محاضرة العاشرة والحاذية عشرة مستوى اول- المتجهات

المتجهاتVectors

العاشرة والحادية المحاضرةعشرة

Dr . Moustafa Tawfik Ali Ahmed

Dr. Moustafa Tawfik Ali Ahmed


المتجهة والكميات القياسية Vector and Scalar الكميات

وتوضيح كلذلو المتجهات لعلم مبسط بشرح نقوم سوف . واساسياته مفاهيمه

**اإلحداثيات Coordinate system نظام


Vectorsالمـتجـهات

الكميات الفيزيائية

الى تقسم

الكميات القياسية

الكمية المتجهة

بمعرفة تحديدفقط ا لمقدار

مثلالحجم – – المساحة الطول

بمعرفةتحدد األتجاة المقدار

مثلالسرعة – – القوة اآلزاحة


اإلحداثيات نظمCoordinate system

Dسواًء الفراغ في ما جسم موقع تحديد إلى العملية حياتنا في نحتاجبما نستعين فإننا الجسم هذا موقع ولتحديد ،Dمتحركا أم Dساكنا كان

باإلحداثيات التي Coordinatesيعرف اإلحداثيات من نوعان وهناك ،وهما نستخدمها :سوف


الكارتيزيةاإلحداثيات The rectangular coordinates

القطبية :اإلحداثياتThe polar coordinates

وتتكون هذه االحداثيات

محورين هما منx وy متعامدين

عند ومتقاطعين( ( 0,0النقطة

تسمى والتياألصل نقطة

األحيان بعض فياألنسب من يكون

نظام استخداممثل آخر محاور

المحاور نظاميحدد والذي القطبية

والزاوية r بالمسافةθ مع يصنعها التي

. األفقي المحورنقطة أي وتتحدد

اإلحداثيات هذه علىr,θبـ )


الكارتيزية االحداثيات بين العالقةوالقطبية


الكارتيزية االحداثيات بين واالحداثيات( x,y)العالقةا ( r,θ ) القطبية الشكل في : المقابلموضحة

x = r cos , y = r sin على نحصل وجمعهما السابقتين المعادليتن :بتربيع

لمركبتين المحصلة عن تعبر المعادلة اتجاة وهذه فى واحدةمحور واألخرى xمحور اتجاه . yفي

الزاوية ) محور( )θولتعين مع المحصلة تصنعها (:Xالتيtan θ = y/x


المتجهات خواص Properties of Vectors

المتجهات( تساوي :أ : بالعالقة عنهما يعبر واالتجاه المقدار في المتجهين تساوي Aعند

= B المعادلةهي تكون متعاكسين اتجاهين في كانت اذا - = A :اما

B : هي العالقة يكون واحد عملهما خط يكون وعندما

A + )-B( = 0:ب ( المتجهات جمع

مثل متشابهة فيزيائية كميات عن تعبر التي المتجهات جمع يمكنمتجة مع قوة متجه نجمع ان يمكن ال ولكن للقوة، متجهيين جمع

سرعة. المحصلة اليجاد االضالع متوازي قاعدة :Rونستخدم يلي كما

متجه متجه Aلجمع المحصلة Bمع تكونRالمتجه

لها ال المتجهات جمع ان التبديل حظ خاصيةالتبادلية الخاصية او

: فمثال A + B = B + A


AB A B

B

A

R = A + B

A

B

A

BR


متجهات ) لدينا يكون ان , A , BويمكنC , D) .,

عن الناتج المتجه تمثل المحصلة فإنالسابقة المتجهات اغالق

: الموضح بالرسم كما : هي R = A + B + C + Dوالمحصلة

المحصلة تكون التالي الشكل وفي هي:

R = (A+B( +C )R = A + (B+Cأو الترافقية وهذه تسمى الخاصية

: المتجهات طرحمراعاة مع الجمع في كما تتم وهي

رسمالمعاكس Bالمتجه االتجاه في

ان هو Bباعتباراالول المتجه من المطروح Aالمتجه

: التالي بالشكل كما : المحصلة R = A - Bوتكون


A+B

D

C

BA

(A+B

( +

C

D

C

BA

A+B

+ C

+ D

A

B R

Dr . Moustafa Tawfik Ali AhmedDr. Moustafa Tawfik Ali

Ahmed

: المتجه مركباتمتجه في Aأي مركبتين x-yالمستوى يقع إلى تحليله يمكن

محور اتجاه في األولي األفقية xالمركبة المركبة وتسمىالمحور اتجاه في الثانية المركبة yوالمركبة وتسمى

الرأسية.المتجه ادناه الشكل كل Aفي وقيمة مركبتين إلى تحليله تم

: التالي النحو على هي مركبةAx = A cos الرأسية المركبة

Ay = A sin االفقية المركبةالتالي القانون من المحصلة وتحسب

الوحـــدة :متجهوحدة له وليس الوحدة طوله بمتجه الوحدة متجه يعرففيزيائية كمية إلي االتجاه عن للتعبير ويستخدم قياس

متجهة.

Dr . Moustafa Tawfik Ali AhmedDr. Moustafa Tawfik Ali Ahmed

الوحـــدة :متجهويستخدم قياس وحدة له وليس الوحدة طوله بمتجه الوحدة متجه يعرف

. متجهة فيزيائية كمية إلي االتجاه عن للتعبير

ابعاد ثالثة في الكارتيزية االحداثيات عن يعبر السابق الشكل ان الحظالوحدة، ومتجهات مركباته بداللة متجه أي كتابة يمكن وعليه

متجه لنفترض المثال سبيل مستوى Aفعلى في التعبير x , yيقع يمكناإلتجاهية عنه :بالصورة

A = Ax i + Ay j B = Bx i + By j

المتجهات: تحليل طريقة استخدام يمكن مالحظة متجهين جمع في A وB : : الشكل لها يكون والمحصلة التالي الشكل في كما

R = A + B = )Ax+Bx( i + )Ay+By( j : التالي النحو على للمتجهات االبعاد ثالثي التحليل حالة في ما و

A = Ax i + Ay j + Az k B = Bx i + By j + By k

المحصلة :(R)وتكون هي R = A + B = )Ax+Bx( i + )Ay+By( j + )Az+Bz( k


.


المتجهات :ضرب1: قياسية( كمية في المتجه ضرب

هو المتجه كان حاصل aوكانت Aاذا فيكون قياسية كميةويساوي ومقداره متجهة كمية هو .| a |Aالضرب

آخر ( 2 متجه في متجه :ضربنوعين يوجد

القياسي 1 الضرب الضرب 2 ـ ـ.االتجاهي

القياسي: : الضرب Scalar Productأوال مقدار ضرب بحاصل لمتجهين القياسي الضرب يعرف

المتجه مقدار في األول الزاوية المتجه تمام جيب في الثانيالصورة على ويكتب بينهما A.Bالمحصورة

A.B = |A| . |B| . cos θ كل مركبات باستخدام لمتجهين القياسي الضرب قيمة إيجاد يمكن

: يلي كما متجه A . B = )Ax i + Ay j + Az k(. )Bx i + By j + Bz k(

A.B = Ax Bx i.i + Ax By i.j + Ax Bz i.k + Ay Bx j.i + Ay By j.j + Ay Bz j.k+ Az Bx k.i +Az By k.j +Az Bz k.k : القياسي للضرب وتبعا

i.i = j.j = k.k = 1 وايضاi.j = j.k = k.i = 0 : يلي ما ينتج الضرب معادلة في بالتعويض

A . B = Ax Bx + Ay By + Az Bz


.


االتجاهي: : الضرب Cross productأو Vector productثانيالمتجهين االتجاهي الضرب . A ,Bنتيجة هذا ويكتب متجهة كمية

يلي : كما الضرب من A × Bالنوع A × B = |A| . | B| sin θ .n

ان عمودي nحيث وهو الوحدة متجه هيعلى عن A × Bوللحصول نعوض المركبات بداللة

: A , Bالمتجهين يلي كما A × B = )Ax i + Ay j + Az k( × )Bx i + By j + Bz k(

A.B = Ax Bx i×i + Ax By i×j + Ax Bz i×k + Ay Bx j×i + Ay By j×j + Ay Bz j×k

+Az Bx k×i +Az By k×j +Az Bz k×k : االتجاهي للضرب وتبعا

i×i = j×j = k×k = 0 i×j = k , j×k = i , k×i = jوايضا:

j× i = - k , k× j = - i , i× k = - j الضرب معادلة في :االتجاهي بالتعويض يلي ما ينتج

A×B = )Ay Bz – Az By( i + )Az Bx – Ax Bz( j + )Ax By - Ay Bx( kالمتجهين . A , Bعلى


1 : القياسي( الضرب في A . B = B . A

االتجاهي( 2 الضرب :في A× B = B ×A

:(8-1مثال ): حيث , متجهان لدينا ليكن

A = 2 i + 3 j , B = - i + 2 j القياسي الضرب ناتج الزاوية اوجد اوجد ثم للمتجهين

؟بينهماالحــــــل:

A . B = )2i + 3j( . )- i + 2j( A . B = -2 i.i + 2 i. 2j – 3j.i + 3j.2j = -2 + 6 = 4

: ان نجد المعطيات Ax = 2 , Ay = 3 , Bx = -1 , Byمن= 2

الزاوية تعين المتجهين θويمكن B , Aبين

: تكون θ = 60ومنها

1332AAA 222y

2x

521-BBB 222y

2x

65

4

5.13

4

A.B

A.Bθ cos


):9-1مثال )المتجهين مجموع : B , Aاوجد A = 2i + 2j , B = 2i – 4jحيث

الحــــــل: : ان نجد المعطيات Ax = 2 , Ay = 2 , Bx = 2 , By = -4من

R = A + B = 2i + 2j +2i -4j = (2+2( i + (2-4( j = 4i -2j : يكون Rx = 4 , Ry = -2ومنها

يكون وبالتالي

):10 - 1مثال ): التالية المتجهات محصلة مقدار اوجد

d1 = 1.5i + 3j – 1.2k cm d2 = 2.3i – 1.4j – 3.6k cm

d3 = -1.3i + 1.5j cm الحــــــل:

R = d1 + d2 + d3 ( = 1.5+2.3-1.3 (I + (3-1.4+1.5( j +(-1.2 +3.6+0( k

R = 2.5 I + 3.1 j – 4.8 k Rx = 2.5 , Ry = 3.1 , Rz = -4.8وبالتالي:

4.47202())4(RRR 222y

2x

cm 6.2538.94.8())3.1()2.5(RRRR 2222z

2y

2x


الواجـــــب: ,40صفحة( 13 – 1مثـال )

41صفحة( 14 – 1مثــال )

محاضرة العاشرة والحاذية عشرة مستوى اول- المتجهات

Documents