第一章 静电场

82

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第一章 静电场. 1.1 电荷. 电荷 ( electric charge ) 的基本性质: 存在两种电荷: 正电荷和负电荷 异种电荷相吸、同种电荷相斥 电荷守恒定律 ( law of electric charge conservation ) 对于任一孤立系统而言,在一切物理过程中,电荷的代 数和是守恒的 电荷的量子化 电荷总是以一个确定单元 e 的整数倍出现. 1.2 库仑定律. 1 、库仑定律 (Coulumb law) 适用条件: 真空中的点电荷 - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: 第一章  静电场
Page 2: 第一章  静电场

电荷 (electric charge) 的基本性质:存在两种电荷:正电荷和负电荷 异种电荷相吸、同种电荷相斥电荷守恒定律 (law of electric charge conservation) 对于任一孤立系统而言,在一切物理过程中,电荷的代 数和是守恒的电荷的量子化 电荷总是以一个确定单元 e 的整数倍出现

191.6021892(46) 10 Ce

1.1 电荷

Page 3: 第一章  静电场

1 、库仑定律 (Coulumb law)适用条件:真空中的点电荷点电荷:当带电体 (electrified body, charged body) 的线度与 它到其它带电体之间的距离相比很小时,则称其 为点电荷。库仑定律:两个点电荷之间的相互作用力的大小与它们的带 电量的乘积成正比,与它们之间的距离的平方成 反比,作用力的方向沿着它们的连线方向。同号 电荷相斥,异号电荷相吸。

1 22F k

q qr

1

q 2qr

1.2 库仑定律

Page 4: 第一章  静电场

1q

2q12r

��������������

1q 2

q21r

��������������

1 2212 12

12

kq q

F rr

��������������

1 2221 21

21

kq q

F rr

��������������

1 212 21 212 21

12 21 12 21

,r r r kq q

F Fr

r r F F

��������������������������������������������������������

由于 仅考虑力的大小

而 与 方向相反,所以 ,这是一对作

用力和反作用力

Page 5: 第一章  静电场

2 、静电力的叠加原理

受的库仑力 为矢量和推广: 如果空间存在多个点电荷,实验证明 所受的静电力为:

1q

2q 3

q21r

��������������31r

��������������

1q

1 21 31F F F ������������������������������������������

0q

01 2 2 0

1 0

ni

n ii i

F F F F kq q

rr

��������������

Page 6: 第一章  静电场

讨论国际单位制

库仑定律可写作

实际带电体并非点电荷

库仑定律是严格的平方反比定律

适用范围:宏观带电体和微观粒子

0

1

4k

12 2 1 2

08.85 10 C N m

1 22

0

1

4F

q qr

9 229.0 10 N Cmk

Page 7: 第一章  静电场

相隔一定距离的两个带电体之间有电力的作用

电荷通过电场相互作用 :

电场的基本性质:对置于其中的电荷有电力的作用

电场可以叠加

静电场:相对于观察者静止的电荷所激发的电场

电荷 电场 电荷

1.3 电场 (electric field)

Page 8: 第一章  静电场

1 、电场强度 (electric field intensity)引入试探电荷 (电量充分小,点电荷),做如下试验: ( 1 )不同场点, 受力大小和方向均可不同 ( 2 )同一场点,改变 电量,受力方向不变, 比值不变定义电场强度 (矢量)

单位:牛顿 / 库仑( N/C)

大小:单位电荷在该处所受电场力的大小 方向:与正电荷在该处所受电场力的方向相同均匀电场:空间中各点的场强大小和方向处处相同

0q

0

Fq

0

FE

q

����������������������������

0q

1.4 电场强度

0q

Page 9: 第一章  静电场

例:求点电荷的电场强度

P 点的场强

讨论:I.q >0 , 沿 方向; q <0  沿   方向II.场强的大小与距离的平方成反比

III.  是矢量 对于以点电荷为中心的任一球面,各个球面上电场强度大小相等,这样分布的电场称作球对称电场。

2

00

1

4

F qE r

q r

��������������

��������������

r r

E��������������

2

1E

r

q0

qr

rO P

E��������������

E��������������

Page 10: 第一章  静电场

2、电场强度的叠加原理 (superposition principle of

electric field intensity)

  点电荷组产生的电场在某点的场强等于各点电荷单独存在时所产生的电场在该点场强的矢量叠加     即,

  这一结论对点电荷组和任意带电体都适用

20 0 0

ˆ4

i ii i

i i

F qFE E r

q q r

Page 11: 第一章  静电场

例:如图所示带电体系,由两个点电荷+ q 和- q 组成,两者相距 l ,求 P 和 Q 两点的电场强度。

q q

P

Q

x

y

ol

r

r

E

E

E

E

QE

PE

Page 12: 第一章  静电场

解:

2 20

1 1

4 ( ) ( )2 2

qi

l lr r

PE E E

Page 13: 第一章  静电场

QE E E 1

240 2

2

qE

lr

22

2cos

4

l

lr

2 cosE i

32

0

1

4 22

4

qli

lr

Page 14: 第一章  静电场

讨论:当   时,称这种带电体系为电偶极子 (electric dipole)

令    称作电偶极矩 (dipole moment)

延长线       中垂线

r l

322 20 0

2 2

4 4( )

4

P

q rl qli i

lr

E r

3

04Q

qliE r

p ql

3

0

2

4

pE

r

3

04

pE

r

Page 15: 第一章  静电场

1. 电荷的体密度 (volume charge density)

2. 电荷的面密度 (surface charge density)

3. 电荷的线密度 (linear charge density)

dq

dV 2

0

4V

dVE r

r

��������������

e

dq

ds 2

0

4e

s

dsE r

r

��������������

e

dq

dl 2

0

4e

L

dlE r

r

1.5 电荷的连续分布

Page 16: 第一章  静电场

注意:以上三个场强积分式可以写成 ,这是对一矢 量积分,不能直接相加。正确的方法是先将 向各 个坐标轴投影,然后分别求出 的各个分量。例如在 直角坐标系里, , 的各 个分量可表示成: , ,

E dE��������������

dE��������������

E��������������

x y zdE dE i dE j dE k ��������������

x xE dE y yE dE z zE dE

E��������������

Page 17: 第一章  静电场

1. 均匀带电细线中垂面上的场强分布均匀带电直线长为 2l, 带电量为 q 。取棒的中点 o 为坐标原点, z, r 坐标轴如图, r 轴上任取一点 P,距 o 为r 。

2e

q

l

2

0

1

4 2 2

edz

dE

z r

z

dz

dzdE

dE

dE dEP

r

l

o

lz

z

1.6 某些带电体的场强公式

Page 18: 第一章  静电场

电场强度的 z 分量彼此抵消, P 的总场强仅剩下 r 方向的分量

2 2

2 2 2 2 220

0

cos

cos

1

4 2

r r

le e

r l

d dE

r

dz lrE

r

E E

r z

Ez r r z lr

sin

cosz

r

d dE

d dEEE

Page 19: 第一章  静电场

讨论:当细棒无限长时,周围任何地方的场强都与棒垂直,大小为

对于非无限长导线,只有其中垂面上的场强与线垂直,其余 各处则不垂直

利用无限长均匀带电细线的求场强公式,我们还可以计算另 外一些带电体的场强分布

02

eEr

Page 20: 第一章  静电场

2. 电荷均匀分布的无限大带电平面外一点 P 的场强(电荷面密度为 )e

X

Y

Z

dy

dyyd

y

x

r

xdE

dE

PO

ydE

Page 21: 第一章  静电场

无限大均匀带电平面外任一点场强都是一个定值

如果平面带正电,场强的方向与平面垂直,由板面指向场点;如果平面带负电,场强的方向与平面垂直,由场点指向板面。

22

0

2 22 20

0

, ,2

cos , sin

0

cos22

e

x y

y y

e ex

dE dy rr

d dE d dE

d

dy xE dE

yx

E EE E

Ey yx x

02

e

Page 22: 第一章  静电场

3. 均匀带电细圆环轴线上的场如图,一个半径为 R 的细圆环,带电量为 q ,求轴线上距圆心为 x 的一点 P 的场强。

2 2

0

1,

4 2

dl qdE

Rx R

O

R

dl

dl dl

r

x

dE x

P

dE

dE dE

Page 23: 第一章  静电场

根据对称性,把圆环分为许多线元之后,各线元在 P点产生的场强垂直分量相互抵消,仅需计算 x 轴方向的分量。

32

0

3 32 2

0 0

32

0

cos2 24

2

2 22 24 4

2 24

x

x

x d

q

ld dE

x dl Rx

xE

E

Ex R

Ex xR R

x R

Page 24: 第一章  静电场

4. 一均匀带电圆盘轴线上的场 圆盘带电量为 Q,面密度 以 O为圆心,分别以 r和 r+dr为半径作圆。 图中所示圆环的带电量为 , 利用 3 中的公式,则这一圆环在P点产 生的场强 ,方向沿 z轴

2e

Q

R

2e

dq rdr

3

2

0

2

2 24

erdrz

dE

z r

3 2 20 2

00

21

2 24 2R

e erdrz z

E

z Rz r

P

R

r

dr

z

z

Page 25: 第一章  静电场

讨论: 如果保持 不变,而使 ,这便变成了均匀带电的无限 大平面

当 不变 ,而使 时,我们将上面括号内第二

项作泰勒展开 ( ) ,取 一级近似

这正是点电荷的场强。

e R

02

eE

2

eQ R 0R

21

12!

1m m m

mx xx

2

2 2

0 04 4

eR QE

z z

Page 26: 第一章  静电场

1. 电力线电力线 : 为了对整个电场有一个直观的图像,可以在电场中作 一系列的曲线来表示电场分布,曲线上每一点的切线方向都 是该处电场强度的方向,这些曲线称为电力线。电力线的画法 在电场中任取一小面元 与该处场强垂直,如果穿过 的电力线有 根,则 叫做该点电力线的数密度。 在作电力线图时,总使电场中的任一点的电力线数密度 与该点场强大小成正比,即 这样电力线的疏密程度就能反映电场中各点场强大小的分布。

S

N N

S

NE

S

S

1.7 电力线和电通量

Page 27: 第一章  静电场

电力线的基本性质① 在静电场中电力线不形成闭合曲线;② 电力线起源于正电荷,终止于负电荷,或延伸到无穷远处,但不会在没有电荷处中断;③ 在没有电荷处,两条电力线不会相交,因为电场中每一点的场强只能有一个确定的方向。2 、电通量 (electric flux)

定义 为通过面元 的电通 量,记作

cosN E S E S

cosE

E S

cosE S

S

S

n

E��������������

S

Page 28: 第一章  静电场

S

E��������������

n

cos 0, 0,2

cos 0, 0,2

cos 0, 0, ,2

E

E

E

S

S

S

E

当 时, 电力线从面元背面穿过 ;

当 时, 电力线从面元正面穿过 ;

当 时, 无电力线穿过 这说明

电场中某点处通过面元的电通量为零,但并不意味着该

处 一定为零。

Page 29: 第一章  静电场

cos

,

,

E ES S

ES

d EdS

dS

dS dSn n

E dS

����������������������������

对非无限小的曲面:

引入面元矢量 其大小为面元的面积,方向为

面元的法线方向即 为面元法线方向的

单位矢量,这样

Page 30: 第一章  静电场

ES

, 02

, 02

E

E

E dS

����������������������������( )

对闭合曲面,把指向曲面外部空间的法线矢量作为法线

的正方向,这样,

在电力线穿出曲面的地方, ;

在电力线进入曲面的地方, ;

一个闭合曲面往往既有进去的电力线,也有穿出的电力线,我们说的电通量实际上是两者的代数和。

Page 31: 第一章  静电场

0

0

Gaussian surface

1. Gauss theorem

1E i

SS

E dS q

����������������������������

通过任一闭合曲面的电通量等于包围在闭合曲面(称作高斯面( ))内的所有电荷电量的代数和除以 ,与闭合曲面外

高斯定

部的电荷

理(

无关

)的表述

1.8 高斯定理

Page 32: 第一章  静电场

0

qq

例:计算通过以点电荷 为中心的球面的电通量为

O

qr

E��������������n

dS

��������������

d

以点电荷所在处 O 为球心,任意长 r 为半径作一球面 S(1) 球面上各处场强处处相等(2) 球面上任意一点处场强的方向与 S 的外法线方向相同

2

0

4

qE r

r

��������������点电荷周围任一点场强为

Page 33: 第一章  静电场

02 2

0 0 0

0 0 0

1 1Scos S

4 4 4

44 4

E

E E

q q qd E dS d d d

q q qd d

r r

����������������������������

0

2

1

.

qq S

()通过包围点电

高斯定理

荷 的任意曲面 的电通量为

的证明

O

q

S

rd

E��������������dS

��������������

2

00

( )0 0 0

cos44

44 4

E

ES S

q qd dS d

q q qE dS d

r

����������������������������

Page 34: 第一章  静电场

(2) 单个点电荷在任意闭合面 S 外时,通过 S 的电通量为 0

Oq

2E��������������

2n��������������

E1

1n�������������� 1

dS

2dS

d

S

1

2

1 2

1 2

21 1 1 1

0

22 2 2 2

0

1 1 2 22 2

0 0

cos4 1

cos4 2

cos cos

1 2

,4 4

0

qd d d

E

qd d d

E

d dd

q qd d d d

E E

d dE E

S SEr

S SEr

S Sr r

����������������������������

������������������������������������������

��������������

Page 35: 第一章  静电场

(3) 一般情况

q1

q2

qn

kq

nE��������������1E

��������������

2E��������������

kE��������������

Sd

2k 1

1 2 1

1 2

1 20

( )0

1( )

1

n n k

ES

n kS S S S

n

iS

E

E dS

dS dS dS dS

q

E E E E E

E E E E

q q q

������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������

�������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������

Page 36: 第一章  静电场

( )

.

.

. 0

iS

E

a

b E

q

c r

��������������

穿过闭合曲面的电通量只与闭合曲面内的电荷有关,与面外的电荷无关,也与闭合面内的电荷分布无关;

高斯定理中的 是指高斯面上各点的实际场强,或者空间所有电

荷(不管面内还是面外)产生的总场强,而 中仅计面内电荷,

即 由面内电荷决定;

点电荷不可能在高斯面上,因为库仑力中 不可能,点电荷如在高斯面上,认为它一半在面内,一半在面外,连

讨论:

续分布;

Page 37: 第一章  静电场

S

S

. 0

0 0

.

d E dS S E S E

E E dS

S

e

������������������������������������������

����������������������������

并不意味着 上 处处为零(如果 上 处处相等,

则 ),当 时,只能说明高斯面内电荷的代数和

为零,可能是 面内真没有电荷,也可能是正负电荷同时存在,只不过两者相互抵消而已;高斯定理的重要性:表达静电场是有源场(有势场,保守力场,无旋场),可用高斯定理求场强。

Page 38: 第一章  静电场

1. R q例 求均匀带电球壳外的场强,设球壳半径为 ,带电量为

Oq

R

rdS

��������������

dS��������������

P

dE��������������

dE��������������

dE dE����������������������������

q

OR

r

ROr

E

1.9 高斯定理应用举例

Page 39: 第一章  静电场

20

2

2 2

0 00

2

O

cos 4

1ˆS ,4 , ,

44

4

,

0 0

ES S S

r

E dS E dS E ds E

q q qr R q E E E r

r R S E E

r

rr r

r

����������������������������

��������������

以 为球心, 为半径作一高斯球面,通过高斯面的电通量:

由此可知,均匀带电球壳在外部空间产生的电场与其上电荷全部集中在球心时产

时, 面内包有电荷 即

时, 面内不包围电荷, ,

生的电场相同它内部空间的场强处处为零

Page 40: 第一章  静电场

3

2

( ) ( ) 0

2 2

0 0

33

2

3( ) ( ) 0 0

3

00

2.

43

cos 4 ,

ˆ4 4

43, co

3

s 4

4

e

ES S

e

ES

e

S

q

qr R E dS E dS E

q qE E r

qr R E dS E d

r

S

E

E

qrE

R

r

r r

r rrR

R

例 均匀带电球

时,

E��������������Pr

R

O

qr

Page 41: 第一章  静电场

3.

)E a

��������������

例 如图电荷体密度为 的带电球中挖出一个球形洞,求洞内各点的

电场强度(两球心相距为

11

0

22

0

1 2 1 20 0

P

3

3

P ( )3 3

aE

rE

rE

E E r r

����������������������������

����������������������������

����������������������������������������������������������������������

先填上一个带 的圆球,再填上一个带 的圆球,的场强是两者的矢量和

填上带 的圆球

填上带 的圆球

点的电场强度

r1

r 2

a

o

o

P

Page 42: 第一章  静电场

4.e

例 求无限长均匀带电细线周围的电场分布,设细线上电荷线密度为

0

0

cos cos cos

cos 2

12

P2

E

E e

e

E dS E dS E dS

E dS E dS E rl

E rl l

Er

侧面 上底 下底

侧面 侧面

根据高斯定理,

故, 点的场强

P

dE��������������

dE��������������

dE dE����������������������������

l rO

Page 43: 第一章  静电场

5. 例 柱面(无限长,单位长柱面带电为 )

0

, 42

, 0

r R Er

r R E

(分析方法同例 )

(高斯面内无电荷)

R

lP

OE��������������

r

Page 44: 第一章  静电场

6.

(e

e

例 求均匀带正电的无限大平面薄板的场强。设电荷的面密度为

是两个面的总电荷密度)

e

O P

e

E��������������S

E��������������

dS

dS dE��������������

dE��������������

dE dE����������������������������P

O

e

Page 45: 第一章  静电场

( ( (

0 0

cos

cos cos cos

,

12 ,

2

ES S

eE e

E dS E dS

E dS E dS E dS

E S E S S

E S S E

E

����������������������������

侧面) 底面) 底面)

其中 为两底面的面积

根据高斯定理 故

与场点到板的距离无关,为一定值

Page 46: 第一章  静电场

7. 36) (0 ),kx x b 例 (习题 如图,一个非均匀带电的无限大板,试求电场分布

0 0

2

0 00 0 0

2 2

00 0 0

2 2

2 2 4

22 2 4

e

b b

x b

x

P

dxdE

kdx kxdxE

P

dx dx kE

b

x b

板外一点

板内一点

PP0

b x

E

x

dx

Page 47: 第一章  静电场

讨论:(1)只有电荷的分布有对称性时才有可能用高斯定理,典型的对称分布有: a. 球对称 : 点电荷、电荷均匀分布的球面或球体 b. 无限大带电体系 :( A )有轴对称性:无限长均匀带电直线或柱面(B)有面对称性:无限大均匀带电薄板(2)正确选择高斯面应先分析场强的分布 a.高斯面上的 场强处处相等,且都与高斯面垂直 , 如球对称电荷分布可选择球面为高斯面 b.部分高斯面上场强符合上述条件,其余部分场强与高斯面平行或场强为零,如无限大带点体系可选择柱面做高斯面

Page 48: 第一章  静电场

0

1.

2.

13.

:

ES

E iSS

E dS

E dS Eq

����������������������������

����������������������������

分析场的对称性

,选取适当的高斯面(球形或柱

用高斯定理做

题的

求取利用

Page 49: 第一章  静电场

静电力做的功与路径无关静电力做功的证明( 1 )一个点电荷电场中

0 02 2

0 0

0 02

00

cos cos4 4

1 1( )

44

Q Q Q

PQ P P PP Q

q qdA F dl Fdl dl dr

q qdA F dl dr

q qr rq q

A r rr

����������������������������

����������������������������

1.10 静电力做功的特点

q

P

Q

F��������������

r M

N

dl

drK

O

Page 50: 第一章  静电场

1 20 0

1 2 30 0 0

0

( )

P

Q

Q Q

PQ kP P

Q Q Q

P P P

E dl dl

dl dl dl

q qA E E E

q q qE E Eq

������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������

上式每一项表示各点电荷单独产生的电场中,把试探电荷 从

点沿任一路径迁到 点的过程中电场力做的功,它们都与路径无关,因此总电场力做的功也与电荷无关。

结论:试探电荷在任意静电场中移动时电场力所做的功,只与试探电荷的电量及路径起点、终点的位置有关,与路径无关。

( 2 )一般情况:任意带电体系

1 21 2, ,

kkEq q q E E E

�������������������������������������������������������� 设电场由 共同产生,总场强

Page 51: 第一章  静电场

0

0 0 0

0 0

0 0

0( )

L

0

0 0

Q P

P QL L

Q Q

P P

Q P

P Q

L

A F dl E dl E dl E dl

E dl E dl

A E dl E dl

E dl

q

q q q

q q

q q

q

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������

����������������������������

下面再讨论在静电场中任选一闭合环路 迁移试探

电荷 时,静电力做的功

由于静电场力做功与路径无关,

这说明静电场中,电场强度沿任一闭合环路的线积分恒等于 circulation

theorem of electrostatic fiel

,

d

静电场的“ 环路定理” (

)

零 我们称之为。它与静电场力做功与路

径无关的结论完全等价。

.

.1L 2L

Q

P

1( )L 2( )L

1( )L 2( )L

2( )L1( )L

Page 52: 第一章  静电场

静电场的特性 从力学角度

从矢量场角度

1 静电场对处于其中电荷有力的作用

2 静电场对场中运动电荷作功

( )0( )

(1)

1i

SS

E dS q

静电场是有源场

电力线始于正电荷终于负电荷

( ) ( ) ( )

(2) , ,

0 ( ) 0L L S

E dl E dl E dS E

静电场是保守力场 有势场 无旋场

由斯托克斯公式

Page 53: 第一章  静电场

P Q

E�������������� 0

0

0 0

potential difference

Q

PQPQ P

PQ

QPQ PQ

PQ P

P Q

E dl

P Q

E dl

qW AWq

W AU q q

����������������������������

����������������������������

、 两点的电

由电场本身来决定,

它反映电场在 和 两点的性质,称它为 位差( )

P Q

P Q

电场中任意两点 、 间的电位差,等于单位正电荷从 点迁移到 点时电场力所做的功,即单位正电荷的电位能差。

1.11 电位和电位差

Page 54: 第一章  静电场

electric potential

( )

*

( )

P

P

PQ

U P E d

U P E

l

U P U Q

dl

U

��������������

����������������������������

参考点

如果电荷分布于有

要讨论电场中某一点的电位( )为多少,首先选定参考点,规定参考点的电位为零,则

对无限大

限空间,选无穷远点为参考点

空间任意两点的电位差可用两点各自的电位来表示带电体系不能选无穷远处为参考点

Page 55: 第一章  静电场

1JJ , V ,1VC 1CV V N1 1m, m, C,

电位和电位差的单位是 简称伏特,用 表示

电场的单位也可写作

[ ( ) ( )]Q

PQ PQPq E dl q q U P U QW U

����������������������������计算电场力做的功可以用电位差来计算:

Page 56: 第一章  静电场

q

P

dr

pr

2

0

2

0

02

0 0

0

ˆ4

1cos

4

1

1

1

4 4

4

p

p

P

p

qE r

qU P E dl dr

r

q q

U

drr

q

r

r

r

rr

��������������

����������������������������

1.例 点电荷电场中各点的电位

Page 57: 第一章  静电场

2. ,R q例 均匀带电球壳半径为 带电量为

qR

Pr

rO

U P

2

0

1ˆ( )

4

qE r r R

r

��������������

0( )r R

0

2

00

1, ( )

4

, ( )44

P

R

P r R R

qr R U P E dl

r

q qr R U P E dl E dl E dl dr

Rr

����������������������������

������������������������������������������������������������������������������������

Page 58: 第一章  静电场

2

0

0

0

2

2 3

0 00 0

3.

ˆ( )4

ˆ( )3

1,

4

3,

3 84 8

P

R

P r R

qE r r R

rr r R

qr R U E dl

r

r q q qr R U E dl dr dr

R

r

rr R

��������������

����������������������������

����������������������������

例 均匀带电球

q

r

R

P

Page 59: 第一章  静电场

1 2

1 2

1 21 0

superposit

1

ion principle of

4

e e

1

.

l c

kP P

kP P P

ki

ki i

U P E dl dl

dl dl dl

qP P P

r

E E E

E E E

U U U

������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������

点电荷组的电场中某点的电位是各个点电荷单独存在时的电场在该点电位的代数和,这就 电位叠加是 原理(

点电荷组

tric potential)。

1.12 电位叠加原理

Page 60: 第一章  静电场

0

( )0

( )0

( )0

,

,

4

4

4

4

2.

V

e

S

e

L

dV

dq dV P

dVdU

r

dVP U

r

dSU

r

dlU

r

以体电荷为例,体密度 已知,任取一体元相当于一点电荷 它在 点产生的电位

整个带电体在 点产生的电位

当电荷面分布或

电荷的连续分

线分布

Page 61: 第一章  静电场

1.例 均匀带电的圆环轴线上的电位

3

2

0

1.6

224P

qxE U E dl U

xR

����������������������������由 节可求出均匀带电的圆环轴线上的场

利用 可求出P

L O R

xq

dl

e

e e 22

0

e e

2 22 2

0 0

22

0

, ,2 4

24 4

4

L

E

dlqdq dl dU

R

dlU R

q

xR

x xR R

xR

当 不好积分时,用下述方法(电位叠加原理)

Page 62: 第一章  静电场

2.例

q q

a

bO

0 0

0 0

0 0

, 04 4

,4 4

,4 4

q qr b U

r r

q qa r b U

r b

q qr a U

a b

0

0

1, ( )

4

, ( )4

qr R U P

r

qr R U P

R

均匀带电球壳:

Page 63: 第一章  静电场

3. 1 2O E O U��������������

例 求() 点() 点

200 0

2

00 0 0 0

11 sin

4 2

(2) 2 ln 24 4 4 2

y

a

a

adE

a

ad dxU

a x

Ea

解:()

a

ad

xy

a O

Page 64: 第一章  静电场

1 0

0

1

2

1

4

4

( , , ), ( , , ), ( , , )

P

ki

i i

e

ee e

U E dl

U

dU

r

d dV d S

U

dS l V L

qr

����������������������������参考点()场强积分

()电位叠加原理

点电荷组

电荷

求电位 的方法:

连续分布

a( )参考点的选取(b注意: )分段积分

Page 65: 第一章  静电场

equipotential surface

.

1

1

电场中电位相等的曲面叫做等位面( )

等位面的性质:

电力线处处与等

等位面

位面正交

0

P Q

PQ q

证明:在等位面上取两点 、

沿 移动电荷

0

0 0

[ ( ) ( )] 0

cos 0

2

PQA q U P U Q

q E dl q Edl

E dl

1.13 电位的梯度

E

P Qdl

Page 66: 第一章  静电场

2 等位面密集处场强大,等位面稀疏处场强小

0U 规定:任两相邻等位面的电位差 为常数

0lim

Q

P

n

U E dl E n

UE

n

U UE

n n

n EU

n E

大 小一定

小 大

U

U U

1S

2SQ

P

n

E

Page 67: 第一章  静电场

cos cos

= o

2.

c s

U Un l

l nU U

l nU n

取极限有 ,

此式

电位

表明 沿

电位的梯度:

方向的

的空间变化率

变化率最大

U

U U

1S

2S

Q

P

n

E

Q

l

Page 68: 第一章  静电场

ˆU

U U U nn

电场中任一点的电位梯度是一个矢量,其方向与该点电位增加率最大的方向相

定义电位的梯度(用gr

同,其大小等于沿该方向

ad 或 表示) :

的电位增加率

( ) cosl l

E

U Ul E

n l

U

E

U

U

��������������

我们往往先求出电位分布,然

在任意方向 上,场强的分量

后再根据 求

场强分布

Page 69: 第一章  静电场

2 3

2 23 3 2

1.

, 2 , 3x y z

U x

U U Uxy x

x y z

y z

y yE z E z E z

22

0

3 32 2

00

2.

1.12 14

1 1( ) 2

4 2 2 22 24

1.6 3

x

qU

U q qxE x

x

xR

Ex xR R

例 均匀带电细圆环轴线上的场

由 节例已求出

与 节 求出的结果一致

Page 70: 第一章  静电场

1.轴线上的电位

adr

2 20

2 2

02 200 0

22

0

22

0

2

21

4

21|

4 2

0,2

0,2

e

e

a ae e

e

e

dq rdr

rdrdU

rdrU

z U z

z U z

r z

r zr z

az

az

对于

对于

1.14 均匀带电圆盘

x

yz

1P2P

zO

r

Page 71: 第一章  静电场

0

U

za 2aa2a

0

2

2

0

02

4

e

e

e

U z

z U U a

z

Uz

a

a

实线表示 随 变化的曲线,

时, 最大,

虚线表示电量为 的点

电荷的电位随 变化的曲线

( )

22

220 0

12 2

e ez

U d zE z

z dz aE zaz

Page 72: 第一章  静电场

22. P圆盘边缘上的 点的电位

2Pa

r

dr

e

0 0

0

2 0 0

21

4 2

2 cos , 2 sin

2 sin2

e e

e e

r drdU dr

r

r a dr a d

aU a d

0,2

2 , 0

r

r a

Page 73: 第一章  静电场

1.电位与电场强度

P

r r r

C

O

D

q q

,

q q

l P O

r r l

如图,带电体系由两个点电荷 和 组成,两者相距,场点 与两点电荷联线中心 的距离为 当 时,我们称这样的带电体系为电偶极子

1cos , cos , cos ,

2 2 2

l lCO OD l r rr r

2l

1.15 电偶极子

2l

Page 74: 第一章  静电场

0

2

02

2

0

2 2

0 0

1 1

4 cos cos2 2cos

4

1 cos,

4

,

ˆ1 cos 1

4

,

4

cos2

P

qU

l lr r

q l

qlr l

l q q p q

U

p p r

l p

U

lr

r

r r

��������������������������������������� ���

��������������规定的方向由 指向 定义 称作电

的电位

偶极

Page 75: 第一章  静电场

1 1

2 2cos ,sin

2 22 2

z x

x xz z

为求电偶极子电场的分布,现建立如图所示坐标系

p��������������

P

rO

zE��������������

x x

z

Page 76: 第一章  静电场

3

2

0

3

0

2

3

0

,2 24

3 sin cos,

4

3 1

4cos

x

z

pzxz U

U p

x

Up

z

x z

Er

Er

在 平面中,

30

30

24

4

pz pr

ppr

轴方向上的电场与电偶极矩 平行,其值为 ,

在赤道面上,电场的方向是 的逆平行方向,其值为-

Page 77: 第一章  静电场

2.力矩与功

sin sin sin2 2

l lL qE qE pE

L p E

������������������������������������������

用矢量式表示

力矩

q

qF

��������������

F

��������������E��������������

l

O

0 0

00 0sin 1 cosLd pE d pE

外力做的功

Page 78: 第一章  静电场

1 2 1 22 2

0

1 2

0

1.

2.

3

1

4

1

0

.

1.

2.

k

E iSS

L

F k

F

E dS

E dl

q q q qr r

F F F

q

��������������������������������������������������������

����������������������������

����������������������������

电荷守恒定律

库仑定律

静电力叠加原理

高斯定理

静电场的

一、实验定律

二、两个重要 理

环路定

第一章 小结

Page 79: 第一章  静电场

2

00

1 2

2 21

0 0

0

ˆ,4

1

ˆ4 4

12

3

1.

ˆk

i ei

i

iSS

F qE E r

E

dE E r

E d

E

S

E U

q r

E Eq

rr r

q

������������������������������������������

����������������������������

����������������������������

��������������

��������������

定义 点电荷

计算:

()电场强度的叠加原理

点电荷组 ,电荷连续分布

()高斯定理 ,注意电荷的分布要有对

三、两个重要的物理量

电场

Page 80: 第一章  静电场

0

0 0

1 0

0

4

1

2

1

2

4

4

.

P

QPQ PQ

PQ P

ki

i i

e

qU E dl U

r

E dl U P U Q

dU

U

U

r

W AU q q

qr

����������������������������

����������������������������

参考点定义:电位 ,点电荷

电位差

计算:()场强积分()电位叠加原理

点电荷组

电荷连续 布

电位

1

2

3

4

()电位的相对性( )电位差的绝对性( )参考点的

注意

选取( )

分段积分

Page 81: 第一章  静电场

3 2 1 22 2 2 2 2

2 2

3 2 1 20 2 2 2 2

0

2

11.

2. arctan

13.

1 1 14.

l

l

l

l

R

R

RR

zdz

z r r z r

x ydy

x y x

rdr

z r z r

drr r R

第一章用到的定积分公式:

Page 82: 第一章  静电场

22

11

1 22 21 20 2 2

0

2

1

0 0

22

0 0

5.

16. ln ln

7. sin cos 2

8. sin [sin cos ]

a

a

RR

R R

rdr z r

z r

Rdx x

x R

d

d