{ 范例 2.4} 摩擦力与速率成正比的圆周运动
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{ 范例 2.4} 摩擦力与速率成正比的圆周运动. 一质量为 m 的小球以速率 v 0 从固定于光滑水平桌面上、半径为 R 的圆周轨道内侧某点开始沿轨道内侧做圆周运动,小球运动时受轨道摩擦力大小与其速率 v 成正比,比例系数为 k 。速度和路程随时间变化的曲线有什么规律?法向加速度大小和切向加速度大小随时间变化的曲线有什么规律?法向加速度大小与切向加速度大小在什么时刻相等?. [ 解析 ] 如图所示,小球受到重力 m g ,桌面的支持力 N 1 ,轨道内侧的压力 N 2 ,轨道内侧摩擦力 f 四个力的作用。. N 1. v. N 2. f. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
{范例 2.4} 摩擦力与速率成正比的圆周运动一质量为 m的小球以速率 v0从固定于光滑水平桌面上、半径为 R的圆周轨道内侧某点开始沿轨道内侧做圆周运动,小球运动时受轨道摩擦力大小与其速率 v成正比,比例系数为 k。速度和路程随时间变化的曲线有什么规律?法向加速度大小和切向加速度大小随时间变化的曲线有什么规律?法向加速度大小与切向加速度大小在什么时刻相等?
[解析 ]如图所示,小球受到重力 mg,桌面的支持力 N1,轨道内侧的压力 N2,轨道内侧摩擦力 f四个力的作用。
N1 与 mg相互平衡,小球所受的合外力为 N2 + f, N2沿法线方向, f沿切线方向且与速度方向相反。
mg
N1
N2 fv
{范例 2.4} 摩擦力与速率成正比的圆周运动小球沿切线的运动方程为 -f = Fτ = mdv/dt,
由题意 f = kv,得微分方程 -kv = mdv/dt,mg
N1
N2 fv
分离变量得 dd
k vt
m v
积分得00 0
1d ln ln
vv
vv
k vt v v
m v v
变形得速率 0 exp( )kt
v vm
由于0d d exp( )d
ks v t v t t
m
积分得 0
0
exp( )dt k
s v t tm
0
0
exp( )tmv k
tk m
小球在 t时间内小球走过的路程为 0 [1 exp( )]mv k
s tk m
当 t→∞时, s→mv0/k,这是小球运动的全部路程。
{范例 2.4} 摩擦力与速率成正比的圆周运动
mg
N1
N2 fv
速率 0 exp( )kt
v vm
小球的法向加速度为当 t = 0时,法向加速度为 v0
2/R,这是初始向心加速度,用 a0表示。
切向加速度的大小为当 t = 0时,切向加速度的大小为 kv0/m,初始摩擦力的大小为为 kv0。令 an = aτ,可得
220
n
2exp( )
vv ka t
R R m
0τ
d| | exp( )
d
kvv ka t
t m m
0eexp( )
v k kt
R m m
解得时刻为
0e ln
mvmt
k kR
这里要求 mv0 > kR,否则法向加速度的大小就总是小于切向加速度。
小球的初速度越大,两个加速度大小相等的时刻就越大。
可得2 2
20e 2
0
( )v kR k R
aR mv m
可见:切向和法向加速度大小相等的值与初速度无关。
速率随时间单调减少,最后趋于零;路程随时间单调增加,最后趋于总路程。
初始摩擦力与初始向心力之比越大,切向加速度大小的初始值就越大,切向加速度都随时间减小。
法向加速度也随时间减小,法向向加速度的初值比较大而减小得比较快。
法向加速度与切向加速度交点的横坐标,就是法向加速度和切向加速度的大小相等的时刻。
例如,当 kR/mv0 = 0.2时,法向加速度和切向加速度的大小相等的时刻是 1.61τ,加速度的值是 0.04a0。
初始摩擦力与初始向心力的比值越大,切向加速度与法向加速度大小达到相等所需要的时间就越短,两个加速度相等的值则越大。