第 30 课时　切线的性质和判定

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考点聚焦

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第 30课时┃考点聚焦

考点聚焦

考点 1 　圆的切线

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切线的性质圆的切线 ________过切点的半径

推论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过 ________；

(2)经过切点且垂直于切线的直线必过 ________

切线的判定

(1)和圆有 ________公共点的直线是圆的切线；(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的 ________，那

么这条直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且 ________这条半径的直线是圆

的切线

常添辅助线连接圆心和切点

垂直于切点

圆心惟一

半径

垂直于


考点 2 　切线长及切线长定理

切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ________，圆心和这一点的连线 ________两条切线的夹角

基本图形

如图所示，点 P是⊙ O外一点，PA、 PB切⊙ O于点 A、 B， AB

交 PO于点 C，则有如下结论：

(1)PA＝ PB；(2)∠APO＝∠ BPO＝∠ OAC＝∠ OBC，∠ AOP＝∠ BOP＝∠ CAP＝∠ CBP

相等平分



考点 3 　三角形的内切圆

三角形的

内切圆

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，这

个三角形叫圆的外切三角形

三角形

的内心

三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三

角形 _________________的交点，三角形的内心

到三边的 ________相等

三条角平分线距离



规律清单

⊙ I内切于△ ABC，切点分别为 D、E、F，如图，

则(1)∠BIC＝90° ＋12∠BAC；

(2)△ ABC三边长分别为 a、b、c，⊙ I的半径为 r，则有 S△ ABC

＝12r(a＋b＋c)；

(3)(选学)△ ABC中，若∠ACB

＝90° ，AC＝b，BC＝a，AB＝c，则内切圆半

径 r＝a＋b－c

2


命题角度：1 ．已知圆的切线得出结论；2 ．利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明．

探究一、圆的切线的性质

归类探究

第 30课时┃归类探究

例 1 ． [2013• 株洲 ] 如图 30 － 1 ，已知AB 是⊙ O 的直径，直线 BC 与⊙ O 相切于点 B ，∠ ABC 的平分线 BD 交⊙ O 于点 D ， AD 的延长线交 BC 于点 C.

(1) 求∠ BAC 的度数；(2) 求证： AD ＝ CD. 图 30－ 1



解析　　 (1) 由 AB 是⊙ O 的直径，易证得∠ ADB ＝ 90° ，又由∠ ABC 的平分线 BD 交⊙ O 于点 D ，易证得△ ABD CBD≌△ ，即可得△ ABC 是等腰直角三角形，即可求得∠ BAC 的度数；

(2) 由 AB ＝ CB ， BD AC⊥ ，利用三线合一的知识，即可证得 A

D ＝ CD.

解析 (1)∵ AB是⊙O的直径， ∴ ∠ADB＝90° ， ∴ ∠CDB＝90° ，BD⊥AC. ∵ BD平分∠ABC， ∴ ∠ABD＝∠CBD.



解析在△ ABD和△ CBD中，

∠ADB＝∠CDB，BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，

∴ △ ABD≌△ CBD(ASA)． ∴ AB＝CB. ∵ 直线 BC与⊙O相切于点 B， ∴ ∠ABC＝90° ， ∴ ∠BAC＝∠C＝45° . (2)证明：∵ AB＝CB，BD⊥AC ∴， AD＝CD.

方法点析　　“圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连接切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法．


命题角度：1 ．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2 ．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．

探究二、圆的切线的判定方法




例 2、[2013·湖州] 如图 30－2所示，已知 P是⊙ O外一点，PO交

⊙ O于点 C，OC＝CP＝2，弦 AB⊥OC，劣弧AB︵的度数为 120° ，连接

PB.

(1)求 BC的长；

(2)求证：PB是⊙ O的切线．

图 30－2



解析 (1)连接 OB ∵，弦 AB⊥OC，

劣弧 AB的度数为 120° ，

∴ ∠COB＝60° .又∵ OC＝OB，

∴ △ OBC是正三角形 ∴， BC＝OC＝2.

(2)证明：∵ BC＝CP ∴ ∠， CBP＝∠CPB.

∵ △ OBC是正三角形 ∴ ∠， OBC＝∠OCB＝60° .

∴ ∠CBP＝30° ∴ ∠， OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90° ，

∴ OB⊥BP.∵ 点 B在⊙ O上 ∴， PB是⊙O的切线．



方法点析　　在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．


命题角度：1 ．利用切线长定理计算；2 ．利用切线长定理证明．

探究三、切线长定理的运用


例 3 ． [2012• 绵阳 ] 如图 30 － 3 ， PA 、PB 分别切⊙ O 于 A 、 B 两点，连接 PO 、AB 相交于 D ， C 是⊙ O 上一点，∠ C

＝ 60°.

(1) 求∠ APB 的大小；(2) 若 PO ＝ 20 cm ，求△ AOB 的面积．图 30－ 3



解析　　 (1) 由切线的性质，即可得 OA PA⊥ ， OB PB⊥ ，又由圆周角定理，求得∠ AOB 的度数，继而求得∠ APB 的大小；

(2) 由切线长定理，可求得∠ APO 的度数，继而求得∠ AOP 的度数，易得直线 PO 是 AB 的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得 AD 与 OD 的长．

解析 (1)∵ PA、PB分别为⊙O的切线， ∴ OA⊥PA，OB⊥PB. ∴ ∠OAP＝∠OBP＝90° . ∵ ∠C＝60° ，∴ ∠AOB＝2∠C＝120° . 在四边形 APBO中， ∠APB＝360° －∠OAP－∠OBP－∠AOB＝360° －90°－90° －120° ＝60° .



解析 (2)∵ PA、PB分别为⊙O的切线，

∴ PA＝PB.

∵ OA＝OB，PO＝PO，

∴ △ PAO≌△ PBO，

∴ ∠APO＝∠BPO＝12∠APB＝30° .

∴ OA＝OP×sin∠APO＝20×12＝10 (cm)．

∵ PO⊥AB，

∴ ∠DAO＝∠APO＝30° .



解析在 Rt△ AOD中 ∠， DAO＝30° ，OA＝10 cm，

∴ AD＝cos30° ×OA＝3

2 ×10＝5 3 (cm)，

OD＝sin30° ×OA＝12× 10＝5 (cm)．

∴ AB＝2AD＝10 3 (cm)，

∴ S △ AOB＝12× AB× OD＝

12× 10 3× 5＝25 3

(cm2)．



方法点析　　 (1) 利用过圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，是解题的基本方法． (2) 利用方程思想求切线长常与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．


命题角度：1. 三角形的内切圆的定义；2. 求三角形的内切圆的半径．

探究四、三角形的内切圆


例 4、[2012·玉林] 如图 30－4，Rt△ ABC的内切圆⊙ O

与两直角边 AB、BC分别相切于点 D、E，过劣弧DE︵

(不包括端点 D、E)上任一点 P 作⊙ O 的切线 MN，与 AB、BC分别交于点M、N，若⊙ O的半径为 r，则 Rt△ MBN的周长为( )

A．r B.32r C．2r D.

52r 图 30－4

C



解析　　连接 OD 、 OE ，则∠ ODB ＝∠ DBE ＝∠ OEB ＝ 9

0° ， OD ＝ OE ，推出四边形 ODBE 是正方形，得出 BD ＝ BE

＝ OD ＝ OE ＝ r. 根据切线长定理得出 MP ＝ DM ， NP ＝ NE, R

t MBN△ 的周长为 MB ＋ NB ＋ MN ＝ MB ＋ BN ＋ NE ＋ DM ＝BD ＋ BE ＝ r ＋ r ＝ 2r ，故选 C.

方法点析　　解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决．


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