三、小结思考题

三、小结思考题三、小结思考题

一、极限存在准则一、极限存在准则二、两个重要极限二、两个重要极限

高等数学高等数学一一⑥⑥高等数学高等数学一一⑥⑥

2/162/16

.lim,}{

.lim,lim)2();,3,2,1()1(

:,

axx

azaynzxy

zyx

nn

n

nn

nn

nnn

nnn

且的极限存在那么数列

满足下列条件及如果数列

1 、夹逼准则1 、夹逼准则准则Ⅰ

证 ,, azay nn 使得,0,0,0 21 NN,1 ayNn n时恒有当

},,max{ 21 NNN 取

恒有时当 ,Nn , aya n即

,2 azNn n时恒有当

, aza n

上两式同时成立 ,

, azxya nnn

,成立即 axn .lim axnn

,时当 Nn


3/163/16

.)(lim,)(lim

.)(lim,)(lim)2();()()(,))(()1(

:

)()(

)()(

0

00

00

Axfxf

AxhAxgxhxfxgMxxUx

xxx

xxx

xxx

xxx

o

且存在那么

时或当

如果

准则Ⅰ′

准则Ⅰ和准则Ⅰ′称为夹逼准则 .注：利用夹逼准则Ⅰ关键是将 xn 作适当缩放得到极限容易求的数列 yn 与 zn 。注：利用夹逼准则Ⅰ′关键是对不易求极限的 f(x)作适当缩放得到极限容易求的 g(x) 与 h(x) 。


4/164/16

例 1 ).1

2

1

1

1(lim

222 nnnnn

求

解 ,1

1

1

12222

n

n

nnnnn

n

nnn

nnn 1

1

1limlim

2

又 ,1

2

2 11

1lim

1lim

nn

nnn

,1 由夹逼定理得

.1)1

2

1

1

1(lim

222

nnnnn


5/165/16

例 2 ).]]([1[lim

0表示取整部分求

xx

x

解 ),0(11

11

x

xxx

11

10

x

xxx 时由此当

11

10

x

xxx 时当

由夹逼定理得.1]

1[lim

0

xx

x


6/166/16

x1x 2x 3x 1nxnx

2 、单调有界准则2 、单调有界准则满足条件如果数列 nx

,121 nn xxxx 单调增加

,121 nn xxxx 单调减少单调数列

几何解释 :

A M

准则Ⅱ 单调有界数列必有极限 .


7/167/16

.)(333 的极限存在重根式证明 nxn 例 3证 ,1 nn xx 显然 ;是单调递增的nx

,331 x又 ,3kx假定

kk xx 31则 33 ,3 ;是有界的nx

.lim 存在nn

x

,31 nn xx ,321 nn xx

),3(limlim 21 n

nn

nxx

近而 ,32 AA

2

131,

2

131

AA解得 ( 舍去 )

.2

131lim

nn

x


8/168/16

A

C1 、1 、 1

sinlim

0

x

xx

1sin

lim0

x

xx

)2

0(,,

xxAOBO 圆心角设单位圆

,tan,,sin ACxABxBDx 弧于是有

xo

B

D

.ACOAC ，得作单位圆的切线,xOAB的圆心角为扇形 ,BDOAB的高为

,tansin xxx ,cos

1

sin1sin

xx

xx 得除

,1sin

cos x

xx即 .0

2也成立上式对于 x

,2

0, 时当综上所述

x ,10coscoslim0

xx

,11lim0

x又 .1

sinlim

0

x

xI

x知由夹逼准则


9/169/16

解x

xx 2

2sinlim2)1(

0原式 ;2

推广 0)(1)(

)(sinlim

0)(

xf

xf

xfxf

y

yxyy sin3lim

arcsin)2(

0

令原式 ;

3

1

型"0

0"

例 4 求⑴ ;2sin

lim0 x

xx

;cos1

lim)3( 20 x

xx

;3

arcsinlim)2(

0 x

xx

.1

sinlim)4(x

xx

2

2

0

2sin2

lim)3(x

x

x原式

2

2

0)

2(

2sin

lim2

1x

x

x 2

0)

2

2sin(lim

2

1x

x

x 21

2

1 .

2

1

y

yxy

x

xyx

sinlim

/1

1

1sinlim)4(

0

令原式 .1


10/1610/16

2 、2 、 ex

x

x

)

11(lim ex

x

x

)

11(lim

,)1

1( nn nx 设

ex x

x

1

0)1(lim或 ex x

x

1

0)1(lim或型1 型1的极限取正整数下面考虑 nx

单增且有界我们来证数列 }{ nxn

n nx )

11(

2

1!2

)1(1!1

1n

nnn

n

).1

1()2

1)(1

1(!1

)1

1(!21

11nn

nnnn

nnnnnnn 1

!)1()1(

).1

1()2

21)(

1

11(

)!1(

1

)1

11()

2

21)(

1

11(

!

1)

1

11(

!2

1111

n

n

nnn

n

n

nnnnxn

类似地 ,

,1 nn xx 显然 ;是单调递增的nx


11/1611/16

!

1

!2

111

nxn 又

12

1

2

111 n 12

13 n ,3

;是有界的nx .lim 存在知由极限存在准则 nn

xII

en

n

n

)

11(lim通常记 )045459828281718.2( e

,1时当 x ,1][][ xxx有

,)][

11()

11()

1][

11( 1][][

xxx

xxx

)][

11(lim)

][

11(lim)

][

11(lim ][1][

xxx x

x

x

x

x

而 ,e

11][][ )1][

11(lim)

1][

11(lim)

1][

11(lim

xxx x

x

x

x

x ,e.)

11(lim ex

x

x


12/1612/16

,xt 令t

t

x

x tx

)1

1(lim)1

1(lim t

t

t

t t

t

t

t)

1(lim)

1(lim

11)1

11(lim

t

t t )1

11()

11

1(lim 1

ttt

t.e

ex

x

x

)

11(lim

,1

xt 令 t

t

x

x tx )

11(lim)1(lim

1

0

.e

ex x

x

1

0)1(lim 型1 型1


13/1613/16

例 5 .)1

1(lim x

x x

求

解xx

x

)

11(

1lim1])

11[(lim

x

x x原式 .

1

e

例 6 .)2

3(lim 2x

x x

x

求

解 422 )2

11(])

2

11[(lim

xxx

x原式 .2e

例 7

解 2cos

12

2

])cos1[(lim2 x

x

x

原式 .2e

.)cos1(lim2sec22

2

x

x

x

求

例 8

解 xx

x xx)

11()

11(lim

原式 .11 ee

.)1

1(lim 2x

x x

求


14/1614/16

1 、夹逼准则一、极限存在准则一、极限存在准则

2 、单调有界准则二、两个重要极限二、两个重要极限

1 、 1sin

lim0

x

xx

2 、 ex

x

x

)

11(lim

三、小结三、小结

;1sin

lim10

某过程

.)1(lim21

0 e

某过程

,为某过程中的无穷小设

求极限 xxx

x

1

93lim

练习：第 55-56 页 1/2 单号； 4.(1)(2) (4) 。

作业：第 55~56 页 1. 双号； 2 双号； 4(3)(5).

思考题思考题


15/1615/16

xxx

x

1

93lim xxx

x

1

93lim

x

xxx

x

11

131

9lim

x

xxx

x

11

131

9lim

x

xx

xx

3

13

31

1lim9x

xx

xx

3

13

31

1lim9 99 0 e 99 0 e


16/1616/16

.__________3cotlim40

xxx

、 .__________3cotlim40

xxx

、

一、填空题 :一、填空题 :

._________sin

lim10

x

xx

、 ._________

sinlim1

0

x

xx

、

.__________3sin

2sinlim2

0

x

xx

、 .__________3sin

2sinlim2

0

x

xx

、

.__________2

sinlim5

x

xx

、 .__________2

sinlim5

x

xx

、

._________)1(lim61

0

x

xx、 ._________)1(lim6

1

0

x

xx、

.__________cot

lim30

x

xx

、 .__________cot

lim30

x

xx

、 arcarc


17/1617/16

x

x

x 2tan

4

)(tanlim2

、 x

x

x 2tan

4

)(tanlim2

、

._________)1(lim7 2

x

x x

x、 ._________)

1(lim7 2

x

x x

x、

._________)1

1(lim8

x

x x、 ._________)

11(lim8

x

x x、

xx

xx sin

2cos1lim1

0

、xx

xx sin

2cos1lim1

0

、

x

x ax

ax)(lim3

、 x

x ax

ax)(lim3

、

二、求下列各极限 :二、求下列各极限 :

n

n n

n)

1

1(lim4

2

、 n

n n

n)

1

1(lim4

2

、


18/1618/16

5 、 nnn

n

1

)321(lim

三、利用极限存在准则证明数列,......222,22,2 的极限存在，并求

出该极限 .

5 、 nnn

n

1

)321(lim

三、利用极限存在准则证明数列,......222,22,2 的极限存在，并求

出该极限 .


19/1619/16

一、 1、； 2、3

2； 3、 1； 4、

3

1 ；

5、 0； 6、 e； 7、 2e ； 8、e

1；

二、 1、 2； 2、e

1； 3、 ae 2 ； 4、 1e ；

5、 3.三、 2lim

nx

x .

一、 1、； 2、3

2； 3、 1； 4、

3

1 ；

5、 0； 6、 e； 7、 2e ； 8、e

1；

二、 1、 2； 2、e

1； 3、 ae 2 ； 4、 1e ；

5、 3.三、 2lim

nx

x .

练习题练习题

三、小结 思考题

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三、小结思考题