第七章 一维定常可压缩管内流动 7.1 理想气体在变截面管道中的流动 7.2 收缩喷管 7.3 拉伐尔喷管 7.4 超声速内压式进气道及其它变截面管流7.5 等截面摩擦管流7.6 气体在有热交换的管道内的流动7.7 变流量加质管流

基本方程组

A

dA

M

kM

p

dp

a

a2

2

1

A

dA

M

Md

a

a2

2

1

A

dA

M

Mk

T

dT

a

a2

2

1

1

A

dA

MV

dV

a21

1

2

2

2 1

2 1aa

a a

k MdM dA

M AM

§7.1 理想气体在变截面管道中的流动

截面积变化对气流参数的影响

dA < 0 dA > 0

气流参数比 1aM 1aM 1aM 1aM

dV V

a adM M

dp p

d

dT T

§7.2 　收缩喷管

发动机尾喷管出口的射流流动

喷管的用途

喷管是各工业技术领域中用以产生高速气流的主要装置，是航空航天飞行器动力装置及有关实验设备 ( 校准风洞和叶栅风洞等），生产装置中的重要部件。

两种喷管

收缩喷管的流道截面积是逐渐缩小的，在喷管进出口压强差的作用下，高温气体的内能转变成动能，产生很大的推力。气流速度达到音速后便不能再增大了。

拉伐尔喷管即是缩放式喷管，其流道先缩小再扩大，允许气流在喉道处达到音速后进一步加速成超音速流。

喷管流动中的常见现象

扰动波就像水流中一圈一圈的水纹， 向水中扔一块石头，在水面不远处就会激起波澜。只不过在气体动力学中，所谓扰动是喷管出口反压对气体流动的影响。膨胀波和激波是扰动波的边界。上：亚音速时

扰动边界

下：超音速时 气流在通过膨胀时，压强下降，密度下降，速度增大。

气流通过激波时，其压强、温度和密度均突然升高，速度则突然下降。

本节的主要内容

收缩喷管流动参数计算及临界压强比 收缩喷管的三种流动状态 壅塞状态 收缩喷管设计

一．喷管出口参数及临界压强比

1. 出口截面参数计算 以注脚 o 和 e 分别表示喷管出口和进口截面上的气流参数，

则由绝能流动的能量方程2

* *0 2

eP P e P e

Vc T c T c T

* **

2 2 1 ee P e e P e

e

TV c T T c T

T

k

k

e

ee p

pRT

k

k1

** 1

1

2可见，　越高，流速越大

　　　越小，流速越大

*eT

*ee pp

出口马赫数及其他参数 ：

11

21

* k

k

e

eae p

p

kM

e e e e crV M c c

1**

( ) kee

e

p

p

1*1/

*

kkk

e ee

e

p p pT

R R

２．临界压强比

定义：喷管出口马赫数等于 1 时的压强比为临界压强比，用 表示cr

1

* 1

2

k

k

e

ecrcr kp

p

*

,max *m e

pq K A

T

eee AVmq

ee

e

e AqT

pK

*

*

mq

二、收缩喷管的三种流态

亚临界流态特点：

判别：

临界流动　特点：

判别：

crb pp *

1aeM be pp

1aeM be pp

crb pp *动画演示PLAY

临界与超临界

临界流动　特点　　　　　　判别

超临界　　特点　　　　　　判别

1aeM be pp

crbe pppp **

1aeM*pp cre

crb pp *

收缩喷管的流动规律

这张图是用计算机

模拟的临界状态

收缩喷管中气体流动状态完全是由反压比 确定的，对于给定的喷管，流量和流速随反压比的降低而增大，但当流速到达音速后，即使反压比再大，气流仍是声速流，流量也不再增大。

*/ ppb

—— 喷管出口处外界气体的压强。

P*—— 气流的总压，有时可以是喷管进口处的外界气体的压强。

bp

喷管流态小结

总之，收缩喷管的流动状态及特点是：

当　　　　　 时 ，亚临界，完全膨胀； 　　　　　　　　　　　　 当　　　　　 时， 临界，完全膨胀；　　　　　　　　　　　　 当　　　　　 时，超临界，未完全膨胀。 　　　　　

　　　　　

crb pp *

crb pp *

crb pp *1 aeMbe pp

1 aeMbe pp

1 aeMcre pp * be pp

三 . 收缩喷管的壅塞状态

在临界和超临界态，　　　，　　　　 ， 降低，不能使　 继续增大，也不能使喷管流量继续增加，定义：　　　　 ，　　　　 的流动状态为壅塞状态。一旦喷管处于壅塞状态， 便不再能影响喷管内的流动。而且，无论改变　 或改变进口气流的总压、总温，都不能使喷管中任一截面上的无量纲参数（马赫数、压强比和温度比等）发生变化．

1aeM bpaeM

,maxm mq q1aeM

,maxm mq q

bp

bp

壅塞状态参数的变化

eV

*T

 

aeM*ppe mqep

*p

bp

eA

四．收缩喷管设计

222

2 2 313

1 ( / )11 1

[1 ( / ) ]e

x lr

r C x l

2

0 / eC r r0r 给定

维氏公式维氏公式

要求在喷管出口产生均匀的流动

2. 流动状态及分析

反压变化，来流总压不变反压变化，来流总压不变

* *11. / /bp p p p

V p ,e a e dp p Ma Ma

记 1ep p

1 2* * *

2. bpp p

p p p

32* * *

3. bp pp

p p p

3* *

4. bp p

p p

拉伐尔喷管中管内激波形成的状态

拉法尔喷管出口的膨胀波、激波及波的发展

拉伐尔喷管的流动分析及流动状态总结

一．几何参数给定，何种因素影响拉伐尔喷管的流态． 　　　给定，反压　 变化 　　　　给定， 变化　思考？ 　　给定，　　同时变化　　显然用　　 与三个特定压强比较，确定流态．

二．回忆收缩喷管，拉伐尔喷管流动状态 ．　　　

**,Tp bp

bpT ,* *p*T

* , ppbppb

Ⅰ 区 　　　　管外有膨胀波 , 未完全膨胀 ; 　　　　　完全膨胀（设计状态） .

Ⅱ 区 　　　管外有激波，过渡膨胀状态 ; 　　　　　　正激波位于喷管出口 .

Ⅲ 区 　　　管内有激波 . 　　　　　　　　　除喉部外，全为亚声速流动 .

Ⅳ 区 　　　　　　全为亚声速流动．

p

p

p

pb 1

二．总结拉伐尔喷管的流动状态二．总结拉伐尔喷管的流动状态

p

p

p

pb 1

p

p

p

p

p

p b 21

p

p

p

pb 2

p

p

p

p

p

p b 32

13 p

p

p

p b

p

p

p

pb 3

三．三个特定压强比 　　　　 　　　 与面积比有关，由　　　　 确定 , 查正激波表　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

p

p

p

p

p

p 321 ,, )( ee

t qA

A

*1)(1,1

p

pM eee

)( ee

t qA

A *3)(1,1

p

pM eee

*1

1

2*2

1

2

p

p

p

p

p

p

p

p

§7.4 超声速内压式进气道及其它变截面管流7.4.1 超声速内压式进气道

内压式超声速进气道属于变截（面）管流。它是靠内部压缩超声速气流使其达到减速增压的目的。内压式超声进气道包括收缩段、喉部和扩张段。收缩段可以是直壁或曲壁，气体在其中经过一系列波系减速增压，到达喉部时马赫数一般大于１。然后在扩张段内加速再经过一道正激波，变为亚声速气流。一、设计状态

内压式超声速进气道的理想流动状态 如下页图所示， 迎面超声速气流在进口之前气流参数不发生变化。进入进气道后，在收缩段（设为曲壁）中进行连续的微弱压缩，气流速度不断减小，到喉部气流速度刚好减小到当地声速，即喉部马赫数 ，然后气流在扩张段内进一步减速，变为亚音速气流，到出口截面得到所需要的气流Ｍ a 数。在这样的流动中，不存在激波，流动损失很小，这种流动 被称为最佳流动状态 ，又叫设计状态 。

1tMa

图 内压式超声进气道的设计状态

0( ) ( )td d

i

Aq

A

设计状态时的面积比公式

7.4.2 其它变截面管流

一、气体在引射喷管内的流动

二、气体在斜切口管内的流动

三、气体在扩散形管内的流动

四、塞式喷管

§7.5 等截面摩擦管流

摩擦对气流参数的影响摩擦管流的计算摩擦壅塞

注：本节只讨论一维定常等截面绝热的摩擦管流。即作如下假设：流动是一维定常的；管道是等截面的；气体与外界没有机械功和热量的交换（如果管道比较短，流动速度又比较大，气体与固体壁面之间的热交换影响与摩擦作用相比可忽略不计 ）；气体为定比热的完全气体。

动画演示PLAY

一、摩擦对气流参数的影响

摩擦管流分析

微分形式的连续方程

微分形式的动量方程

微分形式的气体状态方程

0V

dVd

0T

dTd

p

dp

w wAdp ds VAdV

21

2f wC V

Ddxdsw 2

14 0

2fa

dV dp dxC

V kM p D

摩擦系数

由马赫数的定义式， 取对数微分得

T

dT

V

dV

M

dM

a

a 2

2

2

2

有能量方程的微分形式得 01 2

V

dVMk

T

dTa

12

2

11

k

k

aMk

pp2*

*21

12

a a

aa

kM dMdp dpkp p MM

取对数微分得

由冲量函数，取对数再微分得

a

a

a

a

M

dM

kM

kM

p

dp

F

dF2

2

1

2

p

dpRds

根据熵和总压的关系，微分得

D

dxC

M

MkkM

p

dpf

a

aa 412

112

22

D

dxC

M

kMdf

a

a 412 2

2

4

2

14

2 1a

f

a

k k MdT dxC

T DM

D

dxC

M

kM

V

dVf

a

a 412 2

2

D

dxC

M

Mk

kM

M

dMf

a

aa

a

a 41

2

11

2

22

2

2

D

dxC

kM

p

dpf

a 42

2

*

*

D

dxC

kM

kM

F

dFf

a

a 412 2

2

214

2a

fp

k Mds dxC

c D

变量 可由变量 表示为如下式D

dxC f4

F

dF

C

ds

p

dp

M

dM

V

dV

T

dTd

p

dp

pa

a ,,,,,,,

V

dV

a

a

M

dM

p

dpd

T

dT*

*

p

dp

F

dF ds

1aM

1aM ↑↓↓↑↑↑↓↓

↑↓↓↓↓↓↑↑

等截面摩擦管流中各参数沿管长方向的变化

由以上分析可见，单纯的摩擦不能使亚声速气流转变为超声速气流，也不可能使超声速气流连续地转变为亚声速气流。

二、摩擦管流的计算

实际管长与最大管长示意图

2

11 4

1 f

d k dxC

k D

改写为速度系数的形式，则有

积分上式得D

LC

k

kf4

1

2ln

1121

22

22

21

0

1

L

L

f fC C dxL

为按长

度 平均的摩擦系数

于是对 1 、 2截面有：

温度比

2

2

21

1

2

1

2

2

11

2

11

a

a

Mk

Mk

T

T

2

1

21

22

2

1

2

1

2

1

1

2

2

11

2

11

a

a

a

a

Mk

Mk

M

M

V

V

密度比与速度比

1

221

1 12

21 2 22

11

21

12

aa

aa

kMy Mp

kp y M M

压强比

1

22211 222

221 1 2 12

111 2

11 12

aa a

a aa

kMM kMzF

kF z M kM M

冲量比

1

2 122

1 12

21 2 21

11

21

12

k

k

aa

aa

kMq Mp

kp q M M

总压比

1

2 12* 1

2 22 1 1*

22 1 12

11

2ln ln ln1

12

k

k

aa

aa

kMq Ms s p

kR p q M M

熵 增

三、摩擦壅塞 对于给定的进口速度系数 ，若实际管长超过其对应的最大

管长，即使出口反压足够低，以流入管道的流量也无法从出口排出，流动将出现壅塞现象。壅塞将使气流的压强升高，对流动形成扰动。

1

对于亚声速气流，压强升高的这一扰动将会逆流传播，扰动一直影响到管道进口，使进口产生溢流。而且通过管道的流量减小，流速降低。对应的最大管长加长，临界截面后移，直到气流能够从出口通过。此时出口截面上的速度系数为 1 。

对于超声速气流，压强升高的扰动将会在气流中产生激波。当管长超过最大管长不多时，激波位于管内，这时进口的速度系数没有变化。而激波之后的亚声速气流在同样管长上造成的总压损失要比超声速气流小得多，从而使进口流量能够从出口通过，在出口截面上气流达到临界状态，激波位置可按出口气流达到临界状态的条件来确定。

式中下标示意图

由于实际气体的粘性作用，管内激波结构是十分复杂的。近似计算可按一道正激波来处理。从管道进口到激波前以及从激波后到管道出口列出两个关系式，并注意到管道出口的 ，则有12

2

2 2 21 1

1 1 2ln 4

1s s

fs

LkC

k D

D

LLC

k

k sf

ss

4

1

21ln1

122

对于正激波，上式可变为

D

LLC

k

k sfss

1

8ln1 22

联立求解，可得两个未知数 和 。s sL

综上所述，对于每一个起始 ，存在一个最大的值 ，超过这个 值，流动就会壅塞。对于给定的值 ，在亚声速气流中，存在着一个最大的进口 ，大于它流动就会发生壅塞；而在超声速气流中存在着一个最小的进口 ，小于它，流动也要发生壅塞。

D

LC f4

D

LC f4

有摩擦的直等截面管道中绝热流动的数值表

§7.6 气体在有热交换的管道内的流动

瑞利线热交换对气流参数的影响换热管流的计算加热壅塞凝结突跃

注：本节将讨论一维定常、定比热容、无摩擦完全气体等截面管流的流动过程，并且不考虑功的交换和气体化学成分的变化。这种流动就成了滞止焓或滞止温度变化的流动过程，或看作是纯滞止温度的变化过程。

一、瑞利线

当单位面积的冲量函数 和质量流量 一定时，就确定了压强与密度间的唯一关系，依此关系所画的曲线为瑞利线。因为焓和熵都是压强和密度的函数，因此在焓—熵图上 做出瑞利线（右图）。 从图中可以 看到以下几个特点：

F A

mq A

纯 变化过程的瑞利线*T

mqV constA

2 Fp V const

A

2

mqFA

p constA

a. 图上 标以 的点即代表 ， 和 的状态（ 从图中状态 1出发，只有在单纯加热时， 点才相应于马赫数 ）。

0ds 1aM maxs s

1aM

b. 加热使马赫数趋近于 1 ，而冷却则使马赫数向离开 1 的方

向变化。c. 无论是亚声速或超声速气流，在加热时，所加入的热量 都不能大于出口马赫数等于 1 时的加热量。如果超过了它， 气流就将壅塞，这将在后面细述。

二、热交换对气流参数的影响

用于分析热量变化的控制面

pq c dT 能量方程： 2 pc k

aV M c

22akpMV

02 V

dVkM

p

dpa

0 VdVdp 动量方程：

0V

dVd

连续方程：

0T

dTd

p

dp

状态方程：

T

dT

V

dV

M

dM

a

a 2

2

2

2

由马赫数定义得：

根据总、静压与马赫数的关系，取对数微分得

2

2

2

2

12 a

a

a

a

M

dM

Mk

kM

p

dp

p

dp

由总、静温与马赫数的关系，取对数微分得

2

2

2

2

12

1

a

a

a

a

M

dM

Mk

Mk

T

dT

T

dT

因为 1

p

ds dT k dp

c T k p

代入上式得1

p

ds dT k dp

c T k p

以 为独立变量，联立求解就得到表示热量交换对各个气体参数的影响的方程为：

T

dT

T

dT

M

MkkM

M

dM

a

aa

a

a2

22

14

121

T

dT

M

Mk

V

dV

a

a2

2

12

12

T

dT

M

kMMk

p

dp

a

aa2

22

12

12

T

dT

M

Mkd

a

a2

2

12

12

T

dT

M

MkkM

T

dT

a

aa2

22

12

121

T

dTkM

p

dp a

2

2

211

2 ap

ds k dTM

c T

由以上各式可以分析热量对气流参数的影响，列于下页表

Tp p V aM T S

1aM

1aM

1aM

1aM

②冷却

①加热

表 热量交换对气流参数的影响

①： 时增大； 时减小： ②：和①相反。 kM a 1 kM a 1

可见，单独的加热不可能使亚声速气流加速到超声速，也不可能使超声速气流连续地降为亚声速。无论是超声速气流还是亚声速气流，加热时气流总压都是下降的，为了减小加热时的总压降低，应尽量减小气流的马赫数。在理论上使气流总温减小的冷却过程可以使气流总压增大，但是，

由于摩擦等影响因素的存在，实际上这是难以实现的。

三、换热管流的计算

图 换热管流计算

2 1pq c T T 能量方程

1 21 12 1 1 1*

1 2 2 2 2 2 2 1

cr

cr

zcV T

V c T z

由连续方程，得

2

2 2 1 22

1 1 1 2 1

T zT

T T z

温度比

1

2

1

2

r

r

p

p

12

1 2

fp

p f

由动量方程可得压力比和总压比

1 1 2 2cr crc z c z

2

12

1 2

zT

T z

动量方程

动画演示PLAY

四、加热壅塞

2

1

*1 4cr

zT

T

2

11 1 1

4cr p cr p

zq c T T c T

对于给定的初始马赫数和温度，必定存在着一个最大的加 热量，超过此加热量时，加热后的气流速度将达到声速而发 生壅塞。我们定义气流在加热管出口的马赫数 时的加 热量叫做临界加热量，记作 ，对应的加热后的气流的总温 叫临界总温 。根据的条件 ，可得

12 aM

crqcrT 12 aM

根据 的变化特点可以看出，亚声速气流的起始 越大，或者超声速气流的起始 越小，则临界加热量越小。

z

11

当 时，流动就会发生壅塞。发生壅塞后，由于管道出口 值已经达到 1 ，气体在管内堆积，使管内气流压强上升。

a. 对于亚声速气流，这种壅塞作用一直影响到管道上游，使起始马赫数下降，因而进入管道的质量流量减小，直到使所加入的热量能够实现为止，此时，气流出口马赫数等于 1 。

b. 对于超声速气流，壅塞的影响将以激波的形式向上游传播，由于激波后气流总压损失更大，若进口流量不减小，管内壅塞更严重。所以超声速气流因加热发生壅塞时，激波将一直向上游推进，直到管口外，使进口气流 改变，以适应流量的要求。这时整个直管的流动完全变成亚声速流动。

由上分析可见，对于给定的起始马赫数，存在着一个临界加热量。换句话说，对于给定的起始总温和加热量，亚声速气流的起始马赫数存在一个最大值，超声速气流的起始马赫数存在一个最小值。

crqq ( )q

aM

五、凝结突跃

凝结突跃也是换热管流中出现的一种现象。气体沿着超声速或高超声速风洞的拉伐尔喷管流动时，由于气流的迅速降压膨胀，使气体的温度迅速下降，当空气中含有水分，其温度可能低于水蒸气的凝结温度并达到一定的过冷度时，凝结便会突然发生。过冷度在 左右会出现显著的凝结现象。一旦出现凝结，凝结过程便进行得十分迅速，该过程所占的距离很小，几乎是集中在一个截面上完成的。水蒸气凝结时放出潜热，这部分热量突然加入超声速气流中，使超声速气流速度突然下降，密度、压强、总温突然上升，总压突然下降，这种 现象称为凝结突跃。

Co50

§7.7 变流量加质管流基本方程 1 、连续方程

mdq d dV dA

m V A

2 、动量方程 ( ) ( )( )m m m m axpA p dp A q dq V dV q V dq V

3 、能量方程

2( 1) 0dT dV

k MaT V