第六章 一阶电路
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第六章 一阶电路. 本章讨论可以用一阶微分方程描述的电路，主要是 RC 电路和 RL 电路，介绍 一阶电路 的 经典法 ，以及一阶电路的 时间常数 的概念。还介绍 零输入响应 、 零状态响应 、 全响应 、 瞬态分量 、 稳态分量 、 阶跃响应 、 冲激响应 等重要概念。. 内容提要. 6-1 动态电路的方程及其初始条件 6-2 一阶电路的零输入响应 6-3 一阶电路的零状态响应 6-4 一阶电路的全响应 6-5 一阶电路的阶跃响应 6-6 一阶电路的冲激响应. 重 点 1 ． 电路的微分方程及求解 2 ． 三要素方法 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第六章 一阶电路
本章讨论可以用一阶微分方程描述的电路，主要是 RC 电路和 RL 电路，介绍一阶电路的经典法，以及一阶电路的时间常数的概念。还介绍零输入响应、零状态响应、全响应、瞬态分量、稳态分量、阶跃响应、冲激响应等重要概念。
内容提要
6-1 动态电路的方程及其初始条件
6-2 一阶电路的零输入响应 6-3 一阶电路的零状态响应 6-4 一阶电路的全响应 6-5 一阶电路的阶跃响应 6-6 一阶电路的冲激响应
重 点 1 ．电路的微分方程及求解 2 ．三要素方法 3. 阶跃响应、冲激响应 难点
1. 解微分方程 2. 阶跃响应、冲激响应
6-1 动态电路的方程及其初始条件
微分方程
一、动态电路及方程
3 、描述方程∶
i + _ us uc + C
_ R
i uc + C
_
Ns
i is uc + C
_ G
2 、动态电路∶
1 、动态元件∶储能元件C 、 L 元
件
含动态元件的电路。
线性前提
一、二阶电路
一阶标准电路
如果电路仅含一个动态元件，则可以把该动态元件以外的电阻电路用戴维宁电路或诺顿电路置换，从而把它变换为 RC 电路或及 RL 电路。这种电路称为一阶动态标准电路。
4 、求解动态电路的基本步骤
1) 分析电路情况，得出待求电量的初始值； 2) 根据克希霍夫定律列写电路方程； 3) 解微分方程，得出待求量。
二、动态电路的重要特征 ----- 过渡过程1 、定义∶
2 、原因∶
C 充电实例
uC
US O t
过渡过程
动态电路的一个特征是当电路的结构或元件的参数发生变化时 ( 例如电路中电源或无源元件的断开或接入，信号突然注入等 ) ，可能使电路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状态，这种转变往往需要经历一个过程，在工程上称为过渡过程。
电路结构或参数变化引起的电路变化统称为“换路”
外因 换路
内因 能量不能跃变
i + _ us uc + C
_ R
S
• 在实际情况下，状态的转变往往不是突变的，而需要一个过程——即过渡过程。电路中也有过渡过程，如电路中的电容或电感等储能元件的存在，则在电源接通后电容通过充电而升高电压，这一过程是渐变的；电感则由于电磁感应作用而使电流不能立即达到稳定值，也是渐变过程。
三、电路的初始条件
3 、换路讨论∶ i + _ us uc + C
_ R
S t = 0
t = 0换路 :
换路初瞬∶ t = 0-
换路未瞬∶ t = 0+ )( 0cu
)( 0cu
换路∶ t = t0
t = t0- t = t0+
换路直接关系动态电路的计算∶
微分方程的初始条件
1 、换路定律∶)()( 00 cc uu )()( 00 LL ii
duL
titit
t LLL )()()( 0
10
diC
tutut
t ccc )()()( 0
10
duL
ii LLL )()()(
0
0
100
diC
uu ccc )()()(
0
0
100
ditqtqt
t c )()()( 0
0
duttt
t LLL )()()( 0
0
)()( 00 cc uu
)()( 00 LL ii
)()( 00 qq
)()( 00 LL
说明∶ dt
dqic dt
du L
L
Cuq LiL
具体做法是： t ＝ 0+ 时的电容电压和电感电流分别以电压源和电流源来替代，此电压源的电压和电流源的电流分别等于电容电压和电感电 流在 t ＝ 0+ 时的值。对于电路中的独立电源，则取其 t ＝ 0+ 时的 值。这样就获得了一个计算电路，有时称为 0+ 等效电路，可以用来计算非独立初始条件。
2 、初值计算∶
0+ 等效电路
0- 等效电路
)()( 00 cc uu )()( 00 LL ii
)()( 00 cc uu )()( 00 LL ii
如电路已达稳态，则有电容开路、电感短路。
)( 0cu )( 0Li求∶
已知： ， ，
求： 0+ 值
VU S 12 kR 41 kR 22
i1( t ) R1 t =0 i2( t ) + + iC( t ) US uC(t) _ _ R2
例题 1电路
例题 1
解：换路前 --- 0t ?)0( Cu
VuC 12)0(
R1 + + US uC(t) _ _ R2
（0- 时的电路）
换路后 --- 0t
i1(0+) R1 i2(0+ ) + + iC(0+ ) US _ 12V R2 -
（0+ 时的电路）
04
1212)0()0(
1
1
R
uUi CS
)(62
12)0()0(
2
2 mAR
ui C
)(6)0()0()0( 21 mAiiiC
VU S 12
kR 41
kR 22Vuu CC 12)0()0(
例题 2 i1( t ) R1 R2 iL( t ) + + US S uL(t) _ (t=0) _ i2( t )
图 2(a)
R1 R2 + US iL(0-) _ _
图 2(b) 0- 时的电路
i1(0+) R1 R2 iL(0+ ) + + US uL(0+ ) _ i2(0+ ) _
图 2(c) 0+ 时的电路
值求 0,4,6,10 21 RRu V
S
)0(146
10)0(
21
L
sL iA
RR
ui
AR
Ui S 67.1
6
10)0(
11
A
iii L
67.0167.1
)0()0()0( 12
ViRu LL 414)0()0( 2
6-2 一阶电路的零输入响应
概念综述∶ 1 ．零状态——初始时各个电容电压与电感电流均为零，称这种电路状态为“零状态” ，又称为“零原始状态” 。
2 ．零状态响应——电路在零状态情况下，仅由电路的输入激励产生的响应。
3 ．零输入响应——电路在无输入激励情况下，仅由原始状态产生的响应。
4. 全响应——当一个非零原始状态的电路在输入激励的情况下产生的响应。
我们先来讨论 RC 电路的零输入响应
一阶电路中仅有一个储能元件 ( 电感或电容 ) ，如果在换路瞬 间储能元件原来就有能量储存，那么即使电路中并无外施电源存在，换路后电路中仍将有电压、电流。这是因为储能元件所储存的 能量要通过电路中的电阻以热能的形式放出。由于在这种情况下电路中并无外电源输入，因而电路中所引起的电压或电流就称为电路的零输入响应。
一、 RC 电路的零输入响应
1 、方程与响应
S（t = 0） + + C uC R uR
_ i _
dt
duCi C
如图所示 , 0)0()0( Uuu CC 初始∶分析 情况0t
CR uu
dt
duRCR
dt
duCiRuu CC
CR
iRuR
说明∶
方程 0 CC u
dt
duRC )( 0t
0)0( UuC
一阶微分方程的求解简介
(1) 一阶微分方程的解的分析 BwAx
dt
dx
)()()( txtxtx ph
)(txh
其解为：
原方程对应的齐次方程的通解 )(tx p 非齐次方程的一个特解
特征根 p
(2) 的求解)(txh
齐次方程的特征方程
解出
pth Ketx )(
pth Ketx )(BwAx
dt
dx 0 Ax
dt
dx
输入函数的形式
假设
代定系数法
常数 Q
代入
求出
(3) 的求解)(tx p
特解的形式
原微分方程
BwAxdt
dx
(4) 一阶微分方程的解的求取
)(
)()()(
txKe
txtxtx
ppt
ph
将初始条件： 代入 00 )( Xtx
000 )()( 0 XtxKetx ppt
确定常数 K
非齐次方程的解
方程求解
特征方程 ：01 )(RCp
RCp
1
00 UuA C )(
t
tRC
C eUeUu
0
1
0
0 CC u
dt
duRC )( 0t
ptC Aeu 通解：
求常数∶
得解∶ RC
S（t = 0） + + C uC R uR
_ i _
00 UuC )(
ttC e
R
UeU
dt
dC
dt
duCi
10
1
0
)( RC uu
RC 电路的零输入响应曲线
t
tRC
RC eUeUuu
0
1
0
uC , i
U0 uC i 0.368U0 0 t
te
R
Ui
10
时间常数是体现一阶电路特性的参数，它只与电路的参数有关，而与激励无关。
2 、波形的进一步讨论 --- 的意义
(1) 定义时间常数 ∶ RC
uC
U0 0.368U0 0 t 4
t
tRC
C eUeUu
0
1
0
秒安培秒安培
伏特库仑
安培伏特法拉欧姆
S（t = 0） + + C uC R uR
_ i _
(2) 分析∶ 03680 Uuc .)(
00 201804 UUuc %.)(
( 工程上认为过渡过程结束 )
表明，零输入响应在任一时刻 t0 的值，经过一个时间常数 后，衰减了 63 ． 2% ，即成为其原值的 36 ． 8% 。工程上—般认为，换路后时间经 3 ---5 后，放电过程便基本上结束，此时电容电压已衰减 0.05uc(0+) --- 0. 007uc(0+) 。不过，从理论上讲，只有经过 t ＝ 时间，电路中各变量才衰减到零。
uC
U0 0.368U0 1
2 3 t
O
时间常数 决定衰减速率
321
衰减速率 : 321 CCC uuu
1cu2cu
3cu
次切距 BC
uC
U0
)( 0tuc
A t 0 B C 4
0t
0
0
0
1
0
1
00
1 t
t
t
c
c
eU
eU
dt
dutu
tg
ABBC
)(
t
tRC
C eUeUu
0
1
0
已知 S闭合前电路已处于稳定状态， R1=R2=50Ω， R3=100Ω， C=0.02F。试求在t=0 时， S断开后的 uC（ t）和 i3（ t）
例例
解：先求 uC（ 0+
） R3
t=0
S
+
- 24VUS R1
R2
C+uC
-
i3
016
2450100
100
)0()0(
U
uu
V
cc
t
tRC
C eUeUu
0
1
0
R1
R2
R3
C+uC
-
i3
t
uC i
0
VeeUu tt
C
160 Ae
R
tuti tC 16.0
)()(
33
50
100)5050(
100)5050(
)(
)(
321
321
RRR
RRRR
sRC 102.050
二、 RL 电路的零输入响应 R0 S(t=0) + U0 + R _ L uL _
初始∶ t = 0
如图所示∶
方程∶
解∶
i( t ) + - uL(t) uR (t) R _ L +
0t000 Iii LL )()(
0 LR uu RiuR dt
diLuL
0 Ridt
diL
00 IiL )(0t
ptAei
0 RLpL
Rp t
L
R
Aei
tL
R
eIi
0
teIi
1
0
R
L
AIi 00 )(
时间常数
响应∶
波形∶
与 RC 电路比较∶
t
R eRIRiu 1
0
t
RL eRIudt
diLu
1
0
teIi
1
0
i, uR
RI0 uR I0 i 0.368RI0 0 4 t
i( t ) + - uL(t) uR (t) R _ L +
0t
RCRC 电路
R
LRL 电路
uC
U0 0.368U0 1
2 3 t
O
1 ．时间常数是体现一阶电路特性的参数，它只与电路的结构与参数有关，而与激励无关。
2 ．对于含电容的一阶电路， ；
对于含电感的一阶电路，
R
L
RC3 ． 越大，电惯性越大，相同初始值情况下，放电时间越长。
4 ．一阶电路方程的特征根为时间常数的倒数 ;
它具有频率的量纲，称为“固有频率”
综述∶ 以 RC 电路为例
t
tRC
C eUeUu
0
1
0
1
p
6-3 一阶电路的零状态响应
S（t = 0） + uR - R + + _ Us C uc
i _
主要讨论∶直流输入下零状态 响应
1 、 RC串联电路
方程∶
求解∶
条件∶ ; t=0 , S闭合00 )(CU
问题∶ 分析 ，电路的响应？0t
SC
C Udt
duRCu
0t00 )(CU
ptC
CCC
Ketu
tututu
)(
)()()(
齐次方程的通解
非齐次方程的一个特解
01 )(RCpRC
p1
齐次方程的通解 ：
t
ptC AeAeu
SCC Uu
dt
udRC
非齐次方程的特解 ：
ptC Ketu )(
)(tuC
SC Utu )(显然∶
ptC
CCC
Ketu
tututu
)(
)()()(
t
SCCC AeUuuu
'''方程的解 ：
由初始值： 0)0( Cu
000
SSC UAUAeu )(
SUA
)()( t
SS
t
SC eUUeUtu
1
t
S eR
U
dt
duCi
0t
t
SCSR eUuUu
S（t = 0） + uR - R + + _ Us C uc
i _
故∶
同时∶
RC 电路的零状态响应曲线
i, uC
US uC US/R i 0 t
)()( t
SC eUtu
1
t
S eR
Ui
S（t = 0） + uR - R + + _ Us C uc
i _
能量状况∶ 0CR WW
CS
tRCS
tS
R WCUeRC
R
URdte
R
URdtiW
2
0
22
0
2
0
2
2
1
2)()(
充电效率为 50%
)cos( umS tUu
t=0 R i( t ) + + uS uL(t) _ _ L
2 、 RL串联电路主要讨论∶正弦输入下零状态响应
方程∶
求解∶
问题∶ 分析 ，电路的响应？0t
)cos( umLL tURi
dt
diL
0t00 )(Ci
ptLLLL Ketitititi )()()()(
齐次方程的通解
非齐次方程的一个特解
条件∶ ; t=0 , S闭合00 )(Li
0 )( RLpL
Rp
齐次方程的通解 ：
t
ptL AeAei
非齐次方程的特解 ：
ptL Keti )(
)(tiL
)cos( umLL tUiR
dt
idL
)cos()( tIti mL
ptL
LLL
Keti
tititi
)(
)()()(
)cos()cos()sin( ummm tUtRItLI
)cos()sin()cos( ummm tUtLItRI
待定系数法确定 和 :mI
R
L
22 )( LRZ
)cos(
]sin)sin(cos)[cos(
])sin()[cos(
)]sin()cos([
tZI
ttZI
Z
Lt
Z
RtZI
tLtRI
m
m
m
m
)cos()cos( umm tUtZI mm UZI
u
22 )( LR
U
Z
UI mm
m
u
)cos( um t
Z
Ui
引入如图三角形关系
t
um Aet
Z
Uiii
)cos(
AZ
Uu
m )cos( 0
)cos( um
Z
UA
t
um
um e
Z
Ut
Z
Ui
)cos()cos(
RiuR dt
diLuL
方程的通解为∶
代入初始条件∶
于是∶
可见∶当激励为非直流时，即或对简单的一阶电路，解都是困难的。
6-4 一阶电路的全响应
主要研究一阶直流电路的全响应问题
前面，我们已经研究了一阶电路的零输入响应、零状态响应问题。现在，我们将研究其全响应问题。
当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为全响应。
方程∶
S（t = 0） R + - + uR + us uc C
- i _
SC
C udt
duRCu
一、全响应的求解和分析 ----- 经典法
求解∶
1 、求解∶
以 RC串联电路为例∶
问题∶ 分析 ，电路的响应？0t
条件∶ ; t=0 , S 闭合00 UuC )(
00 UuC )( 0t
ptC
CCC
Ketu
tututu
)(
)()()(
01 )(RCpRC
p1
齐次方程的通解 ：
t
ptC AeAeu
SCC Uu
dt
udRC
非齐次方程的特解 ：
ptC Ketu )(
)(tuC
SC Utu )(显然∶
ptC
CCC
Ketu
tututu
)(
)()()(
t
SCCC AeUuuu
'''方程的解 ：
由初始值： 000 Uuu CC )()(
0
0
0 UUAUAeu SSC
)(
SUUA 0
)()()( t
S
tt
SSC eUeUeUUUtu
1000t
S（t = 0） + uR - R + + _ Us C uc
i _
故∶
t
S eR
UU
dt
duCi
)( 0
t
SCSR eUUuUu
)( 0
同时∶
响应曲线 uC
Us U0 O t
一阶电路的全响应曲线一
uC
U0 O t Us
一阶电路的全响应曲线二
)()()( t
S
tt
SSC eUeUeUUUtu
100
0UU S 0UU S
2 、响应分解∶
全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
全响应 = 稳态分量 + 瞬态分量
t
SSC eUUUtu
)()( 0
)()( t
S
t
C eUeUtu
10
零输入响应零状态响应
瞬态分量稳态分量
全响应 = 强制分量 + 自由分量
二、全响应的另一种解法 ---- 三要素法
1 、条件∶ 一阶、直流输入
2 、结论∶ 设 f(t) 为电路中任一响应
---- 为电路中的任一待求电压或电流；)(tf
---- 为时间常数 。
)(f ---- 为相应待求量的稳态值；
)( 0f ---- 为相应待求量的初始值（ 0+ 时的值）；
t
effftf
)]()([)()( 0 0t
注意∶
3 、说明∶ 以 RC串联电路为例
t
SSC eUUUtu
)()( 0
t
effftf
)]()([)()( 0
值 ---- 稳态值 (C 开路、 L 短路 ))(f
t
CCCC euuutu
)]()([)()( 0
00 UuC )( SC Uu )(
S（t = 0） + uR - R + + _ Us C uc
i _
RC
t
SR eUUu
)( 0
t
RRRR euuutu
)]()([)()( 0
)()( 00 UUu SR 0)(Ru
t
S eR
UUi
)( 0
t
eiiiti
)]()([)()( 0
R
UUi S 00
)( oi )(
t
SSC eUUUtu
)()( 0t
SR eUUu
)( 0t
S eR
UUi
)( 0
用断路代替电容，用短路代替电感。
)( 0Cu )( 0Cu
)( 0Li )( 0Li
4 、三要素法的计算步骤 1）计算初始值
2）计算稳态值
0- 等效电路
0+ 等效电路
t
effftf
)]()([)()( 0
)( 0f
)(f
等效电路3）计算时间常数
RCRL /
eqRR
戴维南电路入端电阻
21
111
CCC
21 CCC
21 LLL
21
111
LLL
串联：
并联：
t
effftf
)]()([)()( 0
4) 注意∶
可化为一阶电路的情况∶
当起点在 0tt
S（t = t0） + uR - + R + _ Us C uc
_ i
RC
有
0
0
tt
eftfftf )]()([)()( 0tt
6-5 一阶电路阶跃响应
一、单位阶跃函数
01
00
t
tt
)(
)(t
1 t
O 单位阶跃函数
1 、定义∶
2 、延时单位阶跃函数
0
00 1
0
tt
tttt
)(
)( 0tt
1 t0 t
O 延 时 的 单 位 阶 跃 函 数
阶跃响应∶ 对阶跃函数的零状态响应
3 、阶跃函数在电路中的物理实现 t=0
+ + A )(tA
_ _
阶跃函数的电路实现
动
态
网
络
动
态
网
络
4 、起始作用
0
00
0
tttf
tttttf
)(
)()(
f(t) )( 0tt
t0 t
O
0
00 1
0
tt
tttt
)(
脉冲信号分解为两个阶跃信号叠加：
)()()( 0ttttf
f ( t ) ( t ) ( t- t0 ) 1 1 t O t O t0 t
O t0 -1
5 、组成新函数
分段常量信号举例∶f ( t ) f ( t ) A1
1 A2 O t1 t2 t A3 t O t1 t2 t3
-1 A4
f( t ) f( t ) 1 A t t
O t0 O t0 2t0 3t0 4t0 5t0
矩形脉冲信号与脉冲串
分段常量信号
二、 单位阶跃响应 1 、定义 :
零状态电路对单位阶跃信号的响应。2 、实质： 直流激励的零状态响应 直接用零状态响应的计算公式或三要素法进行计算。
R i
+ + )( tA C u c
_ -
R i
+ +
_ )(t - C
uc
)()()( tetut
C
1 )()()( teAtut
C
1
)()( t
SC eUtu
1
激励 响应
)(t
)(tA
)( 0tt
)( 0ttA
)()1()( tetut
C
)()1()( teAtut
C
)()1()( 0
0
ttetutt
C
)()1()( 0
0
tteAtutt
C
R i
+ + )( tA C u c
_ -
)()( t
SC eUtu
1
已知：电路如图所示，电容上原来无储能
求 ： 1k uS(t) (V) + + 10 10F uS(t) uC(t) O 2 3 t (s) _ _ -20
)(tuC
三、分段直流激励的响应计算
)3(20)2(30)(10)( ttttuS
stu
stsVu
stVu
S
S
S
30
3220
2010
解：
或：
2 、叠加法
1 、子区间的三要素法
注意两个问题： 1）用上一个分段区域求得的状态变量函数式计算下一个分段区域的初始值； 2）对起始点不在计时零点区域的响应，在直接列写结果时应该将时间延迟加入计算式中。
1k uS(t) (V) + + 10 10F uS(t) uC(t) O 2 3 t (s) _ _ -20
)3(20)2(30)(10)( ttttuS
stu
stsVu
stVu
S
S
S
30
3220
2010
分段直流激励的响应计算
skRC 01.0101
1） st 20 Vetu t
C )1(10)( 1001
VeuC 10)1(10)2( 21001
1k uS(t) (V) + + 10 10F uS(t) uC(t) O 2 3 t (s) _ _ -20
解 1 ： 三要素法
2） sts 32
Veetu ttC
)2(100)2(1002 3020)]20(10[20)(
VeuC 203020)3( )23(1002
stu
stsVu
stVu
S
S
S
30
3220
2010
3）
st 3Veetu tt
C)3(100)3(100
3 20)020(0)(
t
CCCC euuutu
)]()([)()( 0
解 2 ：
)3(20)2(30)(10)( ttttuS)1(10)(10 100tet
)1(30)2(30 )2(100 tet
)1(20)3(20 )3(100 tet
1k uS(t) (V) + + 10 10F uS(t) uC(t) O 2 3 t (s) _ _ -20
叠加法
)3()1(20
)2()1(30)()1(10)()3(100
)2(100100
te
tetetut
ttC
)()( t
SC eUtu
1
st
sts
st
Ve
Ve
Ve
tut
t
t
C
3
32
20
20
3020
)1(10
)()3(100
)2(100
100
解 1 ：
响应曲线 uC(t) (V)
10
O 2 3 t (s)
-20
6-6 一阶电路的冲激响应
一、单位冲激函数 1 、单位冲激函数的定义
)(
)(
dtt
tt
1
00
(t) (t - t0) 1 1 t t 0 0 t0
单位冲激函数及延时的单位冲激函数
)(
)(
dttt
tttt
1
0
0
00
延迟单位冲激函数∶
关于单位冲激函数的理解 : t t t 2/ 2/ 0 0 t t 0 0
冲激函数对应的规则函数
12
1
1
k
1
k
k
0
2 、冲激函数的强度
K(t) K (t - t0) K K t t 0 0 t0
强度为 K的冲激函数及延时的冲激函数
3 、单位冲激函数的特性 1） 与 的关系 :)(t )(t
)()(
)()(
tdt
td
tdt
互为微积分关系 (t) 1 t 0 (t) 1 t 0
单位冲激函数与单位阶跃函数
(t- t0) 1 t0 t 0 (t- t0) 1 t0 t 0 有延时的单位冲激函数与单位阶跃函数
)(01
00)( t
t
td
t
)(
)(
dtt
tt
1
00
2）筛分特性
)()()()( tfttf 0
)()()()()()()( 000 fdttfdttfdtttf
)()()()()()()( 000000 tfdttttfdttttfdttttf
4 、电路中的冲激现象 1）冲激的产生
S（t = 0） + + C U uC
_ i _
)()(
)( tCUdt
tdCU
dt
duCti C
1）有冲激电源2）电容与电压源并联（电感与电流源串联）3）不同初值的电容并联（不同初值的电感串联）
注意：
2) 冲激电路中初值的计算
t
t CCC dttiC
tutu0
)(1
)()( 0
)()( tAtiC
C
AudttA
Cuu CCC
)()()()( 01
000
0
0
0)(
1)0()0( dtti
Cuu CCC
C
Auu CC )()( 00
二、一阶电路的冲激响应 为 激励下的零状态响应)(t
1 、以 RC并联电路为例分析∶(1) 方程∶
(2) 物理过程∶
0
00
1t
u
tuRdt
duC
C
CC
)(
)(
实质是求 的零输入响应问题)( 0Cu
+ )(t R uc
i _
i
+ R uc
_
零状态 响应
零输入 响应休止
0 0t
0
0
01
0
tUu
uRdt
duC
C
CC
)(
零输入响应
00 teutut
CC)()(
法 1
(4) 解∶
法 2
(3) 求 ∶)( 0Cu
原方程积分 00
diC
uC
0
0
10 )()(
01
0 teC
eututt
CC)()(
CuC
10 )(
)()(
)]([)(
tet
teCdt
dC
dt
duCti
t
tC
C
1
1
0
0
0
0
0
0
)(1
dttdtuR
dtdt
duC C
C )(1
tuRdt
duC C
C
2 、 RL串联电路∶与 RC类似的分析思路和方法
如图，有∶
转为∶
R + L
)(t
_ iL
R L
iL
0
00t
i
tRidt
diL
L
LL
)(
)(
0
0
0
0
tIi
Ridt
diL
L
LL
)(
Lidtt
Lii LLL
10
100
0
0
)()()()( L
iL
10 )(
)()()( teL
teiitt
LL
1
0
三、冲激响应 h(t) 与阶跃响应 S(t) 的关系
说明∶
冲激响应 h(t) ∶由冲激激励所引起的电路响应
阶跃响应 S(t) ∶由阶跃激励所引起的电路响应
如表 6-2之关系 及表 6-2 结论
结论∶dt
tdSth
)()(
或 dtthtS )()(
600
+
+
(t) 100m 400
_
iL(t) _
已知：如图
求：初始值 及响应)0( Li )(tiL
例 1
解：VttuL )(4.0)(
600400
400)0(
初始值
Adtt
dttuL
ii LLL
4)(4.010100
10
)(1
)0()0(
0
03
0
0
所以：
0)0( Li
Lu
600
+
100m 400
iL(t) _
Lu
t
LLLL eiiiti
)]()0([)()(
0t
00 t 冲激响应
零输入响应
)0( Li
稳态值 0)( Li
Aeeeiiiti ttt
LLLL24002400 4]04[0)]()0([)()(
0t
响应
)(2400
1
240
10100
//
3
21
sRR
L
R
L
时间常数
600
+
100m 400
iL(t) _
LuAiL 4)0(
t
LLLL eiiiti
)]()0([)()(
Ateti tL )(4)( 2400
)(4.0)(960
)](4)(24004[1.0
)](4[10100
)()(
2400
24002400
24003
tte
tetedt
ted
dt
tdiLtu
t
tt
tL
L
可见，电压出现了冲激部分 。
当不同初值的电容并联时 ，电路中可能出现冲激电流，换路关系变为 :
)0()0()0(
)0()0()0(
21
21
21
21
n
n
CnCC
CnCC
uCuCuC
uCuCuC
))(0()0()0( 2121 21CCuuCuC CCC
21
21 )0()0()0( 21
CC
uCuCu CC
C
)0()0( qq
两个电容并联 :
500k
R
+ + C1 + C2
US 1 1
_ _ _
例 2
500k
R
+ + C1 + C2
US 1 1
_ _ _
VU S 10
)0(1 Cu )0(
2 Cu )(1
tuC)(
2tuC求 : 初始值： 、 及 、 。
,t=0 时开关闭合。已知：电路如图，其中
解：初始值
所以：
根据电荷守恒
))(0()0()0( 2121 21CCuuCuC CCC
21
21 )0()0()0( 21
CC
uCuCu CC
C
VUu SC 10)0(1
VuC 0)0(
2
VCC
uCuCu CC
C 5102
0101010)0()0()0(
6
66
21
21 21
Vuu CC 5)0()0(21
稳态值 : VUuu SCC 10)()(21
)(110210500)( 6321 sCCRRC
响应 :
时间常数 :
初始值 : Vuu CC 5)0()0(21
500k
R
+ + C1 + C2
US 1 1
_ _ _
Vee
euuututt
t
CCCC
510]105[10
})]()0([)({)(1111
)0( t
Vee
euuututt
t
CCCC
510]105[10
)]()0([)()(2222
)0( t
)0()0()0(
)0()0()0(
21
21
21
21
n
n
LnLL
LnLL
iLiLiL
iLiLiL
))(0()0()0( 2121 21LLiiLiL LLL
21
21 )0()0()0( 21
LL
iLiLi LLL
不同初值的电感串联时电路中可能出现冲激电压，换路关系变为 :
)0()0(
两个电感串联 :
6 3 0.75 3
+ +
12 t=0 9
_ _
iL1(t) iL2(t)
6 3 0.75 3
+ +
12 t=0 9
_ _
iL1(t) iL2(t)
例3
)0( Li )(1
tiL)(
2tiL求：初始值 及响应 、
解： 根据磁链守恒： ))(0()0()0( 2121 21LLiiLiL LLL
21
21 )0()0()0( 21
LL
iLiLi LL
L
AiL 33
9)0(
2
所以： AiL 175.03
)3(75.023)0(
Aii LL 1)0()0(21
AiL 26
12)0(
1而：
Aii LL 1)0()0(21
初始值
sR
LL
R
L
12
5
36
75.0321
时间常数
Aii LL 3/1)()(21
稳态值
响应
6 3 0.75 3
+ +
12 t=0 9
_ _
iL1(t) iL2(t)
Aee
eiiiti
tt
t
LLLL
)21(3
1]
3
11[
3
1
})]()0([)({)(
4.24.2
1111
)0( t
Aee
eiiiti
tt
t
LLLL
)21(3
1]
3
11[
3
1
})]()0([)({)(
4.24.2
2222
)0( t