物理数学ifrontier.phys.kyushu-u.ac.jp/kawai/butsurisuugaku1/...p 3 2)) = 1 4 (exp(ˇ 6)+exp(ˇ...

物理数学Ｉ

線形代数学の復習

関数空間 (ヒルベルト空間)

常微分方程式

偏微分方程式

複素数

(x, y) ∈ R

z = x + iy

x = Re z xは zの実部、real part

y = Im z yは zの虚部、imaginary part

x− iy : zの共役複素数, complex conjugate

z∗ = x− iy

(z∗)∗ = z

(x, y) ∈ R

z = x + iy

z の絶対値：|z||z| =

√x2 + y2

|z|2 = x2 + y2

z∗ z = (x− iy)(x + iy)

= x2 + y2

|z|2 = z∗ z

指数関数

e : ネイピア数, Napier’s constant

e = limN→∞

(1 +1

N)N

= limN→∞

N∑ℓ=0

(NCℓ)1

N ℓ

= limN→∞

N∑ℓ=0

1

ℓ!

N !

(N − ℓ)!N ℓ

= limN→∞

N∑ℓ=0

1

ℓ!

N

N

N − 1

N

N − 2

N· · ·N − ℓ + 1

N

=

∞∑ℓ=0

1

ℓ!

e = 2.718281828459045235360287471352 · · ·

f (z) =∞∑n=0

1

n!zn

f (z1)f (z2) =

( ∞∑n=0

1

n!zn1

)( ∞∑m=0

1

m!zm2

)

=

∞∑n=0

∞∑m=0

1

n!m!zn1z

m2

=

∞∑ℓ=0

ℓ∑n=0

1

n!(ℓ− n)!zn1z

ℓ−n2

(ℓ = n +m→ m = ℓ− n)

=

∞∑ℓ=0

1

ℓ!

(ℓ∑

n=0

ℓ!

n!(ℓ− n)!zn1z

ℓ−n2

)

=

∞∑ℓ=0

1

ℓ!

(ℓ∑

n=0

(ℓCn) zn1z

ℓ−n2

)

=

∞∑ℓ=0

1

ℓ!(z1 + z2)

ℓ

= f (z1 + z2)

z ∈ C

f (z) =

∞∑n=0

1

n!zn

f (z) = Xz

f (1) = X

f (1) =∞∑n=0

1

n!= e

ez = exp(z) =

∞∑n=0

1

n!zn

θ ∈ R

eiθ =

∞∑n=0

1

n!(iθ)n

eiθ =

∞∑n=0

1

n!(iθ)n

= 1 + iθ − 1

2θ2 − i 1

3!θ3 + · · ·

=

∞∑n=0

1

(2n)!(−1)nθ2n + i

∞∑m=0

1

(2m + 1)!(−1)mθ2m+1

= cos(θ) + i sin(θ)

cos(θ) =

∞∑n=0

1

(2n)!(−1)nθ2n

sin(θ) =∞∑m=0

1

(2m + 1)!(−1)mθ2m+1

オイラー (Euler)の公式

θ ∈ R

eiθ = cos(θ) + i sin(θ)

cos(θ) =

∞∑n=0

1

(2n)!(−1)nθ2n

sin(θ) =

∞∑m=0

1

(2m + 1)!(−1)mθ2m+1

(x, y) ∈ R

z = x + iy

exp(z) = exp(x + iy)

= ex exp(iy)

= ex(cos y + i sin y)

(r, θ) ∈ R

z = r(cos θ + i sin θ)

z = reiθ

z1 = r1eiθ1

z2 = r2eiθ2

z1z2 = r1eiθ1r2e

iθ2

= r1r2ei(θ1+θ2)

z1z2

=r1e

iθ1

r2eiθ2

=r1r2ei(θ1−θ2)

eiz = cos(z) + i sin(z)

cos(z) =

∞∑n=0

1

(2n)!(−1)nz2n

sin(z) =∞∑m=0

1

(2m + 1)!(−1)mz2m+1

cos(z) =1

2(eiz + e−iz)

sin(z) =1

2i(eiz − e−iz)

例えば

z =π

3+ i

π

6

cos(z) =1

2(exp(iz) + exp(−iz))

=1

2(exp(i

π

3− π

6) + exp(−iπ

3+π

6))

=1

2(exp(−π

6) exp(i

π

3) + exp(

π

6) exp(−iπ

3))

=1

2(exp(−π

6)(1

2+ i

√3

2) + exp(

π

6)(1

2− i√3

2))

=1

4(exp(−π

6) + exp(

π

6)) + i

√3

4(exp(−π

6)− exp(

π

6))

スカラー：「大きさ」のみを持つ量。

イタリックで表示　　 x，m，L，· · ·

ベクトル: 「大きさ」と「方向」も持っている量。

「大きさ」と「方向」を持っているというだけでは、必ずしもベクトルとは言えない。

スカラーと区別するために太い文字のイタリックで表示

x，v，A，a，b，· · ·

たとえば、点の位置を rと書き、原点からの距離を rと書く

ベクトルが満たす演算法則

交換則 : A +B = B +A

結合則 : A + (B +C) = (A +B) +C

(ab)A = a (bA) = b (aA)

分配則 : a (A +B) = aA + aB

ベクトルの例：　速度、加速度、力、運動量、角運動量、角速度 · · ·テンソルについては、この講義の範囲を超える。

n個のベクトルA1, A2, . . . , Anを考える

A1, A2, . . . , Anはいずれもゼロベクトルではないとする。

c1A1 + c2A2 + · · · + cnAn = 0

が成立するとき、必ず

(c1, c2, · · · , cn)の全てがゼロであるときn個のベクトルA1, A2, . . . , Anは線形独立である。

線形独立でなければ、線形従属である。

線形従属な n個のベクトルを考え

c1A1 + c2A2 + · · · + cnAn = 0.......(1)

が成立し、cℓ = 0とする。　

式 (1)は

Aℓ = −c1cℓA1 −

c2cℓA2 · · · −

cℓ−1cℓAℓ−1 −

cℓ+1

cℓAℓ+1 · · · −

cncℓAn

と変形される。

AℓはAℓ以外のベクトルの線形結合で表される。

n個の線形独立なベクトルA1, A2, . . . , Anを考える

係数の組を２組考える。

B = c1A1 + c2A2 + · · · cnAn......(2)

B = c′1A1 + c′2A2 + · · · c′nAn......(3)

が成立すると仮定する。

式 (2)−式 (3)から

(c′1 − c1)A1 + (c′2 − c2)A2 + · · · (c′n − cn)An = 0

が成立する。

A1, A2, . . . , Anは線形独立なので、

(c′1 − c1) = 0, (c′2 − c2) = 0, · · · (c′n − cn) = 0

が成立する。

つまり、

n個の線形独立なベクトルA1, A2, . . . , Anの線形結合

B = c1A1 + c2A2 + · · · cnAn

を満たす係数の組 (c1, c2, · · · , cn)は１組しか存在しない。

線形空間の次元（ベクトル空間の次元）: 線形独立なベクトルの最大個数

n次線形空間の n個の線形独立なベクトルの組を基底ベクトルと呼ぶ。

たとえば、３次元空間で、x軸、y軸、y軸に平行で大きさが１のベクトル ex, ey, ezは

３次元空間の基底ベクトルである。

(ex + ey + ez, ey − ez, −2ex + ey + ez)も３次元空間の基底ベクトルである。

n次線形空間の基底ベクトルのセット（組）は無限セット存在する。

ベクトルの内積（スカラー積）

A ·B = |A||B| cos θ (0 ≤ θ ≤ π)

|A|2 = A ·AA ⊥ B ←→ A ·B = 0

|ex|2 = ex · ex = 1, |ey|2 = ey · ey = 1, |ez|2 = ez · ez = 1

ex · ey = 0, ey · ez = 0, ez · ex = 0

n次元空間で、i番目軸に平行で大きさが１のベクトル eiは

n次元空間の基底ベクトルである。

ei · ej = δi,j

(δi,j =

1, i = j

0, i = j

)

n次元空間のベクトルに対して

A = c1e1 + c2e2 + · · · + cnen

cℓ = eℓ ·A→ 係数 cℓは一義的に存在する。

つまり、係数のセット (c1, c2, · · · cn)とAは一対一に対応する。(成分表示)

A←→

c1c2c3...

cn

, A =

c1c2c3...

cn

A =(c1, c2, c3, · · · , cn

)と書くこともある。

この講義では、特に断らない場合は

A =

c1c2c3...

cn

とする


A = a1e1 + a2e2 + · · · + anen

B = b1e1 + b2e2 + · · · + bnen

2組の係数 aℓ, bℓ (ℓ = 1, 2, · · · , n)が全て実数の場合を考える。

A ·B =∑i,j

(aibj)ei · ej =n∑i=1

(aibi)ei · ei =n∑i=1

(aibi)

|A|2 =n∑i=1

a2i

|A| =

√√√√ n∑i=1

a2i


A = a1e1 + a2e2 + · · · + anen

B = b1e1 + b2e2 + · · · + bnen

2組の係数 aℓ, bℓ (ℓ = 1, 2, · · · , n)が複素数の場合を考える。

A ·B の成分表記がn∑i=1

(aibi)だとすると

|A|2 =n∑i=1

a2iとなる。aiが複素数なので、a2iは複素数

つまり、|A|2が複素数になる。これは、矛盾している。

2組の係数 aℓ, bℓ (ℓ = 1, 2, · · · , n)が複素数の場合の内積の拡張

A ·B =∑i,j

(a∗i bj)ei · ej =n∑i=1

(a∗i bi)ei · ei =n∑i=1

(a∗i bi)

|A|2 = A ·A =

n∑i=1

a∗iai =

n∑i=1

|ai|2

|A| =

√√√√ n∑i=1

|ai|2

B ·A = (A ·B)∗

行列

m× n行列 (m行–n列の行列)A

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 a2n... . . . ...

am1 am2 · · · amn

A = (aij), (A)ij = aijと書くこともある。

A = (aij)と B = (bij)の積 C = AB (C)ij = cij

cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + · · · + ainbnj =n∑ℓ=1

aiℓbℓj

行列 A = (aij)に対する重要な演算

転置 (transpose) tA = AT (tA)ij = aji 行と列の入れ替え

複素共役 (complex conjugate) A∗ (A∗)ij = a∗ij 行列要素の複素共役

エルミート共役 (Hermitian conjugate) A† = (tA)∗ (A†)ij = a∗ji 置換して複素共役をとる

†: dagger ダガー

n次元ベクトルA =

a1a2...

an

, B =

b1b2...

bn

A† =

(a∗1, a

∗2, · · · , a

∗n

)A ·B =

n∑ℓ=1

a∗ℓbℓ = A†B

行列の列ベクトルによる表現

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 a2n... . . . ...


j 列の列ベクトル

aj =

a1ja2j...

amj

A =

(a1, a2, · · · , an

)

行列の行ベクトルによる表現

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 a2n... . . . ...


i行の行ベクトルtai =

(ai1, ai2, · · · , ain

)

A =

ta1ta2...

tam

A =

ta1ta2...

tam

B =

(b1, b2, · · · , bn

)(AB)ij = a

∗i · bj

行列 A, B

行列の積に対する重要な変換規則t(AB) =tB tA

(AB)∗ = A∗ B∗

(AB)† = B† A†

行と列の大きさが同じ行列：正方行列（ square matrix）

重要な正方行列

対称行列 (symmetric matrix) tA = A

交代行列 (alternative matrix) tA = −Aエルミート行列 (Hermitian matrix) A† = A

反エルミート行列 (Anti-Hermitian matrix) A† = −Aユニタリー行列 ( unitary matrix) A† = A−1

(A†A = AA† = I)

(I：単位行列)

対称行列の例 : A =

(1 2 + i

2 + i 3

)

交代行列の例 : A =

(0 1 + i

−1− i 0

)

エルミート行列の例 : A =

(1 3 + i

3− i 2

)

反エルミート行列の例 : A =

(i 1 + 3i

−1 + 3i 2i

)

A：ユニタリー行列

A =(a1, a2, · · · , an

), A† =

ta∗1ta∗2...ta∗n

(A†A)ij = (

ta∗1ta∗2...ta∗n

(a1, a2, · · · , an))ij = ai · aj = δij

ユニタリー行列の列ベクトルの大きさは、全て 1

ユニタリー行列の列ベクトルは互いに直交する


B = A†とすると

AA† = B†B = I なので

ユニタリー行列の行ベクトルの大きさは、全て 1

ユニタリー行列の行ベクトルは互いに直交する

ユニタリー行列の例

A =

1√2

1√2i

1√2i 1√

2

A =

1√3

1+i√3

−1+i√3

1√3


B：ユニタリー行列

(AB)† = B† A†

(AB)† AB = B† A†AB = B† B = I

従って

(AB)† = (AB)−1

ユニタリー行列の積はユニタリー行列

行列式

|A| = detA ≡∑∀P

sgn(P )a1ℓ1a2ℓ2 · · · anℓn

置換

P =

(1, 2, · · · , nℓ1, ℓ2, · · · , ℓn

)

置換

P =

(1, 2, · · · , nℓ1, ℓ2, · · · , ℓn

)

I =

(1, 2, · · · , n1, 2, · · · , n

)恒等置換

３次置換の例

P =

(1, 2, 3

1, 3, 2

)P =

(1, 2, 3

3, 1, 2

)ℓ1 = 1

ℓ2 = 3

ℓ3 = 2

ℓ1 = 3

ℓ2 = 1

ℓ3 = 2

互換

n次の置換で i, j だけを入れ替える置換を互換とよび

(i, j)と表す

(i, j) =

(1, 2 · · · i · · · j · · · n1, 2 · · · j · · · i · · · n

)n次の置換は互換の積で表される

たとえば(1, 2, 3

3, 1, 2

)= (1, 3)(1, 2) = (2, 3)(1, 3) = (1, 2)(1, 3)(2, 3)(1, 2)

(1, 2, 3, 4

2, 4, 3, 1

)= (2, 4)

(1, 2, 3, 4

2, 1, 3, 4

)= (2, 4)(1, 2)

(1, 2, 3, 4

1, 2, 3, 4

)= (2, 4)(1, 2)

(1, 2, 3, 4

2, 4, 1, 3

)= (2, 4)

(1, 2, 3, 4

2, 3, 1, 4

)= (2, 4)(2, 3)

(1, 2, 3, 4

2, 1, 3, 4

)

= (2, 4)(2, 3)(1, 2)

(1, 2, 3, 4

1, 2, 3, 4

)= (2, 4)(2, 3)(1, 2)

置換 P が ℓ個の互換の積で表されるとき

sgn(P ) = (−1)ℓ

行列式

|A| = detA ≡∑∀P


置換

P =

(1, 2, · · · , nℓ1, ℓ2, · · · , ℓn

)

たとえば

det

(1 2

3 4

)= 1× 4− 2× 3 = −2

det

1 2 3

4 5 6

7 8 1

= (1× 5× 1)− (1× 6× 8)

−(2× 4 × 1) + (2× 6× 7)

+(3× 4 × 8)− (3× 5× 7)

= 5− 48− 8 + 84 + 96− 105 = 24

detA ≡∑∀P


行列の積

A : n行−m列の行列 B : m行− n列の行列

m = n : det(AB) = detA · detBn > m : det(AB) = 0

n < m : det(AB) =∑

(ℓ1,···ℓn)det(A(ℓ1, · · · ℓn))× det(B(ℓ1, · · · ℓn))

∑(ℓ1,···ℓn)

: (1, 2, · · ·m)の中から順番を保持して

n個を選ぶ全ての組み合わせの和

A(ℓ1, · · · ℓn) : Aの ℓ1, · · · , ℓn列から構成される小行列B(ℓ1, · · · ℓn) : B の ℓ1, · · · , ℓn行から構成される小行列

たとえば

A =

(a11 a12 a13a21 a22 a23

)B =

b11 b12b21 b22b31 b32

det(AB)

=

∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣∣ ·∣∣∣∣∣b11 b12b21 b22

∣∣∣∣∣ +∣∣∣∣∣a11 a13a21 a23

∣∣∣∣∣ ·∣∣∣∣∣b11 b12b31 b32

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣a12 a13a22 a23

∣∣∣∣∣ ·∣∣∣∣∣b21 b22b31 b32

∣∣∣∣∣

U：ユニタリー行列

U† U = I

det(U† U) = det I

(detU∗) · detU = 1

(detU)∗ · detU = 1

| detU | = 1

ユニタリー行列の行列式の絶対値は 1である

n個の n次元ベクトルで構成されるセット

a1, · · · ,anが線形独立であることの必要十分条件は|(a1 · · · an

)| = 0

n次元の正方行列 A = (aji)の i行と j 列を除いて得られる、

n− 1次元の行列の行列式を Aの (i; j)小行列式という。

それに符号 (−1)i+jを掛けたものを (i; j)余因子といい、

∆ij(A)と書く。特に、混乱がない場合は∆ijと書く。

A = (aij)

j 列を除く

∆ij(A) = (−1)ij

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · · · · a1n... ...... ...

an1 · · · · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ i 行を除く

たとえば

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∆11 =

∣∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣∣ = a22a33 − a23a32

∆12 = −

∣∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣∣ = −a21a33 + a23a31

∆23 = −

∣∣∣∣∣a11 a12a31 a32

∣∣∣∣∣ = −a11a32 + a12a31

∆31 =

∣∣∣∣∣a12 a13a22 a23

∣∣∣∣∣ = a12a23 − a13a22

行列式の余因子展開

A = (aij) : n次元の正方行列

detA =∑ℓ

a1ℓ∆1ℓ =∑ℓ

a2ℓ∆2ℓ

... ... ... ... ...

=∑ℓ

anℓ∆nℓ

=∑ℓ

aℓ1∆ℓ1

... ... ... ... ...

=∑ℓ

aℓn∆ℓn

たとえば∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣ = a11

∣∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣∣− a12∣∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣∣ + a13

∣∣∣∣∣a21 a22a31 a32

∣∣∣∣∣= a11

∣∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣∣− a21∣∣∣∣∣a12 a13a32 a33

∣∣∣∣∣ + a31

∣∣∣∣∣a12 a13a22 a23

∣∣∣∣∣

逆行列

A−1 =1

detA

∆11 ∆21 · · · ∆n1∆12 ∆22 · · · ∆n2... ... ... ...

∆1n ∆2n · · · ∆nn

=

1

detAt∆(A)

(A−1)ij =1

detA∆ji

正方行列 Aが逆行列を持つための必要十分条件は

detA = 0

連立１次方程式：線形連立方程式

ここでは、未知数の数と条件式の数が同じものに限る。

A : n次元行列, b : n次元ベクトル

Ax = b

detA = 0のとき逆行列 A−1が存在して

x = A−1b

(x)i =1

detA

∑ℓ

∆ℓibℓ

=1

detA

∑ℓ

bℓ∆ℓi

i 列

=1

detA

∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · b1 · · · a1n... ... ... ...

an1 · · · bn · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣i 列

=

∣∣(a1 · · · b · · · an)∣∣detA

　　クラーメル (Cramer) の公式

線形連立斉次方程式

Ax = 0

detA = 0→ x = 0

Ax = 0が

x = 0の解を持つためには detA = 0であることが必要

3次元ベクトル (実数に限定する)

A =

a1a2a3

, B =

b1b2b3

, C =

c1c2c3

, D =

d1d2d3

外積

A×B =

∣∣∣∣∣a2 a3b2 b3

∣∣∣∣∣ ex −∣∣∣∣∣a1 a3b1 b3

∣∣∣∣∣ ey +∣∣∣∣∣a1 a2b1 b2

∣∣∣∣∣ ez

=

∣∣∣∣∣∣∣ex ey eza1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣

C · (A×B) = (c1ex + c2ey + c3ez) ·

∣∣∣∣∣∣∣ex ey eza1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣c1 c2 c3a1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣b1 b2 b3c1 c2 c3a1 a2 a3

∣∣∣∣∣∣∣C · (A×B) = B · (C ×A) = A · (B ×C)

重要な公式

A× (B ×C) = (A ·C)B − (A ·B)C

(A×B) · (C ×D) = (A ·C)(B ·D)− (A ·D)(B ·C)

C · (A×B) = B · (C ×A) = A · (B ×C)

固有値と固有ベクトル

行列 Aが与えられたとき次の式を満たす

スカラーλとベクトル x (|x| = 0)が求まるとき

λを固有値 xを固有ベクトルという。

Ax = λx

たとえば２次元行列

A =

(a11 a12a21 a22

)のとき

(a11 a12a21 a22

)(x1x2

)= λ

(x1x2

)

(a11 − λ a12a21 a22 − λ

)(x1x2

)= 0

(a11 − λ)x1 + a12x2 = 0 · · · (1)a21x1 + (a22 − λ)x2 = 0 · · · (2)

(1)から

x1 : x2 = a12 : (λ− a11) · · · (3)

(2)から

x1 : x2 = (λ− a22) : a21 · · · (4)

(3), (4)から

a12 : (λ− a11) = (λ− a22) : a21 · · · (5)

(5)から

(λ− a11)(λ− a22)− a21a12 = 0

つまり

det

((a11 − λ) a12a21 (a22 − λ)

)= 0

det(A− λI) = 0

n次元行列

A =

a11 · · · a1n... ... ...

an1 · · · ann

Ax = λx (x = 0)a11 − λ a12 · · · a1na21 a22 − λ · · · a2n... . . . ...

an1 · · · · · · ann − λ

x1x2...

xn

= 0

(x = 0)なので x1, x2, · · · xnの少なくとも１つはゼロでない。xℓ = 0とするa11 − λ a12 · · · a1na21 a22 − λ · · · a2n... . . . ...

an1 · · · · · · ann − λ

(x1/xℓ)

(x2/xℓ)...

1...

(xn/xℓ)

= 0

a11 − λ a12 · · · a1na21 a22 − λ · · · a2n... . . . ...

an1 · · · · · · ann − λ

(x1/xℓ)

(x2/xℓ)...

1...

(xn/xℓ)

= 0 · · · · · · (1)

独立な変数は

(x1/xℓ), · · · (xℓ−1/xℓ), (xℓ+1/xℓ), · · · , (xn/xℓ) → (n− 1)個

自由度は、 (n− 1)

式 (1)の独立な条件式が n個の場合

(条件式の数 > 独立な変数の数)となり式 (1)には解が存在しない。

式 (1)の独立な条件式の数は

(A− λI)の階数、つまり rank(A− λI)

rank(A− λI) < n　のとき

式 (1)には解が存在する。

式 (1)に解が存在するための条件

det(A− λI) = 0　固有方程式

線形連立斉次方程式

Ax = 0 detA = 0→ x = 0

Ax = 0が

x = 0の解を持つためには detA = 0であることが必要

固有値と固有ベクトル

Ax = λx (x = 0)

(A− λI)x = 0

固有値λが存在するためには

det(A− λI) = 0　固有方程式

n次元正方行列 Aの固有方程式 (det(A− λI) = 0)　

は斉次方程式であり、その次数は nである

λn + cn−1λn−1 + · · · + c1λ + C0 = 0

n次元正方行列 Aの固有方程式 (det(A− λI) = 0)　は

n個の解を持つ (m重根はm個と数える。)

n次元正方行列 Aの固有方程式 (det(A− λI) = 0)　の

解は実数とは限らない。複素数の場合もある。

固有ベクトルの大きさは決定されない。

実ベクトル空間から実ベクトル空間への線形変換は、

実行列で表される

実行列の複素数（実数でない）固有値に属する

固有ベクトルは複素ベクトルである。

実ベクトル空間の線形変換は、

実ベクトル空間の中では、固有値を持たないことがある。

たとえば

A =

(1 −41 1

)Ax = λx

det(A− λI) = 0

(1− λ)(1− λ) + 4 = 0

固有値：　λ = 1± 2i

固有ベクトル：　

(2

∓i

)

(1 −41 1

)(2

∓i

)= (1± 2i)

(2

∓i

)

n次元正方行列 A = (aij)の n個の固有値を

λ1, · · · , λnとする。

trA =

n∑ℓ=1

aℓℓ =n∑ℓ=1

λℓ

detA = Πnℓ=1λℓ

detA = 0であるための必要十分条件は

Aが大きさゼロの固有値をもたないことである。

n次元正方行列 Aの相異なる固有値

λ1, · · · , λm (m ≤ n)に属する

固有ベクトルを

x1, · · · ,xmとする。x1, · · · ,xmは線形独立である。

Aの各固有値に属する固有空間の次元が、

固有値それぞれの重複度に一致するとき

Aの全ての固有ベクトルは線形独立である。

H：エルミート行列 (H = H†)

Hx = λx

x†Hx = λx†x = λ|x|2

(Hx)† = (λx)†

x†H = λ∗x†

x†Hx = λ∗x†x = λ∗|x|2

エルミート行列の固有値は実数である。

U：ユニタリー行列 (U−1 = U†)

Ux = λx

(Ux) · (Ux) = (λx)†(λx) = |λ|2|x|2

(Ux) · (Ux) = (Ux)†(Ux) = x†U† Ux = |x|2

ユニタリー行列の固有値は、

絶対値１の複素数である。

たとえば

H =

(1 2i

−2i 1

)Hx = λx → det(H − λI) = 0

(1− λ)(1− λ)− 4 = 0→ 固有値：　λ = −1, 3


1√2

1√2i

1√2

− 1√2i

(

1 2i

−2i 1

) 1√2

1√2i

= −

1√2

1√2i

(

1 2i

−2i 1

) 1√2

− 1√2i

= 3

1√2

− 1√2i

たとえば

U =

1√3

1+i√3

−1+i√3

1√3

Ux = λx

det(U − λI) = 0 → (1√3− λ)2 + 2

3= 0

固有値：　λ =1√3± i√

2

3


(1 + i

±i√2

)→ 1

2

(1 + i

±i√2

)

たとえば

U =

1√2

1√2

− 1√2

1√2

Ux = λx

det(U − λI) = 0 → (1√2− λ)2 + 1

2= 0

固有値：　λ =1√2± i 1√

2= exp(±iπ

4)


(1

±i

)→ 1√

2

(1

±i

)

H : エルミート行列

λ1, λ2 : H の固有値

λ1 = λ2

x1, x2 : λ1, λ2に属する固有ベクトル

x2 · (Hx1) = λ1x2 · x1x2 · (Hx1) = x

†2Hx1 = (Hx2)

†x1 = λ2x†2x1 = λ2x2 · x1

(エルミート行列の固有値は実数)

λ1x2 · x1 = λ2x2 · x1λ1 = λ2なので x2 · x1 = 0

エルミート行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する

U : ユニタリー行列

λ : U の固有値 x : λに属する固有ベクトル

(U − λI)x = 0

0 = ((U − λI)x) · ((U − λI)x) = x†(U† − λ∗I)(U − λI)x= x†(U − λI)(U† − λ∗I)x (U†U = UU†を使った。)

((U† − λ∗I)x)†(U† − λ∗I)x = 0

(U† − λ∗I)x = 0

U†x = λ∗x

ユニタリー行列 U の固有値λに属する固有ベクトルは

ユニタリー行列 U†の固有値λ∗に属する固有ベクトルである。

U : ユニタリー行列

λ1, λ2 : U の固有値

λ1 = λ2

x1, x2 : λ1, λ2に属する固有ベクトル

x2 · (Ux1) = λ1(x2 · x1)x2 · (Ux1) = x

†2Ux1 = (U†x2)

†x1 = (λ∗2x2)†x1 = λ2x

†2x1 = λ2(x2 · x1)

λ1 = λ2なので x2 · x1 = 0

ユニタリー行列の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する

相似な行列

A : n次の正方行列

B : n次の正方行列

B = Q−1AQ となる正則行列Qが存在するとき

(Q : n次元の正方正則行列 (detQ = 0))

Aと B は相似であるという。

det(B − λI) = det(Q−1AQ− λQ−1Q) = det(Q−1(A− λI)Q)= detQ−1 det(A− λI) detQ = det(A− λI)

互いに相似な行列の固有値は一致する

A，B : 互いに相似な n次の正方行列

B = Q−1AQ

detB = det(Q−1AQ) = detQ−1 detA detQ = detA

互いに相似な行列の行列式は一致する

trA = trB, rankA = rankB


Aの固有値： λ1, λ2, · · · , λnAの固有ベクトル x1, x2, · · · ,xnλℓに属する固有ベクトル xℓ

Ax1 = λ1x1, Ax2 = λ2x2, · · · , Axn = λnxn

A(x1,x2, · · · ,xn) = (x1,x2, · · · ,xn)

λ1 0. . .

0 λn

たとえば A =

(1 −41 1

)(1 −41 1

)(2

−i

)= (1 + 2i)

(2

−i

)

(1 −41 1

)(2

i

)= (1− 2i)

(2

i

)

(1 −41 1

)(2 2

−i i

)=

(2 2

−i i

)((1 + 2i) 0

0 (1− 2i)

)


Aの固有値： λ1, λ2, · · · , λn λℓに属する固有ベクトル xℓ

Q = (x1,x2, · · · ,xn)

AQ = Q

λ1 0. . .

0 λn

detQ = 0のときQ−1が存在する。

Q−1が存在するとき、Aは対角化できる

Q−1AQ =

λ1 0. . .

0 λn

←→ A = Q

λ1 0. . .

0 λn

Q−1

たとえば A =

(1 −41 1

)(1 −41 1

)(2 2

−i i

)=

(2 2

−i i

)((1 + 2i) 0

0 (1− 2i)

)

(2 2

−i i

)−1=

14

12i

14 −

12i

1

412i

14 −

12i

(1 −41 1

)(2 2

−i i

)=

((1 + 2i) 0

0 (1− 2i)

)

三角化


Aの固有値： λ1, λ2, · · · , λn

命題

n次の正方行列 Aは適切なユニタリー行列 U によって、

つぎのように三角化される。

U−1AU =

λ1 ∗

λ2. . .

0 λn

帰納法による証明

(n− 1)次以下の正方行列に対して命題が成立していると仮定する。

n = 1に対しては、命題は成立している。

第１列目の列ベクトルが Aの固有値λ1に属する固有ベクトル

であるユニタリー行列

U = (x1,u2, · · · ,un) Ax1 = λ1x1

U−1AU =

(λ1 C

0 D

)C : 1行× (n− 1)列の行列

D : (n− 1)行× (n− 1)列の行列

U−1AU =

(λ1 C

0 D

)Aと

(λ1 C

0 D

)は互いに相似(

λ1 C

0 D

)の固有値は Aと同じなので、

Dの固有値はλ2, · · · , λnである。帰納法の仮定からDは (n− 1)次のユニタリー行列 Un−1を使って

U−1n−1DUn−1 =

λ2 ∗. . .

0 λn

と三角化される。

D = Un−1

λ2 ∗. . .

0 λn

U−1n−1

U−1 A U =

(λ1 C

0 D

)=

λ1 C

0 Un−1

λ2 ∗. . .

0 λn

U−1n−1

=

(1 0

0 Un−1

)λ1 ∗

λ2. . .

0 λn

(1 0

0 Un−1

)−1

U−1 A U =

(1 0

0 Un−1

)λ1 ∗

λ2. . .

0 λn

(1 0

0 Un−1

)−1

(1 0

0 Un−1

)−1U−1 A U

(1 0

0 Un−1

)=

λ1 ∗. . .

0 λn

Un = U

(1 0

0 Un−1

)はユニタリー行列

U−1n A Un =

λ1 ∗. . .

0 λn

命題が証明された。

たとえば

A =

(0 −11 2

)固有方程式 det

(−λ −11 2− λ

)= 0

λ(λ− 2) + 1 = 0→ (λ− 1)2 = 0→ λ = 1

固有ベクトル x =

1√2

− 1√2

(0 −11 2

) 1√2

1√2

− 1√2− 1√

2

=

1√2

1√2

− 1√2− 1√

2

(1 0

0 1

)

det

1√2

1√2

− 1√2− 1√

2

= 0なので、対角化できない。

対角化できないが、三角化できる。

A =

(0 −11 2

)

固有値λ = 1 固有ベクトル x =

1√2

− 1√2

U =

1√2

1√2

− 1√2

1√2

U−1 =

1√2− 1√

21√2

1√2

U−1AU =1

2

(1 −11 1

)(0 −11 2

)(1 1

−1 1

)=

(1 −20 1

)三角化できた

エルミート行列の対角化

H : n次のエルミート行列固有値λ1, · · · , λn

ユニタリー行列 U によって三角化できる。

U†HU =

λ1 ∗. . .

0 λn

(U†HU)† = U†H†U = U†HU → U†HU はエルミート行列λ1 ∗

. . .

0 λn

はエルミート行列

λ1 ∗. . .

0 λn

=

λ1 0. . .

0 λn

U†HU =

λ1 0. . .

0 λn

エルミート行列はユニタリー行列によって対角化できる。

ユニタリー行列の対角化

U : n次のユニタリー行列固有値λ1, · · · , λn

ユニタリー行列Uによって三角化できる。

U†UU =

λ1 ∗. . .

0 λn

(U†UU)† U†UU = U†U†U U†UU = U†U†UU = U†U = I

U†UUはユニタリー行列→

λ1 ∗. . .

0 λn

はユニタリー行列

λ1 ∗. . .

0 λn

=

λ1 0. . .

0 λn

U†UU =

λ1 0. . .

0 λn

ユニタリー行列はユニタリー行列によって対角化できる。

エルミート行列、ユニタリー行列の固有ベクトルと対角化

A : n次のエルミート行列またはユニタリー行列

Aはユニタリー行列 U を使って対角化できる

U†AU =

λ1 0. . .

0 λn

→ AU = U

λ1 0. . .

0 λn

U = (u1,u2, · · · ,un)と書くu1,u2, · · · ,unは互いに直交する。 |x1| = · · · = |xn| = 1

AU = U

λ1 0. . .

0 λn

なので Auℓ = λℓuℓ

A : n次のエルミート行列またはユニタリー行列

Aはユニタリー行列 U を使って対角化できる

U = (u1,u2, · · · ,un)と書くu1,u2, · · · ,unは互いに直交する。 |x1| = · · · = |xn| = 1 = 0

AU = U

λ1 0. . .

0 λn

なので Auℓ = λℓuℓ (ℓ = 1, · · ·n)

uℓは固有値λℓに属する固有ベクトル

エルミート行列またはユニタリー行列の固有ベクトルの全てを

互いに直交するように取れる。

エルミート行列またはユニタリー行列の固有方程式がm重根λ(m)を

持つとき、λ(m)に属する固有ベクトル空間はm次元である。

λ(m)に属するm個の互いに直交する固有ベクトルが存在する。

エルミート行列、ユニタリー行列は列ベクトルが固有ベクトルである

ユニタリー行列 U を使って対角化できる。

たとえば

H =

(1 2i

−2i 1

)固有値− 1, 3

固有ベクトル

1√2

1√2i

1√2

− 1√2i

1√

2− 1√

2i

1√2

1√2i

( 1 2i

−2i 1

) 1√2

1√2

1√2i − 1√

2i

=

(−1 0

0 3

)

たとえば

H =

4 0 0

0 3 1 + i

0 1− i 2

固有方程式

(4− λ)((3− λ)(2− λ)− 2) = 0→ (λ− 4)2(λ− 1) = 0

固有値 4, 4, 1

固有ベクトル

c11 + i

1

c21 + i

1

0

1 + i

−2

(c1 = c2)

固有ベクトル c11 + i

1

,

c21 + i

1

,

0

1 + i

−2

(c1 = c2)

c1 = 1, c2 = −3とすれば互いに直交する。 1

1 + i

1

,

−31 + i

1

,

0

1 + i

−2

1に規格化すると 1

21+i212

,

−√32

1+i2√3

12√3

,

01+i√6

−√

23

12

1−i2

12

−√32

1−i2√3

12√3

0 1−i√6−√

23

4 0 0

0 3 1 + i

0 1− i 2

12 −

√32 0

1+i2

1+i2√3

1+i√6

12

12√3−√

23

=

4 0 0

0 4 0

0 0 1

たとえば U =

1√3

1+i√3

−1+i√3

1√3

固有値：λ =

1√3± i√

2

3固有ベクトル：

(1+i2±i 1√

2

)1−i

2 −i1√2

1−i2 i 1√

2

1√3

1+i√3

−1+i√3

1√3

(

1+i2

1+i2

i 1√2−i 1√

2

)

=

1√3+ i√

23 0

0 1√3− i√

23

たとえば

U =

1√2

1√2

− 1√2

1√2

固有値: exp(±iπ

4) 固有ベクトル：

1√2

± 1√2i

1√

2− 1√

2i

1√2

1√2i

1√2

1√2

− 1√2

1√2

1√

21√2

1√2i − 1√

2i

=

(exp(iπ4) 0

0 exp(−iπ4)

)

正規行列

A†A = AA†を満足する行列を正規行列という。

エルミート行列とユニタリー行列は正規行列である。

エルミート行列でもユニタリー行列でもない正規行列が存在する。

たとえば(i 0

0 2

)はエルミート行列でもユニタリー行列でもない正規行列である。

n次の正規行列 Aの固有値λに属する固有ベクトルは

n次の正規行列 A†の固有値λ∗に属する固有ベクトルである。

n次の正方行列 Aがユニタリー行列 U によって対角化できるための

必要十分条件は、Aが正規行列であることである。

正規行列の固有ベクトルの全てを互いに直交するように取れる。

A, B を供に n次の正規行列とする。

A, B が１つのユニタリー行列によって同時に対角化できる

ための必要十分条件は、AB = BAである。

=====ベクトル解析の復習=============

簡単化のために、議論を３次元以下に限定する。

内積の規則を実数のものに限定する。

偏微分∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

∂

∂xf (x, y, z) = lim

ε→0

f (x + ε, y, z)− f (x, y, z)ε

∂

∂yf (x, y, z) = lim

ε→0

f (x, y + ε, z)− f (x, y, z)ε

∂

∂zf (x, y, z) = lim

ε→0

f (x, y, z + ε)− f (x, y, z)ε

たとえば

f (x, y, z) = x + 2y3 + xy + xz2

∂

∂xf (x, y, z) = 1 + y + z2

∂

∂yf (x, y, z) = 6y2 + x

∂

∂zf (x, y, z) = 2xz

全微分と偏微分の関係d

dxi=∑ℓ

(dxℓdxi

)∂

∂xℓ

(x1 = x, x2 = y, x3 = z)

たとえば

f (x, y, z) = x + 2y3 + xy + xz2

y = 3x, z = x2

d

dxf = (

dx

dx)(∂

∂xf ) + (

dy

dx)(∂

∂yf ) + (

dz

dx)(∂

∂zf )

= (1 + y + z2) + 3(6y2 + x) + (2x)(2xz)

= (1 + 3x + x4) + 3(54x2 + x) + (2x)(2xx2)

= 1 + 6x + 162x2 + 5x4

x = g1(q1, q2, q3), y = g2(q1, q2, q3), z = g3(q1, q2, q3)

d

dqi=∑ℓ

(∂xℓ∂qi

)∂

∂xℓ

微分演算子

∇ : ナブラ；ベクトル微分演算子

∇ = ex∂

∂x+ ey

∂

∂y+ ez

∂

∂z

∇ =

∂∂x

∂∂y

∂∂z

f スカラー

∇f = gradf : 勾配；gradient

∇f = (∂

∂xf )ex + (

∂

∂yf )ey + (

∂

∂zf )ez

df = ∇f (r) · (r) = (dr · ∇)f (r)

A = Axex + Ayey + Azez : ベクトル。

∇ ·A = divA : 発散；divergence

∇ ·A = ((∂

∂x)ex + (

∂

∂y)ey + (

∂

∂z)ez) · (Axex + Ayey + Azez)

=∂

∂xAx +

∂

∂yAy +

∂

∂zAz

A = Axex + Ayey + Azez : ベクトル。

∇×A = rotA : 回転；rotation

∇×A = ((∂

∂x)ex + (

∂

∂y)ey + (

∂

∂z)ez)× (Axex + Ayey + Azez)

=

∣∣∣∣∣∣∣ex ey ez∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ax Ay Az

∣∣∣∣∣∣∣= (

∂

∂yAz −

∂

∂zAy)ex + (

∂

∂zAx −

∂

∂xAz)ey + (

∂

∂xAy −

∂

∂yAx)ez

∇2 = ∇ · ∇ = ∆ =∂2

∂x2+∂2

∂y2+∂2

∂z2

: ラプラスの演算子、ラプラシアン；　 Laplacian operator

f = div(gradf ) =∂2

∂x2f +

∂2

∂y2f +

∂2

∂z2f

∇2A = (∂2

∂x2+∂2

∂y2+∂2

∂z2)Axex + (

∂2

∂x2+∂2

∂y2+∂2

∂z2)Ayey

+(∂2

∂x2+∂2

∂y2+∂2

∂z2)Azez

rot gradf = ∇×∇f = 0

div rotA = ∇ · (∇×A) = 0

rot rotA = ∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A

div(fA) = ∇ · (fA) = (∇f ) ·A + f (∇ ·A)

rot(fA) = ∇× (fA) = (∇f )×A + f (∇×A)

grad(A ·B) = ∇(A ·B)

= (A · ∇)B + (B · ∇)A +A× (∇×B) +B × (∇×A)

div(A×B) = ∇ · (A×B)

= (∇×A) ·B − (∇×B) ·A

rot(A×B) = ∇× (A×B)

= −(∇ ·A)B + (∇ ·B)A− (A · ∇)B + (B · ∇)A

A · ∇ = (Ax∂

∂x+ Ay

∂

∂y+ Az

∂

∂z)

∇|r − r′| = ∇((x− x′)2 + (y − y′)2 + (y − y′)2)1/2

= ((x− x′)2 + (y − y′)2 + (y − y′)2)−1/2(r − r′) = r − r′

|r − r′|

grad(1

|r − r′|) = ∇( 1

|r − r′|) = − r − r′

|r − r′|3

rotA(r′)|r − r′|

= ∇× A(r′)|r − r′|

= A(r′)× r − r′

|r − r′|3

∇2(1

|r − r′|) = −4πδ(r − r′)

∇ · r − r′

|r − r′|3= 4πδ(r − r′)

ガウスの定理

閉局面 Sを考える。

閉局面 Sに囲まれた領域を Vとする。

閉局面 Sと x軸に平行な直線との交点が２つ以下。

閉局面 Sと y軸に平行な直線との交点が２つ以下。

閉局面 Sと z軸に平行な直線との交点が２つ以下。

閉局面 Sの xy平面への投影を Dとする。

Dを底とする柱面と閉局面 Sは、S上の閉曲線 Lで接する。

閉局面 Sは、閉曲線 Lで上下に分割される。

分割された面は

z = Gu(x, y), z = Gd(x, y), (Gd ≤ Gu)

と表される。

∫Vdx dy dz

∂Az(x, y, z)

∂z

=

∫Ddx dy (Az(x, y,Gu(x, y))− Az(x, y,Gd(x, y)))

=

∫SudS nzAz(x, y, z) +

∫Sd

dS nzAz(x, y, z)

=

∫SdS nzAz(x, y, z)

n = (nxex + nyey + nzez):

面積要素 dS の外向き単位法線ベクトル

∫Vdx dy dz

∂Az(x, y, z)

∂z=

∫SdS nzAz(x, y, z)∫

Vdx dy dz

∂Ay(x, y, z)

∂y=

∫SdS nyAy(x, y, z)∫

Vdx dy dz

∂Ax(x, y, z)

∂x=

∫SdS nxAx(x, y, z)

∫Vdx dy dz ∇ ·A(x, y, z) =

∫SdS n ·A(x, y, z)

∫Vdx dy dz ∇ ·A(x, y, z) =

∫SdS ·A(x, y, z)

ガウスの定理

圧力が P = P0 − gρ1zの媒質に体積 V の物体を沈めたときの浮力

Fz =

∫SdS nz(−P0 + gρ1z)

=

∫Vdx dy dz (gρ1) = gρ1V = gM

M : 排除体積の媒質の質量, ρ1: 媒質の密度

媒質に体積 V の物体を沈めたときの浮力は

排除体積の媒質の重さに一致する。

アルキメデスの原理

ストークスの定理∮C　 dℓ ·A =

∫SdS · (∇×A)

デルタ関数∫ ∞−∞

dx exp(−x2) =√π∫ ∞

−∞dx

1√π σ

exp(−(xσ

)2) = 1

D(x) = lim0<σ, σ→0

1√π σ

exp(−(xσ

)2)

デルタ関数

D(x) = lim0<σ, σ→0

1√π σ

exp(−(xσ

)2)∫ ∞

−∞dx D(x) = 1

D(x) =

0, x = 0

∞, x = 0

∫ x

−∞dx′D(x′) = S(x) =

0, x < 0

1/2 x = 0

1, 0 < x

デルタ関数

f (x) : 開区間 (a, b)で連続関数

(a < x < b)∫ b

adx′ f (x′)D(x′ − x)

=[f (x′)S(x′ − x)

]ba −

∫ b

adx′

(d

dx′f (x′)

)S(x′ − x)

= f (b)−∫ b

xdx′

(d

dx′f (x′)

)= f (b)−

[f (x′)

]bx

= f (x)

デルタ関数

δ(x) : デルタ関数∫ ∞−∞

dx δ(x) = 1

δ(x) =

0, x = 0

∞, x = 0


(a < x < b)∫ b

adx′ f (x′)δ(x′ − x) = f (x)

lim0<σ, σ→0

1√π σ

exp(−(xσ

)2) = δ(x)

デルタ関数

別の説明


(a < (α− ε) < x < (α + ε) < b)

finf : 区間 (α− ε) < x < (α + ε)での f (x)の下限

fsup : 区間 (α− ε) < x < (α + ε)での f (x)の上限

I =

∫ b

adx′ f (x′)δ(x′ − α)

=

∫ α+ε

α−εdx′ f (x′)δ(x′ − α)

finf

∫ α+ε

α−εdx′ δ(x′ − α) ≤ I ≤ fsup

∫ α+ε

α−εdx′ δ(x′ − α)

デルタ関数∫ α+ε

α−εdx′ δ(x′ − α) = 1

finf

∫ α+ε

α−εdx′ δ(x′ − α) ≤ I ≤ fsup

∫ α+ε

α−εdx′ δ(x′ − α)

finf ≤ I ≤ fsup

lim0<ε,ε→0

を取ると fsup − finf → 0

I =

∫ b

adx′ f (x′)δ(x′ − α) = f (α)

デルタ関数

デルタ関数の機能と性質∫ ∞−∞

dx δ(x) = 1

δ(x) =

0, x = 0

∞, x = 0

f (x) : x = αの近傍で連続

(a < α < b)∫ b

adx′ f (x′)δ(x′ − α) = f (α)

(α < a) or (b < α)∫ b

adx′ f (x′)δ(x′ − α) = 0

デルタ関数とは、積分に於ける機能であり、いろいろな表現がある。

例えば

limT→0+

1

exp(xT ) + 1= S(−x)

limη→0+

exp(−xη )

η(exp(−xη ) + 1)2= δ(x)


例えばη

x2 + η2∫ ∞−∞

dx′η

(x′)2 + η2=

1

η2

∫ ∞−∞

dx′η

(x′η )

2 + 1

=

∫ ∞−∞

dx′1

(x′)2 + 1

=[arctanx′

]∞−∞

= π

デルタ関数

例えば

x = 0のとき

lim0<η, η→0

η

x2 + η2= lim

0<η, η→0

η

x2= 0

x = 0のとき

lim0<η, η→0

η

x2 + η2= lim

0<η, η→0

η

η2=∞∫ ∞

−∞dx′

η

x2 + η2= π

lim0<η, η→0

1

π

η

x2 + η2= δ(x)

∇ · r − r′

|r − r′|3= 4πδ(r − r′)の説明

div(fA) = ∇ · (fA) = (∇f ) ·A + f (∇ ·A)

r − r′

|r − r′|3=

(x− x′)ex + (y − y′)ey + (z − z′)ez((x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)3/2

r − r′ = 0のとき

∇((x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)−3/2

= −3((x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)−5/2

·((x− x′)ex + (y − y′)ey + (z − z′)ez)(∇((x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)−3/2

)·((x− x′)ex + (y − y′)ey + (z − z′)ez

)= −3((x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)−3/2

∇ ·((x− x′)ex + (y − y′)ey + (z − z′)ez

)= 3

r − r′ = 0のとき∇ · r − r′

|r − r′|3= 0

ガウスの定理を使うと∫Vdv ∇ · r

|r|3=

∫SdSn · r

|r|3

(n =r

|r|)

=

∫ π

0dθ

∫ 2π

0dϕ R2 sin θ

1

R2= 4π

∇ · r − r′

|r − r′|3= 4πδ(r − r′)

電磁気学の初歩 (静的な場合に限定)

E =1

4πε0

∫dv′ρ(r′)

r − r′

|r − r′|3(ρ(r): 電荷密度)

E = − 1

4πε0∇∫

dv′ρ(r′)|r − r′|

∇ ×E = 0

∇ ·E =1

4πε0∇ ·∫

dv′ρ(r′)r − r′

|r − r′|3

=1

ε0

∫dv′ρ(r′)δ(r − r′)

=ρ(r)

ε0

B =µ04π

∫dv′j(r′)× r − r′

|r − r′|3(j(r): 電流密度)

B =µ04π∇×

∫dv′

j(r′)|r − r′|

∇ ·B = 0

∇×B

=µ04π∇×∇×

∫dv′

j(r′)|r − r′|

=µ04π∇∫

dv′j(r′) · ∇ 1

|r − r′|

−µ04π

∫dv′j(r′)∇2 1

|r − r′|

(∇ 1

|r − r′|= −∇′ 1

|r − r′|)

(∇2 1

|r − r′|= −4πδ(r − r′))

∇×B

=µ04π∇∫

dv′j(r′) · ∇ 1

|r − r′|

−µ04π

∫dv′j(r′)∇2 1

|r − r′|

= −µ04π∇∫

dv′j(r′) · ∇′ 1

|r − r′|+ µ0j(r)

= µ0j(r) +µ04π∇∫

dv′1

|r − r′|∇′ · j(r′)

時間変化しない場合（静的な場合）は、∇ · j(r) = 0

静的な場合

∇×B = µ0j

常微分方程式 (ordinary differential equation)

—未知関数の変数が一つの微分方程式—

最も重要で、簡単な常微分方程式

１階線形同次微分方程式

d

dtx(t) = Ax(t) · · · (1)

(A: 定数)

x = x exp(A(t− t0))と書く。（xの定義）dx

dt= Ax exp(A(t− t0) +

dx

dtexp(A(t− t0)) · · · (2)

(2)を (1)に代入

Ax +dx

dtexp(A(t− t0)) = Ax→ dx

dt= 0→ x = C: 定数

x(t) = C exp(A(t− t0))→ t = t0を代入して C = x(t0)と解る

１階線形同次微分方程式

d

dtx(t) = Ax(t)の一般解は

(A: 定数)

x(t) = x(t0) exp(A(t− t0))

d

dtx(t) = Ax(t) +B

(A, B: 定数, A = 0)

d

dtx(t) = A(x(t) +

B

A)

y = (x(t) +B

A)と定義する

d

dty = Ay

y = y(t0) exp(A(t− t0))→ x = −BA

+ y(t0) exp(A(t− t0))

１階線形非同次微分方程式d

dtx(t) = A(t)x(t) +B(t) · · · (1)

x = x exp(

∫ t

t0

dτA(τ ))と書く。（xの定義）

x(t0) = x(t0)

d

dtexp(

∫ t

t0

dτA(τ )) = A(t) exp(

∫ t

t0

dτA(τ ))なので

d

dtx = A(t)x exp(

∫ t

t0

dτA(τ )) +dx

dtexp(

∫ t

t0

dτA(τ ))

= A(t)x +dx

dtexp(

∫ t

t0

dτA(τ )) · · · (2)

(2)を (1)に代入

dx

dtexp(

∫ t

t0

dτA(τ )) = B(t)

dx

dt= exp(−

∫ t

t0

dτA(τ ))B(t)

x = x(t0) +

∫ t

t0

dτ1 exp(−∫ τ1

t0

dτ2A(τ2))B(τ1)

x(t) = x exp(

∫ t

t0

dτA(τ ))

= x(t0) exp(

∫ t

t0

dτA(τ ))

+

∫ t

t0

dτ1 exp(−∫ τ1

tdτ2A(τ2))B(τ1)

１階線形非同次微分方程式d

dtx(t) = A(t)x(t) +B(t)

の一般解

x(t) = x(t0) exp(

∫ t

t0

dτA(τ ))

+

∫ t

t0

dτ1B(τ1) exp(−∫ τ1

tdτ2A(τ2))

たとえばd

dtx = (x + 1) cosωt

x(t) = x(0) exp(1

ωsinωt)

+

∫ t

0dτ exp(− 1

ω(sinωτ − sinωt)) cosωτ

= x(0) exp(1

ωsinωt)

+

[− exp(− 1

ω(sinωτ − sinωt))

]t0

= x(0) exp(1

ωsinωt) + exp(

1

ωsinωt)− 1

別の解法d

dtx = (x + 1) cosωt

y = x + 1→ y = x

y = y cosωt

y = y(0) exp(1

ωsinωt)

x = y − 1, y(0) = x(0) + 1

x = (x(0) + 1) exp(1

ωsinωt)− 1

２階線同次微分方程式

x = −kx

x1 = x, x2 = xと定義する。

x1 = x2

x = x2 = −kx1

x =

(x1x2

)

x =

(0 1

−k 0

)x

A =

(0 1

−k 0

)x = Ax

det(A− λI) = 0→ λ2 + k = 0

固有値 iω, −iω (ω =√k)

固有ベクトル

(1

iω

),

(1

−iω

)

Q =

(1 1

iω −iω

)

A = Q

(iω 0

0 −iω

)Q−1

A = Q

(iω 0

0 −iω

)Q−1

x = Ax

x = Q

(iω 0

0 −iω

)Q−1x

Q−1x =

(iω 0

0 −iω

)Q−1x(

y1y2

)= y = Q−1x, yの定義

y =

(iω 0

0 −iω

)y

y1 = iωy1

y2 = −iωy2

y1 = y1(0) exp(iωt)

y2 = y2(0) exp(−iωt)(x1x2

)= Q

(y1(0) exp(iωt)

y2(0) exp(−iωt)

)

x = x1 = y1(0) exp(iωt) + y2(0) exp(−iωt)

x = −kx の一般解は、

x = c1 exp(iωt) + c2 exp(−iωt)= d1 cosωt + d2 sinωt

= A sin(ωt + ϕ)

(ω =√k)

d1 = c1 + c2

d2 = ic1 − ic2A =

√d21 + d22

A sinϕ = d1

A cosϕ = d2

２階線非同次微分方程式

x = −kx + f (t)

A =

(0 1

−k 0

)= Q

(iω 0

0 −iω

)Q−1

Q =

(1 1

iω −iω

), Q−1 =

(12 −i

12ω

12 i 12ω

)

x = Ax +

(0

f (t)

)

x = Q

(iω 0

0 −iω

)Q−1x +

(0

f (t)

)

Q−1x =

(iω 0

0 −iω

)Q−1x +Q−1

(0

f (t)

)

Q−1x =

(iω 0

0 −iω

)Q−1x +Q−1

(0

f (t)

)y = Q−1x, yの定義

y =

(iω 0

0 −iω

)y +Q−1

(0

f (t)

)y1 = iωy1 − i

1

2ωf (t)

y2 = −iωy2 + i1

2ωf (t)

y1 = y1(0) exp(iωt) +1

2iω

∫ t

0dτ exp(iω(t− τ ))f (τ )

y2 = y2(0) exp(−iωt)−1

2iω

∫ t

0dτ exp(−iω(t− τ ))f (τ )

y1 = y1(0) exp(iωt) +1

2iω

∫ t

0dτ exp(iω(t− τ ))f (τ )

y2 = y2(0) exp(−iωt)−1

2iω

∫ t

0dτ exp(−iω(t− τ ))f (τ )

x = y1 + y2

= y1(0) exp(iωt) + y2(0) exp(−iωt) +1

ω

∫ t

0dτ f (τ ) sin(ω(t− τ ))

x = −kx + f (t)の一般解

x(t) = c1 exp(iωt) + c2 exp(−iωt) +1

ω

∫ t

0dτ f (τ ) sin(ω(t− τ ))

ω =√k

２階線同次微分方程式

x = −ω20x− 2βx

の解法

x1 = x

x2 = x

x1 = x2

x2 = −ω20x1 − 2βx2

x =

(0 1

−ω20 −2β

)x

A =

(0 1

−ω20 −2β

)固有値

λ+ = −β +√β2 − ω20

λ− = −β −√β2 − ω20

固有ベクトル(1

λ+

),

(1

λ−

)

A =

(0 1

−ω20 −2β

)

Q =

(1 1

λ+ λ−

)λ+ = λ−のとき、つまりβ2 = ω20のとき

A = Q

(λ+ 0

0 λ−

)Q−1

β2 = ω20のとき

x = Ax→ x = Q

(λ+ 0

0 λ−

)Q−1x

y = Q−1x, yの定義

y =

(λ+ 0

0 λ−

)y

y1 = λ+y1

y2 = λ−y2

y1 = y1(0) exp(λ+t)

y2 = y2(0) exp(λ−t)

x = Qyなので

x = y1 + y2

x = y1(0) exp(λ+t) + y2(0) exp(λ−t)

x = −ω20x− 2βx(t)

の一般解 (ω20 = β2)

x = c1 exp(λ+t) + c2 exp(λ−t)

λ+ = −β +√β2 − ω20

λ− = −β −√β2 − ω20

β2 = ω20のとき

A =

(0 1

−ω20 −2β

)は対角化できない。

三角化はできる。

A =

(0 1

−β2 −2β

)(β : 実数)

固有方程式λ(λ + 2β) + β2 = 0→ (λ + β)2 = 0

固有値λ = −β,−β

固有ベクトル

(1

−β

),

(1

−β

)

U =1√

1 + β2

(1 β

−β 1

)U−1AU =

1

1 + β2

(1 −ββ 1

)(0 1

−β2 12β

)(1 β

−β 1

)=

(−β 1 + β2

0 −β

)

A = U

(−β 1 + β2

0 −β

)U−1

y =

(−β 1 + β2

0 −β

)y

y = U−1x

y1 = −βy1 + (1 + β2)y2

y2 = −βy2

y1 = −βy1 + (1 + β2)y2

y2 = −βy2

y2 = y2(0) exp(−βt)y1 = −βy1 + y2(0)(1 + β2) exp(−βt)

y1 = y1(0) exp(−βt)

+

∫ t

0dτy2(0)(1 + β2) exp(−βτ ) exp(−β(t− τ ))

= y1(0) exp(−βt) + y2(0)(1 + β2) exp(−βt)∫ t

0dτ

= y1(0) exp(−βt) + y2(0)(1 + β2)t exp(−βt)

x =1√

1 + β2(y1 + βy2)

x =1√

1 + β2(y1(0) + y2(0)β) exp(−βt)

+1√

1 + β2y2(0)(1 + β2) t exp(−βt)

↑因子 ”t”の存在を忘れないように。

x = −β2x− 2βx(t)

の一般解

x = c1 exp(−βt) + c2t exp(−βt)

２階線非同次微分方程式

x = −ω20x− 2βx(t) + f (t)

の解法

x1 = x

x2 = x

x1 = x2

x2 = −ω20x1 − 2βx2 + f (t)

A =

(0 1

−ω20 −2β

)

Q =

(1 1

λ+ λ−

)λ+ = λ−のとき、つまりβ2 = ω20のとき

A = Q

(λ+ 0

0 λ−

)Q−1

β2 = ω20のとき

y = Q−1x, yの定義

y =

(λ+ 0

0 λ−

)y +Q−1

(0

f (t)

)y1 = λ+y1 +

1

λ+ − λ−f (t)

y2 = λ−y2 −1

λ+ − λ−f (t)

y1 = y1(0) exp(λ+t)

+1

λ+ − λ−

∫ t

0dτf (τ ) exp(λ+(t− τ ))

y2 = y2(0) exp(λ−t)

− 1

λ+ − λ−

∫ t

0dτf (τ ) exp(λ−(t− τ ))

x = y1 + y2

= y1(0) exp(λ+t) + y2(0) exp(λ−t)

+1√

β2 − ω20

∫ t

0dτf (τ ) exp(−β(t− τ ))

× sinh(√β2 − ω20(t− τ ))

λ± = −β ±√β2 − ω20

x = −ω20x− 2βx(t) + f (t)

の一般解 (β2 = ω20)

x = c1 exp(λ+t) + c2 exp(λ−t)

+1√

β2 − ω20

∫ t

0dτf (τ ) exp(−β(t− τ ))

× sinh(√β2 − ω20(t− τ ))

λ± = −β ±√β2 − ω20

x = −ω20x− 2βx(t) + f (t)

の一般解 (β2 = ω20)

x = c1 exp((−β + iω)t) + c2 exp((−β − iω)t)

+1

ω

∫ t

0dτf (τ ) exp(−β(t− τ )) sin(ω(t− τ ))

ω =√ω20 − β2

n階線形同次微分方程式

x(n) = cn−1x(n−1) + cn−2x

(n−2) + · · · + c1x(1) + c0x

の解法

dn x

dtn= x(n), x(n)の定義

x(n) = cn−1x(n−1) + cn−2x

(n−2) + · · · + c1x(1) + c0x

n次元ベクトル x =

x

x(1)

x(2)

...

x(n−1)

n次正方行列 A =

0 1 0 0 · · · 0

0 0 1 0 · · · 0... ... ... ... ... ...

0 0 0 · · · 0 1

c0 c1 c2 · · · cn−2 cn−1

x(n) = cn−1x(n−1) + cn−2x

(n−2) + · · · + c1x(1) + c0x

は、次式と同等

x = Ax

Aの固有値をλ1, · · · , λnとする。AがQを使って対角化できるとする。

対角化できない場合は三角化することにより解ける

A = Q

λ1 0. . . 0

0 λn

Q−1

y = Q−1x

y =

λ1 0. . . 0

0 λn

y

y =

λ1 0. . . 0

0 λn

yyの成分で書くと

y1 = λ1y1

y2 = λ2y2... ... ... ...

yn = λnyn

y =

y1(0) exp(λ1t)

y2(0) exp(λ2t)...

yn(0) exp(λnt)

と求まる

x = Qyなので

x = x1 =n∑ℓ=1

Q1ℓ yℓ(0) exp(λℓt)


x(n) = cn−1x(n−1) + cn−2x

(n−2) + · · · + c1x(1) + c0x

の一般解

x =

n∑ℓ=1

cℓ exp(λℓt)


x(n) + cn−1x(n−1) + cn−2x

(n−2) + · · · + c1x(1) + c0x = 0

· · · (1)(1)の略化された解法

X = exp(λt)と仮定して (1)に代入

λn + cn−1λn−1 + cn−2λn−2 + · · · + c0 = 0 · · · (2)

(2)が重根をもたないとき、(2)の根をλ1, · · · , λnとする。

(1)の一般解

x =

n∑ℓ=1

cℓ exp(λℓt)

連立線形微分方程式

力学系の基本形

x =

x1x2...

xn

A = (aij)

x = −AxAの前の符号”-”は、後の計算の都合でつける。

符号”-”をつけることによって

Aの定義が変わるが一般性を失わない。

x = −Ax

Aの固有値λ1, · · · , λnAの固有ベクトル a1, · · · ,an

Q = (a1, · · · ,an)と定義detQ = 0のとき AはQで対角化される。

（対角化できないときは、三角化する）

A = Q

λ1 0. . .

0 λn

Q−1

x = −Ax↓

x = −Q

λ1 0. . .

0 λn

Q−1x

y = Q−1x

y = −

λ1 0. . .

0 λn

y

y = −

λ1 0. . .

0 λn

yy1 = −λ1y1y2 = −λ2y2...

yn = −λnyn

y = −

λ1 0. . .

0 λn

y →

y1 = −λ1y1y2 = −λ2y2

...

yn = −λnyn

y =

c11 exp(iω1t) + c12 exp(−iω1t)...

cn1 exp(iωnt) + cn2 exp(−iωnt)

=

b1 sin(ω1 t + ϕ1)...

bn sin(ωn t + ϕn)

ωℓ =

√λℓ

x = b1 sin(ω1 t + ϕ1)a1 + b2 sin(ω2 t + ϕ2)a2

+ · · · + bn sin(ωn t + ϕn)an

固有ベクトルの大きさが振動する。

振動数は、固有値の平方根で与えられる。

力学系への応用例

m1 = 2m m2 = m k1 = 2k k2 = k k3 = 0

2mx1 = −2kx1 − k(x1 − x2)mx2 = −k(x2 − x1)

→ 2mx1 = −3kx1 + kx2mx2 = kx1 − kx2

2mx1 = −3kx1 + kx2mx2 = kx1 − kx2

M =

(2m 0

0 m

): 質量テンソル

K =

(3k −k−k k

): 剛性テンソル

M x = −Kx, A =M−1K

↓

x = −Ax A =

(3k2m −

k2m

− km

km

)

Aの固有値k

2m,

2k

m

Aの固有ベクトル

(1

2

),

(1

−1

)

A = Q

(k2m 0

0 2km

)Q−1

Q =

(1 1

2 −1

)

Q−1x = −

(k2m 0

0 2km

)Q−1x

y = Q−1x

y = −

(k2m 0

0 2km

)y

y =

c1 sin(√ k2m t + ϕ1)

c2 sin(√

2km t + ϕ2)

x = c1 sin(

√k

2mt + ϕ1)

1√5

2√5

+c2 sin(

√2k

mt + ϕ2)

1√2

− 1√2

基準振動数:

√k

2m,

√2k

m

基準振動:

1√5

2√5

,

1√2

− 1√2

n元系

M : 質量テンソル

K: 剛性テンソル

f (t)外力

M x = −Kx + f

↓x = −Ax + F

A =M−1K, F =M−1f

Aの固有値λ1, · · · , λnAの固有値ベクトル a1, · · · ,an

Q = (a1, · · · ,an)

detQ = 0の場合に議論を限定する。

detQ = 0の場合は３角化する必要がある。

A = Q

λ1 0. . .

0 λn

Q−1

x = −Q

λ1 0. . .

0 λn

Q−1x + F

↓

Q−1x = −

λ1 0. . .

0 λn

Q−1x +Q−1F

y = Q−1x

y = −

λ1 0. . .

0 λn

y + F

F = Q−1F

yℓ = −λℓyℓ + Fℓ

λℓ = 0のとき

yℓ = cℓ sin(ωℓ t + ϕℓ) +1

ωℓ

∫ t

0dτ Fℓ(τ ) sin(ωℓ(t− τ ))

ωℓ =√λℓ

λℓ = 0のとき

yℓ = cℓ2 + cℓ1t +

∫ t

0dτ

∫ τ

0dτ2 Fℓ(τ2)

x = y1a1 + y2a2 + · · · + ynan

変数分離形の１階微分方程式

(線形である必要はない。)d

dtx = h(t)g(x)

の解法

積分の基本知識∫ b

adx f (y(x))

dy

dx=

∫ y(b)

y(a)dy′ f (y′)

d

dtx = h(t)g(x)

↓1

g(x)

d

dtx = h(t)

↓∫ t

t0

dτ1

g(x)

d

dτx =

∫ t

t0

dτ h(τ )

↓∫ x(t)

x(t0)dx′

1

g(x′)=

∫ t

t0

dτ h(τ )

G(x) : (1/g(x))の原始関数をG(x)

H(t) : h(t)の原始関数

∫ x(t)

x(t0)dx′

1

g(x′)=

∫ t

t0

dτ h(τ )

G(x(t))−G(x(t0)) = H(t)−H(t0) · · · (1)

(1)を x(t)について解いて解を得る

たとえば

x = Ax2

x−2x = A∫ t

t0

dτ1

x2(τ )

dx

dτ= A(t− t0)∫

dx1

x2= A(t− t0)[

−1

x

]x(t)x(t0)

= A(t− t0)

1

x(t)− 1

x(t0)= −A(t− t0)

1

x(t)− 1

x(t0)= −A(t− t0)

x(t) =1

(1/x(t0))− A(t− t0)

x(t) =1

c− A(t− t0)

たとえば

x = Ax3

x−3x = A

[− 1

2x2

]x(t)x(t0)

= A(t− t0)

1

x2(t)− 1

x2(t0)= −2A(t− t0)

x2 =1

1x2(t0)

− 2A(t− t0)

x =1√

c− 2At

たとえば

x = Ax1/2

1√xx = A

[2√x]x(t)x(t0)

= A(t− t0)

√x =

1

2A(t− t0) +

√x(t0)

x = (1

2A(t− t0) + c)2→ x = (

1

2At + c)2

たとえば

x = Ax1/2t

1√xx = At

[2√x]x(t)x(t0)

=1

2A(t2 − t20)

√x =

1

4A(t2 − t20) +

√x(t0)

x = (1

4At2 + c)2

たとえば

x = A(1− x2)

1

1− x2x = A

1

2

(1

1− x+

1

1 + x

)x = A

∫ x(t)

x(t0)dx

(1

1− x+

1

1 + x

)= 2A(t− t0)

log1 + x

1− x− log

1 + x(t0)

1− x(t0)= 2A(t− t0)

1 + x

1− x=

1 + x(t0)

1− x(t0)exp(2A(t− t0))

1 + x

1− x= c exp(2At)

x =c exp(2At)− 1

c exp(2At) + 1

x =1− c exp(−2At)1 + c exp(−2At)

(c = 1/c)

たとえば

x = A(1 + x2)

1

1 + x2x = A

[arctan(x′)

]x(t)x(t0)

= A(t− t0)

arctan(x) = A(t− t0) + arctan(x(t0))

x = tan(At + c)

たとえば

x = At

x

xx = At

[1

2x2]x(t)x(t0)

=1

2A(t2 − t20)

x2 = x2(t0) + A(t2 − t20)

x =√At2 + c

関数空間

ここでは、

議論を内積が定義されていて、完備性をもつ空間に限定する。

(ヒルベルト空間)

更に議論を簡略化するために、区分的連続な関数に限定する。

ベクトルが満たす演算法則

交換則 : A +B = B +A

結合則 : A + (B +C) = (A +B) +C

(ab)A = a (bA) = b (aA)

分配則 : a (A +B) = aA + aB

ゼロべクトルは存在する。

A−A = 0

関数空間

議論を簡略化するために、１変数の関数を考える。

定義域がおなじ３つの関数

関数 f1(x), f2(x), f3(x)を考える。

(xinf < x < xsup)

f1(x), f2(x), f3(x)が満たす演算法則

交換則 : f3 = f1 + f2 = f2 + f1

結合則 : f1 + (f2 + f3) = (f1 + f2) + f3

(ab)f1 = a (bf1) = a (bf1)

分配則 : a (f1 + f2) = af1 + af2

恒等的ゼロは関数である。

f1 − f1 = 0

関数空間

定義域がおなじ関数はベクトル空間を形成する

関数がベクトルの一種であると納得できない学生のための

精度を落とした、”きもち”の説明を行う

２次元ベクトル a =

(a1a2

)を考える。

数列 a1, a2と、ベクトル aは一対一の関係にあり同等である。

３次元ベクトル a =

a1a2a3

を考える。数列 a1, a2, a3と、ベクトル aは一対一の関係にあり同等である。

n次元ベクトル a =

a1...an

を考える。数列 a1, · · · , anと、ベクトル aは一対一の関係にあり同等である。

連続関数 f (x)を考える。

定義域：(xinf < x < xsup)

数列 x1, · · · , xnを考える。xℓ−1 < xℓ(x0 = xinf, xn = xsup)

数列 x1, · · · , xnに対応した数列f1, · · · , fnを考える。fℓ = f (xℓ)

連続関数 g(x)を考える。

定義域：(xinf < x < xsup)

fℓ = f (xℓ) = g(xℓ)

xℓ < x < xℓ+1では、g(xℓ), g(xℓ+1) の内挿で定義

内挿の仕方は、線形で十分であるが、必要十分な議論を避ける。

このあたりが

「精度を落とした、”きもち”の説明」であるところである。

「精度を落とした説明」から脱出

(max(xℓ − xℓ−1)→ 0)

という条件で n→∞をとるとf (x)が連続なので∫ xsup

xinf

dx |f (x)− g(x)|2→ 0 · · · (1)

(1)の範囲内で f (x)と g(x)は同等。

関数 f (x)と数列 f1, · · · , f∞は同等である。

関数 f (x)は無限次元ベクトル

f1f2...

f∞

と係数をのぞいて同等

成分表示が関数 f (x)となるベクトルを

通常の有限次元ベクトルと区別するために

|f⟩と表示する。

(|f⟩)† = ⟨f |

関数空間

定義域がおなじ関数はベクトル空間を形成する

n次元ベクトルの内積

a =

a1...an

b =

b1...bn

a · b =n∑ℓ=1

a∗ℓbℓ

関数 g(x)と関数 h(x)の内積

⟨g|h⟩ = (|g⟩)†|h⟩

= limn→∞

n∑ℓ=1

∆ℓg∗(xℓ)h(xℓ) =

∫ xsup

xinf

dx g∗(x)h(x)

∆ℓ = xℓ − xℓ−1(max∆ℓ→ 0という条件で n→∞をとる)

⟨g|h⟩ =∫ xsup

xinf

dx g∗(x)h(x) = limn→∞

n∑ℓ=1

∆g∗(xℓ)h(xℓ)

∆ =xsup − xinf

nxℓ = xinf +∆ℓ

⟨g|h⟩ = limn→∞

n∑ℓ=1

(√xsup − xinf

ng∗(xℓ)

)(√xsup − xinf

nh(xℓ)

)

関数 f (x)は無限次元ベクトル

limn→∞

√xsup − xinf

n

f1f2...

f∞

と同等

ノルム（norm）

n次元ベクトルのノルム:

ベクトルの大きさ、ベクトルの長さ

a =

a1...an

aのノルム :

|a| =√|a1|2 + |a2|2 + · · · + |an|2

=√a∗1a1 + a∗2a2 + · · · + a∗nan

|a| =√a · a

ベクトルのノルムは、自分自身との内積の平方根

関数 f (x)のノルム：　 ∥f∥ =√⟨f |f⟩

∥f∥ =√⟨f |f⟩ =

(∫ xsup

xinf

dx f∗(x)f (x)

)1/2

|f⟩と関数 f (x)との関係

f (x) =

∫ xsup

xinf

dx′ δ(x′ − x)f (x′)

なので

f (x) = ⟨x|f⟩

n次元ベクトル空間には、

線形独立な基底ベクトルが n個存在する。

nこの中からm個選び (m ≤ n)

e1, · · · emと書く。 ei · ej = δij

e1, · · · emと同じ基底空間に属するベクトルを考える。a = c1e1 + c2e2 + · · · cnem

ei · ej = δij(正規直交系)なので

c1 = e1 · a, c2 = e2 · a, · · · cm = em · a

a =

m∑ℓ=1

(eℓ · a)eℓ

m < nのとき n次元ベクトル空間に属する全ての

ベクトルが e1, · · · emの線形結合で表されるわけではない。

m = nのとき n次元ベクトル空間に属する全ての

ベクトルが e1, · · · enの線形結合で表される。

a =

n∑ℓ=1

(eℓ · a)eℓ

m = nのとき e1, · · · en: 正規直交完全系

定義域が共通な n個の正規直交関数を考える。

φ1(x), φ2(x), · · ·φn(x)(xinf < x < xsup)

正規： ∥φℓ∥ = 1

1 = ⟨φℓ|φℓ⟩ =∫ xsup

xinf

dx φ∗ℓ(x)φℓ(x)

直交： 0 = ⟨φi|φj⟩ =∫ xsup

xinf

dx φ∗i (x)φj(x)

(i = j)

正規直交系： ⟨φi|φj⟩ = δij

f (x): 定義域が (xinf < x < xsup)である連続かつ

⟨f |f⟩が有限な関数(ノルムが有限→ ノルムが定義される。)

f (x)がφ1(x), φ2(x), · · ·φn(x)の線形結合と一致するとする。f (x) = c1φ1(x) + c2φ2(x) + · · · + cnφn(x)

|f⟩ = c1|φ1⟩ + c2|φ2⟩ + · · · + cn|φn⟩c1 = ⟨φ1|f⟩, · · · cn = ⟨φn|f⟩

|f⟩ =n∑ℓ=1

(⟨φℓ|f⟩) |φℓ⟩ =n∑ℓ=1

|φℓ⟩⟨φℓ|f⟩

定義域が φℓと共通で、

連続かつノルムが有限な関数を f (x)とる。

f (x)とは別に定義された関数 g(x)を考える

gn(x) =n∑ℓ=1

⟨φℓ|f⟩φℓ(x)

定義域が φℓと共通で、連続かつノルム有限

という条件を満たすどの様な関数 f (x)に対しても

limn→∞

∫ xsup

xinf

dx |f (x)− gn(x)|2→ 0 · · · (1)

を満たすときφ1(x), φ2(x), · · ·φn(x)を完全系という

定義域が共通な関数系


が正規直交完全系のとき、

同じ定義域で定義されるノルム有限な関数 f (x)と

級数

∞∑ℓ=1


は (1)の範囲内で関数 f (x)と一致する。

|f⟩ =∞∑ℓ=1




が正規直交完全系のとき (ヒルベルト空間)

|f⟩ =∞∑ℓ=1


=

∞∑ℓ=1

|φℓ⟩⟨φℓ|

|f⟩ · · · (2)(2)は ∞∑ℓ=1

|φℓ⟩⟨φℓ|

= 1

であることを示している。



が正規直交完全系のとき、 ∞∑ℓ=1

|φℓ⟩⟨φℓ|

= 1

φiが

ϕ1iϕ2i...

ϕ∞i

と同等とすると⟨φi|φi⟩ = 1→

∞∑ℓ=1

|ϕℓi|2 = 1

⟨φi|φj⟩ = 0→∞∑ℓ=1

ϕ∗ℓiϕℓj = 0

(i = j)

ψi =

ϕ1iϕ2i...

ϕ∞i

, ψi ·ψj = δij

ψℓを列ベクトルとする行列はユニタリー行列

U = (ψ1, ψ2, · · · ,ψ∞)

ユニタリー行列の行ベクトルは互いに直交する。

ユニタリー行列の行ベクトルの絶対値は１。

∞∑ℓ=1

|ϕiℓ|2 = 1,

∞∑ℓ=1

ϕ∗iℓϕjℓ = 0 (i = j)

|φℓ⟩⟨φℓ|

↓ϕ1ℓϕ2ℓ...

ϕ∞ℓ

(ϕ∗1ℓ ϕ∗2ℓ · · · ϕ∗∞ℓ)

ϕ1ℓϕ2ℓ...

ϕ∞ℓ

(ϕ∗1ℓ ϕ∗2ℓ · · · ϕ∗∞ℓ)

= limn→∞

ϕ1ℓϕ∗1ℓ ϕ1ℓϕ

∗2ℓ · · · ϕ1ℓϕ

∗nℓ

ϕ2ℓϕ∗1ℓ ϕ2ℓϕ

∗2ℓ · · · ϕ2ℓϕ

∗nℓ

... ... ... ...

ϕnℓϕ∗1ℓ ϕnℓϕ

∗2ℓ · · · ϕnℓϕ

∗nℓ

∞∑ℓ=1

|ϕiℓ|2 = 1

∞∑ℓ=1

ϕ∗iℓϕjℓ = 0

(i = j)

∞∑ℓ=1

ϕ1ℓϕ2ℓ...

ϕ∞ℓ

(ϕ∗1ℓ ϕ∗2ℓ · · · ϕ∗∞ℓ) = I

∑ℓ

|φℓ⟩⟨φℓ| = I

デルタ関数の機能と性質∫ ∞−∞

dx δ(x) = 1

δ(x) =

0, x = 0

∞, x = 0

f (x) : x = αの近傍で連続

(a < α < b)∫ b

adx′ f (x′)δ(x′ − α) = f (α)

(α < a) or (b < α)∫ b

adx′ f (x′)δ(x′ − α) = 0∫ b

adx′ f (x′)δ(x′ − a) = 1

2f (a + 0+)∫ b

adx′ f (x′)δ(x′ − b) = 1

2f (b− 0+)

f (x) : x = αの近傍で x = αを除いて連続∫ b

adx′ f (x′)δ(x′ − α)

=

∫ α

adx′ f (x′)δ(x′ − α) +

∫ b

αdx′ f (x′)δ(x′ − α)

=1

2(f (α− 0+) + f (α + 0+))


例えばη

x2 + η2∫ ∞−∞

dx′η

(x′)2 + η2=

1

η2

∫ ∞−∞

dx′η

(x′η )

2 + 1

=

∫ ∞−∞

dx′1

(x′)2 + 1

=[arctanx′

]∞−∞

= π

x = 0のとき

lim0<η, η→0

η

x2 + η2=

lim0<η, η→0

η

x2= 0

x = 0のとき

lim0<η, η→0

η

x2 + η2=

lim0<η, η→0

η

η2=∞∫ ∞

−∞dx′

η

x2 + η2= π

lim0<η, η→0

1

π

η

x2 + η2= δ(x)

三角関数によるデルタ関数の構成

D(x) = lim0<η, η→0

∫ ∞−∞

dk exp(ikx) exp(−η|k|)

= lim0<η, η→0

∫ 0

−∞dk exp(ikx) exp(ηk)

+ lim0<η, η→0

∫ ∞0

dk exp(ikx) exp(−ηk)

= lim0<η, η→0

∫ 0

−∞dk exp(ik(x− iη))

+ lim0<η, η→0

∫ ∞0

dk exp(ik(x + iη))

= lim0<η, η→0

[exp(ik(x− iη))

i(x− iη)

]0−∞

+ lim0<η, η→0

[exp(ik(x + iη))

i(x + iη)

]∞0

= lim0<η, η→0

(1

i(x− iη)− 1

i(x + iη))

= lim0<η, η→0

(2η

(x2 + η2))

= 2πδ(x)

lim0<η, η→0

1

2π

∫ ∞−∞

dk exp(ikx) exp(−η|k|) = δ(x)

Dn = 1 + 2

n∑ℓ=1

cos(ℓx)

= 1 +

n∑ℓ=1

(exp(iℓx) + exp(−iℓx))

=

n∑ℓ=−n

exp(−iℓx)

= exp(inx)1− exp(−i(2n + 1)x)

1− exp(−ix)

=exp(inx)− exp(−i(n + 1)x)

1− exp(−ix)

=exp(i(n + 1

2)x)− exp(−i(n + 12)x)

exp(i12x)− exp(−i12x)

=sin((n + 1

2)x)

sin(12x)ディリクレ核, Dirichlet kernel

Dn(x) =sin((n + 1

2)x)

sin(12x)

Dn(x + 2π) =sin((n + 1

2)(x + 2π))

sin(12(x + 2π))

=(−1) sin((n + 1

2)x)

(−1) sin(12x)

=sin((n + 1

2)x)

sin(12x)

= Dn(x)

Dn(x) =sin((n + 1

2)x)

sin(12x)

Dn(−x) =sin((n + 1

2)(−x))sin(12(−x))

=(−1) sin((n + 1

2)(x))

(−1) sin(12x)

=sin((n + 1

2)(x))

sin(12x)

= Dn(x)

limn→∞

Dn(ε) = limn→∞

sin((n + 12)ε)

sin(12ε)

limn→∞

( limε→0

Dn(ε)) = limn→∞

(n + 12)ε

12ε

= limn→∞

2(n +1

2)

=∞

(0 < η < π, η → 0+)

limn→∞

∫ η

−ηdε Dn(ε) = lim

n→∞

∫ η

−ηdε

sin((n + 12)ε)

sin(12ε)

= limn→∞

2

∫ η

−ηdε

sin((n + 12)ε)

ε

= limn→∞

4

∫ η

0dε

sin((n + 12)ε)

ε

= limn→∞

4

∫ (n+12)η

0dε

sin(ε)

ε

= 4

∫ ∞0

dεsin(ε)

ε

∫ ∞0

d εsin(ε)

ε= limη→0

1

2

∫ ∞−∞

dεsin(ε)

ε + iη

= limη→0

1

4i

∫ ∞−∞

dεexp(iε)− exp(−iε)

ε− iη

= limη→0

1

4i2πi exp(i(iη))

=π

2

limn→∞

∫ η

−ηdε Dn(ε) = lim

n→∞

∫ η

−ηdε

sin((n + 12)ε)

sin(12ε)

= 2π

f (x) : 区間− π ≤ x ≤ πで連続、かつ、区分的に滑らか

f (−π) = f (π)

g(x) : f (x)を周期 2πで−∞ < x <∞に拡張した関数

−π < α < π

limn→∞

∫ π

−πdx f (x)Dn(x− α) = lim

n→∞

∫ π−α

−π−αdx g(x + α)Dn(x)

= limn→∞

∫ π

−πdx g(x + α)Dn(x)

= limn→∞

∫ π

−πdx G(x)Dn(x) (G(x) = g(x + α))

H(x) =G(x)

sin(x/2)

limn→∞

∫ π

π/(n+12)dx G(x)Dn(x) (G(x) = g(x + α))

= limn→∞

∫ π

π/(n+12)dx H(x) sin((n +

1

2)x)

= limn→∞

[(n/2)−1/4]∑ℓ=1

∫ x2ℓ+1

x2ℓ−1dx H(x) sin((n +

1

2)x)

(xℓ =πℓ

n + 1/2)

limn→∞

∫ π

π/(n+12)dx G(x)Dn(x) (G(x) = g(x + α))

= limn→∞

[(n/2)−1/4]∑ℓ=1

∫ x2ℓ+1


1

2)x)

(xℓ =πℓ

n + 1/2)

= limn→∞

[(n/2)−1/4]∑ℓ=1

∫ x2ℓ+1

x2ℓ−1dx(

hℓ +(hℓ+1 − hℓ)(n + 1/2)

2π(x− x2ℓ−1)

)sin((n +

1

2)x)

(hℓ = H(x2ℓ−1))

= limn→∞

[(n/2)−1/4]∑ℓ=1

(hℓ+1 − hℓ)(n + 1/2)

2π

×∫ (2ℓ+1)π/(n+1/2)

(2ℓ−1)π/(n+1/2)dx x sin((n +

1

2)x)

= limn→∞

1

n + 1/2

[(n/2)−1/4]∑ℓ=1

(hℓ+1 − hℓ)2π

×∫ (2ℓ+1)π

(2ℓ−1)πdx x sin(x)

= limn→∞

1

n + 1/2

[(n/2)−1/4]∑ℓ=1

(hℓ+1 − hℓ)

= limn→∞

1

n + 1/2(h[(n/2)+3/4] − h1)

= 0

limn→∞

∫ π

(2m−1)π/(n+12)dx G(x)Dn(x) (G(x) = g(x + α))

= limn→∞

[(n/2)−1/4]∑ℓ=m

∫ x2ℓ+1


1

2)x)

(xℓ =πℓ

n + 1/2)

= limn→∞

1

n + 1/2

[(n/2)−1/4]∑ℓ=m

(hℓ+1 − hℓ)

= limn→∞

1

n + 1/2(h[(n/2)+3/4] − hm)

= 0

f (x) : 区間− π ≤ x ≤ πで連続、かつ、区分的に滑らか

f (−π) = f (π)

g(x) : f (x)を周期 2πで−∞ < x <∞に拡張した関数−π < α < π

limn→∞

∫ π

−πdx f (x)Dn(x− α) = lim

n→∞

∫ π

−πdx g(x + α)Dn(x)

= limn→∞

∫ π/(n+1/2)

−π/(n+1/2)dx g(x + α)Dn(x)

= limn→∞

g(α)

∫ π/(n+1/2)

−π/(n+1/2)dx Dn(x)

= 2πf (α)

limn→∞

1

2πDn(x)

は、積分核としては、δ(x)と同等

(−π < x < π)

(−π < x < π)

Dn(x) = 1 + 2

n∑ℓ=1

cos(ℓx)

=sin((n + 1

2)x)

sin(12x)

limn→∞

1

2π

∫ π

−πdx f (x)Dn(x− α) = f (α)

f (x)が− π ≤ x ≤ πで区分的に滑らか、

かつ f (x)が x = αで不連続とする。

f (x)は区分的に滑らかなので

f (x)は x = αを除いては x = αの近傍で連続

g1(x) =

f (x) α < x < α + η

f (α + 0+) α = x

f (2α− x) α− η < x < α

g2(x) =

f (2α− x) α < x < α + η

f (α− 0+) α = x

f (x) α− η < x < α

−π < α < π

limn→∞

1

2π

∫ π

−πdx f (x)Dn(x− α)

= limn→∞

1

2π

∫ α+η

α−ηdx f (x)Dn(x− α)

= limn→∞

1

2π

∫ α

α−ηdx f (x)Dn(x− α)

+ limn→∞

1

2π

∫ α+η

αdx f (x)Dn(x− α)

=1

2limn→∞

1

2π

∫ α+η

α−ηdx g2(x)Dn(x− α)

+1

2limn→∞

1

2π

∫ α+η

α−ηdx g1(x)Dn(x− α)

=1

2(f (α− 0+) + f (α + 0+))

f (x) : 区間− π ≤ x ≤ π区分的に滑らか

limn→∞

1

2π

∫ π

−πdx′ f (x′)Dn(x′ − x) =

1

2(f (x− 0+) + f (x + 0+))

Dn(x) = 1 + 2

n∑ℓ=1

cos(ℓx) =sin((n + 1

2)x)

sin(12x)

フーリエ級数

f (x) : 区間− π ≤ x ≤ π区分的に滑らか

f (−π) = f (π)

−π < x < π

1

2(f (x− 0+) + f (x + 0+))

= limn→∞

1

2π

∫ π

−πdx′ f (x′)Dn(x′ − x)

= limn→∞

1

2π

∫ π

−πdx′ f (x′)(1 + 2

n∑ℓ=1

cos(ℓ(x′ − x)))

=1

2π

∫ π

−πdx′ f (x′) +

∞∑ℓ=1

1

π

∫ π

−πdx′ f (x′) cos(ℓ(x′ − x))

1

2(f (x− 0+) + f (x + 0+))

=1

2π

∫ π

−πdx′ f (x′) +

∞∑ℓ=1

1

π

∫ π

−πdx′ f (x′) cos(ℓ(x′ − x))

=1

2π

∫ π

−πdx′ f (x′) +

∞∑ℓ=1

1

π

∫ π

−πdx′ f (x′)(cos ℓx′ cos ℓx + sin ℓx′ sin ℓx)

=1

2π

∫ π

−πdx′ f (x′)

+

∞∑ℓ=1

(1

π

∫ π

−πdx′ f (x′) cos ℓx′

)cos ℓx

+

∞∑ℓ=1

(1

π

∫ π

−πdx′ f (x′) sin ℓx′

)sin ℓx

f (x): 区分的に滑らか

f (x)のフーリエ級数

f (x) =1

2A0 +

∞∑ℓ=1

(Aℓ cos ℓx +Bℓ sin ℓx)

Aℓ =1

π

∫ π

−πdx′ f (x′) cos ℓx′ ℓ = 0, 1, 2 · · ·

Bℓ =1

π

∫ π

−πdx′ f (x′) sin ℓx′ ℓ = 1, 2 · · ·

連続領域では、

f (x) = f (x)

不連続点 xkでは、

f (xk) =1

2(f (xk + 0) + f (xk − 0))

f (x) =1

2A0 +

∞∑ℓ=1


なので

f (x + 2π) = f (x)

−∞ ≤ x ≤ ∞f (x) : 周期 2πの区分的に滑らかな関数

f (x + 2π) = f (x)


f (x) =1

2A0 +

∞∑ℓ=1


Aℓ =1

π

∫ π

−πdx′ f (x′) cos ℓx′ ℓ = 0, 1, 2 · · ·

Bℓ =1

π

∫ π

−πdx′ f (x′) sin ℓx′ ℓ = 1, 2 · · ·


f (x) = f (x)


f (xk) =1

2(f (xk + 0) + f (xk − 0))

f (x)と f (x)が一致するというのは、

limN→∞

∫ π

−πdx |f (x)− fN (x)|2→ 0

という意味であり、

完全に f (x)と f (x)が一致するという意味ではない。

fN (x) =1

2A0 +

N∑ℓ=1


−∞ ≤ x ≤ ∞g(x) : 周期 2πの区分的に滑らかな関数

g(x + 2π) = g(x)

f (x) = g(2π

Lx)

g(x) = f (L

2πx)

f (x + L) = f (x)

f (x) : 周期 Lの区分的に滑らかな関数

g(x) =1

2A0 +

∞∑ℓ=1


Aℓ =1

π

∫ π

−πdx′ g(x′) cos ℓx′ ℓ = 0, 1, 2 · · ·

Bℓ =1

π

∫ π

−πdx′ g(x′) sin ℓx′ ℓ = 1, 2 · · ·

g(2π

Lx) =

1

2A0 +

∞∑ℓ=1

(Aℓ cos(

2π

Lℓx) +Bℓ sin(

2π

Lℓx)

)Aℓ =

1

π

∫ π

−πdx′ g(x′) cos ℓx′

=1

π

∫ π

−πdx′ f (

L

2πx′) cos ℓx′

=2

L

∫ (L/2)

−(L/2)dx′ f (x′) cos(

2π

Lℓx′)

Bℓ =1

π

∫ π

−πdx′ g(x′) sin ℓx′

=1

π

∫ π

−πdx′ f (

L

2πx′) sin ℓx′

=2

L

∫ (L/2)

−(L/2)dx′ f (x′) sin(

2π

Lℓx′)

−∞ ≤ x ≤ ∞ f (x + L) = f (x)



f (x) =1

2A0 +

∞∑ℓ=1

(Aℓ cos(

2π

Lℓx) +Bℓ sin(

2π

Lℓx)

)


f (x) = f (x)


f (xx) =1

2(f (xk + 0) + f (xk − 0))

Aℓ =2

L

∫ (L/2)

−(L/2)dx′ f (x′) cos(

2π

Lℓx′)

=2

L

∫ L

0dx′ f (x′) cos(

2π

Lℓx′)

Bℓ =2

L

∫ (L/2)

−(L/2)dx′ f (x′) sin(

2π

Lℓx′)

=2

L

∫ L

0dx′ f (x′) sin(

2π

Lℓx′)

−∞ ≤ x ≤ ∞ f (x + L) = f (x)


1

L

∞∑ℓ=−∞

(∫ L/2

−L/2dx′ f (x′) exp(−i2π

Lℓx′)

)exp(i

2π

Lℓx)

=1

L

∞∑ℓ=−∞

(∫ L/2

−L/2dx′ f (x′) cos(

2π

Lℓx′)

)cos(

2π

Lℓx)

+1

L

∞∑ℓ=−∞

(∫ L/2

−L/2dx′ f (x′) sin(

2π

Lℓx′)

)sin(

2π

Lℓx)

+ i1

L

∞∑ℓ=−∞

(∫ L/2


2π

Lℓx′)

)sin(

2π

Lℓx)

− i 1L

∞∑ℓ=−∞

(∫ L/2


2π

Lℓx′)

)cos(

2π

Lℓx)

1

L

∞∑ℓ=−∞

(∫ L/2


Lℓx′)

)exp(i

2π

Lℓx)

=1

L

∞∑ℓ=−∞

(∫ L/2


2π

Lℓx′)

)cos(

2π

Lℓx)

+1

L

∞∑ℓ=−∞

(∫ L/2


2π

Lℓx′)

)sin(

2π

Lℓx)

=1

L

∫ L/2

−L/2dx′ f (x′)

+2

L

∞∑ℓ=1

(∫ L/2


2π

Lℓx′)

)cos(

2π

Lℓx)

+2

L

∞∑ℓ=1

(∫ L/2


2π

Lℓx′)

)sin(

2π

Lℓx)

f (x) =1

L

∞∑ℓ=−∞

(∫ L/2


Lℓx′)

)exp(i

2π

Lℓx)

=

∞∑ℓ=−∞

Cℓ exp(i2π

Lℓx)

Cℓ =1

L

∫ L/2


Lℓx′)

=1

L

∫ L

0dx′ f (x′) exp(−i2π

Lℓx′)

f (x) =

−1− 2x/L, −L/2 < x < 0

0, x = 0

1− 2x/L, 0 < x ≤ L/2

f (x + L) = f (x)

f (x) =1

2a0 +

∞∑ℓ=1

(aℓ cos(

2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx)

)aℓ = 0

bℓ =2

L

∫ L/2

−L/2dxf (x) sin(

2π

Lℓx)

=4

L

∫ L/2

0dx(1− 2x/L) sin(

2π

Lℓx)

=2

πℓ

L = 2π

fN(x) =N∑ℓ=1

2

πℓsin(ℓx)

f (x) = |x|

f (x + L) = f (x)

f (x) =1

2a0 +

∞∑ℓ=1

(aℓ cos(

2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx)

)bℓ = 0

a0 = L/2

1 ≤ ℓ aℓ =2

L

∫ L/2

−L/2dxf (x) cos(

2π

Lℓx)

=4

L

∫ L/2

0dx x cos(

2π

Lℓx)

=

0, ℓ = 偶数

− 2Lπ2ℓ2

, ℓ = 奇数

L = 2π

fN(x)

=π

2

+

N∑ℓ=1

−4π(2ℓ− 1)2

cos((2ℓ− 1)x)

f (x) =

−1, −L/2 < x < 0

0, x = 0

1, 0 < x ≤ L/2

f (x + L) = f (x)

f (x) =1

2a0 +

∞∑ℓ=1

(aℓ cos(

2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx)

)aℓ = 0

bℓ =2

L

∫ L/2

−L/2dxf (x) sin(

2π

Lℓx)

=4

L

∫ L/2

0dx sin(

2π

Lℓx)

=

0, ℓ = 偶数4πℓ, ℓ = 奇数

例えば

L = 2π

fN(x)

=

N∑ℓ=1

4

π(2ℓ− 1)sin((2ℓ− 1)x)

L = 2π

fN(x)

=

N∑ℓ=1

4

π(2ℓ− 1)sin((2ℓ− 1)x)

f (x) = | cos(πLx)|

f (x + L) = f (x)

f (x) =1

2a0 +

∞∑ℓ=1

(aℓ cos(

2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx)

)bℓ = 0

a0 =4

π

1 ≤ ℓ aℓ =2

L

∫ L/2

−L/2dxf (x) cos(

2π

Lℓx)

=4

L

∫ L/2

0dx cos(

π

Lx) cos(

2π

Lℓx)

=2

L

∫ L/2

0dx(cos(

π

L(2ℓ + 1)x) + cos(

π

L(2ℓ− 1)x)

)= − 4(−1)ℓ

π(4ℓ2 − 1)

例えば

L = 2π

fN(x)

=2

π

+

N∑ℓ=1

−4(−1)ℓ

π(4ℓ2 − 1)cos(ℓx)

L1 < L

f (x) =

cos( πL1

x), −L1/2 ≤ x ≤ L1/2

0, L1/2 < |x| ≤ L/2

f (x + L) = f (x)

f (x) =1

2a0 +

∞∑ℓ=1

(aℓ cos(

2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx)

)

bℓ = 0

(2ℓ = L/L1)

aℓ = −(L1/L)

π(ℓ2 − 14(L/L1)

2)cos(

L1Lπℓ)

(2ℓ = L/L1)

aℓ =L1L

L = 2π, L1 = πのとき

a1 =1

2

2 ≤ ℓ aℓ =

0, ℓ : 奇数

(−1)ℓ/2, ℓ : 偶数

L = 2π

L1 = π

fN(x)

=1

π+1

2cosx

+

N∑ℓ=1

−2π(4ℓ2 − 1)

(−1)ℓ cos(2ℓx)

⟨x|ℓ⟩ = 1√Lexp(i

2π

Lℓx)

⟨ℓ1|ℓ2⟩ =

1, ℓ1 = ℓ20, ℓ1 = ℓ2

|ℓ⟩ (−∞ < ℓ <∞): 周期 Lの

区分的に滑らかな関数空間における

正規直交完全系

f (x) (−∞ < ℓ <∞): 周期 Lの

区分的に滑らかな関数

⟨x|ℓ⟩ = 1√Lexp(i

2π

Lℓx)

⟨x|f⟩ =∞∑

ℓ=−∞⟨ℓ|f⟩⟨x|ℓ⟩ =

∞∑ℓ=−∞

⟨x|ℓ⟩⟨ℓ|f⟩

= ⟨x|

∞∑ℓ=−∞

|ℓ⟩⟨ℓ|

|f⟩

⟨ℓ|f⟩ =∫ L/2

−L/2dx

1√Lexp(−i2π

Lℓx)f (x)

フーリエ級数について、しっかりした、説明を行う。

a, b、２つのベクトルの距離を rとすると

r2 = (a− b) · (a− b)(a− b) · (a− b) = 0のとき a = bと判断する

|f⟩と |g⟩の距離の２乗は∥f − g∥2 = ⟨(f − g)|(f − g)⟩

∥f − g∥ = 0のとき |f⟩と |g⟩ は一致するという。

f (x) = g(x)ならば |f⟩と |g⟩ は一致するが|f⟩と |g⟩ が一致しても f (x) = g(x)とは限らない。

ベッセルの不等式

正規直交関数系φ1, φ2, · · · , φN

0 ≤ ∥f −N∑ℓ=1

cℓφℓ∥2

= ∥f∥2 −N∑ℓ=1

|⟨φℓ|f⟩|2 +N∑ℓ=1

|cℓ − ⟨φℓ|f⟩|2

cℓ = ⟨φℓ|f⟩のとき

∥f −N∑ℓ=1

cℓφℓ∥は最小

cℓ = ⟨φℓ|f⟩|2のとき

0 ≤ ∥f∥2 −N∑ℓ=1

|cℓ|2

N∑ℓ=1

|cℓ|2 ≤ ∥f∥2 (

∞∑ℓ=1

|cℓ|2 ≤ ∥f∥2)

ベッセルの不等式

正規直交関数系φ1, φ2, · · · , φN

ψN =

N∑ℓ=1

cℓφℓ

定義域がφ1, φ2, · · · , φNと同じである任意の関数f に対して c1, · · · , cNを適切に選べばlim

N→∞∥f − ψN∥2→ 0

とできるときφ1, φ2, · · · , φ∞は完全系

limN→∞

∥f − ψN∥2→ 0

平均収束の意味での一致

完全正規直交関数系φ1, φ2, · · · , φ∞

∥f −∞∑ℓ=1

cℓφℓ∥2 = 0

そのとき∞∑ℓ=1

|cℓ|2 = ∥f∥2

リーマンの定理

有限区間 [a, b]で定義された

区分的に連続な有界関数 f (x)は

limλ→∞

∫ b

adx f (x) sinλx = 0

を満たす。

リーマンの定理の証明

g(x) =

f (x) a ≤ x ≤ b

0 それ以外∫ b

adx f (x) sinλx =

∫ ∞−∞

dx g(x) sinλx

=

∫ ∞−∞

dx g(x +π

λ) sinλ(x +

π

λ)

= −∫ ∞−∞

dx g(x +π

λ) sinλx

=1

2

∫ ∞−∞

dx (g(x)− g(x + π

λ)) sinλx

f (x): 周期 2πの周期関数

DN (x) = 1 + 2

N∑ℓ=1

cos(ℓx) =sin((N + 1

2)x)

sin(12x)

DN (−x) = DN (x) DN (x + 2π) = DN (x)

1

2π

∫ π

−πdxDN (x) = 1

fN (x) =1

2π

∫ π

−πdx′f (x′)DN (x′ − x)

=1

2π

∫ π−x

−π−xdx′f (x′ + x)DN (x′)

=1

2π

∫ π

−πdx′f (x′ + x)DN (x′)

=1

2π

∫ 0

−πdx′f (x′ + x)DN (x′)

+1

2π

∫ π

0dx′f (x′ + x)DN (x′)

=1

2π

∫ π

0dx′(f (x− x′) + f (x + x′))DN (x′)

fN (x)− 1

2(f (x− 0+) + f (x + 0+))

=1

2π

∫ π

0dx′DN (x′)

×(f (x− x′) + f (x + x′)− (f (x− 0+) + f (x + 0+))

)=

1

2π

∫ π

0dx′

f (x− x′) + f (x + x′)− (f (x− 0+) + f (x + 0+))

sin(12x′)

× sin((N +1

2)x′)

N→∞−→ 0 (リーマンの定理)

limN→∞

fN (x) =1

2(f (x− 0+) + f (x + 0+))


f (x) = limN→∞

1

2π

∫ π

−πdx′f (x′)DN (x′ − x)

は、平均収束の意味を超えて、定義域の連続領域では、点ごとに

f (x) = f (x)に収束し、不連続点 xk では、

f (x) =1

2(f (xk − 0+) + f (xk + 0+))に収束する。

フーリエ級数の微分

f (x) : 区分的に滑らかな連続関数

g(x) =d

dxf (x) : 区分的に滑らかな関数

f (x + L) = f (x)

g(x + L) = g(x)

f (x)のフーリエ級数f (x)は、f (x)に収束

f (x) =1

2a0 +

∞∑ℓ=1

(aℓ cos(2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx))

g(x) =1

2a′0 +

∞∑ℓ=1

(a′ℓ cos(2π

Lℓx) + b′ℓ sin(

2π

Lℓx))


g(x) =d

dxf (x)

a′ℓ =2

L

∫ L/2

−L/2dx g(x) cos(

2π

Lℓx)

=2

L

∫ L/2

−L/2dx (

d

dxf (x)) cos(

2π

Lℓx)

=2

L

[f (x) cos(

2π

Lℓx)

]L/2−L/2

+2πℓ

L

2

L

∫ L/2

−L/2dx f (x) sin(

2π

Lℓx)

=2πℓ

L

2

L

∫ L/2

−L/2dx f (x) sin(

2π

Lℓx)

=2π

Lℓ bℓ


g(x) =d

dxf (x)

b′ℓ =2

L

∫ L/2

−L/2dx g(x) sin(

2π

Lℓx)

=2

L

∫ L/2

−L/2dx (

d

dxf (x)) sin(

2π

Lℓx)

=2

L

[f (x) cos(

2π

Lℓx)

]L/2−L/2

− 2πℓ

L

2

L

∫ L/2

−L/2dx f (x) cos(

2π

Lℓx)

= −2πℓL

2

L

∫ L/2

−L/2dx f (x) cos(

2π

Lℓx)

= −2πLℓ aℓ


g(x) =d

dxf (x)

a′ℓ =2π

Lℓ bℓ

b′ℓ = −2π

Lℓ aℓ


f (x) =1

2a0 +

∞∑ℓ=1

(aℓ cos(2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx))

g(x) =d

dxf (x)

=d

dx

1

2a0 +

∞∑ℓ=1

(aℓ cos(2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx))

=

d

dx

∞∑ℓ=1

(aℓ cos(2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx))


ここで、無限級数と微分の順番を入れ替えた関数を考える。

g(x) =∞∑ℓ=1

(aℓ

d

dxcos(

2π

Lℓx) + bℓ

d

dxsin(

2π

Lℓx)

)

=

∞∑ℓ=1

(−2πℓLaℓ sin(

2π

Lℓx) +

2πℓ

Lbℓ cos(

2π

Lℓx)

)

=

∞∑ℓ=1

(2πℓ

Lbℓ cos(

2π

Lℓx)− 2πℓ

Laℓ sin(

2π

Lℓx)

)a′ℓ =

2π

Lℓ bℓ

b′ℓ = −2π

Lℓ aℓ

なので

= g(x)



g(x) =d

dxf (x) : 区分的に滑らかな関数

f (x + L) = f (x)

f (x)のフーリエ級数を、項別微分した級数は、f (x)

の導関数のフーリエ級数と一致する。

f (x)のフーリエ級数は項別微分可能

a′ℓ =2π

Lℓ bℓ

b′ℓ = −2π

Lℓ aℓ

例えば

f (x + L) = f (x)

f (x) = |x|

f (x) =L

2+

∞∑ℓ=1

−2Lπ2(2ℓ− 1)2

cos(2π(2ℓ− 1)

Lx)

g(x + L) = g(x)

g(x) =d

dxf (x)

=

−1, −L/2 < x < 0

1, 0 < x ≤ L/2

g(x) =

∞∑ℓ=1

−2Lπ2(2ℓ− 1)2

−2π(2ℓ− 1)

Lsin(

2π(2ℓ− 1)

Lx)

=

∞∑ℓ=1

4

π(2ℓ− 1)sin(

2π(2ℓ− 1)

Lx)



f (x + L) = f (x)

f (x) =

∞∑ℓ=−∞

Cℓ exp(i2π

Lℓx)

Cℓ =1

L

∫ L/2


Lℓx′)

g(x) =d

dxf (x)

g(x) =

∞∑ℓ=−∞

i2π

LℓCℓ exp(i

2π

Lℓx)

f (x) : 区分的に滑らかな周期関数 f (x + L) = f (x)

f (x) =1

2a0 +

∞∑ℓ=1

(aℓ cos(

2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx)

)1

2a0 =

1

L

∫ L/2

−L/2dx′ f (x′)

F (x) =

∫ x

−L/2dx′ f (x′)

a0 = 0のとき F (L/2) = 0

G(x) =

∫ x

−L/2dx′ f (x′)− 1

2a0(x +

L

2)

G(−L/2) = G(L/2) = 0

G(x + L) = G(x)

G(x) : 区分的に滑らかな連続関数

フーリエ級数の積分

f (x) : 区分的に滑らかな周期関数 f (x + L) = f (x)

g(x) = f (x)− 1

2a0

g(x)を項別積分した級数は、G(x)のフーリエ級数G(x)に一致する。

G(x)は区分的に滑らかな連続関数なので

G(x) = G(x)

F (x)

=

∫ x

−L/2dx′ f (x′)

=

∫ x

−L/2dx′ g(x′) +

1

2a0(x +

L

2)

なので

区分的に滑らかな関数のフーリエ級数は、項別積分可能

フーリエ級数の積分

f (x) : 区分的に滑らかな関数

f (x + L) = f (x)

d

dxg(x) = f (x)

f (x) =∞∑

ℓ=−∞Aℓ exp(i

2π

Lℓx)

g(x) = g(x)

=

∞∑ℓ=−∞

Bℓ exp(i2π

Lℓx)

Bℓ =L

2πi ℓAℓ (ℓ = 0)

B0 =x

L

∫ L/2

−L/2dx′f (x′) + C

偏微分方程式 (partial differential equation)

未知関数の偏微分を含む微分方程式

常微分方程式の解は任意定数を持つ。

この任意定数は、特定の変数値に対する関数値で決まる。

たとえば、

x(t) = 0→ x(t) = c (c : 定数)

x(t) = A (A : 定数)→ x(t) = x(t0) + A(t− t0)

x(t) = Ax(t) (A : 定数)→ x(t) = x(t0) exp(A(−t0))

x(t) = −Ax(t) (A : 定数)

x(t) = x(t0) cos(√A(t− t0)) +

x(t0)√A

sin(√A(t− t0))

偏微分方程式は複数の変数をもつので解に任意関数が現れる。

たとえば、∂

∂xf (x, y) = 0

f (x, y) = ϕ(y)

∂

∂xf (x, y) = A (A : 定数)

f (x, y) = ϕ(y) + A(x− x0) · · · (1)

∂

∂xf (x, y) = g(y)

f (x, y) = ϕ(y) + g(y)(x− x0) · · · (2)

∂

∂xf (x, y) = Af (x, y) (A : 定数)

f (x, y) = ϕ(y) exp(A(x− x0)) · · · (3)

∂

∂xf (x, y) = A

f (x, y) = ϕ(y) + A(x− x0)未定関数ϕ(y)は f (x0, y) = ϕ(y)という条件できまる。

このように、空間の特定の境界での条件を境界条件という。

∂

∂xf (x, y) = g(y)

f (x, y) = ϕ(y) + g(y)(x− x0)境界条件 f (x0, y) = ϕ(y)

∂

∂xf (x, y) = Af (x, y) (A : 定数)

f (x, y) = ϕ(y) exp(A(x− x0))境界条件 f (x0, y) = ϕ(y)

偏微分の基本知識

y1 = h1(x1, x2)

y2 = h2(x1, x2)

∂

∂x1=

(∂y1∂x1

)(∂

∂y1

)+

(∂y2∂x1

)(∂

∂y2

)∂

∂x2=

(∂y1∂x2

)(∂

∂y1

)+

(∂y2∂x2

)(∂

∂y2

)

２次元１階線形偏微分方程式(a1∂

∂x1+ a2

∂

∂x2

)f (x1, x2) = 0

(a1 = 0, a2 = 0)

y1 =1

a1x1 +

1

a2x2

y2 =1

a1x1 −

1

a2x2

∂

∂x1=

1

a1

∂

∂y1+

1

a1

∂

∂y2

∂

∂x2=

1

a2

∂

∂y1− 1

a2

∂

∂y2

g(y1, y2) = f (x1, x2)

a1∂

∂x1+ a2

∂

∂x2= 2

∂

∂y1(a1∂

∂x1+ a2

∂

∂x2

)f (x1, x2) = 0

(a1 = 0, a2 = 0)

↓↓∂

∂y1g(y1, g2) = 0

g(y1, y2) = ψ(y2)

f (x1, x2) = ψ(1

a1x1 −

1

a2x2)

f (x1, x2) = ψ(1

a1x1 −

1

a2x2)

境界条件の例

f (x1, 0) = ψ(1

a1x1)

f (0, x2) = ψ(− 1

a2x0)

f (x1, A− x1) = ψ(1

a1x1 −

1

a2(A− x1))

(∂

∂x1+∂

∂x2

)f (x1, x2) = 0

f (x1, x2) = ψ(x1 − x2)(∂

∂x1− ∂

∂x2

)f (x1, x2) = 0

f (x1, x2) = ψ(x1 + x2)

(a1∂

∂x1+ a2

∂

∂x2

)f (x1, x2) = h(x1, x2)

(a1 = 0, a2 = 0)

y1 =1

a1x1 +

1

a2x2

y2 =1

a1x1 −

1

a2x2

f (y1, y2) = f (x1, x2)

h(y1, y2) = h(x1, x2)

∂

∂y1f =

1

2h

f (y1, y2) = ψ(y2) +1

2

∫ y1

y10

dy h(y, y2)

f (y10, y2) = ψ(y2)

f (x1, x2) = ψ(1

a1x1 −

1

a2x2) +

1

2

∫ 1a1x1+

1a2x2

y10

dy h(y, y2)

n次元２階線形偏微分方程式 n∑i=1

n∑j=1

ai,j∂2

∂xi ∂xj+

n∑i=1

bi∂

∂xi+ c

f = g · · · (1)

f = f (x1, x2, · · · , xn), g = g(x1, x2, · · · , xn)

ここでは、議論を、aij，biが実数の定数である

場合に限定する。

当分は、cも実数の定数であると仮定する

n∑i=1

n∑j=1

ai,j∂2

∂xi ∂xj

を n次元２階線形偏微分方程式の主要部という

∂2

∂xi ∂xj=∂2

∂xj ∂xiなので aij = aji

n次元の正方行列 Aを考え A = (aij)とする。

aij = ajiなので

Aは実対称行列、つまり、エルミート行列である。

主要部n∑i=1

n∑j=1

ai,j∂2

∂xi ∂xj

∂2

∂xi ∂xj=∂2

∂xj ∂xiなので aij = aji

n次元の正方行列 Aを考え A = (aij)とする。

微分演算ベクトル∇を次のように定義する。

∇ =

∂∂x1

∂∂x2

...

∂∂xn

∇と Aを使うと主要部はn∑i=1

n∑j=1

ai,j∂2

∂xi ∂xj= t∇A∇

と表される。

aij = ajiなので

Aは実対称行列、つまり、エルミート行列である。

Aは実対称行列なので対角化できる。

A = U

λ1 0. . .

λn

U−1

λ1, · · · , λnは、Aの固有値

Aは実対称行列なのでλ1, · · · , λnは実数U は、直交行列 (成分が実数であるユニタリー行列)

A = U

λ1 0. . .

λn

U−1

なので、主要部は

n∑i=1

n∑j=1

ai,j∂2


= t∇U

λ1 0. . .

λn

U−1∇

y = U−1x変数変換

微分演算ベクトル∇yを次のように定義する。

∇y =

∂∂y1

∂∂y2

...

∂∂yn

∇y = U−1∇

t∇y = (U−1∇)† = t∇U なので

n∑i=1

n∑j=1

ai,j∂2


= t∇U

λ1 0. . .

λn

U−1∇

= t∇y

λ1 0. . .

λn

∇y

n∑i=1

n∑j=1

ai,j∂2

∂xi ∂xj

= t∇y

λ1 0. . .

λn

∇y

=

n∑ℓ=1

λℓ∂2

∂y2ℓ

λℓ = 0に対し

λℓ∂2

∂y2ℓ= 0

λℓ = 0に対しyℓ =1√|λℓ|

yℓと変数変換すると

λℓ∂2

∂y2ℓ= sign(λℓ)

∂2

∂y2ℓ

sign(x) =

1, (0 < x)

0, (x = 0)

−1, (x < 0)

主要部が

n∑i=1

σi∂2

∂x2i

であると仮定しても一般性を失わない。

(σi = 1 or 0 or − 1)

n次元２階線形偏微分方程式 n∑i=1

σi∂2

∂x2i+

n∑i=1

bi∂

∂xi+ c

f = g

f = f (x1, x2, · · · , xn), g = g(x1, x2, · · · , xn)

すべての iに対して σi = 1のとき楕円型という

楕円型２階線形偏微分方程式の例 n∑i=1

∂2

∂x2i+

n∑i=1

bi∂

∂xi+ c

f = g

(∂2

∂x2+∂2

∂y2+∂2

∂z2

)f = 0

（ラプラス方程式）

(∂2

∂x2+∂2

∂y2

)f = 0

１個に対して σi = −1、残り n− 1個の iに対して σi = 1のとき双曲型という。

双曲型２階線形偏微分方程式の例n−1∑i=1

∂2

∂x2i− ∂2

∂x2n+

n∑i=1

bi∂

∂xi+ c

f = g

(∂2

∂x2+∂2

∂y2− ∂2

∂z2

)f = 0

（波動方程式）(∂2

∂x2− ∂2

∂y2

)f = 0

（波動方程式）

m個 (2 ≤ m ≤ n− 2)に対して σi = −1、残り n−m個の iに対して σi = 1のとき超双曲型という。

超双曲型２階線形偏微分方程式の例n−2∑i=1

∂2

∂x2i− ∂2

∂x2n−1− ∂2

∂x2n+

n∑i=1

bi∂

∂xi+ c

f = g

(∂2

∂x21+∂2

∂x22− ∂2

∂x23− ∂2

∂x24

)f = 0

σiのなかにm個 (1 ≤ m ≤ n− 1)σi = 0が

含まれる場合、放物型という。

放物型２階線形偏微分方程式の例n−m∑i=1

∂2

∂x2i+

n∑i=1

bi∂

∂xi+ c

f = g

(∂2

∂x2+∂2

∂y2− b∂

∂z

)f = 0

（熱方程式、熱伝導方程式、拡散方程式）(∂2

∂x2− b∂

∂y

)f = 0

（熱方程式、熱伝導方程式、拡散方程式）

∇2 = ∇ · ∇ = ∆ =∂2

∂x2+∂2

∂y2+∂2

∂z2

ラプラスの演算子、ラプラシアン；　 Laplacian operator

ポアソン方程式

∆u(r) = f (r)

電磁気学との関連

電位Φ(r), 電場E, 電荷密度ρ(r)

E = −∇Φ(r)

∇ ·E =ρ(r)

ε0

∇ · (∇Φ(r)) = ∆Φ(r) = −ρ(r)ε0

∆u(r) = f (r)

f (r) = 0のポアソン方程式をラプラス方程式という。

ラプラス方程式

∆u(r) = 0

電磁気学との関連:

議論する空間において電荷密度ρ(r) = 0という

条件での電位を記述する。


２次元ラプラス演算子∆ =∂2

∂x2+∂2

∂y2

の極座標表示

x = r cos θ, y = r sin θ

∂

∂r=∂x

∂r

∂

∂x+∂y

∂r

∂

∂y= cos θ

∂

∂x+ sin θ

∂

∂y

∂

∂θ=∂x

∂θ

∂

∂x+∂y

∂θ

∂

∂y= −r sin θ ∂

∂x+ r cos θ

∂

∂y

∂

∂x= cos θ

∂

∂r− 1

rsin θ

∂

∂θ

∂

∂y= sin θ

∂

∂r+1

rcos θ

∂

∂θ

∂2

∂x2= (cos θ

∂

∂r− 1

rsin θ

∂

∂θ)(cos θ

∂

∂r− 1

rsin θ

∂

∂θ)

= cos2 θ∂2

∂r2− sin θ cos θ(

∂

∂r

1

r)∂

∂θ

− sin θ cos θ1

r

∂2

∂r∂θ+ sin2 θ

1

r

∂

∂r

− sin θ cos θ1

r

∂2

∂r∂θ+ sin θ cos θ

1

r2∂

∂θ

+ sin2 θ1

r2∂2

∂θ2

∂2

∂y2= (sin θ

∂

∂r+1

rcos θ

∂

∂θ)(sin θ

∂

∂r+1

rcos θ

∂

∂θ)

= sin2 θ∂2

∂r2+ sin θ cos θ(

∂

∂r

1

r)∂

∂θ

+ sin θ cos θ1

r

∂2

∂r∂θ+ cos2 θ

1

r

∂

∂r

+ sin θ cos θ1

r

∂2

∂r∂θ− sin θ cos θ

1

r2∂

∂θ

+cos2 θ1

r2∂2

∂θ2

2次元ラプラス演算子

∆ =∂2

∂x2+∂2

∂y2

=∂2

∂r2+1

r

∂

∂r+

1

r2∂2

∂θ2

=1

r

∂

∂r(r∂

∂r) +

1

r2∂2

∂θ2


3次元ラプラス演算子∆ =∂2

∂x2+∂2

∂y2+∂2

∂z2

の極座標表示

x = r sin θ cosϕ, y = r sin θ sinϕ, z = r cos θ

∆ =∂2

∂r2+2

r

∂

∂r+

1

r2Λ

=1

r2∂

∂r(r2

∂

∂r) +

1

r2Λ

Λ =1

sin θ

∂

∂θ(sin θ

∂

∂θ) +

1

sin2 θ

∂2

∂ϕ2

∆u(r) = 0

領域を Ω, 境界を ∂Ωと表す。

特に指定しないときは、∂Ωは Ωに含まれない

ラプラス方程式の境界値問題

第１種 (ディリクレ型）

u(r) = φ(r), (r ∈ ∂Ω)

第２種 (ノイマン型）∂u(r)

∂n= φ(r), (r ∈ ∂Ω)

第３種∂u(r)

∂n+ α(r)u(r) = φ(r), (r ∈ ∂Ω)

第１種、第２種、第３種、

のラプラス方程式の解は高々１つである。

ラプラス方程式の全体像を議論することは、

電磁気学の広範な部分を議論することと同等である。

ここでは、ディリクレ型のラプラス方程式の

簡単な例に限って議論する。

Ωにおいて∆u(r) = 0を満たす関数を

調和な関数という

２次元のラプラス方程式

Ω: 原点を中心とする半径 aの円の内側

Ω : 0 ≤ r < a


∆ =∂2

∂r2+1

r

∂

∂r+

1

r2∂2

∂θ2

∆u(r, θ) = 0, 0 ≤ r < 0, (r ∈ Ω)

u(a, θ) = f (θ), (r ∈ ∂Ω, u(r) = f (θ))

u(r) = u(r, θ) = R(r)Θ(θ)

変数分離を仮定：変数分離のもとに解が求まれば、

その線形結合で解を構成

ディリクレ型の解がもとまれば、それが唯一の解

u(r) = u(r, θ) = R(r)Θ(θ)を

∆u(r, θ) = 0に代入

R′′(r)Θ(θ) +1

rR′(r)Θ(θ) +

1

r2R(r)Θ′′(θ) = 0

r2R′′(r) + rR′(r)R(r)

= −Θ′′(θ)Θ(θ)

左辺は rのみの関数、右辺は θのみの関数

rにも θにも依存しない定数 λを使って

r2R′′(r) + rR′(r)R(r)

= λ

Θ′′(θ)Θ(θ)

= −λ

r2R′′(r) + rR′(r)− λR(r) = 0 · · · (1)

Θ′′(θ) + λΘ(θ) = 0 · · · (2)

(1)はオイラーの微分方程式

r = exp(t)と変数変換

dR

dt=

dR

dr

dr

dt=

dR

drexp(t) = r

dR

dr

d2R

dt2= r

d

dr(dR

dt) = r

d

dr(rdR

dr) = r2

d2R

dr2+ r

dR

dr

(1)は、

d2R

dt2= λR と変形される。

d2R

dt2= λR

λ = 0のときd2R

dt2= 0 → dR

dt= c2

R = c2t + c1 = c2 log r + c1

λ = 0のとき

R = c1 exp(√λt) + c2 exp(−

√λt)

= c1r√λ + c2r

−√λ

(2)は簡単に解けて

Θ(θ) = d1 cos(√λθ) + d2 sin(

√λθ)

Ω: 原点を中心とする半径 aの円の内側

なので

Θ(θ) = Θ(θ + 2π)

したがって√λ = ℓ (ℓ = 0, 1, 2, 3, · · · )

Θ(θ) = d1 cos(ℓθ) + d2 sin(ℓθ)

R = c1r√λ + c2r

−√λ

= c1rn + c2r

−n (n = 1, 2, · · · )r = 0で uが調和なので c2 = 0と解る。

λ = 0のとき

R(r)Θ(θ) = C

λ = 0のとき

R(r)Θ(θ) = C1rn cos(nθ) + C2r

n sin(nθ)

(n = 1, 2, 3, · · · )

u = C1 +

∞∑n=1

C2nrn cos(nθ) + C3nr

n sin(nθ)

u(a, θ) = f (θ)なので

C1 +

∞∑n=1

C2nan cos(nθ) + C3na

n sin(nθ) = f (θ)

f (θ) = f (θ + 2π)なので (連続と仮定)

f (θ) =A0

2+

∞∑n=1

(An cos(ℓθ) +Bn sin(ℓθ))

Aℓ =1

π

∫ π

−πdθ′f (θ′) cos ℓθ′

Bℓ =1

π

∫ π

−πdθ′f (θ′) sin ℓθ′

C1 =A0

2, C2ℓ =

Aℓaℓ, C3ℓ =

Bℓaℓ

u =A0

2+

∞∑n=1

(An

(ra

)ncos(nθ) +Bn

(ra

)nsin(nθ))

=A0

2+

∞∑n=1

(ra

)n(An cos(nθ) +Bn sin(nθ))

An =1

π

∫ π

−πdθ′f (θ′) cosnθ′

Bn =1

π

∫ π

−πdθ′f (θ′) sinnθ′

３次元のラプラス方程式

Ω: 原点を中心とする半径 aの球の内側

Ω : 0 ≤ r < a


∆ =∂2

∂r2+2

r

∂

∂r+

1

r2Λ

Λ =1

sin θ

∂

∂θ(sin θ

∂

∂θ) +

1

sin2 θ

∂2

∂ϕ2

ここで、微分演算子 sx, sy, sz を定義する。

sx = −i(y ∂∂z− z ∂

∂y)

sy = −i(z∂

∂x− x ∂

∂z)

sz = −i(x∂

∂y− y ∂

∂x)

x = r sin θ cosϕ, y = r sin θ sinϕ, z = r cos θ

∂

∂ϕ=

dx

dϕ

∂

∂x+

dy

dϕ

∂

∂y+

dz

dϕ

∂

∂z

= − sin θ sinϕ∂

∂x+ sin θ cosϕ

∂

∂y

= x∂

∂y− y ∂

∂x

sz = −i∂

∂ϕ

∂

∂z= cos θ

∂

∂r− sin θ

r

∂

∂θ

∂

∂x= sin θ cosϕ

∂

∂r+cos θ cosϕ

r

∂

∂θ− sinϕ

r sin θ

∂

∂ϕ

∂

∂y= sin θ sinϕ

∂

∂r+cos θ sinϕ

r

∂

∂θ+

cosϕ

r sin θ

∂

∂ϕ

sx = −i(− sinϕ∂

∂θ− cos θ cosϕ

sin θ

∂

∂ϕ)

sy = −i(cosϕ∂

∂θ− cos θ sinϕ

sin θ

∂

∂ϕ)

sz = −i∂

∂ϕ

s2x + s2y + s2z

= −( 1

sin θ

∂

∂θ(sin θ

∂

∂θ) +

1

sin2 θ

∂2

∂ϕ2) = −Λ

∆ =∂2

∂r2+2

r

∂

∂r− 1

r2(s2x + s2y + s2z)

量子力学では、軌道角運動量演算子

lx = hsx, ly = hsy, lz = hsz

∆ =∂2

∂r2+2

r

∂

∂r− 1

r2h2(l2x + l2y + l2z)

ここから先の議論は、量子力学で議論するのが望ましい。

量子力学 Iで議論される見込み。

３次元ラプラス方程式（ディリクレ型）


Ω : 0 ≤ r < a

∂Ω: 原点を中心とする半径 aの球面

∆u(r) = 0, (r ∈ Ω)

u(r) = f (r), (r ∈ ∂Ω)

ポアソン積分による解

u(r) =1

4πa

∫∂Ω

dσ′a2 − r2

|r − r′|3f (r′)

Ψ = (r2 − a2)((x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)−3/2

0 ≤ r < a, (r ∈ Ω)

∂

∂x((x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)−3/2

= −3((x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)−5/2(x− x′)

∂2

∂x2((x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)−3/2

= 15((x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)−7/2(x− x′)2

− 3((x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)−5/2

∆((x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)−3/2

= 6((x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)−5/2

∂

∂x(r2 − a2) = 2x

∂2

∂x2(r2 − a2) = 2

∆(r2 − a2) = 6

∆Ψ = 6(r2 − a2)((x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)−5/2

+6((x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)−3/2

−12((x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)−5/2

×((x− x′)x + (y − y′)y + (z − z′)z)

r2 − a2 = x2 + y2 + z2 − (x′)2 − (y′)2 − (z′)2

= −(x− x′)2 − (y − y′)2 − (z − z′)2

+2(x− x′)x + 2(y − y′)y + 2(z − z′)z

∆Ψ = 0

u(r) =1

4πa

∫∂Ω

dσ′a2 − r2

|r − r′|3f (r′)

∆u(r) = 0, (r ∈ Ω)

limε→0+, r=a(1−ε)

1

4πa

∫∂Ω

dσ′a2 − r2

|r − r′|3f (r′) = f (r)

を確かめる必要がある。

u(r) =1

4πa

∫∂Ω

dσ′a2 − r2

|r − r′|3f (r′)

分子に a2 − r2があるので、r = a(1− 0+)で

分子はゼロに収束。

したがって、積分への寄与は、r′ = rの近傍のみ

r = a(1− ε)

1

4πa

∫∂Ω

dσ′a2 − r2

|r − r′|3f (r′)

=1

4πa

∫ 2π

0dϕ

∫ η

0dθ

a2(a2 − r2)ε sin θ(a2 + r2 − 2ar cos θ)3/2

f (θ, ϕ)

=1

4πa

∫ 2π

0dϕ

∫ η

0dθ

2a4εθf (θ, ϕ)

(2a2 − 2a2ε + a2ε2 − 2a2(1− ε)(1− 12θ

2))3/2

= εf (r)

∫ η

0dθ

θ

(2− 2ε + ε2 − 2(1− ε)(1− 12θ

2))3/2

= εf (r)

∫ η

0dθ

θ

(2− 2ε + ε2 − 2(1− ε)(1− 12θ

2))3/2

= εf (r)

∫ η

0dθ

θ

(ε2 + θ2)3/2

=1

2εf (r)

∫ η2

0dλ

1

(ε2 + λ)3/2

=1

2εf (r)

[−2(ε2 + λ)−1/2

]η20

= εf (r)(1

ε− 1√

ε2 + η2)

= f (r)(1− 1√1 + (ηε)

2)

ε→0+−→ f (r) (r ∈ ∂Ω)

３次元ラプラス方程式（ディリクレ型）


Ω : 0 ≤ r < a

∂Ω: 原点を中心とする半径 aの球面

∆u(r) = 0, (r ∈ Ω)

u(r) = f (r), (r ∈ ∂Ω)

u(r) =1

4πa

∫∂Ω

dσ′a2 − r2

|r − r′|3f (r′)

熱伝導方程式、熱方程式、拡散方程式

熱流密度 j

j は、温度勾配に比例する。

近似であるが、とてもよい近似

j(r, t) = −K∇T (r, t)T : 温度, K : 熱伝導率

熱は高温から低温へ流れるので 0 < K

熱密度 q

有限領域への時間あたりの熱流入は、

その有限領域の時間あたり熱量変化と一致するので

∇ · j = −q

比熱 C, 密度ρ

有限領域の時間あたり熱量変化は

時間あたり温度変化と ρC の積と一致するので

ρC∂

∂tT (r, t) = q

ρC∂

∂tT (r, t) = −∇ · j = −∇ · (−K∇T (r, t))

∂

∂tT (r, t) = κ∆T (r, t)

κ =K

ρC: 温度伝導率、熱拡散率

熱伝導方程式、熱方程式、拡散方程式∂

∂tT (xxx, t) = κ∇2T (xxx, t)

熱方程式は、時間の反転対称性がないので、

tに下限を設定する必要がある。ここでは、

0 < tとする。

系と外部との熱のやりとり、（加熱、冷却）があるなら∂

∂tT (xxx, t) = κ∇2T (xxx, t) + f (r, t)

熱方程式の初期条件と境界条件∂

∂tu(xxx, t) = κ∇2u(xxx, t) (0 < t)

熱方程式の解は無限個存在する。その中から１つを指定するために

次の１～４の条件を指定することが必要である。

一般的には、１を指定し、２～４の中から１つを指定する。

そのように指定された条件を満足する解は高々１つである。

解の一意性

１、初期条件

u(r, 0) = φ(r)

時間 t = 0での温度分布を指定することに相当

２、第１種境界条件（ディレクレ型)

u(r, t) = φ(r, t), (r ∈ ∂Ω)物体の表面での温度を指定することに相当

３、第２種境界条件（ノイマン型)∂

∂nu(r, t) = φ(r, t), (r ∈ ∂Ω)

表面を通って出入りする熱量を指定することに相当

φ(r, t)が恒等的にゼロのとき、断熱条件に相当

４、第３種境界条件∂

∂nu(r, t) + α(r, t)u = β(r, t), (r ∈ ∂Ω)

一次元熱方程式

第１種初期・境界値問題

∂

∂tu(x, t) =

∂2

∂x2u(x, t), (0 < x < L, 0 < t)

初期条件：u(x, 0) = ϕ(x), (0 ≤ x ≤ L)

境界条件：u(0, t) = f1(t), u(L, t) = f2(t), (0 ≤ t)

両立性の条件: ϕ(0) = f1(0), ϕ(L) = f2(0)

最大値原理

２次元領域 Rを４つの線分で囲まれた領域とする。

R : (x, t) = (0, 0)→ (L, 0)→ (L, t)→ (0, t)→ (0, 0)

と定義する。（t→∞）ここでは、境界は Rに含まれると定義する。

∂Rを R境界のから一つの線分を取り除いた 3つの線分上とする。

∂R : (0, t)→ (0, 0)→ (0, 0)→ (L, 0)→ (L, t)

最大値原理

u(x, t)が熱方程式

∂

∂tu(x, t) =

∂2

∂x2u(x, t), (0 < x < L, 0 < t)

を満たすとき

u(x, t)は、領域 Rでの最大値、最小値を∂R

でとる。

最大値原理の背理法による証明

u(x, t)の Rでの最大値をMmax

∂Rでの最大値をmmaxと書く。

当然、mmax ≤Mmaxである。

mmax < Mmaxと仮定する。

u(x, t) =Mmaxとなる点を (x0, t0)と書く

mmax < Mmaxと仮定してるので

(x0, t0)は、∂Rに含まれない。

補助関数 vを導入し

v(x, t) = u(x, t) +Mmax −mmax

2L2(x− x0)2

と定義する。

∂Rの上では、

v(x, t) ≤ u(x, t) +Mmax −mmax

2

≤ mmax +Mmax −mmax

2

=Mmax +mmax

2< Mmax

v(x0, t0) = u(x0, t0) =Mmaxなので

Rにおける vの最大値M ′maxは

Mmax ≤M ′maxである。

∂R上では、v(x, t) < Mmaxなので

v(x1, t1) =M ′maxとなる点 (x1, t1)は ∂R上にはない。

したがって、v(x, t)は (x1, t1)で

∂v

∂t= 0,

∂2v

∂x2≤ 0

となる。

したがって、(x1, t1)で

0 ≤ ∂v

∂t− ∂2v

∂x2· · · (1)

∂v

∂t− ∂2v

∂x2

=∂u

∂t− ∂2u

∂u2−Mmax −mmax

L2

= −Mmax −mmax

L2< 0 · · · (2)

(1)と (2)は矛盾している。したがって、仮定は否定された。

Mmax = mmaxが示された。

最小値原理の背理法による証明

u(x, t)の Rで最小値をMmin

∂Rでの最小値をmminと書く。

当然、mmin ≥Mminである。

mmin > Mminと仮定する。

u(x, t) =Mminとなる点を (x0, t0)と書く

mmin > Mminと仮定してるので

(x0, t0)は、∂Rに含まれない。

補助関数 vを導入し

v(x, t) = u(x, t) +Mmin −mmin

2L2(x− x0)2

と定義する。

∂Rの上では、

v(x, t) ≥ u(x, t) +Mmin −mmin

2

≥ mmin +Mmin −mmin

2

=Mmin +mmin

2> Mmin

v(x0, t0) = u(x0, t0) =Mminなので

Rにおける vの最小値M ′minは

Mmin ≥M ′minである。

∂R上では、v(x, t) > Mminなので

v(x1, t1) =M ′minとなる点 (x1, t1)は ∂R上にはない。

したがって、v(x, t)は (x1, t1)で

∂v

∂t= 0,

∂2v

∂x2≥ 0

となる。

したがって、(x1, t1)で

0 ≥ ∂v

∂t− ∂2v

∂x2· · · (1)

∂v

∂t− ∂2v

∂x2

=∂u

∂t− ∂2u

∂u2−Mmin −mmin

L2

= −Mmin −mmin

L2> 0 · · · (2)

(1)と (2)は矛盾している。したがって、仮定は否定された。

Mmin = mminが示された。



∂

∂tu(x, t) =

∂2

∂x2u(x, t), (0 < x < L, 0 < t) · · · (1)

初期条件：u(x, 0) = ϕ(x), (0 ≤ x ≤ L) · · · (2)

境界条件：u(0, t) = f1(t), u(L, t) = f2(t), (0 ≤ t) · · · (3)

(1)(2)(3)を同時に満たす関数は、

高々１つである。(解の一意性)

証明

u1, u2が (1)(2)(3)を満たすとする。

u = u1 − u2と定義すると uは、(1)を満たす。

定義から

u(x, 0) = 0, (0 ≤ x ≤ L)

u(0, t) = 0, (0 ≤ t)

最大値原理により uの最大値と最小値はゼロである。

したがって、uは、恒等的に u = 0

u = 0→ u1 = u2, 解の一意性が示された。



∂

∂tu(x, t)− κ ∂

2

∂x2u(x, t) = 0, (0 < x < L, 0 < t)

初期条件：u(x, 0) = ϕ(x), (0 ≤ x ≤ L)

境界条件：u(0, t) = ϕ(0), u(L, t) = ϕ(L), (0 ≤ t)

境界条件が

境界条件：u(0, t) = f1(t), u(L, t) = f2(t), (0 ≤ t)

と書かれる場合は、フーリエ変換が必

フーリエ変換は物理数学 IIで説明される見込み

∂

∂tu(x, t)− κ ∂

2

∂x2u(x, t) = 0, (0 < x < L, 0 < t)

初期条件：u(x, 0) = ϕ(x), (0 ≤ x ≤ L)

境界条件：u(0, t) = ϕ(0), u(L, t) = ϕ(L), (0 ≤ t)

変数変換する。

u = u− (ϕ(0) + (ϕ(L)− ϕ(0))xL)

ϕ(x) = ϕ(x)− (ϕ(0) + (ϕ(L)− ϕ(0))xL)

∂

∂tu(x, t)− κ ∂

2

∂x2u(x, t) = 0, (0 < x < L, 0 < t) · · · (1)

初期条件：u(x, 0) = ϕ(x), (0 ≤ x ≤ L) · · · (2)

境界条件：u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, (0 ≤ t) · · · (3)

　ϕ(x)が恒等的にϕ(x) = 0のとき

u(x, t)は恒等的にu(x, t) = 0となる。

u(x, t) = ϕ(0) + (ϕ(L)− ϕ(0))xL

ϕ(x)が恒等的にϕ(x) = 0

というわけではないという条件で議論をすすめる。

変数分離を仮定した解をもとめ、

その線形結合で、問題の解を表す。

u = T (t)X(x)

T ′(t)X(x)− κT (t)X ′′(x) = 0

T ′(t)

κT (t)=X ′′(x)

X(x)= −λ

X ′′(x) = −λX(x)

T ′(t) = −λκT (t)

λ < 0のとき

X(x) = c1 exp(√|λ| x) + c2 exp(−

√|λ| x)

X(0) = 0, X(L) = 0, → c1 = 0, c2 = 0

λ < 0は排除

λ = 0のとき

X(x) = c1 + c2x

X(0) = 0, X(L) = 0, → c1 = 0, c2 = 0

λ = 0は排除

0 < λのとき

X(x) = c1 cos(√λx) + c2 sin(

√λx)

X(0) = 0, X(L) = 0,→ c1 = 0, c2 sin(√λL) = 0

sin(√λL) = 0√

λ =π

Ln, (n = 1, 2, 3 · · · )

Xn(x) = C1n sin(πn

Lx)

Tn(t) = C2n exp(−κ(πn

L)2t)

u(x, t) =

∞∑n=1

An(sin(πn

Lx)) exp(−κ(πn

L)2t)

u(x, 0) =∞∑n=1

An(sin(πn

Lx)) = ϕ(x)

˜ϕ(x)を x = 0に対して奇関数に拡張した周期 2Lの周期関数を ˜ϕと書く。˜ϕは、x = Lに対しても奇関数

˜ϕ(x) =

ϕ(x), 0 ≤ x ≤ L

−ϕ(−x), −L ≤ x ≤ 0

˜ϕ(x)をフーリエ級数で表す。

˜ϕ(x) =∞∑n=1

An sin(πn

Lx)

An =1

L

∫ L

−Ldx′ ˜ϕ(x′) sin(

πn

Lx′) =

2

L

∫ L

0dx′ ˜ϕ(x′) sin(

πn

Lx′)

=2

L

∫ L

0dx′ϕ(x′) sin(

πn

Lx′)

An =2

L

∫ L

0dx′ϕ(x′) sin(

πn

Lx′)

=2

πn(ϕ(L)(−1)n − ϕ(0)) + 2

L

∫ L

0dx′ϕ(x′) sin(

πn

Lx′)

u(x, t) = ϕ(0) + (ϕ(L)− ϕ(0))xL

　 +

∞∑n=1

An sin(πn

Lx) exp(−κ(πn

L)2t)


第２種初期・境界値問題

∂

∂tu(x, t)− κ ∂

2

∂x2u(x, t) = 0, (0 < x < L, 0 < t)

初期条件：u(x, 0) = ϕ(x), (0 ≤ x ≤ L)

境界条件：∂

∂xu(0, t) = ϕ′(0),

∂

∂xu(L, t) = ϕ′(L), (0 ≤ t)


u = u− (ϕ′(0)x +1

2(ϕ′(L)− ϕ′(0))x

2

L)− κϕ

′(L)− ϕ′(0)L

t

ϕ(x) = ϕ(x)− (ϕ′(0)x +1

2(ϕ′(L)− ϕ′(0))x

2

L)

∂

∂tu(x, t)− κ ∂

2

∂x2u(x, t) = 0, (0 < x < L, 0 < t) · · · (1)

初期条件：u(x, 0) = ϕ(x), (0 ≤ x ≤ L) · · · (2)

境界条件：∂

∂xu(0, t) = 0,

∂

∂xu(L, t) = 0, (0 ≤ t) · · · (3)



u(x, t) = ϕ′(0)x +1

L(ϕ′(L)− ϕ′(0))(x

2

2+ κt)





u = T (t)X(x)

T ′(t)X(x)− κT (t)X ′′(x) = 0

T ′(t)

κT (t)=X ′′(x)

X(x)= −λ

X ′′(x) = −λX(x)

T ′(t) = −λκT (t)

λ < 0のとき

X(x) = c1 exp(√|λ| x) + c2 exp(−

√|λ| x)

X ′(0) = 0, X ′(L) = 0→ c1 = 0 c2 = 0

λ < 0は排除

λ = 0のとき

X(x) = c1 + c2x

X ′(0) = 0, X ′(L) = 0, → c1 = 0, c2 = 0

λ = 0は排除

0 < λのとき


√λx)

X ′(x) = −c1√λ sin(

√λx) + c2

√λ cos(

√λx)

X ′(0) = 0, X ′(L) = 0,→ c2 = 0, c1 sin(√λL) = 0

sin(√λL) = 0√

λ =π

Ln, (n = 0, 1, 2, 3 · · · )

Xn(x) = C1n cos(πn

Lx)

Tn(t) = C2n exp(−κ(πn

L)2t)

u(x, t) = C0 +

∞∑n=1

An(cos(πn

Lx)) exp(−κ(πn

L)2t)

u(x, 0) = C0 +

∞∑n=1

An(cos(πn

Lx)) = ϕ(x)

xを x = 0に対して偶関数に拡張した

周期 2Lの周期関数を ˜ϕと書く。˜ϕは、x = Lに対して偶関数

˜ϕ(x) =

ϕ(x), 0 ≤ x ≤ L

ϕ(−x), −L ≤ x ≤ 0


˜ϕ(x) =A0

2+

∞∑n=1

An cos(πn

Lx)

An =1

L

∫ L

−Ldx′ ˜ϕ(x′) cos(

πn

Lx′) =

2

L

∫ L

0dx′ ˜ϕ(x′) cos(

πn

Lx′)

=2

L

∫ L

0dx′ϕ(x′) cos(

πn

Lx′)

An =2

L

∫ L

0dx′ϕ(x′) cos(

πn

Lx′)

=2L

(nπ)2(ϕ′(0)− ϕ′(L)(−1)n)

+2

L

∫ L

0dx′ϕ(x′) cos(

πn

Lx′)

u(x, t) = ϕ′(0)x +1

L(ϕ′(L)− ϕ′(0))(x

2

2+ κt)

　 +A0

2+

∞∑n=1

An cos(πn

Lx) exp(−κ(πn

L)2t)


第３種初期・境界値問題

∂

∂tu(x, t)− κ ∂

2

∂x2u(x, t) = 0, (0 < x < L, 0 < t)

初期条件：u(x, 0) = ϕ(x), (0 ≤ x ≤ L)

境界条件：u(0, t) = ϕ(0),∂

∂xu(L, t) = ϕ′(L), (0 ≤ t)


u = u− (ϕ(0) + ϕ′(L)x)

ϕ(x) = ϕ(x)− (ϕ(0) + ϕ′(L)x)

∂

∂tu(x, t)− κ ∂

2

∂x2u(x, t) = 0, (0 < x < L, 0 < t) · · · (1)

初期条件：u(x, 0) = ϕ(x), (0 ≤ x ≤ L) · · · (2)

境界条件：u(0, t) = 0,∂

∂xu(L, t) = 0, (0 ≤ t) · · · (3)



u(x, t) = ϕ(0) + ϕ′(L)x





u = T (t)X(x)

T ′(t)X(x)− κT (t)X ′′(x) = 0

T ′(t)

κT (t)=X ′′(x)

X(x)= −λ

X ′′(x) = −λX(x)

T ′(t) = −λκT (t)

λ < 0のとき

X(x) = c1 exp(√|λ| x) + c2 exp(−

√|λ| x)

X(0) = 0, X ′(L) = 0→ c1 = 0 c2 = 0

λ < 0は排除

λ = 0のとき

X(x) = c1 + c2x

X(0) = 0, X ′(L) = 0, → c1 = 0, c2 = 0

λ = 0は排除

0 < λのとき


√λx)

X ′(x) = −c1√λ sin(

√λx) + c2

√λ cos(

√λx)

X(0) = 0, X ′(L) = 0,→ c1 = 0, c1 cos(√λL) = 0

cos(√λL) = 0

√λ =

(1 + 2n)π

2L, (n = 0, 1, 2, 3 · · · )

Xn(x) = C1n sin((1 + 2n)π

2Lx)

Tn(t) = C2n exp(−κ((1 + 2n)π

2L)2t)

u(x, t) =

∞∑n=0

An sin((1 + 2n)π

2Lx) exp(−κ((1 + 2n)π

2L)2t)

u(x, 0) =∞∑n=0

An sin((1 + 2n)π

2Lx) = ϕ(x)

˜ϕ(x) : 周期 4Lの周期関数

step I: ϕを x = Lに対して偶関数に拡張。

領域: 0 ≤ x ≤ 2L

step II: x = 0に対して奇関数に拡張。

領域: − 2L ≤ x ≤ 2L

step III: 周期 4Lに拡張。

領域: −∞ < x <∞

˜ϕ(x) =

ϕ(x), 0 ≤ x ≤ L

ϕ(2L− x), L ≤ x ≤ 2L

−ϕ(−x), −L ≤ x ≤ 0

−ϕ(−2L + x), −2L ≤ x ≤ −L


˜ϕ(x) =

∞∑n=1

Bn sin(πn

2Lx)

Bn =1

2L

∫ 2L

−2Ldx′ ˜ϕ(x′) sin(

πn

2Lx′)

=1

L

∫ 2L

0dx′ ˜ϕ(x′) sin(

πn

2Lx′)

=1

L

∫ L

0dx′ϕ(x′) sin(

πn

2Lx′)

+1

L

∫ 2L

Ldx′ϕ(2L− x′) sin(πn

2Lx′)

Bn =1

L

∫ L

0dx′ϕ(x′) sin(

πn

2Lx′)

+1

L

∫ L

0dx′ϕ(x′) sin(

πn

2L(2L− x′))

=1

L

∫ L

0dx′ϕ(x′) sin(

πn

2Lx′)

− (−1)n 1L

∫ L

0dx′ϕ(x′) sin(

πn

2Lx′)

= (1− (−1)n) 1L

∫ L

0dx′ϕ(x′) sin(

πn

2Lx′)

˜ϕ(x) =

∞∑n=0

An sin((1 + 2n)π

2Lx)

An =2

L

∫ L

0dx′ϕ(x′) sin(

(1 + 2n)π

2Lx′)

u(x, t) = ϕ(0) + ϕ′(L)x

+

∞∑n=0

An sin((1 + 2n)π

2Lx) exp(−κ((1 + 2n)π

2L)2t)

An =2

L

∫ L

0dx′ϕ(x′) sin(

(1 + 2n)π

2Lx′)

=8(1− (−1)n)L(1 + 2n)2π2

ϕ′(L) +2

L

∫ L

0dx′ϕ(x′) sin(

(1 + 2n)π

2Lx′)

波動方程式

∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0

変数変換

y1 = x− vty2 = x + vt

∂

∂x=

∂

∂y1+

∂

∂y2

∂

∂t= −v ∂

∂y1+ v

∂

∂y2

∂2

∂x2= (

∂

∂y1+

∂

∂y2)(∂

∂y1+

∂

∂y2)

∂2

∂t2= (−v ∂

∂y1+ v

∂

∂y2)(−v ∂

∂y1+ v

∂

∂y2)

∂2

∂x2=∂2

∂y21+∂2

∂y22+ 2

∂2

∂y1∂y2

∂2

∂t2= v2

∂2

∂y21+ v2

∂2

∂y22− 2v2

∂2

∂y1∂y2

∂2

∂t2− v2 ∂

2

∂x2= −4v2 ∂

2

∂y1∂y2

波動方程式

∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0

変数変換

y1 = x− vty2 = x + vt

∂2

∂y1∂y2u(y1, y2) = 0

∂2

∂y1∂y2u(y1, y2) = 0

∂

∂y1u(y1, y2) = ϕ1(y1)

u(y1, y2) =

∫ y1

cdyϕ1(y) + g(y2)

u(y1, y2) = f (y1) + g(y2)

u(x, t) = f (x− vt) + g(x + vt)

一次元波動方程式（コーシー問題）

(−∞ < x <∞)

∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0

u(x, 0) = ϕ(x)

∂

∂tu(x, 0) = ψ(x)

u(x, 0) = f (x) + g(x) = ϕ(x)

∂

∂tu(x, 0) = −vf ′(x) + vg′(x) = ψ(x)

(f (x)− g(x)) = −1v

∫ x

x0

dx ψ(x) + c

f (x) =1

2(ϕ(x)− 1

v

∫ x

x0

dx ψ(x) + c)

g(x) =1

2(ϕ(x) +

1

v

∫ x

x0

dx ψ(x)− c)

u(x, t) = f (x− vt) + g(x + vt)

=1

2(ϕ(x− vt) + ϕ(x + vt)) +

1

2v

∫ x+vt

x−vtdx ψ(x)

ダランベールの公式

u(x, t) = f (x− vt)のとき

u(x, 0) = f (x) = ϕ(x)∂

∂tu(x, 0) = −vf ′(x) = ψ(x)

1

2(ϕ(x− vt) + ϕ(x + vt))

=1

2(f (x + vt) + f (x− vt))

1

2v

∫ x+vt

x−vtdx ψ(x) = −1

2

∫ x+vt

x−vtdx f ′(x)

= −12(f (x + vt)− f (x− vt))

ダランベールの公式から u(x, t) = f (x− vt)

半無限の場合

∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0

(0 < x <∞)

u(x, 0) = ϕ(x)

(0 ≤ x <∞)

∂

∂tu(x, 0) = ψ(x)

(0 ≤ x <∞)

u(0, t) = 0, (ϕ(0) = 0, ψ(0) = 0)

(固定端)　第１種問題

ϕ(x)を x = 0に関して奇関数に拡張した関数を

Φ(x)と書く

ψ(x)を x = 0に関して奇関数に拡張した関数を

Ψ(x)と書く

Φ(x) =

ϕ(x), 0 ≤ x

−ϕ(−x), x ≤ 0

Ψ(x) =

ψ(x), 0 ≤ x

−ψ(−x), x ≤ 0

∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0

(0 < x <∞)

u(x, 0) = ϕ(x),∂

∂tu(x, 0) = ψ(x)

(0 ≤ x <∞)

u(0, t) = 0

↓

∂2

∂t2U(x, t)− v2 ∂

2

∂x2U(x, t) = 0

(−∞ < x <∞)

U(x, 0) = Φ(x),∂

∂tU(x, 0) = Ψ(x)

(−∞ < x <∞)

ダランベールの公式から

U(x, t) =1

2(Φ(x− vt) + Φ(x + vt))

+1

2v

∫ x+vt

x−vtdxΨ(x)

U(0, t) =1

2(Φ(−vt) + Φ(vt)) +

1

2v

∫ +vt

−vtdxΨ(x)

ΦとΨが奇関数なので

U(0, t) = 0

U(−x, t) = 1

2(Φ(−x− vt) + Φ(−x + vt))

+1

2v

∫ −x+vt−x−vt

dxΨ(x)

=1

2(−Φ(x + vt)− Φ(x− vt))

− 1

2v


dxΨ(−x)

= −12(Φ(x + vt) + Φ(x− vt))

+1

2v

∫ x−vt

x+vtdxΨ(x)

= −U(x, t)U(x, t)は x = 0に関して奇関数

∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0, (0 < x <∞)

u(x, 0) = ϕ(x),∂

∂tu(x, 0) = ψ(x) (0 ≤ x <∞)

u(0, t) = 0 系が x = 0で固定点

↑同等

↓(−∞ < x <∞)

∂2

∂t2U(x, t)− v2 ∂

2

∂x2U(x, t) = 0

U(x, 0) = Φ(x),∂

∂tU(x, 0) = Ψ(x)

系は固定点がない。一様な系。

しかし、初期条件が x = 0に関して奇関数である。

初期条件が奇関数であると U も x = 0に関して奇関数である。

したがって、U(0, t) = 0

半無限の場合　第２種

∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0

(0 < x <∞)

u(x, 0) = ϕ(x)

(0 ≤ x <∞)

∂

∂tu(x, 0) = ψ(x)

(0 ≤ x <∞)

∂

∂xu(0, t) = 0, (ϕ′(0) = 0, ψ′(0) = 0)

(自由端)　第２種問題

ϕ(x)を x = 0に関して偶関数に拡張した関数を

Φ(x)と書く

ψ(x)を x = 0に関して偶関数に拡張した関数を

Ψ(x)と書く

Φ(x) =

ϕ(x), 0 ≤ x

ϕ(−x), x ≤ 0

Ψ(x) =

ψ(x), 0 ≤ x

ψ(−x), x ≤ 0

∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0

(0 < x <∞)

u(x, 0) = ϕ(x),∂

∂tu(x, 0) = ψ(x)

(0 ≤ x <∞)∂

∂xu(0, t) = 0

↓

∂2

∂t2U(x, t)− v2 ∂

2

∂x2U(x, t) = 0

(−∞ < x <∞)

U(x, 0) = Φ(x),∂

∂tU(x, 0) = Ψ(x)

(−∞ < x <∞)


U(x, t) =1

2(Φ(x− vt) + Φ(x + vt))

+1

2v

∫ x+vt

x−vtdxΨ(x)

∂

∂xU(x, t) =

1

2(Φ′(x− vt) + Φ′(x + vt))

+1

2v(Ψ(x + vt)− Ψ(x− vt))

ΦとΨが偶関数なので∂

∂xU(x, t)は x = 0に関して奇関数

∂

∂xU(0, t) = 0

U(−x, t) = 1

2(Φ(−x− vt) + Φ(−x + vt))

+1

2v


dxΨ(x)

=1

2(Φ(x + vt) + Φ(x− vt))

− 1

2v

∫ x−vt

x+vtdxΨ(x)

=1

2(Φ(x + vt) + Φ(x− vt))

+1

2v

∫ x+vt

x−vtdxΨ(x)

= U(x, t)

U(x, t)は x = 0に関して偶関数

∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0, (0 < x <∞)

u(x, 0) = ϕ(x),∂

∂tu(x, 0) = ψ(x) (0 ≤ x <∞)

∂

∂xu(0, t) = 0 系が x = 0で自由端

↑同等

↓∂2

∂t2U(x, t)− v2 ∂

2

∂x2U(x, t) = 0 (−∞ < x <∞)

U(x, 0) = Φ(x),∂

∂tU(x, 0) = Ψ(x) (−∞ < x <∞)

系は一様な系。

しかし、初期条件が x = 0に関して偶関数である。

初期条件が偶関数であると U も x = 0に関して偶関数である。

したがって、∂

∂xU(0, t) = 0

境界での反射、透過

領域 I: −∞ < x < 0

領域 II: 0 < x <∞

領域 I:∂2

∂t2u1(x, t)− v21

∂2

∂x2u1(x, t) = 0

(−∞ < x < 0)

領域 II:∂2

∂t2u2(x, t)− v22

∂2

∂x2u2(x, t) = 0

(0 < x <∞)

u1(x, t)x→−0+ = u2(x, t)x→0+

∂

∂xu1(x, t)x→−0+ =

∂

∂xu2(x, t)x→0+

領域 Iを右に進む波 f1(x− v1t)が領域 Iと IIの境界 x = 0で入射した場合を考える。

反射波を g1(x + vt), 透過波を f2(x− v2t)と書く。

領域 I u1(x, t) = f1(x− v1t) + g1(x + v1t)

領域 II u2(x, t) = f2(x− v2t)

f1(−v1t) + g1(v1t) = f2(−v2t)

∂

∂xf1(x− v1t)x→−0+ +

∂

∂xg1(x + v1t)x→−0+

=∂

∂xf2(x− v2t)x→0+

x = x± vt→ dx = ±vdt∫ t

t0

dt∂

∂xf1(x− v1t) = −

1

v1

∫ x−v1t

x−v1t0dx

∂

∂xf1(x)

= − 1

v1f1(x− v1t) +

1

v1f1(x− v1t0)

十分に過去ならば波がないという条件で議論する。

f1(x− v1t0) = 0

f1(−v1t) + g1(v1t) = f2(−v2t)

− 1

v1f1(−v1t) +

1

v1g1(v1t) = −

1

v2f2(−v2t)

g1(v1t) =v2 − v1v1 + v2

f1(−v1t)

f2(−v2t) =2v2

v1 + v2f1(−v1t)

g1(x + v1t) =v2 − v1v1 + v2

f1(−x− v1t)

f2(x− v2t) =2v2

v1 + v2f1(

v1v2(x− v2t)) =

2v2v1 + v2

f1(v1v2x− v1t)

反射係数 R =v2 − v1v1 + v2

v1 < v2→ 0 < R, v2 < v1→ R < 0

透過係数 T =2v2

v1 + v2

v1v2→ 0のとき

自由端に相当

R =1− v1

v2

1 + v1v2

= 1, T =2

1 + v1v2

= 2

v2v1→ 0のとき

固定端に相当

R = −1− v2

v1

1 + v2v1

= −1, T =2

1 + v1v2

= 0

有限系での波動方程式 (１種)

∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0 · · · (1)

(0 < x < L)

u(x, 0) = ϕ(x),∂

∂tu(x, 0) = ψ(x)

(0 ≤ x ≤ L)

u(0, t) = ϕ(0), u(L, t) = ϕ(L)

u(x, t) = f (x− vt) + g(x + vt)は、(1)を満足

変数変換

u(x, t) = u(x, t)− (ϕ(0) + (ϕ(L)− ϕ(0))xL)

ϕ(x) = ϕ(x)− (ϕ(0) + (ϕ(L)− ϕ(0))xL)

∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0

(0 < x < L)

u(x, 0) = ϕ(x),∂

∂tu(x, 0) = ψ(x) = ψ(x)

(0 ≤ x ≤ L)

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0

ϕ(x)を x = 0に関して奇関数に拡張し、

さらに、周期 2Lに拡張した関数を

Φ(x)と書く

ψ(x)を x = 0に関して奇関数に拡張し、


Ψ(x)と書く

Φ(x) =

ϕ(x), 0 ≤ x ≤ L

−ϕ(−x), −L ≤ x ≤ 0

Ψ(x) =

ψ(x), 0 ≤ x ≤ L

−ψ(−x), −L ≤ x ≤ 0

∂2

∂t2U(x, t)− v2 ∂

2

∂x2U(x, t) = 0

(−∞ < x <∞)

U(x, 0) = Φ(x),∂

∂tU(x, 0) = Ψ(x)

(−∞ < x <∞)


U(x, t) =1

2(Φ(x− vt) + Φ(x + vt))

+1

2v

∫ x+vt

x−vtdxΨ(x)

U(0, t) =1

2(Φ(−vt) + Φ(vt)) +

1

2v

∫ +vt

−vtdxΨ(x)

ΦとΨが x = 0に関して奇関数なので

U(0, t) = 0

U(−x, t) = 1

2(Φ(−x− vt) + Φ(−x + vt))

+1

2v


dxΨ(x)

=1

2(−Φ(x + vt)− Φ(x− vt))

− 1

2v


dxΨ(−x)

= −12(Φ(x + vt) + Φ(x− vt))

+1

2v

∫ x−vt

x+vtdxΨ(x)


U(x, t) =1

2(Φ(x− vt) + Φ(x + vt))

+1

2v

∫ x+vt

x−vtdx Ψ(x)

U(L, t) =1

2(Φ(L− vt) + Φ(L + vt)) +

1

2v

∫ L+vt

L−vtdxΨ(x)

=1

2(Φ(L− vt)− Φ(2L− L− vt)) + 1

2v

∫ vt

−vtdxΨ(x + L)

ΦとΨが x = Lに関して奇関数なので

U(L, t) = 0

U(L + x, t) =1

2(Φ(L + x− vt) + Φ(L + x + vt))

+1

2v

∫ L+x+vt

L+x−vtdx Ψ(x)

=1

2(−Φ(2L− (L + x− vt))− Φ(2L− (L + x + vt)))

− 1

2v

∫ L+x+vt

L+x−vtdx Ψ(2L− x)

= −12(Φ(L− x− vt) + Φ(L− x + vt))

− 1

2v

∫ L−x+vt

L−x−vtdx Ψ(x)

= −U(L− x, t)U(x, t)は x = Lに関して奇関数

∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0, (0 < x < L)

u(x, 0) = ϕ(x),∂

∂tu(x, 0) = ψ(x) (0 ≤ x ≤ L)

u(0, t) = 0 u(L, t) = 0 (系が x = 0, x = Lで固定点)

↑同等

↓(−∞ < x <∞)

∂2

∂t2U(x, t)− v2 ∂

2

∂x2U(x, t) = 0

U(x, 0) = Φ(x),∂

∂tU(x, 0) = Ψ(x)

系には固定点がない。一様な系。

しかし、初期条件が x = 0, x = Lに関して奇関数である周期関数

U(0, t) = 0, U(L, t) = 0が満たされる

Uの領域 (0 ≤ x ≤ L)における (x, t)依存性が u(x, t)と一致。

u(x, t) = u(x, t) + ϕ(0) + (ϕ(L)− ϕ(0))xL

たとえば

有限系での波動方程式 (２種)

∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0 · · · (1)

(0 < x < L)

u(x, 0) = ϕ(x),∂

∂tu(x, 0) = ψ(x)

(0 ≤ x ≤ L)

∂

∂xu(0, t) = ϕ′(0),

∂

∂xu(L, t) = ϕ′(L)

変数変換

u(x, t) = u(x, t)− (ϕ′(0)x +1

2(ϕ′(L)− ϕ′(0))x

2

L)

− 1

2v2(ϕ′(L)− ϕ′(0))t

2

L

ϕ(x) = ϕ(x)− (ϕ′(0)x +1

2(ϕ′(L)− ϕ′(0))x

2

L)

ψ(x) = ψ(x)

∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0

(0 < x < L)

u(x, 0) = ϕ(x),∂

∂tu(x, 0) = ψ(x)

(0 ≤ x ≤ L)

∂

∂xu(0, t) = 0,

∂

∂xu(L, t) = 0

ϕ(x)を x = 0に関して偶関数に拡張し、


Φ(x)と書く

ψ(x)を x = 0に関して偶関数に拡張し、


Ψ(x)と書く

Φ(x) =

ϕ(x), 0 ≤ x ≤ L

ϕ(−x), −L ≤ x ≤ 0

Ψ(x) =

ψ(x), 0 ≤ x ≤ L

ψ(−x), −L ≤ x ≤ 0

∂2

∂t2U(x, t)− v2 ∂

2

∂x2U(x, t) = 0

(−∞ < x <∞)

U(x, 0) = Φ(x),∂

∂tU(x, 0) = Ψ(x)

(−∞ < x <∞)


U(x, t) =1

2(Φ(x− vt) + Φ(x + vt))

+1

2v

∫ x+vt

x−vtdxΨ(x)

∂

∂xU(0, t) =

1

2(Φ′(−vt) + Φ′(vt)) +

1

2(Ψ(vt)− Ψ(−vt))

ΦとΨが x = 0に関して偶数関数なので∂

∂xU(0, t) = 0

U(−x, t) = 1

2(Φ(−x− vt) + Φ(−x + vt))

+1

2v


dxΨ(x)

=1

2(Φ(x + vt) + Φ(x− vt))

+1

2v


dxΨ(−x)

=1

2(Φ(x + vt) + Φ(x− vt))

− 1

2v

∫ x−vt

x+vtdxΨ(x)

= U(x, t)

U(x, t)は x = 0に関して偶関数

U(x, t) =1

2(Φ(x− vt) + Φ(x + vt))

+1

2v

∫ x+vt

x−vtdxΨ(x)

∂

∂xU(L, t) =

1

2(Φ′(L− vt) + Φ′(L + vt))

+1

2(Ψ(L + vt)− Ψ(L− vt))

ΦとΨが x = Lに関して偶数関数なので∂

∂xU(L, t) = 0

U(L + x, t) =1

2(Φ(L + x− vt) + Φ(L + x + vt))

+1

2v

∫ L+x+vt

L+x−vtdx Ψ(x)

=1

2(Φ(2L− (L + x− vt)) + Φ(2L− (L + x + vt)))

+1

2v

∫ L+x+vt


=1

2(Φ(L− x− vt) + Φ(L− x + vt))

+1

2v

∫ L−x+vt

L−x−vtdx Ψ(x)

= U(L− x, t)U(x, t)は x = Lに関して偶関数

∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0, (0 < x < L)

u(x, 0) = ϕ(x),∂

∂tu(x, 0) = ψ(x) (0 ≤ x ≤ L)

∂

∂xu(0, t) = 0

∂

∂xu(L, t) = 0 (系が x = 0, x = Lで固定点)

↑同等

↓(−∞ < x <∞)

∂2

∂t2U(x, t)− v2 ∂

2

∂x2U(x, t) = 0

U(x, 0) = Φ(x),∂

∂tU(x, 0) = Ψ(x)

一様な系。

しかし、初期条件が x = 0, x = Lに関して偶関数である周期関数∂

∂xU(0, t) = 0,

∂

∂xU(L, t) = 0が満たされる


u(x, t) = u(x, t) + ϕ′(0)x +1

2(ϕ′(L)− ϕ′(0))x

2

L

+1

2v2(ϕ′(L)− ϕ′(0))t

2

L

有限系での波動方程式 (３種)

∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0 · · · (1)

(0 < x < L)

u(x, 0) = ϕ(x),∂

∂tu(x, 0) = ψ(x)

(0 ≤ x ≤ L)

u(0, t) = ϕ(0),∂

∂xu(L, t) = ϕ′(L)

変数変換

u(x, t) = u(x, t)− (ϕ(0) + ϕ′(L)x)

ϕ(x) = ϕ(x)− (ϕ(0) + ϕ′(L)x)

ψ(x) = ψ(x)

∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0

(0 < x < L)

u(x, 0) = ϕ(x),∂

∂tu(x, 0) = ψ(x)

(0 ≤ x ≤ L)

u(0, t) = 0,∂

∂xu(L, t) = 0

Φ(x) : 周期 4Lの周期関数

step I: ϕを x = Lに対して偶関数に拡張。

領域: 0 ≤ x ≤ 2L


領域: − 2L ≤ x ≤ 2L


領域: −∞ < x <∞

Φ(x) =

ϕ(x), 0 ≤ x ≤ L

ϕ(2L− x), L ≤ x ≤ 2L

−ϕ(−x), −L ≤ x ≤ 0

−ϕ(−2L + x), −2L ≤ x ≤ −L

Ψ(x) : 周期 4Lの周期関数

step I: ψを x = Lに対して偶関数に拡張。

領域: 0 ≤ x ≤ 2L


領域: − 2L ≤ x ≤ 2L


領域: −∞ < x <∞

Ψ(x) =

ψ(x), 0 ≤ x ≤ L

ψ(2L− x), L ≤ x ≤ 2L

−ψ(−x), −L ≤ x ≤ 0

−ψ(−2L + x), −2L ≤ x ≤ −L

∂2

∂t2U(x, t)− v2 ∂

2

∂x2U(x, t) = 0

(−∞ < x <∞)

U(x, 0) = Φ(x),∂

∂tU(x, 0) = Ψ(x)

(−∞ < x <∞)


U(x, t) =1

2(Φ(x− vt) + Φ(x + vt))

+1

2v

∫ x+vt

x−vtdx Ψ(x)

U(0, t) =1

2(Φ(−vt) + Φ(vt))

+1

2v

∫ vt

−vtdx Ψ(x)

ΦとΨが x = 0に関して奇関数なので

U(0, t) = 0

U(−x, t) = 1

2(Φ(−x− vt) + Φ(−x + vt))

+1

2v


dxΨ(x)

= −12(Φ(x + vt) + Φ(x− vt))

− 1

2v


dxΨ(−x)

= −12(Φ(x + vt) + Φ(x− vt))

+1

2v

∫ x−vt

x+vtdxΨ(x)


U(x, t) =1

2(Φ(x− vt) + Φ(x + vt))

+1

2v

∫ x+vt

x−vtdxΨ(x)

∂

∂xU(L, t) =

1

2(Φ′(L− vt) + Φ′(L + vt))

+1

2(Ψ(L + vt)− Ψ(L− vt))

ΦとΨが x = Lに関して偶数関数なので∂

∂xU(L, t) = 0

U(L + x, t) =1

2(Φ(L + x− vt) + Φ(L + x + vt))

+1

2v

∫ L+x+vt

L+x−vtdx Ψ(x)

=1

2(Φ(2L− (L + x− vt)) + Φ(2L− (L + x + vt)))

+1

2v

∫ L+x+vt


=1

2(Φ(L− x− vt) + Φ(L− x + vt))

+1

2v

∫ L−x+vt

L−x−vtdx Ψ(x)

= U(L− x, t)U(x, t)は x = Lに関して偶関数

∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0, (0 < x < L)

u(x, 0) = ϕ(x),∂

∂tu(x, 0) = ψ(x) (0 ≤ x ≤ L)

u(0, t) = 0∂

∂xu(L, t) = 0

↑同等

↓(−∞ < x <∞)

∂2

∂t2U(x, t)− v2 ∂

2

∂x2U(x, t) = 0

U(x, 0) = Φ(x),∂

∂tU(x, 0) = Ψ(x)

一様な系。しかし、初期条件が x = 0に関して奇関数,

x = Lに関して偶関数である周期関数

U(0, t) = 0,∂

∂xU(L, t) = 0が満たされる


u(x, t) = u(x, t) + ϕ(0) + ϕ′(L)x

有限系での波動方程式 (１種)

変数分離による解法（フーリエ級数との関連)

∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0 · · · (1)

(0 < x < L)

u(x, 0) = ϕ(x),∂

∂tu(x, 0) = ψ(x)

(0 ≤ x ≤ L)

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0

u = T (t)X(x)

T ′′X(x)− v2T (t)X ′′ = 0

T ′′(t)v2T (t)

=X ′′(x)X(x)

= −λ

X ′′(x) = −λX(x)

T ′′(t) = −v2λT (t)

λ ≤ 0のときX(0) = 0, X(L) = 0なのでX(x) = 0

λ ≤ 0を排除

0 < λ


√λx)

X(0) = 0なので c1 = 0

X(L) = 0なので c2 sin(√λL) = 0

sin(√λL) = 0→

√λ =

nπ

L(n = 1, 2, · · · )

Xn(x) = cn sin(nπ

Lx)

Tn(t) = an cos(vnπ

Lt) + bn sin(v

nπ

Lt)

u(x, t) =

∞∑n=1

(An cos(vnπ

Lt) +Bn sin(v

nπ

Lt)) sin(

nπ

Lx)

∂

∂tu(x, t) =

∞∑n=1

vnπ

L(−An sin(v

nπ

Lt) +Bn cos(v

nπ

Lt)) sin(

nπ

Lx)

∞∑n=1

An sin(nπ

Lx) = ϕ(x)

∞∑n=1

vnπ

LBn sin(

nπ

Lx) = ψ(x)

ϕ(x)を x = 0に関して奇関数に拡張し、


Φ(x)と書く

ψ(x)を x = 0に関して奇関数に拡張し、


Ψ(x)と書く

Φ(x) =

ϕ(x), 0 ≤ x ≤ L

−ϕ(−x), −L ≤ x ≤ 0

Ψ(x) =

ψ(x), 0 ≤ x ≤ L

−ψ(−x), −L ≤ x ≤ 0

Φ(x) =

∞∑n=1

An sin(nπ

Lx) (−∞ < x <∞)

An =1

L

∫ L

Ldx′ Φ(x′) sin(

nπ

Lx′)

=2

L

∫ L

0dx′ Φ(x′) sin(

nπ

Lx′)

=2

L

∫ L

0dx′ ϕ(x′) sin(

nπ

Lx′)

An = An

ϕ(x) =∞∑n=1

An sin(nπ

Lx) (0 ≤ x ≤ L)

Ψ(x) =

∞∑n=1

Bn sin(nπ

Lx) (−∞ < x <∞)

Bn =1

L

∫ L

Ldx′ Ψ(x′) sin(

nπ

Lx′)

=2

L

∫ L

0dx′ Ψ(x′) sin(

nπ

Lx′)

=2

L

∫ L

0dx′ ψ(x′) sin(

nπ

Lx′)

Bn =L

nπvBn

ψ(x) =∞∑n=1

Bn sin(nπ

Lx) (0 ≤ x ≤ L)

u(x, t) =

∞∑n=1

(An cos(vnπ

Lt) +Bn sin(v

nπ

Lt)) sin(

nπ

Lx)

=1

2

∞∑n=1

(An(sin(nπ

L(x− vt)) + sin(

nπ

L(x + vt)))

+Bn(− cos(nπ

L(x− vt)) + cos(

nπ

L(x + vt))))

An =2

L

∫ L


nπ

Lx′)

Bn =2

nπv

∫ L


nπ

Lx′)

有限系での波動方程式 (２種)


∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0 · · · (1)

(0 < x < L)

u(x, 0) = ϕ(x),∂

∂tu(x, 0) = ψ(x)

(0 ≤ x ≤ L)

∂

∂xu(0, t) = 0,

∂

∂xu(L, t) = 0

u = T (t)X(x)

T ′′X(x)− v2T (t)X ′′ = 0

T ′′(t)v2T (t)

=X ′′(x)X(x)

= −λ

X ′′(x) = −λX(x)

T ′′(t) = −v2λT (t)

λ ≤ 0のときX ′(0) = 0, X ′(L) = 0なのでX(x) = 0

λ ≤ 0を排除

0 < λ


√λx)

X ′(x) = −c1√λ sin(

√λx) + c2

√λ cos(

√λx)

X ′(0) = 0なので c2 = 0

X ′(L) = 0なので c1 sin(√λL) = 0

sin(√λL) = 0→

√λ =

nπ

L(n = 0, 1, 2, · · · )

Xn(x) = cn cos(nπ

Lx)

Tn(t) = an cos(vnπ

Lt) + bn sin(v

nπ

Lt)

u(x, t) =

∞∑n=0

(An cos(vnπ

Lt) +Bn sin(v

nπ

Lt)) cos(

nπ

Lx)

(B0 = 0)

∂

∂tu(x, t) =

∞∑n=1

vnπ

L(−An sin(v

nπ

Lt) +Bn cos(v

nπ

Lt)) cos(

nπ

Lx)

∞∑n=0

An cos(nπ

Lx) = ϕ(x)

∞∑n=1

vnπ

LBn cos(

nπ

Lx) = ψ(x)

ϕ(x)を x = 0に関して偶関数に拡張し、


Φ(x)と書く

ψ(x)を x = 0に関して偶関数に拡張し、


Ψ(x)と書く

Φ(x) =

ϕ(x), 0 ≤ x ≤ L

ϕ(−x), −L ≤ x ≤ 0

Ψ(x) =

ψ(x), 0 ≤ x ≤ L

ψ(−x), −L ≤ x ≤ 0

Φ(x) =A0

2+

∞∑n=1

An cos(nπ

Lx) (−∞ < x <∞)

An =1

L

∫ L

Ldx′ Φ(x′) cos(

nπ

Lx′)

=2

L

∫ L

0dx′ Φ(x′) cos(

nπ

Lx′)

=2

L

∫ L

0dx′ ϕ(x′) cos(

nπ

Lx′)

An = An

ϕ(x) =A0

2+

∞∑n=1

An cos(nπ

Lx) (0 ≤ x ≤ L)

Ψ(x) =B0

2+

∞∑n=1

Bn cos(nπ

Lx) (−∞ < x <∞)

Bn =1

L

∫ L

−Ldx′ Ψ(x′) cos(

nπ

Lx′)

=2

L

∫ L

0dx′ Ψ(x′) cos(

nπ

Lx′)

=2

L

∫ L

0dx′ ψ(x′) cos(

nπ

Lx′)

Bn =L

nπvBn

ψ(x) =∞∑n=1

Bn cos(nπ

Lx) (0 ≤ x ≤ L)

u(x, t) =A0

2+

∞∑n=1

(An cos(vnπ

Lt) +Bn sin(v

nπ

Lt)) cos(

nπ

Lx)

=A0

2+1

2

∞∑n=1

(An(cos(nπ

L(x− vt)) + cos(

nπ

L(x + vt)))

+Bn(− sin(nπ

L(x− vt)) + sin(

nπ

L(x + vt))))

An =2

L

∫ L

0dx′ ϕ(x′) cos(

nπ

Lx′)

Bn =2

nπv

∫ L

0dx′ ψ(x′) cos(

nπ

Lx′)

(1 ≤ n)

有限系での波動方程式 (３種)


∂2

∂t2u(x, t)− v2 ∂

2

∂x2u(x, t) = 0 · · · (1)

(0 < x < L)

u(x, 0) = ϕ(x),∂

∂tu(x, 0) = ψ(x)

(0 ≤ x ≤ L)

u(0, t) = 0,∂

∂xu(L, t) = 0

u = T (t)X(x)

T ′′X(x)− v2T (t)X ′′ = 0

T ′′(t)v2T (t)

=X ′′(x)X(x)

= −λ

X ′′(x) = −λX(x)

T ′′(t) = −v2λT (t)

λ ≤ 0のときX ′(0) = 0, X ′(L) = 0なのでX(x) = 0

λ ≤ 0を排除

0 < λ


√λx)

X ′(x) = −c1√λ sin(

√λx) + c2

√λ cos(

√λx)

X(0) = 0なので c1 = 0

X ′(L) = 0なので c2 cos(√λL) = 0

cos(√λL) = 0→

√λ =

(1 + 2n)π

2L(n = 0, 1, 2, · · · )

Xn(x) = cn cos((1 + 2n)π

2Lx)

Tn(t) = an cos(v(1 + 2n)π

2Lt) + bn sin(v

(1 + 2n)π

2Lt)

u(x, t) =

∞∑n=0

(An cos(v(1 + 2n)π

2Lt) +Bn sin(v

(1 + 2n)π

2Lt))

× cos((1 + 2n)π

2Lx)

∂

∂tu(x, t) =

∞∑n=1

v(1 + 2n)π

2L(−An sin(v

(1 + 2n)π

2Lt)

+Bn cos(v(1 + 2n)π

2Lt)) cos(

(1 + 2n)π

2Lx)

∞∑n=0

An cos((1 + 2n)π

Lx) = ϕ(x)

∞∑n=0

v(1 + 2n)π

2LBn cos(

(1 + 2n)π

2Lx) = ψ(x)

ϕ(x)を x = Lに関して偶関数拡張し、

さらに x = 0に関して奇関数拡張する。


Φ(x)と書く

ψ(x)を x = Lに関して偶関数拡張し、

さらに x = 0に関して奇関数拡張する。


Ψ(x)と書く

Φ(x) =∞∑n=1

An sin(nπ

2Lx) (−∞ < x <∞)

An =1

2L

∫ 2L

−2Ldx′ Φ(x′) sin(

nπ

2Lx′)

=1

L

∫ 2L

0dx′ Φ(x′) sin(

nπ

2Lx′)

=1

L

∫ L


nπ

2Lx′)

+1

L

∫ 2L

Ldx′ ϕ(2L− x′) sin(nπ

Lx′)

=1

L

∫ L


nπ

2Lx′)

+1

L

∫ L


nπ

2L(2L− x′))

=1− (−1)n

L

∫ L


nπ

2Lx′)

ϕ(x) =

∞∑n=0

An cos((1 + 2n)π

2Lx) (0 ≤ x ≤ L)

An =2

L

∫ L


(1 + 2n)π

2Lx′)

An = A1+2n

Ψ(x) =

∞∑n=1

Bn sin(nπ

2Lx) (−∞ < x <∞)

Bn =1

2L

∫ 2L

−2Ldx′ Ψ(x′) sin(

nπ

2Lx′)

=1

L

∫ 2L

0dx′ Ψ(x′) sin(

nπ

2Lx′)

=1− (−1)n

L

∫ L


nπ

2Lx′)

Bn =2L

(1 + 2n)πvB1+2n

ψ(x) =∞∑n=0

B1+2n sin((1 + 2n)π

2Lx) (0 ≤ x ≤ L)

u(x, t) =

∞∑n=0

(An cos(v(1 + 2n)π

2Lt) +Bn sin(v

(1 + 2n)π

2Lt))

× sin((1 + 2n)π

2Lx)

=1

2

∞∑n=0

(An(sin((1 + 2n)π

2L(x− vt)) + sin(

(1 + 2n)π

2L(x + vt)))

+Bn(− cos((1 + 2n)π

2L(x− vt)) + cos(

(1 + 2n)π

2L(x + vt))))

An =2

L

∫ L


(1 + 2n)π

2Lx′)

Bn =4

(1 + 2n)πv

∫ L


(1 + 2n)π

2Lx′)

−∞ ≤ x ≤ ∞ f (x + L) = f (x)



f (x) =1

2A0 +

∞∑ℓ=1

(Aℓ cos(

2π

Lℓx) +Bℓ sin(

2π

Lℓx)

)連続領域では、f (x) = f (x)

不連続点 xkでは、f (xx) =1

2(f (xk + 0) + f (xk − 0))

Aℓ =2

L

∫ L


2π

Lℓx′)

Bℓ =2

L

∫ L


2π

Lℓx′)

−∞ ≤ x ≤ ∞f (x) : 周期 Lの区分的に滑らかな関数

g(x) : 周期MLの区分的に滑らかな関数 (M = 2, 3, · · · )

領域 0 ≤ x ≤ Lでは g(x) = f (x)

領域 L < x ≤MLでは、任意の区分的に滑らかな関数

g(x)のフーリエ級数

g(x) =1

2A0 +

∞∑ℓ=1

(Aℓ cos(

2π

MLℓx) +Bℓ sin(

2π

MLℓx)

)

Aℓ =2

ML

∫ ML

0dx′ g(x′) cos(

2π

MLℓx′)

Bℓ =2

ML

∫ ML

0dx′ g(x′) sin(

2π

MLℓx′)

変数 xを 0 < x < Lに限定すると

g(x) = f (x) (0 < x < L)

拡張した関数のフーリエ級数

フーリエ余弦級数

f (x) : 0 ≤ x ≤ Lで定義された区分的に滑らかな関数

g(x) : x = 0に関して偶関数に拡張した周期 2L

の区分的に滑らかな関数

g(x) =

f (x), 0 ≤ x ≤ L

f (−x), −L ≤ x ≤ 0


g(x) =1

2A0 +

∞∑ℓ=1

Aℓ cos(π

Lℓx)

Aℓ =1

L

∫ 2L

0dx′ g(x′) cos(

π

Lℓx′)

=1

L

∫ L

−Ldx′ g(x′) cos(

π

Lℓx′)

=2

L

∫ L


π

Lℓx′)

0 < x < Lではg(x) = f (x)

拡張した関数のフーリエ級数

フーリエ正弦級数

f (x) : 0 ≤ x ≤ Lで定義された区分的に滑らかな関数

g(x) : x = 0に関して奇関数に拡張した周期 2L

の区分的に滑らかな関数

g(x) =

f (x), 0 ≤ x ≤ L

−f (−x), −L ≤ x ≤ 0


g(x) =

∞∑ℓ=1

Bℓ sin(π

Lℓx)

Bℓ =1

L

∫ 2L

0dx′ g(x′) sin(

π

Lℓx′)

=1

L

∫ L

−Ldx′ g(x′) sin(

π

Lℓx′)

=2

L

∫ L


π

Lℓx′)

0 < x < Lではg(x) = f (x)

物理数学ifrontier.phys.kyushu-u.ac.jp/kawai/butsurisuugaku1/...p 3 2)) = 1 4 (exp(ˇ 6)+exp(ˇ...

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