孙子算经第一部分1/55

孙子算经图解及评注第一部分：序 +卷上

陈白

2009 年 12 月

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自序• 孙子算经在中国古代的数学书中，地位不及《九章算术》，而年代又

不及《周髀算经》久，所以很少有人对其研究和评注。一般认为这是一部入门级的教材。但是，我在看了孙子算经后却发现它记录了一些物理上的东西，例如长度，比重等，其中的数据和今天几乎完全一样。另外，世界上最早的十进制表述也是在这本书里。当然还有许多有趣的历史事也间接记录在里面。这其中的奥秘尚不得其解，但可以肯定的是，一定还有其他的书籍解释这些数据是怎么来的，但今天或许已经失传，我们只有用推理的方法来猜测古代人到底是怎么做到这些让今人匪夷所思的事情的。

• 原文及序号全部根据《中國哲學書電子化計劃 》网页所载，包括错误（用红字标出）网站地址： http://chinese.dsturgeon.net/text.pl?node=52053&if=gb

• 许多图片来自网页或根据网页图片修改，不注明来源。• 度量衡的有关叙述重点参考吴慧所著《中国古代度量衡通论》（国学

网）• 算筹部分直接参考维基百科 --- 算筹• 卷下的有关叙述参考《中国数学史大系第 4 卷》

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序

• 孫子曰：夫算者，天地之經緯，群生之元首；五常之本末，陰陽之父母；星辰之建號，三光之表裹；五行之準平，四時之終始；萬物之祖宗，六藝之綱紀。稽群倫之聚散，考二氣之降升；推寒暑之迭運，步遠近之殊同；觀天道精微之兆基，察地理從橫之長短；采神祇之所在，極成敗之符驗；窮道德之理，究性命之情。立規矩，準方圓，謹法度，約尺丈，立權衡，平重輕，剖毫釐，析黍絫；歷億載而不朽，施八極而無疆。散之不可勝究，斂之不盈掌握。嚮之者富有餘，背之者貧且窶；心開者幼沖而即悟，意閉者皓首而難精。夫欲學之者必務量能揆己，志在所專。如是則焉有不成者哉。

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序

• 孫子曰：夫算者，天地之經緯，群生之元首；

原来算术和天地万物都有关啊，老天造万物时都是经过计算的呀，所以什么东西都可以算得

。

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序

• 五常之本末，

• 陰陽之父母；

• 父义、母慈、兄友、弟恭、子孝

没想到算术还和道德有关啊。古人真是非常重德，把德列在阴阳前面。算术还是阴阳的父母，所以不懂算术那么其他东西都没法学了。

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序

• 星辰之建號，

• 三光之表裹；

北斗七星就含有数字 7 。现代星星的命名也是用数字编号的，可见孙子早就说到了，不过有的星星也是用人名命名的，孙老祖宗不知道在不在里面。三光就是指日，月，星。不过月亮不发光，只是反光，古人可没有区分这些哟。但是要算到表里却是非常难的，到现在也没

有算好呢。

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序• 五行之準平，四時之終始；

五行和四季当然和数字有关啦。五行的正确推定肯定要算。而要知道四季的开始和结束还要许多知识哦。古人判断四季的方法简直可以说是神了，牛得不得了啊，这里只给了

一个例子，其他的看 24节气的图解吧。

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序• 萬物之祖宗，六藝之綱紀。

礼 乐 射 御 书 算

算术既然是万物的祖宗，当然也是礼乐射御书算六门课的大纲要领。礼 ---相当于今天的政治课。乐 ---音乐课。古代对音乐非常重视，认为可以养性。射 ---军事课，体育课。今天一般人是没有机会了，除非是上军校。御 ---相当于今天考驾照了。书 ---就是写字读书了，相当于文科。不过那个时候应该刻竹板的。算 --- 今天的数学物理课，理科。可见古代德是放在第一位，而算尽管说它非常重要却放在最后一位。不知道为什么呀。这六门课是古代贵族才能上的课，今

天在欧洲的贵族学校也是一样的内容。

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序• 稽群倫之聚散，

• 考二氣之降升；

• 推寒暑之迭運，

•步遠近之殊同；

•觀天道精微之兆基，

•察地理從橫之長短；

• 会算就会分类

• 会观察阴阳二气的升降

• 会推算寒暑的变化

• 会测量远近距离

• 可观天文

• 察地理

四足为兽

二足为禽

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序

•采神祇之所在， 極成敗之符驗；

我知道神仙们都住在哪里，其中一个就在我边上的

徐家汇教堂

成功 失败

failed

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序•窮道德之理， 究性命之情。

•立規矩，準方圓， 謹法度，約尺丈，

你作恶太多，三周内会被双规，判

20 年

这样搞GDP离毁灭不远了

规 矩

你命理缺水，所以火气比较大

根据 DNA 分析，属于细致负责的类型，你做医生还是合

适的

大王有令：1丈 =10尺1尺 =10寸1寸 = 大王的拇指宽

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序•立權衡，平重輕， 剖毫釐，析黍絫；

大王有令：今后秤砣一律以新的标准铜秤砣为准。天平器的砝码也改用新的玉砝码。旧标准的石秤砣和铜砝码作废

权 衡

懂得运算才可以算出毫发那样的粗细，称出一粒米的重量。

黍 shǔ 一年生草本植物，叶线形，

子实淡黄色，去皮后称黄米，比小米稍大，煮熟后有黏性。

絫：音累，重量单位； 1絫 =10黍

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序

•歷億載而不朽， 施八極而無疆。

• 。 俺三千年没烂

吾两千年未倒

偶永远不烂

• 散之不可勝究， 斂之不盈掌握。

比螨虫还小，哪里抓得住呀

？

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序

• 嚮之者富有餘， 背之者貧且窶

• 心開者幼沖而即悟，意閉者皓首而難精。

智叟爷爷，那个 用一次方程就可以算出来的，用不着一次一次试验

我试了三十年还没有成功，这科学探索的路真是长啊

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序

• 夫欲學之者必務量能揆己，志在所專。如是則焉有不成者哉。

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卷上 1---度（长度单位）

• 度之所起，起於忽。欲知其忽，蠶所生，吐絲為忽。十忽為一秒，十秒為一毫，十毫為一釐，十釐為一分，十分為一寸，十寸為一尺，十尺為一丈，十丈為一引；五十尺為一端；四十尺為一疋；六尺為一步。二百四十步為一畝。三百步為一里。

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卷上 1---度（长度单位）• 度之所起，起於忽。欲知其忽，蠶所生，吐絲為忽。

• 1千米 (km)=1000米 (m)=1公里 (km) 1米 (m)=10 分米 (dm)=100厘米 (cm)= 1000毫米 (mm) 1毫米 (mm)=1000微米 (μm) 1微米 (μm)=1000纳米 (nm) 1纳米 (nm)=1000皮米 (pm)=10埃 (A)( 比纳米小的很少用 ) 1皮米 (pm)=1000飞米 (fm)

• 长度最小单

• 位叫忽，就

• 是蚕吐出的

• 丝的粗细。

• 十忽為一秒，十秒為一毫，十毫為一釐，十釐為一分，十分為一寸，十寸為一尺，十尺為一丈，十丈為一引；五十尺為一端；四十尺為一疋；六尺為一步。

二百四十步為一畝。三百步為一里。

• 1 里 =300步 ， 1亩 =240 平方步， 1步=6尺。

• 1端 =50尺， 1匹 =40尺• 1引 =10丈， 1丈 =10尺， 1尺 =10寸

， 1寸 =10 分， 1 分 =10厘， 1厘 =10毫。 1毫 =10秒， 1秒 =10忽

按照 1寸 =2.35厘米，那么 1忽=235纳米， 1步 =1.41米， 1亩=477.1 平方米， 1 里 =423米， 1端 =11.75米， 1匹 =9.4米， 1丈 =2.35米。蚕丝的直径为 11.5微米，正好 50忽。不知道古人是怎么推算蚕丝的直径的。或许蚕刚吐出的丝特别细。不过把最小单位定到比微米还小，太让人吃惊了，要知道现在也刚刚用到纳米。

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卷上 1---度（长度单位）• 古代长度单位不太可能是从忽推起，就像现在长度单位也不是从最小的算起一样。但长度的基准单位到底是怎么定出来的呢？有一个黄帝用黄钟管定长的故事可以解释：

• 相传黄帝命令伶伦制造十二根不同的单音竹管来模拟凤凰的叫声，完成后分成六阳六阴两组，分别命名为“黄钟”、“大吕”等十二律。把能发出黄钟律宫音的那根律管的长度为一尺，取其九寸分九十等分。每段长就是一分。以秬黍排列于律管，九十颗秬黍正好是律管的长度，而律管容量为“量”的标准，也是用同样的秬黍 1200颗，刚好可以填充律管的体积，所以这 1200颗秬黍所占的空间容积就是一龠 (yue) 。重量就是半两。而 1龠为正好也是底为 9 分的正方形，深 1寸的体积（即 810立方分寸）。所以体积和长度的关系也定下来了。不过后来都用黍米来算，可是每个地方的黍米大小不一样，结果各地的尺的长度也不一样。

黄钟大吕 12律

黄钟管

=

=

1200粒 =半两

九十粒并排

长度

体积 =810 分寸

黄帝像

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卷上 1---度（长度单位）• 1 里和 1端： 1 里是按井田

制的要求派生出来的，百步方为田。一块田划成 4块。每块还要分成 6X6个方块。最小方块的边长就是 1端。

• 1亩原来是 100 平方步，但后来在春秋时期赵国改成240 平方步为 1亩，取得了经济上的胜利，在孙子兵法中有专门记述。后来商鞅根据这个事情也把秦国的亩制改成 240 平方步。古人不写方步或平方之类的词让运算和换算容易搞混呀。

• 古人的 1步是指左右各跨一步，所以加起来约 1.4米是正常的。

100步 50步

1端1

里

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卷上 2---量，衡

• 稱之所起，起於黍。十黍為一絫，十絫為一銖，二十四銖為一兩，十六兩為一斤，三十斤為一鉤，四鉤為一石。量之所起，起於粟。六粟為一圭，十圭為一抄，十抄為一撮，十撮為一勺，十勺為一合，十合為一升，十升為一斗，十斗為一斛。斛得六千萬粟。所以得知者，六粟為一圭，十圭六十粟為一抄，十抄六百粟為一撮，十撮六千粟為一勺，十勺六萬粟為一合，十合六十萬粟為一升，十升六百萬粟為一斗，十斗六千萬粟為一斛。十斛六億粟，百斛六兆粟，千斛六京粟，萬斛六陔粟，十萬斛六秭粟，百萬斛六壤粟，千萬斛六溝粟，萬萬斛為一億斛六澗粟，十億斛六正粟，百億斛六載粟。

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卷上 2---称（衡，重量单位）

• 稱之所起，起於黍。

• 十黍為一絫，

• 十絫為一銖，

• 二十四銖為一兩，

• 十六兩為一斤，

• 三十斤為一鉤，

• 四鉤為一石。

• 重量的最小单位就是黍

• 1絫 =10黍 =65.1毫克• 1铢 =10絫 =651毫克• 1两 =24铢 =15.625克• 1斤 =16两 =250克• 1锔 =30斤 =7.5公斤• 1石 =4锔 =120斤 =30公斤

这个铜石权重30.750公斤

这个石权重30.350公斤

明朝和现代有人测过 1200粒黑黍约 7.8克，可见古代传说是真的呀。这样 1黍 =6.51毫克，单位够小的吧，比克拉要小好多呢， 2克拉 =61黍

春秋战国的文物

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卷上 2---称（衡，重量单位）• 为什么要用 16两呢？因为这样最方便。古代最开始就是用天平

来称重的，所以等分是最方便的。另外，分 2次或三次是最少的分法，所以即使多次分，也一定是 3 和 2 的倍数。而大重量单位一定是根据实际需要来定的，或者说，经常用到的重量，例如锔和石。

一分 4 ，再一分 4就得到 16 分之一了。

把小的再一分三，每份再对半分三次，就得到 24 分之一了。

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卷上 2---量（体积单位）• 量之所起，起於粟。

• 六粟為一圭，十圭為一抄，十抄為一撮，十撮為一勺，十勺為一合，十合為一升，十升為一斗，十斗為一斛。

• 容量（或者体积）的最小测量单位是粟。（就是一粒米的大小）

• 1斛 =10斗， 1斗 =10升，1升 =10合， 1合 =10勺，1勺 =10撮， 1撮 =10抄，1抄 =10圭， 1圭 =6粟

用黄钟龠来定义 810立方分寸 (即 1立方寸的 0.81 ）为一龠， 1合就是 2龠 =1.62立方寸， 1升 =16.2立方寸。按 1寸 =2.35cm ， 1升 =16.2x2.353=210.2 cm3(ml). 和出土文物基本一致。（如果认为 202.15ml 是一个准确的数，那么倒推是 1寸 =2.32cm 。但文物的体积经过那么多年是否有变化是很难判断的，而根据书面记载的数字来推算应该不会有很大偏差吧 ). 不过合以下的单位和黄钟龠有些不一致，好像小了很多。算下来 1粟 =3.5x10-6ml.,相当于 1.52微米为边长的小方块，大概和细菌的大小差不多。大约 5忽。两者在数量级上倒是一致的。让人吃惊啊！

出土的商鞅铜方升202.15毫升 方升自铭16.2立方寸为一升

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卷上 2---量的单位换算

• 斛得六千萬粟。所以得知者，六粟為一圭，十圭六十粟為一抄，十抄六百粟為一撮，十撮六千粟為一勺，十勺六萬粟為一合，十合六十萬粟為一升，十升六百萬粟為一斗，十斗六千萬粟為一斛。十斛六億粟，百斛六兆粟，千斛六京粟，萬斛六陔粟，十萬斛六秭粟，百萬斛六壤粟，千萬斛六溝粟，萬萬斛為一億斛六澗粟，十億斛六正粟，百億斛六載粟。

这里就是一堆大数换算，但奇怪的是，大数换算在后面才提及，不知道为什么在这里先说上了，好像次序不对哎。

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卷上 3---大数命名法

• 凡大數之法，萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京，萬萬京曰陔，萬萬陔曰秭，萬萬秭曰壤，萬萬壤曰溝，萬萬溝曰澗，萬萬澗日正，萬萬正曰載。

• 亿 ---108

• 兆 ---1016（这个名称让人争议不断

）• 京 ---1024

• 陔 gai---田埂 1032

• 秭 zi---1040

• 壤 ---柔土也 1048 • 溝 ---流水道 1056

• 澗 ---山夹水也 1064

• 正 ---1072

• 载 ---1080

古人对大数的定义让人有些吃惊，一般来说是用不到这么大的数，可是如果按照前面算米粒多少的话，这些大数真的有用了。当然这些大数的称谓现在不用了。因为按照古代人的说法，这些个大数有 4类用法，这里取的是中法。如果继续采用，可能后人又要糊涂了。详见维基百科 http://zh.wikipedia.org/wiki/中文数字

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卷上 4---方和圆• 周三徑一。• 方五邪七；見邪求方，五之，七而

一；見方求邪，七之，五而一。

• 圆的周长是 3，那么它的直径就是1

• 正方形的边长是 5，那么它的对角线（斜边）就是 7.如果知道对角线的长度 c，要求正方形的边长 a，就先把 c乘以 5，再取其 7分之一，即 a=5c/7。如果知道 a，要求c，就先乘以 7，再取其 5分之一，即 a=7c/5

古代对圆周率的计算一直很粗糙，如果按周三径一，误差为 5% 。但是，正方形的斜边求法却只有不到1% 的误差，绝对是一个可以实用的算法。而如果在这个邪 7 的直径上画个圆，周长就是 22 ，就是祖冲之后来算出来的约率（误差为

0.04%！），而阿基米德却发现了这个数字，古人真是到嘴边的肉没有吃，而且因为圆周率的问题，很多计算都不准确，让人扼腕叹息啊

！

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卷上 4---方和圆

古人一定知道那根对角线比 7 大。因为周髀算经已经画出左图，可以清楚地看到两者的差异，但是，古人又是如何知道可以如此近似呢？后面的开方法或许可以解释

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卷上 5---比重•

黄金方寸

重一斤

•白金方寸

重一十四

两

•

玉方寸重

一十二两

•

铜方寸重

七两半

•

铅方寸重

九两半

•

铁方寸重

六两

•

石方寸重

三两

这里说的是比重，但奇怪的是后面从来没有用到这些比重表。更让人惊奇的是这个比重表里的大多数和现代的数据非常吻合。可是古代最常用的玉和石头却不对，而白金到底是什么也不得而知。但就对的而言，古人用什么方法测得的好像还是一个谜。传说姜子牙最早公布黄金的比重。 1寸 =2.35CM ，

1斤 =16两 =250克

据说这是人类最早的比重记录，外星人给的数据？

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卷上 6---算筹基本知识• 凡筭之法，先識其位，一從

十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。

• 要学会算筹的算法，先认好位数。（个十百千万）。个位的算筹是竖的，十位上算筹是横放的，百位是立着的，千位是躺着的。千位和十位是隔位相望，万位和百位也是一样竖着，中间隔一位。

这可是世界上最早的十进制定义，在那个年代是先进的不得了的事，据说印度人也是从我们这里学了十进制回去后才大力发展了他们的数学，以至后来国际上认为十进制是印度人

发明的。

这是出土的汉代算筹，很像筷子吧

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算筹基本知识 ---摆法• 算筹分两种摆法，竖式和横式，根据位数的不同采用不同的方

法。如果数字比 5 大，就用一个和原来方向垂直的算筹来代表，就像算盘里的上档珠一样。这样就省得数算筹了。零用空位表示。这些是了不起的发明哟。

• 不知道为什么《孙子算经》没有讲加法和减法，但在乘法和除法中提到。可是一点也不知道的话又如何理解呢，所以这里先把这个基础先补上。

竖式

横式

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算筹基本知识 ---加法• 算筹本身已经包含加法，因此用算筹进行加法运算十分方便快捷。

• 右图表示 3748＋ 289 的运筹步骤：

• 1 ） .将被加数 3748放第一行，加数 289放第二行。 2 ）将上行个位数 8取出一竖棍，与下行 9合并为 10 ，进位，原来十位 4变为 5 。 3 ）从上行十位的 5 ，取出二根筹棍，与下行 8合为 10 ，进位 1 ，与百位的 7合为 8 。 4 ）将百位数的 8与 2合为 10 ，进位 1 ，与千位的 3合为 4 ，即成答案 4037 。

• 上行被加数筹码，在运算过程中逐步变化；下行加数筹码，在运算过程中逐步消失。（摘自维基百科 --- 筹算）

在后面解释乘法规则时，有几句话专门是针对加法的，例如，言十即過，不滿自如。六不積，五不隻

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算筹基本知识 ---减法• 首先还是要对位。• 不需向上一数量级借位的情况下，只要从被减数中去掉与减数相同数目的筹棍，剩余的筹码就是答案。

• 图为计算 4231-789 的演示步骤，此情况即为需要向上一数量级借位：

1 ）将被减数 4231放在上行，减数 789放下行。从左往右逐位运筹。

2 ）从千位借 1 为百位 10 ，减去下行该位的 7 ，余数 3与上行 2合为 5 ，下行本位的 7被取去，留空白。

3 ）从百位 5借 1留 4 ，百位所借 1减十位下行 8 得 2 ，与上行 3合为 5 ；至此上行筹码为 3451 ，下行为9 。

4 ）从上行十位的 5借 1余四，所借 1 （ =10 ）减去下行9 得 1 ，搬往上行得 2 ，至此下行筹码已全部减除，上行得 3442即是运算结果。 摘自维基百科

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卷上 7---算筹的乘法规则• 凡乘之法，重置其位。上下相觀，上位有十步至十，有百步至百，有千步至千。

• 以上命下，所得之數列於中位。

• 言十即過，不滿自如。• 上位乘訖者先去之。下位乘訖

者則俱退之。

• 六不積，五不隻。

• 上下相乘，至盡則已。

• 要做乘法的话，就要重新摆位置。一个放在上面一行，一个放在下面一行和上面对应，上面的数如果是有十位的，（即两位数），那下面的数（的个位）就要移到十位，上面的数有百位的（即三位数），下面的数（的个位）就要移到百位。上面的数有千位的话，下面的数（的个位）就要移到千位。以此类推。

• 用上面的一个数和下面的数相乘，得数列在中间那排。

• 如果某位相加数满十，算筹就要过到前一位。如果没有满十，就在原位。

• 上面乘完的数先拿掉，下面乘完的数就全部退一位 (即向右移一位）

• 如果某位上的数相加变成六（或更多），就不要积在那里，要换成那种一个代表 5 的算筹的形式。但只有 5个算筹时不可以换成单只代表 5 的算筹。

• 按照这个规律上面的数一个一个依次和下面相乘，直到乘完为止。

这个乘法的规则写得太精炼了，看几遍也不一定明白其中的意思。下面有例题，等说完例题就彻底明白了。不过这个乘法规则可是非常先进和合理。从高位先乘，是很多数学家建议的，可是现在实用时有些难。没想到古人却是上来就这么做。另外，移位的办法和现在的电脑

方法一样哦。如果要编乘法的程序，按照这个规则就可以了。

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算筹乘法的演示

重置其位上下相觀

以上命下

上位乘訖者先去之

•下位乘訖者則俱退之。

上

中

下

所得之數列於中位

上下相乘，至盡則已。

按任意键开始演示，进行中不要按键，按键即终止

start end

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卷上 8---算筹的除法规则• 凡除之法，與乘正異。乘得

在中央，除得在上方。

• 假令六為法，百為實。

• 以六除百，當進之二等，令在正百下，以六除一，則法多而實少，不可除，故當退就十位。

• 以法除實，言一六而折百為四十 (七 ) ，故可除。

• 若實多法少，自當百之，不當復退。故或步法十者置於十位，百者置於百位。上位有空絕者，法退二位。餘法皆如乘時。實有餘者，以法命之，以法為母。實餘為子。

• 除法和乘法正好不一样。乘法的得数在当中一行，除法的得数在上面一行

• 假定除数（法）是 6 ，被除数（实）是100.

• 以 6除 100 ，应该进位两位（即左移两位），在百位的下面。以 6除 1 ，除数（法）大，被除数（实）小，不可除。所以就要退到十位。

• 以除数（法）除被除数（实），一六得六减 100 还剩 40 ，所以可以除。

• 如果被除数（实）大而除数（法）小，自然就应当放在百位，不应当再退位。得数跟着除数（法）的位置，如果在十位上，得数就在十位上，如果它在百位上，得数就在百位上。如果上面的被除数有空位（即零）的话，除数就要退两位。剩下的都和乘法一样。如果被除数有余数，就以除数（法）来命名，以除数（法）为分母，余数为分子。

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卷上 8---算筹的除法例题

得数的整数部分就是上面一行 16

这里是分子

这里是分母

12

3

得数的分数部分 4/6

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卷上 9---出米率的换算• 以粟求糲米，三之，五而一。

• 以糲米求粟，五之，三而一。

• 以糲米求飯，五之，二而一。

• 以粟米求糲飯，六之，四而一。

• 以糲飯求糲米，二之，五而一。

• 以绺米求飯，八之，四而一。

• 算谷子可以出多少粗米，先乘3 ，再取 5 分之一。（即 60%出米率）

• 以粗米量算需要多少谷子，先乘 5 ，再取 3 分之一。（即倒算）

• 以粗米量算出多少饭，乘 5 ，除 2. （即出饭率是 2.5倍）

• 以谷子算出多少粗米饭，乘6 ，除 4.

• 以粗米饭量算要多少粗米，乘2 ，除 5.

• 以精米量算出饭量，乘 8 ，除4 （即出饭率是 2倍）

粟：谷子。粝：粗糙的米。 奇怪的算法，为什么不简化呢？后面明明有约分的呀。看来不是孙子的原作，可能是谁塞了私货在里面

。

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卷上 9---出米率的换算

粟 (谷子）粗米

饭精米

3/5

5/3

5/2

6/4

2/5

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孙子算经第一部分39/55

卷上 10,11,12,13,14,15---几分之几分数表

• 十分減一者，以二乘，二十除。

• 減二者，以四乘，二十除。減三者，以六乘，二十除。減四者，以八乘，二十除。減五者，以十乘，二十除。減六者，以十二乘，二十除。減七者，以十四乘，二十除。減八者，以十六乘，二十除。減九者，以十八乘，二十除。

• 1/10=2÷20• 2/10=4÷20• 3/10=6÷20• 4/10=8÷20• 5/10=10÷20• 6/10=12÷20• 7/10=14÷20• 8/10=16÷20• 9/10=18÷20

• 九分減一者，以二乘，十八除。• 八分減一者，以二乘，十六除。• 七分減一者，以二乘，十四除。• 六分減一者，以二乘，十二除。• 五分減一者，以二乘，十除。

• 1/9=2÷18• 1/8=2÷16• 1/7=2÷14• 1/6=2÷12• 1/5=2÷10

不太理解为什么要理出这样的表，应该倒过来还有些用，按理乘法和除法做的次数越少越容易，为什么这里反而要增加呢？

孙子算经第一部分40/55

卷上 16---算筹乘法示例• 九九八十一，自相乘，得幾何？答曰：六千五百六十一。術曰：重置其位，以上八呼下八，八八六十四，即下六千四百於中位。以上八呼下一，一八如八，即於中位下八十。退下位一等，收上位八十。以上位一呼下八，一八如八，即於中位下八十。以上一呼下一，一一如一，即於中位下一。上下位俱收，中位即得六千五百六十一。

看得懂吗？要是不清楚的话，看后面的演示。

孙子算经第一部分41/55

81x81 的动画演示

重置其位

以上八呼下八八八六十四，即下六千四百於中位以上八呼下一一八如八，即於中位下八十

退下位一等

收上位八十

以上位一呼下八

一八如八，即於中位下八十以上一呼下一一一如一，即於中位下一

上下位俱收

中位即得六千五百六十一。

言十即過六不積五不隻上

中

下

start end

按任意键开始演示，进行中不要按键，按键即终止

孙子算经第一部分42/55

卷上 17---算筹除法示例

• 六千五百六十一，九人分之，問人得幾何？答曰：七百二十九。術曰：先置六千五百六十一於中位，為實。下列九人為法。上位置七百，以上七呼下九，七九六十三，即除中位六千三百。退下位一等，即上位置二十。以上二呼下九，二九十八，即除中位一百八十。又更退下位一等，即上位更置九，即以上九呼下九，九九八十一，即除中位八十一。中位邬盡，收下位。上位所得即人之所得。自八八六十四至一一如一，邬準此。

孙子算经第一部分43/55

算筹除法示例演示

先置六千五百六十一於中位，為實

下列九人為法

上位置七百 以上七呼下九

七九六十三，即除中位六千三百退下位一等

即上位置二十

以上二呼下九二九十八，即除中位一百八十

又更退下位一等

即上位更置九

即以上九呼下九九九八十一，即除中位八十一

中位邬盡，收下位

上位所得即人之所得

按任意键开始演示，进行中不要按键，按键即终止

start end

孙子算经第一部分44/55

卷上 18,19,20,21---乘法表9（ 1）

• 八九七十二，自相乘，得五千一百八十四。八人分之，人得六百四十八五。

• 七九六十三，自相乘，得三千九百六十九。七人分之，人得五百六十七五。

• 六九五十四，自相乘，得二千九百一十六。六人分之，人得四百八十六。

• 五九四十五，自相乘，得二千二十五。五人分之，人得四百五。

• 四九三十六，自相乘，得一千二百九十六。四人分之，人得三百二十四。

• 8x9=72,72x72=5184,5184÷8=648

• 7x9=63,63x63=3969,3969÷7=576

• 6x9=54,54x54=2916 2916÷6=486

• 5x9=45,45x45=2025 2025÷5=405

• 4x9=36,35x36=1296 1296÷4=324

孙子算经第一部分45/55

卷上 22,23,24---乘法表9（ 2）

• 卷上 : 三九二十七，自相乘，得七百二十九。三人分之，人得二百四十三。

• 卷上 :二九一十八，自相乘，得三百二十四。二人分之，人得一百六十二。

• 一九如九，自相乘，得八十一。一人得八十一。右九九一條，得四百五，自相乘，得一十六萬四千二十五。九人分之，人得二萬八千二百二十五。

• 3x9=27,27x27=729 729÷3=243

• 2x9=18,18x18=324 324÷2=162

• 1x9=9,9x9=81,81÷1=81, 9x9+9x8+9x7+9x6+9x5+9x4+9x3+9x2+9x1=405,405x405=164025,164025÷9=12225( 不知道是否是印错了？）

孙子算经第一部分46/55

卷上 25,26,27,28,29,30,31,32---乘法表 8

• 八八六十四，自相乘，得四千九十六。八人分之，人得五百十二。

• 卷上 :七八五十六，自相乘，得三千一百三十六。七人分之，人得四百四十八。

• 卷上 : 六八四十八，自相乘，得二千三百四。六人分之，人得三百八十四。

• 卷上 : 五八四十，自相乘，得一千六百。五人分之，人得三百二十。

• 卷上 : 四八三十二，自相乘，得一千二十四。四人分之，人得二百五十六。

• 卷上 : 三八二十四，自相乘，得五百七十六。三人分之，人得一百九十二。

• 卷上 :二八十六，自相乘，得二百五十六。二人分之，人得一百二十八。

• 一八如八，自相乘，得六十四。一人得六十四。右八八一條，得二百八十八，自相乘，得八萬二千九百四十四。八人分之，人得一萬三百六十八。

• 8x8=64,64x64=409 ,4096÷8=512

• 7x8=56,56x56=3136,3136÷7=448

• 6x8=48,48x48=2304,2304÷6=384

• 5x8=40,40x40=1600,1600÷5=320

• 4x8=32,32x32=1024,1024÷4=256

• 3x8=24,24x24=576.576÷3=192

• 2x8=16,16x16=256,256÷2=128

• 1x8=8,8x8=64,64÷1=64,8x8+8x7+8x6+8x5+8x4+8x3+8x2+8x1=288,288x288=82944,82944÷8=10368

孙子算经第一部分47/55

卷上 33,34,35,36,37,38,39---乘法表 7

• 33 卷上 :七七四十九，自相乘，得二千四百一。七人分之，人得三百四十三。

• 34 卷上 : 六七四十二，自相乘，得一千七百六十四。六人分之，人得二百九十四。

• 35 卷上 : 五七三十五，自相乘，得一千二百二十五。五人分之，人得二百四十五。

• 36 卷上 : 四七二十八，自相乘，得七百八十四。四人分之，人得一百九十六。

• 37 卷上 : 三七二十一，自相乘，得四百四十一。三人分之，人得一百四十七。

• 38 卷上 :二七十四，自相乘，得一百九十六。二人分之，人得九十八。

• 39 卷上 : 一七如七，自相乘，得四十九。一人得四十九。右七七一條，得一百九十六，自相乘，得三萬八千四百一十六。七人分之，人得五千四百八十八。

• 7x7=49,49x49=2401,2401÷7=343

• 6x7=42,42x42=1764,1764÷6=294

• 5x7=35,35x35=1225,1225÷5=245

• 4x7=28,28x28=784,784÷4=196

• 3x7=21,21x21=441,441÷3=147

• 2x7=14,14x14=196,196÷2=98

• 1x7=7,7x7=49,7x7+7x6+7x5+7x4+7x3+7x2+7x1=196,196x196=38416,38416÷7=5488

孙子算经第一部分48/55

卷上 40,41,42,43,44,45---乘法表6

• 40 卷上 : 六六三十六，自相乘，得一千二百九十六。六人分之，人得二百一十六。

• 41 卷上 : 五六三十，自相乘，得九百。五人分之，人得一百八十。

• 42 卷上 : 四六二十四，自相乘，得五百七十六。四人分之，人得一百四十四。

• 43 卷上 : 三六一十八，自相乘，得三百二十四。三人分之，人得一百八。

• 44 卷上 :二六一十二，自相乘，得一百四十四。二人分之，人得七十二。

• 45 卷上 : 一六如六，自相乘，得三十六。一人得三十六。右六六一條，得一百二十六，自相乘，得一萬五千八百七十六。六人分之，人得二千六百四十六。

• 6x6=36,36x36=1296,1296÷6=216

• 5x6=30,30x30=900,900÷5=180

• 4x6=24,24x24=576,576÷4=144

• 3x6=18,18x18=324,324÷3=108

• 2x6=12,12x12=144,144÷2=72

• 1x6=6,6x6=36,6x6+6x5+6x4+6x3+6x2+6x1=126,126x126=15876,15876÷6=2646

孙子算经第一部分49/55

卷上 46,47,48,49,50---乘法表5

• 46 卷上 : 五五二十五，自相乘，得六百二十五。五人分之，人得一百二十五。

• 47 卷上 : 四五二十，自相乘，得四百。四人分之，人得一百。

• 48 卷上 : 三五一十五，自相乘，得二百二十五。三人分之，人得七十五。

• 49 卷上 :二五一十，自相乘，得一百。二人分之，人得五十。

• 50 卷上 : 一五如五，自相乘，得二十五。一人得二十五。右五五一條，得七十五，自相乘，得五千六百二十五。五人分之，人得一千一百二十五。

• 5x5=25,25x25=625,625÷5=125

• 4x5=20,20x20=400,400÷4=100

• 3x5=15.15x15=225,225÷3=75

• 2x5=10,10x10=100,100÷2=50

• 1x5=5,5x5=25,25÷1=25,5x5+5x4+5x3+5x2+5x1=75,75x75=5625,5625÷5=1125

孙子算经第一部分50/55

卷上 51,52,53,54---乘法表 4

• 51 卷上 : 四四一十六，自相乘，得二百五十六。四人分之，人得六十四。

• 52 卷上 : 三四一十二，自相乘，得一百四十四。三人分之，人得四十八。

• 53 卷上 :二四如八，自相乘，得六十四。二人分之，人得三十二。

• 54 卷上 : 一四如四，自相乘，得一十六。一人得一十六。右四四一條，得四十，自相乘，得一千六百。四人分之，人得四百。

• 4x4=16,16x16=256,256÷4=64

• 3x4=12,12x12=144,144÷3=48

• 2x4=8,8x8=64,64÷2=32

• 1x4=4,4x4=16,4x4+4x3+4x2+4x1=40,40x40=1600,1600÷4=400

孙子算经第一部分51/55

卷上 55,56,57,58,59,60---乘法表 3， 2， 1

• 55 卷上 : 三三如九，自相乘，得八十一。三人分之，人得二十七。

• 56 卷上 :二三如六，自相乘，得三十六。二人分之，人得一十八。

• 57 卷上 : 一三如三，自相乘，得九。一人得九。右三三一條，得一十八，自相乘，得三百二十四。三人分之，人得一百八。

• 58 卷上 :二二如四，自相乘，得一十六。二人分之，人得八。

• 59 卷上 : 一二如二，自相乘，得四。一人得四。右二二一條，得六，自相乘，得三十六。二人分之，人得十八。

• 60 卷上 : 一一如一，自相乘，得一。一乘不長。右從九九至一一，總成一千一百五十五，自相乘，得一百十三萬四千二十五。九人分之，人得一十四萬八千二百二十五。

• 3x3=9,9x9=81.81÷3=27• 2x3=6,6x6=36,36÷2=18• 1x3=3,3x3=9,3x3+3x2+3x

1=18,18x18=324,324÷3=108

• 2x2=4,4x4=16,16÷2=8• 1x2=2,2x2=4,4÷1=4,2x2+

2x1=6,6x6=36 ， 36÷2=18

• 1x1=1,1x1=1,1÷1=1,1x1=1 9x(1+2+3+4+56+7+8+9)+8x(8+7+6+5+4+3+2+1)+7x(7+6+5+4+3+2+1)+6x(6+5+4+3+2+1)+5x(5+4+3+2+1)+4x(4+3+2+1)+3x(3+2+1)+2x(2+1)+1x1=1155,1155x1155=1334025,1334025÷9=148225

孙子算经第一部分52/55

卷上 ---乘法表• 前面的东西读起来可能很枯燥，但仔细分析一下，就知道这是一个超级乘法口诀表，祖先不仅给我们写好了九九乘法表 mxn ，还写好了 (mxn)2, mxn2,每列结束，还奉上 n∑n, (n∑n)2, n(∑n)2.真是细致入微呀。如果真是背下这个超级乘法表，那么运算能力应该非常惊人了。后面是一张汇总图。

• 乘法和除法都没有交代万一最后一位是零（即空位）如何处理。因为把原来的算筹收掉的话，就没有办法辨认最后一位了。万一后面是 2个 0 ，不是会搞错吗？但是乘法表中是有这个案例的，可能古代的老师会当堂说吧。

孙子算经第一部分53/55

卷上 ---乘法表

孙子算经第一部分54/55

卷上 61,62,63,64,65,66,67---乘法表 9x12及 3倍（ 1）

• 61 卷上 : 以九乘一十二，得一百八。六人分之，人得一十八。

• 以二十七乘三十六，得九百七十二。一十八人分之，人得五十四。

• 63 卷上 : 以八十一乘一百八，得八千七百四十八。五十四人分之，人得一百六十二。

• 64 卷上 : 以二百四十三乘三百二十四，得七萬八千七百三十二。一百六十二人分之，人得四百八十六。

• 65 卷上 : 以七百二十九乘九百七十二，得七十萬八千五百八十八。四百八十六人分之，人得一千四百五十八。

• 66 卷上 : 以二千一百八十七乘二千九百一十六，得六百三十七萬七千二百九十二。一千四百五十八人分之，人得四千三百七十四。

• 67 卷上 : 以六千五百六十一乘八千七百四十八，得五千七百三十九萬五千六百二十八。四千三百七十四人分之，人得一萬三千一百二十二。

• 9x12=108,108÷6=18• 27x36=972, 972÷18=54• 81x108=8784, 8784÷54=162• 243x324=78732, 78732÷162=486• 729x972=708588, 708588÷486=1458• 2187x2916=6377292 ，

6377292÷1485=4374• 6561x8748=57395628,

57395628÷4374=13122

孙子算经第一部分55/55

卷上 68,69,70,71---乘法表 9x12及 3倍（ 2）

• 68 卷上 : 以一萬九千六百八十三乘二萬六千二百四十四，得五億一千六百五十六萬六百五十二。一萬三千一百二十二人分之，人得三萬九千三百六十六。

• 69 卷上 : 以五萬九千四十九乘七萬八千七百三十二，得四十六億四千九百四萬五千八百六十八。三萬九千三百六十六人分之，人得一十一萬八千九十八。

• 70 卷上 : 以一十七萬七千一百四十七乘二十三萬六千一百九十六，得四百一十八億四千一百四十一萬二千八百一十二。一十一萬八千九十八人分之，人得三十五萬四千二百九十四。

• 71 卷上 : 以五十三萬一千四百四十一乘七十萬八千五百八十八，得三千七百六十五億七千二百七十一萬五千三百八。三十五萬四千二百九十四人分之，人得一百六萬二千八百八十二。

• 19683x26244=516560652, • 516560652÷13122=39366

• 59049x78732=4649045868, • 4649045868÷39366=118098

• 177147x236196=41841412812, • 41841412812÷118098=358294

• 531441x708588=375672715308, • 375672715308÷358294=1062882