四、小结思考题

四、小结思考题四、小结思考题

二、图形描绘的步骤二、图形描绘的步骤三、作图举例三、作图举例

一、渐近线一、渐近线

高等数学三高等数学三⑥⑥高等数学三高等数学三⑥⑥

2/212/21

.)(,,

)(

的一条渐近线就称为曲线那么直线的距离趋向于零到某定直线如果点无穷点时沿着曲线移向上的一动点当曲线

xfyLLP

Pxfy

1 、定义1 、定义

2 、分类2 、分类⑴ 铅直渐近线 )( 轴的渐近线垂直于 x

.)(

)(lim)(lim

0

00

的一条铅直渐近线就是那么

或如果

xfyxx

xfxfxxxx

例如 ,)3)(2(

1

xx

y

有铅直渐近线两条 :

.3,2 xx


3/213/21

⑵ 水平渐近线 )( 轴的渐近线平行于 x

.)(

)()(lim)(lim

的一条水平渐近线就是那么为常数或如果

xfyby

bbxfbxfxx

例如 ,arctan xy 有水平渐近线两条 :

.2

,2

yy

⑶ 斜渐近线

.)(

),(0)]()([lim0)]()([lim

的一条斜渐近线就是那么为常数或若

xfybaxy

babaxxfbaxxfxx

斜渐近线求法 : ,)(

lim axxf

x

.])([lim baxxf

x

.)( 的一条斜渐近线就是曲线那么 xfybaxy


4/214/21

⑷ 注意 :

;)(

lim1 不存在如果x

xfx

,])([lim,)(

lim2 不存在但存在 axxfax

xfxx

.)( 不存在斜渐近线可以断定 xfy

例 1 .1

)3)(2(2)( 的渐近线求

x

xxxf

解 ).,1()1,(: D

)(lim

1xf

x ,

)(lim

1xf

x,

.1是曲线的铅直渐近线 x

x

xfx

)(lim又

)1()3)(2(2

lim

xx

xxx

,2

]2)1(

)3)(2(2[lim x

xx

xxx

1

)1(2)3)(2(2lim

x

xxxxx

,41

124lim

x

xx


5/215/21

.42 是曲线的一条斜渐近线 xy

的两条渐近线如图1

)3)(2(2)(

x

xxxf


6/216/21

①确定 )(xfy 的定义域、奇偶性、周期

性，并求出 )()( xfxf 和；

⑴ 学习的理由：借助一阶导数可以确定函数的单调性与极值，借助二阶导数可以确定函数的凹凸性与拐点，由此掌握函数特性，进而可描绘出函数图形。借助计算机和数学软件可以方便地画出图形，但为了识别误差、掌握图形关键点、选择作图范围以实现人工对机器的干预。

②求 0)(' xf 和 0)(" xf 的全部实根或导数不存在的点，以这些点划分定义域；

1 、利用导数描绘图形的一般步骤1 、利用导数描绘图形的一般步骤

⑵ 一般步骤：

③据 )(' xf 和 )(" xf 的符号确定函数的升降和凹凸，极值和拐点，结合分区列表；

④ 确定曲线的水平、铅直、斜渐近线以及其他变化趋势 ;⑤找出曲线上若干特殃的点，描绘函数的图形。


7/217/21

例 2 .2)1(4

)( 2 的图形作函数

x

xxf

解 ).,0(),0,(:)1( D 非奇非偶函数 , 且无对称性 .,

)2(4)( 3x

xxf

求出 .

)3(8)( 4x

xxf

;2)()2( xxf 的零点为),0(),0,2(),2,3(),3,(: 则定义域可分为

2 、实例分析2 、实例分析

(3) 列表确定函数升降区间，凹凸区间及极值点和拐点：

;3)( xxf 的零点为

x )3,( ),0( )2,3( 3 )0,2()(xf

)(xf

0

0)(xf

2 0

不存在

拐点极值点间断点3)

926

,3(


8/218/21

]2)1(4

[lim)(lim 200

xx

xfxx

, .0x得铅直渐近线

]2)1(4

[lim)(lim)4( 2

x

xxf

xx由于 ,2 ;2y得水平渐近线

:)5( 补充点 );0,31(),0,31(

),2,1( A ),6,1(B

).1,2(C 作图

x

y

o2

3

2

1

1123

6

A

B

C


9/219/21

2)1(4

)( 2

xx

xf

与计算机作图（如下）进行比较：


10/2110/21

例 3 .2

1)( 2

2

的图形作函数x

ex

解 ),,(:)1( D

故 φ(x) 是偶函数，图形关于 y 轴对称，故可只讨论 [0 ， +∞).

,2

)( 2

2x

ex

x

.1)(;0)(,),0[)2( xxxx 的零点为的零点为上在 ).,1[],1,0[),0[1 划分成两个区间的点把用x

),(2

1

2

1)(: 22

)( 22

xeexxx

由于

.2

)1)(1()( 2

2x

exx

x

2

2

2

1lim)(lim)4(

x

xxex

,0 .0y得水平渐近线

(3) 列表确定函数升降区间，凹凸区间及极值点和拐点，( 见下页 ) ：


11/2111/21

x ),1( )1,0(

)(x

)(x

0

)(x

0 1

极大值2

1

0

拐点 )21

,1(e

x

y

o 1

2

1

).2

1,2()

2

1,1(),

2

1,0(:)5(

2321e

Me

MM

和补充点

2

结合⑶⑷作出 [0,+∞) 上的图形 .利用对称性，便可得到(-∞,0] 上的图形 .


12/2112/21

2

2

21

)(x

ex



13/2113/21

例 4 .1)( 23 的图形作函数 xxxxf

解 ),,(:)1( D 无奇偶性及周期性 .),1)(13()( xxxf ).13(2)( xxf

的零点为)()2( xf ;13

1 xx 和的零点为)(xf .

3

1x

).,1[],1,3

1[],

3

1,

3

1[],

3

1,(: 则定义域可分为

(3) 列表确定函数升降区间，凹凸区间及极值点和拐点：x )

31

,( ),1( )31

,31

(31

)1,31

(

031

1

拐点极大值

2732

)2716

,31

(

0)(xf

)(xf

)(xf

极小值0


14/2114/21

x

y

o)0,1(A

)1,0(B)

85

,23

(C

1131

31

:)5( 补充点 ),0,1(A ),1,0(B ).85

,23

(C

.,,;,)4( 无渐近线时当时当 yxyx

结合⑶中的极值点与拐点、升降区间与凹凸区间，作出函数的图形 .


15/2115/21

123 xxxy



16/2116/21

1 、定义一、渐近线一、渐近线

2 、分类三、小结三、小结

函数图形的描绘综合运用函数性态的研究，是导数应用的综合考察。

2 、实例分析

二、图形描绘的步骤二、图形描绘的步骤1 、利用导数描绘图形的一般步骤

x

y

oa b

最大

值

最小

值

极大

值

极小

值拐点凹的

凸的单增

单减)(xfy

思考题思考题两坐标轴 0x , 0y 是否

都是x

xxf

sin)( 的渐近线？

作业：第 166页1 ； 3 。


17/2117/21

0sin

lim x

xx

0y 是其图象的渐近线.

0x 不是其图象的渐近线.

1sin

lim0 x

xx

xx

ysin


18/2118/21

一、填空题：

1、曲线 xey1

的水平渐近线为 _______________.

2、曲线1

1

xy 的水平渐近线为 ______________，

铅直渐近线为 ______________.二、描出下列函数的图形：

1、 x

xy12 ；

2、 22 )1( xxy ；3、 xy sinln .

三、求曲线x

xy1

的渐近线并画图 .


19/2119/21

一、1、 1y ； 2、 1,0 xy .

x

y

392

31

1ox

y

1 3 21o

3 223

1 图 2图

二、


20/2120/21

x

y

o

3 图

2 3 2

三、

.0

;

x

xy

铅直渐近线斜渐近线

x

y

1 o

1

四、小结 思考题

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四、小结思考题