السابع الفصل

والمعادالت • التحليلالتربيعية

العامة الفكرة

الحد .• وحيدات أحلل

الحدود .• ثالثيات أحلل

مربعين .• بين الفرق أحلل

تربيعية • معادالت .أحل

لماذا ؟المعادالت : استعمال يمكن عمارة هندسة

هندسية إنشاءات لنماذج التربيعيةالضخمة المبانى بعض مداخل كأقواس

فى الدولى خالد الملك مطار مدخل ، مثلالرياض .

7-1

تحليل وحيدات

الحد

فكرة الدرس

أحلل وحيدة الحد الى عواملها ـ اجد العامل المشترك األكبر لوحيدات

الحد

المفردات

الصيغة التحليلة العامل المشترك األكبر ) ع.م.أ(

لماذ ؟

ديها ان ـل إذا ـك رز. ـف د ـخ د قالـئ ل هـن : تعـم

ـخرزة ـذهبـية ١٥ ـخـرزـة فـضيةـ ـالـلون ـو ٦٠

ــرغـب في أن ـتحتــوي القالدة اللــون. وت

وع واـحد من الـخرز وفي الـواـحدة ـعلى ـن

ـكلـ منـها الـعدد نفـسهـ من الـخرز وتـحوي

ـ منـها ـأـكبر ـعددـ من الـخرز، فـستحتاج ـكل]

بر د ـالعاـملـ المـشترك األـك د ـإلى تـحدـي هـن

ـ .١٥ ـ، ٦٠للعددـين

تحليل وحيدات الحد

ة. داد الكلـي ل األـع د يـشبه تحلـي دات الـح ل وحـي : تحلـيوتكــوـن وحيــدـة الحــدـ بالصــيـغة التـحليليــة إذا عـــبر

.١ـعنهاـ بـحاصلـ ضـرب ـأـعداـدـ أولـية وـمتغيـراـت بأس عند كتابة وحيدة الحد بالصيغة التحليلية نقول إننا

ا. حللنا وحيدة الحد تحليال تام_

مثال: تحليال ٢ ص ٣ س ٢٠حللى: -

تاما.

الح2 ص٣ س20×1 = -٢ ص٣ س٢٠ل :

س ×س ×س ×ص ×ص١×٢×١٠= - ×

س ×س ×س ×ص ١×٢×٢×٥= - ×

×ص

٢٠لذا، فإن التحليل للعوامل لوحيدة الحد -

س ×س ١×٢×٢×٥ هو: - ×٢ص ٣س

×س ×ص ×ص.

العامل المشترك األكبر

قد يكون لعددين كليين أو أكثر بعض العوامل األولية المشتركة. ويسمى حاصل

ضرب العوامل األولية المشتركة بالعامل المشترك

األكبر لها.

العامل المشترك األكبر )ع . م . أ (

لعـددين أو أكـثر هـو أكـبر عـدد يكـــون عـــامال لكـــلk من هـــذه األعــداد، ويمكن إيجــاد العامــل kدتي حـد المشـترك األكـبر لوحـي

أو أكثر بطريقة مشابهة.

مثال: ١٨ج ، ٢ ب ٢ أ ١٢أوـجد )ع.م.أ( لوحـيدتي الـحد

.٣أ ب

الحل :

زنبـقة لعـمل باـقات ٣٠ وردة و ٢٠ : ـلدى ـنورة مثال:ة ات المتماثـل دد من الباـق بر ـع ا أـك ور. فـم زـهرك أي زهـرة؟ وكم عـدد يمكن عملهـا دون ـت

زهور كل نوع في كل باقة؟

الح .٣٠ ، ٢٠أوجد )ع .م. أ( للعددين ل :

٢٠ = 22 ×٥

٢ × ٣ × ٥ = ٣٠

، لذا يمكن لنورة ١٠ = ٢ × ٥ هو ٣٠ ، ٢٠)ع .م. أ( للعددين

، ٣٠ = ٣ × ١٠ ، ٢٠ = ٢ ×١٠بما أن باقات.١٠عمل

زنابق. ٣على وردتين و لذا فستحتوي كل باقة

تأكــد

×حـ × حـ × هـ × هـ × 3 ×2× 2× 1هـ × هـ

× ر × ب ×ب × 19 ×2×1-ن × ن

× س × س× س × ص × 17×1-ص × ع

× أ × ب × ب23× 1

1= حـ د24=

أ5 3س ص

1أكبر قيمة =

× ص 19 ×5× 1×ص× ص

× أ × أ × أ × 7× 5×1-ب × ب

1 ×2 ×3 ×7 × حـ×حـ×حـ×هـ×هـ×هـ

1×3 ×ن×ن×3×3×3×

ن×ن×ن×ن×ب

-×ك5×5×2×2×1

×ك×ك×ك×ر

×أ × ب × حـ × 11×11×1حـ × حـ

حـ6ع22س5

ن25أ6ر4

2

28 = 2 × 2 × 7

36 = 2 ×2 × 3 × 3

80 = 2 ×2 × 2 × 2 × 5

10 ع . م . أ = 120 ؛ 150 ؛ 20

خاطئة

×أ×أ×ب×5×3×1حـ×حـ

×ب×ب×ب×حـ×3×2×1حـحـ×د

×حـ×حـ×حـ×3×2×2×1ف

× د× د× د× 11×2×1ف× ل× ل

×ف×ف×ل×5×3×2×1هـ×هـ

2س18 ؛ 3 ص12 ؛ 5س ص6الحدود هى 4ص

7-2استعمال

خاصية التوزيع

فكرة الدرس

أستعمل خاصية التوزيع لتحليل كثيرة حدود

المفرداتتحليل كثرة حدود ـ التحليل بتجميع الحدود ـ خاصية الضرب الصفرى

لماذا : تحـدد أجـرة مخـزن حسـب ؟

ــل ــ ــاحته. ويمكن تمثي ــ مسمســاحة المخــزن بالمعادلــة

ض، حيث ٦ + ٢ ض ١٫٦م= تمثــل ض عــرض المخــزن ا اسـتعمال ار، ويمكنـن باألمـتالتحليـــــل إلى العوامـــــل وخاصــية الضــرب الصــفري إليجــــاد أبعــــاد المخــــزن

الممكنة.

ع ية التوزـي تعمال خاـص اـسفى التحليل

ع في الفـصل اـستعملت خاـصية التوزـيــد في ــدة ح ــرب وحي ــابق لض السكثيرة حدود كما في المثال اآلتي:

(٧ع ) ٥ع(+ ٤ع ) ٥( = ٧ع + ٤ع ) ٥ ع٣٥+ ٢ ع ٢٠=

ــك في ــ ــادة من ذل ــ ــك اإلف ــ : ويمكنالعمــل عكســيا للتعبــير عن كثــيرة ــرب ــل ضـ ــورة حاصـ ــدود بصـ الحـعـــاملين: وحيـــدة الحـــد، وكثـــيرة

الحدود. ض )ض(+ ١٫٦ ض= ٦ + ٢ ض ١٫٦

)ض( =٦(٦ ض+ ١٫٦ ض )

( يمثل تحليل ٧ع+ ٤ع ) ٥ : كذلك ع. ٣٥+ ٢ ع ٢٠ثنائية الحد

ويشتمل تحليل كثيرة الحدود تحليلها إلى عواملها األولية.

استعمل خاصية التوزيع لتحليل كل من كثيرات الحدود اآلتية:

ص١٨ + ٢ص27

مثال

الحل

أوجد )ع .م. أ( لجميع الحدود. ص × ص ٣ × ٣ × ٣ = × ٢ ص ٢٧

. × ص ٣ × ٣ × 2 ص = ١٨

ص٩ × ص = ٣ × ٣)ع .م. أ( =

اكتب كــل حــد على صــورة حاصــل ضــــــرب )ع .م. أ( في بــــــاقي ــية ــ ــتعمل خاص ــ ــوامل. واس ــ الع

التوزيع إلخراج )ع .م. أ(.ص( + ٣ص) ٩ ص = ١٨ + ٢ ص ٧

(٢ص) ٩ (٢ص + ٣ص) ٩=

: تســمى الطريقــة الــتي ــية ــا خاص ــتعمل فيه تســيرة ــل كث ــع لتحلي التوزيـحدود تـتكّ ون من أربـعة ــل ــثر التحلي حــدود أو أكــدود؛ ألن ــ ــع الح ــ بتجميــة الحــدود تجمــع بطريقمعينـــة ثم يحلـــل كـــل تجمـيع، ثم تطـبق خاـصية ــل ــراج عام ــع إلخ التوزي

مشترك.

: ر + ٤حلل: ك ٣ر + ٨ك +٦.

مثال

٦ ك + ٣ ر + ٨ك ر + ٤(٦ ك + ٣ ر( + ) ٨ك ر + ٤= ) (٢)ك + ٣( + ٢ ر)ك + ٤=

(َ و ٢ ر )ك+ ٤( عامل مشترك لـ� ٢الحظ أن )ك+ (.٢ )ك+ ٣

(٢( )ك + ٣ر + ٤= )

الحل

: ك - ٢حلل: ٤٢م + ١٢م -٧. ك

مثال

الحل

ك٧ - ٤٢ م + ١٢م ك - ٢ م(٧ - ٤٢ م ( + ) ١٢م ك - ٢= )

- ك (٦) ٧( + ٦م)ك - ٢= ([٦()ك - ١])- ٧( + ٦م)ك - ٢=

(٦)ك - ٧( - ٦م)ك - ٢= (٦()ك - ٧م - ٢= )

الحظ أن أحد العاملين على األقل

في كل حالة يساوي صفرا.

وتبين هذه األمثلة خاصية الضرب

الصفري.

اآلتية المعادالت من كال حل ( : الحل صحة من () ٦د + 2وتحقق

٠ ( = ١٥د - ٣

مثال

الحل

٠ ( = ١٥د - ٣() ٦د + ٢) ٠ = ١٥د - ٣ أو ٠ = ٦د + ٢

١٥د = ٣ ٦د = - ٢٥ د = ٣د = -

.٥ ، ٣الجذران هما -

باألمتار ع سهم ارتفاع تمثيل يمكنبالمعادلة

- + ٢ن ٥ع= الزمن ٢٠ ن حيث ن،رامي. ارتفاع أهمل إذا بالثوانيالسهم يصل ثانية كم بعد السهام،

؟ إطالقه بعد األرض إلى

مثال

الحل

٠عندما يصل السهم إلى األرض ع= ن٢٠ + ٢ ن ٥ع= -

ن٢٠ + ٢ ن ٥ = - ٠(٤ ن )- ن+ ٥ = ٠

٠ = ٤ أو - ن + ٠ ن= ٥٤ أو -ن = - ٠ن=

٤ن = ثواٍ ن.٤يصل السهم إلى األرض بعد إطالقه ب�

7-3المعادالت

2التربيعية : س+ ب س + جـ

=0

فكرة الدرس

أحلل ثالثية حدود على + ب س جـ2الصورة : س

المفردات

المعادلة التربيعية

لماذا : برـكة ـسطحها مـستطيل الـشكل، ـيراد وـضع ـسياج ؟

م. إذا كــانت مســـاحة ســـطح ٢٤حولهـــا طولــه ، فما بعداها؟ ٢ م ٣٦البركة

لحــل هــذه المســألة، يجب إيجــاد عــددين حاصــل ومجموعهمــا يســاوي نصــف محيــط ٣٦ضــربهما

.١٢البركة أي

ــل س ــرب 0 + ب س + جـ =2تحلي ضــة ــتعمال طريقـ ــد باسـ ــائيتي حـ ثنـالتوزـيع ـبالترتيب، على أن تـكون ـكل ثائـية ـحد منهـما ـعامال لـناتج الـضرب. ويمكن اســــتعمال نمــــط ضــــرب ثنــائيتي الحــد لتحليــل أنــواع معينــة

من ثالثيات لحدود.

يصـمم سـعيد لوحـة إعالن لـبيع أقـراص مدمجـة لتعلم الرياـضيات. إذا ـكان ارتـفاع الـجزء العـلوي من اللوـحة

بوـصات، ويزـيد ـطول ـباقي اللوـحة على عرـضها ب� ٤ــة ٢ ــاحة اللوح ــة. و مس ــة، ٦١٦ بوص ــة مربع بوص

فأوجدى عرض اللوحة.

مثال

الحل

7-4

الدرس فكرة

أحلل ثالثية حدود على + ب 2الصورة أس

س + جـ

المفردات

كثيرة الحدود االولية

األرجوحة مسار تمثيل يمكنبالعبارة األلعاب مدينة في

زمن ٣٠ن+ ٢- ٢ن ٥ ن حيث ؛العبارة. هذه وتحليل الحركةيساعد األولية عواملها إلىعلى التشغيل عن المسؤولتستغرقه الذي الوقت معرفة

. األولى المرة في أرجحتها

إستعد

السابق: الدرس في حللتعلى تربيعية عبارات

س: أ ج+ + ٢الصورة س ب = أ هذا. ١، في ستطبق

تحليل طرق الدرس € أ فيها تربيعية ١عبارات

بعدا المجاور الشكل علىمن المكون المستطيل

+ ( س الجبر ،( ١بطاقاتعامال ( ٣س + ٢) س ٢وهمايمكنك ٣س+ ٥+ ٢ ،

التحليل طريقة استعمالهذه لتحليل الحدود بتجميع

العبارة.

7 -5المعادالت التربيعية

)الفرق بين مربعين(

فكرة الدرس

أحلل ثنائية حد على صورة فرق بين مربعين

المفردات

الفرق بين مربعين

لماذا؟

الفن: الجرافيك مصممو يستعملوأشرطة صور لتصميم والرياضياتلتكوين. المعادالت ويستعملون فيديو

. ويساعد الحاسوب على وخطوط أشكالأبعاد تحديد على العوامل إلى التحليل

. ظهورها وطريقة األشكال

ــاتج ــك تعلمت ن ــذكر أن : تـضرب مجـموع وحـيدتي ـحد في الفــــــرق بينهمــــــا، ــذا ــرب ه ــيرناتج الض ويشإلى الـفرق بين الـمربعين. ــة ــورة المحللـ ــذا فالصـ لـللفـــــرق بين مـــــربعين تـسمى ـناتج ـضرب مجـموع ــرق ــد في الف ــدتي ح وحي

بينهما.

7-6المعادالت التربيعية : المربعات

الكاملة

فكرة الدرس

أحلل ثالثية الحدود التى على صورة مربع كامل

المفردات

المربع الكامل لثالثية حدود

لماذا : تســـقط الريشـــة والحجـــر بالســـرعة نفســـها في ؟

+ ٢ن ٥ = - ٠ـالـفرـاغ، ـلذـا ـستحـتاج إلى ـحـل المعادـلة ل ـإلى ٠ل ـم ـكي يـص ه ـالجـس اجـ إلـي ا ـيحـت ـةـ ـم ـ، لـمعرـف

ـ ـمتراـ ـفوق ـاألرضـ، ٠ـاألرـض إذا ـسقط ـمـن اـرتـفاـعـ ـل حيث ن ـتمثل الزمـن باـلثوانـي بعد سقوطـ الـجسم.

على 1( هذه الضرب نواتج تكونالحدود؛ لثالثية كامل مربع صورة

. حد ثنائيات مربعات ألنهاعلى أعاله القواعد وتساعدك

تشكل التي الحدود ثالثية تحليل. كامال مربعا

للتحليل 2( قابلة حدود ثالثية ولتكونأن يجب كامل، مربع صورة على

واألخير األول الحدان يكونالحد يكون وأن كاملين، مربعينالجذر ضرب ناتج ضعف األوسطواألخير األول للحدين التربيعي

. سالبة أو موجبة بإشارة