آمار با آشنايیتوصيفي

: فارسي سپیده دهنده نژاد‌ارائه

واطالعات آمار گروه كارشناسارشدنيرو وزارت

آمار دكتراي دوره دانشجوي) تصادفي) فرايندهاي

:پيشگفتار

نمي كسي حاضر عصر نقشي ‌در آمار كه باشد واقعیت این منكر تواندمي بازي ما روزمره زندگي در رسانه. ‌الینفک روزانه اخبار گروهی ‌كند هاي

مي پایان به هوا وضع از گزارشی بازار ‌با جریانهای به اخبار، طول در رسندومي اشاره سهام و روزنامه ‌بورس و اجناس ‌شود نرخ افزایش از خبر ها

دهندو...‌ميدر موجود، مسائل بررسی در موثر راه و روش يك پايه عنوان به آمار

زمينه از فيزيك ‌بسیاری کشاورزی، شناسي، جامعه جمله از علمي هايبه.... مي ‌و گرفته مي. ‌كار سعی معموال امروزي، دانش در كه ‌شود شود

به تا شود داده نمایش اعداد قالب در خاص، زمينه يك در موجود اطالعاتبه مطالعه مورد پدیده از بهتری فهم اطالعات، تحلیل و تجزیه دست ‌هنگام

. گردد فراهم مقایسه امکان و مجموعه آمده آمار جمله يك از ‌در اياطالعات تحلیل و تجزیه و وتنظیم تهيه آوری، جمع روشهای

مي خدمتگرفته به نتیجه چند يا يك برايكسب كه شود.‌است

:فهرستمطالب

توصيفي آمار

آماري ‌جدول هاي

آماري نمودارهاي

مركزي معيارهاي

پراكندگي معيارهاي

فراواني ‌منحني هاي

توصيفي :آمار

گيري آمار در كه اطالعات از مطلوب و مناسب نتايج اينكه آوري ‌براي جمع هابه ‌مي :‌كنيم، بايد آيد دست

نباشند – غلط يا غيرواقع و بوده مشاهدات واقعي نماينده اعدادشوند – تنظيم و تهيه مفيدي نحو بهگردند – تحليل و تجزيه صحيح نحو بهباشند – صحيح گيري نتيجه قابل

روش كلي، طور مي ‌به آنها وسيله به كه را جمع ‌هايي اطالعات تنظيم ‌توان را شده آوريمي توصيفي آمار نمود، خالصه و از ‌كرده عبارت توصيفي آمار كالم يك در و ناميمداده پردازش كه است روشهايي مي ‌مجموعه فراهم را زير. ‌ها اصطالحات از اطالع سازد

. است ضروري آمار در

فیصیتومار

:آ

مي كه را اشيايي يا افراد مشترك ‌مجموعه خصوصيت چند يا يك خواهيممي آماري جمعيت يا جمعيت دهيم، قرار بررسی مورد را ناميم.‌آنها

المپهاي تعداد شهر، يك ساله بيست دانشجويان وزن يا قد اندازهمعين، روز يك در و كارخانه يك در شده توليد ناسالم يا و سالم

آماري جمعيتهاي از .‌مثالهايي هستند

المث

:

دهدا

زهداانيهاسيامق

‌

ييرگ

نهمون

يرتغم

تمعي

ج

ويژگي مطالعه بسیار ‌معموال آماری جمعیت كه هنگامی به نظر، مورد هايمي زيادي وقت و هزینه صرف مستلزم باشد، بسیاری ‌گسترده در و باشد

. براي موردی، چنین در بنابراین نیست پذیر امکان اصوال امر اين مواقع، ازمي اکتفا آماری جمعیت از قسمتی به نظر، مورد ویژگی كنيم.‌مطالعه

ته:نك

توصيفي :آمار

توصيفي :آمار

مطالعه براي خاصي، ضوابط و قاعده طبق كه را جمعيت از قسمتيمي انتخاب جمعيت از مي ‌خصوصيتي جمعيت از نمونه يك ناميم.‌شود،

ونهنم

دهدا

زهداانيهاسيامق

‌

ييرگ نهمويرنتغم

تمعي

ج

كل براي خوبي نماينده بتواند كه بود خواهد قبول قابل و مفيد وقتي نمونه اين . شاخه موضوع اين اهميت به توجه با باشد مطالعه مورد تحت ‌جمعيت آمار از اي

نمونه نظريه نمونه ‌عنوان بررسي با مي ‌گيري مهم امر اين به از. ‌اي بسياري در پردازدمي نظر در را ساده تصادفي نمونه معموال گيرند. ‌موارد،

تهنک

شهر، يك ساله بیست دانشجویان قد اندازه بررسی برايمثال تصادفی، 150انتخاب طور به جمعیت اين بین از نفر

انتخاب يك 100يا توليدي المپهاي از تصادف به المپالمپهاي كيفيت تعيين براي معین، روز يك در کارخانه

. هستند تصادفی نمونه از مثالهايي کارخانه اين توليدي

ال:مث

توصيفي :آمار

دیگر شي به شي از يا دیگر، فرد به فردی از مطالعه، مورد خصوصیتمي تغيير آماری جمعیت مي ‌در متغير اصطالحا را آن كه ناميم.‌كند،

: هستند نظر مورد آمار در متغير نوع دو معمواليا ‗ گروه چند شامل كه خوني گروه و شغل نژاد، رنگ، نظير گروهي، متغيرهاي

مي باشند.‌طبقههر ‗ احشام تعداد مانند باشد، شمارش نتيجه است ممكن كه عددي متغيرهاي

روستا، يك در نتيجه ‌خانوار يا و مختلف، روزهاي در كارخانه يك در حوادث تعدادمولتي ‌اندازه شربت حجم شهر، يك در ساله بيست دانشجويان قد مثل باشد، گيري

. خاص استاندارد با ويتامين

دهدا

زهداانيهاسيامق

‌

ييرگ

نهمون

يرتغم ت

معيج

توصيفي :آمار

متغير:هاي ‌متغير

گسسته

هاي ‌متغيرپیوسته

گروهي ‌متغير هاي

شمارش ‌متغير راه از كه عددي هاياند ‌به آمده دست

اندازه طريق از كه را گيري ‌متغيرهاييباشند آمده دست به

دهدا

زهداانيهاسيامق

‌

ييرگ

نهمون

يرتغم ت

معيج

توصيفي :آمار

پيش مسائل از بسیار متغیر ‌اندازه ‌رو،‌در يك ویژگی گيري . نوع چهار كلي طور به است خاصي شناخت و آگاهی مستلزم

: دارد وجود گيري اندازه براي مقیاس

اسمي مقياس ترتيبي مقياس فاصله اي‌مقياس نسبتي مقياس

دهدا

زهداانيهاسيامق

‌

ييرگ

نهمون

يرتغم

تمعي

ج

توصيفي :آمار

اندازه مقياس نوع بندي ‌اين طبقه براي عمدتا گيريمي ‌داده كار به عدد ‌ها يك اتالق آن از منظور و رود

داده به . ‌طبيعي است متفاوت هاي

اعداد گروه 4تا 1اختصاص خوني ‌به هايA,B, AB, O.

مقياس :اسمي

:مثال

نمي را اعداد عمل ‌اين چهار يا مقايسه براي توانبرد كار به اصلي

كه باشيد داشته :توجه

دهدا

زهداانيهاسيامق

‌

ييرگ

نهمون

يرتغم

تمعي

ج

توصيفي :آمار

مقياس :ترتيبي

اندازه مقياس نوع داده ‌اين بندي طبقه براي عموما ها ‌گيريمي كار به برتري نوع يك منظور رود‌به .

دسته سه به را كارگران است ممكن كارخانه يك در . به اتالق كنيم بندي تقسيم ماهر و ماهر نيمه ساده،

اعداد ترتيبي 3تا 1ترتيب مقياس يك دسته سه اين بهاست.

:مثال

مي كار به مقايسه براي تنها اعداد نمي ‌اين و توان ‌روند. داد انجام را اصلي عمل چهار آنها با

كه باشيد داشته :توجه

دهدا

زهداانيهاسيامق

‌

ييرگ

نهمون

يرتغم

تمعي

ج

توصيفي :آمار

اندارزه مقياس نوع زمينه ‌اين در عموما فاصله ‌گيري نحوي به ترتيب حفظ بر عالوه كه هايويژگي مي ‌بين حفظ نيز را ثابت. ‌ها تفاضلها نسبت مقياسي چنين در ديگر عبارت به كندماند.‌مي

مقياس اي :فاصله

اول ‌اندازه كالس آموزان دانش هوشي ضريب گيرياصفهان شهر در .دبستان

:مثال

. است قراردادي مفهوم يك صفر عدد مقياس، نوع اين در

كه باشيد داشته :توجه

دهدا

زهداانيهاسيامق

‌

ييرگ

نهمون

يرتغم

تمعي

ج

توصيفي :آمار

اندازه مقياس نوع مي ‌اين حفظ نيز را نسبت فاصله، حفظ بر عالوه به. ‌گيري كنداندازه نوع اين در ديگر اندازه ‌عبارت واحد به بستگي مقدار دو نسبت . ‌گيري ندارد گيري

مقياس :نسبتي

دهدا

زهداانيهاسيامق

‌

ييرگ

نهمون

يرتغم

تمعي

ج

توصيفي :آمار

مي دست به متغير يك مطالعه از كه شامل ‌اطالعاتي معموال آيند،مي عالمت يا عدد مي ‌انبوهي داده را آنها كه داده. ‌باشند را ‌ناميم ها

مي گيري اندازه كه متغيري نوع به داده ‌نسبت دسته دو به كنيمداده و مي ‌گسسته تقسيم پيوسته كنيم.‌هاي

داده به نوع ‌معموال هيچ و است عدد انبوهي كه شده آوري جمع هايمي خام داده است نشده انجام آنها روي گويند.‌پردازشی

خامداده

دهدا

زهداانيهاسيامق

‌

ييرگ

نهمون

يرتغم

تمعي

ج

توصيفي :آمار

داده از مجموعه يك با ارتباط در كه مي ‌مواردي نظر ‌هاي مد بايستيداد، :‌عبارت‌قرار از اند

داده ‗ توضيح و كردن رسم ‌خالصه و جداول تنظيم وسيله به هانمودارها.

كه ‗ معيارهايي به يافتن دست براي عددي، مقادير محاسبهداده پراكندگي يا و .‌تمركز دهد نشان را ها آمار، داده ‌در از اينكه كنيم، ‌براي استخراج را موجود واقعيتهاي خام نحوي ‌هاي به را آنها

دسته مي ‌مناسب تهيه آماري جدولهاي نام به جدولهايي و كرده متداولترين. ‌بندي نماييم. است فراواني جدول آمار، در جدول

نماييم، بيان را فراواني جدول تنظيم نحوه آنكه از ضروري ‌پيش زير اصطالحات از اطالعاست.

دهدا

زهداانيهاسيامق

‌

ييرگ

نهمون

يرتغم

تمعي

ج

آماري ‌جدول هاي :

با ترتيب به ، فرض با ، نوع از داده هرگاه

باشند، شده تشكيل مي ‌تعدادهاي فراواني را تعداد. ‌آنگاه ديگر عبارت به گوييم

داده در كه را مي ‌دفعاتي تكرار مي ‌هاي فراواني نماد ‌شود، با را آن و ناميم

مي دهيم.‌نمايش

1 2, , , kf f fn1 2, , , ny y y

1 2, , , kx x x2 k n kifix

ix1 2, , , ny y y

ixif

كه باشيد داشته خاطر به

براي آنگاه باشد، برابر نمونه اندازه ,n1اگر ,j k

i1

1 fk

ii

f n n

يمعتجيسبن يوانراف

يمعتجيوانراف

يسبن يوانراف

يوانرا ف

آماري ‌جدول هاي :

:مثالرد ‌داده مرگ به منجر تصادف ميزان زير مي 30هاي نشان را دهد. ‌منطقه

نماييد تعيين را دادها .فراواني

7 6 6 3 4 3 5 5 6 8

3 4 8 4 7 5 8 5 5 3

6 5 5 6 6 5 6 7 8 2

مي داده ‌مشاهده كه اعداد ‌شود تكرار 2هاي 3 4 5 6 7 8، ، ، ، ، بنابراين ‌باشند،‌مي ،داده فراواني براي را زير :‌جدول داشت خواهيم ixها if

2

3

4

5

6

7

8

1

4

3

8

7

3

4

يمعتجيسبن يوانراف

يمعتجيوانراف

يسبن يوانرافيوانرا ف

31

23

21

19

آماري ‌جدول هاي :

مي نسبي فراواني را نمونه اندازه به فراواني با. ‌نسبت نمونه يك در فراواني اگر ناميمبه nاندازه داد، خواهيم نمايش نماد با را نسبي فراواني آنگاه باشد، برابر ،

: كه طوري

ix

if

ii

fr

n

ir ix

كه باشيد داشته خاطر به

,1براي ,j k

i1

0 1k

ii

r n r

يمعتجيسبن يوانراف

يمعتجيوانراف

يسبن يوانرافيوانرا ف

آماري ‌جدول هاي :

ix if

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

8

1

4

3

8

7

3

4

ir

0.033

0.133

0.100

0.267

0.233

0.100

0.133

1 0.03330

4 0.13330

يمعتجيسبن يوانراف

يمعتجيوانراف

يسبن يوانرافيوانرا ف

17

آماري ‌جدول هاي :

رديف تجمعي فراواني فراواني، تعريف به توجه مي iبا نمايش نماد با و ‌را دهيممي تعريف زير صورت كنيم:‌به

iF

1

i

i jj

F f

كه باشيد داشته خاطر به

نمونه اندازه آنگاه nبراي ,1و ,i k

1 1i kf F F F n

يمعتجيسبن يوانراف

يمعتجيوانراف

يسبن يوانراف

يوانرا ف

آماري ‌جدول هاي :

ix if

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

8

1

4

3

8

7

3

4

iF

1

5

8

16

23

26

30

1 4 5

1 4 3 8 7 23

يمعتجيسبن يوانراف

يمعتجيوانراف

يسبن يوانراف

يوانرا ف

17

آماري ‌جدول هاي :

1

i

i jj

R r

نسبي، فراواني تعريف به توجه رديف ‌با تجمعي نسبي نماد iفراواني با رامي نمايش مي ‌نماد تعريف زير صورت به و كنيم:‌دهيم

iR

كه باشيد داشته خاطر به

نمونه اندازه آنگاه nبراي ,1و ,i k

1 2 1i kr R R R

يمعتجيسبن يوانراف

يمعتجيوانراف

يسبن يوانراف

يوانرا ف

آماري ‌جدول هاي :

130

430

330

830

730

330

430

ix ir

2

3

4

5

6

7

8

iR

130

530

830

1630

2330

2630

3030

31 430 30 30

يمعتجيسبن يوانراف

يمعتجيوانراف

يسبن يوانراف

يوانرا ف

17

آماري ‌جدول هاي :

اعشار، 50معدل رقم يك تا تقريب با دانشگاه زير ‌دانشجوي شرح به:است

1/2 9/1 6/1 2/2 1/2 2/2 4/2 8/1 5/1 9/2

8/1 3/2 8/1 7/1 3/2 3/2 0/2 5/2 1/2 6/2

8/1 1/2 9/1 7/1 7/1 0/2 9/1 2/2 6/2 4/1

9/2 4/2 8/1 9/1 2/2 2/2 5/2 0/2 0/2 0/2

4/1 5/2 9/1 8/1 6/1 4/2 9/2 9/1 6/1 4/1

:مثال

داده شده ‌چون گرد اعشار رقم يك تا مي ‌ها بنابراين كه ‌اند، گفت توانفاصله در معدلها واقعي [1/35,2/95]اندازه

يمعتجي‌سبي‌نوانراف

يمعتجي‌وانراف

يسبي‌نوانراف

يوانرا‌ف

فراوانی جدول تشکیل برای

پیوسته های داده

rMAXU 105.0

rMINL 105.0گرد ارقام تعداد

شده

31

آماري ‌جدول هاي :

يمعتجيسبن يوانراف

يمعتجيوانراف

يسبن يوانراف

يوانرا ف

2.08

35.195.2

c

LU

iR iF ir if ix كالس55/1_35/1

75/1_55/1

95/1_75/1

15/2_95/1

35/2_15/2

55/2_35/2

75/2_55/2

95/2_75/2

جمع

45/1

65/1

85/1

05/2

25/2

2/45

65/2

85/2

4

6

12

9

8

6

2

3

50

08/0

12/0

24/0

18/0

16/0

12/0

04/0

06/0

00/1

4

10

22

31

39

45

47

50

_

08/0

20/0

44/0

62/0

78/0

90/0

94/0

00/1

_

تعداد طبقات

27

29

آماري :نمودارهاي

داده مي ‌معموال نمايش مختلف نمودارهاي با را در. ‌ها نمودارها اين عموما دهندداده با . ‌‌ارتباط آنها، نمايش از منظور و شود مي گرفته كار به سته پيو تجسم ‌هاي

داده در نهفته اطالعات .‌عيني است نمودار ها چند معرفي به بخش اين درمي اكتفا كنيم:‌معروف

هيستوگرام ‗

فراواني ‗ چندبر

تجمعي ‗ فراواني چندبر

تجمعي ‗ فراواني و فراواني منحنيهاي

شاخه ‗ و تنه نمودار نمايش

جعبه ‗ اي‌نمودار

آماري ي:نمودارهايحنمن

‌

و يوانراف يها

.....

يمعتجيوانراف ردبچن

يوانراف ردبچن

امگرتوسهي

خهشاو هتندارموشنماين

35/1

55/1

75/1

95/1

35/2

15/2

55/2

75/2

95/2

24/0

12/0

04/0

مستطيل هر مركزكالس نماينده

طول برابر عرضمستطيلواقعيكالس

برابر مستطيل هر ارتفاعنسبي فراواني

15/1

15/3

25

آماري :نمودارهاي

35/1

55/1

75/1

95/1

35/2

15/2

55/2

75/2

95/295/2

24/0

12/0

04/0

25/1

05/3

يحنمن

‌

و يوانراف يها

.....

يمعتجيوانراف ردبچن

يوانراف ردبچن ام

گرتوسهي

خهشاو هتندارموشنماين

آماري :نمودارهاي

35/1

55/1

75/1

95/1

35/2

15/2

55/2

75/2

95/295/2

44/0

2/0

08/0

25/1

05/3

62/0

78/0

90/094/000/1

يحنمن

‌

و يوانراف يها

.....

يمعتجيوانراف ردبچن

يوانراف ردبچن

امگرتوسهي

خهشاو هتندارموشنماين

طول نقاطيكه اتصال ازعرضآنها كالسو مرز آنها

آن تا تجمعي نسبي فراوانيباشد يكخطشكسته ‌مرز ،

دستمي را ‌به آن كه آيدتجمعي فراواني چندبر

نامند‌مي

25

آماري :نمودارهاي

1

منحني نمودارفراواني

فراواني منحني نمودارتجمعي

يحنمن

‌

و يوانراف يها

.....

يمعتجيوانراف ردبچن

يوانراف ردبچن

امگرتوسهي

خهشاو هتندارموشنماين

آماري :نمودارهاي

2

3

4

5

6

7

8

**

****

***

********

*******

***

****

4/1

5/1

6/1

7/1

8/1

9/1

0/2

½

2/2

3/2

4/2

5/2

6/2

7/2

8/2

9/2

***

*

***

***

******

******

*****

****

*****

***

***

***

**

***

اوانفر

ي

يحنمن

‌

و يوانراف يها

.....

يمعتجيوانراف ردبچن

يوانراف ردبچن

امگرتوسهي

خهشاو هتندارموشنماين

آماري :نمودارهاي

آمار 80نمرات و احتمال درس نهايي امتحانات در دانشجواست زير شرح :به

93 76 88 62 90 68 82 75 84 68 75 85 59 71 93 60 73 88 79 73 72 63 78 95 62 74 87 75 65 61 60 68 74 69 77 94 75 82 78 6671 83 79 60 95 75 61 89 78 99 75 71 65 76 85 78 97 67 62 79 74 50 76 62 78 88 57 73 80 65 77 85 75 76 63 72 81 73 67 86

0 9 7

0 8 3 5 2 0 9 2 3 2 0 8 1 7 7 2 5 5 6 1 8

7 4 5 1 2 5 1 6 5 6 9 4 8 6 6 1 8 7 2 8 5 4 5 3 3 3 5 5 8 8 9 9

5 3 5 8 5 8 1 7 2 9 2 8 0 4 6

3 5 5 3 0 4 7 9

5

6

7

8

9

تنه

شاخه

يحنمن

‌

و يوانراف يها

.....

يمعتجيوانراف ردبچن

يوانراف ردبچن

امگرتوسهي

خهشاو هتندارموشنماين

آماري :نمودارهاي

با بزرگ، به كوچك از را شاخه هر مقادير است بهتر معموال اوليه نمودار ساختن از پستكرار، دفعات زير ‌تعداد صورت به كرد، مرتب :

9 7 0

9 8 8 7 6 5 5 5 3 3 2 2 2 2 1 1 0 0 0

9 9 9 8 8 8 8 8 7 7 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 3 2 2 1 1 1

9 8 8 8 7 6 5 5 5 4 3 2 2 1 0

9 7 5 5 4 3 3 0

5

6

7

8

9

يحنمن

‌

و يوانراف يها

.....

يمعتجيوانراف ردبچن

يوانراف ردبچن

امگرتوسهي

خهشاو هتندارموشنماين

مركزي :معيارهاي

مي نمودارها رسم و فراواني جدول از استفاده داده ‌با مطلوبي ‌توانيم نحو به را هاحدوديمشخصكنيم تا را نهفته اطالعات و كرده حال. تنظيم اين با

مناسب، گزارش يك ارايه نيز ‌براي مناسب عدد چند يا يك در را آنها است بهتر . مي عددي چنين كنيم . ‌خالصه مركزي معيارهاي مهمترين باشد مركزي معيار تواند

پرداخت ‌،‌ميانگين خواهيم آنها از يك هر شرح به این بخش در كه است نما و ميانه .باشند، شده تشكيل تعدادهاي با ترتيب به ، فرض با ، نوع از داده فراواني ‌هرگاه را آنگاه

گوييم. ‌مي

n1 2, , , ny y y1 2, , , kx x x2 k n 1 2, , , kf f f

kifix

ميانگين حسابي

ميانگين وزني

داده صفر ‌كليه از بزرگتر هاباشند

ميانگين هندسي

n

i ii=1

1x= fxn

k

i ii=1

w k

ki=1

wxx =

w

i

1kf ni

i=1

G=( x )

مانهادكچننهميايننگميا

1 2, , , ny y y

داده نماييم، ‌اگر مرتب بزرگ به كوچك از را داده mعدد ‌ها اين ميانه مي ‌را اگر ‌ناميم،‌هاداده گيرد ‌نصف قرار عدد اين راست سمت در داده نصف و چپ سمت در ها

داده براي ميانه هايگسسته ‌محاسبه

داده كنيد با ‌فرض را آنها شده مرتب شكل و باشند ما هاي

آنگاه دهيم نمايش

(1) (2) ( ), , , ny y y

M=

1( )

2

ny

( ) ( 1)2 2

1[ ]

2 n ny y

باشد nاگر فرد

باشد nاگر زوج

مركزي ما:معيارهاينهادكچن

نهميا

يننگميا

داده براي ميانه پيوسته ‌محاسبه هاي

iFifixكالس

55/1_35/1

75/1_55/1

95/1_75/1

15/2_95/1

35/2_15/2

55/2_35/2

75/2_55/2

95/2_75/2

جمع

45/1

65/1

85/1

05/2

25/2

2/45

65/2

85/2

4

6

12

9

8

6

2

3

50

4

10

22

31

39

45

47

50

_

2( )b

mm

nF

m L wf

هر لطورده

مركزي ما:معيارهاينهادكچن

نهميا

يننگميا

252 n

pQ

كلي معيار يك بر ‌چندك در نيز را ميانه خاص حالت درعنوان و است ميانه از تراگر. ‌مي باشد، pگيرد يك و صفر بين حقيقي عدد را ‌يك عدد آنگاه

مرتبه گاه ‌مي pچندك هر p 100%ناميم

و (‌داده چپ سمت .‌داده p -1 (100%ها باشند راست سمت ها

از : عبارتند معروف چندكهاي

چاركها

ازاي ‗ به مي p =25/0، 5/0، 75/0چاركها دست با ‌به ترتيب به را آنها و آيند( ) ، اول چارك ) ‌نماد ) ( نشان ( سوم چارك و دوم چارك

دهند.‌مي

دهكها

ازاي به ، .....9/0دهكها ،2/0 ،1/0=p مي دست نماد ‌به با ترتيب به را آنها و آيند ( ) ...... ( ) ( مي ( نشان نهم دهك و ، دوم دهك ، اول دهند.‌دهك

pQ

1Q

3Q 2Q

1D

2D9D

مركزي :معيارهاي

صدكها

ازاي به مي p=01/0، 02/0،.....99/0صدكها دست نماد ‌به با ترتيب به را آنها و آيند ( ) ..... ( ) ( مي ( نشان نهم و نود صدك و ، دوم صدك ، اول دهند.‌صدك

1P

2P99P

pQ

مان

هادكچن

نهميا

يننگميا

مركزي :معيارهاي

( 1)n p

[( 1) ], =(n+1)p-rr n p

داده براي چندك هايگسسته ‌محاسبه

داده كنيد با ‌فرض را آنها شده مرتب شكل و باشند ما هاي

. چندك محاسبه براي دهيم نمايش

1 2, , , ny y y(1) (2) ( ), , , ny y y

شدبا حصحي

نباشد صحيح

( ) ( 1)(1 )p r rQ y y

مان

هادكچن

نهميا

يننگميا

)(pQ ,)1( rypnr

آماري :نمودارهاي

( )p

p

bp Q

Q

np FQ L w

f

(p) (n)

0.25 50 12.5

داده براي چندك پيوسته ‌محاسبه هاي

iFifixكالس

55/1_35/1

75/1_55/1

95/1_75/1

15/2_95/1

35/2_15/2

55/2_35/2

75/2_55/2

95/2_75/2

جمع

45/1

65/1

85/1

05/2

25/2

2/45

65/2

85/2

4

6

12

9

8

6

2

3

50

4

10

22

31

39

45

47

50

_

جدول در تجمعي فراواني ستون به توجه باقرار آن در چندك كه را كالسي فراواني،

مي مشهص كنيم‌دارد .

50 0.25 101.75 ( ) 0.2

12pQ

مان

هادكچن

نهميا

يننگميا

آماري :نمودارهاي

داده ‌داده ديگر به نسبت آن فراواني كه باشد، ‌اي بيشتر مد ‌ها يا نمامي نماد ‌ناميده با را آن و مي M شود دست. ‌نمايش به براي دهيمنما، داده ‌آوردن فراواني مي ‌نخست پيدا را داده ‌ها و كه ‌كنيم را اي

باشد، بيشتر آن مي ‌فراواني اختيار نما عنوان داده، ‌به دو اگر و ‌كنيمفراواني ديگر از بيش و يكسان فراواني باشند، ‌داراي به ‌ها را دو هر

مي اختیار نما داده ‌عنوان و مي ‌كنيم نمايي دو را آن ‌گوييم،‌ها شرط بهنزولي، غير صف يك در داده دو اين . ‌كه كه صورتي در نباشند هم كنار

نزولي، غير صف يك در داده دو را ‌اين آنها مجموع نصف باشند هم كنارمي اختيار نما عنوان يكسان. ‌به فراواني داراي داده تمام اگر كنيم

داده ‌مي‌باشند، . ‌‌گوييم نما، كه باشيد داشته ياد به هستند نما بدون به ‌هاداده در تمركز معيار يك مي ‌عنوان گرفته كار به گروهي شود.‌هاي

داده براي نما هايگسسته ‌محاسبه

مان ها

دكچننهميا

يننگميا

آماري :نمودارهاي

داده: براي برابر 18و 12، 11، 10، 10، 9، 9، 9، 7، 5، 2، 2هاي ‌مثال M=9نماداده فراواني زيرا داده 9است، ديگر فراواني از .‌بيش است ها

داده: براي داده 9و 7، 7، 7، 5، 5، 4، 4، 4، 3، 2ها ‌مثال دو نما 7و 4، عنوان بهمي داده ‌اختيار فراواني از بيش داده، دو اين فراواني زيرا ديگر ‌شوند، هاياست.

داده: براي تمام 16و 15، 12، 10، 8، 5، 3هاي ‌مثال زيرا ندارد، وجود نما ،.‌داده هستند يكسان فراواني داراي ها

داده: براي داده 9و 7، 7، 5، 5، 5، 4، 4، 4، 3، 2ها ‌مثال داراي 5و 4دو كه رامي بر نما عنوان به هستند فراواني دو ‌گزينيم،‌بيشترين اين كه آنجا از اما

دادند، قرار يكديگر كنار در نزولي غير صف يك در دو ‌داده مجموف نصفمي اختيار نما عنوان به .M=5/4يعني ‌شود،‌داده

مان ها

دكچننهميا

يننگميا

آماري :نمودارهاي

داده براي تما پيوسته ‌محاسبه هاي

1

1 2M

dM L

d d

ifixكالس

55/1_35/1

75/1_55/1

95/1_75/1

15/2_95/1

35/2_15/2

55/2_35/2

75/2_55/2

95/2_75/2

جمع

45/1

65/1

85/1

05/2

25/2

2/45

65/2

85/2

4

6

12

9

8

6

2

3

50

مي مالحظه جدول روي كه ‌از شودرده داراي 75/1_95/1فراواني

به بنابراين است فراواني بيشترينمي نظر در نما رده گيريم.‌عنوان

ir

08/0

12/0

24/0

18/0

16/0

12/0

04/0

06/0

00/1

12/0-24/0 18/0-24/0

0.121.75 0.2

0.12 0.06M

مان ها

دكچننهميا

يننگميا

پراكندگي :معيارهاي

از كاملي نسبتا توصیف میانگین موارد، از بسیاری در كه این وجود باداده مي ‌مجموعه ارائه در ‌دهد،‌ها بیشتر اطالعات وجود گاهي اما

داده . ‌مورد داده با ارتباط در مهم مفهوم يك است ضروری هاي ‌هاآنهاست، ‌آماری، تغييرات اندازه ‌ميزان كه معني چه ‌بدين تا گيريها

مي تغيير ديگر شيي به شيي يا ديگر فرد به فردي از در. ‌اندازه كنندبخش، معیارهای ‌اين عنوان به تغيرات ميزان محاسبه و بررسي به

. از عبارتند پراكندگي معیارهای مهمترین پرداخت خواهيم پراکندگیميان ‌دامنه، میانه، از يا میانگین از ها انحراف ميانگينچاركها، معيار ‌دامنه انحراف و واريانس صدكي، دامنه

داده. بخش اين در فوق، مطالب بر عالوه هاي ‌است. كرد خواهیم معرفی نيز را تغيرات ضريب و استاندارد

پراكندگي :معيارهاي

هستند داده بزرگترين و كوچكترين دامنه

از انحرافها ميانگينميانگين

از انحرافها ميانگينميانه

چاركي دامنه

صدكي دامنه

ها‌واريانسداده

انحرافمعيار

تغييرات ضريب

( ) (1)nR y y (1)y( )ny

1

| |k

m i ii

MD f x m

1

1| |

k

i ixi

MD f x xn

3 1IQR Q Q

90 10IPR P P

22 2 2

1 1

1 1( )

k k

i i i ii i

s f x x f x xn n

2

1

1( )

k

i ii

s f x xn

s

vx

براي ساده وسيله يك دامنه اگرچهدر ‌اندازه پراكندگي و اختالف گيري

داده از سري در ‌يك اما است، ها . نيست رضايتبخش موارد بيشتر

بسيار ‌داده يا بزرگ بسيار هايدامنه، كه آنند از مانع معرف ‌كوچك

. در باشد انحراف ميزان واقعيمعيار يك واريانس مواردي، چنينبه همگان قبول مورد

رود.‌شمارمي

محاسبه در اينكه به توجه باداده مي ‌واريانس مربع را كنيم، ‌ها

را آن مثبت دوم ريشه جهت بدينانحراف يا معيار انحراف كه

مي يك ‌ناميم، ‌استاندارد عنوان بهمقياس مبناي بر پراكندگي معيار

مي ‌اندازه كار به بريم.‌گيري

اندازه از است عبارت تغيير ضريببا مقايسه در معيار انحراف نسبيواحد. به همبستگي ضريب ميانگين

براي ‌اندازه و نيست وابسته گيريكار به يكسان جمعيتهاي مقايسه

كه. ‌مي اندازه هر مقايسه در رودكمتر جمعيتي ويژگي تغيير ضريب

بهتر ‌باشد، چمعيت آن ويژگيشود.‌ارزيابيمي

پراكندگي :معيارهاي

1 2, , , ny y y داده نمايانگر از ‌اگر تا فراواني جدول براساس باشند، خام هاي . ....... مي است برابر تا و ، برابر تا ، برابر كه ‌ها دانيم

. و كم را داده هر از اگر است داده معيار انحراف و ميانگين ترتيب به ويعني ، كنيم تقسيم بر

, i=1, ,kii

x xz

s

kfkx1f

xiy

1x2f2xsxs

فراواني با داده ‌آنگاه را ترتيب به هاي ‌هايمي مي. ‌استاندارد سادگي به داده ‌ناميم كه داد نشان داراي ‌توان استاندارد هاي

يك با برابر واريانس و صفر با برابر اندازه 1ميانگين واحد به و گيري ‌هستندندارند .بستگي

1 2, , , kz z z1 2, , , kf f f

استاندارد ‌داده هاي

پراكندگي :معيارهاي

1 1

65 60 5 720 700 20,

6 6 7 7z z

مي نتيجه بنابراين ، نمرات ‌چون دوم امتجان در دانشجويان كه گيريمكرده كسب را اند.‌مطلوبتري

مقاسه،) براي مي ‌ب استاندارد را دانشجو نمرات كنيم‌ابتدا

بر بهتري موقعيت از رمقايسه د دانشجو دوم آزمون نمره بنابراين ، است ‌چون خوردار .1 2z z

1 2v v

پراکندگی معیارهای

كرده • شركت امتحان دو در دانشجويان از دسته يك كنيد نتاسج ‌فرض خالصه و اند. است زير شرح به آزمونها

• : برابر نمرات ميانگين اول برابر 60آزمون معيار انحراف از 6، نمره ماكزيمم ،100

• : . نمرات ميانگين م د برابر 700آنمون معيار انحراف از 7، نمره ماكزيمم ،1000

مي- • ارزيابي و مقيسه هم با را نتيجه دو اين چگونه كنيد؟‌الفنمره- • اول آزمون در دانشجويي اگر نمره 65ب دوم آزمون در كرده 720و كسب را

است؟ مطلوبتر آزمون كدام در دانشجو وضعيت باشد،• ( مي: معلوم آزمون دو تغيير ضريب محاسبه با الف كه ‌حل شود

11

1

12

2

6 1%10

60 10

7 1%1

700 100

sv

x

sv

x

فراواني :منحنيهاي

پخ

برجسته

چپ/ به چوله نامتقارن راست/ به چوله نامتقارن

استانداد نرمال منحني

اما دارند، زيادي تنوع طبيعت در فراواني منحنيهايمتقارن يا نمايي تك فراواني منحنيهاي از بسياري . آلترين ايده پخ يا و برجسته يا و چوله يا هستند

متقارن، فراواني نرمال ‌منحني فراواني منحني . كامال فراواني منحنيهاي براي است استاندارد

ميانگين، مقادير نمايي تك هم ‌متقارن بر نما و ميانهمي طبيعت،. ‌منطبق در فراواني ‌شوند منحني عموما

مي يافت كمتر آل ايده از ‌متقارن بسياري و شودنامتقارن طبيعت در موجود فراواني منحنيهاي . ايده تقارن از انحراف ميزان هستند پخ يا برجستهبرجستگي و چولگي معيار دو با معموال را آل

سنجند.‌مي

فراواني :منحنيهاي

M m x

چولگ:ي

يا راست مثبتبه

يا پچ هب

فيمن

M m x

xMm

Mmx

گیری اندازه معیار:چولگی

s

Mx اول چولگی ضریب

پیرسن

فراواني :منحنيهاي

نرمال منحنی به یسبت را فراوانی منحنی پخی یا کشیدگی میزان . به توان می را زیر فرمول نامیم می فراوانی منحنی برجستگی استاندارد،

برد کار به برجستگی معیار .عنوان

1090

132

)(

PP

QQ

k

برحستگی ضریب

صدکی

استاندارد نرمال فراوانی منحنی برای که است شده داده ، k=0.263نشان: کنند می تعریف زیر صورت به را برجستگی ضریب معموال بنابراین

263.02)(

1090

13

PP

QQ

k برحستگی ضریبصدکی

فراوانی منحنی گوییم باشد منفی یا مثبت مقدار این که آن برحسباست پخ یا .برجسته

ای جعبه :نمودار

به ها داده کردن خالصه و نموداری روشهای شد، گفته که گونه همانآماری تحلیلهای و تجزیه در اساسی موضوعی عددی مقادیر صورتمی. را شاخه و تنه نمودار نمایش چگونه که دیدیم این از پیش است

به ها داده از استنباط و نمایش در مهم و ساده ابزاری عنوان به توانبود هستوگرام نمودار همانند بسیار نموداری چنین که گیریم .کار

با مقایسه در را دیگر امتیازهای از برخی که دیگری ارزش با نموارامتیازهای از برخی که است ای جعبه نمودار دارد شاخه و تنه نمودار

دارد وشاخه تنه نمودار با مقایسه در را . دیگر

بزرگ به کوچک از شده مرتب های داده پایه بر ای جعبه نمودار نمایشاست سوم چارک و اول چارک میانه، تعیین .و

ای جعبه :نمودار

5.122

124

2

1

n

اول شاخه گام و تنه ،نمایشنمودار9

10

11

12

13

14

15

2 0

9 0 0

9 8 7 7 6 6 5 0

9 9 9 9 9 5

0 0

0

4 0 دوم و گام اول چارک میان، مکان تعیینسوم ،چارک

مکان =میانه

به را سیزدهم و دوازدهم های داده میانگین امده دست به مقدار به توجه بایعنی گیریم، می نظر در میانه عنوان

5.1182

119118

m

ای جعبه :نمودار

عمل زیر صورت به سوم و اول چارک مکان تعیین برایکنیم می

5.62

112

2

1 12.5

2

1

مکان

میانهمکان چارکها

به پایین از هفتم و ششم های داده میانگین آمده، دست به مقدار به توجه بایعنی گیریم، می نظر در سوم چارک و اول چارک عنوان به ترتیب به را باال

1272

129125

5.1122

115110

2

1

Q

Q اول چارک

چارک سوم نکته

داده باشند، صحیح اعداد مکانها در آمده دست به مقادیر که صورتی درمی گرفته نظر در سوم چارک و اول چارک میانه، عنوان به مرتبه همان

.شود

با ای جعبه نمودار برای نمایشی ارایه در آمده دست به چارکها و میانه . به معیارهای حقیقت در دارد فرق قبل های بخش در شده بیان روش

» شده گفته معیارهای با کمی که نامند می هینج را روش این از ده آ دستاست .متفاوت

ای جعبه :نمودار

5.125.11212513 QQIQR

IQRQUIF

IQRQLIF

5.1

5.1

3

1

سوم بیرونی گام و درونی حصارهای عنوان به فاصله دو تعیین،است

کنیم می محاسبه را چارکها دامنه ، نخست

می تعریف زیر صورت به را درونی حصار کرانهای:کنیم

حصار باالی کراندرونی

حصار پایین کراندرونی

تعریف زیر صورت به مثال این در درونی حصار بنابراینشود می

)75.145,75.93(),( UIFLIF

ای جعبه :نمودار

IQRQUOF

IQRQLOF

3

3

3

1

)5.164,75(),( UOFLOF

کنیم می تعریف زیر صورت به را بیرونی حصار :کرانهای

است مثال این در بیرونی حصار زیر، فاصله نتیجه ،در

چهارم حصار گام کرانهای همسایگی در که ها داده از مقادیری تعییناست .درونی

بیشینه کمینه و دارد قرار درونی حصار در ها داده این مقادیر حقیقت درو باال کران به نزدیک که است درونی حصار در ها داده از ممکن مقدار

. نماد با را پایین کران همسایگی است درونی حصار و LAپاییننماد با را باال کران . UAهمسایگی مثال، این در بنابراین دهیم می نمایش

140

100

UA

LA

ای جعبه :نمودار

پنجم پرت گام های داده ،تعیین

. این که صورتی در نامیم می پرت داده را درونی حصار از بیرون داده هراین جز به و معتدل پرت داده را آن نباشد، بیرونی حصار از بیرون ها داده

نامیم می غایی پرت داده را آن .صورت

برد، خواهیم کار به ای جعبه نمودار در پرت های داده نمایش برای که نمادیغایی پرت داده برای توپر دایره و معتدل پرت داد برای توخالی .دایره

نتیجه در

LOF<x<LIF

LOF LIF UOFUIF

معتدل پرت دادهباال

X<LOF

غایی پرت دادهپایین

UIF<x<UOF

معتدل پرت دادهپایین

X>UOF

باال غایی پرت داده

ای جعبه :نمودار

: از عبارتند پرت های داده مثال این در داده 90و 92، 150، 154بنابراین ونداریم غایی .پرت

LOF LIFUOFUIF

80 90 100 110 120 130 140 150 160

LA UA

1Q 3Qm

IQR

Transitional Page

Elementswww.animationfactory.com