第五篇 图论

第 11 章 无向图

11.1 节 基本概念

【定义 11.1 】 称二元组 G=(V,E) 是一个无向图，如果

V 是一个非空有限集合，E 是 V 中元素的无序对所组成的集合。 并把 V 的元素叫做图的顶点， E 的元素叫做图

的边。V(G) 表示图 G 的顶点集， E(G) 表示图 G 的

边集。若 |V(G)|=n, 则称 G 为 n 阶图。

若边 e 是顶点 u 和 v 的无序对，则记 e = (u, v)或 e = (v, u) ，称 u 和 v 是 e 的端点，或 e 连接 u 和 v 。

两个端点重合的边称为环。若两条或两条以上的边有相同的端点，则这些边称为重边。

若顶点 u 是边 e 的一个端点，则称顶点 u 与边 e 关联。不与任何边关联的顶点称为孤立点。如果两个顶点与一条边关联，那么称这两个顶点相邻。如果两条边与同一个顶点关联，那么称这两条边相邻。

没有环与重边的图称为简单图。只有一个顶点的图称为平凡图。任意不同的两个顶点都相邻的简单图称为

完全图，有 n 个顶点的完全图记作 Kn 。边数为零的图称为零图。

【定义 11.2】 在无向图 G 中，对于每个 G中的顶点 v ，与 v 相关联的边的数目称为 v的度，记为 dG(v) ，或 d(v) 。并规定在计算关联边数目时，环算作两条边。

注：度为 1 的顶点称为悬点，与悬点关联的边称为悬边。度为奇数的点称为奇点，度为偶数的点称为偶点。每个顶点的度都相同的图称为正则图，若其顶点的度均为 k ，则称为k- 正则图。易知完全图 Kn是 (n-1)- 正则图。

握手定理

【定理 11.1 】在无向图 G=(V,E) 中，结点度数的总和等于边数的两倍，即 。

【证 】 当对图 G=(V,E) 的所有顶点的度求和时，每条边都为顶点的度之和贡献 2 ，因为一条边恰好关联 2 个（可能相同）顶点。这意味着顶点的度之和是边数的 2 倍。定理得证。上述定理有时也称为握手定理。

Vv

Evd 2)(

【推论 11.1 】 无向图中奇点数目是偶数。【推论 11.2 】

【例 11.2 】 设图 G 有 10 个顶点，每个顶点的度为 6 ，那么图中共有多少条边？

【解】 由定理 11.1.1 得，在 G 中所有顶点的度的

总和为 6·10 = 60 ，因此图 G 中共有 30条边。

( 1)nK n n 1

的边数是 。2

二部图

【定义 11.3 】设 G 是简单图，若其顶点集V 可以划分为两个不相交的非空集合 V1和 V2 ，而 G 中所有边都连接 V1 中的一个顶点和 V2 中的一个顶点（也就是说 G 中没有边连接着 V1 中的两个顶点或 V2 中的两个顶点），那么将 G 称作二部图或偶图。

若图可以划分为两个不相交的非空集合，其元素个数分别为 m 和 n ，而在两个顶点之间有边相连当且仅当这两个顶点分属两个集合，则将图称为完全二部图，记作 。nmK ,

【例 11.3 】 判断下图 G 和 H 是否二部图。

答： G 的顶点集可以分为两个不相交的集合 {a, b, d}和{c, e, f, g} ；而 H 不是二部图，因为 H 中 a,e,f 三个顶点两两相邻，根据鸽笼原理，它们不可能分配到两个子集中使得边 (a,e) 、（ e,f ）、 (a,f) 均连接不同子集的两个顶点。

【例 11.5 】 K3 不是二部图。注意若把 K3的顶点集分成两个不相交的集合，则两个集合之一必然包含两个顶点。假如这个图是二部图，那么这两个顶点就不能用边连接，但是在 K3 里每一个顶点都用边连接着其他每个顶点。同理可知 Kn 也不是二部图。

【定义 11.4 】 若 ， ，则称图 H 是图 G 的子图，记作 。若 ， ，则称 H是 G 的真子图，记为 。若 ，则称H 是 G 的生成子图或支撑子图。如果 ，且中包含了 G 在在节点集 V(H) 中的所有边，则称 H 是 G 的导出子图。

V(H) V(G) E(H) E(G)H G

H GH G

H G H G,V(H) V(G)

V(H) V(G)

【定义 11.5 】 设G1 = (V1,E1) 和G2 = (V2, E2) 是两个简单图，则它们的并定义为G = (V,E) ，其中 。它们的交定义为 G = (V, E) ，其中 。它们的对称差定义为 G = V,E) ，其中

【例 11.6 】 图 11.4中G1 和G2 并、交和对称差分别是 (a), (b) 和（ c) 。

1 2 1 2 1 2V=V UV , E=E UE G=G UG，记做

1 2 1 2 1 2V=V V , E=E E G=G G ，记做

1 2 1 2 1 2V=V V , E=E E G=G G ，记做

在 G 中删除一个子图 H ，指删除掉 H 中的各条边 , 记做 G-H ，特别的 , 对于简单图 G ，称 Kn-G为 G 的补图。例如 G1

中补图是 (d) 。从 G 中删去某个结点 υ 及其关联的边所得

到的图记作 G-v 。从 G 中删去某条特定的边 e = (u， v), 记做 G-e 。显见 G-v是G 的导出子图 , 而G-e是 G 的生成子图。

如果在 G 中增加某条边 eij, 可记做 G+eij 。

图的同构

【定义 11.6 】 对于简单图 G1＝ (V1， E1) ，G2＝ (V2， E2) ，如果能建立 V1到 V2 的双射 f ，其中 G1 中的顶点 a 和 b 相邻，当且仅当 G2 中的顶点 f(a)和 f(b) 也相邻，则称图 G1与G2 同构，记作 。1 2G G

Homework

习题 11.1 ， P2702 ，3 ，4 ，8 ，12 ，14

11.2 无向图的表示

【定义 11.7 】 设图 G=(V,E) 是一个简单图， V ＝ {v1， v2，…， vn} ， G 的邻接矩阵定义为 ，其中

邻接矩阵总是对称的 邻接矩阵也能用来表示有环和重边的无向

图 ，其中 (i ,j) 项将用来表示联结 vi和 vj的边数

nnijaA )(

.),(,0

,),(,1

Ej

vi

v

Ej

vi

v

ija

举例 1

【例 11.9 】 用邻接矩阵表示简单图 v1 v2

v3 v4

0001

0011

0101

1110

A

举例 2

【例 11.10 】 用邻接矩阵表示非简单图

v1 v2

v3v4

0212

2110

1103

2030

A

关联矩阵

【定义 11.8 】令图 G=(V,E) 是一个无向简单图， V ＝ {v1， v2，…， vn} ， E＝{e1， e2，…， em} 。那么其关联矩阵定义为

关联矩阵也能用来表示有重边和环的图。图中的重边在矩阵中以相同的列矢量表示，而环所在的列则必定只有一项为 1 ，其他项都为零。

( ) ,M mij n m

其中

.,0

,,1

不关联和顶点边

关联和顶点边

iv

je

iv

je

ijm

举例

【例 11.11 】 用关联矩阵表示下图：

v1 v2 v3

v4 v5

e1

e2

e3

e4 e5

e6

011010

000101

110000

101100

000011

M

Homework

习题 11.2 ， P272

2 ，4 ，5

11.3 无向图的连通性

【定义 11.9 】设 G 是一个无向图， G 的一个顶点和边的非空有限交错序列满足，则称W 为一条从 v0到 vk 的通道， v0为起点，vk 为终点，通道上的其它顶点称为内顶点，通道的长度为 k 。如果起点与终点不同，则称为开通道，若相同则称为闭通道

没有重复边的通道称为迹（或简单通道），起点和终点不同的迹称为开迹，起点与终点重合的迹称为闭迹。

没有重复顶点的迹称为路（或路径，或初级通道）。一条路显然是一条迹，但反之不成立。起点和终点重合的路称为圈。长度为奇数的圈称为奇圈，长度为偶数的圈称为偶圈。

举例

【例 11.12 】 列举下图的开通道、闭通道、开迹、闭迹和路。

e1

e2v2v1

e8

v5v4v3

e6

e5

e4

e3

e7

1 1 1 2 2 2 1 3 3v e v e v e v e v开通道：

1 1 1 2 2 2 1v e v e v e v闭通道：

1 1 1 3 3 4 1 2 2v e v e v e v e v开迹：

1 1 1 2 2 6 4 5 1v e v e v e v e v闭迹：

1 2 2 6 4 7 3v e v e v e v路：

【定义 11.10 】 在含圈的无向简单图 G 中，称 G 中最长圈的长度为 G 的周长，记做

。 G 中最短圈的长度记为 G 的围长，记做 。

无向完全图的周长为 n ，围长为 3 。完全二部图的周长为 2n ，围长为 4 。

( )c G

g( )G

【定义 11.12 】 设 u ， v 为图 G 中的任意两个顶点，若 u ， v 连通，称设 u ， v 之间长度最短的通道为 u ， v 之间的短程线，短程线的长度称为 u ， v 之间的距离，记做 d （ u ， v ），当 u ， v 不连通时，定d （ u ， v ）＝∞。

容易看出，图的顶点间的连通关系是顶点集中的一个等价关系。因此，图的顶点集可以按连通关系划分等价类。则一个不连通图是若干个连通子图的并，连通子图之间边集的交为空。这些不相交的连通子图称为图的连通分量或连通支。

连通分量

【例 11.13 】指出下图的连通分量。

【解】

根据定义，可以看出上图共有 3 个连通分量，分别为 ({a, b, c}, {(a, b), (a, c), (b, c)})， ({d, e}, {(d, e)})， ({f, g, h}, {(h, g), (f, g)}) 。

a

b d e f

ghc

【例 11.14 】设G=(V,E)( |V|=n, |E|=m) 是简单图，证明当 时， G是连通图。

1( 1)( 2)

2m n n

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

G G

( , ) ( , ) | | ,| | , G

1 1| | ( 1),| | ( 1),

2 21 1

( 1) ( 1), 1, 1,2 21 1

( 1)( 1 1 ( 1)( 2)2 2

G

G V E G V E V n V n n n n

E n n E n n

m n n n n n n n n

m n n n n n

假定 是非连通图，则 至少含有两个连通分量，设分别为， ， ，由 是简单图知：

假设 由于

因此 ）

与已知矛盾，故 是连通 .图

【定理 11.2 】设G=(V,E)( |V|=n, |E|=m) 是连通图， m≥n-1

【证】若 G 为简单图时， G 连通必有 m≥n-1；当 G 为非简单图时， G 连通更要要求 m≥n-1 ，下面仅就 G 为简单图时加以证明。

对顶点数 n 作归纳法。 n=1 时， G 为平凡图，此时 m ＝ 0 ，所以

结论成立。

设 n≤k ( k ≥1) 时结论成立，下面证明n=k+1 时结论成立 。

设 v 为 G 中任意一个顶点，记 G’=G-v ，设G’有 s 个连通分量 G1,G2,…,Gs ，设 |Vi|=ni,|Ei|=mi（ i=1,2,…,s),则 ni ≤k 。由归纳假设可知 mi ≥ ni-1 ，由于从 G中删除 v 产生 s 个连通分支，所以至少同时删除了 s 条边，于是

1 1 1

1s s s

i i ii i i

m m s n s s n n

【定理 11.3 】设G=(V,E)( |V|=n), 若顶点 u 和 v 之(u≠v) 间若有通道，则它们之间存在长度小于 n 的通道。

【证】设 为 G 中长度为 k 的通道，且 若 k<n ，则W 为满足要求的通道 ; 否则即

k≥ n ，或 k>n+1, 即W 上顶点数大于 G 中的顶点数，于是必存在 即在W 中存在到自身的闭通道 Cst ，在W 中删除 Cst 中的一切边和除外 vs的所有顶点，得到 W’ ，则 W’仍然为顶点 u 到 v 的通道，且W’ 的长度比W 至少减少 1 。则若 W’ 的长度小于 n ，则W’满足要求，否则对重复上述过程，因为 G 是有限图，经过有限步后，必得 u 到 v 长度小于 n 的通道。

0 1 1 ,k kW v e v e v

0 , kv u v v 始点 终点 。

, ,0 s ts t s t k v v ，使得

【推论 11.3 】图G=(V,E)( |V|=n) 中，若顶点 u 和 v 之 (u≠v) 间若有通道，则它们之间存在长度小于 n 的路。

【定理 11.4 】图G=(V,E)( |V|=n) 中，若存在顶点 u 到自身的闭通道，则一定存在 u 到自身的长度小于等于 n 的闭通道。

【推论 11.4 】图G=(V,E)( |V|=n) 中，若存在顶点 u 到自身的闭迹，则一定存在u 到自身的长度小于等于 n 的闭迹。

下面介绍一种图论中很有用的证明方法，叫做“扩大路法”。

设为 G=(V,E)为 n 阶无向图， ，设 为 G中一条路，若此路的始点或终点与通道外的顶点相邻，就将它们扩到通道中来，继续这一过程，直到最后得到的通道的两个端点不与通道外的顶点相邻为止，设最后得到的路径为 （长度为 k 的路扩大成了长度为 k+r 的路径），称 为“极大路”，称使用此种方法证明问题的方法为“扩大路法”。

E k

k r

k r

【例 11.15 】设 G 为 n （ n≥4 ）阶无向简单图， G 中任何一个顶点的度数均不小于 3 。证明 G 中存在长度大于或等于 4 的圈。

【证】不妨设 G 是连通图，否则，因为 G 的各连通分支的最小度 (min{d(v)|v∈V})也都大于或等于 3 ，因而可对它的某个连通分支进行讨论。设 u,v为 G 中任意两个顶点，由 G 是连通图，因而 u,v 之间存在通道，由推论 11.3 可知， u,v 之间存在路 ，用“扩大路法”扩大这条路，

设最后得到的“极大路”为 ， 易知k≥3 ，若 v0与 vk 相邻，则 为长度大于或等于 4 的圈。若 v0与 vk 不相邻，由于 d(v0)≥3 ，因而 v0除与 上的 vk 相邻外，还存 上的顶点 vr(2≤r<k)和vt(r<t<k)与 v0相邻，则 为一个圈且长度大于或等于 4 ，见下图所示。

0 1k

kv v v

0 1 0( , )kk kv v v v v

k

0 1 0k

r tv v v v v

v1 vr vt vkv0

【定理 11.5 】一个图为二部图当且仅当图 G中无奇圈。

必要性。设二部图 G=(V1,V2,E),若 G 中无圈，结论成立，否

则，设 C 为 G 中任意一个圈，设 不妨设 则 均属于 V1 , 而 均属于 V2 ，于是 k 是偶数，且 k是 C 的长度，因而 C 是偶圈，由于 C 的任意性，结论成立。

1 2 1 1k kC u u u u u ，1 1u V ， 3 5 k 1,u u u ，

2 4 k,u u u，

充分性。设 G 中无奇圈，不妨设 G 是连通的，否则可对它的

每个连通分量进行讨论。设 u为 G 中任意一个顶点，令

下面只要证明 ，则 e 的一个端点在 V1 中，另一个端点在 V2 中，若不然，存在边， e=(ur,us) ，其中 ur， us均属于 V1 ( 或者V2) ，设， Wu,ur

和

Wu,us分别为 u到 ur和 u到 us到的短程线，显然

Wur和Wus

的长度均为偶数。

2 { | ( ) ( , ) }V u u V G d u v 为奇数，

1 { | ( ) ( , ) }V u u V G d u v 为偶数，

1 2 1 2,V V V V V 则 且 。

e E

如果 Wur和Wus

无交点，则

为图 G 中一个奇圈，这与 G 中无奇圈矛盾。如果 有交点，则由于 的长度为奇数，易知其中必含图 G 的奇圈，仍得出矛盾。证毕。

, ,r su u u uW W和

, ,( , )r su u r s u uW u u W

, ,( , )r su u r s u uW u u W

有时，如果移除某个顶点及所有与该顶点相关联的边，所产生的子图比原图有更多的连通分量，这样的顶点称为割点。显然，从一个连通图中移除一个割点就会产生一个不连通的子图。类似地，将一条边移除后所产生的子图比原图有更多的连通分量，这样的边称为割边或桥。

【例 11.16 】 指出下图中的割点和桥。

割点为： b, c和 e 桥： {a, b} 和 {c, e}

a

b c

d f g

he

【定理 11.6 】 设 G 是带有相对于顶点顺序 的邻接矩阵 A 的图（允许带有多

重边和环）。从 vi的 vj长度为 r的不同通道的数目等于 Ar的第 (i,j) 项，其中 r是正整数。

证明用数学归纳法。

1 2, , , nv v v

【例 11.17 】在图所示的简单图 G 中，从 a到 d 的长度为 4 的通道有多少条？

【解 】G 的邻接矩阵（顶点顺序 a,b,c,d ）

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 0 1

0 1 1 0

A

4

8 0 0 8

0 8 8 0

0 8 8 0

8 0 0 8

A

从 a 到 d的长度为 4 的通道数是的第 (1,4) 项， a ， b， a ， b， d ； a ， b， a ， c， d ；a ， b， d， b， d ； a ， b， d， c， d ；a ， c， a ， b， d ； a ， c， a ， c， d ；a ， c， d， b， d ； a ， c， d， c， d ；

Homework

习题 11.3 ， P277

2 ，6 ，9 ，11 ，12

11.4欧拉图与哈密顿图

11.4.1欧拉图普雷格尔河从哥尼斯堡镇中穿过，而河中

有两个小岛，小岛与河岸间由 7 座桥彼此连接，如下图。于是有游客提出问题：能否从河岸或小岛出发，通过每一座桥，而且仅仅通过一次，最后回到原地。

哥尼斯堡 (Konigsberg)七桥问题 A

C

B

D

瑞士数学家欧拉 (Euler)在 1736年对这个问题给出了否定的回答。他将河岸和小岛作为图的顶点，七座桥为边，构成一个无向图，则问题化为图论中的问题。这是用图论方法建立的第一个模型：

C

A

B

D

定义

【定义 11.15 】包含图 G 的所有边的迹称为欧拉迹 ( 或欧拉通道 ) ，包含图 G 的所有边的闭迹称为欧拉闭迹 ( 或欧拉回路 ) 。假设 G 没有孤立点，若 G 含有欧拉闭迹，则称 G 是欧拉图。

【定理 11.7 】图 G 是欧拉图的充要条件是G 连通且没有奇点。

【证】必要性： 若 G 中有欧拉闭迹 C,则 C 过每一条边有且仅有

一次。对任一结点 v, 如果 C 由 ei进入 v, 则一定通过另一条边 ej从 v 离开。因此 v 的度是偶数。

充分性：由于 G 是有穷图，因此可断定从 G 的任一结点 v0出发一定存在 G 的一条闭迹C 。这是因为各结点的度都是偶数，所以这条记迹不可能停留在 v0以外的某个结点，而不能再向前伸延以构成闭通道C 。

如果 E=C, 则 C 就是欧拉回路，充分性得证。否则在 G 中删去 C 得各边，得到 G1=G-C。G1 可能是非连通图，每个顶点的度保持为偶数。这时，G1 中一定存在某个度非零得结点 vi ，同时也是 C中顶点。否则 C 的顶点与的顶点之间无边相连，与 G 是连通图矛盾。同理，从 vi 出发， G1 中所在的连通分量内存在一条简单闭通道 C1 。 C ∪ C1仍然是 G 的一条简单闭通道 , 但它包括的边数比 C 多。继续构造，最终有 C’=C ∪ C1 ∪ … ∪ Ck 是一条欧拉闭迹。

【推论 11.5 】若无向连通 G 中只有 2 个度为奇数的顶点。则 G 中存在欧拉迹。

【定义 11.14 】如果一个图可以从某个顶点出发，每条边恰好经过一次，最后终止在出发点或另一个顶点，则称该图可以一笔画。也就是说，可以一笔画的图含有欧拉迹，但不一定有欧拉闭迹。显然欧拉图一定可以一笔画成，反之则一般不然。

【定理 11.8 】一个图能一笔画成的充要条件是， G 连通且奇顶点数为 0 或 2 。若奇点数为 2 ，则从其中一个奇顶点出发，终止于另一个奇顶点上，完成一笔画。

【例 11.18 】 判断下图是否欧拉图：

a b

cd

e

G

a b

cdH

【例 11.19 】 判断下图是否可以一笔画成：

a b

cd eG

a b

cd

e

H

11.4.2哈密顿图

1859年，爱尔兰科学家哈密顿(Hamilton)发明了一种游戏：在一个实心的正十二面体， 20 个顶点标上世界著名大城市的名字，要求游戏者从某一城市出发，遍历各城市一次，最后回到原地。

这就是“绕行世界”问题，即找一条经过所有顶点 ( 城市 ) 的圈。

【定义 11.15 】在图 G 中，包含 G 中所有顶点的圈（路）称为哈密顿圈（路） 。含有哈密顿圈的图称为哈密顿图，反之则称为非哈密顿图。

【定理 11.9 】设 G 是有 n （ n≥3 ）个顶点的简单图，如果对于 G 中任意两个不相邻的顶点 u 和 v ，均有 d(u)+d(v) ≥ n-1 ，则 G 是哈密顿路。

【推论 11.6】 (Ore 定理 ) 设 G 是有 n （ n≥3 ）个顶点的简单图，如果对于 G中任意两个不相邻的顶点 u 和 v ，均有d(u)+d(v) ≥ n ，则 G 是哈密顿图。

【推论 11.7 】（Dirac 定理） 设 G 是有n （ n≥3 ）个顶点的简单图，若每个顶点的度不小于 n/2 ，则 G 是哈密顿图。

【定理 11.10 】设 G 是哈密顿图，则对于G 的顶点集的任意子集 S ，在 G 中移除 S中的顶点及所有与这些顶点相关联的边，所产生子图中的连通分量数必定不大于 |S| 。即对于 , 其中 为的 G-S的连通分支数。

【推论 11.8 】每个哈密顿图都没有割点。【推论 11.9 】有奇数个顶点的二部图必定

不是哈密顿图。

, ( ) | |S V p G S S ( )p G S

Homework

习题 11.4 P281

2,4,5,7,12

11.5最短通道问题(

A A

S

( ) 0

{ }, 0

BFS

S S

L L

a S S

b L S k

repeat

广度优先搜索算法）本算法确定了图中从 到其它各个顶点的距离和最短通道（若 到这些顶点有通道）.

在这个算法中， 表示已被标记的顶点的集合，顶点 的前驱是用来对 做标记的 中的一个顶点。 步骤1（对 所标记） 将 标记为 ，使 没有前驱 ( ) 令 步骤2 (对其它顶点做标记）

步骤2. 1(增1

1

( )

( )

( )

k k

while L k V L W

a W k

b V W

c W L

endwhile

加标记值） 令 步骤2. 2（扩大做标记的范围） 包含一个标记为 顶点 ，它与不在 中的顶点 相邻。 把 标记为 指定 为的 前驱 把 加入到 中去

until L L 中没有与不属于 的顶点相邻的顶点

if T L

T S T T T T

S S T

otherwise

S T

endif

步骤3（构造到达一个顶点的最短通道） 顶点 属于 上的标记是从 到 距离。按照逆序： ， 的前驱， 的前驱的前驱， 直到 ，生成从 到 的一条最短通道。

从 到 不存在通道。

0 1

( : )

{ , , , ( , ) { , }

( , ) }

1

( )

( ) 0

{

n i j i j

i j

i

Dijkstra

Procedure Dijkstra G

G a v v v z w v v v v G

w v v

for i to n

L v

L a

S

a

算法 算法 所有权为正数的带权连通简单图 带有顶点 和权 ，其中若 不是 的边，则

现在初始化标记，使得 的标记为0而所有其余标记为 }

( )

{ }

( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , )

{ }

{ ( )

S

While z S

begin

u S L u

S S u

for S v

if L u w u v L v then L v L u w u v

S

end L z a

，而 是空集合

不属于 的 最小的一个顶点

所有不属于 的顶点

这样就给中添加带最小标记的顶点并且更新不在 中的顶点的标记从 到 }z的最短通道的长度

【定理 11.11】Dijkstra 算法求出连通简单无向带权图中两个顶点之间最短通道的长度。

【定理 11.12】Dijkstra 算法使用 O(n2)次运算（加法和比较）来求出连通简单无向带权图中两个顶点之间最短通道的长度。

旅行商问题

与带权图有关的另外一个重要问题是：求访问完全图每个顶点恰好一次的而总长度最短的路。这就是著名的旅行商问题或货郎担问题。

Homework

习题 11.5, P2851,4,7

第 12 章 平面图与图着色

12.1 平面图的基本概念

【定义 12.1 】若能把一个图 G 的图形画在曲面S 上，使图的边在顶点之外都不相交，则称图 G 可嵌入曲面 S 。可嵌入平面的图称为可平面图，否则称为不可平面图。已经嵌入一张平面的图称为平面图。

举例

【例 12.1 】 判断下图是否为可平面图

b

a

e d

c

G

a

e d

c

H

b

【例 12.2 】 K1( 平凡图 ) ， K2， K3， K4都是平面图，其中， K1， K2， K3 本身就已经是平面嵌入， K4 的平面嵌入为下图 (4)所示。 K5－ e (K5删除任意一条边 ) 也是平面图，它的平面嵌入可表示为下图中 (5). 完全二部图 K1,n(n≥1), K2,n(n≥2), 也都是平面图，其中标准画法画出的 K1,n已经是平面嵌入， K2,3 的平面嵌入可由图 12.1.2中(6)给出。图 12.1.2中 (1)， (2)， (3)分别为 K4, Ky－ e, K2,3 的标准画法。

【定义 12.2 】设 G 是平面图，若 G 的边围成一个封闭区域，该区域内的任意两点间都可以作一条曲线相连接，此曲线不遇到 G 的任何边和顶点，则此区域称为 G 的一个面。界定一个面的所有边称为该面的边界。边界中的边数称为该面的度，并规定桥在计算度时算作两条边。对于面 f 的边界上的一条边 e ，也称是 f 的一条边界。面 f 的周线是由面 f 的边界构成且把面 f 包含在内的圈。两个面若有公共边则称它们相邻。一个面与它边界上的边和点称为相关联。

每个平面图恰有一个无界面，称为外部面，其余的面都是有界面，称为内部面

由定义，外部面没有周线，内部面有一条周线。

【例 12.3 】 找出下图的面及其度、边界和周线：

f1 的边界为 e1e3e3e4e5e2 ，度为 6 ，周线为 e1e4e5e2

f2 的边界为 e7e8 ，度为 2 ，周线为 e7e8

f3 的边界为 e10 ，度为 1 ，周线为 e10

f4 的边界为 e1e4e6e7e9e10e9e8e6e5e2 ，度为 11 ，没有周线

其中 f4 是外部面，其他都是内部面。

e1

e2 e5

e4

e3 e6

e7

e8

e9 e10

【定理 12.1 】设 G 是平面图，则

其中 F(G) 表示 G 的所有面的集， d(f) 表示f 的度。

【推论 12.1 】平面图中奇度面数必为偶数。

)(

)(2)(GFf

GEfd

12.2 欧拉公式和极大平面图=

【定理 12.1 】设 G 是连通平面图，共有 n个顶点， m 条边， r个面，则 n – m + r =2 。

【证】首先构造图 G 的一系列图子图， G1，G2，…，Gm=G ，使得 Gk 是恰含有 k（ k=1， 2 ， …， k ）条边的连通图。构造方法如下：

（ 1 ）任意选择Gk-1 中的一条边来获得 Gk ：任意的添加一条与 Gk-1 边中某个顶点相关联的边，若与这条边关联的另一个顶点不在 Gk-1 里，则添加这个顶点。

这样的构造是可能的，因为 G 是联通的。在添加m 条边之后就获得 G 。设 rk,mk,nk 和分别为Gk 的面数、边数和顶点数。

现在用归纳法来进行证明。对 G1 来说关系r1=m1-n1 +2 为真，因为 m1=1， n1=2而r1=1 。

现在假定 rk=mk-nk +2 ，我们来考虑Gk+1 。设Gk+1= Gk + （ ak+1,bk+1 ），此时分两种情况来讨论。

第一种情形： ak+1,bk+1 都是 Gk 的顶点 ,则 rk+1=rk+1,mk+1=mk+1,且 nk+1=nk 。

因此 rk+1=mk+1-nk+1 +2 成立。

bk+1

ak+1

a)

bk+1

ak+1

b)

第二种情形：新边（ ak+1,bk+1 ）的两个顶点之一不在 Gk 中。假定 ak+1在Gk 中，但是 bk+1 不在 Gk 中，添加这条边不产生任何面，因为 bk+1 必然是在边界上有 ak+1

的一个面中，所以 rk+1=rk 。另外， mk+1=mk+1 ，而且 nk+1=nk+1 。所以 rk+1=mk+1-nk+1 +2仍然成立

【定理 12.3 】若 G 的每个面的边界至少含k 条边，则

【例 12.4 】 证明 K5是不可平面图 。【例 12.5 】 证明 K3, 3 是不可平面图。

( 2)2 2

kr km n

k

【定义 12.3 】在图 G 的边 (u, v) 上添加 k个顶点 v1,v2,…,vk ，从而使得边 (u, v)变为 (k+1) 条边 (u,v),(v1, v2), …,( vk, v) ，则称为对边 (u, v) 的加细。两个图称为同胚的，其中一个图是另一个图的加细图。

【定理 12.4 】一个图 G 是可平面图的充要条件是 G 没有同胚于 K5或 K3, 3 的子图。

此定理称为 Kuratowski 定理。

【例 12.7 】对 K5插入 2 度顶点，或在 K5外放置一个顶点使其与 K5上的若干个顶点相邻，共可产生多少个 6 阶简单连通非同构的非平面图？

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

【例 12.8 】由 K3,3 加若干条边能生成多少个 6 阶连通的简单的非同构的非平面图？

(e) (f) (h)(g)

(i) (j)

(a) (b) (c) d)

【定义 12.4 】设 G 为平面图 , 如果任意两个互不邻接的顶点 u ， v ，使得 G +（ u , v ）成为不可平面图，则称图 G 是极大可平面图。

【定理 12.5】 G 为 n （ n 3 ）阶简单的连通平面图， G 为极大可平面图当且仅当 G 的每个面的次数均为 3 。

【证】必要性： 因为 G 为简单平面图，所以 G 中无环无重边。又

因为 G 是至少 3 个顶点的极大平面图，所以 G无割点和桥，于是 G 中各面的边界均为圈且次数均大于等于 3 。下面只需证明各面的次数不会大于 3 。

否则，假设存在面 Ri， deg(Ri)>3 ，见下图。在 G （平面嵌入）中，若 v1与 v3 不相邻，在 Ri

内部添加边 (v1,v3) 不破坏平面性，这和 G 是极大平面图相矛盾，因而 v1与 v3 必然相邻，由于Ri 的存在，此时边（ v1,v3 ）必然在 Ri 的外部。类似地， v2与 v4 也必然相邻而且边（ v2,v4 ）也在 Ri 的外部。此时，无论怎样画，边（ v1,v

3 ）必然与边（ v2,v4 ）相交。这与 G 的平面性矛盾。故假设不成立。

v3 v4

Ri

v1 v5

v2

……

充分性： 这是显然的，次数为 3 的面构成一个 K3 ，其中任

何两个顶点都已经相邻。所以，把 G 进行平面嵌入之后，在任何一个内部面之内都无法再增加新边了，否则就会出现重边，跟 G 是简单平面图矛盾。而如果试图横跨两个内部面增加一条边时，必然跟这两个内部面的某些边产生交叉，而如果试图把该边画到无限面中时，也必然与围成无限面的某条边发生交叉或出现重边，因为无限面也是 3 次的。所以， G 中不能再增加任何一条边还能保持其平面性和简单性。故， G 是极大平面图。

【推论 12.2】 G 为 n （ n 3 ）阶 m 条边的简单平面图，则 m 3n – 6 ，且等号成立当且仅当 G 是极大平面图。

【推论 12.3】 G 简单的平面图，则 G 中至少有一个顶点其度数小于等于 5 。

【定义 12.5 】若在非平面图 G 中删除一条边，所得图为平面图 , 则称图 G 是极小非平面图。

例如， K5， K3,3 都是极小非平面图。

Homework

习题 12.1, P292

2,5,6

12.3 平面图的对偶图

【定义 12.6 】 设 G 是平面图的某一个平面嵌入，其几何对偶图 G*构造如下：（ 1 ）在 G 的每个面 Ri 中放置G*的一个顶点 vi；（ 2 ）设 e 为 G 的一条边，若 e 在 G 的面 Ri和

Rj 的公共边界上，作 G*的边 e*与 e 相交，且e*关联 G*的顶点 和 ，即 ，不与其它任何边相交；若 e 是 G 的桥且在 Ri 的边界上，则 e*是以 为顶点的环，即 。

*iv

*iv * * *( , )i je v v

* * *( , )i ie v v

*jv

平面图的某个平面嵌入 G 的对偶图 G*有下列性质：

（ 1 ）G*为平面图，而且是平面嵌入；（ 2 ）G*是连通的；（ 3 ）同构的图的对偶图不一定是同构的。

v3 v4

v1 v5

v2

v3 v4

v1 v5

v2

G1及其对偶图 G2及其对偶图

【定理 12.6 】设G*是连通平面图 G 的对偶图， n*,m*,r*和 n,m,r 分别为 G*和 G 的顶点数、边数和面数，则有 n*=r,m*=m,r*=n 成立。

【证】首先， n*=r， r*=n 是显然的。由于 G 和

G*都是连通的平面图，因而都满足欧拉公式，即 n-m+r=2= n*- m*+r*, 故r*=2-n*+ m*=2+m-r=n 。证毕。

12.4 图着色

【定义 12.7 】 对无环图 G 的每个顶点涂上一种颜色，使相邻的顶点涂不同的颜色，称为对图 G 的一种着色。若能用 k 种颜色给 G 的顶点着色，就称对 G 进行了 k 着色，也称 G 是 k- 可着色的。若 G 是 k- 可着色的，但不是 (k-1)- 可着色的，就称 G 是 k色图，并称这样的 k 为 G 的色数，记作 ，不混淆时，色数 也可简记作 。

χ(G)=K

χ(G) χ

【定理 12.7 】 当且仅当 G 是零图。【定理 12.8 】 。

【定理 12.9 】奇圈色数均为 3 。 【定理 12.10 】 设 G 中至少含一条边，则 当且仅当 G 为二部图。

χ(G)=1χ(Kn)=n

χ(G)=2

【定理 12.11 】任何平面图都是 5- 可着色的。

【例 12.10 】如何安排一所大学里的期末考试，使得没有学生在同一时间有两门课考试？

【定义 12.8 】图 G 的边着色是指对 G 的各边指定颜色，使得关联到相同顶点的边指定不同的颜色。图的边色数是该图的边着色里可以使用的最少的颜色数，记为

【定理 12.12 】（ Vizing ）设 G 是简单图，则

χ’(G) 。

( )( ) '( ) ( ) 1, ( ) max ( )

v V GG G G G d v

这里

【例 12.10 】证明：世界上任何 6 个人中，一定有 3 个人或者互相认识或者互相都不认识。

【证】首先，给 K6 及其边着色赋予语义解释：6 个顶点表示任意的 6 个人，如果两个人互相认识，就将对应的边着红色，否则着蓝色。其次，证明：用红篮两种颜色对完全图 K6 的边进行着色后，一定由红色的K3 或者蓝色的 K3

在K6 中，顶点 u 关联 5 条边，根据鸽笼原理，至少有 3 条边着同一色。不失一般性，假设边（ u ， v1 ），（ u ， v2 ）和（ u ， v5 ）着红色，用虚线表示，见下图 (a) 。现在考虑边（ v1， v

2 ），（ v1， v5 ）和（ v2， v5 ）的着色情况，如果它们均着蓝色（用实线表示），则已经构成一个蓝色的 K3 ，见下图 (b)命题成立；如果它们中任何一条（不失一般性，假设为边（ v1， v2 ））着红色（即虚线），则也必然出现由顶点 v1、 v2和 u 构成的 K3 ，其每条边均着红色，命题亦成立。

(a) (b)

Homework

习题 12.2 ， P295

2,5,7

第 13 章 图论

第十三章 有向图

13.1 有向图的基本概念 13.2 有向图的连通性

13.1 有向图的基本概念 【定义 13.1 】称D=(V,E) 是一个有向图，

如果(1) V 是一个非空有限集合；(2) E是 V 中元素的有序对所组成的有限集合。 并把 V 的元素叫做图 G 的顶点， E 的元素

叫做图 G 的有向边或边。 设 G 是有向图， e=(u,v)是 E 中元素，则称 u 为 e 的起点或尾， e 为 u 的出边；并称v 为 e 的终点或头， e 为 v 的入边。对于环而言，起点和终点是重合的。若两条或两条以上的边有相同的头和尾，则这些边称为重边。没有重边和环的有向图称为简单有向图。

若对任意的 u,v∈V ，均有 (u,v)∈E和(v,u)∈E ，则称 D 为有向完全图。设 D为有向简单图，若对任意的 u,v∈V ，有向边 (u,v)∈E和 (v,u)∈E 有且仅有一个成立，则称 D 为竞赛图。

13.1 有向图的基本概念

【定义 13.2 】在有向图中，顶点 v 的出边数称为 v 的出度，记作 d+(v) 。顶点 v 的入边数称为 v 的入度，记作 d-(v) 。顶点v 的关联边数称作 v 的度，记为 d(v) ，即

)()()( vdvdvd

13.1 有向图的基本概念

【例 13.1 】写出下图各顶点的出度和入度：

( ) 3, ( ) 1, ( ) 1, ( ) 1, ( ) 1, ( ) 0

( ) 1, ( ) 2, ( ) 1, ( ) 1, ( ) 2, ( ) 0

d a d b d c d d d e d f

d a d b d c d d d e d f

a b c

ed f

§13.1 有向图的基本概念

【例 13.2 】下图中 a)为 3 阶有向完全图， b)为 4 阶竞赛图 , 易知 n 阶有向完全图， n 阶竞赛图的边数分别为 n(n-1)/2， n(n－ 1)， n(n-1)/2

b)a)

§13.1 有向图的基本概念

【定理 13.1 】对有向图，有

【证】因为每条边都有一个起点和一个终点，所以在带有有向边的图里，所有顶点的入度之和等于出度之和。显然也等于图的边数。

Vv Vv

Evdvd )()(

§13.1 有向图的基本概念

【定义 13.3 】设 D 是有向图，若略去边的方向，则得到一个无向图，称其为图 D 的基础图。如果 D 是无向图，给所有的边任意定方向后，则得到一个有向图，称为图D 的定向图。

§13.1 有向图的基本概念

【例 13.3】 给出以下有向图的基础图，并给出其基础图的另一个定向图。

【解】上图的基础图为以下左图，再为其边指定方向，得到另外的定向图之一，如右图所示：

a) b)

§13.1 有向图的基本概念

【定义 13.4 】设图 是一个简单有向图， V ＝ {v1， v2，…， vn} ，则 D 的邻接矩阵用方阵 来表示，

其中

显然，有向图的邻接矩阵不再是对称矩阵。对于非简单的有向图，则可以用与无向图中类似的方式进行扩展。

( , )D V E

1, ( , ) ,

0, ( , ) .

i j

ij

i j

v v Da

v v D

是 中一条有向边

不是 的有向边

nnijaA )(

§13.1 有向图的基本概念

【例 13.4 】 用邻接矩阵表示下图：

【解】上图的邻接矩阵

v1

v4v3

v2

0000

0001

0100

1010

A

§13.1 有向图的基本概念

【定义 13.5 】对于无环有向图 D ，若其顶点数为 n ，边数为 m ，则其关联矩阵 M是矩阵，其中

.,1

,,1

,,0

的入边是顶点边

的出边是顶点边

不关联和顶点边

ij

ij

ij

ij

ve

ve

ve

m

§13.1 有向图的基本概念

【例 13.5 】 用关联矩阵表示下图：

【解】其关联矩阵为

v1

v3 v4

v2

v5

e2

e1

e3

e4

e5 e6

e7

1000000

1101000

0011000

0100111

0010111

M

§13.1 有向图的基本概念

M(D) 有如下各条性质： 1 ． ，说明M(D) 中所有元

素之和为 0. 2 ．M(D) 中负 1 的个数等于正 1 的个数，

都等于边数 m ，这正是定理 13.1 的内容。

3 ．第 i行中，正 1 的个数等于 ，负 1的个数等于 。

1 1 1

0, 1,2 0n m n

ij iji j i

m j m m

，从而

( )id v

( )id v

Homework

习题 13.1 P298

12

§13.2 有向图的连通性

【定义 13.6 】 设 是一个有向图， G的一个顶点和边的非空有限交错序列

满足 则称W为一条从 v0到 vk的有向通道。若 则称为有向开通道，若 ，则称为有向闭通道。边不重复的有向通道称为有向迹，顶点不重复的有向迹称为有向路。

),( EVG

kvv 0

kvv 0

0 1 1 ,k kW v e v e v k N 1( , ), 1,2, ,i i ie v v i k

§13.2 有向图的连通性

【定义 13.7 】如果有一条从 u 到 v 的有向通道，则称 u 到 v 可达。若 u 到 v 可达或v 到 u 可达，则称顶点 u 与 v 是单向连通的。若 u 到 v 可达且 v 到 u 可达，则称顶点 u 与 v 是强连通的。

如果有向图 G 的基础图是连通的，称 G 是弱连通的。如果 G 的任意两个顶点都是单向连通的，则称 G 是单向连通的。如果 G的任意两个顶点都是强连通的，则称 G 是强连通的。

§13.2 有向图的连通性【例 13.6 】 判断下面两个图是否强连通，

是否弱连通。

【解】 G 是强连通的。 H 不是强连通的，但是，显然 H 是弱连通的。

a b

e d

c

G

a b

e d

c

H

§13.2 有向图的连通性

【例 13.7 】 举例说明弱连通不一定单向连通，单向连通不一定强连通。

【解 】 举例如下：

图 G 单向连通，但非强连通。图 H 弱连通，但非单向连通。

a b

c dG

a b

c dH

§13.2 有向图的连通性

【定理 13.2 】设 D 为一个 n 阶有向图， D是强连通的当且仅当 D 中存在闭通道。

【定理 13.3 】设 D 是 n 阶有向图， D 是单向连通图当且仅当 D 中存在经过每个顶点至少一次的通道。

§13.2 有向图的连通性

【定义 13.8 】对于有向图 G ，顶点间的连通关系是等价关系，顶点间的强连通关系也是等价关系，但单向连通关系不是等价关系。按照无向图中划分连通分量的方法，根据顶点间的连通关系对 G 的基础图进行划分，即得到 G 的弱连通分量。而按照顶点间的强连通关系对 G 的顶点集进行划分，即得到有向图 G 的强连通分量。

§13.2 有向图的连通性

【例 13.8 】 给出下图的强连通分量。

【解】分解得到如下 3 个强连通分量： G1，G2和G3 ：

G

v1 v2

v4v5

v3

e1

e2 e5

e3

e4

e6

G

v1 v2

v4

e2

e3 e6

1

v5v3

G2 G3

§13.2 有向图的连通性

【定理 13.4 】设 A 为有向图 D ＝ (V,E) 的邻接矩阵，则 A 的 k 次幂 中元素 为D 中 到 长度为 k 的有向通道数，其中即 为 到自身长度为 k 的有向闭通道数， 为 D 中长度为 k 的有向通道总数， 为 D中的长度为 k 的有向闭通道总数。

( 1)kA k ( )kija

iv jv( )kiia

iv( )

1 1

n nk

iji j

a

( )

1

nk

iii

a

【推论 13.1 】 设 ，则 B 中元素 为 D 中长度不大于 k 的有向通道数，其中 为 D 中长度不大于 k 的有向闭通道数。

1 2 kB A A A ( )

1 1

n mk

iji j

b

( )

1

nk

iji

b

§13.2 有向图的连通性

【例 13.9 】计算出下图所示有向图 D 的邻接矩阵 A ，并给出2 3 4, ,A A A

v4

v1

v2v3

§13.2 有向图的连通性

【解】

从 A1～ A4 不难看出， D 中 v2到 v4 的长度为 1,2,3,4 的有向通道分别为 0 ， 1 ， 1 ，2 条。 v4 到自身长度为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的有向闭通道分别为 1 ， 2 ， 3 ， 5 条，其中有复杂有向闭通道。 D 中长度小于或等于4 的有向通道有 53 条，其中有 15 条为有向闭通道。

2 3 4

0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 1 3 0 0 3 4

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 2, , ,

0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 2 3

0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 2 3 0 0 3 5

A A A A

Homework

习题 13.2 ， P301

13457911

第 14 章 树

第十四章 树

§14.1 基本定义和性质§14.2 生成树与最小生成树§14.3 有根树§14.4 二元树和 Huffman树

§14.1 基本定义和性质

【定义 14.1 】无圈连通无向图称为无向树，简称树 ,常用 T表示树。树中最长路的长称为树的高。树的度为 1 的顶点称为树叶，其余的顶点称为分枝点。树的边称为树枝。

平凡图称为平凡树。若无向图 G 至少有两个连通分支，每个连通都是树，则称 G 为森林。

由定义，森林即每个连通分量都是树的图。树的树叶就是悬点。

§14.1 基本定义和性质

【定理 14.1 】设G = (V, E) 非平凡无向图，边数为 m ，顶点数为 n ，则下列命题等价：

1. G 是树；2. G 中任意两个顶点之间存在唯一的路径。3. G 无圈且 m=n-1；4. G 连通且 m=n-1；5. G 是连通的且 G 中任何边均为桥。6. G 中没有圈，但在任何两个不同的顶点之间

加一条新边，在所得图中得到唯一的一个含新边的圈。

§14.1 基本定义和性质

【例 14.1 】指出下图中哪些是树 ?

【解】G1和G2 都是树， G3 不是树， G4不是树。

a b

c d

e f

G1

a b

c

d

e f

G2

a b

c d

e f

G3

a b

c

d

e f

G4

§14.1 基本定义和性质

【推论 14.1 】非平凡树至少有两片树叶。【证】设 T是非平凡树，高为 k 。不妨设路P 的长度为 k ，则 P 是最长路。因此， P的起点 u 和终点 v 都不能与 P 外的顶点相邻。也不能有 P 以外的边使 u 或 v 与 P 中的顶点相邻，否则 T中就出现了圈。因此 , 即 u 和 v 都是 T的树叶。

1)()( vdud

【例 14.2 】 7 阶无向图有 3 片树叶和 1 个 3度顶点，其余 3 个顶点的度数均无 1 和 3.试画出满足要求的所有非同构的无向树。

T1 T2 T3

Homework

习题 14.1， P304

12589

§14.2 生成树与最小生成树

【定义 14.2 】 设 T是无向图 G 的子图并且为树，则称 T为 G 的树。若 T是 G 的树且为生成子图，则称 T是 G 的生成树。设T是 G 的生成树。 ，若 ，则称 e为 T的树枝，否则称 e 为 T的弦。称导出子图 G[E(G)-E(T)]为 T的余树，记作 。

( )e E G ( )e E T

T

§14.2 生成树与最小生成树

【定理 14.2 】 无向 G 连通当且仅当 G 有生成树。

【证】充分性显然，下面证明必要性。 若 G 中无圈， G 为自己的生成树。若 G

中含圈，任取一圈，随意地删除圈上的一条边，若再有圈再删除圈上的一条边，直到最后无圈为止，易知所得图无圈（当然无闭通道）、连通且为 G 的生成子图，所以为 G 的生成树。

§14.2 生成树与最小生成树

【推论 14.2 】 设 G 为 n 阶m 条边的无向连通图，则 m≥n-1 。

【推论 14.3 】 设 G 是 n 阶m 条边的无向连通图， T为 G 的生成树，则 T的余树中含有 m-n+1 条边（即 T有m-n+1 条弦）。

【推论 14.4 】 设 T是连通图 G 的一棵生成树，为 T的余树， C 为 G 中任意一个圈，则 。

( ) ( )E T E C

§14.2 生成树与最小生成树

求生成树的方法有很多。其中一种方法是使用广度优先搜索算法，简记为BFS(Breadth-First-Search) 。

在广度优先搜索算法中，首先从顶点 S 开始。然后找出与 S 相邻的顶点，给它们做标记 1(S)（广度优先搜索算法给出的顶点标记指明了该顶点与 S 之间的距离，以及该顶点的从 S 到它的一条最短路上的前驱）。接下来，考虑每个与标记为 1 的顶点 V 相邻的未标记的顶点；把这些顶点标记为 2(V) 。按这种方式继续进行，直到没有与已标记的顶点相邻的未标记的顶点。

§14.2 生成树与最小生成树

【例 14.3 】用 BFS 求下图的生成树。

JK

G

FC

D

HEB

A

【解】可以从任意顶点开始 BFS 算法，比如从 K 开始，把它标记为 0(-) 。与 K 相邻的顶点是 A 和 B ，它们被标记为 1(K) 。接下来对邻接于 A 和 B 的未标记的顶点 D和 E 做标记。它们分别被标记为 2(A)和2(B) 。按这样的方法，直到所有的顶点都被标记为止。

4(G)J

3(D)G

4(C)F

3(D)C

2(A)D

H3(D)

E2(B)B

1(K)

0(-)K

1(K)A

§14.2 生成树与最小生成树

注意 : 在使用 BFS 算法时，有些地方边可任意选取。不同的选择导致不同的生成树。例如可选择边 (E，H) 和（ F ， G ），而不选择边（ D ， H ）和（ C ， F ）。这样就给出如下图中粗边所示的生成树。

4(G)J

3(D)G

4(C)F

3(D)C

2(A)D

H3(D)

E2(B)B

1(K)

0(-)K

1(K)A

§14.2 生成树与最小生成树

【定义 14.3 】 设无向连通带权图G=<V,E,W>， T是 G 的一棵生成树。 T的各边权之和称为 T的权，记作W(T)。 G 的所有生成树中权最小的生成树称为 G 的最小生成树。

§14.2 生成树与最小生成树

求最小生成树已经有许多种算法，这里介绍避圈法（ Kruskal 算法）。（ 1 ）设 n 阶无向连通带权图 G=<V,E,W>有

m 条边。不妨设 G 中没有环（否则，可以将所有的环先删去），将 m 条边按权从小到大顺序排列，设为 .（ 2 ）取 在 T中，然后依次检查 ，若 与T中的边不能构成圈，则取 在 T中，否则弃去（ 3 ）算法停止时得到的 T为 G 的最小生成树

1 2, , me e e

1e

2 3, , me e e

je

je

jeje

§14.2 生成树与最小生成树

另外一种求最小生成树的算法是 Prim 算法 Prime 算法1)设 G 是 n 个顶点的连通无向图， T是零树。

不妨设 G 中没有环，选择最小的一边（包括端点），加入 G 。

2)选择与 T中关联的权最小的边 e ，如果将其加入到 T中不构成闭圈，则将其加入到 T中。

3) 重复执行 2),直到 T中有 n-1 条边。4) 此时的 T为 G 的最小生成树。

§14.2 生成树与最小生成树

【例 14.5 】用普林算法求下图中的最小生成树。

2 3 1

4 3 3

3 3 1

3

4

1

2

2

4

5

3

ab c d

e f g h

i j k l

§14.2 生成树与最小生成树

【解】选择 边 权 1 (b,f) 1 2 (a,b} 2 3 (f,i) 2 4 (a,e) 3 5 (i,j) 3 6 (f,g) 3 7 (c,g) 2 8 (c,d) 1 9 (g,h) 3 10 （ h,l) 3 11 (k,l) 1

Homework

习题 14.2， P307

15691012

§14.3 有根树

【定义 14.4 】 根据以上过程产生的有向图称为有根树。我们可以任意指定一个顶点为根来将一个无根树转化为有根树，而选择不同的根将产生不同的有根树。

在有根树T中，设 v 是非根顶点，对于有向边 (u, v) ，将顶点 u 称为 v 的父顶点。显然， u 是唯一的，否则产生圈。相对地，将 v 称为 u 的子顶点。有相同父顶点的顶点称为兄弟顶点。若存在从 u 到 v 的有向路，称 u 为 v 的祖先顶点，称 v 为 u 的后代顶点。没有子顶点的顶点称为树叶。有子顶点的顶点称为内顶点。

§14.3 有根树

若 v 是有根树T中的一个顶点，那么由 v和它的所有后代及所有与这些后代相关联的边所形成的子图称为以 v 为根的子树。

从根到顶点 v 的有向路的长度称为 v 的层数。树叶顶点的最大层数称为有根树的高，换言之，有根树的高就是就是从根到其他所有顶点的有向路的最大长度。

§14.3 有根树

【例 14.6 】指出下图 T的树叶顶点和高。并将其分别以 a 和 e 为根，转化为有根树。并分别指出其高和树叶顶点。

f

d

a

b

g

e

c

T

§14.3 有根树

【解】 T的最长路为 e, c, a, b, f ，故高为4 。树叶顶点为： f, g, d, e 。

转化为有根树如下：在以 a 为根的有根树（见下图）中，高为

3 ，树叶顶点为 f, g , e, d 。在以 e 为根的有根树（见下图）中，高为

4 ，树叶顶点为 f, g ,d 。

f

d

a

b

g e

c

以a为根 以 e为根

e

c

a

b d

f g

§14.3 有根树

【例 14.7 】 在以 a 为根的有根树（边的方向省略）中，找出 c 的父顶点， g 的子顶点， h 的兄弟顶点， e 的所有祖先顶点，b 的所有后代顶点，所有内顶点，所有树叶。给出以 g 为根的子树。a

b f g

c h i j

d k l me

§14.3 有根树

【解】c 的父顶点是 b ；g 的子顶点是 h ， i， j；h 的兄弟顶点是 i和 j；e 的祖先顶点是 c ， b ， a ；b 的后代顶点是 c ， d ， e ；所有内顶点为 a ， b ， g ， c ， h ， j；树叶为 d ， e ， f ， i， k ， l，m 。以 g 为根的子树为：

g

h i j

k l m

§14.3 有根树

【定义 14.5 】设 T是一棵有根树，若将 T中层数相同的顶点都标定次序，则称 T为有序树。根据根树T中每个分支点儿子数以及是否有序，可以将根树分成下列各类：

(1)若 T的每个分支点至多有 m 个儿子，则称 T为m 元树；又若 m 元树是有序的，则称它为 m 元有序树。

(2)若 T的每个分支点都恰好有 m 个儿子，则称 T为m 元正则树；又若 T是有序的，则称它为 m 元正则有序树。

(3)若 T是m 元正则树，且每个树叶的层数均为树高，则称 T为m 元完全正则树，又若T是有序的，则称它为 m 元完全正则有序树。

对一棵有根树的每个顶点都访问且仅访问一次称为遍历一个根树。若一棵高度为 h的有根 m 元树的所有树叶都在 h 层或 h －1 层，则这棵树是平衡的。

【定理 14.6】1. 在二叉树中，第 i层顶点总数不超过 2i-1 。2. 深度为 h 的二叉树最多有 2h-1（ h≥) 个

顶点。3. 对于任意一棵二叉树T，如果叶顶点数为

N0，而出度数为 2 的顶点总数为 N2 ，则N0=N2+1 。

§14.3 有根树

【例 14.8 】 画出一棵 3 元树，一棵 3 元正则树，和 3 元完全正则树。 3 元树 3 元完全正则树 3 元正则树

【解】

3 元树 3 元正则树 3 元完全正则树

§14.3 有根树

【定理 14.3 】带有 i 个内顶点的 m 元正则树含有个顶点。

【证】除根之外的每个顶点都是内顶点的子顶点。因为每个内顶点有 m 个子顶点，所以在树中除根之外还有 mi 个顶点。因此该树含有个顶点。

§14.3 有根树

【定理 14.4 】一个 m 元正则树带有1.n 个顶点有 个内顶点和 个树叶。

2.i 个内顶点有 个顶点和 个树叶。

3.l 个树叶有 个顶点和 个内顶点。

( 1)ni

m

( 1)* 1m nl

m

1n mi ( 1) 1l m i

( 1)( 1)n ml m 1

1

li

m

§14.3 有根树

【定理 14.5 】在高度为 h 的m 元树至多有

个树叶。【证】m 元树，第 1 层最多有个顶点，第 2层最多有 个顶点，依次推出第 h 层最多有 个顶点，即 个树叶。

hm

hmhm

2m

Homework

习题 14.3， P309

1345

§14.4 二元树和 Huffman树

【定义 14.6 】二叉树是二元有序树，即每个顶点的出度不大于 2 ，且每个顶点的儿子按一定顺序排列的有根树。每个顶点的出度为 0 或 2 的二叉树称为二叉正则树。

§14.4 二元树和 Huffman树

在计算机和通讯中常用二进制编码表示字符，我们可以利用二元树来对字符进行二进制编码。构造一棵二元树，用其树叶来表示所要编码的字符。从根出发，经过一条有向路到达某一树叶，在该有向路上，规定从一个内顶点左下行表示 0 ，右下行表示 1 ，于是整条有向路就给出了一个二进制串。而这个二进制串就是该树叶所表示的字符的二进制编码。

用二进制编码表示字符时，可能出现这样的情况：假设用 1 表示 A ，用 00 表示 B ，用 001 表示 C ，用 100 表示 D ，当我们接收到信息 001100 时，就无法分辨这是CD ，还是 BAD ，还是 CAB ，或者是BAAB 。

§14.4 二元树和 Huffman树

为了解决这个问题，需要作如下定义。 【定义 14.7 】 设 是长为 n 的符号串，

称其子串 分别是它的长为 的前缀。 设 是 m 个符号串的集合，若对任意的 ，它们互不为前缀，则称 A 为前缀码。若 A 中的符号串只出现0 和 1 两个符号，则称 A 为二元前缀码。

nn 121

121211 ,,, n

1,,2,1 n mA ,,, 21

jiAji ,,

§14.4 二元树和 Huffman树

【定理 14.7 】 一棵二叉树产生一个二元前缀码，并且由二元正则树产生的二元前缀码是唯一的。

一般地，在信息传输中，各符号出现的频率是不相同的。在编码时，总是希望常见的字符码的长度短一些，不常见的字符码的长度不妨长一些，这样可以使传输的二进制位尽可能少。

于是，我们给出一个编码的最佳标准，使得在编码 中，设符号串 的出现的几率为pi ，长度为 li ，则 达到最小。

mA ,,, 21 i

m

iiilpL

1

§14.4 二元树和 Huffman树

【定义 14.8 】设 T 为二叉树，若 t 片树叶vi 分别对应实数 wi ，则称 wi 是树叶 vi 的权，其中 ，而 称为 T 的权，其中 li 是树叶 vi 的层数，并称 T 为带权二叉树。在所有带权 的 t 片树叶的二叉树中，权最小的二叉树称为最优二叉树，又叫Huffman树。

ti ,,2,1

t

iiilwTw

1

)(

twww ,,, 21

§14.4 二元树和 Huffman树

Huffman 算法：（ 1 ）根据给定的 n 个权值 构成 n 棵二元树的集合 ，其中每棵二叉树 Ti 中只有一个带权wi 的根，其左右子树都为空。（ 2 ）在 F 中选取两棵根的权值最小的树作为左右

子树构造一棵新的二叉树，且置新二叉树的根的权值为其左右子树上根的权值之和。（ 3 ）在 F 中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加入 F 中。（ 4 ）重复 (2)和 (3) ，直到 F 只含一棵树为止。

这棵树就是 Huffman树。

nwww ,,, 21

nTTTF ,,, 21

§14.4 二元树和 Huffman树

【例 14.9 】 给出下图中各字符的二进制编码：

【解】A ： 1B ： 01C ： 001D ： 000可以验证它是前缀码。

A

B

CD

§14.4 二元树和 Huffman树

【例 14.10 】 作带权 2 ， 4 ， 5 ， 7 ， 8 ，11的Huffman树。

【解】迭代过程如下：迭代过程中的 (f) 即得到一棵Huffman树，其权值为 37 。

2 4 5 7 8 1(a)

2 4

65 7 8 1(b)

2 4

65

117 8 11(c)

7 8

15

2 4

65

11 11(d)

2 4

65

11 11

22(e)

7 8

15

2 4

65

11 11

22

7 8

15

37(f)

Homework

习题 14.4， P312

1345