第二章 牛顿定律第二章 牛顿定律

本次课内容§2-1 牛顿定律§2-2 物理量的单位和量纲§2-3 几种常见的力§2-4 惯性参考系 力学相对性原理§2-5 牛顿定律的应用举例课本 pp30—49

本次课内容§2-1 牛顿定律§2-2 物理量的单位和量纲§2-3 几种常见的力§2-4 惯性参考系 力学相对性原理§2-5 牛顿定律的应用举例课本 pp30—49

任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止 .

一 牛顿第一定律

d ( )( ) , ( ) ( )

d

p tF t p t m t

t

v

二 牛顿第二定律

时， 恒矢量v0F

动量为 的物体，在合外力 的作用下，其动量随时间的变化率应当等于作用于物体的合外力 .

p

F

当 时， 为常量cv ( ) ( )F t ma t m

§2-1 牛顿定律

1 2 3a a a a 1 2 3F F F F

力的叠加原理

注意瞬时关系1.

牛顿定律的研究对象是单个物体（质点）2.

x xF ma

y yF ma

z zF ma

x y zF F i F j F k

x y za a i a j a k

两个物体之间作用力 和反作用力 , 沿同一直线 , 大小相等 , 方向相反 , 分别作用 在两个物体上 .　　　　　

F

F＇

12 21F F

（物体间相互作用规律）

三 牛顿第三定律

m

m

T＇

T

P

P＇

地球

量 纲表示一个物理量如何由基本量的组合所形成的式子 .

量纲作用1 ）可定出同一物理量不同单位间的换算关系 .

3 ）从量纲分析中定出方程中比例系数的量纲和单位 .

2 ）量纲可检验文字结果的正误 .

1 22

mmF G

r

2

1 2

FrG

mm 3 1 2dim L M TG

某一物理量 的量纲 dim L M Tp q sQ Q

§2-2 物理量的单位和量纲

一 万有引力1 2

2

mmF G

r 11 2 26.67 10 N m kgG

二 弹性力 （压力，张力，弹簧弹性力等）f kx弹簧弹性力

,P mg 重力 22

9.80m s-EGmg

R

三 摩擦力

0 一般情况

f NF F滑动摩擦力

静摩擦力 f0 f0mF F f0m 0 NF F

§2-3 几种常见的力

例 1 质量为 、长为 的柔软细绳，一端

系着放在光滑桌面上质量为 的物体，如图所示 .

在绳的另一端加如图所示的力 . 绳被拉紧时会略

有伸长（形变），一般伸长甚微，可略去不计 . 现

设绳的长度不变，质量分布是均匀的 . 求：（ 1 ）绳

作用在物体上的力；（ 2 ）绳上任意点的张力 .

m lm＇F

＇mm

l

F

P TF

TF＇其间张力 和 大

小相等，方向相反TF

TF＇

（ 1 ）F

aa

T0F

T0F

＇

T0 T0F F ＇

T0F m ＇a

T0F F ma ＇

Fa

m m

＇

T0

mF F

m m

＇

＇

设想在点 将绳分为两段P解

（ 2 ）l

dx

dm

dx

dmTF

T TdF F

d d /m m x lT T T ( d )F F F

Td d( )

mFF x

m m l

＇

TTd d

( )

F l

F x

mFF x

m m l

＇

(d ) dm

m a a xl

T ( )x F

F m ml m m

＇＇

例 2 如图绳索绕圆柱上，绳绕圆柱张角为 ，绳与圆柱间的静摩擦因数为 ，求绳处于滑动边缘时 , 绳两端的张力和 间关系 . （绳的质量忽略）

TAF

TBF

fF圆柱对 的摩擦力 圆柱对 的支持力

NFdsds

解 取一小段绕圆柱上的绳取坐标如图

TF T TdF Fds两端的张力 ，dds的张角

x

y

d

O

O＇

ds

d / 2 d / 2

fF NF

TF

T TdF F

TAF

TBF ＇O

B A

T T T f

d d( d )cos cos 0

2 2F F F F

T T T N

d d( )sin sin 0

2 2F dF F F

f NF F

dcos 1

2

T f NdF F F

d dsin

2 2

T T N

1d d d

2F F F

TAF

TBF ＇O

B A

x

y

d

O

O＇

ds

d / 2 d / 2

fF NF

TF

T TdF F

T T eB AF F

T T/ eB AF F

若 0.25

T T/B AF Fπ 0.46

2 π 0.2110 π 0.00039

T

T

T

0T

dd

A

B

F

F

F

F

m

F

TAF

TBF ＇O

B A

一 惯性参考系地面参考系：

0F P N ma

（小球保持匀速运动）

0F P N ma

车厢参考系：

定义：适用牛顿运动定律的参考系叫做惯性参考

系；反之，叫做非惯性参考系 . （ 在研究地面上物体的运动时，地球可近似地看成是惯性参考系 . ）

（小球加速度为 ）

a

PN

车厢由匀速变为加速运动

av

§2-4 惯性参考系 力学相对性原理

二 力学相对性原理u ＇v v

F ma ma F ＇ ＇

2 ）对于不同惯性系，牛顿力学的规律都具有相同的形式，与惯性系的运动无关 .

1 ）凡相对于惯性系作匀速直线运动的一切参考系都是惯性系 .

伽利略相对性原理

x

ut＇xx

y ＇y

z ＇z

＇oo

u

＇x

P

结论

a a ＇u 为常量

1 ）确定研究对象进行受力分析；

（隔离物体，画受力图）

2 ）取坐标系；

3 ）列方程（一般用分量式）；

4 ）利用其它的约束条件列补充方程；

5 ）先用文字符号求解，后带入数据计算结果 .

解题的基本思路

（ 1 ）如图所示滑轮和绳子的质量均不计，滑轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力均不计 .且 . 求重物释放后，物体的加速度和绳的张力 .

1 2m m

2m1m

1 T 1m g F m a

2 T 2m g F m a

1 2

1 2

m ma g

m m

1 2

T1 2

2mmF g

m m

解 以地面为参考系画受力图、选取坐标如图

1P

TF

TF

2Pa

y

0a

y

0

例 1 阿特伍德机

1P

TF

（ 2 ）若将此装置置于电梯顶部，当电梯以加速度 相对地面向上运动时，求两物体相对电梯的加速度和绳的张力 .

a

1m2m

ara

ra

解 以地面为参考系

设两物体相对于地面的加速度分别为 ，且相对电梯的加速度为1a

、 ra

2a

TF

2P1a

y

0

2ay

0

1 T 1 1m g F m a

2 T 2 2m g F m a 1 ra a a

2 ra a a

1 2r

1 2

( )m m

a g am m

1 2T

1 2

2( )

mmF g a

m m

dsin

dmg m

t

v

解

0 0d sin dgl

v

vv v

20

T ( 2 3 cos )F m g gl

v

d d d d

d d d dt t l

v v v v

20 2lg(cos 1) v v

tsinmg ma T ncosF mg ma

2T cos /F mg m l v

例 2 如图长为 的轻绳，一端系质量为 的小球 ,另一端系于定点 ， 时小球位于最低位置，并具有水平速度 ，求小球在任意位置的速率及绳的张力 .

0

v

m0t

lo

0v

o

v

TF

mgtene

例 3 如图所示（圆锥摆），长为 的细绳一端固定在天花板上，另一端悬挂质量为 的小球，小球经推动后，在水平面内绕通过圆心 的铅直轴作角速度为 的匀速率圆周运动 . 问绳和铅直方向所成的角度 为多少？空气阻力不计 .

ml

o

解TF P ma

22

T nsinF ma m mrr

v

T cos 0F P

sinr l

o

l

rv

A ne

te

TF

P

l l

m m

2 2cos

mg g

m l l

2arccos

g

l

越大， 也越大利用此原理，可制成蒸汽机的调速器（如图所示） .

o

l

rv

A ne

te

TF

P

2TF m lT cosF P

例 4 设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比，即 ， 为比例系数 . 抛体的质量为 、初速为 、抛射角为 . 求抛体运动的轨迹方程 .

rF k

v k m0

v

解 取如图所示的 平面坐标系Oxyd

dx

x xma m kt

v

vd

dy

y yma m mg kt

v

v

ddx

x

kt

m

vvd

dy

y

k kt

mg k m

v

v o x

y

P

rF0

v

A v

0 0 cosx v v

0 0 siny v v

0t

/0 cos e kt m

x v v/

0( sin )e kt my

mg mg

k k v v

ddx

x

kt

m

vvd

dy

y

k kt

mg k m

v

v

o x

y

P

rF0

v

A v

o x

y

A vP

rF0

v

0k

0k

/0 cos )(1 e )kt mm

xk

(v

/0( sin )(1 e )kt mm mg mg

y tk k k

v

2

20 0

tan ln 1cos cos

mg m g ky x x

k k m

v v

d dxx tv d dyy tv

/0 cos e kt m

x v v/

0 sin e kt my

mg mg

k k

v v

v

BF

rF

解 取坐标如图

0d( )

d

Fb

t m b

vv

B 6πmg F r ma v

令 0 B 6πF mg F b r

0

d

dF b m

t

vv

P

y

( )tv例 5 一质量 ，半径 的球体在水中静止释放沉入水底 .已知阻力 , 为粘滞系数，求 . r 6πF r v

m r

BF

为浮力

L 0, /t F b v （极限速度）

0 1 ebt

mF

b

v

L L(1 0.05) 0.95 v v v

3t m b当 时

L3 ,t m b v v一般认为

0 00

dd

( )

tbt

F b m

v vv

v

BF

rF

Py

vb

F0

to

0d( )

d

Fb

t m b

vv