∞ +∞− − +∞ − − +∞ −= − + = − + =∫ ∫ ∫0 2．■

南京大学 2003 年数学分析一、下列极限

1) 设，求0>a∞→n

lim n na+1 ；

1 max{1 , }

1,0 1lim 1

, 1

nn n

n

n n

n

a aa a Abeln na

aa

a a→+∞

+ ≤ + +

< <⎧+ = ⎨ ≥⎩

不等式

2) 设 ),3,2,1(,2,2 11 =+== + nxxx nn ，求； ∞→n

lim nx

1 1

2

2

2

n

n n n n

x

x x x x+ +

<

+ = ⇒ >

归纳法证明

然后：

数列单调递增，且有界。所以存在极限。不难得到极限为

3) +∞→n

lim .112

xx

ex

−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 注意

1 1(1 )2

x ex x

+ ≈ − 这一条非常有用

2 2

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) (1 ) [ln(1 ) ] ( )1 1 2lim lim lim1 1 1 2

1(1 ) 1 1 1lim( ) lim(1 ( ))2

x x

x x x

x

x x

x x

e o ex x x x x x x xe

x x x

x oe x x e

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞

+ − + + − − − ++ += =

− −

+= = − + =原式

= −

二、过 p(1,0)点作抛物线 2y x= − 的切线，求：

1）切线方程； 2）由抛物线、切线及 x 轴所围成的平面图形面积； 3）该平面图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转一周的体积。

解：1）

0 0 00 0

0 0 00

1 1' | 2 ( )2 2 2 2

1 12 (1 ) 3 (22 2

x xy y xx x

x x x yx

= = ⇒ − − = −− −

− − = − ⇒ = ⇒ = −−

1)

x x

x

2）

21


3 1 12 2

2 0 0

352

2 62 23

total curve

total

total curve

curve

S S S

SS S S

S x dx xdx x dx

= −

⎫= ⎪⎪⇒ = − =⎬⎪= − = = =⎪⎭∫ ∫ ∫

3

2

3 12 2 2 2 2

2 0

2( 2)2

122 (1 2 2) 2 2 ( 2) (1 2 )5

x total curve

total

total curvecurve

y

V V VV

V V VV x dx

V x x d x t t dt

ππ

ππ

π π π

= −

= ⎫⎪⇒ = − =⎬

= − = ⎪⎭

= − + − − = + − + =

∫

∫ ∫

三、对任一求在（0,1）中最大值，并证明该最大值对任一

均小于任一。

,00 >y )1()( 00 xxyx y −=ϕ

,00 >y 1−e

解：本题比较基本

0 0 0

0 0

0

0

0

1 120 0 0 0 0

0

0

2 100 0 0 0 0 0

01

0 0

10

0

10

10 0

0

'( ) (1 ) ( (1 ) )

11

''( ) ( 1) ( (1 ) ) (1 )1

(1 ) 01( ) (1 )

11 10 ( ) (1 ) 11 1 (1 )

y y y

y y

y

x

y

y

x y x x y x y x y y xyx

yy y y x y y x y y x

y

y y xyx

y xy

y yy

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

− −

− −

−

+

+

+

= − − = − +

= <+

= − − + − ++

= − + <

++

< = − = <+ + +

取到极值

可见在取到最大值,不难证明递减

1e

四、设 f(x)在上有连续导数，且),0[ +∞ 0)0(,0)( <>≥′ fkxf ，试证：

f(x)在内仅有一个零点。 ),0( +∞

证明：本题其实可以加强的，不需要 f（0）<0，只要在负无穷开始连续可导就可以了。

( ) 0( ) (0) '( ) ( ) (0)

x (

f x kf x f

) 0

f k f x f kx

f x

ξ

′ ≥ > ⇒−

= ≥ ⇒ ≥ +

>

至多有一个零点

当足够大的时候，显然可以得到

x

22


五、计算下列积分

1）设 ∫ ≥++

=1

0 2 )0(1

)1ln()( αα dxx

xaI ，求 );1()( II 和α′

解：本题求不出 I（a），但是可以找到 I’(a)和 I(1)的关系

1 1 1

2 2 2 20 0 0

1 1

2 2 20 0

1 l'( ) [ ](1 )(1 ) 1 1 1 4 4

1 ln 2(1) ln(1 ) [ ]1 1 1 4

2 (1) ln 2 (1) ln 24 8

xdx x dxI a dxx x x x

I d da

I I

n 4-4ln(1 )α α παα α α α

α πα αα α α

π π

+ += = − =

+ + + + + +

= − + + ++ + +

⇒ = ⇒ =

∫ ∫ ∫

∫ ∫

α+

2） ∫∫++

++=

S zyx

zdxdyydzdxxdydzI23

222 )(，其中 S 为上半球面

的外侧。

)0(2222 ≥=++ zazyx

解：找到对称的面是本题的重要之处。因为2 2 2 2x y z a+ + = ，若找到的是

z=0 的平面，只会给题目带来更多的麻烦。另外，似乎可以作代换直接做。

3 32 2 2 2 2 2'2 2

3 32 2 2' 2

S':

( ) ( )1 3 22 2( )

S S

S S V

xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy

x y z x y zxdydz ydzdx zdxdy dxdydzI

ax y zπ

+

+ + + +=

+ + + ++ +

= =+ +

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫∫

为下半球面的外侧。

=

六、设在⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤−

≤≤−=

01,10,)1(

)(xe

xxx

nx

n

n当

当ϕ )(xf ]1,1[− 上（R）可积.

1）求∞→n

lim )(xnϕ ，并讨论 )}({ xnϕ 在 ]1,1[− 上的一致收敛性；

2）求（要说明理由） ∞→n

lim ∫−1

1)()( dxxxf nϕ

解：1）不难得到在 0 点不是一致的，和xn相似。

23


(1 ) , 0 1 0, 0( ) lim ( )

1, 0, 1 0ln(1) 0 1, [ ,1], ,

ln(1 )| ( ) ( ) | (1 ) [1 (1 ) ] (1 ) (1 )

ln(2) 0 1, [ 1, ], ,

| ( ) ( ) |

n

n nnx n

n m n n Nm n

nm n

x x xx x

xe x

x N m n N

x x x x x

x N m n N

x x e

ϕ ϕ

εδ δδ

ϕ ϕ δεδ δδ

ϕ ϕ

→∞

−

⎧ − ≤ ≤ ≠⎧⎪= ⇒ =⎨ ⎨=− ≤ ≤⎪ ⎩⎩

∀ < < ∈ ∃ = ∀ > >−

− = − − − ≤ − < − <

∀ < < ∈ − − ∃ = ∀ > >−

− =

当当

当当

ε

( )(1 )1 1(3) 0 , [ 2 ,0) (0,2 ], ,2

1| ( ) ( ) | 1 0. [ ,1] [ 1, ]

x m n x N

n

n n n

e e

x x mn

x xe

δ ε

δ δ δ

ϕ ϕ δ δ

− −− < <

∀ < < ∈ − ∃ = ± ∀ > >

− = − ≠ − −∪

∪所以在内闭一致收敛

n N

2）像这种题目，只要内闭一致收敛就可以了，不必要一定要完全一致的。

1 [ 1,1]

1

1

1

10 0 0

1 10 0

( ) ( ) , max{| ( ) |}

lim ( ) ( )

lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )

lim ( ) ( ) lim ( ) ( )

x

x

nn

n n nn n n

n nn n

F x f t dt M F x

f x x dx

f x x dx f x x dx f x x dx

M f x x dx f x dx M

M

δ δ

δ δδ δ δ

δ δ

δ δ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

δ ϕ ϕ ξ δ

δ

+ + +

+ +

− ∈ −

−→∞

−

− −→∞ →∞ →∞→ → →

− −

− −→∞ →∞→ →

= =

= + +

− ≤ = ≤

− ≤

∫

∫∫ ∫ ∫

∫ ∫1 1 1

10 0

0

lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) 0

2 lim ( ) ( ) 2

n n nn n n

nn

f x x dx f x dx M f x x dx

M f x x dx M

δ δδ δ

δ

δδ

ϕ ϕ ξ δ ϕ

δ ϕ δ

+ +

+

−→∞ →∞ →∞→ →

−→∞→

⎫⎪⎪⎪⎪= ≤ =⎬⎪⎪

− ≤ ≤ ⎪⎪⎭

∫ ∫ ∫

∫

七、设的收敛半径∑∞

=

=0

)(n

nn xaxf +∞=R ，令，试证明在[a,b] ∑

=

=n

k

kkn xaxf

0)( ))(( xff n

上一致收敛于 ( ))(xff ，其中[a,b]为任一有穷闭区间.

解：反正我觉得，证明他一致收敛，一致连续。然后，综合起来就可以了，这道题目写

的可能有一点乱。

24


0

1

0

0

0

( )( ) ( )

( ) , lim 0

Cauchy'( ) '( )

( )

, [ , ],

lim ( ) ( ) l

n

n

n

nn

n

nn

n

x x

f xf x f x

af x Ra

f x f x

f x a x

x x a b

f x f x

+

→∞

∞

=

→

= +∞ ⇒ =

=

∀ ∈

− =

∑

首先，在任意闭区间内一致连续。

接着证明，在任意闭区间内一致收敛于。

由于, 的收敛区间

利用收敛准则，和等比数列求和不难得到命题成立

另外，同样可以证明，在任意闭区间内一致收敛于。

下证在任意闭区间内一致连续。

0 0

0

0 01 1

0

0 0 00( )

0 0 0

0

im [ ( ) ( )] lim ( ) 0

( ) [ , ]'( )

[ , ],( ( )) ( ( )) ( ) ( ( ))lim lim '( ( ))

( ) ( ) ( )'( ( ))

n nN N n nx x x x n N n NN N

n

n x f xn

f x f x a x a x

f x a bf x

x a bf f x f f x f x f f x f f x

f x f x x f xf f x

∞ ∞

→ →= + = +→+∞ →+∞

→∞ →

− + −

∀ ∈− −

= =− −

∑ ∑

∵

所以，在内一致连续

同理，在任意闭区间内一致连续。

有 0 0lim ( ( )) ( ( ))nnf f x f f x

→∞=界，所以

=

25


26


2005 南京大学高代解答下页

27


1 2 3 4 5 1 2 3

1 2 3 1 2 3

11 21 31

12 22 32

1 2 3 13 23 33

14 24 34

15 25 35

11 21 31

1. ( , , , , ), 1,2,3; ( , , ), 1,2,3

, , .

, , 0

i i i i i i j j j ja a a a a i a a a j

a a a

a a a

xa a a

a a a

a a a

a a a

α = = β = =

α α α β β β

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥α α α =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

一、判断题

设

正确！如果线形相关，则，，线形相关

如果线形相关，齐次线性方程有非零解

所以秩

11 12 1312 22 32

21 22 2313 23 33

31 32 3314 24 34

15 25 35

11 12 13

21 22 23 1 2 3

31 32 33

3, 3

0

a a aa a a

a a aa a a

a a aa a a

a a a

a a a

a a a x

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ < ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦⎛ ⎞⎜ ⎟

= β β β⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

所以秩〈，那么齐次线性方程

也有非零解，所以，，线形相关

1 2 3

2.

3.

4.

, .

2 1 0 2 0 0 4 2 1

1 1 0 0 2 1 2 2 1

0 0 1 0 1 2 0 1 2

.

1 0 1 1

0 1 0 1

A B n AB

A B AB AB

n A B A B

A B A B A，B

V V V 是线性空间V的子空间

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

设都是阶正定的矩阵，则也是正定的

错误！设，，，显然非对称

如果阶方阵，有完全相同的特征值，则，相似

错误！，，，有完全相同的特征值，但不相似

，，1 2 3

1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

.

0 0

，而且任意两个的交为0 V V V

V P A，BC V A

AB AC B C

V P A，BC V

A A B B C C

AB AC B C

+

= =

ε = ε ε = ε = ε ε = ε ε = ε + ε ε =

= =

，则 + 是直和。正确！

设是数域上的有限维线性空间，，都是上的线性变换，并不是零变换

如果，则

错误！设是数域上的二维线性空间，定义，都是上的线性变换

，；，；，

得出，但！

5.

,

28


6 5 4 3 2

41 42 43 44

1. ( ) 10 6 _310 580 20 1115

(12) 2005

2 0 0 3

1 1 2 02. , 2 3 4 0

2 4 6 8

1 3 5 7

3. (1,2, 1), ( 1,2,1), (1, 2, 1), (2,3, 1)

(1,2,0),

f x x x x x x x

f

D A A A A

A diag B diag C diag D diag

G diag B D C G

与A相似的矩阵是：B

与A合

= − + − + −=

= + + + =

= − = − = − − = −=

二、填空

则

则

在实数域上，，，，中，

3 2

2 0 0

. 2 1 0 4 3 det( ) ?(210)

3 4 2

5. | | 1

1 2 2 1 2 2( ) ( )( )( 1)

3 3 3 3

1 0 0

1 2 20 0

3 3

1 2 20 0

3 3

同，但不相似的矩阵是：D

与A等价，但不合同，也不相似的矩阵是：C

4 A B A A E B

A A A

i if

i

i

⎛ ⎞−⎜ ⎟= = + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

λ = λ + + λ + − λ −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

− −⎜ ⎟⎝ ⎠

，，

1是三级正交矩阵，迹为，，则的特征多项式为？若当标准型为？

3

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

2

3

( , , ) 2 5 5 4 4 8

2 2 2

2 5 4

2 4 5

det( ) ( 1) ( 10)

( ) 10 (1,2, 2)'

( ) 1 ( 2,1,0)', (2,0,1)'

f x x x x x x x x x x x

E A

i

ii

= + + + − −

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

λ − = λ − λ −λ = α = −

λ = α = − α =1

2

三、用正交线性变换将二次型

化为标准型，并写出正交线性变换

该二次型对应的矩阵A=

当，对应的特征向量

当，对应的特征向量

然后用施

2 3(1,2, 2)'; ( 2,1,0)'; (2,4,5)'β = − β = − β =

1

密特法正交化

x

29


1 2 3

1

1

1

1 1 1 1

1 1

1 1

( , , ),

0

0

0 0

0 0

n

n

n

C X CY

四、设A，B都是数域上的n阶方阵，A有n个不同的特征值，AB = BA

证明B相似于对角阵

A n A

T T AT

AB = BA T ATT BT T BTT AT

T BT T BT

−

− − − −

− −

= β β β =

⎛ ⎞λ⎜ ⎟

= λ λ⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⎛ ⎞λ λ⎜ ⎟

=⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎜ ⎟⎝ ⎠

令变换

由于有个不同的特征值，所以可以对角化

也就是存在可逆矩阵，使得，，，互不相同

由于，所以

即

11 1 1 11 1

1

1 1

11 1 1

1

11 1 11

1

1

0

0

0

0

0

0

n

n n

n nn n n nn

n

n nn n

n

m mn n

a a a a

T BT

a a a a

a a

a a

a a a

T BT

a a a

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞λ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ λ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

… …

…

… …

，

设，所以

化简得出为对角阵，即

n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

，即证

( ( ), ( )) 1

( ) ( ( ), ( )) 1, ( ), ( ),

( ) ( ) ( ) ( ) 1, ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0, ( ) ( ) ,| ( )|| ( )| | | 1

( )! 0,

f

f(A) m f

i m f

m f A m A A f A E

m A A f A E A f A E

f A f(A)

λ λ⇔ λ λ =

λ λ = μ λ ν λ

μ λ λ + ν λ λ = μ + ν =

= ν = ν = ==

五、设m( )是数域P上n阶方阵A的最小多项式， ( )是数域P上的任意多项式

证明：可逆

若所以存在多项式使得

所以

又因为所以

所以从而可逆

( ( ( ), ( )) ( )

( )| ( ), ( )| ( )

( ) 0 ( ) 0

)

| ( )| ( ) ( )| 0,

1

若f(A)可逆 m f d

d m d f

d m

A d d A

d(A) = 0 d f f A f(A)

d

λ λ = λ∴ λ λ λ λ

λ λ = λ λ =

λ λ

λ λ =λ

0 0

0 0

ii) ，设

如果是的一个解，那么是的一个解

也就意味着是的一个特征值，且 ( )是 ( 的一个特征值

所以| ,由于，所以| 这与可逆矛盾

( )=

30


南京大学 2007 年攻读硕士学位研究生入学考试试题高等代数一、判断题（本题共 10 题，每小题 4 分，共 40 分）

1. 设 Q 是有理数域，则 { QiP }∈+= βαβα ,| 也是数域，其中 1−=i

解答：正确，如果 F（非空）中任两数的和差积商（除数不为零）仍属于 F 则称

F 为数域，根据数域的定义很容易判定 P 为数域。

2. 设 f(x)是数域 P 上的多项式， Pa∈ 。如果 a 是 f(x)的三阶导数的 k 重

根（）并且 f(a)=0,则 a 是 f(x)的 k+3 重根。

)(''' xf

1≥k解答：正确，该题的关键是 f(a)=0，若没有则不成立。

3. 设，则 f(x)在有理数域上不可约。 34)( 4 −= xxxf ＋

解答：正确，令 x=y+1，则 ,故根据埃森斯坦因判别

法得出它在有理数域上不可约。

2864)( 234 ++++= yyyyyf

4. 设都是整系数多项式，h(x)是有理系数多项式并且它们满足

，则 h(x)也是整系数多项式。

)(),( xgxf

)()()( xhxgxf =

解答：正确， h(x) 是有理系数多项式，故令

))(,()()( 11 为整系数多项式为整数， xhnmxhnmxh = ，所以有 )()()( 1 xhxg

nmxf = ，

而为整系数多项式，故1,, hgfnm

也应为整数，即 h(x)也是整系数多项式。

5. 级方阵可逆当且仅当 A 的伴随矩阵可逆。 )2( ≥nn *A

解答：正确，级方阵可逆行列式不为零。 )2( ≥nn

6. 设 s2121 , βββααα ………… ，与r 为两个 n 维向量组。若 rααα ……21, 可由

s21 βββ ……，线性表出且 sr ≤ ，则 rααα ……21, 线性无关。

解答：错误，该题容易和设向量组 r21 βββ ……，可以由向量组 sααα ……21 , 线性

表出，如果 sr > ，那么向量组 r21 βββ ……，线性相关相混淆。

7. 任意一个可逆对称矩阵的逆矩阵也是可逆对称矩阵。

解答：正确，可逆矩阵存在逆矩阵存在且可逆， BAEABABAB ==== ''')'(

8. 设为正定矩阵，则在 A 的所有元素中，绝对值最大者必在 A 的主对

角线上。

)( ijaA =

解答：正确，设 A 的主对角线上的最大元素为 (由于 A 正定，故 )，再kka 0>kka

31


根据当 ji ≠ 时有有22 )(,0)(|| ijjjiiijjjiijjji

ijii aaaaaaaaaa

>>−=

)(|| 2 jiaaaaa kkkkjjiiij ≠=≤<

9. 设是数域 P 上有限维线性空间 V 的子空间，并且

，则

21,V V

)()()( 21 VVV 维维维 =+ 21 VVV ⊕=

解答：正确，证明过程参见高教版高等代数（第二版）P268 的定理 9

10. 设 A 是 n 维线性空间 V 上的线性变换， n21 εεε ……，是 V 的一组基，如果 A

是单射，则 )()(),( 21 nAAA εεε …… 也是 V 的一组基。

解答：错误，基的条件是要它们线性无关，而由 A 是单射并不能保证

)()(),( 21 nAAA εεε …… 线性无关。

二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）

1．设，则f(x)中的系数为|

45980437200020

10854321

|)(

++

−+

=

xx

xx

xf 3x 6 ，常数项等于 16

解答：

)87)(2)(1(|45

43|)2)(1(|

45980437200020

10854321

|)( 2 −+−+=+

+−+=

++

−+

= xxxxx

xxx

xx

xx

xf

2．设实二次型，则的矩阵为 ))(323000121

)(,,(),,(

3

2

1

321321

xxx

xxxxxxf = ),,( 321 xxxf

)312101211

( ，符号差为 0

解答：二次型矩阵为对称矩阵，故不能直接把认为是二次型矩阵，一

般求解方法为 f(x)=X’BX, 则 A ＝（ B ＋ B’ ） /2 ；

,故符号差为 0。

)323000121

(

232

2321321 )()2(),,( xxxxxxxxf +−++=

32


3．实二次型是正定二次型

当且仅当λ满足条件 λ>1

32312123

22

21321 22425),,( xxxxxxxxxxxxf −−+++= λλ

解答：实二次型为正定二次型其矩阵为正定矩阵所有顺序主子式全大于零。

4．设 4 级数字矩阵 A 的最小多项式为，则 A 的全部不变因子为 1,1,(λ3)5( −λ

－5),( λ－5)^3 ，A 的特征多项式为 (λ－5)^4

解答：因 A 的最小多项式为，故，而它是四级矩阵，故3)5( −λ 34 )5()( −= λλd

)5()(3 −= λλd ，所有 A 的全部不变因子为 1,1,(λ-5),( λ-5)^3，特征多项式为

(λ-5)^4。

5．设 5 级数字矩阵 A 的特征多项式为，最小多项式为

，则 A 的全部行列式因子为

32 )2()1( −− λλ

2)2)(1( −− λλ

3254321 )2()1(),2)(1(,1 −−=−−==== λλλλ DDDDD ，A 的全部初等因子为

32 )2(,)1(),2(),1(,1,1,1 −−−− λλλλ

解答：因 A 的特征多项式为，最小多项式为，故

，而，所以

32 )2()1( −− λλ 2)2)(1( −− λλ

325 )2()1( −−= λλD 2

5 )2)(1( −−= λλd

)2)(1()2)(1/()2()1( 2324 −−=−−−−= λλλλλλD ， 1321 === DDD 。

6 ．设三维欧几里德空间 V 中一组基 321 ,εεε ，的度量矩阵为

，且⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

101040

102

3212 εεεα +−= ，则α 的长度为 ||α ＝ 3

解答： ),(|| aa=α ，而，所以9)11

2(*

101040102

*)1,1,2('),( =−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−== AXXaa

3),(|| == aaα

三、（15 分）设向量

)7,1,3,1(),9,5,4,2(),2,4,1,3(),1,3,0,5(),4,0,2,1( 54321 −=−−=−−==−= ααααα

1．求向量组 54321 ααααα ，，，，的秩；

33


2．求向量组 54321 ααααα ，，，，的一个极大线性无关组；

3．将向量组 54321 ααααα ，，，，中其余向量表为极大线性无关组的线性组合

解答：（1），故向量组

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−−

−

⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−

−−

−

111500000

0001500

4021

713195422413

13054021

54321 ααααα ，，，，的秩为 3

（2）由上述得知 521 ααα ，，为向量组 54321 ααααα ，，，，的极大线性无关组

（3） 52145213 2, αααααααα +−−=−+=

四、（15 分）设，把 A 分解为一个正交矩阵和一个上三角矩

阵的乘积。

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

122310211

A

解答：该题的理论部分参见高等教育出版社出版高等代数（第二版）P395 习题

14，求解过程为利用施密特（Schimidt）正交化过程。

令 )'1,3,2(,)'2,1,1(,)'2,0,1( 321 === ααα ，故 ),,( 321 ααα=A ，对 321 ,, ααα 正交

化得到 )53,0,

56(,)'0,1,0(,)'2,0,1( 321 −=== βββ ，标准化得

)'55,0,5

52(,)'0,1,0(,)'5

52,0,

55( 321 −=== γγγ

所以正交矩阵

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

=

550

552

010

5520

55

B ，上三角矩阵为

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

55300

310

55455

C ，故 A

＝BC。

五、（10 分）设 n 为正整数， )()(),( 21 xfxfxf n…… 都是多项式，并且

)()()(|1 1112

11

21 +−++− ……++++……++ nn

nnnnn xfxxxfxfxxxx ＋，证明：

)()()(|)1( 21 xfxfxfx nn ……−

证明：令 nεεε ……21，为的解，所以011 =++……++ − xxx nn

34


)n,2,1(011 ……==−+ iniε

因，所以)()()(|1 1112

11

21 +−++− ……++++……++ nn

nnnnn xfxxxfxfxxxx ＋

nεεε ……21，必然是的解，即： 0)()()( 1112

11 ＝+−++ ……++ n

nnnn xfxxxfxf

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=……++………………

=……++

−

−

0)1()1()1(

0)1()1()1(

12n1

11211

nn

n

nn

fff

fff

εε

εε

＋

＋

解此方程组得到 0)1()1()1( 21 =……== nfff ＝，所以 )n2,1()(|)1( ……=− ，ixfx i

即可得。 )()()(|)1( 21 xfxfxfx nn ……−

六、（10 分）设 A 为 n 级可逆矩阵，U，V 为 n*m 矩阵，是 m 级单位矩

阵。若，则

mE

mEUAV m <+− )'( 1秩 nUVA <+ )'(秩，其中表示 V 的转置。 'V

分析：该类型涉及比较秩大小的题目基本思路为利用初等行变换、分块矩阵和矩

阵秩与解个数的关系，看到该题目时首先想到构造分块矩阵证明但一直没有构造

成功，后改用矩阵秩与解个数关系证明。首先发现已知和证明部分是同变化趋势

即已知小于 m，证小于 n，若能找到和 'mEUAV +−1' UVA+ 的联系，即可证明。

证明：构造和0)'( 1 =+− XEUAV m 0)'( =+ XUVA ，故解的

个数为，

0)'( 1 =+− XEUAV m

)'( 1mEUAVm +− −秩 0)'( =+ XUVA 解的个数为 )'( UVAn +−秩，而

和

有相同的解个数，故，所以当

时有

0'0)'( 11 =+⇔=+ −− XUXAVXEUAV m 0'0)'( 1 =+⇔=+ − XXUVAXUVA

)'()'( 1 UVAnEUAVm m +−+− − 秩＝秩

mEUAV m <+− )'( 1秩 nUVA <+ )'(秩。

七、（15 分）设 A 是 n 级正定矩阵，B 是 n 级实矩阵并且 0 不是 B 的特征值，

证明： |||'| ABBA >+

分析：B 是 n 级实矩阵并且 0 不是 B 的特征值可得出 0|| ≠B ，即 B 可逆。而 BB'

为对称矩阵，故存在可逆矩阵 C 使它相似于对角矩阵即

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

……………………=−

n

2

1

1

000

000000

'

λ

λλ

BCBC )0( 21 >…… nλλλ，，而 A 又为 n 级正定矩

35


阵故存在可逆矩阵 D 使它相似于对角矩阵即

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

……………………=−

n

2

1

1

000

000000

γ

γγ

ADD

所以

|

000

000000

||

000

000000

||))('()(||'| 2

1

n

22

11

1

nn

CDBBACDBBA

γ

γγ

γλ

γλγλ

……………………>

……………………=+=+ −

＋

＋

＋

故有，整理一下分析过程即得证明过程。 |||'| ABBA >+

八、（15 分）设 A 是三级正交矩阵并且 1|| =A ，求证：

（1）1 是 A 的一个特征值

（2）A 的特征多项式 )(λf 可表示为，其中 a 是

某个实数。

1)( 23 −+−= λλλλ aaf

（3）若 A 的特征值全为实数并且 0|| ≠+ EA ，则 A 的转置，其

中 E 是 3 级单位矩阵。

EAAA 33' 2 +−=

证明：（1），故

，所以 1 是 A 的一个特征值；

||||)1(|||'||||'||| 3 AEAEEAEAAAAAAE −−=−−=−=−=−=−

0|| =− AE

（ 2 ）根据哈密尔顿－卡莱定理得到 A 的特征多项式 )(λf 为

，而根据（1）得出1)( 23 −+= λλλλ baf ＋ 1=λ 是 0)( =λf 的解故解得 a+b=0，

所以 1)( 23 −+−= λλλλ aaf

（3）因为 A 是三级正交矩阵，故 EAAAA == '' 即，而1|| 2=A 0|| ≠+ EA 故 1−＝λ

不是 A 的特征值，所以 11，＝λ 是 A 的特征多项式 )(λf 的解，代入得到 a=3，所

以 A 的特征多项式，即

，所以。

133)( 23 −+− λλλλ ＝f

EEAAAEAAA =+−⇔=−+− )33(033 223 EAAA 33' 2 +−=

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南京大学 2010 年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析

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数学分析与高等代数 考研真题详解 - 202.194.48.19

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