六 匀速圆周运动的实例分析

秦皇岛市第二中学　姚国杰

复习思考题：1. 描述匀速圆周运动快慢的各个物理量及其相互关系。

2. 向心力的求解公式有哪几个？

3. 如何求解向心加速度？

消去 T

(1). 线速度、角速度和周期关系

T

r

t

sv

2

Tt

2

rv

2mrF 向心力公式：

r

v

2mrF r

vmF

2

向心加速度公式：

r

vr

m

Fa

22

2 ：说明：a ：向心力是按效果命名的力；b ：任何一个力或几个力的合力只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力； c ：不能认为做匀速圆周运动的物体除了受到另外物体的作用外，还要另外受到向心力。

1 ：来源：分析和解决匀速圆周运动的问题，关键的是要把向心力的来源搞清楚。

关于向心力：

火车在平直轨道上匀速行驶时，所受的合力等于 0 ，那么当火车转弯时，我们说它做圆周运动，那么是什么力提供火车的向心力呢？

火车转弯

c ：由于该弹力是由轮缘和外轨的挤压产生的，且由于火车质量很大，故轮缘和外轨间的相互作用力很大，易损坏铁轨。

1 、内外轨道一样高时

G

FN

F

a ：此时火车车轮受三个力：重力、支持力、外轨对轮缘的弹力。b ：外轨对轮缘的弹力 F 提供向心力。

2 、外轨略高于内轨时

(

θ(

θ

L

H

θ(

θL

H

设车轨间距为 L ，两轨间高度差为 H ，转弯半径为R ，质量为 M 的火车运行。

据三角形边角关系：

L

Hsin

对火车受力情况分析：重力和支持力的合力提供向心力，对内外轨都无压力

θ(

θL

H

Mg

Ftan

又因为 θ 很小所以 tansin

综合有Mg

F

L

H

故 MgL

HF

又R

vMF

2

所以L

gHRv

实际中，铁轨修好后 H 、 R 、 L 定，又 g 给定值，所以火车拐弯时的车速为一定值。

飞机转弯

汽车过拱桥

FN F 合 =G － F Ｎ

F 向 =mv2/r

由 F 合 = F 向

G － F Ｎ = mv2/r

F Ｎ =G － mv2/r ＜ G

汽车过凸形桥 取向心加速度方向为正方向

思考与讨论 根据上面的分析可以看出，汽车行驶的速度越大，汽车对桥的压力越小。试分析一下，当汽车的速度不断增大时，会有什么现象发生呢？

根据牛顿第三定律： F 压 =FN

即：r

vmmgF

2

N 压F

由上式可知， v增大时， F 压减小，当 时， F压 =0 ；当 时，汽车将脱离桥面，发生危险。

grv grv

思考与讨论 请你根据上面分析汽车通过凸形桥的思路，分析一下汽车通过凹形桥最低点时对桥的压力。这时的压力比汽车的重量大还是小？ F 合 =F Ｎ － G

F 向 =mv2/r

由 F 合 = F 向

F Ｎ － G =mv2/r

F Ｎ =G ＋ mv2/r

＞ G

V

ＦＮ

V

ＦＮ

比较三种桥面受力的情况

r

vmFG N

2

FN=G

r

vmGFN

2

杂技 “水流星”

G

一根绳子系者一个盛水的杯子，演员抡起绳子，杯子就在竖直面内做圆周运动，到最高点时，杯口朝下，但杯中的水不会流下来，为什么呢？

作圆周运动的物体总需要由向心力。如图所示，当杯子以速度 v转过最高点时，杯中的向心力的方向向下；对杯中的水，

2vmg m

rF 向

即：v gr杯中的水恰不流出

GFN

若转速增大， 时，即 时，杯中水还有远离圆心的趋势，水当然不会流出，此时杯底是有压力，即

2vm mgr

v gr

2

N

vF mg m

r

由此可知， v越大，水对杯子的压力越大。

表演“水流星”节目的演员，只要保持杯子在圆周运动最高点的线速度不得小于

即∶v grglv

圆锥摆

G

FT

r

质量为 m的小球用长为 L的细线连接着，使小球在水平面内作匀速圆周运动，细线与竖直方向夹角为 θ ，试求其角速度的大小？

对小球而言，只受两个力，重力和细线拉力，这两个力的合力 mgtanθ 提供向心力，知道半径 r=Lsinθ所以由 得2F m r

cos

g

L

sintan 2Lmmg

解圆周运动问题的基本步骤1.确定作圆周运动的物体作为研究对象。2.确定作圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。3. 对研究对象进行受力分析画出受力示意图。4. 运用平行四边形定则或正交分解法（取向心加速度方向为正方向）求出向心力 F 。5. 根据向心力公式，选择一种形式列方程求解

小结1 、分析向心力来源2 、运用向心力公式解题的步骤

火车转弯问题汽车过拱桥

3 、实例分析 :

圆锥摆杂技“水流星”

作业•练习六（课本 page97)

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