C4 不可压缩粘性流体外流C4.1 引言

C4 不可压缩粘性流体外流

流动特点流动特点

N-S 方程N-S 方程

研究方法研究方法解析法解析法

自由湍流射流自由湍流射流大气边界层大气边界层

交通工具交通工具

应 用应 用

动量积分方程动量积分方程

壁面流动壁面流动

实 验实 验数值法数值法

分 离分 离贴 壁贴 壁

外 层外 层分 区分 区

内 层内 层

建筑物绕流建筑物绕流阻力问题阻力问题

动力响应动力响应

生态环境生态环境

边界层分离边界层分离 形状阻力形状阻力

势 流势 流

边界层边界层

速度分布速度分布 摩擦阻力摩擦阻力

尾流区尾流区 形状阻力形状阻力

边界层方程边界层方程摩擦阻力摩擦阻力

C4.2 边界层概念例 1：空气运动粘度 51 4 10 2. m s

65

22 1 52 4 10

1 4 10

Vh .Re .

.

大 Re 数流动是常见现象 .

1. 边界层很薄

C4 不可压缩粘性流体外流

设汽车 1 5 80 22h . m , V km h m s

例 2：水运动粘度 61 10 2 m s

76

108.2101

108.2Re

Vl

设船 10 10 2 8l m , V km h . m s

C4.2.1 边界层特点

普朗特理论：边界层内惯性力与粘性力量级相等。

C4.2.1 边界层特点

当 610 , 0 001Re l .

2

2

~y

u

x

uu

2

2

~ U

l

U

Ull

~2

2

Re

1 ~

l

2. 边界层厚度增长

Uxx

x

~)(

2

2

3. 边界层内流态 实验测量表明边界层内层流态向湍流态转捩的雷诺数为

53 2 10xcrRe .

x( x ) ~

U

1. 名义厚度 δ C4.2.2 边界层厚度

定义为速度达到外流速度 99% 的厚度。

C4.2 边界层概念

2. 位移厚度 δ*

U

x

0.5

对平板层流边界层

将由于不滑移条件造成的质量亏损折算成无粘性流体的流量相应的厚度 δ* 。又称为质量流量亏损厚度

01 d* u

( ) yU

C4.2.2 边界层厚度

将由于不滑移条件造成的动量流量亏损折算成无粘性流体的动量流量相应的厚度 θ 。

3. 动量厚度 θ

• 动量厚度 < 位移厚度

1 d0

u u( ) y

U U

[ 例 C4.2.2] 边界层位移厚度与动量厚度

上式中 y为垂直坐标， δ为边界层名义厚度。

已知 : 设边界层内速度分布为

yU

yy

Usinyu 2)(

求： (1) 位移厚度 δ* ;(2) 动量厚度 θ.( 均用 δ表示 )

2

0 0 0

2(1 )d sin 1 sin )d (sin sin )d( )

2 2 2 2

u u y y y y yy ( y

U U 2

-

0 0

2 2 1 1 2 2 2 1(-cos ( sin ) ( ) 0.1366

2 2 2 4 4 2

y y y)

(2) 按动量厚度的定义

(1) 按位移厚度的定义

00 0

2 y 2(1 )d (1 )d ( cos 0 363

2 2* u y

y sin y y ) .U

- -

解：按速度分布式 ,u(0) = 0 ,u(δ)=U , 符合边界层流动特点。

用 B5.4 中的方程分析法可得一般二维流动无量纲方程组C4.3 平板层流边界层精确解

忽略第二方程最后一项、第三方程除压强项的其他项 。

C4 不可压缩粘性流体外流

0*

*

*

*

y

v

x

u

)(Re

12*

*2

2*

*2

*

*

*

**

*

**

y

u

x

u

x

pEu

y

uv

x

uu

)(Re

12*

*2

2*

*2

*

*

*

**

*

**

y

v

x

v

y

pEu

y

vv

x

vu

设 , * * *y v ~ * l , 在边界层内 *2 2 , , 1 1 , Eu 1* * *x u , p ~ ,Re ~ ~0

, , , .* * * * *u v x y pu , v x y p

U U l l p 式中

1 1

2*1

11 11 1** 1

2*

1* *1 *11 * *

1

2*

可得普朗特边界层方程组C4.3 平板层流边界层精确解

① 第三式表明边界层内 y 方向压强梯度为零，说明外部压强可穿透边界层直接作用在平板上。外部压强由势流决定

0

1

0

2

2

y

p

y

u

x

p

y

uv

x

uu

y

v

x

u

② 第二式右边得到简化（ x方向二阶偏导数消失），有利于数值计算。利用该方程就可计算壁切应力和流动阻力，具有里程碑式意义。

说明：

d d

d d

p UU

x x

C4.3.2 布拉修斯平板边界层精确解

边界条件

普朗特边界层方程可化为布拉修斯方程：

' uf

U

用无量纲流函数 表示速度分量 u, v, 如

f

布拉修斯利用相似性解法，引入无量纲坐标：

x

Uy

y

02 ''''' fff

0,0 ' ff

1', f

由数值解绘制的无量纲速度廓线与尼古拉兹实验测量结果吻合。

对布拉修斯方程较精确的求解结果列于附录 E 表 FE1 中

并按速度分布式可分别求得：

U

x

0.5边界层名义厚度

理论结果与实验测量结果一致

0 99'

.f 按边界层名义厚度 定义，取

得 5 0.

壁面切应力

xUUw

332.0

壁面摩擦系数

2

0 66412

wf

x

.

Uc

Re

C4.3.2 布拉修斯平板边界层精确解

C4.4 边界层动量积分方程 对平板边界层前部取控制体 OABC,AB 为一条流线，压强梯度为零，壁面上粘性切应力合力为 FD

θ 为动量厚度，对 FD 求导可得

由动量方程

由连续性方程

0 0d d

uu y Uh,h y

U

0 0 0d d d

h x

D wuu y UU y F x

2 2 2

0 0d 1 dD

u uF U h uu y U y U

U U

2d d

d dD

w

FU

x x

称为卡门动量积分方程，适用于无压强梯度的平板定常层流和湍流边界层流动

用壁面摩擦系数表示d

2dfC

x

当有压强梯度存在时，方程形式为

2d d

d d*

w

U UU

x x

为位移厚度*

动量积分方程的特点是建立了阻力与动量厚度（及位移厚度）的关系。由于动量厚度是速度的二次表达式 的积分，对速度廓线形状不很敏感，可用近似的速度廓线代替准确的速度廓线，使计算大为简化。

C4.4 边界层动量积分方程

C4.5.1 平板层流边界层C4.5 无压强梯度平板边界层近似计算

设边界层纵向坐标 10/ y

速度分布式为 gU

u

速度分布满足条件 11,00 gg

1

0 01 d 1 d

u uy g g

U U

1

01 dg g

壁面切应力 0 0

dd

d dw y

Ugu U| |

y

0'g

代入动量方程后可得

C4.5.1 平板层流边界层

x

fCRe

2

l

DD

lbU

FC

Re

8

21 2

上式中 FD 是平板总阻力， l

Ul Re

。

表达式中比例因子不同。 , 上述几式表明不同速度分布具有不同的 值，使 f D,C ,C

d dxU

xx Re

12

积分可得

C4.5.2 平板湍流边界层C4.5 无压强梯度平板边界层近似计算

将光滑圆管湍流的结果移植到光滑平板上，速度分布用 1/7指数式，壁面切应力采用布拉修斯公式。取 δ=R=d/2, 由无压强梯度平板边界层动量积分方程可得（与层流边界层对照）

5

0 382

x

.

x Re

5 0

x

.

x Re

4 5x 1 2x

5

0 0593f

x

.C

Re

0 664f

x

.C

Re

5

0 074Df

l

.C

Re

1 328Df

l

.C

Re

湍流边界层 层流边界层

边界层厚度

壁面摩擦系数

摩擦阻力系数

边界层分离：边界层脱离壁面C4.6 边界层分离

2. 分离的原因 — 粘性

圆柱后部：猫眼1. 分离现象

在顺压梯度区（ BC) ：流体加速 在逆压梯度区（ CE) ： CS段减

速 S 点停止 SE段倒流。

3. 分离的条件 — 逆压梯度4. 分离的实际发生 — 微团滞止和倒流

2. 分离实例

从静止开始边界层发展情况扩张管

（上壁有抽吸）

C4.6 边界层分离

C4.7 绕流物体的阻力C4.7 绕流物体的阻力C4.7.1 摩擦阻力与形状阻力

CD=CDf+CDp

1. 摩擦阻力特点1) 阻力系数强烈地依赖于雷诺数；

2. 形状阻力物体形状→后部逆压梯度→压强分布→压强合力用实验方法确定形状阻力→阻力曲线

2) 对相同雷诺数，层流态的阻力明显低于湍流态；

4) 摩擦阻力与壁面面积成正比。

3) 对湍流边界层，光滑壁面的阻力最小，粗糙度增加使阻力系数增大；

C4.7 绕流物体的阻力

C4.7.2 圆柱绕流与卡门涡街

1. 圆柱表面压强系数分布

2. 阻力系数随 Re 数的变化

DC f Re

C4.7.2 圆柱绕流与卡门涡街

5 ） 5 65 10 3 10Re

6 ） 63 10Re

1 ） 1Re （图(a) ）

2 ） 1 500Re

（图 (b)(c) ）

3 ） 5500 2 10Re

（图(d) ）

4 ） 5 52 10 5 10Re

（图(e) ）

C4.7.2 圆柱绕流与卡门涡街

3. 卡门涡街

1 ）定义：在圆柱绕流中， 涡旋从圆柱上交替脱 落，在下游形成有一 定规则，交叉排列的 涡列。2 ） Re范围： 60-5000

3 ） Sr （斯特劳哈尔）数： 19 70 198 1

fd .Sr .

U Re

C4.7 绕流物体的阻力

C4.7.3 不同形状物体的阻力系数1. 二维钝体

（ 1 ）光滑圆球阻力曲线Re<<1 时 24DC Re , 3DF dU

（ 2 ）粗糙圆球阻力曲线

4. 钝体绕体阻力特点：(1) 头部形状

5. 流线型体

2. 三维钝体3. 圆球：

(2) 后部形状(3) 物体长度(4) 表面粗糙度

C4.7 绕流物体的阻力

C4.7.3 不同形状物体的阻力系数

光滑圆球阻力曲线 粗糙圆球阻力曲线