רשתות זוגיים תאוריה ותרגילים

1

)Ports-Two( זוגיים

: עם שני זוגות הדקים חיצוניים מקובץ רשת או רכיב-זוגיים הם תת

כך שבכל זוג הזרם הנכנס בהדק אחד זהה לזרם , ייחוד הזוגיים הוא בחלוקת ההדקים לזוגות

או, )למשל בשנאי(נציין כי תכונה זו יכולה לנבוע מהמבנה הפנימי של המעגל . היוצא בהדק השני

תיאור כזה של רשת יכול לשמש לתיאור אלמנטים . מאופן החיבור של הזוגיים לשאר הרשת

זוגות . פשוטים כמו שנאי וטרנזיסטור וגם רשתות מורכבות כמו מגברים מסננים וקווי תמסורת

עומסים , להדקים אלה ניתן לחבר מקורות הזנה. זוג כניסה וזוג יציאהההדקים מכונים בדרך כלל

.אחרותאו רשתות

נציג שיטות . ארית ללא מקורות בלתי תלוייםיבזוגיים המתארים רשת לינ עסוק רקבפרק זה נ

.לתיאור וניתוח רשתות אלו

תאור רשת זוגיים

מקורות ות בזמן שלא כוללות עקבו תואריילינ ותרשתב דניםאנו כאשר אנו מטפלים ברשת זוגיים

ים אים אך התלות חייבת להיות בענפים שנמציל מקורות תלויכהרשת יכולה לה .בלתי תלויים

ההתחלה של כל הרכיבים אוגרי האנרגיה ימדובר ברשתות בהן תנאי ,בנוסף לכך .בתוך הזוגיים

אפשר לאלץ , כלומר .קשר בין כל זוג משתנים לזוג האחרזה נוכל לרשום כבמקרה .ם לאפסישוו

הזרם או המתח שמתפתחיםמתח או זרם בכל אחד משני ההדקים ולקבל כתוצאה מכך את

המשתנים אפשר לבחור שש תמבין ארבע. לבטא בעזרת מטריצה אפשרהזה את הקשר . בהדקים

2 (כניסהזוגות שונים של משתני 46 C= ר כל רשת זוגיים בעזרת שש אאפשר לת, כלומר. )

נתאר את המעבר . גייםזוהלתיאור בפרק זה נגדיר את האפשרויות השונות .מטריצות שונות

כדי להגדיר את הקשר של .עבוד בכל אחת מהאפשרויותונציין מתי נוח ל. יצוג אחרייצוג אחד לימ

המקובל הסדר. טריצה צריך להגדיר את הסדר של המשתניםמזוג משתנים בזוג אחר בעזרת

תנה ומשתנה מסוג מתח מקדים מש 2נדקס יא בעלמשתנה מקדים 1נדקס ים אעקובע שמשתנה

. מסוג זרם

:ג זוגיים הןויציששת האפשרויות ל

1 (v i= Zr r

1 1

2 2

;in outi v

x xi v⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

r r 1 11 12 1

2 21 22 2

v z z iv z z i⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2i

2i

1i

זוגיים

ת"רשת ללא מקורות ב

+

v1

-

+

v2

-

1i

2

2 (i v= Yr r

1 1

2 2

;in outv i

x xv i⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

r r 1 11 12 1

2 21 22 2

i y y vi y y v⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3 (in outx x= Tr r

2 1

2 1

;in outv v

x xi i

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

r r, ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

2

1

1

iv

DCBA

iv

בחיבור זוגיים יםאת החישובהגדרה זו מקלה . i2–כתלות ב i2זרם תלות בהגדרנו את ה: הערה

.)שרשרת( קסקדהב

.)A,B,C,D(וגם ב Aבמסמנים גם Tאת המטריצה

4 (out in=x Bx 1 2

1 2

;in outv v

x xi i⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

r r,

12 1

2 1

v vA Bi iC D

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤

= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

יםאת החישובהגדרה זו מקלה . i2–כתלות ב i2זרם תלות בהגדרנו את הגם במקרה זה : הערה

.)שרשרת(קסקדה בחיבור זוגיים ב

5 (1 11 12 1 1 1

2 21 22 2 2 2

;v h h i v ii h h v i v⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

h

6 (1 11 12 1 1 1

2 21 22 2 2 2

;i g g v i vv g g i v i⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

g

.Fבמסמנים גם gאת המטריצה

:הערה

לרוב מעגלים פשוטים (גים אך במעגלים מסוימים כל היצוצג מעגל בעזרת יבדרך כלל ניתן לי

ריצות טלא תמיד ששת המ ,כלומר .ברים לא חוקייםימקבלים בחלק מהיצוגים א) במיוחד

. מותיקי

:זוגות של מטריצות הפוכותשלושה המטריצות יש ששתמבין

1 1 1; ; − − −= = =Y Z h g T B

סקלרים ריצות הם טמב םיברהאיכל ) בלי קבלים וסלילים(במעגלים מסדר אפס : הערה

:במעגלים מסדר גדול מאפס אפשר לעבוד במספר שיטות. )הסקלרים יכולים להיות עם יחידות(

.Dיהיו מנה של פולינומים של האופרטור זוגיים ה איבריה זו טבשי ,אופרטוריתהבשיטה •

.Sיהיו מנה של פולינומים של המשתנה הזוגיים מקדמי ,בעזרת לאפלס •

3

עדיפהה זו טשי .jωמקדמי הזוגיים יהיו מנה של פולינומים של המשתנה ית ה הפאזורטבשי •

.זרם חילופיןב ותרשתב

•

מהמטריצות תאחכל כונות של תה טופיר

קשר בין מתחי הזוגיים לזרמי הזוגייםת הומטריצ

.Yו Zמתואר בעזרת המטריצות של רשת זוגיים הקשר בין הזרמים למתחים

: ן המתחים לזרמים בצורה הבאהניתן לרשום את הקשר בי

2221212

2121111

izizvizizv

+=+=

:קשר זה ניתן לרשום בקיצור כדלקמן

1 11 12 1

2 21 22 2

;v z z i

v Ziv z z i⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. של הזוגיים מטריצת אימפדנס הריקםקראת נ Zהמטריצה

(OPEN CIRCUIT IMPEDANCE MATRIX) .

:סיבה לשם אימפדנס הריקםההקשרים הבאים מסבירים את

2 1

2 1

1 111 12

1 20 0

2 221 22

1 20 0

;

;

i i

i i

v vz zi i

v vz zi i

= =

= =

= =

= =

היא , רשת הפנימית של הזוגייםה עבור צמתיםמתחי השיטת ב שמתקבלת המטריצהכאשר

הזוגיים של רשת שלא כוללת מקורות .(RECIPROCAL) הדדייםהזוגיים יהיו , סימטרית

.הדדייםתמיד יהיו תלויים

2112 כאשר מתקיים הדדייםזוגיים נקראים zz =

)כאשר , נוכל לרשום את הזרמים כפונקציה של המתחים, ן דומהבאופ ) 1TPY −= =Y Z

1 11 12 1

2 21 22 2

; ;TP

i y y vi Y v i v

i y y v⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Y

,של הזוגיים מטריצת אדמיטנס הקצרנקראת Yהמטריצה

) (SHORT CIRCUIT ADMITTANCE MATRIX ,

:כפי שמתבטא בקשרים הבאים

4

2 1

2 1

1 111 12

1 20 0

2 221 22

1 20 0

;

;

v v

v v

i iy yv v

i iy yv v

= =

= =

= =

= =

:ותזוגיים פשוטברשתות אדמיטנס הו אימפדנסהריצות מציאת מטדוגמאות ל

:נגד בטור •

( )( )

1 1 2

2 2 1

i v v G

i v v G

= −

= −

אדמיטנסמטריצות ה

1 1

2 2

TPY

i vG Gi vG G

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦14243

הסבר נוסף לכך . אין מטריצה הופכיתY ימת מכוון שלמטריצה ילא ק אימפדנסמטריצות ה

. ים למעגליאפשר לחבר שני מקורות זרם בלתי תלו- מתקבל עקב זאת שאי

:נגד במקביל •

( )( )

1 1 2

2 1 2

v i i R

v i i R

= +

= +

אימפדנסהמטריצות

1 1

2 2

TPz

v iR Rv iR R⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦14243

הסבר נוסף לכך . אין מטריצה הופכיתZ ימת מכוון שלמטריצה ילא ק אדמיטנסהמטריצות

. ם למעגליבלתי תלוי מתחאפשר לחבר שני מקורות - מתקבל עקב זאת שאי

G

+

v1

-

1i +

v2

-

2i

R

+

v1

-

1i +

v2

-

2i

5

:T רשת •

( ) 321222111 RiiRivRiv +=−=−

אימפדנסמטריצות ה

1 3 31 1

3 2 32 2

TPz

R R Rv iR R Rv i+⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦144424443


( ) ( ) ( )

2 3 3 2 3 3

3 1 3 3 1 312

1 2 3 1 3 21 3 2 3 3TP TP

R R R R R RR R R R R R

Y zR R R R R RR R R R R

−

+ − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = =

+ ++ + −

:Πרשת •

( ) ( ) 321222111 GvvvGiGvi −=−−=−


1 3 31 1

3 2 32 2

TPY

G G Gi vG G Gi v+ −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦144424443

R3

+

v1

-

1i +

v2

-

2iR1 R2

G1

G3

+

v1

-

1i +

v2

-

2i

G2

6

אימפדנסמטריצות ה

2 3 3

3 1 31

1 2 3 1 3 2TP TP

G G GG G G

Z YG G G G G G

−

+⎡ ⎤⎢ ⎥+⎣ ⎦= ==

+ +

:Tרשת גשר •

( ) 32112

21221

2

2111 RiiR

Rvv

ivRR

vviv +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−+

2

1

313

331

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

ii

RRRRRR

vv

RR

RR

RR

RR

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

313

331

211

121

122

1

21

ii

RRRRRR

RRRRRR

RRvv

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++++++++

+=

2

1

313121213311

213311313121

12 21

ii

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

RR

חיבור מערכות בטור ובמקביל

השווה לסכום אדמיטנסחוברים במקביל יהיה בעל מטריצת ממעגל הבנוי מרשתות זוגיים ש

כמו במוליכויות שמחוברות ( חוברים במקבילמש של רשתות הזוגיים אדמיטנסמטריצת ה

.)במקביל

השווה לסכום אימפדנסחוברים בטור יהיה בעל מטריצת ממעגל הבנוי מרשתות זוגיים ש

).כמו בנגדים שמחוברים בטור( חוברים בטורמשל רשתות הזוגיים ש אימפדנסמטריצת ה

R3

+

v1

-

1i +

v2

-

2iR1 R1

R2

7

:הוכחה

( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

2

A B A B A BA B A B

A B A B A B

A B

A B

i v i i i i v v v vi v i i i i v v v v

vv

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = + = + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= + ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⇒ = +

Y Y Y Y Y

Y Y

Y Y Y

( )1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

A BA B A B

A B

A B

v i v v i i iv i v v i i i

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

→ = +

Z Z Z Z Z

Z Z Z

Z v2 v1

ZA v2A v1A I2 I1

v1B ZB v2B

Y i1 i2

YA v2 v1

YB

8

T מטריצת התמסורת של זוגיים

כיצד תלויים ערכי הכניסה ,כלומר .ינים בתכונות התמסורת של הזוגייםיבשימושים רבים מתענ

11 , iv וערכי היציאה 22 , iv זה בזה.

:נגדיר

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

2

1

1 ;i

vx

iv

x outin

.קסקדההגדרנו את הזרם ביציאה בכיוון הפוך על מנת להקל את החישוב בחיבור זוגיים ב: הערה

outin מהצורהבמקרה הליניארי הוא קשר ה xTx :בסימון אחראו , =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

2

1

1

iv

DCBA

iv

⎥ לומרכ. ⎦

⎤⎢⎣

⎡=

DCBA

T

2 2

2 2

1 1

2 20 0

1 1

2 20 0

;

;

i v

i v

v vA Bv i

i iC Dv i

= =

= =

= =−

= =−

.

:)שרשרת( קסקדהבחיבור זוגיים

. התמסורותשל מכפלת הקסקדה הינה בזוגיים המחוברים שלתמסורת השקולה שהקל לבדוק

A ,כלומר BT T T=.

1 2 1 2 1 2 2

1 2 1 2 1 2 2

A A B BA A A B A B

A A B B

A B

v v v v v v vT T T T T T T

i i i i i i i

T T T

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

→ = ⋅

2i

2i

1i

+

v1

-

+

v2

-

1i

TB

TA

9

gו hהתמסורת מטריצת

ידי בין ישיש קשר מהסיבה לכך היא . BJTטרנזיסטורים מסוג במעגלינפוץ hהשימוש במטריצה

.כונות הפיזיקאליות של הטרנזיסטורים למקדמיםתה

1 11 12 1 1 1

2 21 22 2 2 2

;v h h i v ii h h v i v⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

h

2 1

2 1

1 111 12

1 20 0

2 221 22

1 20 0

;

;

v i

v i

v vh hi v

i ih hi v

= =

= =

= =

= =

1 11 12 1 1 1 1

2 21 22 2 2 2

;i g g v i vv g g i v i

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦g g h

2 1

2 1

1 111 12

1 20 0

2 221 22

1 20 0

;

;

i v

i v

i ig gv i

v vg gv i

= =

= =

= =

= =

ניסות או היציאות מחברים בטור והזוג השני מחובר כמעגל הבנוי מזוג רשתות זוגיים בהן ה

.אות רשתות בחיבור מעורבבמקביל נקר

מעגל הבנוי מחיבור מעורב של רשתות זוגיים שזוג הכניסה מחוברות בה בטור וזוג היציאות

של רשתות הזוגיים hהשווה לסכום מטריצת hבמקביל יהיה בעל מטריצת מחוברות בה

. כים לחיבור המעורביהשי

מחוברות בה במקביל וזוג היציאות מעגל הבנוי מחיבור מעורב של רשתות זוגיים שזוג הכניסה

כים ישל רשתות הזוגיים השי gהשווה לסכום מטריצת gבטור יהיה בעל מטריצת מחוברות בה

.לחיבור המעורב

10

[ ]1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 1 1 1 1 2 2 2

A B A B A BA B A B

A B A B A B

A B

v i v v v v i i ii v i i i i v v v

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = + = + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⇒ = +

h h h h h

h h h

מעגלי תמורה של זוגיים

לכל . בין הכניסות ליציאות של מעגלי זוגיים בעזרת מעגלי תמורה שריםקתן לתאר את הינ

וח מעגלים הכוללים תמעגלי התמורה עוזרים בני. מורה שונהתים מעגל תאמטריצה אפשר לה

.זוגיים

:Z מעגלי תמורה מתוך מטריצת האימפדנסים

g v1

gA i2A v1A I2

v1B gB i2B

h v2 i1A v1

hA v2A I1

i1B hB v2B

22z 11z

212iz

+

v1

-

1i +

v2

-

2i

121iz

11

גםמעגלי תמורה את כאשר יש חיבור בין ההדקים התחתונים של הכניסה והיציאה ניתן להציג

:באופן הבא

.מכוון שמקור המתח מתבטל האחרון נוח במיוחד בזוגיים הדדים צוגיהי

:Y מעגלי תמורה מתוך מטריצת האדמיטנסים

גם מעגלי תמורה את כאשר יש חיבור בין ההדקים התחתונים של הכניסה והיציאה ניתן להציג

:באופן הבא

.אחרון נוח במיוחד בזוגיים הדדים מכוון שמקור הזרם מתבטלה צוגיהי

:T המעגלי תמורה מתוך מטריצ

.נציג אותוולכן לא פחות שימושי מהמעגלים האחרים Tמטריצה מעגל התמורה של

( ) 11221 izz −

12z

1222 zz − 1211 zz − 2i+

v1

-

1i +

v2

-

22y 11y

212vy

+

v1

-

1i +

v2

-

2i

121vy

+

v2

- ( )12211 yyv −

1222 yy +

12y−

1211 yy +

+

v1

-

1i 2i

12

:h המעגלי תמורה מתוך מטריצ

:g המעגלי תמורה מתוך מטריצ

לשימושים במעגלי התמורה דוגמאות

.של הרשת z11חשב את . מסויימת של רשת זוגיים hנתונים ארבעת פרמטרי 1

:פתרון

:מתקיים Zבהתאם להגדרה של המטריצה

v1 = z11i1+z12i2→ z11 = ( v1/ i1)i2=0

.i2=0(v1/ i1 )ונחשב את hכעת נרשום את מעגל התמורה של מעגל

:שווה לאפס הוא i2כאשר זרם hה של מטריצתמורה המעגלי

:מהמעגל נובע ש

v2=-i1 h21/h22

v1=h11i1+h12v2= h11i1-(h12 h21)/h22i1=( h11-(h12 h21)/h22i1) i1

11g

22g

+

v1

-

1i +

v2

-

2i

12 2g i

22h

11h

+

v1

-

1i

+

v2

-

2i

21 1h i

+

12 2h v

_

21 1g v

122h −Ω

11h Ω

+

v1

-

1i

+

v2

-

2i

21 1h i

+

12 2h v

13

11 1 1 11 12 21 22 1( / ) - ( ) /z v i h h h h i⇒ = =

רשום את פונקצית . של רשת הזוגיים yנתון המעגל שבציור ונתונים ארבעת פרמטרי 2

.מתח הקבל הואהתמסורת של המעגל כאשר אות הכניסה למעגל זה מתח המקור ואות היציאה

y11=1mΩ-1, y12=0Ω-1, y21=0.01Ω-1, y22=100µΩ-1,

Yb=1/Rb R11=1/Y11, R22=1/Y22, Y2=1/R2, Ra=R1+ R11, Rb=R2// R22 :נסמןR11=103Ω, R22=104Ω, Ra=104Ω, Rb= 9 103Ω

:בצורה אופרטורית תנרשום את המשוואה הדיפרנציאלי

11 1 111

1

1

1 1in ina

a

R DC Rv v vDC RR

DC

= =++

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 1 112 21 1 21

1 2

2

21 1 11 21 1 112 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1

1 1 1

1

bb

ina b

b

bin in

a b a b a a b b

RRDC DC R

v Y v Y vDC R DC RR

DC

D Y C R R D Y C Rv v

D C R C R D C R C R D C R C D C R Y C Y

⎛ ⎞⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠+

⎛ ⎞− −=⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠

( )( ) ( )

21 1 112 2

1 2 1 2in

a a b b

D Y C Rv v

D C R C D C R Y C Y−

=+ + +

C1 R1 v1 v2 + + Y11 Y22 vC vin 100μF 9KΩ R2 C2 90KΩ 500pF - Y21v1 -

14

מעבר לפאזורים י "קצית התמסורת התדירותית ענעבור מפונקצית התמסורת האופרטורית לפונ

. jωב Dהחלפה של ו

( )( ) ( )

21 1 112 2

1 2 1 2 1b

ina b a b

j Y C R RV V

C R C R j C R C Rω

ω ω⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟− + −⎝ ⎠

:התמורהנחשב את פונקצית התמסורת פעם נוספת ללא שימוש במעגל

( ) ( )

( )

0 11 1 1

11 12 1 11 1 1 12 2 2

21 22 2 22 2 2

11 11 1

21 22 22 2

1 01/1/ 1/0 0

1 00 1/0

in inv v vi v vy y R DCR DC R DCi v vy y Y DCv Y DC

y vR DCy y v

Y DC

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ++ += = = + ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ − +⎢ ⎥− + ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦⎛ ⎞⎡ ⎤−⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥+−⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎜ ⎟− +⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

( )

1 1

11 11 1 1 1

221 22 2 2

1/0

1 01/ 1/

0

in

in

vR DC

vy vR DC R DCv

y y Y DC

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥+= ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

.בעזרת קרמר 2vנחשב את

15

( )

( )( )

( )( ) ( )

111 1 1 1 21

21 1 12

11 11 22 2 21 1 1 1

21 22 2 2

21 1 21 1

1 1 1 1

111 1 1 111 22 2 2

1 1

11/ 1/

0 1/1 101/ 1/

1 1

11

in

in

in

vy

R DC R DC yy R DC

v vy y y Y DC

R DC R DCy y Y DC

y DC y DCDC R DC R

vDC y DC R DCy y Y DC

DC R

⎡ ⎤+⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ −⎢ ⎥ +⎣ ⎦= = =⎛ ⎞⎡ ⎤+ + + +⎜ ⎟⎢ ⎥+ +⎝ ⎠⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

− −+ +

=⎛ ⎞ + ++ + +⎜ ⎟+⎝ ⎠ ( )

( )( )( ) ( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )

22 2 21 1

21 1 21 1

11 1 1 1 2 11 1 1 1 11 2

21 12

11 1 1 2 11 2 11 1 1 1 11

21 12

11 1 1 2 11 1 1 1 11 2

1

1

1

1

b

in

y

in inb b

inb b

b b

v

y Y DCDC R

Dy C Dy Cv v

y DC R DC y DC D y C R C y y DC

Dy Cv

D y R C C Dy C D y C R C y y y

Dy CD y R C C D y C R y C y y C

=⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

− −= =

+ + + + + +

−=

+ + + + +

−=

+ + + + +

14243

( ) ( )( )

( )

11

1111

21 1 112

1 11 1 2 1 1 11 2

21 1 112

1 2 1 2

a

inb

inb b

R

ina b a b

Rv

Ry y

Dy C Rv

D R R C C D C y R R C y

Dy C Rv

D R C C D C y R C y

−=

+ + + + +

−=

+ + +

14243

( )21 1 11

2 21 2 1 2

ina b a b

Dy C Rv v

D R C C D C y R C y−

=+ + +

ניתן בפתרון את השלב האחרון . כצפוי התקבלה תוצאה זהה לזו שהתקבלה בעזרת מעגל תמורה

.במקום בשיטת קרמר המטריצה לכסוןלחשב בעזרת

16

( )

( )

11 11 1 1 1

221 2

11 21 211 1 1

1 12

21 11 2 111 1 1 1

111

1 01/ 1/

0

1 01/

1/1 1 01/ 1/

1

in

b

in

b

vy v

R DC R DCv

y Y DC

y y y vR DC vR DC

vy y Y DC y

R DC R DC

yR

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥+ +=⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎡ ⎤+ ⎡ ⎤⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥+=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + ⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

++

( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2121

1 1 11

2 212 11

1 11 1

212 11 2

1 1 1 1

2 11 1 1 2 21

2 11 1 1 1

01/ 1/

10 1/1/

11/ 1/

1/ 1

1

in

inb

b in

b in

b

y vyDC R DCv

v y vY DC y R DCR DC

yY DC y v v

R DC R DC

Y DC y R DC v y v

Y DC y R DC DC v

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥+⎡ ⎤⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎣ ⎦ −⎢ ⎥+ + ⎢ ⎥⎜ ⎟ ++⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞+ + = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

+ + + = −

+ + +

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 1 21

11 1 1 1 11 2 1 1 2 1 2 1 21

211 2 1 1 2 1 11 1 1 1 11 2 11 2 1 21

22 1 1 11 2 1 1 1 1 11 2 2 1 21 11

1 1

in

b b in

b b b in

b b b in

DC y v

y Y R DC Y DC y DC R DC DC DC v DC y v

D y C R C C C D y Y R C Y C y C y Y v DC y v

D C R C R C C D Y R C Y C R C Y v DC y v R

= −

+ + + + + = −

+ + + + + = −

+ + + + + = −

. יצוגייצוג לימעבר מ

איך לעבור היא הבעיה .האפשרויותששת כל אחת מדרך כלל ניתן לייצג רשת זוגיים בעזרת ב

יברים אמורה ובעזרת ההגדרות למציאת התשיטה ראשונה היא בעזרת מעגל ה .יצוגייצוג לימ

גישה מתבססת על השניידרך . )ראה דוגמה בסעיף הקודם( בכל אחת מהמטריצותהשונים

בעזרת הזוגיים שמתקבלת ות ארושמים את מערכת המשוובשלב ראשון שה זו יבג .אלגברית

משנים את סדר האיברים במשוואות כך שבצד אחד יופיעו ,שלב שני. יףשאותם רוצים להחל

שלב שלישי . משתני הכניסה של הזוגיים החדשים ובצד השני משתני היציאה של הזוגיים החדשים

וקטור שכופלת את לזו רושמים את המשוואות בצורה מטריצית ומכפילים במטריצה ההופכית

:היציאה

17

:דוגמה

.Tפרמטרי התמסורת בעזרת צוגילי Z פרמטרי האימפדנס צוג בעזרת יימעבר מנפתח את ה

2221212

2121111

izizvizizv

+=+=

1 11 1 12 2

21 1 2 22 2

v z i z iz i v z i− == −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

2

2

22

12

1

1

21

11

10

01

iv

zz

iv

zz

11 11 12 2 12 221 11

1 21 22 2 22 221

11 21 12 11 22

222

221

1 0 010 1 10 1

1

v z z v z vz zi z z i z iz

z z z z zvziz

−− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− +⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎣ ⎦

⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−=

2

2

22

2211122111

21 11

iv

zzzzzz

z

:מכאן

21

22

21

21

21122211

21

11

;1

;

zzD

zC

zzzzzB

zzA

==

−==

021מטריצת התמסורת אינה מוגדרת אם : הערה =z.

:Tחישוב הדטרמיננטה של

21

12221

21122211221

2211

zz

zzzzz

zzzBCADT =

−−=−=Δ

ומכאן נקבל כי

ΔT=1בזוגיים הדדיים

:Tהתמסורת עבור גשר מטריצת חישוב : דוגמה

18

:מהמעגל החשמלי קיבלנו בעזרת חוקי קירכהוף

( ) 32112

21221

2

2111 RiiR

Rvv

ivRR

vviv +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−

:נקצית התמסורת כדלקמןומכאן ניתן לחשב את פו

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ +−+

2

2

312

1

32

1

1

1

32

1

312

1

1

1

iv

RRRR

RRR

iv

RRR

RRRR

( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−+

2

2

23121

321

1

1

321

23121

iv

RRRRRRRR

iv

RRRRRRRR

( ) ( ) ( ) ( )32312

12312

13231231213221 2 RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR ++=+++=+++=Δ

( )( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+

++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

2

23121

321

211

23132

32312

121

1

21

iv

RRRRRRRR

RRRRRRRR

RRRRRRiv

:לקריאה נוספת

port_network-http://en.wikipedia.org/wiki/Two

המשך בעמוד 9

נוסחאון במבוא להנדסת חשמל לכיתה י"ג, - 8 -

אביב תשס"ח, נספח לשאלון 711001

מקדמי ABCD של רשת זוגיים

הערה: זרם המבוא I1 נכנס לרשת, וזרם המוצא I2 יוצא מהרשת.




מקדמי Z ו־Y של רשת זוגיים

הערה: זרם המבוא I1 וזרם המוצא I2 נכנסים לרשת.




טבלה השוואתית של מקדמי זוגיים

הערות

עבור מקדמי ABCD — זרם המוצא I2 יוצא מהרשת. א. עבור מקדמי Y ו–Z — זרם המוצא I2 נכנס לרשת.

| Y | , | Z | הם דטרמיננטים של המטריצות [Z] ו–[Y] , בהתאמה. ב.




רשתות זוגיים

עכבה אופיינית — ZO [Ω]

עכבת המבוא בקצר — ZSC [Ω]

עכבת המבוא בנתק — ZOC [Ω]

מקדם זוגיים — B

מקדם זוגיים — C

עכבת הבבואה — ZO1 [Ω]

עכבת המבוא בקצר — ZSC1 [Ω]

עכבת המבוא בנתק — ZOC1 [Ω]

עכבת הבבואה — ZO2 [Ω]

עכבת המבוא בקצר — ZSC2 [Ω]

עכבת המבוא בנתק — ZOC2 [Ω]

קבוע ההתפשטות — γ

קבוע הניחות — α [neper]

קבוע המופע, זווית המופע — β [rad]

I2–ו I1 בין הזרמים

ניחות — N

Z Z ZO SC OC=

עבור רשת סימטרית מתקיים:

ZB

CO =

Z Z Z

Z Z Z

O SC OC

O SC OC

1 1 1

2 2 2

=

=

מהצדהאחד

מהצדהאחר

e e e

N eI

I

N N

neper

j

dB

γ α β α

α

β= = ∠

= =

=

=

+

[ ]

1

2

20

1 8

log

.669 dB




מסננים מסוג K קבוע

התנגדות אופיינית — Ro [Ω]

LPF מסנן

תדר פוגה — fc [Hz]

: ω < ωc כאשר : ω > ωc כאשר

T עכבה אופיינית של רשת — ZOT [Ω]

סימטרית מעבירה נמוכים

π עכבה אופיינית של רשת — ZOπ [Ω] סימטרית מעבירה נמוכים

RL

Co =

fLC

c = 1

π

α ωω

=

−2 1coshc

β ωω

=

−2 1sinc

Z R

ZR

OT oc

Oo

c

ω ωω

ωωω

π

( ) =

( ) =

1

1

2

2

–

–




HPF מסנן

תדר פוגה — fc [Hz]

: ω > ωc כאשר : ω < ωc כאשר

constant-K LOW P ASS FIL TER

CONFIGURA TION

''T'' (FULL SECTION) f c

A TTENUA TION IMPEDANCE

f c

R o = LINE IMPEDANCE

'' ''

C 2 Z OT

Z OT

Z O

Z OZ O

N [db]

N [db]

L 1

2

L 1

2 + –

+ –

Z OT

L 1 + –

+ –

C 2

2

f c

R o

f f f

f f

c

R o

C 2

2

R o fc

L 1 = 1

fc R o C2 = ;

fLC

c = 1

4π

αωω

=

−2 1cosh cβωω

=

– sin–2 1 c



T עכבה אופיינית של רשת — ZOT [Ω] סימטרית מעבירה גבוהים

π עכבה אופיינית של רשת — ZOπ [Ω] סימטרית מעבירה גבוהים

Z R

ZR

OT oc

Oo

c

ωωω

ωωω

π

( ) =

( ) =

1

1

2

2

–

–

בהצלחה!

רשתות זוגיים תאוריה ותרגילים

Documents