Лабораторная работа №2.Задачи линейного программирования: транспортная задача,

комбинаторные задачи.

Особый класс задач линейного программирования составляют транспортные задачи, для решения которых разработаны специальные методы. В этих методах используется специфическая структура функций ограничений.

Транспортная задача - это задача о наиболее экономном плане перевозок одно-родной или взаимозаменяемой продукции из пунктов производства (отправления) в пункты потребления, иными словами, транспортная задача заключается в определении такого плана перевозок продукции с m складов к n потребителям, при котором общая стоимость перевозок минимальна и все заявки выполнены.

Решение такого класса задач рассмотрим на примере задачи распределения товаров предприятий-производителей на торговые склады.

Задача 1. Три предприятия в городах Москвы, Калуги, Липецка могут про-изводить некоторую однородную продукцию, в количествах, соответственно равных 310, 260, 280 ед. Эта продукция должна быть поставлена на пять торговых складов г. Орла, г. Брянска, г. Курска, г. Тулы, г. Воронежа в количествах, соответственно равных 180, 80, 200, 160, 220 ед. Затраты, связанные с производством и доставкой единицы продукции (руб.) задаются матрицей:

[10 8 6 5 46 5 4 3 63 4 5 5 9 ]

Составить такой план прикрепления потребителей к поставщикам, при котором общие затраты являются минимальными.

Составим математическую модель, для чего введем следующие обозначения:Xij-количество единиц продукции, перевозимой из i-го предприятия производи-

теля на j-й торговый склад.Тогда условия доставки и вывоза необходимых единиц продукции обеспечива-

ются за счет выполнения следующих равенств:min F=10x11+8x12+6x13+5x14+4x15+6x21+5x22+4x23+3x24+6x25+3x31+4x32+5x33+5x34+9x35 (I)

x11+x12+x13+x147+x15 =310x21+x22+x23+x24+x25 =260x31+x32+x33+x34+x35 =280

(II)x11+x21+x31 = 180x12+x22+x32 = 80x13+x23+x33 = 200x14+x24+x34 =160x15+x25+x35 = 220

Таким образом, математическая постановка данной транспортной задачи состоит в нахождении такого неотрицательного решения системы линейных уравнений (II), при котором целевая функция (I) принимает минимальное значение.

Задача решается средствами Microsoft Excel.

Порядок выполнения:1. Открыть новый файл Excel.2. Для задачи, записанной в математической форме, создать таблицы (рис.1) и ввести ис-ходные данные. Первая таблица содержит план перевозок, вторая - затраты на перевозку.

Рис.13. Выделить клетки C3:G5 и начальное значение переменным присвоить равное единице, для этого ввести в клетку СЗ единицу и нажать клавиши Ctrl+Enter - единицы копируются во все выделенные клетки.4. Ввести в клетки C10:G12 затраты на перевозку из целевой функции (II).5. Выделить клетки ВЗ:В5. В клетку ВЗ на панели инструментов вызвать мастер функций fx. Выбрать категорию: Математические и Функцию: Сумм. Ввести адреса суммируемых клеток (C3:G3), нажать клавиши Ctrl+Enter. Формулы и результаты вычислений копируются во все выделенные ячейки(ВЗ:В5).6.Выделить клетки C6:G6. В клетку С6 вызвать Мастер функций fx. Выбрать категорию Математические и Функцию: Сумм. Ввести адреса суммируемых клеток (СЗ:С5) и нажать сочетание клавиш Ctrl+Enter. Формулы и результаты вычислений копируются во все выделенные ячейки.7. Выделить клетки C13:G13. В клетку С13 ввести формулу вычисления затрат на перевозку по потребителю г. Орла =С10*СЗ+С11*С4+С12*С5. Формулы и результаты вычислений по формулам копируются в ячейки С13:G13.8. В клетку В13 (целевая ячейка) вызвать Мастер функций fx. Выбрать категорию Ма-тематические и Функцию: Сумм. Ввести адреса суммируемых клеток C13:G13. ОК.9. Символьную информацию выровнять по центру, центрировать по столбцам. На панели инструментов с помощью кнопки "линии рамки" нарисовать обрамление таб-лицы, предварительно выделив, соответствующие столбцы и строки. 10. Для задачи, записанной в математической форме, создана форма и введены исходные данные, рассчитаны: столбец "Всего" и строка "Итого", целевая функция (рис.2.)

Рис. 211. Из меню Данные выбрать команду Поиск решения. На экране диалоговое окно Параметры поиска решения (рис.3)

Рис. 3

12. Назначить целевую функцию. Курсор в окно Установить целевую ячейку и ввести адрес В13.13. Ввести направление целевой функции. Минимум.14. Ввести адреса искомых переменных. Курсор в поле Изменяя ячейки. Ввести адреса C3:G5.15. Выбрать команду Добавить. На экране диалоговое окно Добавление ограничения(рис.4).

Рис. 416. Ввести ограничения по поставщикам-производителям и потребителям (рис.3).

17. Выбрать ОК после ввода последнего ограничения. 18. Ввести Найти решение. На экране : диалоговое окно Результаты поиска решения. Решение найдено (рис.5). 19. С помощью этого диалогового окна можно вызвать отчеты трех типов:

- результаты;- устойчивость;- пределы.

Выделить все три типа отчетов для вывода на экран.

Рис. 5

Анализ оптимального решения:При принятом критерии оптимальности получен оптимальный план перевозки то-

варов от предприятий-производителей на торговые склады (рис.6).Объемы перевозок отображены в отчете по результатам. Минимум затрат на пе-

ревозку составил 3200руб. Потребности потребителей удовлетворены полностью. Так как у предприятия-производителя товара изначально было больше, чем требуется по-требителям, то у первого производителя г.Москва осталось не востребовано 10 ед. товара.

Рис. 6Анализируя отчет по устойчивости можно сделать вывод, что данный оптимальный

план не единственный, так как, среди оценок оптимальности (столбец Приведенн.Стоимость), есть нулевые. Рассматривая столбец ТеньЦена можно сделатьвыводы, что при увеличении запасов товаров у поставщиков г. Калуги и г.Липецка на одну единицу приведет к уменьшению затрат на перевозку товара, соответственно, на 2р. и 1р. Уменьшение потребности торговых складов - приведет также к уменьшению затрат на перевозку, соответственно, на значение коэффициентов столбца Приведенн.Стоимость (двойственные оценки).

Данная модель задачи открытая (суммарные запасы превышают суммарные потребности). Для сведения задачи к закрытой модели вводится фиктивный пункт потребления с нулевыми затратами на перевозку и с запросами, равными разнице соответствующих сумм.

Ввести в таблицу изменения (рис.7) и решить задачу.

Рис.7

Задача 2. Товарный бетон производится на четырех заводах. В смену первый завод может выдать 120 м3 бетона, второй – 60 м3 бетона, третий – 180 м3, четвертый – 170 м3. Бетон используется на пяти строительных площадках. В смену на первой стройплощадке нужно 80 м3 бетона, на второй – 110 м3, на третьей – 130 м3, на четвертой – 90 м3, на пятой – 120 м3. Матрица стоимости перевозок показана в таблице 1.

Таблица 1.

ЗаводыСтройплощадки

1 2 3 4 51 11 6 5 3 82 2 4 9 6 73 4 8 7 10 124 8 3 5 2 6

Требуется определить: с какого завода на какую стройплощадку и в каком количестве следует возить бетон так, чтобы суммарные затраты на перевозки были бы минимальны.

Найти план перевозок и проанализировать полученный результат.Ответ: суммарные затраты на перевозки равны 2550 д.ед.

Задача 3. Задача коммивояжера.Имеется n городов. Расстояния (или время переезда) между любой парой

городов i и j известны и составляют cij (или tij) . Коммивояжер выезжает из какого-либо города и должен  посетить все города, побывав в каждом только один раз и вернуться в исходный город. Ставится задача определить такую последовательность объезда городов, или маршрут, при котором суммарная длина маршрута (или продолжительность) была бы минимальной.

Пусть имеется пять пунктов. Известно время перевозки из пункта i в пункт j (табл.2). Требуется найти такой маршрут, продолжительность которого будет наименьшей.

Таблица 2.Из

пункта i

В пункт j

1 2 3 4 5

1 0 10 25 25 102 1 0 10 15 23 8 9 0 20 104 14 10 24 0 155 10 8 25 27 0

Составим математическую модель:

min F=∑i=1

5

∑j=1

5

t ij x ij ,

∑i=1

5

x ij=1 ( i=1 ,…,5 ) ,∑j=1

5

x ij=1 , ( j=1 , …, 5 ) ,

xij = [0,1] (i,j = 1,…,5).

В задаче коммивояжера необходимо еще одно условие, а именно: x ij ≠ x ji, т.е. исключение возврата (образование «петли»). Ограничения будут выглядеть так:

X12+X21 ≤ 1, X24+X42≤ 1,X13+X31 ≤ 1, X25+X52 ≤ 1,X14+X41 ≤ 1, X34+X43 ≤ 1,X15+X51 ≤ 1, X35+X53 ≤ 1,X23+X32 ≤ 1, X45+X54 ≤ 1,

Ограничения для строк:X11+X12+X13+X14+X15 = 1,X21+X22+X23+X24+X25 = 1,X31+X32+X33+X34+X35 = 1,X41+X42+X43+X44+X45 = 1,X51+X52+X53+X54+X55 = 1,

Ограничения для столбцов:X11+X21+X31+X41+X51 = 1,X12+X22+X32+X42+X52 = 1,X13+X23+X33+X43+X53 = 1,X14+X24+X34+X44+X54 = 1,X15+X25+X35+X45+X55 = 1,

Целевая функция:F = c11x11+c12x12+c13x13+c14x14+c15x15+c21x21+c22x22+c23x23+c24x24+c25x25+c31x31+c32x32+c33x33+c34x34+c35x35+c41x41+c42x42+c43x43+c44x44+c45x45+c51x51+c52x52+c53x53+c54x54+c55x5

5

Решить задачу с помощью Excel. Проанализировать результат.

Ответ: X15=X52=X23=X34=X41=1, остальные Xij = 0. min F = 62.

Задача 4. Задача о назначениях.

Пусть для монтажа четырех объектов требуется четыре крана. Известно время монтажа каждым i-краном каждого j-го объекта (табл. 3).

Таблица 3.Код

крана iЗатраты времени на монтаж по объектам

1 2 3 41 3 7 5 82 2 4 4 53 4 7 2 84 9 7 3 8

Необходимо так распределить краны по объектам, чтобы суммарное время монтажа всех объектов было минимально, при условии, что за каждым краном закрепляется один объект.

Соответственно исходным данным задача формализуется:min F= 3x11+7x12+5x13+8x14+2x15+…+8x44,X11+X12+X13+X14+X15 = 1,X21+X22+X23+X24+X25 = 1,X31+X32+X33+X34+X35 = 1,X41+X42+X43+X44+X45 = 1,X11+X21+X31+X41+X51 = 1,X12+X22+X32+X42+X52 = 1,X13+X23+X33+X43+X53 = 1,X14+X24+X34+X44+X54 = 1,X15+X25+X35+X45+X55 = 1,Xij = [0,1] (i,j = 1,…,4).

Ответ: X11=X22=X33=X44 =1, min F = 17.

Задача 5. Задача о рюкзаке.Имеются 6 предметов, каждый из которых характеризуется ценой и весом (табл. 4).

Нужно выбрать из них такие предметы, чтобы:а) их общий вес не превышал 12, а суммарная стоимость была бы максимальной;б) при тех же условиях, но предметы Х2 и Х5 являются взаимоисключающими.

Таблица 4. Предме

тВес Цена

X1 9 20X2 8 16X3 6 11X4 5 9X5 4 7X6 1 1

Ответ: а) x2=x5=1, стоимость = 23, б) x3=x5=x6=1, стоимость = 19.

Задача 6. В автомобиль грузоподъемностью 3000 кг требуется загрузить четыре вида предметов массой 2, 5, 7, 10 кг и стоимостью 12, 15, 14, 20 ден. ед. /шт. так, чтобы их суммарная стоимость была максимальной. При этом нужно загрузить не менее 100 шт. предметов первого вида, 50 шт. – второго вида, 40 шт. – третьего, 20 шт. четвертого вида.

Хi – целые. Ответ: Х = (1135, 50, 40, 20), max F = 15330.

Задача 7. Имеется три участка земли, на которых могут быть засеяны кукуруза, пшеница, ячмень и просо. Площадь каждого из участков соответственно равна 600, 800 и 220 га. С учетом наличия семян кукурузой, пшеницей, ячменем и просом следует соответственно засеять 290, 180, 110 и 420 га. Урожайность каждой из культур для каждого из участков различна и задается матрицей

(40 45 5030 28 2218 22 1424 18 16

)Определить, сколько гектаров каждой культуры на каждом из участков следует

засеять так, чтобы общий сбор зерна был максимальным.

Ответ: максимальный сбор зерна 22150.