第四章不定积分

第四章不定积分不定积分概念与性质

换元积分法

分部积分法

几种特殊类型函数的积分

积分表的使用（略）

不定积分第二节换元积分法

把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法—换元积分法

引：

)(]][[)]([)()]([

,)()]([)()]([)]([

)(),(

)()(

)()(),()(

xuduufCxFdxxxf

dxxxfdxxxFxdF

xxu

CuFduuf

ufuFuFuf

此即存在时，有则当又若

，从而即具有原函数设

一、第一类换元法

定理1 ：

)(]][[)()]([

,)()(

xuduufdxxxf

xuuf

换元公式

则有可导具有原函数，设

含义：

易于求出欲求令转化

duufdxxxfdxxgxu

)()()]([)()(

.|

,41

44

4

4

CeCeduedxe

dxduxudxe

xxu

uux

x

则

中，令）再观察：（

.35106

1

|106

1

10

1)35(

,1035,)35()2(

62

35

6552

252

2

Cx

Cuduudxxx

xdxduxuxdxx

xu

）（

则

令

这两例实际上应用了变量代换，（换元积分法）

解 xdx2cos21）（

Cx 21ln2

1

ududxxxu

cos22cos2

CxCu 2sinsin

Cuduu

xu

dxdu

ln

2

1

2

1121

2 dxx21

1)2(

例 1 求下列不定积分

dxeaxdxx

xdx b

x

)(sin)3(,21

1)2(,2cos21

）（

注 1. 以上求不定积分过程是将被积函数中一部分与 dx 凑成某函数的微分 du ，而被积函数中余下部分恰为 u 的函数，故称为凑微法 .

.2sincos

cos,2,22cos2

代回即可。最后将故原式

的函数其余凑成凑成中如

xuCuudu

uuxududxxdx

注 2. 求不定积分比较熟练之后，中间变量 u ， du可以不写出，而采用下面的写法：

.|)4( 44

444

4

CeCexdedxe

dxe

xxu

xxx

x

，前例：

Cbeaxa

b

x

cos1

)()(sin1

b

xdebaxdax

ab

x

dxedxax b

x

sindxeax b

x

)(sin)3(

,|3

1

1

)(arctanarctan

322

2

xuCuduudxx

x

又如：

Cxxdx

x

dxxdduxu

32

2

arctan3

1arctan)(arctan

1arctan,arctan

）（原式

这里

解


dxx

x

ee

dx

xdxxxdxdtt

t

xx

4

3

210

1

3)5()4(

sectan)3(tan)2(sin

)1(

解

dtt

tsin)1(

xdxtan)2(

xdxx 210 sectan)3(

Cttdt cos2sin2

Cxx

xddxx

xcosln

cos

cos

cos

sin

Cxxxd 1110 tan11

1tantan

解 xx ee

dx)4( Ce

e

de xx

x

arctan1 2

dxx

x 4

3

1

3)5( Cxxd

x

44

41ln

4

3)1(

1

1

4

3


)0(

)3(

)2(

3)1(

22

22

2

axa

dxxa

dx

dxxex Cedxe xx 22

2

3

2

3 2

Ca

x

aa

xd

axa

arctan1

)()(1

11

2

Ca

x

a

xd

ax

arcsin)(

)(1

1

2


xbxa

dx

dxxx

dxx

e

xx

dx

x

2222

2

3

sincos)4(

1sin

1)3(

)2(

)ln21()1( Cx

x

xd

x

xd

ln21ln2

1

ln21

)ln21(

2

1

ln21

ln

Cexde xx 33

3

2)3(

3

2

Cxx

dx

1

cos)1(

1sin

22

2

2

)tan(1

)tan(1

)tan(1

sec1

xab

xab

d

abdx

xab

x

a

Cxa

b

ab )tanarctan(

1


xdx

xdxx

xdxx

xdx

sec)4(

2cos3cos)3(

cossin)2(

sin)1(

52

3 Cxxxdx coscos3

1cos)cos1( 32

xdxx sin)sin1(sin 222

Cxxdxxx 5sin10

1sin

2

1)5cos(cos

2

1

x

xddxx

xdxx 22 sin1

sin

cos

cos

cos

1

Cx

x

x

xd

x

xd

sin1

sin1ln

2

1)

sin1

sin

sin1

sin(

2

1

CxxCx

x

tansecln

cos

)sin1(ln

2

12

2

Cxxx 753 sin7

1sin

5

2sin

3

1

常见的凑微分形式

xdxfdxx

xf

deefdxeef

xdxfxdxxf

xdxfdxx

xf

xdxfdxx

xf

xd

xfdx

xxf

xdxfdxx

xf

baxdbaxfa

dxbaxf

xxxx

arcsin)(arcsin1

1)(arcsin)8(

)()()7(

tan)(tansec)(tan)6(

ln)(ln1

)(ln)5(

arctan)(arctan1

1)(arctan)4(

1)

1(

1)

1()3(

)(21

)()2(

)()(1

)()1(

2

2

2

2

练习

dxxx

x

dxx

x

dxx

x

dxx

xxx

xdx

)1(

arctan)5(

2coscos)4(

1

12)3(

sin1

cossin)2(

21

2

4

2）（

提示

xdxxdx

x

dxxxx

dx

x

xd

x

xd

x

xd

arctanarctan21

arctan2)5(

)2

cos2

3(cos

2

1)4(

11

)1()3(

)(sin1

sin

2

1)2(

2

)2(

2

11

22

2

22

2

2

2

）（

求下列不定积分

dxx 1

1思考：

.))1ln((2|))1ln((2

)1

11(22

1

1

1

1

,2)0(1

1 2

CxxCtt

dtt

tdtt

dxx

tdtdxttxdxx

xt

则

中，令提示：

利用 x=(t) 的反函数回代！？

利用变量代换 x=(t) 化简积分！

不定积分换元积分法

定理 2 ：

一、第二类换元法

.)()(

])()]([[)(

)()]([.0)(

,)(

)(

的反函数是其中

换元公式具有原函数，则有又

并且是单调的、可导函数设

txx

dtttfdxxf

ttft

tx

xt

证：则

，且记的原函数为设

),()]([

)()()]([

xFx

tttf

)(])()]([[

)]([)()(

)()]([)(

1)()]([)(

)()]([)(

xtdtttf

CxCxFdxxf

xftft

ttfdx

dt

dt

dxF

ttft

即


)0(1

)3(

)0(1

)2(

)0(1

22

22

22

adxax

adxxa

adxxa）（

解（利用适当的三角代换化为易求的积分）

等

从而有单值函数

从而有单值函数如

taxa

xtttax

a

xtttax

sec

arctan),22

(tan

arcsin),22

(sin

dx

xa 22

12）（

Ctttdt tanseclnsec

tdta

ta

tax

tdtadx

2

2

tan

secsec

tan1

12

由辅助三角形（如图）

ta

x22 xa

a

xt

a

xat

tan,sec

22

)ln()ln(

ln

1122

22

CaCCxax

Ca

x

a

xa

原式

例 7 用倒代换或根式代换求不定积分

dxx

dxxx

xdx

x

xa

21

1)3(

)ln(

ln1)2(1

24

22

）（

解

dtttadx

x

xa tx

dtt

dx

21

2

)1(1 22

1

14

22 令

）（

)1()1(2

1)1(

00

22222

22 21

21

tadtaa

tdtta

tx

原式

，从而时当

.03

)(32

2

322

时，结果相同同理，

x

Cxa

xa

Cxx

x

Ctttt

tdt

dttt

tdx

xx

x tx

dtt

dx

ln

ln1

1

)ln1(

ln

)ln1(

ln1

)ln(

ln1)2(

2

2

1

122

解

dt

tdtt

tdxx

txtx

tdtdx)

1

11(

121

1)3(

22

2

即令

CxxCtt )21ln(2)1ln(

例 8 用已有的结果求不定积分

dx

xxdx

x 22 1

1)2(

94

1)1(

解

Cxxx

xddx

x

)942ln(2

1

3)2(

)2(

2

1

94

1)1( 2

222

Cx

x

xddx

xx

5

12arcsin

)21

()25

(

)21

(

1

1)2(

222

练习

323 )1()2(

11

x

dxdxxx

）（

提示

tdtt

tdt

dtt

tttt

dtt

tx

tdtdx

txtx

dttdx

cossec

sec)2(

)1

11(6

61

3

2tan

sec

232

5

6

2

66

5

令

即令）（

第四章 不定积分

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