חוברת תרגילים
TRANSCRIPT
חוברת תרגילים
084225יקה מדינ
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
2
תוכן עניינים
3 קינמטיקה של חלקיק .1
8 פתרונות קינמטיקה של חלקיק .2
19 קינטיקה של חלקיק .3
21 פתרונות קינטיקה של חלקיק .4
26 תנועה בשדה כוח מרכזי .5
27 תנועה בשדה כוח מרכזי- פתרונות .6
30 קינמטיקה של גוף קשיח בתנועה מישורית .7
31 קינמטיקה של גוף קשיח בתנועה מישורית- פתרונות .8
35 קינטיקה של גוף קשיח בתנועה מישורית .9
37 יח בתנועה מישורית קינטיקה של גוף קש- פתרונות .10
42 קינמטיקה של גוף קשיח בתנועה מרחבית .11
45 קינטיקה של גוף קשיח בתנועה מרחבית- פתרונות .12
52 תנודות .13
53 תנודות–פתרונות .14
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
3
של חלקיקקינמטיקה .1
טבית נתון על ידי ורכת צירים קמיקומו הרדיאלי של החלקיק במע .נתון חלקיק הנע במישור .1.1
]: הקשר הבא ]23r t m= :י של החלקיק נתון על ידי הקשרויתומיקומו הז .⋅
[ ]sin4 4
trad
π πθ
⋅ = ⋅
t מציין זמן בשניות.
.יש לבחור מערכת צירים .א
.יש לתאר באופן סכמטי את צורת המסלול .ב
מוחלטות של החלקיק כפונקציה של יש למצוא את גודלן של המהירות והתאוצה ה .ג
, , , , ,r r r θ θ θɺ ɺɺɺ ɺɺ.
את הנתונים ולמצוא ביטויים של גודל המהירות ' יש להציב לביטויים שנמצאו בסעיף ג .ד
.והתאוצה המוחלטות כפונקציה של הזמן
?האם התאוצה המוחלטת מתאפסת באותו רגע? מתי המהירות המוחלטת מתאפסת .ה
על גבי הדיסקה נתונות . סביב ציר העובר במרכזה כמתואר בציורנתונה דיסקה הסובבת .1.2
]: המצויות במרחקים שונים ממרכז הדיסקה) B- וA(שתי נקודות ] [ ]0.6 , 0.8A Br m r m= =
210 היא Aברגע נתון שגודלה המוחלט של תאוצת נקודה / secm . כמו כן נתון שבאותו רגע ,
.יהיבכל שנ, מטר לשניה8 - בןקט, Bהמוחלטת של נקודה של המהירות הגודל
.ωויתית של הדיסקה ויש לקבוע את מהירותה הז
A
B ω
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
4
של המוחלטת כלומר וקטור המהירות , "רדיפת כלב" מונחה בעיקרון של ,Eאוויר -טיל אוויר .1.3
הטיל נורה אל מטרה . T - של המטרה) יהרגע(הטיל הינו בכל רגע בכוון קו הראייה אל המקום
הטיל נע , בכל משך פעולת המנוע. לאורך ישרVבלתי מתמרנת הנעה במהירות קבועה
מרחק ה מצבו הרגעי של הטיל ביחס למטרה מוגדר על ידי Uבמהירות מוחלטת קבועה בגודלה
r הזווית וθ) ות בין הטיל למטרה על ידינסמן את יחס המהירוי). בתרשים :/U Vα =.
, T, יש לבחור מערכת צירים שמרכזה במטרה .א
למצוא את מהירותו ניתןבאמצעותהש
לחשב את מהירותו יש . היחסית של הטיל
שימוש בגדלים היחסית של הטיל תוך
).ונגזרותיהם לפי הזמן(הנתונים
טיל יש למצוא את מהירותו המוחלטת של ה .ב
בשימוש במערכת הצירים שנבחרה ובתוצאה
.'שהתקבלה בסעיף א
ניתן היה למצוא את מהירותו המוחלטת של .ג
יש לתת את הביטויים המתאימים למהירויות . הטיל גם ללא חישוב המהירות היחסית
.'ב-'אלו במערכת הצירים של סעיפים א
ת עבור קצבי התנועה יש לרשום משוואו' ג-'באמצעות השוואת התוצאות של סעיפים ב .ד
,r θɺɺ באמצעות הפרמטרים ,Vα כפונקציה של המצב היחסי הרגעי של הטיל ,r θ.
:לפי ההנחיות הבאות' ב- ו' יש לחזור על סעיפים א
את מהירותה היחסית ובאמצעותה למצוא, E, יש לבחור מערכת צירים שמרכזה בטיל .ה
).ונגזרותיהם לפי הזמן(יש לעשות שימוש בגדלים הנתונים . של המטרה
יש למצוא את מהירותה המוחלטת של המטרה בשימוש מערכת הצירים שנבחרה .ו
.'ובתוצאה שהתקבלה בסעיף ג
ניתן היה למצוא את מהירותה המוחלטת של המטרה ואת מהירותו המוחלטת של הטיל .ז
יש לתת את הביטויים המתאימים למהירויות אלו . המהירות היחסיתגם ללא חישוב
.ולציין עבור איזו מערכת צירים היא ניתנה
r,באמצעות התוצאות של הסעיפים הקודמים יש לרשום משוואות עבור קצבי התנועה .ח θɺɺ
r, היחסי הרגעי של הטיל כפונקציה של המצבVα,באמצעות הפרמטרים θ . יש
.'להראות שהביטויים המתקבלים זהים לאלו שהתקבלו בסעיף ד
θ
V
U
E
T
r
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
5
לשרוול שמחליק על המסילה A מחובר בקצה ABהמוט ) ח" אביב תשס–' מועד ב ( .1.4
Ω בת סביב צירה במהירות זוויתית קבועההמסילה סוב). בתרשים(האופקית ɶ
כך שהשרוול
מוט נוסף . θɺ מסתובב נגד כיוון השעון במהירות זוויתית l שאורכו ABהמוט . מסתובב עמה
בכיוון השעון φɺ במהירות זוויתית AB סובב ביחס למוט m ובקצהו מסה נקודתית Rשאורכו
). כבתרשים(
R,בסעיפים הבאים יש לבטא את התשובות באמצעות הקבועים Ωו- l ובאמצעות המשתנים
, , xθ φונגזרותיהם לפי הזמן .
בכל אחד מהסעיפים הבאים יש לתאר בבירור כל מערכת צירים שבה נעשה שימוש :הערה
). ראשית ווקטורי יחידה(לצורך הפתרון
? Bשל הנקודה מהי המהירות המוחלטת ) ' נק10( .א
?Bמהי התאוצה המוחלטת של הנקודה ) ' נק10( .ב
? Cמהי המהירות המוחלטת של הנקודה ) ' נק10( .ג
C מודדת את המהירות של הנקודה A בנקודה ABמצלמה הצמודה למוט ) ' נק10( .ד
.יש למצוא ביטוי למהירות זו. יחסית אליה
m בקצה שבו נמצאת המסה Rיש לחשב את כוח הגזירה שפועל על המוט ) ' נק10( .ה
θלמקרה שבו φ≡ניתן להזניח את השפעת הכובד. בכל זמן.
R
φ
x
m
θ
l
A
B
Ωɶ
C
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
6
תוף זה . ωויתית קבועה ונתונה וסובב במהירות ז, המחובר לציר קבוע, bתוף שרדיוסו .1.5
.תרשיםכמתואר ב, לאורך מסילה ישרה, באמצעות כבל Pמניע את העגלה
:יש להראות שמתקיימים הקשרים הבאים .א
2 22
2 2
cot cos
1cot cos 1
sin
b
h
b
h
ωθ θ θ
ωθ θ θ
θ
⋅= − ⋅ ⋅
⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ +
ɺ
ɺɺ
ולחשב את רכיבי וקטורי המהירות והתאוצה , יש לקבוע מערכת צירים קוטבית .ב
.P של העגלההמוחלטות
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
7
]מוחזק בזוית קבועה OAהמוט .1.6 ]30 degβ וסובב סביב ציר אנכי העובר דרך נקודת =
מחליק לאורך המוט בתנועה מחזורית Pהחלקיק . θɺויתית קבועה ונתונה ובמהירות ז Oהקצה
.R הוא O כאשר מרחקו מהנקודה, ביחס למוט
.P של החלקיקהמוחלטות יש לבטא את רכיבי וקטורי המהירות והתאוצה .א
עבור , רבית היא מRɺיש לחשב את גודל תאוצת החלקיק במצב בו מהירותו ביחס למוט .ב
:הנתונים הבאים
( )[ ]
120min
0.4 0.1 sin 2
2sec
rev
R n t m
revn
θ
π
=
= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
ɺ
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
8
פתרונות קינמטיקה של חלקיק .2
1.1 פתרון
. Oטבית שראשיתה במרכז וחר מערכת צירים ק נב.א
ˆציר r
eɶ
eθציר , מופנה לחלקיקɶ
ˆ וציר θית ו בכיוון הגדלת זוk
eɶ
.משלים למערכת ימנית
בכיוון הרדיאלי מרחק החלקיק .ב
בכיוון המשיקי . מהראשית הולך וגדל
מתבצעת תנועה הרמונית בתדר קבוע
ובזוית פתיחה של 2
π). מעלות90 (
:לכן צורת המסלול היא
.ג
ויתית של מערכת ומהירותה הז
ˆ :הצירים היאk
eω θ= ⋅ɺɶ ɶ
ˆ :ויתית של מערכת הצירים היאותאוצתה הזk
eα θ= ⋅ɺɺɶ ɶ
ˆ :מיקומו היחסי של החלקיק במערכת הצירים הואr
r eρ = ⋅ɶɶ
ˆ :מהירותו היחסיתrel r
v r e= ⋅ɺɶ ɶ
ˆ :צתו היחסיתותאוrel r
a r e= ⋅ɺɺɶ ɶ
, :ראשית הצירים במנוחה ולכן 0o o
a v =ɶ ɶ ɶ
:כעת ניתן לרשום את המהירות והתאוצה המוחלטים
( )
( )( ) ( )
( )
2
2
2
2
ˆ ˆ ˆ, , 2 2
ˆ ˆ ˆ,
ˆ ˆ2
rel o
rel o rel
rel
r r
r
v v v
a a a v
r e r e v r e
r e v r e r e
a r r e r r e
v r r
θ θ θ
θ
θ
ω ρ
ω ω ρ ω α ρ
ω ρ θ α ρ θ ω θ
ω ω ρ θ θ
θ θ θ
θ
= + + ×
= + + × × + ⋅ × + ×
× = ⋅ ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅
× × = − ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= + ⋅
ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶɶ ɶɺ ɺɺ ɺ ɺ
ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶɶ ɶɺ ɺɺ
ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶɶɺ ɺ ɺɺɺɺ ɺ
ɶ ɶ ɶ
ɺɺɶ
( ) ( )2 2 22, 2a r r r rθ θ θ= − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ɺ ɺ ɺɺɺɺ ɺ
ɶ
:ובהצבה לביטויים מתקבל של הפרמטרים השוניםנמצא את גודלם .ד
O
2
π
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
9
( )4 4
22 2 4 2 2 236 9 cos 3 4 cos
4 4 4 4
t tv r r t t t t
π π π πθ
⋅ ⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
ɺɺɶ
( ) ( )2 22
2 24 2 3
2 2 2
2
6 3 cos 12 cos 3 sin4 4 4 4 4 4
a r r r r
t t tt t t
θ θ θ
π π π π π π
= − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
ɺ ɺ ɺɺɺɺ ɺɶ
מבחינת הביטוי עבור גודלה של המהירות ניתן להסיק באופן מיידי שהמהירות תהיה אפס רק .ה
0t עבור ת סימן השורש יתאפסו ותתקבל כדי שהתאוצה תתאפס נניח ששני הביטויים תח. =
:מערכת המשוואות4
2 2
2
2 cos 04 4
3 4 cos sin 04 4 4 4
tt
t tt t
π π
π π π π
⋅ − ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
. לא מתאפסתt=0 ולכן התאוצה ברגע t=0ברור שהתנאי הראשון לא מתקיים עבור
1.2 פתרון
.נבנה מערכת צירים קטבית הצמודה לדיסקה כמתואר בציור
כלשהי המצויה במרחק Pראשית נטפל בנקודה
Prממרכז הדיסקה .
:ויתית של מערכת הצירים היאומהירותה הז
ˆk
eω ω= ⋅ɶ ɶ
:ויתית של מערכת הצירים היאותאוצתה הז
ˆk
eα α= ⋅ɶ ɶ
במערכת הצירים Pמיקומו היחסי של הנקודה :הוא
ˆP r
r eρ = ⋅ɶɶ
:מהירותה היחסית
ˆ 0rel r
v r e= ⋅ =ɺɶ ɶ ɶ
במערכת , מיקומה לא משתנה יחסית לדיסקה( ).הדיסקה
:ותאוצתה היחסיתˆ 0
rel ra r e= ⋅ =ɺɺɶ ɶ ɶ
:ראשית הצירים במנוחה ולכן
, 0o o
a v =ɶ ɶ ɶ
:כעת ניתן לרשום את המהירות והתאוצה המוחלטים
O
eθɶ
reɶ
θ
ˆkeɶ
A
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
10
( ) 2
ˆ
ˆ ˆ2
P rel o P
P rel o rel P r P
v v v r e
a a a v r e r e
θ
θ
ω ρ ω
ω ω ρ ω α ρ ω α
= + + × = ⋅ ⋅
= + + × × + ⋅ × + × = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ɶ ɶ ɶ ɶ ɶɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶɶ ɶ
:וחלטות הםגודלן של המהירות והתאוצה המ
( ) ( )2 22
P P
P P P
v r
a r r
ω
ω α
= ⋅
= ⋅ + ⋅
ɶ
ɶ
היא Aנתון שתאוצתה של הנקודה 2
10sec
m
:לכן.
( ) ( )2 22
210
secA A A
ma r rω α = ⋅ + ⋅ = ɶ
:כלומר. כל שניה, מטר לשניה8 הוא הקטנה של Bבנוסף נתון שהשינוי במהירות הנקודה
28
secB
d mv
dt
= ɶ
:Bודלה של המהירות בנקודה אך חישבנו כבר את ג
B Bv rω= ⋅ɶ
:ולכן
( ) 28
secB B B B
d d d mv r r r
dt dt dt
ωω α = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ɶ
:וכעת קיימות שתי משוואות בשני נעלמים
( ) ( )2 22
2
2
10sec
8sec
A A
B
mr r
mr
ω α
α
⋅ + ⋅ =
⋅ =
:פתרון שתי המשוואות מניב את התשובה המבוקשת
2
2
8sec
10sec
102 3.65
3 sec sec
B
m
rad
r
rad rad
α
ω
= =
= ⋅ ≅
ניתן לחשוב על רכב . גודל המהירות לא שווה לגודל התאוצהתרגיל זה נועד להדגיש כי שינוי
מד המהירות של הרכב יראה את שינוי המהירות . שמסתובב סביב כיכר ומאיץ בכיוון המסלולאבל עם ננתח את גודל התאוצה נראה שהוא גדול יותר מכיוון שיש תוספת של תאוצה
.צנטריפטלית
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
11
1.3 פתרון
.T - במטרהמרכזה ש נבחר מערכת צירים גלילית.א
ˆציר r
eɶ
eθציר .E, מופנה בכיוון הטילɶ
ˆ- ניצב לr
eɶ
במישור,
ˆציר .θהבעיה ומופנה לכיוון הגדלת k
eɶ
משלים למערכת
:ו היחסית של הטיל הואמהירות .ימנית
ˆErel r
v r e= ⋅ɺɶ ɶ
בעזרת מערכת הצירים נמצא את מהירותו המוחלטת .ב
,של הטילE
vɶ
:
0
ˆ
ˆ ˆcos sin
ˆ
ˆ
k
T r
r
rel r
e
v v V e V e
r e
v r e
θ
ω θ
θ θ
ρ
= ⋅
= = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅
ɺ
ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶɶɺ
ɶ ɶ
:ולכן
( ) ( )0ˆ ˆcos sin
E rel rv v v V r e r V eθω ρ θ θ θ= + + × = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ɺɺɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶɶ
:מהירותו המוחלטת של הרודף .ג
ˆE r
v U e= − ⋅ɶ ɶ
בהשוואת שני הביטויים האחרונים מתקבלות .ד :שתי משוואות
ˆ : cos
ˆ : 0 sin
re U V r
e r Vθ
θ
θ θ
− = ⋅ +
= ⋅ − ⋅
ɺɶ
ɺɶ
:או בצורה מעט שונה
( )cos
sin
r V
V
r
θ α
θ θ
= − ⋅ +
= ⋅
ɺ
ɺ
.E, מרכזה בטיל שנבחר מערכת צירים גלילית .ה
ˆציר r
eɶ
eθציר .T, מופנה בכיוון המטרהɶ
- ניצב ל
ˆr
eɶ
ציר .θ במישור הבעיה ומופנה לכיוון הגדלת
ˆk
eɶ
. משלים למערכת ימנית
:מהירותה היחסית של המטרה היא
ˆT rel r
v r e− = ⋅ɺɶ ɶ
, תה המוחלטת של המטרהרת מערכת הצירים שהוגדרה נמצא את מהירוזכעת בע .וT
vɶ
:
0ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,
k r r rel re v U e r e v r eω θ ρ= − ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ɺ ɺ
ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶɶ
:ולכן
θ
V
U
ˆreɶ
eθɶ
ˆkeɶ E
T
θ
V
U
ˆreɶ eθ
ɶ
ˆkeɶ
E
T
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
12
( ) ˆ ˆT rv r U e r eθθ= + ⋅ − ⋅ ⋅ɺɺɶ ɶ ɶ
, גודלה של מהירותה המוחלטת של המטרה .זT
vɶ
כיוונה קבוע במרחב וניתן לפרקו לפי . V: נתון
:מערכת הצירים שמרכזה בטיל
( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆcos sin cos sinT r rv V e V e V e V eθ θπ θ π θ θ θ= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
בהשוואת שני הביטויים עבור . חT
vɶ
: מתקבלות שתי משוואות
cos
ˆsin
r U V
r V eθ
θ
θ θ
+ = − ⋅
− ⋅ = − ⋅ ⋅
ɺ
ɺɶ
:ובחילוץ איברים
( )cos
sin
r V
V
r
θ α
θ θ
= − ⋅ +
= ⋅
ɺ
ɺ
.'התוצאה זהה לסעיף ד
1.4 פתרון
) ABמערכת צירים צמודה למוט תחילה נבחר . א , , )r z
e e eθɶ ɶ ɶ
.A שראשיתה בנקודה
לכן
( ) 0
cos sin
ˆ cos sin
sin
B r
B rel
r z
A r
z
le
V
e e e
V xx x e x e
l e l e
θ
θ
θ
ρ
ω θ θ θ
θ θ
ω ρ θ θ
=
=
= −Ω +Ω +
= = −
× = − Ω
ɶɶ
ɶ ɶɺ
ɶ ɶ ɶ ɶɺ ɺ ɺ
ɶ ɶ ɶ ɶɺ
ɶ ɶ ɶɶ
R
φ
x
m
θ
l
A
B
Ωɶ
C eθɶ
reɶ
iɶ
jɶ
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
13
ולאחר הצבת הביטויים בקשר
( )B A B relV V V ω ρ= + + ×ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
מתקבל
( )cos sin sinB r z
V x e l x e l eθθ θ θ θ= + − − Ωɺɺ ɺɶ ɶ ɶ ɶ
נחשב את הביטויים הדרושים. ב
( ) ( )2 2 2 2
ˆ cos sin
sin sin cos cos
sin cos
cos
A r
B r z
r z
B z
a xx x e x e
l l e l e l e
e e e
l e l e
θ
θ
θ
θ
θ θ
ω ω ρ θ θ θ θ θ θ
α θ θ θ θ θ
α ρ θ θ θ
= = −
× × = − Ω + − Ω − Ω
= Ω +Ω +
× = − Ω
ɺɺ ɺɺ ɺɺɶ ɶ ɶ ɶ
ɺ ɺɶ ɶ ɶ ɶ ɶɶ
ɺ ɺ ɺɺɶ ɶ ɶ ɶ
ɺɺ ɺɶ ɶ ɶɶ
ולאחר הצבת הביטויים בקשר
( )B A B rela a a= +ɶ ɶ ɶ
( ) ( )2B B rel
Vω ω ρ ω+ × × + ×ɶ ɶ ɶ ɶɶ
Bα ρ+ ×ɶ ɶ
מתקבל
( ) ( )2 2 2 2cos sin sin sin cos 2 cosB r z
a x l l e l x l e l eθθ θ θ θ θ θ θ θ θ= − Ω − + − − Ω − Ωɺ ɺɺ ɺɺɺ ɺɺɶ ɶ ɶ ɶ
ˆˆ BCנגדיר מערכת צירים נוספת צמודה למוט . ג ˆ( , , )i j kɶ ɶɶ
.B שראשיתה בנקודה
י"ת הזוויתית של מערכת זו מתקבלת עהמהירו
( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆcos sinB
i j kω θ φ θ φ θ φ= −Ω − +Ω − + −ɺ ɺɶ ɶ ɶɶ
הביטויים הדרושים
( )
( ) ( )
ˆ
0
ˆˆ sin
C
C rel
B C
Ri
V
Rj R k
ρ
ω ρ θ φ θ φ
=
=
× = − −Ω −
ɶɶ
ɶ ɶɺ ɺ
ɶ ɶɶ ɶ
)מ לקבל תוצאה בצירי "ע , , )r z
e e eθɶ ɶ ɶ
נפרק את הוקטורים לרכיבים לפי
ˆ cos sin
ˆ sin cos
ˆ
r
r
z
i e e
j e e
k e
θ
θ
φ φ
φ φ
= −
= +
=
ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶɶ
ɶ ɶ
ולאחר הצבת הביטויים בקשר
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
14
( )C B C B CrelV V V ω ρ= + + ×ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
מתקבל
( )( ) ( )( )( )( )
cos sin sin cos
sin sin
C r
z
V x R e l x R e
R l e
θθ θ φ φ θ θ θ φ φ
θ φ θ
= + − + − + −
− Ω − + Ω
ɺ ɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺɶ ɶ ɶ
ɶ
ולכן, A - ביחס לC המהירות הנמדדת היא המהירות הרלטיווית של .ד
( ) ( )
( )
/
/ / /
cos sin
C A
C A C B B Acamrarelrel
r r
rel
d dV
dt dt
dR e R e le
dtθ
ρρ ρ
φ φ
= = +
= − +
ɶɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ
ולאחר גזירה מתקבל
( ) ( )/ sin cosC A rcamraV R e eθφ φ φ= − +ɺɶ ɶ ɶ
θשר תחילה נשים לב כי כא. ה φ≡ המוט BC נשאר מקביל למסילה האופקית לאורך כל
שוות למהירות והתאוצה של Cלכן המהירות והתאוצה המוחלטות של הנקודה . התנועה
ולכן) ם בלי לשים לב לעובדה הזוניתן לפתור את הבעיה ג. (Bהנקודה
( ) ( )2 2 2 2cos sin sin sin cos 2 cosC r z
a x l l e l x l e l eθθ θ θ θ θ θ θ θ θ= − Ω − + − − Ω − Ωɺ ɺɺ ɺɺɺ ɺɺɶ ɶ ɶ ɶ
jכלומר יש לו רכיב בכיוון (BCכוח גזירה הוא הכוח הניצב למוט ɶ
k ובכיוון ɶ
. (
מ לקבל את הכוח נשמש בקשר"ע
tF ma=
-היכן שt
aמסמן את גודל התאוצה המוחלטת של המסה בניצב למוט .
מ לקצר ברישום נגדיר "ע
C r r z za a e a e a eθ θ= + +ɶ ɶ ɶ ɶ
היכן ש
2 2 2
2
cos sin
sin sin cos
2 cos
r
z
a x l l
a l x l
a l
θ
θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ
= − Ω −
= − − Ω
= − Ω
ɺɺɺ
ɺɺ ɺɺ
ɺ
לכן
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
15
( ) ( )2 2sin cos
t r za a a aθθ θ= + +
1.5 פתרון
: תחילה נשים לב כי.א
, 0o
r r bt r b rω ω= − → = − → =ɺ ɺɺ
:מתוך גיאומטריה ניתן לרשום את הקשרים הבאים
2 2
2 2
2 2
cos , sin
sin
1 cos coscos cot
sin sin sin
h x
r r
h hr b
r r
h b h b b b
r h h h
θ θ
θ θ ω
ω ω θ ω θ ωθ θ θ
θ θ θ
= =
− ⋅ = − ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ ⋅
ɺ ɺ
ɺ
:כדי למצוא את הביטוי השני יעשה שימוש בתוצאה שנמצאה כבר
2
2
2
2 2
sin
2 cossin
2 1cos
sin
h br
h br r r
r h b
r r
ωθ
θω
θ θ θ θθ
θ ωθ θ θ
θ
⋅ ⋅⋅ = −
⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= + ⋅ ⋅ ⋅
ɺ
ɺ ɺɺ ɺɺ
ɺɺɺɺ ɺ
:יעשה שימוש בקשרים הבאים
2
2
cos
sin
r b
h b
h
ω
ω θθ
θ
= − ⋅
⋅ ⋅= − ⋅
ɺ
ɺ
:ומתקבל הביטוי המבוקש
2 22
2 2
1cot cos 1
sin
b
h
ωθ θ θ
θ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ +
ɺɺ
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
16
.ראשית מערכת הצירים תהיה בגלגלת העליונה שהיא נקודה קבועה .ב
מהירות דרושים לצורך חישוב ההביטויים ה
:המוחלטת
0
ˆ
ˆ
0
ˆ
r
rel r
k
r e
v
v r e
ω θρ= ⋅
= ⋅
=
= ⋅
ɺɶ ɶ
ɶɶ
ɶ ɶɺ
ɶ ɶ
:ולכן
ˆ ˆr
v r e r eθθ= ⋅ + ⋅ ⋅ɺɺɶ ɶ ɶ
אוצה ה דרושים לצורך חישובהביטויים ה
:המוחלטת
( )
0
ˆ
0
ˆ ˆ 0rel r r
k
a
da r e b e
dt
α θ
ω
= ⋅
=
= ⋅ = − ⋅ ⋅ =
ɺɺɶ
ɶ ɶ
ɺɺɶ ɶ ɶ ɶ
:כןול
( )2 ˆ ˆ2ra r e r r eθθ θ θ= − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ɺ ɺɺ ɺɺɶ ɶ ɶ
:'א- בשהתקבלוובהצבת הביטויים
2 2 2 22 3
ˆ ˆcot
ˆ ˆcot cos cot cos
r
r
v b e b e
b ba e e
h h
θ
θ
ω ω θ
ω ωθ θ θ θ
= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅= − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ
ωb
x
θh
P
reɶ
eθɶ
r
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
17
1.6 פתרון
.ונבחר מערכת צירים קוטבית נציג את המערכת בצורה מישורית
:מהנתון ידוע כי
( )[ ]
120min
0
0.4 0.1 sin 2
2sec
0
rev
R n t m
revn
θ
θ
π
β
=
=
= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
=
ɺ
ɺɺ
ɺ
:לצורך מציאת וקטור המהירות ניתן לרשום את הקשרים הבאים
0
ˆˆcos sin
ˆ
ˆ
0
r
r
rel r
e k
R e
v R e
v
ω θ β θ β
ρ
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅
=
ɺ ɺɶ ɶ ɶ
ɶɶɺ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
:הצבה בביטוי המהירות המוחלטת מניבה את התוצאה הבאה
ˆ ˆsinr
v R e R eθθ β= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ɺɺɶ ɶ ɶ
:וכעת לאיברים המופיעים בביטוי התאוצה
0
0
0
ˆrel r
a
a R e
α =
=
= ⋅
ɶ ɶ
ɶ ɶɺɺ
ɶ ɶ
:ובהצבה לביטוי הסופי מתקבל
( )2 2 2 ˆˆ ˆsin 2 sin sin cosr
a R R e R e R kθθ β θ β θ β β= − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ɺ ɺ ɺɺɺ ɺɶ ɶ ɶ ɶ
ˆr
eɶ
eθɶ
kɶ
β R
O
θɺ
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
18
:ניתן לרשום .ב
( )( )
( )2 2
0.4 0.1 sin 2
0.2 cos 2
0.4 sin 2
R n t
R n n t
R n n t
π
π π
π π
= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
ɺ
ɺɺ
:ימקסימאל Rɺוכעת למציאת הגדלים כאשר
( )( )
max
cos 2 1
sin 2 0
0.4
0.2
0
n t
n t
R R
R n
R
π
π
π
⋅ ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ =
⇒ = = ⋅ ⋅ =
ɺ
ɺ
ɺɺ
:ובהצבה לביטוי התאוצה
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
19
θ
l
O
m φɺ
reɶ
eθɶ
eφɶ
קינטיקה של חלקיק .3
בגחונו משתלשל Oמנקודה . מסוק נמצא בטיסת ריחוף )2008 אביב –מבחן משאלה ( .3.1
תחלתי כבל שאורכו ההo
l . בקצה הכבל תלוי מטען שמסתוm . בנקודה(מנוע המותקן בגחוןO (
בגלל בעיות הטסה הכבל נפרש , מושך בכבל על מנת להעלות את המטען אל המסוק ואולם
בזווית o
θחס לאנך וסובב סביב האנך בקצב ביo
φɺ 0 בזמןt הכבל מעביר לאורכו כוח מתיחה . =
) הוא Oבמהלך התמרון מרחק המטען מהנקודה . בלבד ומסתו ניתנת להזנחה )l t והזווית בין
)ך היא הכבל לאנ )tθ.
המהירות והתאוצה
:בקואורדינטות כדוריות
כגוף חופשי בתרשים גדול הכולל הגדרה ברורה של כיווני mיש לתאר את המטען .א
.הצירים
יש להראות כי במהלך התמרון מתקיים הקשר .ב
( ) ( )2sin .
ol h constθ φ = =ɺ
יש להראות כי במהלך התמרון מתקיים הקשר) 1( .ג
( )2
2
2 3
cossin
sin
ohd
l gldt l
θθ θ
θ= −ɺ
אינה יכולה להישאר קבועה , זווית הפרישה של הכבל ביחס לאנך, θ -יש להראות ש) 2(
. במהלך התנועה
. חוזק הכבל לקריעה במתיחהTהמנוע מושך את הכבל בקצב ובמהירות קבועה וידוע .ד
?O אל הנקודה mטען האם ניתן להביא את המ
:המהירות והתאוצה בקואורדינטות כדוריות
2 2 2
2
ˆ ˆ ˆsin
ˆ( sin )
ˆsin cos 2
ˆsin 2 cos 2 sin
r
r
v Re R e R e
a R R e
R R R e
R R R e
θ φ
θ
φ
θ φ θ
θ φ θ
θ φ θ θ θ
φ θ φθ θ φ θ
= + +
= − +
+ − + +
+ +
ɺ ɺɺɶ ɶ ɶ ɶ
ɺ ɺɺɺɶ ɶɺɺ ɺ ɺɺ
ɶɺɺ ɺ ɺ ɺɺ
ɶ
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
20
,שלושה חלקיקים .3.2 ,A B C שמסותיהם, 2 ,3m m mפקי חלק ו מונחים על שולחן א
)זוגות החלקיקים . l ל משולש שווה צלעות שאורך צלעובקודקודיו ש , )A B וכן ( , )B C מחוברים
0tבזמן . החוטים יכולים להפעיל כוחות מתיחה בלבד.רכם קבועווא שמסתם זניחה בחוטים =
).כבתרשים(AB -בכיוון מקביל ל vמהירות Cקיק מקנים לחל
?במהירות שהוקנתה לו Cינוע החלקיק Tכמה זמן .א
tברגע Aק באיזה כיוון יתחיל לנוע חלקי) 1 .ב T+=?
t ברגע C במהירות החלקיק השינויבאיזה כיוון יחל ) 2 Tיש לשים לב לכך (? =+
tבזמן Cשמהירות החלקיק T !) אינה אפס=+
tבזמן Cרכיב המהירות המוחלטת של מהו גודל ) 3 T בכיוון הניצב לזה שנזכר =+
?בסעיף הקודם
ביחס C ושל A-ביחס לBבאיזה כיוונים תהיינה המהירויות היחסיות ההתחלתיות של .ג
t ברגע B-ל T+=?
tברגע (מה המהירות ההתחלתית .ד T ?A של החלקיק) =+
T,(מה התקיפות המועברות בפרק הזמן .ה T− מה שינוי התנע (BC- וABבחוטים ) +
?)לאורכם
T,(מה השינוי באנרגיה הקינטית של המערכת בפרק הזמן .ו T− ?ממה נגרם שינוי זה? )+
A B
C
m 2m
3m v
l
l
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
21
θ
l R=
O
mg ˆr
eɶ
T
zɶ
eθɶ
θ
l
O
m φɺ
פתרונות קינטיקה של חלקיק .4
3.1 פתרון
תי בגחונו משתלשל כבל שאורכו ההתחלOמנקודה . מסוק נמצא בטיסת ריחוף o
l . בקצה
מושך בכבל על מנת להעלות את ) Oבנקודה(מנוע המותקן בגחון . mהכבל תלוי מטען שמסתו
בגלל בעיות הטסה הכבל נפרש בזווית , המטען אל המסוק ואולםo
θ לאנך וסובב סביב ביחס
האנך בקצב o
φɺ 0 בזמןt . הכבל מעביר לאורכו כוח מתיחה בלבד ומסתו ניתנת להזנחה. =
) הוא Oבמהלך התמרון מרחק המטען מהנקודה )l tיא והזווית בין הכבל לאנך ה( )tθ.
יש לתאר את .א
כגוף mהמטען
.חופשי
יש להראות כי במהלך התמרון מתקיים הקשר .ב
( ) ( )2sin .
ol h constθ φ = =ɺ
z(ז בכיוון האנכי "נשים לב כי יש שימור של תנעɶ
. O סביב הנקודה )
( )2sin sin .o
o
H zh v L l const
mφ θ θ φ
⋅= = ⋅ = =ɺɶ ɶ
יש להראות כי במהלך התמרון מתקיים הקשר) 1 ( .ג
( )2
2
2 3
cossin
sin
ohd
l gldt l
θθ θ
θ= −ɺ
eθמשוואת התנועה הקווית בכיוון ɶ
:O סביב
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
22
sinma mgθ θ= −
ולכן
( )
2
2 2 2
2 2 2
sin cos 2 sin
2 sin cos sin
sin cos sin
m l l l mg
l ll l gl
dl l gl
dt
θ φ θ θ θ θ
θ θ φ θ θ θ
θ φ θ θ θ
− + = −
+ = −
= −
ɺɺɺ ɺ ɺ
ɺɺɺ ɺ ɺ
ɺ ɺ
נשתמש בקשר מהסעיף הקודם2φɺמכיוון שבמשוואת היעד אין
( )
22
4sin
oh
lφ
θ=ɺ
ולכן
( )( )
( )
22 2
4
22
2 3
sin cos sinsin
cossin
sin
o
o
hdl l gl
dt l
hdl gl
dt l
θ θ θ θθ
θθ θ
θ
= −
= −
ɺ
ɺ
קבועה אינה יכולה להישאר , זווית הפרישה של הכבל ביחס לאנך, θ -יש להראות ש) 2(
. במהלך התנועה
מהמשוואה בסעיף הקודם מתקבל. קבועהθנניח תחילה כי
23
4
cos
sin
oh
lg
θθ
=
ואגף ימין ) משתנה עם הזמןl(אבל כאן אגף שמאל של המשוואה משתנה עם הזמן
. אינה קבועהθ-קבוע ולכן קיבלנו סתירה ו
. חוזק הכבל לקריעה במתיחהTהמנוע מושך את הכבל בקצב ובמהירות קבועה וידוע .ד
?O אל הנקודה mהאם ניתן להביא את המטען
המתיחות בכבל היא
cosr
mg T ma m lθ − = = ɺɺ( )2 2 2( sin )l θ φ θ− +ɺ ɺ
מ שהקבל לא יקרע נדרוש"ע
T T<
מהסעיפים הקודמים2φɺנציב את הקשר עבור . ננתח את הביטוי
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
23
2 22 2
03 2 3cos cos ( ) cos ( )
sin
o or l
h hT mg ma mg m l mg m l
l lθ θ θ θ θ
θ →= − = + + > + + →∞ɺ ɺ
.לכן קיבלנו כי ככל שמושכים בכבל המתיחות גדלה עד למתיחות אינסופית ולכן הכבל יקרע
3.2 פתרון
ברור שבתחילת . החלקיק ינוע לאורך קו ישר ללא שינוי במהירותו עד שיופעל עליו כוח.א
החל מנקדה(התנועה o
C ( החוטCB יתרפה ולכן לא יופעל על החלקיק שום כוח עד שיגיע
: הואCהזמן עד להגעה לנקודה . Cלנקודה
0CC lT
v v= =
.ב
.x שהוא כיוון, ח החוט הפועל עליוויתחיל לנוע בכיוון כ Aחלקיק ) 1(
שינוי במהירותו יחול רק בכיוון בו פועלים עליו , Cוי בתנועת חלקיקומתוך שימור התנע הק) 2(
1C רכיב המהירות שישתנה מסומן בציור על ידי .BCכיוון זה הוא כיוון החוט . כוחותv.
2C לא יחול שינוי במהירות החלקיק ולכן רכיב המהירות BCבכיוון הניצב לחוט ) 3(vשאר כפי י י
:תח נמBCשהיה לפני שהחוט
2
3cos
6 2C
v v vπ
= ⋅ = ⋅
Tלחישוב מהירויות המסות בזמן .ג :y- וx יש לקיים שימר תנע של מערכת המסות בכיוונים +
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
24
1 2
1 2
2 3 cos cos 33 6
2 3 sin sin 03 6
A B x C C
B y C C
m v m v m v v m v
m v m v v
π π
π π
−
−
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ =
:'או בהצבת פתרון סעיף ב
2
1
1
2 3 cos cos 33 6
2 3 sin sin cos 03 6 6
A B x C
B y C
m v m v m v v m v
m v m v v
π π
π π π
−
−
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
Tבנוסף החוטים מתוחים בזמן בכיוון , בניהםלכן רכיבי המהירויות של חלקיקים המחוברים ו +
:B- ו Cחלקיקים . זהים, החיבור
1cos cos3 6
B x B y Cv v v
π π− −⋅ + ⋅ =
:B-וAהחלקיקים
B x Av v− =
קל , גם מבלי לפתור את מערכת המשוואות .כעת יש בידנו ארבע משוואות בארבעה נעלמים
-וAשהרי המהירויות של חלקיקים yהיא בכיוון A -ביחס ל Bלראות שהמהירות היחסית של
B בכיווןxל .זהות-C 2תהיה מהירות יחסית בכיווןCvביחס ל -B , 1מכיוון שבכיווןC
v שני
.נעים באותה מהירות) B-ו C(החלקיקים
:נפתור את מערכת המשוואות הבאה .ד
2
1
1
1
2 3 cos cos 33 6
2 3 sin sin cos 03 6 6
cos cos3 6
A B x C
B y C
B x B y C
B x A
m v m v m v v m v
m v m v v
v v v
v v
π π
π π π
π π
−
−
− −
−
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
⋅ + ⋅ =
=
:ונקבל
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
25
1
2 2 9 11, , ,
19 19 3819 3A B x B y C
v v v v v v v v− −= = = = ⋅
:תקיפת החוטים שווה לשינוי בתנע לאורכם .ה
( ) ( )T
AB AB AB AB
T
G F dt P T P T
+
−
+ −= ⋅ = −∫
( ) ( )
( ) ( )
1
62
19
13 2 cos 2 cos 3 cos
3 6 3 19
BC BC
A A
T
BC BC BC BC
T
C B x B y
P T P T
m v m v m v
G F dt P T P T
m v m v m v m v m vπ π π
+
−
+ −
+ −
− −
= ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅
= ⋅ = − =
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅
∫
:השינוי באנרגיה הקינטית של המערכת ניתן לחישוב לפי הקשר הבא .ו
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 2
2 22 2 2
2
3 2 3
2 2 2 2
3 11 3 2 2 9 2 3
2 38 2 2 19 2 19 219 3
k k k
C C B x B y A
T T T T
E E T E T
m m m mv v v v v v
m m m mv v v v v v
+ −
+ −
− −
∆ = − =
⋅ ⋅ ⋅= ⋅ + + ⋅ + + ⋅ − ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =
2 22 2 2
2
2
11 3 2 9 23 3 2 2 3
2 38 2 19 1919 3
3
19
mv
m v
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + − =
= − ⋅ ⋅
ון ומכי. )שהרי כוחות אלסטיים משמרים(יתה נשמרת יאם החוטים היו אלסטיים האנרגיה ה
).בעצם בהתרחקות הפתאומית" (התנגשות"החוטים קשיחים האנרגיה אבדה ב
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
26
תנועה בשדה כוח מרכזי .5
Kנע בשדה כוח משיכה מרכזי שגודלו mחלקיק שמסתו .5.1 r⋅ כאשרKקבוע ו - r
התנע הזוויתי שלו 0H -האנרגיה הכוללת של החלקיק ו, Eנתונים . O המרחק מנקודת המרכז
.O- ביחס ל
1יש להראות שהחלקיק ינוע בתחום .א 2r r r≤ 1 כאשר ≥ 2,r r הם המרחקים הרדיאליים
.O -המזערי והמרבי מ
.יש להראות שהחלקיק נע על מסלול אליפטי .ב
:הנחיות
רצוי לעשות שימוש בקואורדינטות קרטזיות) 1(
: המשוואה הקנונית של אליפסה בקואורדינטות קרטזיות היא) 2(2 2
2 21
x y
a b+ =
0tהגבלת הכלליות אפשר לבחור ללא ) 3( 0y - מרבי וx כך שבזמן זה = =.
Aמעבורת החלל קולומביה הגיעה לנקודה , המנועים במשימתה השנייהעולת פבסיום .5.2
65בגובה של kmא במהירות משיקה " מעל פני כדהo
v . ידוע כי המסלול הראשון היה מסלול
240 בגובה של Bאליפטי וכי המעבורת עברה למסלול מעגלי כאשר חלפה על הנקודה km.
יש לחשב את המהירות .אo
v בסיום
.המנועיםעולת פ
יש לחשב את התוספת במהירות .ב
מ להעביר את " עB - הדרושה ב
.המעבורת למסלול המעגלי
ov
B A
65 km 240 km
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
27
תנועה בשדה כוח מרכזי-פתרונות .6
אר את הכוח הפועל על החלקיק בשדהגליליות ניתן לת/בקואורדינטות כדוריות 5.1 פתרון
ל "הכבידה הנ
ˆr
F K r e= − ⋅ ⋅ɶ ɶ
וח מתקבל על ידי ביצוע אינטגרציהפוטנציאל הכ
( ) ( ) 2
0
1ˆ
2
r
rV r F dr e K r= − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ ɶ ɶ
מתקבליתי ומתוך שימור תנע זו
2
0 .H m r Constθ= ⋅ ⋅ =ɺ
מתוך שימור אנרגיה בשדה משמר
( ) ( )22 2 2 2 2
22 20
2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1.
2 2 2
rE T V m v v K r m r r K r
HE m r K r Const
m r
θ θ = + = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =⋅
ɺɺ
ɺ
rדיפרנציאלית עבור משוואה מכאן ניתן למצוא
22 20
2
1 1 1
2 2 2
Hm r E K r
m r⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⋅
⋅ɺ
0r: זערי ניתן למצוא מתוך התנאיאת המרחקים המרבי והמ =ɺ
2 24 2 2 20 01
2 0H H
K r E r r E E Km K m
⋅ − ⋅ ⋅ + = → = ⋅ ± − ⋅
:ומכאן מתקבלים הערכים למרחקי הקיצון
2 22 20 0
max min
1 1,
H Hr E E K r E E K
K m K m
= ⋅ + − ⋅ = ⋅ − − ⋅
:כאשר
22 0H
E Km
≥ ⋅
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
28
:נרשום את משוואת הכוחות בכיוונים הקרטזיים .ב
cos 0
sin 0
x
x
F K r K x m x m x K x
F K r K y m y m y K y
θ
θ
= − ⋅ ⋅ = − ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ =
= − ⋅ ⋅ = − ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ =
ɺɺ ɺɺ
ɺɺ ɺɺ
:פתרון שתי המשוואות הדיפרנציאליות נתון בצורה הבאה
1 1
2 2
sin cos
sin cos
K Kx A t B t
m m
K Ky A t B t
m m
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
:עבור תנאי ההתחלה
( )max0, 0, 0 0dx
t y x x tdt
= = = ⇒ = =
:מתקבל
1 2 1
2
0 cos
sin
KA B x B t
m
Ky A t
m
= = ⇒ = ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
:ולכן ניתן לרשום
2 2
2 2
1 2
1x y
B A+ =
5.2 פתרון
:המסלול הראשון הינו מסלול אליפטי. א
ניתן לחשב את אורך הציר הגדול של המסלול האליפטי
2 65 240 2 13063e
a R km= + + =
]6,379א "היכן שרדיוס כדה ]e
R km=.
את המהירות במסלול אליפטי ניתן לקבל מהקשר
ˆr
eɶ
eθɶ
Fɶ
x
y
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
29
( ) 1 12
2v r
r aµ = ⋅ ⋅ − ⋅
Aבנקודה ולכן
65 6444
1 12 7.92
2
A e
o e
A
r R km
kmv
r a sµ
= + =
= ⋅ ⋅ − = ⋅
-היכן ש3
5
23.986 10
sece
kmµ
= ×
במסלול האליפטיB -נחשב את המהירות ב. ב
240 6619
1 12 7.71
2
B e
B e
B
r R km
kmv
r a sµ
= + =
= ⋅ ⋅ − = ⋅
במסלול המעגלי
2 2(240 ) 13238e
a R km= + =
ולכן
1 12 7.76
2B e
B
kmv
r a sµ
= ⋅ ⋅ − = ⋅
לכן שינוי המהירות הדרוש הוא
0.05 50B
km mv
s s∆ = =
.היכן שהסימן החיובי מצביע על כך שנדרשת האצה
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
30
,l M
A
Or
θhm
קינמטיקה של גוף קשיח בתנועה מישורית .7
המערכת שבתרשים מורכבת מגליל אחיד שרדיוסו ) ה"חורף תשנ', מתוך מבחן מועד ב( .7.1
r תו ומסm המחובר בציר למוט אחיד שאורכוlמסתו ו M . המוט נשען בנקודהA על מדרגה
0θמשחררים את המערכת ממנוחה במצב שבו . h שגובהה θ= והגליל מתגלגל על המשטח
את ω -נסמן ב. A ובנקודהO ניתן להזניח את החיכוך בציר. פקי התחתון ללא החלקהוהא
- יתית הרגעית של הגליל ובוהמהירות הזוc
vɶ
.במרכז המוט C את המהירות הרגעית של נקודה
: שבמהלך התנועה מתקיימים הקשריםראותיש לה .א
)1 (2cosr
h r
ωθ θ
⋅= ⋅
−ɺ
)2 (( ) ( )222 1cos
4c
v r l r lω ω θ θ θ= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ɺ ɺ
.θשל כתלות בערך הרגעי O יש לחשב את מהירות הנקודה .ב
הינומומנטי האינרציה של מוט סביב מרכז הכובדלצורך הפתרון ניתן להשתמש בכך ש*
21
12I M l= ⋅ 21ל סביב מרכז הכובד גלישל ו⋅
2I m r= ⋅ ⋅.
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
31
θ
A
B
OM
l l
0v
l ואורך כל אחד מהם mהמתקן בתרשים עשוי משני מוטות זהים שמסת כל אחד מהם .7.2
מאולצת לנוע Bציר קבוע ואילו הנקודה Oבנקודה . A הם בציר בנקודהיוהם מחוברים בינ
כך שבמהלך הגדלת OAעל המוט M משתנה מנוע מפעיל מומנט. במסילה אופקית ישרה
] - מθהזוית ]30 deg ל-[ ]60 deg הנקודה B 0 נעה במהירות קבועהv . התנועה מתרחשת
.במישור האנכי וללא חיכוך
.θ כפונקציה של הזוית ABויתית של המוט ויש למצוא את המהירות והתאוצה הז .א
.ABיש למצוא את תאוצת מרכז המסה של המוט .ב
] - גדלה מθ שביצע המנוע בפרק הזמן שבו הזוית יש לחשב את העבודה .ג ]30 degל -
[ ]60 deg.
קינמטיקה של גוף קשיח בתנועה מישורית-פתרונות .8
7.1 פתרון
A- לOהמרחק האנכי בין נקודה . xעל ידי A- לOפקי בין נקודה ונסמן את המרחק הא )1. (א
hהוא r− .ניתן אם כן לבנות את המשולש הבא:
:ומתקיים הקשר
tanx
h rθ =
−
:כעת נגזור את שני האגפים
2cos
x
h r
θθ=
−
ɺ ɺ
:O היא גודל המהירות של נקודה xאבל מתקיים שהנגזרת של
0x v=ɺ
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
32
:לגול טהור מתקייםיל מבצע גון שהגלוומכי
0v rω= ⋅
:ובהצבה לנגזרת הביטוי הראשון מתקבלת התוצאה המבוקשת
2cosr
h r
ωθ θ
⋅= ⋅
−ɺ
θΩיתית של המוט היא ואם גודלה של המהירות הזו )2. (א = ɺ , מהירותה של הנקודהC במרכז
:המוט נתונה על ידי
c o COv v ρ= +Ω×
ɶɶ ɶ ɶ
:כאשר
ˆ ˆsin cos
ˆ
ˆ2
o r
z
OC r
v r e r e
e
le
θω θ ω θ
θ
ρ
= − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
Ω = ⋅
= ⋅
ɶ ɶ ɶɺ
ɶ ɶ
ɶɶ
:ולכן
ˆ ˆsin cos2
c r
lv r e r eθω θ ω θ θ = − ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
ɺ
ɶ ɶ ɶ
:וגודלה של המהירות
( )22 2 2 1cos
4c
v r l r lω ω θ θ θ= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ɺ ɺɶ
:י לאנרגיה הקינטית של המערכתלנמצא את הביטוי הכל .ב
2 2 2 2
0 1 2
1 1 1 1
2 2 2 2c
T m v I M v Iω θ= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ɺ
:הכובד וגליל סביב מרכז הכובד נתונים על ידימומנטי האינרציה של מוט סביב מרכז
2
1
2
2
1
2
1
12
I m r
I M l
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
0v והקשר θɺ- ובהצבת הביטוי שהתקבל ל rω= :מתקבל, ⋅
( )
22 3 4
0 2
3 1 11 cos cos
4 2 3
l lT v m M
h r h rθ
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅
− −
:ומכיוון שהמערכת מתחילה ממנוחה מתקיים
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
33
0 0T T T= ⇒ ∆ =
:הפרש פוטנציאל הכובד בין המצב ההתחלתי לסופי הוא
( )0
1cos cos
2V M g l θ θ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
:ומכון שאין כוחות לא משמרים במערכת מתקיים
( ) ( )
( )
02
02
3 4
2
cos cos0
3 11 cos cos
2 3
g lT V v
m l l
M h r h r
θ θ
θ
⋅ ⋅ −∆ + = ⇒ =
⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅
− −
7.2 פתרון
x יסומן על ידי B- לO-הכיוון מ. ABOנתייחס למשולש .א
2 :ניתן לרשום cosx l θ= ⋅ ⋅
2 :ירה תניבוגז sinx l θ θ= − ⋅ ⋅ ⋅ ɺɺ
0x :אבל מתקיים גם v= −ɺ
0 :ולכן 1
2 sin
v
lθ
θ= ⋅
⋅ɺ
:ויתיתוגזירה נוספת תניב את התאוצה הז
2
0 0
2 3
cos cos
2 sin 2 sin
v v
l l
θ θθ θ
θ θ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅
ɺɺ ɺ
. אך הפוכה בכיוונהOAויתי שווה למוט ואוצה ז מבצע תנועה מעגלית במהירות ותABהמוט .ב
הנמצאת במרכז C להגדיר את מערכת הצירים הבאה ואת נקודה OABלפיכך ניתן במשולש
: ניתן לרשוםCעבור נקודה ):מרכז המסה שלו (ABהמוט
0 0 0
0
ˆ2
0, 0
ˆ
ˆ
ˆ ˆcos sin
0
r
rel rel
z
z
r
le
v a
e
e
v v e v e
a
θ
ρ
ω θ
α θ
θ θ
= ⋅
= =
= ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
=
ɶɶ
ɶ ɶ ɶ ɶɺ
ɶ ɶɺɺ
ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ
:ובהצבה לביטוי התאוצה המוחלטת מתקבל
A
BOx
ll
θ
A
B
O
2
ll
, ,θ θ θɺ ɺɺ
C ˆreɶ
ˆreɶ
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
34
( ) 2
2
ˆ2
ˆ2
ˆ2
ˆ ˆ2 2
r
C r
le
le
le
l la e e
θ
θ
θ
ω ρ θ
α ρ θ
ω ω ρ θ
θ θ
× = ⋅ ⋅
× = ⋅ ⋅
× × = − ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
ɺ
ɶ ɶɶ
ɺɺ
ɶ ɶɶ
ɺɶ ɶ ɶɶ
ɺɺ ɺɶ ɶ ɶ
:מתקבל' תקבלו בסעיף אבהצבת הביטויים שה
( )2 2 2
0 0 0
3 2 2
cos 1 1ˆ ˆ ˆ ˆcot
8 sin 8 sin 8 sinC r r
v v va e e e e
l l lθ θ
θθ
θ θ θ= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ +
⋅ ⋅ ⋅ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
:שאינו משמר ולכן ניתן לרשום) מומנט–חות ואו צמד כ(עבודת המנוע הינה עבודת כוח .ג
( )MW T V= ∆ +
:השינוי בפוטנציאל תלוי בשינוי בגובה מרכז המסות של שני המוטות
( )2 1sin sinh l θ θ∆ = ⋅ −
:ושינוי הפוטנציאל הוא
( )2 1sin sinV m g h m g l θ θ∆ = ⋅ ⋅∆ = ⋅ ⋅ ⋅ −
:ABיש למצוא את מהירות מרכז המסה של . ABיחושב השינוי באנרגיה הקינטית על מוט
0 0ˆ ˆcos sin
2C r
lv v e v eθ
θθ θ
⋅= ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅
ɺ
ɶ ɶ ɶ
:וגודלה של המהירות
2 22 2 2 2 2
0 0 0
2
0
2
cos sin sin4
11
2 8 sin
C
lv v v l v
v
θθ θ θ θ
θ
⋅= ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =
= ⋅ + ⋅
ɺɺ
ɶ
):נרגיה הסיבוביתיש להוסיף את הא(האנרגיה הקינטית של המוט
2 22 2 20
2
2 2 2
0 0 0
2 2 2
1 1 1 11
2 2 4 8 sin 2 12
1 1 11 1
4 8 sin 4 24 sin 4 6 sin
C
AB C C
I
m v m lT m v I
m v m v m v
ω θθ
θ θ θ
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + + ⋅ ⋅ = ⋅
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
ɺɶ
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
35
:Oיתית סביב נקודה ו ניתנת לחישוב לפי מהירותו הזוAOהאנרגיה הקינטית של המוט
2 222 0 0
2 2 2
1 1 1 1
2 2 3 4 sin 4 6 sinO
AO O
I
v m vm lT I
lω
θ θ⋅⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅
למצב ) 1(השנוי באנרגית המערכת יחושב לפי ההפרש בין האנרגיה הקינטית במצב הראשוני
):2(הסופי
( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1
2 2 2
0 0 0
2 2 2 2
2 1 2 1
1 1 1 11 1
4 3 sin 4 3 sin 12 sin sin
AO AB AO ABT T T T T
m v m v m v
θ θ θ θ
θ θ θ θ
∆ = + − − =
⋅ ⋅ ⋅= + − + = − ⋅ ⋅
קינטיקה של גוף קשיח בתנועה מישורית .9
ABCD וצורתו ריבוע M מישורי אחיד שמסתו לוח )2008אביב ', אמתוך מבחן מועד ( .9.1
mטנה שמסתה על הלוח מונחת קובייה ק. מונח על מישור אופקי חלקLשאורך צלעו
( )m M<<בזמן . ואורך צלעה זניחo
t מפעילים בנקודה A כוח אופקי P המקביל לצלע הלוח
ADכמתואר בתרשים א '.
יש לחשב את mבהזנחת ההשפעה של הקובייה .אG
aɶ
תאוצת מרכז המסה של הלוח ואת ,
αɶ
התאוצה הזוויתית של הלוח בזמן , o
tיש להגדיר בתרשים ). מיד לאחר הפעלת הכוח (+
. ברור את מערכת הקואורדינטות שבה נערך החישוב
היכן על פני הלוח אפשר להניח את . החיכוך הסטטי בין הקובייה ללוח מקדם µידוע .ב
ילת התנועה בזמן הקובייה כך שהיא לא תחליק מיד בתחo
tלתשובה תרשים יש לצרף . +
.איכותי של התחום המתקבל
/ הנמצאת במרחק Qהניחו את הקובייה בנקודה .ג 3L ממרכז הלוח Gכמתואר בתרשים
t באיזה זמן ADוממשיך לפעול לאורך הצלע קבוע בגודלו Pאם הכוח . במבט על' א
?תתחיל הקובייה להחליק
P
L
L
A D
C B g תרשים א':
G
Q / 3L
P
C B
D A
מבט מרחבי מבט על
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
36
הלוח הריבועי תלוי במנוחה במצב אופקי , במקום להיות מונח על פני מישור אופקי חלק .ד
. 'המחוברים בפינותיו כמתואר בתרשים בבכבלים אנכיים בעלי אורכים זהים
בזמן o
tהאם . P מפעילים את הכוח +
- ו' יחול שינוי בתוצאות של הסעיפים א
הנוגעים לזמן ' בo
t שמיד לאחר +
יש לנמק את . Pהפעלת הכוח
!תשובתך
) 2007ביב א', אמתוך מבחן מועד ( .9.2
שביחס אליה מתקיים הקשר Oמה מאפיין את הנקודה O O
M H= ɺɶ ɶ
? מערכת חלקיקיםכלעבור ,
OMɶ
- וO
Hɺɶ
O הם שקול המומנטים החיצוניים וקצב שינוי התנע הזוויתי סביב הנקודה
.בהתאמה
. P, ממרכזו הגיאומטריl נמצא במרחק R של הגלגל בתרשים שרדיוסו Cמרכז המסה
C :2 - ומומנט האינרציה של ביחס לmנתונים מסת הגלגל
CI mk=.
hנתון (, h במדרגה שגובהה 0tהגלגל מתגלגל ללא החלקה ומתנגש ברגע R l< ברגע זה ). −
תונה מהירותו הזוויתית נo
ω והנקודה C נמצאת על קו אנכי מתחת לנקודה P) כבתרשים.(
כמו כן אין . בתוך פרק זמן אפסיאפשר להניח כי מהירות הגלגל משתנה במהלך ההתנגשות
0tבזמן ) Aהנקודה (החלקה בין הגלגל לקצה המדרגה t>.
0tשל הגלגל בזמן " גוף חופשי"יש לתאר דיאגראמת .א+.
: הנחיה. המהירות הזוויתית של הגלגל מייד לאחר הפגיעה במדרגה , ω'יש למצוא את .ב
? במהלך ההתנגשותהגלגל יכולה להיות תקיפה סופית לאלו מן הכוחות הפועלים על
אין צורך (יש לחשב את הפסד האנרגיה הקינטית של הגלגל מיד לאחר הפגיעה במדרגה .ג
).ω'-להציב את הביטוי המשורש ל
יש לתאר באופן איכותי איך תלויה תנועת הגלגל בעקבות ההתנגשות בערך הנתון של .דo
ω
)?האם בסופו של דבר הגלגל יעלה על המדרגה או יחזור לאחור(
g
P A D
C D
:'בתרשים
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
37
P A D
C
y
x
z
B
קינטיקה של גוף קשיח בתנועה מישורית-פתרונות .10
9.1 פתרון
. מונח על מישור אופקי חלקL שאורך צלעוABCD וצורתו ריבוע Mלוח מישורי אחיד שמסתו
) mעל הלוח מונחת קובייה קטנה שמסתה )m M<<בזמן . ואורך צלעה זניחo
t מפעילים
.' כמתואר בתרשים אAD המקביל לצלע הלוח P) קבוע( כוח אופקי Aבנקודה
יש לחשב את mבהזנחת ההשפעה של הקובייה .הG
aɶ
תאוצת מרכז המסה של הלוח ואת ,
αɶ
התאוצה הזוויתית של הלוח בזמן , o
tיש להגדיר בתרשים ). מיד לאחר הפעלת הכוח (+
. וכיווני הצירים. ברור את מערכת הקואורדינטות שבה נערך החישוב
:נבחר מערכת צירים הצמודה ללוח שראשיתה במרכז הלוח
: משוואת תנועה קווית
ˆG
F Ma Py= =ɶ ɶ ɶ
P
L
L
A D
C B g תרשים א':
G
Q / 3L
P
C B
D A
מבט מרחבי מבט על
oω
r
P
C
B
A
h
l
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
38
ˆG
Pa y
M=
ɶ ɶ
:מ"משוואת מומנטים סביב מ
1ˆ
2G G
M I PLzα= =ɶ ɶɶ
zαמכיוון שהבעיה מישורית α=ɶɶ
ולכן
ˆG
M I zα=ɶ ɶ
י"מומנט האינרציה מחושב ע
4 22 22 2
2 2
( )6 6
L L
L L
L MLI x y dxdy
ρρ
−
= + = =∫ ∫
ולכן
3ˆ
Pz
MLα =
ɶɶ
היכן על פני הלוח אפשר להניח את . מקדם החיכוך הסטטי בין הקובייה ללוחµידוע .ו
הקובייה כך שהיא לא תחליק מיד בתחילת התנועה בזמן o
tיש לצרף לתשובה תרשים . +
.איכותי של התחום המתקבל
פועל עליה כוח חיכוך אם המסה מחליקה אז
f N mgµ µ= =
מ שהמסה לא תחליק נדרוש "ע
mm a f<ɶ
נחשב את התאוצה של המסה באמצעות המשוואות עבור גוף קשיח
( )m G Gm Gma a ω ω ρ α ρ= + × × + ×ɶ ɶ ɶ ɶ ɶɶ ɶ
ברגע , מכיוון שהתנועה מתחילה ממנוחהo
t הזוויתית היא אפס המהירות +
0ω =ɶ ɶ
ˆניקח וקטור מצב כללי ˆGm
xx yyρ = +ɶɶ ɶ
ולכן לאחר הצבה מתקבל
ˆ ˆm
Pa yx x y
Mα α = − + +
ɶ ɶ ɶ
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
39
/ 3L
y
x
αאו לאחר הצבת
3ˆ ˆ
3m
P La yx x y
ML
= − + + ɶ ɶ ɶ
כעת ניתן בפשטות לדרוש
( ) 2 2 2 2 2
m mm a f a gµ< → <ɶ ɶ
ולכן
2 2 2
2 2
3 3
L M g Ly x R
P
µ + + < =
התחום המתואר הינו תחום מעגלי המוסט
שרדיוסוxבכיוון השלילי של ציר
3
gMLR
P
µ=
המרחק בין מרכז המעגל לראשית . י קוקו"בתרשים התחום בו אין החלקה מתואר ע
רדיוס המעגל תלוי בפרמטרים של . רק באורך הצלע של הלוחהצירים מצוין בתרשים ותלוי
.הבעיה
/ הנמצאת במרחק Qהניחו את הקובייה בנקודה .ז 3L ממרכז הלוח G כמתואר בתרשים
t באיזה זמן ADוע בגודלו וממשיך לפעול לאורך הצלע קבPאם הכוח . במבט על' א
?תתחיל הקובייה להחליק
נחשב את התאוצה של המסה באמצעות המשוואות עבור גוף קשיח
( )m G Gm Gma a ω ω ρ α ρ= + × × + ×ɶ ɶ ɶ ɶ ɶɶ ɶ
וף תלויה ליניארית בזמן לפי מכיוון שהתאוצה הזוויתית קבועה המהירות הזוויתית של הג
ˆtzω α=ɶɶ
/ˆניקח וקטור מצב 3cm
L xρ = −ɶɶ
ולכן לאחר הצבה מתקבל
2 2 ˆ ˆ3 3
m
L P La t x y
Mα α = − + − ɶ ɶ ɶ
αאו לאחר הצבת
2
23ˆ
m
Pa t x
M L
= − ɶ ɶ
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
40
כעת ניתן בפשטות לדרוש
mm a f=ɶ
ולכן
( )2
1/2233
3
P Mt g t gL
M L Pµ µ = → =
הלוח הריבועי תלוי במנוחה במצב אופקי , במקום להיות מונח על פני מישור אופקי חלק .ח
. 'בכבלים אנכיים בעלי אורכים זהים המחוברים בפינותיו כמתואר בתרשים ב
בזמן o
tהנוגעים ' ב-ו' האם יחול שינוי בתוצאות של הסעיפים א. Pילים את הכוח מפע+
לזמן o
t !יש לנמק את תשובתך. P שמיד לאחר הפעלת הכוח +
ברגע , מכיוון שהלוח מתחיל ממנוחהo
tהמהירויות הן עדיין אפס ולכן הלוח לא שינה את , +
לכן ניתן לתאר את התנועה ברגע זה כתנועה מישורית , מיקומו ואין תאוצה בכיוון האנכי
הזהה באופייה לזו שבסעיפים הקודמים ולכן התוצאות עבור o
tי " זהות והן מתקבלות ע+
0tהצבת =.
g
P A D
C D
:'בתרשים
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
41
C
A
h mg
Rɶ
iɶ
jɶ
9.2 פתרון
עבור גוף קשיח ידוע הקשר .א
O O O CM H v mv= + ×ɺɶ ɶ ɶ ɶ
ולכן הקשר O O
M H= ɺɶ ɶ
0 מתקיים רק במקרים שבהם O C
v v× =ɶ ɶ ɶ
, כלומר
|| 0 0O C C O
O C or v v or v or v≡ = =ɶ ɶ ɶ ɶ
Aבמצב זה תיווצר ריאקציה בנקודה .ב
. כבר לא נוגעת בקרקעBוהנקודה
היא נקודה קבועה ולכן Aהנקודה .ג
( ) ( )0
0 0 0ot
A A A
t
M dt H t H t
+
−
+ −⋅ = − =∫ ɶ ɶ ɶ
לכן מתקבל A A
H H+ −=ɶ ɶ
.
לפני Aז סביב "נחשב את התנע
ˆ: מערכת צירים (ואחרי ˆ,i jɶ ɶ
מסומנת
).בתרשים
:לפני
2
ˆ( )ˆ( )( )
ˆ ˆ( )
ˆ
A C AC C
C o
A o
AC
o
H I r mv
v r l iH m k r l r l h k
r xi r l h j
k
ω
ωω
ω ω
−
= + ×
= − ⇒ = − + − − − = + − −
= −
ɶ ɶɶ ɶ
ɶ ɶɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ
.C - לA - מייצג את המרחק האופקי מx -היכן ש
הינו ציר סיבוב רגעי ולכן A כאן :אחרי
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
ˆ'
( ) ( )
ˆ' ( ) ( )
A A
A
A
H I k
I m k r r h r l h
H m k r r h r l h k
ω
ω+
= −
= + − − + − −
⇒ = − + − − + − −
ɶ ɶ
ɶ ɶ
מכאן
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
42
2
2 2 2 2
( )( )'
( ) ( )o
k r l r l h
k r r h r l hω ω
+ − − −=
+ − − + − −
0t - ב .ד− Bהוא ציר סיבוב רגעי ולכן
2 2 2 21 1( )
2 2B o o
T I m k r lω ω− = = + −
0t - ב+
21'
2A
T I ω+ =
לכן
22
2 2 2
2 2 2 2
( )( )1( )
2 ( ) ( )o
k r l r l hT T T m k r l
k r r h r l hω− +
+ − − − ∆ = − = + − − + − − + − −
בהמרת כל האנרגיה , לכן. הכוח היחידי שמבצע עבודה הוא כוח הכובד, בהעדר החלקה .ה
כלומר ( יכולה להעלות Cהגובה המרבי שהנקודה , הקינטית לאנרגיה פוטנציאלית
הוא לכן) לגובה ההתחלתיCההפרש בין הגובה ההתחלתי של
max max
TT mgh h
mg
++ = → =
-והאנרגיה הקינטית תלויה ישירות לo
ω .
ולכןC הוא גדול מהגבוה המרבי של maxh -כדי שלא להתגלגל לאחור נדרוש ש
max ( ) 2h h R l R l h l> + + − − = +
בתנועה מרחביתקינמטיקה של גוף קשיח .11
CD -וABגוף בנוי משני מוטות דקים זהים )ס"תש' סמסטר א', מתוך מבחן מועד א( .11.1
סבים למסגרת הגוף מחובר במ. l ואורכו m מסת כל אחד מהם. המחוברים באופן קשיח בניצב
המסגרת שבה אחוז . ABסביב המוט ) ללא חיכוך( כך שהוא חופשי להסתובב B- וAבנקודות
רת מוגדר על ידי מצבו הרגעי של הגוף ביחס למסג. ψɺיתית קבועה והגוף סובבת במהירות זו
).כבתרשים( לבין הציר סביבו סובבת המסגרת CD שבין המוט φהזוית
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
43
ψɺ
φ
φɺ
C
DA
B
ובנגזרותיה את φ -כתלות ב, מערכת צירים ולבטא בה) ולסמן בברור(יש לבחור .א
Ωויתית של הגוף ומהירותו הזɶ
Hויתי של הגוף ו ואת וקטור התנע הזɶ
יש לציין ביחס .
.ויתי מחושבולאיזו נקודה וקטור התנע הז
M, יש לחשב את שקול המומנטים על הגוף .בɶ
יש לציין ביחס לאיזו נקודה מחושב שקול .
.מומנטים זה
: מקיימת את המשוואהφ -שיש להראות .ג
( ) ( ) ( )2 21cos 2 0
2t t Cφ ψ φ= − ⋅ ⋅ ⋅ +
ɺ ɺ
:כאשר
( ) ( ) ( )2 210 0 cos 2 0
2C φ ψ φ= + ⋅ ⋅ ⋅
ɺ ɺ
( ) ( )0 , 0φ φɺ הם ערכי ( ) ( ),t tφ φɺ 0 בזמןt t=
)למקרה .ד )0 0C בודה יש לחשב את הע=
שמתבצעת על הגוף כאשר מצבו יחסית למסגרת
משתנה בין 4
πφ - ל=
2
πφ =.
מורכב מדיסקה מעגלית אחידה סביבון ) ט"תשס' סמסטר א', מתוך מבחן מועד ב( .11.2
). כמתואר באיור( הניצב לציר הדיסקה 2rה באורך ומוט חסר מסm ובעלת מסה rברדיוס
לדיסקה . R לדיסקה אופקית ברדיוס Aי ציר חסר חיכוך שכיוונו משיק בנקודה "המוט מחובר ע
סביב ω סביב צירה והסביבון מסתחרר בקצב קבוע Ωהאופקית יש מהירות זוויתית קבועה
. קבועהαניתן להניח שהזוית . צירו
: נתון טנסור האינרציה של דיסקה אחידה סביב מרכז המסה2
1 0 0
0 1 04
0 0 2
C
mr =
I
.כגוף חופשייש לתאר את הסביבון ) ' נק3( .א
יש . יש למצוא ביטוי עבור התנע הזוויתי של הסביבון באמצעות הגדלים הנתונים) ' נק8( .ב
לציין בבירור את מערכת הצירים בה נעשה החישוב וכן את הנקודה סביבה מחושב
.התנע הזוויתי
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
44
באמצעות , יר הסביבון בין הציר האנכי לצαיש למצוא ביטוי עבור הזווית ) ' נק22( .ג
.הגדלים הנתונים
מחובר לזרוע m ובעל מסה rברדיוס גלגל ) ט"תשס' סמסטר א', אמתוך מבחן מועד ( .11.3
בפרק חסר חיכוך שיכול להפעיל Oקודה הזרוע מחוברת בנ. בעלת מסה זניחהOGניצבת
הזרוע סובבת סביב הציר האנכי . עליה כוח בכיוון כלשהו במרחב אבל אינו מעביר לזרוע מומנט
. קבועה ונתונה בתרשיםβהזוית בין הזרוע לציר האנכי . ונתונהqבמהירות זוויתית קבועה
. rהגלגל מתגלגל ללא החלקה על המישור האופקי כך שנקודת המגע יוצרת מעגל ברדיוס
1 - וOG סביב ציר 3Jבנוסף נתון כי לגלגל יש מומנט אינרציה 2J J J= לכל הצירים הניצבים =
.O דרך OG- ל
.מהם גודל וכיוון המהירות הזוויתית של הגלגל) ' נק10( .א
בעזרת הגדלים Oיש למצאו ביטוי עבור המומנט השקול סביב הנקודה ) ' נק10( .ב
.הנתונים
באיזה גודל של המהירות , להזניח את כוח החיכוך בין הגלגל למישוראם ניתן) ' נק10( .ג
? ינתק הגלגל מהקרקעqהזוויתית
R
r
2r
α
Ω
ω
A
g
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
45
J,3האם הגלגל ינתק מהקרקע עבור כל צירוף של הפרמטרים ) ' נק3( .ד Jו - β ? נמק את
.תשובתך
טיקה של גוף קשיח בתנועה מרחביתקינ -פתרונות .12
11.1 פתרון
משלים yציר . AB- צמוד לz וציר CD - צמוד לxנבחר מערכת צירים צמודה לגוף כאשר ציר .א
.שלשה ימנית
ויתית של המוט במערכת זו ומהירותו הז
:היא
ˆˆ ˆcos sini j kψ φ ψ φ φΩ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ɺɺ ɺɶ ɶ ɶɶ
כעת נשים לב שראשית מערכת הצירים
מסה של הגוף ובנוסף היא מרכז ה
נקודה זו נמצאת בנקודה קבועה
זו הסיבה שניתן לרשום את . במרחב
ויתי סביב נקודה זו ווקטור התנע הז
:בצורה הבאה
O OH I= ⋅Ωɶ ɶ ɶɶ
נחשב כל . הגוף סימטרי סביב שלושת הצירים שנקבעו ולכן מטריצת מומנט האינרציה אלכסונית
AB התרומה היחידה היא של המוט. x ת מומנט האינרציה בכיווןראשי .אחד מאברי האלכסון
.ומומנט האינרציה של מוט סביב מרכזו נתונה וידועה כבר
β
r
r
r
O
A
G
q
g
ψɺ
φ
φɺ
C
D
A
B
2
πφ−
xy
z
O
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
46
( )2
2 2 2
12xx
m AB
mlI y z dm z dm= + = =∫ ∫
:וגם כאן הערך ידוע CDהמוט התרומה היחידה למומנט האינרציה היא zבכיוון
( )2
2 2 2
12zz
m CD
mlI y x dm x dm= + = =∫ ∫
:התרומה היא של שתי המוטות ולכן yבכיוון
( )2 2
2 2 212 6
yy
m
ml mlI z x dm= + = =∫
:וכעת ניתן לרשום את מטריצת האינרציה
21 0 0
0 2 012
0 0 1
O
mlI
=
ɶɶ
:O ויתי סביבו למצוא את וקטור התנע הזובהצבת הגדלים ניתן
2
cos1
2 sin12
O OH I m l
ψ φ
ψ φφ
⋅ = ⋅Ω = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
ɺ
ɺɶ ɶ ɶɶ ɺ
יש לשים לב שהנגזרת המבוקשת . ויתי לפי הזמןוגזרתו של התנע הזיכעת יש למצוא את נ .ב
:היא הנגזרת המוחלטת כך שמתקיים
2
2
2 2
2
2
sin
2 cos12
sin 2 sin
cos cos12
2 sin cos sin cos
0
2 cos12
sin cos
O O
O O
rel
dH dH m lH H
dt dt
ml
ml
ψφ φψφ φφ
ψφ φ ψφ φψφ φ ψφ φ
ψ φ φ ψ φ φ
ψφ φφ ψ φ φ
−⋅ = = +Ω× = − +
− +
− + = − +
= − −
ɺɺ
ɺɺ ɺɶ ɶɶ ɶ ɶ
ɺɺ
ɺ ɺɺ ɺ
ɺ ɺɺ ɺ
ɺ ɺ
ɺɺ
ɺɺ ɺ
:היא מרכז המסה של הגוף ולכן ניתן לרשום Oנקודה
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
47
2
2
01
2 cos12
sin cos
O OM H m l ψ φ φφ ψ φ φ
= = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
ɺɺ ɺɶ ɶ
ɺɺ ɺ
:ולכן אין מומנטים הפועלים עליו בכיוון זה ומתקבל zהגוף חפשי להסתובב סביב ציר .ג
( )2
2 sin cos 012
O z
mlM φ ψ φ φ− = − =ɺɺ ɺ
:או את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה
2 sin cosφ ψ φ φ= ⋅ ⋅ɺɺ ɺ
:ניתן לרשום את אותה משוואה בצורה הבאה
( ) ( )
( )
2
2 2
2
2
2 2 sin cos
sin 2
cos 20
2
d
dt
d
dt
φ φ ψ φ φ φ
φ ψ φ φ
ψ φφ
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
⋅ ⋅+ =
ɺɺ ɺ ɺɺ
ɺ ɺɺ
ɺɺ
:כעת ניתן לבצע אינטגרציה ולקבל את התוצאה המבוקשת . קבוע בזמןψɺ - יש לזכור ש
( )
( )( )
( )( )
2
2
0
2 22 2
cos 20
2
cos 2 cos 2 00
2 2
t
t
tt
ψ φφ
ψ φ ψ φφ φ
=
⋅ ⋅+ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = +
ɺɺ
ɺ ɺɺ ɺ
: ולכן נייחO. הקינטית של הגוףהאנרגיה שינוי חישוב העבודה יעשה על ידי חישוב . ד
( )2
2 2 2 2 21cos 2 sin
2 24O
mlT I ψ φ ψ φ φ= Ω Ω = + + ɺɺ ɺ
ɶ ɶ ɶɶ
:אבל קיבלנו כבר ש
( )( )
( )( )2 2
2 2cos 2 cos 2 00
2 2
tt
ψ φ ψ φφ φ
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = +ɺ ɺ
ɺ ɺ
)הנתון שימוש בתנאי ההתחלה י "ע )0 0C =:
[ ]2
2cos 2
2
ψ φφ
⋅ ⋅= −ɺ
ɺ
:הקינטיתטוי עבור האנרגיה יל לב"נציב את התוצאה הנ
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
48
[ ]2 2
2 2 2 2 2 2
22 2
1 1 1 5cos 2sin cos 2 cos sin
2 24 2 24 2 2
12sin
24 2
O
ml mlT I
ml
ψ φ φ φ ψ φ φ
ψ φ
= Ω Ω = + − = + =
= +
ɺ ɺɶ ɶ ɶɶ
ɺ
:והעבודה על הגוף היא
2 2 2 2
2 2
1 1 12 sin 2 sin
2 4 24 2 2 2 4
1
24
W T T m l
m l
π π π πφ φ ψ
ψ
= = − = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − − ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅
ɺ
ɺ
11.2 פתרון
) נגדיר מערכת צירים .א ), ,x y zשראשיתה ב - A . בנוסף נגדיר את הציר האופקיXɶ
:המהירות הזוויתית של הסביבון היא
( )ˆ ˆsin cosy zα ω αΩ =Ω + +Ωɶ ɶɶ
לפיCז סביב הנקודה "נחשב את התנע
C CH = Ωɶ ɶ
I
ולכן
O
r
2r
α
Ω
ω
A
g
zɶ
yɶ
xɶ
O
C
Xɶ
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
49
( )2
ˆ ˆsin 2 cos4
C C
mrH y zα ω α = Ω = Ω + +Ω ɶ ɶ ɶɶ
I
Cתחילה נחשב את המומנט סביב . ב
C CC
rel
dH dHM
dt dt
= =
ɶ ɶɶ
CHω+ ×ɶɶ
ω -היכן שɶ
) המהירות הזוויתית של מערכת הצירים ), ,x y z
ˆ ˆsin cosy zω α α= Ω +Ωɶɶ ɶ
ולכן
22 ˆsin cos 2 sin
4C C
mrM H xω α α ω α = × = Ω + Ω ɶ ɶɶ ɶ
xבנוסף ניתן לחשב את המומנט סביב ציר ɶ
י ניתוח " ע
.פועלים עליו והמומנטים שהם יוצריםהכוחות ה
שקול הכוחות על הגוף הינו
CF ma=∑ɶ ɶ
מרכז המסה מבצע תועה מעגלית במהירות קבועה ולכן
2 ˆsin2
rF m R Xα = − Ω +
ɶ ɶ
ובכיוון האנכי
N mg=
כעת ניתן לחשב את המומנט השקול הפועל סביב מרכז
המסה
2 ˆsin sin cos2 2 2
C
mgr r rM m R xα α α
= + Ω + ɶ ɶ
נשווה בין הביטויים
A
mg
α
N
Fɶ
Xɶ
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
50
22 2
2
sin cos 2 sin sin sin cos4 2 2 2
cos2
mr mgr r rm R
r
α α ω α α α α
α
Ω + Ω = + Ω +
⇒ Ω2
22 costan 2
R rgω α
αΩ + Ω = + + Ω
2
tanR
r gα
ωΩ
⇒ =Ω−
ולסיכום
2
arctanR
r gα
ω Ω
= Ω −
11.3 פתרון
)נגדיר מערכת צירים . א ), ,x y zɶɶ ɶ
בכיוונים המתלכדים עם הכיוונים הראשיים של המערכת גלגל
המהירות הזוויתית של מערכת . זרוע+
:י"קבלת עהצירים מת
sin cosq y q zω β β= +ɶɶ ɶ
המהירות הזוויתית הכוללת של המערכת היא
סכום של המהירות הזוויתית של הגלגל סביב
. צירו והמהירות הזוויתית סביב הציר האנכי
נסמן את המהירות הזוויתית של הגלגל סביב
ולכן pי "צירו ע
pz ωΩ = +ɶ ɶ ɶ
ניתן , ללא החלקה, מכיוון שהגלגל מתגלגל
שהגלגול Gלהשוות בין מהירות הנקודה
משרה לבין המהירות שהזרוע מאלצת ולכן
:הגלגול משרה
G Av v=ɶ ɶ
( )/ cosG A
r p q xρ β+Ω× = − +ɶ ɶɶ
:הזרוע מאלצת
( )cosGv q r r xβ= − +ɶ ɶ
ולכן
cosr p q β+( ) cosq r r β= +( )
β
r
r
r
O
A
G
q
g
zɶ
yɶ
xɶ
N
mg
1N
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
51
pr qr p q= ⇒ =
וכך מתקבל
( )sin 1 cosq y zβ β Ω = + + ɶ ɶɶ
ולכן
( )2 1 cosq βΩ = +
י"מתקבלת ע' התנע הזוויתי של המע. ב
O OH = Ωɶ ɶ
I
מהנתון ברור כי
3
0 0
0 0
0 0
O
J
J
J
=
I
ולכן
( ) ( )3 3
0 0 0 0
0 0 sin sin
0 0 1 cos 1 cos
O
J
H J q q J
J q J
β ββ β
= = + +
ɶ
י"תקבל עהמומנט השקול מ
O OO
rel
dH dHM
dt dt
= =
ɶ ɶɶ
( ) 2
3 1 cos cos sinO
H J J q xω β β β+ × = + − ɶɶ ɶ
ח מתקבל כי המומנט השקול הפועל על הגוף הינו"מהדג. ג
( )1 cosO
M Nr mgr xβ= − + ɶ ɶ
י השוואת הביטויים"ע, ולכן
( ) ( )2
3 1 cos cos sin 1 cosq
N J J mgr
β β β β= + − + +
0Nהגלגל ינתק מהקרקע כאשר =
( )( )( )
1/2
3
1 cos
cos 1 cos sin
mgrq
J J
β
β β β
+= − +
יהיה ממשי נדרוש q -שמ "ע. ד
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
52
( )3
3
1 coscos 1 cos 1
cos
JJ J
J
ββ β
β+
> + → > >
.גוף פחוס לא יתרומם מהקרקע. בעצם נדרש שהגוף יהיה גוף ארוך וצר
תנודות .13
)בשינוי קל( ס"תש' סמסטר א', מתוך מבחן מועד ב .13.1
M הדיסקה מסת. פקיוהדיסקה האחידה המתוארת בציור מתגלגלת ללא החלקה על מישור א
קשורה mמשקולת שמסתה . מחבר את מרכז הדיסקה אל קיר kקפיץ שקשיחותו . R רדיוסה
. בחוט שמסתו זניחה אל מרכז הדיסקה
:סביב מצב שיווי המשקל שלהבהנחה שהמערכת מבצעת תנודות קטנות
.'יש לרשום את משוואות התנועה של המערכת באמצעות משוואות לגרנז .א
את קבל משוואה ממנה ניתן לחלץיש ל .ב
.התדירויות הטבעיות של המערכת
פני התנודה של ו לחשב את אכיצד ניתן .ג
?המערכת
מומנט האינרציה של דיסקה אחידה ביחס
למרכז המסה שלה הוא 2
2
M RI
⋅=
ס"תש' סמסטר ב', מתוך מבחן מועד א .13.2
מחוברים mומסת כל אחד מהם Lשני מוטות אחידים שאורך כל אחד מהם )בשינוי קל(
ומחובר לקפיץ A נסמך בפרק חסר חיכוך בנקודה ABהמוט . בפרק חסר חיכוך Bבנקודה
פיתול בעל קשיחות לפיתול t
k . המוט האחר מחובר
. k פקי בעל קשיחותולקפיץ א) Cנקודה(באמצעו
דות קטנות סביב מצב שיווי המערכת מבצעת תנו
.משקל אנכי
.לצורך הפתרון ניתן להזניח את השפעת הכובד
יש לבחור ולסמן בתרשים ברור קואורדינטות .א
.ירות את מצב המערכתדמוכללות המג
kM
R
l
m
tk
k
A
B
C
,m L
,m L
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
53
.'יש לרשום את משוואות התנועה של המערכת באמצעות משוואות לגראנז .ב
.עיות של המערכתאת התדירויות הטבלקבל משוואה ממנה ניתן לחלץ יש .ג
תנודות–פתרונות .14
13.1 פתרון
וית ו המאפיינת את גלגול הדיסקה וזθוית וז. ויות המייצגות את תנועת המערכתונקבע שתי ז .א
ϕוית כבל המטוטלת ו המאפיינת את ז
. יחסית לאנך
מהירות מרכז המסה של הדיסקה
:ויתיתול ידי מהירותה הזנתונה ע
0ˆ
xv R eθ= ⋅ ⋅ɺɶ ɶ
את מהירותה של מסת המשקולת ניתן
לחשב לפי מהירותה היחסית לנקודה
O:
ˆ ˆcos sinA rel x y
v l e l eϕ ϕ ϕ ϕ− = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ɺ ɺɶ ɶ ɶ
:ומהירותה המוחלטת
( )0ˆ ˆcos sin
A A rel x yv v v R l e l eθ ϕ ϕ ϕ ϕ−= + = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ɺ ɺ ɺɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
:גודלה הריבועי של המהירות המוחלטת של מסת המשקולת הוא
( ) ( )22 2
2 2 2 2
cos sin
2 cos
Av R l l
R R l l
θ ϕ ϕ ϕ ϕ
θ θ ϕ ϕ ϕ
= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
ɺ ɺ ɺɶɺ ɺ ɺ ɺ
:ויות קטנותוובקירוב ז
( )22 2 2 2 22A
v R R l l R lθ θ ϕ ϕ θ ϕ= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɶ
:האנרגיה הקינטית של המערכת היא
( )
2 2 2
22 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
A O O
O
T m v M v I
m R l M R I
θ
θ ϕ θ θ
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
ɺ
ɶ ɶ
ɺ ɺ ɺɺ
הפרש הפוטנציאל של המערכת מכיל תרומת הפרש פוטנציאל הכובד של המטוטלת והפרש
:הפוטנציאל האלסטי של הקפיץ
k
M
R
l
m
x
,θ θɺ
y
O
,ϕ ϕ/ɺ
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
54
( ) ( )2 2 2 21 1 11 cos
2 2 2U m g l k R m g l k Rϕ θ ϕ θ= ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ≅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
:ת יש לגזור את ביטוי האנרגיה הקינטית באופן הבאוכע
( )
( )
2
O
Tm R R l M R I
Tm l R l
θ ϕ θ θθ
θ ϕϕ
∂= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
∂∂
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅∂
ɺ ɺ ɺɺɺ
ɺ ɺɺ
:וגזירה לפי הזמן
( )2 2
2
O
d Tm R M R I m R l
dt
d Tm l R m l
dt
θ ϕθ
θ ϕϕ
∂ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ∂
∂= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∂
ɺɺ ɺɺɺ
ɺɺ ɺɺɺ
:גזירת הפרש הפוטנציאל לפי הקואורדינטות
2Uk R
Um g l
θθ
ϕϕ
∂= ⋅ ⋅
∂∂
= ⋅ ⋅ ⋅∂
:'והצבה למשוואות לגראנז
( )2 2 2
2
0
0
Om R M R I m R l k R
m l R m l m g l
θ ϕ θ
θ ϕ ϕ
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =
ɺɺ ɺɺ
ɺɺ ɺɺ
21, ל מומנט האינרציה של הדיסקה ערכו ש נציב את.ב
2O
I M R= ⋅ ונסדר את המשוואות ⋅
: בצורה הבאה
31 0
2
0
M l k
m R m
l g
R R
θ ϕ θ
θ ϕ ϕ
+ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =
+ ⋅ + ⋅ =
ɺɺ ɺɺ
ɺɺ ɺɺ
:נוח לעבור לצורה המטריצית
31 0
02
01 0
M l k
m R m
l g
R R
θθϕϕ
+ ⋅ ⋅ + ⋅ =
ɺɺ
ɺɺ
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
55
2 נמצא את התדרים הטבעיים לפי פתרון המשוואה 0ω− ⋅ =Κ Μ:
2 2
2
2 2
2 2 4
2 2 4
4 2
2
31
2
31
2
31
2
3 31 1 1
2 2
k M l
m m R
g l
R R
k M g l l
m m R R R
k R M R g
m l m l l
M R M R g k R
m l m l m l
ω ωω
ω ω
ω ω ω
ω ω ω
ω ω
− + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ = =
− − ⋅
= − + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ =
⋅ = − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − = ⋅
⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅
Κ Μ
2
4 23 31 1 0
2 2
CB
CB
k R g
m l
M l M g k k g R
m R m l m m l lω ω
⋅ ⋅+ = ⋅
⋅ = + ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ = ⋅
4 2
2 2
3 31 1 1
2 2CB
M R M R g k R k R g
m l m l m l m lω ω
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ − + = ⋅ ⋅
.וניתן לפתור לפי משוואה ריבועית
:אפני התנודה יתקבלו עם פתרון מערכת המשוואות .ג
( )2 0uω− ⋅ ⋅ =Κ Μɶ ɶ
.עבור שתי התדירויות שהתקבלו בסעיף הקודם
13.2 פתרון
θ,, אנכייות הסיבוב של המוטות יחסית לצירו הבעיה יבחרו זותכקואורדינאטו. ב+א ϕ .מנת - על
Cפקית של נקודה ו את מהירותה הא נחשבאת האנרגיה הקינטית של המוט השניא ומצל
עבור . וזות קטנות מהירותה האנכית זניחהון שהתזומכי). שהיא מרכז הכובד של המוט השני(
.שמהירותה אפסA האנרגיה הקינטית תחושב לפי נקודה )AB(המוט הראשון
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
56
tk
k
A
B
C
,m L
,m L
ϕ
θ
x
: הואA-יחסית לאנך היוצא מ Cמיקום נקודה
sin sin2
Lx L θ ϕ= ⋅ + ⋅
:יות קטנותואו בקירוב זו
2
Lx L θ ϕ= ⋅ + ⋅
:Cמהירותה של נקודה ו
2c
Lv x L θ ϕ= = ⋅ + ⋅ɺ ɺɺɶ
:והאנרגיה הקינטית של המערכת
2 2 2
2
2 2 2 2
22 2 2 2
2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 12 2 3
1 1 1
2 4 12 3
1 1 4
2 3 3
C C C A AT m v I I
Lm L m L m L
m L
m L
ω ω
θ ϕ ϕ θ
ϕθ θ ϕ ϕ θ
θ ϕ ϕ θ
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
ɶ
ɺ ɺɺ ɺ
ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ
ɺ ɺɺ ɺ
:והפרש פוטנציאל הקפיצים
( )
2
2
22 2 2 2 2
22 2 2 2
1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 8 2
1 1
2 2 8
t
t
t
LU k L k
Lk L k L k k
Lk L k k L k
θ ϕ θ
θ θ ϕ ϕ θ
θ θ ϕ ϕ
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
:'והצבה במשוואת לגראנז
0i i i
d T T U
dt q q q
∂ ∂ ∂− + = ∂ ∂ ∂ ɺ
:מניב את המשוואות הבאות
' דינמיקה-חוברת תרגילים .ל.ט. מ–כניון ט הפקולטה להנדסת אווירונוטיקה וחלל
57
2
8 10
2 3 2
4 1 10
2 3 2 4
tkm
k kL
mk k
ϕ θ θ ϕ
θ ϕ θ ϕ
+ + + ⋅ + =
+ + + =
ɺɺɺɺ
ɺɺ ɺɺ
:או בצורה הבאה
2
22 1
8 3 10
3 4 16 21
2
tk
m L kk
θθϕϕ
+ ⋅ + =
ɺɺ
ɺɺ
:התדירויות הטבעיות ימצאו לפי פתרון המשוואה הבאה. ג
2
2 2
2
2 2
0
4 1 1
3 2 20
1 1 1 2
2 2 4 3
tk
k m k mL
k m k m
ω
ω ω
ω ω
− ⋅ =
+ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅=
⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
K M
:ומתקבל הפולינום הבא ממנו ניתן למצוא את התדירויות הטבעיות
2
2 2 2
2
2
4 1 2 1 1
3 4 3 2 2
1
4
tk
k m k m k mL
k
ω ω ω + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅
= 2 2 2 2 4
2 2
2
2 1 2 1 8
3 4 3 3 9
1
4
t tk k
m k k m k m mL L
k
ω ω ω ω− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −
− 2 2 4
2 4 2
2 2
1 1
2 4
23 2 1 10
36 3 2 4
t t
k m m
k km m k k
L L
ω ω
ω ω
+ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =