第八章 概率与数理

统计初步

二、 三种典型分布

一、 离散型随机变量的分布

8.2 离散型随机变量的概率分布

我们首先通过硬币试验了解随机事件的统计规律 .

试验者 投掷次数ｎ

正面向上次数频数ｍ

正面出现频率ｍ /ｎ

德 ·摩尔根 2048 1061 0.518

蒲丰 4040 2048 0.5069

皮尔逊 12000 6019 0.5016

皮尔逊 24000 12012 0.5005

维尼 30000 14994 0.4998

一、 离散型随机变量的分布

可以看出 , 随着投掷次数的不断增大 , 正面出现的

频率越趋近于 0.5.

如果用 表示正面向上 , 表示正面向下 , 则 1 0

( 1) 0.5P ( 0) 0.5P

简单的古典概率考虑的一种情况是： 如果随机变量只有

n 个取值 , 则取到每个值的概率都是 1/n .

从一副扑克牌中任意摸取一张 , 每一张牌的概率都是1

54

例 1 袋内装有五个白球 , 三个黑球 , 从中任取两个球 ,

计算取出的两个球都是白球的概率 .

解： 从 8 个球中任取 2 个球 , 可能的结果共 28 28C

由于是任取两个球 , 因此取到每两个球的概率都是 128

取出的两个球都是白球的结果为 25 10C

因此取出的两个球都是白球的概率为 10 5

28 14P

一般地 , 如果随机变量 的所有可能取值为 取值是 的概率是 , 即 kx kp

( ) ( 1 2k kP x p k ，， )

则称

用这两条性质判断一个函数是否是概率分布

（ 1 ） pk 0, k ＝ 1, 2, …

;

（ 2 ） 1

1.kk

p

＝

)( kxP

1x

1p

2x

2p

…

…

…

…

nx

np

为随机变量 的概率分布（列） , 简称分布 .

1 2, , , ,nx x x

例 2 在一个均匀正方体的六个面上分别标上数字1,2,3,4,5,6 ，随机抛掷这个正方体，用表示朝上的那个面上的数字，求的概率分布 .

解：

P 1

6

6 5 4 3 2 1

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

正方体是均匀的表示六个面哪个面朝上的可能性都是均等的 . 因此

1. 两点分布（也称（ 0-1 ）分布） 随机变量 ξ 只可能取 0 与 1 两个值，其分布律为：

8概率论与数理统计

ξ 0 1

P 1-p p

凡是随机试验只有两个可能的结果，常用 0 - 1 分布描述，如产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等 .

应用场合

二、三种典型分布

例 3 某批产品共 100 件 , 其中 98 件是合格品 ,2 件是不合

格品 . 现从中任意抽取 1 件 , 用 表示抽到的是合格 0

用 表示抽到的是不合格品 , 求 的概率分布 . 1

解 :

ξ 0 1

P 0.98 0.02

2. 二项分布

在 n 次独立试验中 , 如果事件在每次试验中发生的概率为 p, ξ 表示 A 在 n 次试验中发生的次数 , 则 ξ 的分布为：

),210()( nkqpCkP knkkn ，，，

其中， 1,0,0 qpqp

称 ξ 服从参数为 n, p 的二项分布 .

例 4 某批产品的不合格品率为 p, 现从中有放回地抽取3 件 , 试求三件中恰有二件不合格品的概率 .

解 : “有放回”是指每次试验完成后都把试验品放回原产 品中 , 因此三次抽取可看作是三次独立试验 .

用 ξ 表示抽取的三件产品中不合格品的件数，则

qpCP 223)2(

其中 . 1q p

例 5 一批出口商品共 10000 件 , 已知该批商品的不合格品率为 2%. 商检部门抽检方案是 , 从中抽取 30 件样品 , 如不合格品数不大于 3, 则判定该批商品合格 , 从而接受该批商品 , 否则拒绝 . 求该批商品被接受的概率。

解 : 商品数 10000 较样品数 30 很大 , 设 ξ 表示 30 件样品中

不合格品的件数 , 则

~ B(30 0.02) ，

依题意 , 该批商品被接受的概率为 , 即 )3( P

)3( P kk

k

kC

303

030 )98.0()02.0(

0188.00098.03340.05455.0

997.0

3. 泊松分布

法国数学家泊松在研究二项分布的近似计算时发现 , 如果 n 较大 , p 较小 , 二项分布为：

其中

实际计算时 , 只要 n ＞ 10, p ＜ 0.1 近似程度就很高了 .

knkkn qpCkP )( e

k

k

！),210( nk ，，，

np

如果随机变量 ξ 的分布列为 e

kkP

k

!)( nk ，，，， 2100

则称 ξ 服从参数为 λ 的泊松分布，记作 ~ P( )

例 5 中 , 6.002.030 nppn ，， , 查泊松分布表 003358.0)4( p

)4(1)3( PP

996642.0003358.01 997.0