第九章

点的合成运动

第九章

点的合成运动

本章重点、难点 ⒈ 重点 点的运动的合成与分解，点的速度合成定理及 加速度合成定理及其应用。 ⒉ 难点 牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念， 以及动点、动坐标系的选择。

§9-1 　点的合成运动的概念§9-1 　点的合成运动的概念 一．坐标系 — 静系 动系　 1. 静坐标系：把固连于地面上的坐标系称为静坐标系 , 简称静系。　 2. 动坐标系：把固连于相对于地面有运动的物体上的坐标系称为动坐标系，简称动系。例如固连在行驶列车车厢的坐标系。

二．动点：作为研究对象的运动着的点。三．三种运动⒈ 绝对运动：动点相对静系的运动。

⒉ 相对运动：动点相对动系的运动。点的运动

在某一瞬时，动坐标系中与动点 M 相重合的点 M′ 点相对于静坐标系的速度和加速度称为动点 M 的 牵连速度　 与牵连加速度 。

evea

相对运动中 , 动点相对于动系的速度和加速度称为相对速度　 与相对加速度 。rv ra

绝对运动中 , 动点相对于静系的速度与加速度称为绝对速度　 与绝对加速度 。aaav

刚体的运动⒊ 牵连运动：动系相对于静系的运动。　四．三种速度与三种加速度⒈ 绝对速度与绝对加速度

⒉ 相对速度与相对加速度

⒊ 牵连速度与牵连加速度

五．点的合成运动

动点 M 因动系的牵连运动而有的运动

牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点 M 相重合的 M′

点，称为牵连点。因此，牵连运动中 , 牵连点相对于静坐标系的速度和加速度称为动点 M 的牵连速度与牵连加速度。

动点 M 的绝对运动

合 成

分 解

动点 M 相对动系 的相对运动

六．动点与动系的选取原则

⒈ 动点与动系不能选在同一物体上，否则无相对运动。

⒉ 动点相对于动系的相对运动轨迹要一目了然，即是一条简单、明了的已知轨迹曲线 — - 圆弧或直线。

下面举例说明以上各概念：

动点：

动系：

静系：

AB 杆上 A 点

固连于凸轮上

固连在地面上

绝对运动： 动点 A 静系

绝对轨迹：铅直直线

相对运动：

牵连运动：

直线平动

动点 A 动系（凸轮）

相对轨迹：

动系（凸轮） 静系

曲线（圆弧）

evrvav绝对速度 ： 相对速度 ： 牵连速度 ：

绝对加速度：相对加速度：牵连加速度：

aa

eara

动点： M （在圆盘上 )动系：固连圆 静系：固连机架

绝对运动： 静系动点相对运动：动点 动系（摆杆 )

牵连运动：定轴转动

动系（圆盘 ) 静系相对轨迹为圆

动点： A( 在 AB 杆上 )动系：固连偏心轮 静系：固连地面绝对运动：相对运动：

牵连运动：　

动点 A 静系动点 A 动系（偏心轮）

若动点 A 在偏心轮上时，动系固连 AB 杆，绝对运动轨迹为以OA 为半径的圆，而相对运动轨迹为未知曲线。

绝对轨迹：铅直直线

相对轨迹： 曲线（圆弧）定轴转动动系（偏心轮 ) 静系

§9 －２点的速度合成定理§9 －２点的速度合成定理 点的速度合成定理建立了动点的绝对速度，相对速度和 牵连速度之间的关系。

一．定理的导出 当 t t+△t ABA'B'

MM'

也可看成 M M １ M′

MM′— 　绝对轨迹MM′ — 　绝对位移　　M1M′ — 相对轨迹M1M′ — 　相对位移

⒈ 两种轨迹和两种位移

tMM

tMM

tMM

ttt

1

0

1

00limlimlim

t将上式两边同除以 后， 0t 时的极限，得取1MM＝'MM ＋ '1MM

rea vvv 即：

⒉ 三种速度

va— 动点的绝对速度；

vr— 动点的相对速度；

ve— 动点的牵连速度，是动系上一点 ( 牵连点 )

的速度。

上式表明：在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。

rea vvv

二．点的速度合成定理⒈ 定理

⒉ 讨论⑴ 是矢量式，符合矢量合成法则；rea vvv ⑵ 是瞬时关系式，两边可以求导；rea vvv

⑶ 共包括大小﹑ 方向 六个要素，已知任意四个要素，能求出另外两个要素。

rea vvv

二．应用举例

[ 例 1] 桥式吊车 已知：

小车水平运行，速度为 v1 ，

物块 A 相对小车垂直上升

的速度为 v2 。求物块 A 的

运行速度。解：⒈ 选取动点、动系、静系：动点 : 物块 A ，动系 : 固连小车，静系 : 固连地面。⒉ 三种运动分析：⑴ 绝对运动：动点 A 静系 绝对轨迹： 未知曲线

由速度合成定理：

⑵ 相对运动 :动点 A 动系（小车）相对轨迹：铅直直线⑶ 牵连运动 :

直线平动动系（小车） 静系

⒊ 三种速度分析 :

?

? 21 vv

vvv rea

大小：方向：

两未知量可解

⒋ 作速度矢量关系图求解： 作出速度平行四边形如图示，则物块Ａ的速度大小和方向为：

22

21

22 vvvvvv reaA

1

211 tgtgv

v

v

v

e

r

[ 例 2] 曲柄摆杆机构已知： OA= r , , OO1=l 　图示瞬时 OAOO

1 求：摆杆 O1B 角速度 1

解：⒈ 选取动点、动系、静系：动点 : OA 杆上 A 点 , 动系 : 摆杆 O1B ，静系 : 固连地面。

⒉ 三种运动分析：⑴ 绝对运动：动点 A 静系 绝对轨迹：⑵ 相对运动 : 动点 A 动系

相对轨迹：⑶ 牵连运动 : 定轴转动动系（摆杆 O1B

）静系

（摆杆 O1B ）斜直线

2

2

2

2

21

1

1122

2

22

222

1

,sin,sin

lr

r

lr

r

lrAO

v

AOvlr

rvv

lr

r

e

eae

又

（ ）

由速度合成定理 作出速度平行四边形如图示。

由速度合成定理：⒊ 三种速度分析 :

??rvvv rea

大小：方向：

两未知量可解

⒋ 作速度矢量关系图求解：

[ 例 3] 圆盘凸轮机构已知： OC ＝ e , 　　　 , （匀角速度）图示瞬时 , OCCA 且 O,A,B 三点共线。求：从动杆 AB 的速度。　

eR 3

解： ⒈ 选取动点、动系、静系：动点 : AB 杆上 A 点 ,

静系 : 固连地面。⒉ 三种运动分析：⑴ 绝对运动：动点 A 静系 绝对轨迹：⑵ 相对运动 : 动点 A 动系

相对轨迹：⑶ 牵连运动 : 定轴转动动系（凸轮） 静系

（凸轮）

动系 : 固连凸轮 ，

)(3

32 3

32300 evetgvv ABea

由速度合成定理：⒊ 三种速度分析 :

?2? e

vvv rea

大小：方向：

两未知量可解

⒋ 作速度矢量关系图求解：

作出速度平行四边形如图示，则 A 点（即 AB 杆）的速度大小为：

恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。

根据速度合成定理 确定各已知量和未知量；

⒊ 三种速度分析 :

, r e av v v

⒈ 选取动点、动系、静系 ;

⒉ 三种运动分析 ;

由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：

　 作出速度平行四边形，根据速度平行四边形，求出未知量。

⒋ 作速度矢量关系图求解：

分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，一个物体上的某点不和另一个物体始终接触，因此两物体的接触点都不宜选为动点，这种情况下，需选择满足动点与动系的选取原则的非接触点为动点。

[ 例４ ] 已知 : 凸轮半径 r , 图示时　　　　　 杆 OA 靠在凸轮上。 求：杆 OA 的角速度。　　　　　

;30 , v

　　⒈ 选取动点、动系、静系：

解：

动点：凸轮上的Ｃ点 ,

动系：固连摆杆 OA ，静系：固连地面。

⒉ 三种运动分析：⑴ 绝对运动：动点 C 静系 绝对轨迹：⑵ 相对运动 : 动点 C 动系

相对轨迹：⑶ 牵连运动 : 定轴转动动系（摆杆 OA ） 静系

（摆杆 OA ）

rvv

rrve

63

33

21

2

vvv ae 33tg

（　　）

,2sin

rrOCve 又

由速度合成定理：⒊ 三种速度分析 :

??v

vvv rea

大小：方向：

两未知量可解

⒋ 作速度矢量关系图求解： 作出速度平行四边形如图示，则 C 点牵连速度的大小为：

§9-3 　牵连运动为平动时点的加速度合成定理§9-3 　牵连运动为平动时点的加速度合成定理

rea vvv

由于牵连运动为平动，故

由速度合成定理'' , OeOe aavv

''''

''v r kdtdzj

dtdy

idtdx 而

kdtdzj

dtdy

idtdxvv Oa

'''

　 设有一动点 M 按一定规律沿着固连于动系 O'x'y'z' 的曲线AB 运动 , 而曲线 AB 同时又随同动系 O'x'y'z' 相对静系 Oxyz

平动。

一．定理的导出

0'

,0'

,0'

dt

kd

dt

jd

dt

id( 其中 为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以 ）

',',' kji

上式表明：当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于

rea aaa

二．牵连运动为平动时点的加速度合成定理

reOO ak

dt

zdj

dt

ydi

dt

xdaa

dt

vd '

''

''

' ,

2

2

2

2

2

2

''又

对 t 求导： ''''

''2

2

2

2

2

2k

dtzdj

dtyd

idt

xddtvd

dtvd

a Oaa

rea aaa ⒈ 定理

⑴ 定理的一般表达式naaa n

r rne e

na aa a a a a a

∴ 一般式：

牵连加速度与相对加速度的矢量和。⒉ 讨论

⑵ 是矢量式，符合矢量合成法则；rea aaa

⑶ 若采用一般表达式或矢量方程的的总项数 >3 时，则一般不再采用四边形或三角形合成法则，而采用矢量投影定理求解，此时也只能解两个未知量。

[ 例 1] 已知：凸轮半径　 求： =60o 时 , 顶杆 AB 的加速度。

oo avR ,,

解： ⒈ 选取动点、动系、静系：

动点 : AB 杆上 A 点 ,

静系 : 固连地面。

动系 : 固连凸轮 ，

⒉ 三种运动分析：⑴ 绝对运动：动点 A 静系 绝对轨迹：⑵ 相对运动 : 动点 A 动系

相对轨迹：⑶ 牵连运动 : 平动动系（凸轮） 静系

（凸轮）

由速度合成定理：⒊ 三种速度分析 :

?? o

rea

v

vvv

大小：方向：

两未知量可解

⒋ 作速度矢量关系图求解：

作出速度平行四边形如图示，

00

32

60sinsinv

vvv

oe

r

)/( 2 Rva rnr

则 A 点的相对速度大小为：

⒌ 加速度分析 :

因牵连运动为平动，故有

?? O

nrrea

a

aaaa

Rvr /2大小：方向：

两未知量可解

Rv

RvRva rn

r 34

/)3

2(/ 2

020

2 其中

将上式投影到沿法线的 n 轴上，得n

rea aaa cossin

60sin/)3

460cos(sin/)cos(

20

0 R

vaaaa n

rea

整理得 )38(

33

20

0 Rv

aaa aAB

[ 注 ] 加速度矢量方程的投影 是等式两端的投影，与 静平衡方程的投影关系 不同

⒍ 作加速度矢量关系图求解：

?? O

nrrea

a

aaaa

Rvr /2大小：方向：

两未知量可解

n

§9-4 　牵连运动为转动时点的加速度合成定理§9-4 　牵连运动为转动时点的加速度合成定理

　 上一节我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定

理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还

适用呢？下面我们来分析一特例。

　 设一圆盘以匀角速度 绕定轴Ｏ顺时针转动，盘上圆槽内有一点 M 以大

小不变的相对速度 vr 沿槽作圆周运动，

那么 M 点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？

一．特例分析

R

vav r

rr

2

, 常数有

相对运动为匀速圆周运动，

（方向如图）由速度合成定理可得出

常数 rrea vRvvv

选点 M 为动点，动系固连于圆盘上，则 M 点的牵连运动为匀速转动

RaRv ee2 , （方向如图）

即绝对运动也为匀速圆周运动，所以

rrra

a vR

vR

R

vR

R

va

2)( 2

222

方向指向圆心Ｏ点

分析上式： 还多出一项 2 vr 。

可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度　　并不

等于牵连加速度　　和相对加速度　　的矢量和。那么他们

之间的关系是什么呢？ 2 vr 又是怎样出现的呢？下面我们

就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成

定理。

ea ra

aa

, /, 22 RvaRa rre

rrra

a vR

vR

R

vR

R

va

2)( 2

222

⑴ 三种速度分析牵连速度相对速度绝对速度

t 瞬时在位置Ｉ t+t 瞬时在位置 IIevrv

rea vvv ''' rea vvv

'ev'rv

设有已知杆 OA 在图示平面内以匀角速 绕轴 O 转动，套筒M （可视为点 M ）沿直杆作变速运动。取套筒 M

为动点，动系固结于杆 OA

上，静系固结于机架。

二．牵连运动为转动时点的加速度合成定理⒈ 定理的导出 ( 由该特例导出）

可以看出，经过 t 时间间隔，牵连速度和相对速度的大小和方向都变化了。t 时间间隔内的速度变化分析 相对速度：由 作速度矢量三角形，在　 矢量上截取　 长度后， 分解为 和

rrr vvv ,','rv rv rv 'rv ''rv

''' rrr vvv 即

其中 -- 在 t 内相对速度大小的改变量，它与牵连转动无关。 -- 在 t 内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变 量，与牵连转动的 的大小有关 。

'rv''rv

牵连速度：

由 作速度矢量三角形，

在 矢量上截取等于　 长后，

eee vvv ,',

'ev ev

将 　 分解为 　 和 　 　，ev 'ev ''ev ''' eee vvv 即其中 : 　　

— 表示 t 内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改 变量，与相对运动无关。

— 表示 t 内动点的牵连速度，由于相对运动而引起的 大小改变量，与相对速度 有关。　　　　

'ev

''evrv

根据加速度定义

tvvvv

tvva rere

t

aa

ta

)()''(lim'lim

00

tv

tv

tvvvv r

t

e

t

rree

t

000limlim

)'()'(lim

tv

tv

tv

tv r

t

r

t

e

t

e

t

''lim'lim''lim'lim0000

⑵ 加速度分析

上式中各项的物理意义如下：

第一项大小： eet

e

taOM

tv

tv

2

00lim'lim

方向： t 0 时， 0 , 其方向沿着直杆指向 O 点。 因此，第一项正是 t 瞬时动点的牵连加速度 　　。ea

第三项大小：　　　　　　　　　　 为对应于　 大小改变　　　　　　　　　

rrr

ta

dtvd

tv

'lim0

rv

方向：总是沿直杆。 因此，该项恰是ｔ瞬时动点的相对加速度　　。ra

rrt

vvtMM

方向 , 'lim 1

0

第二项大小：tOMOM

tvv

tv

t

ee

t

e

t

'lim'lim''lim000

该项为由于相对运动的存在而引起牵连速度的大小改变的加速度。

第四项大小： 。方向 , lim''

lim00

rrrt

r

tvv

tv

tv

这一项表明由于牵连转动而引起相对速度方向改变的加速度。

⑶ 科氏加速度由于第二项和第四项所表示的加速度分量的大小，方向都

相同，可以合并为一项，用　 表示，称为科里奥利加速度，简称科氏加速度。

ka

krea aaaa

一般式 kn

rrn

een

aa aaaaaaa

一般情况下 科氏加速度　 的计算可以用矢积表示

) ( 不垂直时与 rv ka

rk va 2

转动的一边指向顺方向 , , 2 rrk vva

⒉ 牵连运动为转动时点的加速度合成定理

上式表明：当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。

⒊ 一般情况下科氏加速度的计算

), sin(2: rrk v va 大小方向：按右手法则确定。

0), // ( 180 0 kr av 时或当

rkr vav 2), ( 90 时当

[ 例 2] 已知：凸轮机构以匀 绕 O 轴转动，　　　　图示瞬时 OA= r ， A 点曲率半径 ,

已知。求：该瞬时杆 AB 的速度和加速度。　　解： ⒈ 选取动点、动系、静系：

动点 : 顶杆 AB 上 A 点 ,

静系 : 固连地面。 动系 : 固连凸轮 ，

⒉ 三种运动分析：⑴ 绝对运动：动点 A 静系 绝对轨迹：⑵ 相对运动 : 动系 相对轨迹：⑶ 牵连运动 : 定轴转动动系（凸轮） 静系

（凸轮）动点 A

由速度合成定理：⒊ 三种速度分析 :

⒋ 作速度矢量关系图求解： 作出速度平行四边形如图示，

?? rvvv rea

大小：方向：

两未知量可解

)(tg tg rvvv eaAB

cos/ cos/ rvv er

2222 cos// rva rn

r ,cos/22 2 rva rk

⒌ 加速度分析 :

因牵连运动为定轴转动，故有

将上式投影到沿法线的 n 轴上，得：

⒍ 作加速度矢量关系图求解：

kn

rea aaaa coscos

cos/)sec2/seccos( 22222 rrraa aAB

)sec2/sec1( 232 rr

大小：方向：

两未知量可解

r

kn

rrea

vr

aaaaa

2?? 2 /2rv

DA

B C

解：点 M1 的科氏 加速度大小：　 sin2 11 vak

)//( 0 22 vak

[ 例 3] 矩形板 ABCD 以匀角速度 绕固定轴 z 转动，点 M1 和点 M2 分别沿板的对角线 BD 和边线 CD 运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 　和　 ，计算点M1 、 M2 的科氏加速度大小 , 并标明方向。

1v 2v

　点 M2 的科氏加速度

方向：垂直板面向里。

解： rk va 22

rkr vav 22 2

rea vvv 根据 做出速度平行四边形)cos(sin),sin(cos 11 rvvrvv arae

112

2 cos

sin)sin(

cos

sin)sin(

r

rAO

ve

rva rk2

12 cos)22sin(

2 方向：与　 相同。ev

[ 例 4] 曲柄摆杆机构已知： O1A ＝ r , , , 1;

取 O1A 杆上 A 点为动点，动系固结 O2

B 上，试计算动点 A 的科氏加速度。